专题-角的扩充与弧度制-讲义设计
角的概念的推广和弧度制-PPT精品
在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而： M
Ø
N
新疆 源头学子小屋
/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@
新疆 源头学子小屋
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王新敞 wxckt@
例 2 若角 是第二象限角，则
（1） 是哪个象限角？ （2） 2 是哪个象限角？
2
分析： k 360 90 k 360 180 （ k Z ）
解：（1）因为角 是第二象限角，所以 k 360 90 k 360 180 则 k 180 45 k 180 90 (k Z )
2 可知 在第三象限；
2 综上述，角 是第二象限角，则 是第一象限角或第三象限角；
（2）因为 2k 360 180 22 2k 360 360 可知角 2 的终边应在第三象限或第四象限或 Y 轴的负半轴上；
例3
已知下列各个角：1
11
7
， 2
511
角的概念的推广和弧度制
例 1 已知角 45 ； （1）在区间[720, 0 ]内找出所有与角 有相同终边的角 ；
（2）集合 M
x
|
x
k 2
180
45,
k
Z
，
N
x
《弧度制》三角函数PPT课件
边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为 = +
π
· ,∈Z
2
,在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
变式训练3以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.
1
1
故扇形的面积 S=2rl=2 ×2×4=4(cm2).
(2)设圆心角弧度数为 α(0<α<2π),弧长为 l,半径为 r,则有
+ 2 = 10,
= 1,
= 4,
解得
或
1
= 4,
= 2.
=8
2
= 1,
当
时,α==8>2π,不符合题意,舍去;
=8
1
= 4,
当
解:在 0 到 2π 范围内,终边落在直线
3π
4
7π
3π
y=-x 上的角有两个,即 4 和 4 .
所有与 终边相同的角构成的集合为
3π
S1= = 4 + 2π,∈Z ,
7π
所有与 终边相同的角构成的集合为
4
7π
S2= = 4 + 2π,∈Z
3π
= = + (2 + 1)π,∈Z ,
三角函数
5.1.2
弧度制
-1-
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课标阐释
思维脉络
1.理解 1 弧度角的定义,了解
弧度制的概念.
2.能进行角度与弧度之间的
专题17任意角任意角三角函数及弧度制--2024年(新高考)数学高频考点重点题型(原卷版)
专题17任意角、任意角三角函数及弧度制一、核心体系任意角⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧角的概念⎩⎪⎨⎪⎧正角、负角、零角象限角、轴线角角的角度与弧度的转换：π＝180°弧长公式：l ＝|α|r扇形面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r2任意角的三角函数的定义⎩⎪⎨⎪⎧sinα＝y r ，cosα＝x r ，tanα＝y x符号规律特殊角的三角函数值二、关键能力1．了解任意角的概念(角的定义、分类、终边相同角)；了解终边相同的角的意义；了解弧 度制的概念，能进行弧度与角度的互化．2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，会利用单位圆中的三角函数线表示 任意角的正弦、余弦、正切，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号． 三、教学建议（1）三角函数的定义；（2）扇形的面积、弧长及圆心角；（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．四、自主梳理 1．角的概念的推广（☆☆☆）(1) 正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角;如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．(2) 象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．(3) 终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β=k ·360°+α，k ∈Z}． （4）象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 象限角：2．角的度量（☆☆☆）(1) 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角． (2) 弧度制与角度制的关系：1°=π180 弧度(用分数表示)，1弧度=180π度(用分数表示)． (3) 弧长公式：l =|α|r ． (4) 扇形面积公式：S =rl =|α|r 2． 3．任意角的三角函数的定义（☆☆☆）设角α的终边上任意一点的坐标为P (x ，y )(除原点)，点P 到坐标原点的距离为r (r )，则sin α=，cos α=，tan α=． 4．三角函数的定义域（☆☆☆）在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是R ，R ，． 5．三角函数的符号规律（☆☆☆）第一象限全“+”，第二象限正弦“+”，第三象限正切“+”，第四象限余弦“+”．简称：一全、二正弦、三切、四余弦． 6．三角函数线（☆☆☆）设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P1212y r xry x |,2k k Z πααπ∈⎧⎫≠+⎨⎬⎩⎭的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．五、高频考点+重点题型 考点一、角的扩充与表示例1-1. 已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件例1-2. 若α＝－2，则α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限例1-3.下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个训练题组一（角的终边与角的关系）1．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ= ．训练题组二（象限角）1.若角α的终边与240°角的终边相同，则角2α的终边所在象限是（ ） A ．第二或第四象限B ．第二或第三象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限训练题组三（角的相关概念辨析） 1.设与11π4-终边相同的角的集合为M ，则①5π2π,4M k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ；②M 中最小正角是5π4；③M 中最大负角是3π4-，其中正确的有____________.（选填序号）考点二、弧长公式扇、形面积公式例2-1.在平面直角坐标系中，已知点(cos ,sin )P t t ，(2,0)A ，当t 由3π变化到23π时，线段AP 扫过形成图形的面积等于（ ） A ．2 B ．3πC ．6π D ．12π例2-2.(2022·佛山三模)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A ．π6B ．π3 C ．3D ．3例2-3.(2022·襄阳模拟)已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2． 训练题组1.《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在挪铁饼的过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为πm 4，“弓”所在圆的半径约为1.25m ，则挪铁饼者的肩宽约为___________m .(精确到0.01m )2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12（弦⨯ 矢＋2矢），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为___________平方米（精确到1 1.73)≈≈考点三、三角函数定义例3-1若点()1M -在角α的终边上，则cos2=α（ ）A ．12- B ．12C ．D ．2例3-2如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P ，Q 从点A (1,0)出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π6弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π6弧度，则P ，Q 两点在第2 019次相遇时，点P 的坐标为________．训练题组一（定义求三角函数值）1.（江西高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______.训练题组二（三角函数线）1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45.求sin α的值；考点四：三角函数值的符号判定例4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( )A ．cos 2α>0B ．cos 2α<0C ．sin 2α>0D ．sin 2α<0训练题组1.若sin 0,tan 0αα<<，则角α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2.已知α是第二象限角，则（ ） A ．cos 0α>B ．sin 0α<C ．sin 20α<D ．tan 0α>θ()4,p yθsin 5θ=-3.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是() A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]巩固训练一、单项选择题1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．(2022·福建联考)时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为( )A ．143πB ．－143πC ．718πD ．－718π3．若α是第二象限角，则( )A ．cos(－α)>0B ．tan α2>0 C ．sin(π＋α)>0D ．cos(π－α)<04．平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边上一点P 绕原点顺时针旋转π6到达点Q (3,4)的位置，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝( ) A ．－35 B ．35 C ．－45D ．455．(2022·淄博模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 6． 若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为( )A.3π2B.3π4C.3π8D.3π167． 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，且cos θ＝－35，若点M (x ,8)是角θ终边上一点，则x 等于( ) A ．－12B ．－10C ．－8D ．－68．已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( ) A ．－33 B ．±33 C ．－32 D ．±32二、多项选择题9． 关于角度，下列说法正确的是( )A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则 α2是第一或第三象限角10．(2022·长沙长郡中学高三模拟)下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是( )A ．α＋β＝540°B ．α＋β＝360°C ．α＋β＝180°D ．α＋β＝90°11．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S 1，圆心角为α1，圆面中剩余部分的面积为S 2，圆心角为α2，当S 1与S 2的比值为5－12≈0．618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么( )A ．α1≈127．5°B ．α1≈137．5°C ．α2＝(5－1)πD ．α1α2＝5－12三、填空题12．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为_____．13．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．14．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__ ．15．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝________． 四、解答题16．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角(正角)为θ(弧度)． (1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？17．角α终边上的点P 与A (a ，2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y＝x对称，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ的值．。
弧度制说课稿3篇弧度制说课
弧度制说课稿3篇弧度制说课下面是我整理的弧度制说课稿3篇弧度制说课，以供借鉴。
弧度制说课稿1尊敬的各位领导、评委老师：大家晚上好！我说课的题目是《弧度制》。
下面我将从教材分析，教法与学法，教学过程，板书设计以及教学反思等五个方面对本节课进行阐述。
一、教材分析：1、本节课在教材中的地位和作用。
《弧度制》这节内容是选自北师大出版数学（基础模块）上册第五章第二节第一课时内容。
学生在初中时已学习了角度制的有关知识，通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。
弧度制下的弧长公式和扇形面积的计算在生活中有着广泛的应用，本节课的教学有利于学生数学思维能力的提高。
因此“弧度制”在三角函数这一章中具有承上启下的作用。
2、学生分析：学生在初中已经学过角的度量单位“度” 并且上节课学了任意角的概念，已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便。
3、教学目标：根据中等职业学校数学教学大纲要求，教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和职业学校学生就业的素质要求，结合学生的实际水平，“以能力为本位，以就业为导向”的教学指导思想组织教学，因此，制定本节课的教学目标如下：1）知识目标：（1）理解1弧度角的定义；（2）弧度制的定义及角度与弧度的换算。
（3）掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的换算。
2）能力目标：能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题。
3）情感目标：使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是却互相联系的、辨证统一的，从而进一步加强对辨证统一思想的理解。
4、根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况，学生对抽象的正弦函数性质缺乏感性认识。
因此：教学重点：使学生理解弧度的意义，能正确进行弧度与角度的换算。
弧度制教学设计教案
弧度制教学设计教案一、教材及内容分析本节课是普通高中实验教科书苏教版必修4第一章第一单元第二节内容。
本节课起着承上启下的作用——学生在初中已经学过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还为后继学习任意角的三角函数等知识作铺垫，因此本节课还起着启下的作用。
通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。
同时通过本节课学习学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，从而进一步加强学生对辩证统一思想的理解。
本节内容一课时完成。
二、重难点分析根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：1、理解并掌握弧度制的定义。
2、熟练地进行角度与弧度的相互转换。
3、弧长公式、扇形面积公式的应用。
难点：弧度的概念的理解。
三、目标分析１、知识技能目标（1）理解1弧度的角及弧度的定义。
（2）掌握角度与弧度的换算公式。
（3）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系。
（4）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
２、过程与方法通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。
３、情感态度与价值观通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
弧度制课件资料共28页
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做
单位来度量角，1 的角是如何定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度 制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到 一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
S=R2 n =1R2
360 2
又 αR=l，所以
S = 1 lR 2
例1. 扇形AOB中， »A B 所对的圆心角是60º，
半径是50米，求 的»A长B l（精确到0.1
米）。
解：因为60º=
3
,所以
l=α·r=
3
×50≈52.5
.
答： »A B 的长约为52.5米.
终边相同的角
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k3 6 ， k 0Z
它们构成一个集合：
S = | = k 3 , k 6 Z 0
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k， k Z
它们构成一个集合：
S = |= 2 k ,k Z
例3 计算：
（1） sin
16 （1） 3
；（2）315；（3） 11 ．
7
例5 用弧度制表示
（1）终边在 x轴上的角的集合 （2）终边在 y轴上的角的集合
练习 ： 将下列各角 0到 化 2的 成角加2k上
（kZ）的形式。
（1）23（2） 23（3） 45（ 04） 450
3
3
高中数学——角概念的推广与弧度制(教案)
角概念的推广与弧度制【知识导图】知识讲解知识点1 角的有关概念1、从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.2、从终边位置来看，可分为象限角与轴线角.3、若β与α是终边相同的角，则β用α表示为()2k k Z βπα=+∈.知识点2 角度与弧度1、弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是l rα=. 3．角度与弧度的换算①1180rad π︒=；②1801rad π⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭. 4．弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为()rad α，半径为r ，则l r α=，扇形的面积为21122S lr r α==. [易错提醒]角度制与弧度制不可混用角度制与弧度制可利用180rad π︒=进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.知识点3 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么sin y α=，cos x α=，y tan xα=角的概念与弧度制任意角角的概念的推广角的分类终边相同的角弧度制定义弧度制与扇形任意角的三角函数三角函数的定义三角函数的符号三角函数线2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是()1,0. [方法技巧]三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.知识点4 三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos sin αα，，即()P cos sin αα，，其中cos OM α=，sin MP α=，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan AT α=．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余例题讲解【例题1】与263-︒角终边相同的角的集合是（ ）A ． {α|α=k ⋅360°+250°,k ∈Z }B ． {α|α=k ⋅360°+197°,k ∈Z }C ． {α|α=k ⋅360°+63°,k ∈Z }D ． {α|α=k ⋅360°−263°,k ∈Z } 【答案】D当α终边相同的角与α相差360°的整数倍，所以，与−263°角终边相同的角的集合是{α|α=k ⋅360°−263°,k ∈Z }，故选D ． 【例题2】9°=（ ）A ． π36 B ． π20 C ． π10 D ． π9 【答案】B由角度制与弧度制的转化公式可知：9∘=9180π=π20.本题选择B 选项.【例题3】已知0240的圆心角所对的弧长为8m π，则这个扇形的面积为_______2m . 【答案】24π04240π3=弧度．设扇形所在圆的半径为r ，由题意得483r ππ=⋅，解得6r =． 所以扇形的面积为186242S ππ=⨯⨯=．【例题4】如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB =2π3，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D ．若CD 的长为a ，则ACB 与弦AB 所围成的弓形ACB 的面积为______________.【答案】(4π3−√3)a 2设扇形的半径为r ，则在△OAD 中，OA =r,OD =r −a,∠OAD =π6， ∴OD =OA ∙sin π6，即r −a =r2， 解得r =2a ．∴扇形面积为S 扇形OAB =13×π×(2a)2=4π3a 2，又S △OAB =12∙AB ∙OD =12×2√3a ×a =√3a 2， ∴S 弓形ACB =S 扇形OAB −S △OAB =(4π3−√3)a 2【例题5】不等式sin x ≥____________________． 【答案】2|22, 33x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】233sinsin ππ== ∴结合正弦函数的图象及正弦函数的性质可得不等式2sinx ≥的解集为2{|22}33x k x k k Z ππππ+≤≤+∈，课堂练习【基础】1. 下列各个说法正确的是（ ）A ．终边相同的角都相等B ．钝角是第二象限的角C ．第一象限的角是锐角D ．第四象限的角是负角 【答案】B对于选项A ，与角α终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k ∈Z}，故终边相同的角相差2π的整数倍数，所以终边相同的角都相等不对，故选项A 不对；对于选项B ，第二象限角的集合为{α|π2+2kπ<α<π+2kπ,k ∈Z} ，当k =1时，集合为{α|π2<α<π} ，即为钝角的范围.所以选项B 正确.对于选项C ，π4+2π是第一象限角，但其不是锐角，故选项C 错误； 对于选项D ，7π4是第四象限角，但不是负角，故选项D 错误. 故选B .2.256π-是（ ） A ． 第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角【答案】D 由题意得25466πππ-=--， ∴256π-的终边和角6π-的终边相同， ∴256π-是第四象限角． 故选D ．3. 设集合180452|k M x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，，180454|k N x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，，那么( ) A ． M N = B ． N M ⊆ C ． M N ⊆ D ． M N ⋂=∅ 【答案】C由题意可得，(){}18045||2145,2k M x x k Z x x k k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈==+⋅︒∈⎨⎬⎩⎭， 即M 为45°的奇数倍构成的集合，又(){}18045|145,4|k N x x k Z x x k k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈==+⋅︒∈⎨⎬⎩⎭， ，即N 为45°的整数倍构成的集合，M N ⊆，故选：C ．【巩固】4.已知扇形的周长为4，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角α等于_________ 【答案】2设扇形的半径为r ，则周长为24r r α+=， ∴面积为()22221142211122S r r r r r r α⎛⎫==-=-=--+≤ ⎪⎝⎭扇形， 当且仅当1r =时取等号，此时2α=． 故答案为：2．5.已知点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，则2sinα+cosα=__________． 【答案】25.∵m <0，∴r =√(4m)2+(−3m)2=−5m ， ∴sinα=y r =−3m −5m=35，cosα=4m −5m=−45，∴2sinα+cosα=2×35−45=25．6.利用三角函数线，sinx ≤12的解集为___________． 【答案】()5132266|x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭如图，作出满足12sinx =的角的正弦线11M P 和22M P ，226M OP π∠=，1156M OP π∠=．当角的终边位于图中阴影部分时，正弦线的大小不超过12，因此，满足12sinx ≤的解集为()5132266|x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，故答案为：()5132266|x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭．【拔高】7. 设α为第四象限角，其终边上的一个点是(,P x ，且cos 4x α＝，求sin α和tan α．【答案】sin α-＝tan α-＝利用余弦函数的定义求得x ，再利用正弦函数的定义即可求得sin α的值与tan α的值．∵α为第四象限角，∴0x >，∴r =，∴cos 4x x r α==＝，∴x =r sin y r α==＝，tan y x α==＝． 8. 扇形MON 的周长为16cm .（1）若这个扇形的面积为12cm 2，求圆心角的大小；（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长MN . 【答案】(1)23或6；(2)答案见解析.设扇形MON 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， （1）由题意可得{2r +l =1612lr =12 解得{r =6l =4 或{r =2l =12∵α＝l r ∴α＝23或6. （2）∵2r ＋l ＝16∴S 扇＝12l ·r ＝12(16−2r)r =12(16−2r)r =−r 2+8r,r ∈(0,8)， ∴当r ＝4时，l =8，α＝lr =2时，弦长MN ＝4sin 1×2＝8sin 1.小结1．角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯．象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础．2．三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法．课后练习【基础】1. 将67o 30′化为弧度为____________. 【答案】3π8 ∵67o 30′=67.5o ， ∴67o 30′=67.5×π180=3π8．2. 已知扇形的半径为4cm ，圆心角为π4，则扇形面积为_________cm 2. 【答案】2π∵扇形的半径为4cm ，圆心角为π4， ∴弧长l =4×π4=π,∴这条弧所在的扇形面积为S =12×π×4=2πm 2，故答案为2π. 3. 已知角θ的终边上一点()()3,40a P a a ≠，则sin θ=________. 【答案】45sin θ=±. 3x a =，4y a =，5r a ∴==.此处在求解时，常犯5r a =的错误，出错的原因在于去绝对值时，没有对a 进行讨论. (1)当0a >时，5r a =，455y sin θ∴==. (2)当0a <时，5r a =-，455y sin θ∴==- ∴45sin θ=±. 【巩固】4.下列判断正确的是__________．（填序号） ①sin3080>0；②cos(−3100)<0；③cos(−43π6)>0；④sin212<0.【答案】④由题意结合诱导公式可得：sin308∘=sin (360∘−52∘)=−sin52∘<0，①错误； cos (−310∘)=cos (50∘−360∘)=cos50∘>0，②错误； cos (−436π)=cos (56π−8π)=cos 56π<0，③错误；212∈(3π,72π)，则sin 212<0，④正确；综上可得判断正确的序号为④.5.已知角α的终边经过P (1,2),则tanα⋅cosα等于__________ 【答案】2√55角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，若角α终边经过点P (1,2)，则x =1，y =2，r =|OP |=√5，∴sinα=y r=√5=x r=√5则tan α⋅cos α=sinαcosα⋅cos α=√5=2√55.即答案为2√55. 6.若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积【答案】⎝⎛⎭⎫2π3－3 设弓形面积为S 弓．由题知l ＝2π3cm ， S 弓＝S 扇－S △＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝⎝⎛⎭⎫2π3－3(cm 2)． 【拔高】7.已知α是第三象限角，求2α所在的象限 【答案】当α是第三象限角时，2α是第二或第四象限角322()2k k k Z ππαππ+<<+∈，32()24k k k Z παπππ∴+<<+∈．当()2k n n Z =∈时，322224n n παπππ+<<+，2α是第二象限角， 当21()k n n Z =+∈时，3722224n n παπππ+<<+，2α是第四象限角， 综上知，当α是第三象限角时，2α是第二或第四象限角． 8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA,OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是__________．【答案】12−1π如图，设两个半圆的交点为C ，且以AO 为直径的半圆以D 为圆心，连结OC 、CD ，设OA =OB =2，则弓形OMC 的面积为S 弓形OMC =S 扇形OCD −S Rt∆DCO =14⋅π⋅12−12×1×1=π4−12，可得空白部分面积为S 空白=2S 半圆AO −2S 弓形OMC =2×12⋅π⋅12−(π2−1)=π2+1， 因此，两块阴影部分面积之和S 阴影=S 扇形OAB −S 空白=14π⋅22−(π2+1)=π2−1可得在扇形OAB 内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P =S 阴影S 扇形AOB=π2−1π=12−1π，故答案为：12−1π. 9.xtan x 有意义？【答案】()2,22,2122k k k k ππππππ⎡⎫⎛⎤+⋃++⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦sin 0x ≥所以x 在y 轴上半轴，又因为tan x 有意义2x k ππ≠+所以易求得x 的范围()2,22,2122k k k k ππππππ⎡⎫⎛⎤+⋃++⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦。
角的推广及弧度制教案
主备教师： 彭介顾 审核：高一备课组 授课时间： 年 月 日 星期北师大版数学必修4 第一章《三角函数》 课后回忆 课题：§2 角的概念的推广 课时： 1 教学目标（一） 知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 重点与难点重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写 教学方法采用阅读自学与启发引导相结合. 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：1．角的有关概念： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．② 角的名称：③角的分类：④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度?正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边终边顶点AO B19是第三象限角3315316,666是第二象限角,215.积公式利用弧度制证明扇形面lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为∴扇形的圆心角大小为R l rad, ∴扇形面积R l S =。
《角的概念推广、弧度制、任意角的三角函数讲座》教案1
第四章 三角函数【教学内容、目标】4.1 角的概念推广 4.2 弧度制4.3 任意角的三角函数【学习指导】1．概述：初中学过的三角函数是建立在锐角或直角集合上的、从角的集合到数集的一个映射。
显然这个定义与我们所研究的其它函数（定义在实数集R 或其子集上的映射）有所差别，因此，我们面临的一个迫切问题是：三角函数的定义域也应是R 或R 的子集。
因此，我们通过弧度制建立起如下关系：2．角的集合与实数集之间可以通过“弧度制”建立一一映射；用“旋转产生角”的观点（定义）可以产生“正角”，“负角”，“零角”。
3．关于象限角（1）并不是所有的角都是象限角。
如角217π，其终边落在y 轴正半轴上，这类角我们可以．．叫做“轴向角” （2）一个角若不是“轴向角”必为“象限角”（3）我们记住坐标轴的轴向角，可以方便地写出象限角的具体范围，如图：Ⅰ：2k π<α<2k π+2πⅡ：2k π+2π<α<2k π+π Ⅲ：2k π+π<α<2k π+23π（以上k ∈Z ） Ⅳ：2k π+23π<α<2k π+2π 注意：第四象限角的范围不要写错，左端点的值应小于右端点的值。
（4）象限角的具体范围写出后，可以用来算2α，2α等角的范围。
y（5）象限角的实际意义是无数多个区间的并集。
如第一象限角，实际上其对应的范围是)22,2(πππ+∈k k U ZK因此，如果有人把第一象限角的范围写成（0，2π）就错了。
4．关于三角函数（1）六个三角函数*，见书上的定义（P 13-P 16） （2）关于三角函数的定义域、值域 举例说明，如cos α=22y x x + ∵|x|≤22y x + ∴|cos α|≤1而x 2+y 2≠0 ∴α∈R cos α∈[-1,1]（3）三角函数值在各象限内的符号（即三角函数的正值区间）sin α,csc α在第一、二象限为正（包括一、二象限的分界线——y 轴正半轴,下同） cos α,sec α在第一、四象限为正tan α,cot α在第一、三象限为正（不含轴）【典型例题】例1．在扇形AOB 中，∠AOB=90°，弧AB 长为l ，求此扇形内切圆的面积。
《弧度制》教学设计、导学案、同步练习
第五章三角函数《5.1.2弧度制》教学设计【教材分析】本节课是普通高中教科书人教A版必修第一册第五章第一节第二课，本节课起着承上启下的作用:在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。
通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带很大方便。
【教学目标与核心素养】【教学重难点】1.教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明；2.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。
【教学过程】键。
注:常规写法①用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，不必写成小数．②用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数.③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:630π+︒。
填写下列表中特殊角的弧度数或度数。
角度 00 300600120135270弧度4π2π65πππ23. 角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系，任意角的集合实数集R例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1）2R 21S 2αα==）（R l lR21S 3=）（。
（其中R 是扇形的半径，l 是弧长，为圆心角（)20παα<<，S 是扇形的面积）。
三、达标检测【教学反思】由于弧度制是一个新的角单位制的概念,主要是让学生理解弧度制的意义,重点是让学生能正确进行弧度制与角度制的换算,并理解任意角的集合与实数集之间建立一一对应的关系,关键是让学生学会类比思想,并让学生学会在弧度制下的弧长公式,及扇形的面积公式。
学生在学习弧度制的时候主要是对弧度制理解的不够透彻,可能是因为新的概念,所以有大部分学生还不够熟悉,在讲解习题的时候我就逐层深入的讲解,所以学生反映还是不错。
弧度制说课稿课件
增加习题难度
设计不同难度的习题，满足不同层 次学生的学习需求，提高学生对弧 度制的掌握程度。
加强实践教学
增加实验环节，让学生通过实际操 作深入理解弧度制的概念与应用， 提高学习效果。
THANKS
谢谢
通过具体例子，让学生了解1弧度约等于57.3角 度，并掌握角度制与弧度制之间的转换公式。
3
弧度制的应用场景
通过实例展示弧度制在圆弧、球面等几何问题中 的运用，强调弧度制在解决实际问题中的重要性 。
教学实践：如何让学生更好地理解弧度制
通过实例演示
选取具体的几何图形，如圆、扇形等，让学生亲手计算角度和弧 度，加深对弧度制的理解。
角度制的优点
直观易理解，方便使用。
角度制的缺点
在科学计算中不够精确，不能 很好地描述物理现象。
05
CHAPTER
弧度制的教学设计建议
教学目标的设定
01
02
03
知识目标
理解弧度制的概念、弧度 与角度的换算、弧度制在 角度计算中的应用。
能力目标
能够熟练进行弧度与角度 的换算、在角度计算中运 用弧度制。
弧度制在复数中的应用
详细解释如何用弧度制表示复数，以及弧度制在复数运算中的应用。
04
CHAPTER
与角度制的比较
角度制的定义与性质
角度制的定义
以度作为单位，1度等于360分之一圈，即57.3角度制是量度角的制度。
角度制的性质
简单易用，直观易理解，但在科学计算中不够精确。
弧度制与角度制的换算关系
简要介绍极坐标系的概念和构成，为后续讲解做铺垫。
弧度制在极坐标系中的表示
详细解释如何用弧度制表示极坐标系中的点，以及弧度制在极坐标 系中的应用。
最新弧度制说课稿PPT课件
▪ 3、固定支撑架，暴露并固定声门:协助将喉 架连接部一端固定于喉撑开器上，另一端用 中单垫好放于患者胸前，中间调节螺丝锁 紧。（注意：不能太靠近头端，以免患者头 后仰时损伤喉部）。
学法指导
（1）引导学生积极参与教 学活动，注重学生主体性的 发挥.
（2）引导学生自学，讨 论，交流和展开想象. （3）让学生当堂训练， 实践出真知.
六、说教学过程
1、创设情境，引入新课 2、动手实验，探究发现 3、形成概念，构建知识 4、例题分析，当堂训练 5、课堂反思，作业布置
1、创设情景，引入新课
考虑到学生的差异，将 作业设计了两个层次：1、 基本训练题 ；2、思维难度 较高的题.真正尊重了学生的 差异，因材施教，让每个层 次的学生都能够得到发展.
七、说板书设计
八、说教学反思
“数学实验”是教师放电影还是让学生动手实践？很多老 师选择了前者，是因为“数学实验”操作起来要做充分的 准备，很麻烦，比较耗时间，甚至有难度.但是我认为， “纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，学生的亲身体验， 是学生认知过程中不可替代的组成部分，所以我认为设计 “数学实验”这个环节很有必要，符合学生从感性到理性 的认知规律.
结果：同样的圆心角所对的弧长 与半径之比是常数.
显然当半径给定之后，弧长和圆 心角的大小是一一对应的，所以我们 可以用弧长的大小来度量角的大小.
设计意图
在事先充分准备的前提 下，让学生分组动手实验： 用圆规作出四个同心圆，用 三角板作出一个角，用细绳 测量出弧长，计算弧长与半 径的比值.在这个过程中让学 生亲身感受到弧长与半径比 值的规律，极大地激发了学 生的求知欲，为引出弧度数 以及1弧度角的概念奠定基 础，从而突破了弧度制理解 的难点.
专题 角的扩充与弧度制-讲义
学科：数学专题：角的扩充与弧度制知识引入1、在这本书的第一节，我们要接触一个新单位，也可以理解为学习这部分的心的语言. 什么是一弧度？对比其他单位(比如“米”)，谈谈理解. 什么是1米？单位1的要求是什么？2、在高中，我们把“角”放入坐标系，把几何代数化.重难点易错点解析角的概念的扩充把角放入坐标系，默认顶点与原点重合，始边与x 轴正向重合. 题一题面：怎么理解角1820︒及1820-︒ (1)1820︒与 的终边相同；(2)与1820︒终边相同的角的集合为 ； (3)与1820︒终边共线的角的集合为 ； (4)设α与1820-︒终边相同，则2α为第 象限角.记忆常用角的弧度数金题精讲题一题面：角,αβ终边关于y 轴对称，若30α=︒，则β= . 题二题面：时针走过了1小时40分钟，则分钟转过的角度为________.题三题面：已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．题四题面：某扇形周长为定值m(0)m ，则扇形中心角为多少时，其面积最大？思维拓展题一题面：钟表上，时针、分针重合到下次重合，时针转过的弧度数是.讲义参考答案重难点易错点解析 题一答案：(1)20°(答案不限) (2){|202,}k k αα=+π∈Z(3) {|20,}k k αα=+π∈Z (4)二、四金题精讲题一 答案：52,6k k π+π∈Z 题二答案：－600° 题三答案：(1){x |k ·360°－135°≤x ≤k ·360°＋135°，k ∈Z }.(2) {x |k ·180°＋30°≤x ≤k ·180°＋60°，k ∈Z }. 题四 答案：2思维拓展题一 答案：211π-。
第17讲-角与弧度制、三角函数的概念(讲义版)
第17讲-角与弧度制、三角函数的概念一、 考情分析1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性；2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．二、 知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式角α的弧度数公式 |α|＝lr (弧长用l 表示) 角度与弧度的换算1°＝π180 rad ；1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.[微点提醒]1.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.3.象限角的集合4.轴线角的集合三、 经典例题考点一 角的概念及其集合表示【例1-1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 【解析】 (1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.规律方法 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.考点二弧度制及其应用【例2-1】(经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝π3，R＝10 cm，求扇形的面积.【解析】由已知得α＝π3，R＝10，【迁移探究1】若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. S弓形＝S扇形－S三角形＝50π－7533(cm2).【解析】由已知得，l＋2R＝20，即l＝20－2R(0<R<10).所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.规律方法 1.应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量. 考点三 三角函数的概念【例3-1】 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π3，则sin(π＋α)＝( )A.－32B.－12C.12D.32(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角【解析】 (1)易知sin π3＝32，cos π3＝12，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.由三角函数的定义可得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin(π＋α)＝－sin α＝－12.(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角. 规律方法 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值. 2.三角函数线的应用问题的求解思路确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解. [方法技巧]1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP |＝r 一定是正值.2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.3.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.4.相等的角终边相同，但终边相同的角不一定相等.5.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.四、 课时作业A ．{|2,}4k k Z πααπ=+∈ B ．{|,}4k k Z πααπ=+∈ C ．{|2,}4k k Z πααπ=±∈D ．{|,}4k k Z πααπ=±∈A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π A ．6πB ．4π C ．3π D ．2πA ．第一象限角B ．第一象限角或第二象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第一象限角或第四象限角A ．5,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．52,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．4,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．42,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭A ．AB = B ．BC =C ．A C =D ．A D =A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A．223B．13C．13-D．223-A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A．5B．5-C．25D．55-A．15B．15-C．25-D．25A．2sin1B．4sin1C．2sin2D．4sin2A．33-B．33±C．32-D．32±A．0 B．3C．1 D．3A 125-B．35+C．51+D．45+A．76π-是第三象限角B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为32πC ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=- D ．若角α为锐角，则角2α为钝角A ．(cos )1f α=-B ．(sin )1f α=C ．1((cos ))2f f α= D ．((sin ))2f f α=(1)若α＝75°，R ＝12 cm ，求扇形的弧长l 和面积；（1）（2）m 时，求方程的解；（1）当1（2）要使此方程有解，试确定m的取值范围．。
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制教案 新人教A版必修4(1)(2021年整理)
高中数学第一章三角函数1.1.2 弧度制教案新人教A版必修4(1) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.1.2 弧度制教案新人教A版必修4(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.1.2 弧度制【教学目标】①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算。
②认识弧长公式，能进行简单应用。
对弧长公式只要求了解，会进行简单应用,不必在应用方面加深。
③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系,培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【教学重难点】重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.难点：弧度的概念及其与角度的关系.【教学过程】（一)复习引入.复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题:①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？② 1°的角是如何定义的?弧长公式是什么?③角的范围是什么?如何分类的？（二）概念形成初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒,它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：(1)角的弧度制是如何引入的？(2）为什么要引入弧度制？好处是什么？(3)弧度是如何定义的？（4）角度制与弧度制的区别与联系？ 2．学生动手画图来探究： (1)平角、周角的弧度数(2）角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关? （3)角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？ 3．角度制与弧度制如何换算?3602π=rad 180π=rad1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈ 归纳：把角从弧度化为度的方法是:把角从度化为弧度的方法是:例(1)0252 （2)0/1115 （3） 030 (4）'3067︒解:（1） π57 （2）π0625.0 （3) π61（4) π375.0变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1）22 º30′ （2）—210º （3)1200º解:(1） π81 （2）π67- (3) π320例2、把下列各角从弧度化为度：（1）35π （2) 3。
高三数学复习课件：角的推广与弧度制(共22张PPT)
例1、求在 0 到 360 （ 0到2 ）范围内，与下列各角终边相同的角
（1）、 950 12
（2）、139
129 48
1
3
终边相同的 角1、终边相同的角与相等角的区别
终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
2、象限角、象间角与区间角的区别 y
2
2
则α 角属于( C )A.第－象限;B.第二象限;
2
C.第 三 象 限; D.第 四 象 限.
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.
例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度 ：
解：分针所转过的角度 1 20 360 480
以方便地进行换算. 应熟记一些特殊角的
度数和弧度数. 在书写时注意不要同时
混用角度制和弧度制
180 180 1 rad
1
rad
180
57.30
1 式.
lr
l
n 360
2
r
n
180
r
S r2 1 r2 1l r
22
2
小结：
本节课你学到了什么？
作业：
学业水平考试试题选编（9）
（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含
角在内）的集合为. k 360, k Z
（4）角在“到”范围内，指0 360
任意角的三角函数
y
1、角的概念的推广
o
的终边
的终边
正角 零角
1.1.2 弧度制 教案(优秀经典公开课比赛教案)
1.1.2 弧度制一、教学目标：知识与技能：1.通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．2.掌握弧度与角度的转换，会推导和运用弧度制下的扇形弧长和面积公式。
过程与方法：通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．情感、态度与价值观通过类比长度、重量的不同度量制，让学生体会类比思想方法的运用，帮助学生形成科学的世界观、价值观．二．重点难点重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．难点：弧度的概念及其与角度的关系．三、教材与学情分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位进行度量，并且一度的角等于周角的1360，记作1°.通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点的目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式．使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的．进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点．四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程1.导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的．无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度换算的关键．在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应的，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样．每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．2.推进新课（1）提出问题：问题①：在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？问题②：我们从度量长度和重量上知道，不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同的单位制呢？活动：教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作 1 rad.如图1中，的长等于半径r，AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角，即lr＝1图1讨论结果：①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值，与所取圆的半径大小无关．②能，用弧度制．（2） 提出问题：问题①：作半径不等的甲、乙两圆，在每个圆上作出等于其半径的弧长，连接圆心与弧的两个端点，得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？问题②：如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？活动：教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，提问学生归纳的情况，让学生找出区别和联系．教师给予补充和提示，对表现好的学生进行表扬，对回答不准确的学生提示和鼓励．引入弧度之后，应与角度进行对比，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．教师要强调为了让学生习惯使用弧度制，本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制．讨论结果：①完全重合，因为都是1弧度的角．②α＝l r ；将角度化为弧度：360°＝2π rad,1°＝π180 rad≈0.017 45 rad ，将弧度化为角度：2π rad ＝360°，1 rad ＝(180π)°≈57.30°＝57°18′.弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α rad ＝(180απ)°，n °＝n π180(rad)．（3） 提出问题：问题①：引入弧度之后，在平面直角坐标系中，终边相同的角应该怎么用弧度来表示？扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？问题②：填写下列的表格，找出某种规律.的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr逆时针方向r 1 2r －2 －π 0 180°360°活动：教师先给学生说明教科书上为什么设置这个“探究”？其意图是先根据所给图象对一些特殊角填表，然后概括出一般情况．教师让学生互动起来，讨论并总结出规律，提问学生的总结情况，让学生板书，教师对做正确的学生给予表扬，对没有总结完全的学生进行简单的提示．检查完毕后，教师做个总结．由上表可知，如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数的绝对值是lα.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．教师给学生指出，角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k ·360°＋π3或者2k π＋60°一类的写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2k π(k ∈Z )的形式．如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系．图2讨论结果：①与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2k π(k ∈Z )的形式．弧度制下关于扇形的公式为l ＝αR ，S ＝12αR 2，S ＝12lR .②的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr逆时针方向π180°（4）例1下列命题中，真命题是( )A ．一弧度是一度的圆心角所对的弧B ．一弧度是长度为半径的弧C ．一弧度是一度的弧与一度的角之和D ．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位活动：本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，以达到熟练掌握定义．从实际教学上看，弧度制不难理解，学生结合角度制很容易记住．根据弧度制的定义：我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角．对照各项，可知D 为真命题． 答案：D点评：本题考查弧度制下角的度量单位：1弧度的概念.例2象限：①－15π4；②32π3；③－20；④－2 3.活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律．即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是：{β|β＝k π，k ∈Z }，{β|β＝π2＋k π，k ∈Z }．第一、二、三、四象限角的集合分别为：{β|2k π<β<2k π＋π2，k ∈Z }， {β|2k π＋π2<β<2k π＋π，k ∈Z }，{β|2k π＋π<β<2k π＋3π2，k ∈Z }， {β|2k π＋3π2<β<2k π＋2π，k ∈Z }．解：①－15π4＝－4π＋π4，是第一象限角． ②32π3＝10π＋2π3，是第二象限角．③－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角． ④－23≈－3.464，是第二象限角． 点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2k π＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k ×6.28＋α，k ∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与π2，π，3π2比较大小，估计出角所在的象限.活动：本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角，并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领，最终达到熟练掌握．从实际教学来看，用弧度制解决角的问题很容易但却难掌握，很有可能记错或者混淆或者化简错误，学生需多做些这方面的题来练基本功．可先让学生多做相应的随堂练习，在黑板上当场演练，教师给予批改指导，对易出错的地方特别强调．对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生的练习操作中一一纠正，这对以后学习大有好处．解：由已知，得7θ＝2k π＋θ，k ∈Z ，即6θ＝2k π.∴θ＝k3π.又∵0<θ<2π，∴0<k 3π<2π.∵k ∈Z ，当k ＝1、2、3、4、5时，θ＝π3、2π3、π、4π3、5π3.点评：本题是在一定的约束条件下，求与角α终边相同的角，一般地，首先将这样的角表示为2k π＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，然后在约束条件下确定k 的值，进而求适合条件的角．例4已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．活动：这是一道应用题，并且考查了函数思想，教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤，教师提问学生对已学知识的掌握和巩固，并对回答好的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励．教师补充，函数法求最值所包括的五个基本环节：(1)选取自变量；(2)建立目标函数；(3)指出函数的定义域；(4)求函数的最值；(5)作出相应结论．其中自变量的选取不唯一，建立目标函数结合有关公式进行，函数定义域要根据题意确定，有些函数是结构确定求最值的方法，并确保在定义域内能取到最值．解：设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S .由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r .∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r ＝－(r －a 4)2＋a 216. ∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a 2.∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a 2，∴α＝lr ＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积取最大值a 216.点评：这是一个最大值问题，可用函数法求解，即将扇形的面积S 表示成某个变量的函数，然后求这个函数的最大值及相应的圆心角.六、课堂小结1.由学生总结弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记．2.重要的一点是，同学们自己找到了角的集合与实数集R 的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，表扬学生能总结出引入弧度制的好处，这种不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质，会使我们终生受用，这样持之以恒地坚持下去，你会发现数学王国的许多宝藏，以服务于社会，造福于人类．七、课后作业1.课本习题1.1 A组6、8、10.2.课后探究训练：课本习题1.1 B组题．3.课时练与测八、教学反思本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后有些题怎么做就怎么难受．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体．对优等生，重在引导他们变式思维的训练，培养他们求同思维、求异思维的能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性．鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程．。
弧度制说课稿课件
02
弧度制的性质
弧度制的度量单位
弧度（radian）
弧度与角度的换算
是弧度制的度量单位，用于表示角的 大小。
可以通过换算公式将角度转换为弧度 或将弧度转换为角度。
弧度与角度的关系
1 弧度等于 180/π 度，即约为 57.30 度。
弧度制的几何意义
圆心角与弧长的关系
在同一个圆或等圆中，一个圆心角所对应的弧长等于该圆心角的 弧度数与半径的乘积。
弧度制说课稿课件
目录 Contents
• 引言 • 弧度制的性质 • 弧度制与三角函数 • 弧度制在解决实际问题中的应用 • 弧度制的意义与价值
01
引言
弧度制的定义
01
弧度制是以弧长与半径之比来度 量角的大小的一种制度。
02
它与角度制不同，角度制是以度 、分、秒为单位来度量角的大小 。
弧度制与角度制的关系
弧度制使得科学研究中的数据分析和可视化更加方便。
弧度制在实际应用中的优势
弧度制在导航、航空、航海等领域中 用于描述方向和角度，具有国际标准 化的优势。
弧度制使得与角度有关的计算更加简 单，可以减少误差和提高工作效率。
弧度制使得角度测量更加精确，特别 是在需要高精度测量的领域如机械制 造、卫星定位等。
弧度制是现代数学教育中的重 要内容，它有助于学生理解角 度与洁，方便学生记忆和应用 。
弧度制可以帮助学生更好地理 解三角函数和复数等其他数学 领域的知识。
弧度制在科学研究中的价值
在物理学、工程学和许多其他科学领域中，弧度制被广泛用于描述角度和旋转。
弧度制使得科学计算更加精确和可靠，特别是在处理与圆有关的物理问题和工程问 题时。
余弦函数
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专题五：角的扩充与弧度制
知识引入
1、在这本书的第一节，我们要接触一个新单位，也可以理解为学习这部分的心的语言. 什么是一弧度？对比其他单位(比如“米”)，谈谈理解. 什么是1米？单位1的要求是什么？
2、在高中，我们把“角”放入坐标系，把几何代数化.
重难点易错点解析
角的概念的扩充
把角放入坐标系，默认顶点与原点重合，始边与x 轴正向重合. 题一
题面：怎么理解角1820︒及1820-︒ (1)1820︒与 的终边相同；
(2)与1820︒终边相同的角的集合为 ； (3)与1820︒终边共线的角的集合为 ； (4)设α与1820-︒终边相同，则2
α
为第 象限角.
弧度制
记忆常用角的弧度数
金题精讲
题一
题面：角,αβ终边关于y 轴对称，若30α=︒，则β= . 题二
题面：时针走过了1小时40分钟，则分钟转过的角度为________.
题三
题面：已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．
题四
题面：某扇形周长为定值m(0)
m ，则扇形中心角为多少时，其面积最大？
思维拓展
题一
题面：钟表上，时针、分针重合到下次重合，时针转过的弧度数是.
讲义参考答案
重难点易错点解析 题一
答案：(1)20°(答案不限) (2){|202,}k k αα=+π∈Z
(3) {|20,}k k αα=+π∈Z (4)二、四
金题精讲
题一 答案：
5
2,6
k k π+π∈Z 题二
答案：－600° 题三
答案：(1){x |k ·360°－135°≤x ≤k ·360°＋135°，k ∈Z }.
(2) {x |k ·180°＋30°≤x ≤k ·180°＋60°，k ∈Z }. 题四 答案：2
思维拓展
题一 答案：211
π-。