面面平行的判定与性质
两个平面平行的判定和性质
α
β
A
a
b
α， 且 ， ⊂，a∩b=A且a//β，
（2）推论：如果一个平面内有两条相交 推论： 直线分别平行于另一个平面内的两条直 则这两个平面平行. 线，则这两个平面平行
a A c
α β
d
b
d
， ， ， ⊂β，a //b，c /b
β， ， ⊂
一般画法
错误画法
3． 平面与平面平行的判定定理 ． 判定定理： （1）判定定理： ①文字语言：如果一个平 文字语言： 两条相交直线都平 面内有两条相交 面内有两条相交直线都平 行于另一个平面， 行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 两个平面平行. ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：a ⊂α，b 符号语言： ， b//β α//β. ⇒
A P
F E C
B
//平面 同理EF//平面ABC， 又因为DE∩EF=E， //平面 所以 平面DEF//平面ABC。 P
D E A C F
B
为夹在α 例2.已知a∥β , AB和DC为夹在α、β间的平 2.已知 行线段。 行线段。 求证： 求证： AB＝DC. 证明： 连接AD、BC 证明： ∵AB//DC ∴ AB和DC确定平面AC
AB DG = BC GC
DG DE = GC EF
所以
AB DE = BC EF
例1. 已知三棱锥P－ABC中，D，E，F，分 的中点， 别是PA，PB，PC的中点， 求证： //平面 求证：平面DEF//平面ABC。 证明： 证明：在△PAB中，因为D， 的中点， E分别是PA，PB的中点， D 所以DE//AB， 又知DE ⊄ 平面ABC， //平面 因此DE//平面ABC，
// // 证明： 证明： AB = DC = D ' C ' ∵ ∴ ABC ' D '是平行四边形
线面平行面面平行的性质与判定定理
提问
一、直线与平面有什么样的位置关系？
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点。
a
a
a
精面外一条直线和这个平面内的一条直 线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线//面
面//面
由a //, 通过构造过直线 a 的平面 与平面
相交于直线b，只要证得a // b即可。
精选课件
17
二、两个平面平行具有如下的一些性质：
⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所 有直线都与另一个平面平行
⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行.
⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交， 那么它也和另一个平面相交
⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等
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证明：∵α∩γ＝a,β∩γ=b ∴aα，bβ ∵α∥β ∴a，b没有公共点， 又因为a，b同在平面γ内， 所以，a∥b
这个结论可做定理用
定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交 线平行。
用符号语言表示性质定理：
//=a,=ba//b
想一想：这个定理的作用是什么?
答:可以由平面与平面平 行得出直线与直线平行
小结：一、直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直
线的任意平面和这个平面相交,那么这条直线和
交线平行。
a// ,
a
a ,
a // b
b
= b
注意：
1、定理三个条件缺一不可。
面面平行定理和判定定理
温馨小提示：本文主要介绍的是关于面面平行定理和判定定理的文章，文章是由本店铺通过查阅资料，经过精心整理撰写而成。
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感谢支持！(Thank you fordownloading and checking it out!)面面平行定理和判定定理一、面面平行定理面面平行定理的定义：面面平行定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了空间中两个平面之间的平行关系。
具体来说，面面平行定理是指，如果一个平面同时与两个平行平面相交，那么它与这两个平行平面的交线也是平行的。
面面平行定理的表述：面面平行定理可以表述为：在空间中，如果平面α与平面β平行，并且平面α与平面γ相交于一条直线l，那么平面β与平面γ也平行，且它们的交线m也与直线l平行。
面面平行定理的证明方法：面面平行定理的证明通常采用反证法。
首先假设平面β与平面γ不平行，那么它们必须相交于一条直线n。
根据平面与直线的位置关系，直线l与直线n 都在平面α内，因此直线l与直线n平行。
但是这与假设直线l与直线n不平行相矛盾。
因此，假设不成立，平面β与平面γ必须平行。
同理，可以证明平面β与平面γ的交线m也与直线l平行。
这样，面面平行定理得证。
二、判定定理面面平行定理和判定定理是空间几何中的重要理论，其中判定定理包括线线平行定理、线面平行定理和面面平行定理。
这些定理在空间几何图形的判定和空间几何问题的求解中具有广泛的应用。
判定定理的种类线线平行定理是指，如果两条直线在同一平面内，且它们的交线与第三条直线平行，则这两条直线平行。
线面平行定理是指，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上的所有点都与这个平面平行。
面面平行定理是指，如果两个平面上的对应线段平行，则这两个平面平行。
两平面平行的判定方法
两平面平行的判定方法平面几何中，两平面平行是重要的概念，因为它涉及到许多实际问题，例如建筑、地图制作和制造业。
在本文中，我们将讨论10种不同的方法来判断两个平面是否平行，并提供详细说明。
1. 平行线性质法确定两个平面是否平行的最简单方法之一是检查它们所包含的直线。
如果两个平面包含两组平行直线，则这两个平面平行。
这被称为平行线性质。
平面上的平行线永远不会相交，而它们的距离始终相等。
2. 夹角相等法两个平面平行的另一种方法是它们的夹角相等。
当两个平面之间的夹角相等时，它们被认为是平行的。
这里需要注意的是，夹角是指两个平面的法线之间的角度。
3. 垂线判定法如果一条直线是第一个平面上的一条直线，并且以该直线垂直于第二个平面，则第一个平面和第二个平面是平行的。
垂线判定法基于这个原理。
这可通过将两个平面移到同一位置并在它们之间引入垂线来证明。
4. 辅助平面法辅助平面法是一种使用第三平面来判断两个平面平行的方法。
如果两个平面与第三个平面平行，则它们彼此平行。
该方法特别适用于设计要求多个平面平行的情况，例如构建多层建筑物。
5. 截线判定法如果一条直线是第一个平面和第二个平面上的两条直线的截线，则这两个平面平行。
截线判定法基于这个概念。
如果相交的两条线都是平面上的同一直线的截线，则这两个平面平行。
6. 倾斜角相等法倾斜角相等法是一种快速确定两个平面是否平行的方法。
如果两个平面的倾斜角相等，则这两个平面是平行的。
这种方法只能用于倾斜角相等的情况。
7. 向量法向量法是另一种判断两个平面是否平行的方法。
如果两个平面的法线向量相同，则它们是平行的。
将两个平面的向量相减，如果它们的值为零，则它们平行。
8. 距离法距离法是判断两个平面平行的一个简单方法，它基于平面之间的平行线性质。
如果两个平面的法线距离相等，则这两个平面平行。
用法线测量两个平面之间的距离，以确定它们是否平行。
9. 投影法投影法可以通过平面上点的投影来确定两个平面是否平行。
面面平行的判定与性质
符号语言：
a⊂β b⊂β a ∩ b = P ⇒ β / /α a / /α b / /α
判定定理:一个平面内两条相交直线分别 判定定理 一个平面内两条相交直线分别 一个平面内两条相交直线 平行于另一个平面 那么这两个平面平行. 另一个平面， 平行于另一个平面，那么这两个平面平行
αβ 判定定理:一个平面内两条相交直线分别平行于另 判定定理 一个平面内两条相交直线分别平行于另
a
作业
• 必做 教材 必做:教材 教材45~46页 习题 页 习题1~5 • 选做:教材 页 10 选做 教材46页 教材
4.已知两条直线和三个平 4.已知两条直线和三个平 A 行平面都相交， 行平面都相交，求证所截 α 得的线段对应成比例． 得的线段对应成比例． 已知: α ∥ β ∥γ , 直线a 和 b 分别交 已知 B
γ
β
α
平行
二层楼房示意图
二、两平面平行： 两平面平行：
1、定义：如果两个平面没有公共点，那 定义：如果两个平面没有公共点， 没有公共点 么这两个平面互相平行，也叫做平行平面. 么这两个平面互相平行，也叫做平行平面.
（ ）、平面α平行于平面β，记作：α // β . 1
(2)、 画法： (2)、 画法：
判定定理剖析： 判定定理剖析：
1〉两条 条件要点：β内有2〉相交 直线 3〉分别和α平行 结论：β // α
β
P
b a
α
证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中 证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中 一个平面内找出 找出两条相交直线分别平行于另一 一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一 个平面. 个平面.
a
α
b
立体几何平行垂直的判定定理与性质定理总结
1线面平行的判定定理：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
2线面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
3面面平行的判定定理：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
4面面平行的性质定理：
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
. 5线面垂直的判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
6线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行.
7面面垂直的判定定理：
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
8面面垂直的性质定理：
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.。
面面平行的判定和性质
图形语言
符号语言
l∥a a⊂α
l⊄α
⇒l∥α
___l∥__a___ ___l⊂__β___
_α_∩__β_＝__b_
⇒l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
一个平面内的两条相交直线 与 判定 另一个平面平行，则这两个平 定理 面平行(简记为“线面平行⇒面
面平行”)
如果两个平行平面同时和第三 性质 个平面相交 ，那么它们的交__线__ 定理
练1
在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变 为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明 如图所示，连接A1C，AC1，交于点M， ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴M是A1C的中点，连接MD， ∵D为BC的中点，∴A1B∥DM. ∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1， ∴DM∥平面A1BD1， 又由三棱柱的性质知，D1C1∥BD且D1C1＝BD， ∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1. 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1， 又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D， 因此平面A1BD1∥平面AC1D.
课堂总结： 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点). (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α). (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β). (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β). 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义. (2)面面平行的判定定理. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行. (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
两平面平行的判定和性质
a'
β
b'
a
A
α
b
例4：已知P在△ABC所在的平面外，点A’、B’、C’分别是△PAB、 △PBC、△PAC的重心。求证：平面A’B’C’∥平面ABC.
P
思考：能否求出 △ A’B’C’与△ ABC 的面积之比？
C′
A′ A D B F
B′
C
E
小结：
1 两个平面的位置关系：相交
平行（及定义）
问题：下面两组平面哪一组看上去象平行平面？ α
a b
β
（１）
（２）
如果一个平面与两个平行平面相交，会 有什么结果出现？
三、两平面平行的性质
定理：如果两个平行平面同时与第三个平面 相交，那么它们的交线平行。
思考：两平面平行的性质定理与线面平行 例３：求证夹在两平行平面间的两条平行 的性质定理有什么不同？ 线段相等。 已知： a∥β AB和DC为夹在a、 D A β间的平行线段。 求证： AB＝DC 证明：
B
C
证明： 连接AD、BC ∵AB//DC
A
D ∴ AB和DC确定平面AC
B
C
又因直线AD、BC分别是平面 AC与平面a、β的交线， ∴AD//BC，四边形ABCD是平行 四边形
∴AB＝DC
例5：平行于同一个平面的两个平面平行。
已知：α∥γ，β∥γ 求证：α ∥β
α A B
构造两个相交的平面M和N平面， 分别与α 、β 、γ 平面相交与a、c、 β e和b、d、f
思路1：在平面PAD内 找MN平行线。 思路2：过MN构造平面PAD 的平行平面。 B H
A M
N
面面平行的判定与性质优质课.pptx
同理：b//m
矛盾
假设
第6页/共21页
a , b
ab=P
a //
b //
//
面面平行的判定定理
符号语言
线不在多贵在相交
a
b
图形语言
如果一个 有两条 直线分别 于另一个平面
相交
，那么这两个平面平行。
P
平面内
平行
面面平行
线面平行
教学目标：
1．掌握平面与平面的位置关系的分类．掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并会简单应用．2．通过直观演示，提高学生的空间想象能力．3．通过动手探究，体验数学学习的快乐，激发学习热情，初步培养创新意识．
重点、难点： 平面与平面平行的判定定理和性质定理． 平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
简记为：
面面平行，则线线平行
平面与平面平行的性质定理
第17页/共21页
如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.求证：AC∥BD；
例3
第18页/共21页
课堂小结
一个概念 1.两个平面平行的定义;两个定理 1．面面平行的判定定理☆ 2．面面平行的性质定理☆一个思想---化归思想
a // 什么条件代替？
探究二
线面平行
线线平行？
第11页/共21页
a , b
ab=P
b //
//
a
b
如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面
相交
，那么这两个平面平行。
线面平行是否可用其它条件代替？
高中数学 线面、面面平行的判定与性质(教师版)
线面、面面平行的判定与性质（教师版）知识回顾1．线面平行的判定（1）直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 用符号表示为：a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α． 2．线面平行的性质直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言描述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a ∥b ． 3. 面面平行的判定（1）平面α与平面β平行的定义：两平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理：下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m ，n 为直线，α，β为平面)，则此条件应为m ，n 相交．⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂αm ∥βn ∥β⇒α∥β 4．面面平行的性质平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ． 题型讲解题型一 利用三角形中位线证明线面平行例1、如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点.求证：SA∥平面MDB.答案:证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB.例2、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，求证：MN∥平面PB1C.答案证明：如图，连结AC，则P为AC的中点，连结AB1，∵M、N分别是A1A与A1B1的中点，∴MN∥AB1.又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C.例3、如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．证明连接AF延长交BC于G，连接PG．在▱ABCD中，易证△BFG∽△DFA．∴GFFA＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG．而EF⊄平面PBC，PG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC．练习在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______．答案：平行题型二利用平行四边形证明线面平行例1、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．证明：取D1B1的中点O，连接OF，OB．∵OF 12B1C1，BE12B1C1，∴OF BE．∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO．∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1．例2、如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．证明方法一过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM＝FN．∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．又MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，∴B1EB1A＝B1GB1B，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD．题型三利用面面平行证明线面平行例. 如图，在四棱锥中，是平行四边形，，分别是，的中点．求证：平面．答案：证明：如图，取的中点，连接，，分别是，的中点，，，P ABCDABCD M N AB PCMN//PADCD E NE ME∵M N AB PCNE PD∴//ME AD//可证明平面，平面．又，平面平面，又平面，平面．题型四面面平行的证明例1、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO．又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO．题型五平行性质NE//PAD ME//PADNE ME E=∴MNE//PADMN⊂MNE∴MN//PAD例1、如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行和异面答案：A例2、ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．证明如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴AP∥GH．练习、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．跟踪训练1．如右图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上均有可能 答案：B[解析] ∵A 1B 1∥AB ，AB ⊂平面ABC ，A 1B 1⊄平面ABC ， ∴A 1B 1∥平面ABC.又A 1B 1⊂平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED∩平面ABC ＝DE ，∴DE ∥A 1B 1. 又AB ∥A 1B 1，∴DE ∥AB.2．已知直线l ，m ，平面α，β，下列命题正确的是( ) A ．l ∥β，l ⊂α⇒α∥βB ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α⇒α∥βC ．l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β⇒α∥βD ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝M ⇒α∥β 答案：D3、直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( )A．至少有一条 B．至多有一条C．有且只有一条 D．没有答案：B4、给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：B5．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案：A6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．答案：平行四边形[解析]∵平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH的形状是平行四边形．7. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：BC1∥平面CA1D.证明：如图所示，连接AC1交A1C于点O，连接OD，则O是AC1的中点．∵点D是AB的中点，∴OD∥BC1.又∵OD⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D.8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD 1B1．证明如图所示，连接SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．9．（本小题满分12分）在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形， M、N分别为AB、SC的中点，SA⊥底面ABCD．求证：//MN平面SAD；答案．证明（Ⅰ）： E 为SD 中点，连接AE ，NE ，因为M 、N 分别为AB 、SC 的中点，所以AM//EN ，AM=EN ，即四边形AMNE 是平行四边形，所以MN//AE ，可得//MN 平面SAD ；10. 一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ；(2)求多面体A －CDEF 的体积．答案 由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且AB =BC =BF=2，DE =CF=2，∴∠CBF =. (1)证明：取BF 的中点G ，连结MG 、NG ，由M 、N 分别为AF 、BC 的中点可得，NG ∥CF ，MG ∥EF ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，又MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面CDEF .(2)取DE 的中点H .∵AD =AE ，∴AH ⊥DE ， 在直三棱柱ADE-BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，平面A DE ∩平面CDEF=DE .∴AH ⊥平面CDEF.∴多面体A-CDEF 是以AH 为高，以矩形CDE F 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH =. S 矩形CDEF =DE ·EF =4，∴棱锥A-CDEF 的体积为2222V=·S 矩形CDEF ·AH =×4×= 解法2：13218222323A CDEF AED BFC A BFCAED V V V S AB S AB ---=-=⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△△BFC 11如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．答案 存在这样的点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1，此时点F 为AB的中点，证明如下：∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴AF ∥CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AD ∥CF ，又AD ⊂平面ADD 1A 1，CF ⊄平面ADD 1A 1，∴CF ∥平面ADD 1A 1.又CC 1∥DD 1，CC 1⊄平面ADD 1A 1，DD 1⊂平面ADD 1A 1，∴CC 1∥平面ADD 1A 1，又CC 1、CF ⊂平面C 1CF ，CC 1∩CF ＝C ，∴平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1.12. 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．答案 存在．证明如下：取棱PC 的中点F ，线段PE 的中点M ，连接BD .设BD ∩AC ＝O .连接BF ，MF ，BM ，OE .13132283∵PE ∶ED ＝2∶1，F 为PC 的中点，M 是PE 的中点，E 是MD的中点，∴MF ∥EC ，BM ∥OE .∵MF ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴MF ∥平面AEC ，BM ∥平面AEC .∵MF ∩BM ＝M ，∴平面BMF ∥平面AEC .又BF ⊂平面BMF ，∴BF ∥平面AEC .13. (北京)如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ；(2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由．答案 (1)证明：因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE ∥PC .又因为DE ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ，所以DE ∥平面BCP .(2)证明：因为D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点所以DE ∥PC ∥FG ，DG ∥AB ∥EF ，所以四边形DEFG 为平行四边形．又因为PC ⊥AB ，所以DE ⊥DG ，所以四边形DEFG 为矩形．(3)存在点Q 满足条件，理由如下：连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点．由(2)知，DF ∩EG ＝Q ，且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG .分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN .与(2)同理可证四边形MENG 为矩形，其对象线交点为EG 的中点Q ，且QM ＝QN ＝12EG ，所以EG 的中点Q 是满足条件的点．。
线面、面面平行的性质定理
• (4)相似三角形的周长比等于相似比. • (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似 三角形的传递性，即如果： △ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么 △ABC∽A2B2C2
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
3.平行四边形的判定定理
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例3、 如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D 是a 上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G点，若BD=4， CF=4，AF=5，求EG.
∵点A为直线a线外一点 ∴点A与直线a确定一个平面，平 面ABD 又∵a∥α ，α ∩平面ABD=EG ∴BD∥EG ∴<AGE= <ADB 又∵<A=<A ∴△AGE∽△ADB ∴EG/BD=AF/AC即 EG/BD=AF/AF+CF ∴EG/4=5/9 ∴EG=20/9
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
D
3．夹在两个平面间的三条线段，它们平行且 相等，则两平面的位置关系为________． 解析： 平行或相交，如图
答案：
平行或相交
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
必修2
定理的应用
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条平行 线段相等
D
α
A
C
β
B
必修2
第二章
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
3、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为 棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点. (1)求证：E、F、B、D四点共面； (2)求证：面AMN∥面EFBD.
面面平行的判定定理和性质定理
面面平行的判定定理和性质定理
面面平行的性质定理：
一、线线平行
1、同位角成正比两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所封盖，如果
内错角成正比，那么这两条直线平行。
2、内错角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁
内角互补，那么这两条直线平行。
3、同旁内角优势互补两直线平行。
二、线面平行
1、利用定义：证明直线与平面并无公共点；
2、利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
3、利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的'直线必平行于另一个平面。
平行平面间的距离处处相等。
已知：α∥β，ab⊥α，dc⊥α，且a、d∈α，b、
c∈β求证：ab=cd证明：连接ad、bc由线面垂直的性质定理可知ab∥cd，那么ab和cd
构成了平面abcd∵平面abcd∩α=ad，平面abcd∩β=bc，且α∥β∴ad∥bc（定理2）
∴四边形abcd是平行四边形∴ab=cd。
立体几何9-4线面、面面平行的判定与性质
则另一条也垂直于这个平面，故选B. 答案：B
15
[例2] (文)在四面体ABCD中，CB＝CD， AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中 点．求证：
为线段CE的中点，所以PN綊12DC.
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又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，
所以AM綊12DC.所以PN綊AM.
故四边形AMNP是平行四边形．所以 MN∥AP，
而AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，所以 MN∥DAE.
证法二：取BE中点G，连结GM、GN，
∵GN∥BC，BC∥DA，∴GN∥DA，又
(1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD.
16
解析：(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、 BD的中点，所以EF∥AD.
又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD， 所以直线EF∥平面ACD. (2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，
所以EF⊥BD. 在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，
的中点，求证：MN∥平面DAE.
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证明：(1)因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面 ABE，
所以AE⊥BC. 又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE， 所以AE⊥BF. 又BF∩BC＝B， 所以AE⊥平面BCE. 又(2B)证E⊂法平一：面取BDCEE的，中所点P以，A连E结⊥PAB，EP.N，因为点N
1
2
重点难点 重点：线面、面面平行的判定定理与性质定
理及应用 难点：定理的灵活运用
3
知识归纳
一、直线与平面平行