杨辉三角形

有趣的杨辉三角形

【教学目的】

1．初步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律；

2．培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力；

3．了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感．

【教学手段】

课堂教学，以学生自学为主，教师引导探索。

【教学思路】

→学生自学教材，然后思考几个问题。

→分组探讨杨辉三角的性质。

→展示学生探究成果

→教学小结

【自学教材】；

1．什么是杨辉三角？

二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（表1）

例如，它的兩項的係數是1和1；

，它的三項係數依次是1、2、1；

，它的四項係數依次1、3、3、1。

2．杨辉——古代数学家的杰出代表

杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》

算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明

我国发现这个表不晚于11世纪．

在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的

（Blaise Pascal,1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就

是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．

3．观察杨辉三角所蕴含的数量关系（表2）

4．杨辉三角基本性质

▲教学意图介绍杨辉三角蕴含的基本规律

（1）表中每个数都是组合数，第n 行的第r+1个数是)!

(!!r n r n C r n -=．（2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也

就是r n r n r n C C C 111---+=．

（3）杨辉三角具有对称性（对称美），即r n n r n C C -=．

（4）杨辉三角的第n 行是二项式（a+b ）n 展开式的二项式系数，即

n n n r r n r n n n n n n b

C b a C b a C a C b a +++++=+-- 1110)(【自学引导】

杨辉三角有趣的数字排列规律

注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多种角度观察（横看成岭侧成峰，远近高低各不同！）

（1）杨辉三角的第1，3，7，15，．．．行，即第2K

-1(k 是正整数)行的各个数字

有什么特点？第2K 行呢？

第2K -1(k 是正整数)行的各个数字均为奇数．第2K 行除两端的1之外都是偶数

（2）杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数．你

能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数Ｐ是什么数？

如2，3，7，11等行．行数Ｐ是质数(素数)（3）计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：

第n 行n

n n n n r n n n n C C C C C C 21210=+++++++-

（4）从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩”出发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数．

例如：10＝1＋2＋3＋4，

20＝1＋3＋6＋10，．．．

于是有一般性结论：

一般地，在第m 条斜线上（从右上到左下）前n 个数字

的和，等于第m+1条斜线上的第n 个数．

根据这一性质，猜想下列数列的前n 项和：

1＋1＋1＋．．．＋1＝（第1条斜线）

1＋2＋3＋．．．＋11-n C ＝（第2条斜线）

1＋3＋6＋．．．＋21-n C ＝3条斜线）

1＋4＋10＋．．．＋31-n C ＝4条斜线）．．．

1121+-++=++++r n r n r

r r

r r r C C C C C （第r+1条斜线）

（5）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？

1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．

此数列{a n }满足,a 1=1,a 2=1,

且a n =a n-1+a n-2(n≥3)

这就是著名的斐波那契数列（斐波那契，中世纪意大利数学

家，传世之作《算术之法》）．

结论：斜线上各行数字的和,正好组成斐波那契数列．

（6）杨辉三角与“纵横路线图”

“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A 处走到B 处(只能由北到南，由西向东)，

我们把图顺时针转45度，使A 在正上方，B 在正下

方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数．有什么

有趣的结论

一般地,

每个交点上的杨辉三角数，就是从A 到达

该点的方法数．

由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有

天然的联系．

（7）计算11的1、2、3、……次幂，看一看与杨辉三角有什么有趣的联系？（8）杨辉三角与“堆垛术”（三角垛，正方垛，．．．）我国古代数学的伟大成就——堆垛术，学生自行探究

将圆弹堆成三角垛：底层是每边n 的三角形，向上逐层每边少一个圆弹，顶层是一个圆