2014高考数学必考知识点:圆锥曲线方程
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2014高考数学必考知识点:圆锥曲线方程
考试内容:
椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 考试要求:
(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.
圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义:
为端点的线段
以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,
2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+
⑴①椭圆的标准方程:
i. 中心在原点,焦点在x 轴上:
)0(12
22
2 b a b y a x =+
.
ii. 中心在原点,焦点在y 轴上:
)0(12
22
2 b a b
x a
y =+
.
②一般方程:)0,0(12
2
B A By Ax =+.③椭圆的标准参数方程:
12
22
2=+
b
y a
x 的参数方程为
⎩⎨
⎧==θ
θsin cos b y a x (一象限θ应是属于20π
θ ). ⑵①顶点:),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴:对称轴:x 轴,y 轴;长轴长a 2,短轴长b 2.③
焦点:)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距:2
221,2b
a c c F F -==.⑤准线:c
a x 2
±=或
c a y 2±=.⑥离心率:)10( e a
c
e =.⑦焦点半径: i. 设),(00y x P 为椭圆
)0(12
22
2 b a b
y a
x =+
上的一点,21,F F 为左、右焦点,则
由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设),(00y x P 为椭圆
)0(12
22
2 b a a
y b
x =+
上的一点,21,F F 为上、下焦点,则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知:)0()(),0()(0002
2002
01 x a ex x c
a e pF x ex a c
a x e pF -=-=+=+=归结起来为
“左加右减”.
注意:椭圆参数方程的推导:得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:),(222
2a b c a b d -=
和),(2a
b c
⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF
⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆)0(12
22
2 b a b y a x =+
的离心率是)(22b a c a
c
e -==
,方程
t t b y a x (2
22
2=+是大于0的参数,)0 b a 的离心率也是a
c
e =
我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆:12
22
2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ∆的面积为
2
t an
2θb (用余弦定理与a PF PF 221=+可得). 若是双曲线,则面积为2
cot
2θ⋅b .
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义:
的一个端点的一条射线
以无轨迹
方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-
⑴①双曲线标准方程:
)0,(1),
0,(12
22
22
22
2 b a b
x a
y b a b
y a
x =-
=-
. 一般方程:
)0(122 AC Cy Ax =+.
⑵①i. 焦点在x 轴上:
顶点:)0,(),0,(a a - 焦点:)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程:0=±b y
a x 或
02
22
2=-
b
y a
x
ii. 焦点在y 轴上:顶点:),0(),,0(a a -. 焦点:),0(),,0(c c -. 准线方程:c a y 2
±=. 渐近线
方程:0=±b x
a y 或02222=-
b x a y ,参数方程:⎩⎨⎧==θθtan se
c b y a x 或⎩⎨⎧==θ
θsec tan a y b x .
②轴y x ,为对称轴,实轴长为2a , 虚轴长为2b ,焦距2c. ③离心率a
c e =. ④准线距
c a 2
2(两准线的距离);通径a b 22. ⑤参数关系a
c
e b a c =+=,222. ⑥焦点半径公式:对于双曲
线方程
12
22
2=-
b y a x (21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)
“长加短减”原则:
a
ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-
a
ex F M a ex F M +-='--='0201(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半
径要带符号计算,而双曲线不带符号)
▲asin αacos α,()bsin αbcos α(),N y
x
N 的轨迹是椭圆
▲
y x
M'
M
F 1
F 2
▲
y
x
M'
M
F 1
F 2