高考数学全国卷分类汇总及分析

圆锥曲线
1．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E .
(1)求E 的方程；
(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且O A →·O B →
＝－16，求证：直线AB 恒过定点．
(1)解 设P (x ，y )，则x 2＋(y －2)2＝(y ＋1)＋1，∴x 2＝8y .∴E 的方程为x 2＝8y .
(2)证明 设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b .
O A →·O B →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16，∴b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0,4)．
2．如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．
(1)解 由题意，可得e ＝c a ＝22，将(1，2)代入y 2a 2＋x 2b 2＝1，得2a 2＋1b 2＝1，又
a 2＝
b 2＋
c 2，
解得a ＝2，b ＝2，c ＝2，
所以椭圆C 的方程为y 24＋x 2
2＝1.
(2)证明 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，又A 、B 、D 三点不重合，所以m ≠0.
设D (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，
由⎩⎨⎧
y ＝2x ＋m 2x 2＋y 2＝4
得，4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 所以Δ＝－8m 2＋64＞0，∴－22＜m ＜22，
x 1＋x 2＝－22m ①，x 1x 2＝m 2－44②.
设直线AB 、AD 的斜率分别为k AB 、k AD ，
则k AD ＋k AB ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝2x 1＋m －2x 1－1＋2x 2＋m －2x 2－1＝22＋m ·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1－x 2＋1
(*)． 将①②式代入(*)，
得22＋m －22m －2
m 2－44＋2
2m ＋1
＝22－22＝0， 所以k AD ＋k AB ＝0，即直线AB 、AD 的斜率之和为定值0.
3．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且经过点P (1，22)．过坐标原点
的直线l 1与l 2均不在坐标轴上，l 1与椭圆M 交于A ，C 两点，l 2与椭圆M 交于B ，D 两点．
(1)求椭圆M 的方程；
(2)若平行四边形ABCD 为菱形，求菱形ABCD 面积的最小值．
解 (1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝22a ，
1a 2＋12b 2＝1，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以⎩⎨⎧
a 2＝2，
b 2＝1， 故椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.
(2)设直线AC ：y ＝k 1x ，直线BD ：y ＝k 2x ，A (x A ，y A )，C (x C ，y C )．
联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 22
＋y 2＝1，y ＝k 1x ，得方程(2k 21＋1)x 2－2＝0，x 2A ＝x 2C ＝22k 21＋1
，
故|OA |＝|OC |＝1＋k 21·22k 21
＋1. 同理，|OB |＝|OD |＝1＋k 22·22k 22＋1
. 又因为AC ⊥BD ，所以|OB |＝|OD |＝1＋(1k 1)2·2
2(1k 1)2＋1，其中k 1≠0. 从而菱形ABCD 的面积S ＝2|OA |·|OB |＝
21＋k 21·22k 21＋1
·1＋(1k 1)2·22(1k 1)2＋1， 整理得S ＝41
2＋1
(k 1＋1k 1)2
，其中k 1≠0.
故当k 1＝1或－1时，
菱形ABCD 的面积最小，该最小值为83.
4．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组
成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，
B ，且AP →＝2PB →
.
(1)求椭圆方程；
(2)求m 的取值范围．
解 (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上 ，
设椭圆方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，
所以椭圆方程为y 24＋x 2
2＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，
即⎩⎨⎧
y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，
则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0，
由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，
x 1·x 2＝m 2－42＋k 2. 又AP →＝2PB →
，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )．
∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎨⎧
x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22.
∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时不成立，∴k 2＝8－2m 29m 2－4＞0， 得49＜m 2＜4，此时Δ＞0.
∴m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，2.。