2020年广东省潮州市高考数学二模试卷(理科)
广东省潮州市2020届高三数学第二次模拟考试试题 理 新人教A版
开始 n p <是输入p结束输出S 否12nS S =+1n n =+0,0n S ==潮州市2020学年度高考第二次模拟考试数学(理科)参考公式：球的表面积24R S π=一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．若复数(2)(1)i ai ++是纯虚数(i 是虚数单位，a 是实数)，则a 等于（ ）A. -1B. 21-C.2D. 3 2．为了了解潮州市居民月用电情况，抽查了该市100户居民月用电量（单位：度），得到频率分布直方图如下：根据下图可得这100户居民月用电量在〔150,300〕的用户数是（ ）A. 70B. 64C. 48D.303．已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =，则2232a a -的值为（ ）A. 9B. 16C.21D.11 4. 在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 5．执行右边的程序框图，若输出127128s =， 则输入p =（ ）A.6B. 7C.8D.96. 设集合101x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,{}1B x x a =-<,则“1a =”是“A B ≠∅I ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又必要条件7．已知)2,1(-A ，)1,(-a B ，)0,(b C -三点共线，其中0,0>>b a ，则ba 21+的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．88．已知奇函数)(x f y =的导函数()0f x '<在R 恒成立，且y x ,满足不等式0)2()2(22≥-+-y y f x x f ，则22y x +的取值范围是( )A. ]22,0[B. ]2,0[C. ]2,1[D. ]8,0[ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ， 若(1),P x p >=则()=<<-01x P ________. 10．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，得该几何体的表面积是________. 11．已知n 为正偶数，且nxx )21(2-的展开式中 第3项的二项式系数最大，则第3项的系数是 ．（用数字作答） 12．抛物线214y x =上到焦点的距离等于6的点的坐标为 ．13．函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像 右图所示，其中， A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点，P 为图像与y 轴的交点．若在曲线段¼ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的 概率为 .（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程2cos ρθ=，直线的极坐标方程为cos 2sin 70ρθρθ-+=， 则圆心到直线距离为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于,A B 两点，C 是⊙O 上的一点，若70P ∠=︒，则ACB ∠=________.三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,3sin x m ，)0(,3cos 21,23>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A x A A n ,函数()f x n m =⋅r u r 的最大值为2．（1）求()f x 的最小正周期和解析式； （2）设,[0,]2παβ∈，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ-的值．17．（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23，各局比赛结果相互独立。
2020年广东省高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.已知复数为虚数单位，，若，则的取值范围为A. B. C. D.3.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺4.在中，已知，，且AB边上的高为，则A. B. C. D.5.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.6.已知函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为A. B.C. D.7.已知双曲线的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，若，则该双曲线的离心率为A. B. 2 C. D.8.已知四边形ABCD中，，，，，E在CB的延长线上，且，则A. 1B. 2C.D.9.的展开式中，的系数为A. 120B. 480C. 240D. 32010.把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，关于的说法有：函数的图象关于点对称；函数的图象的一条对称轴是；函数在上的最上的最小值为；函数上单调递增，则以上说法正确的个数是A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11.如图，在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接C.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则A. 2B.C.D. 412.已知函数，若函数有唯一零点，则a的取值范围为A. B.C. D. ，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值是______．14.已知，则______．15.从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是的有______对．16.如图，直线l过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，直线l与圆交于C，D两点，若，设直线l的斜率为k，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列和满足，且，，设．求数列的通项公式；若是等比数列，且，求数列的前n项和．18.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．质量指标频数2820302515合计100请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表单位：件，并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：其，中．用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X 的分布列及数学期望．19.如图，四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，E是BC上一点，且，设．证明：平面ABCD；若，，求二面角的余弦值．20.已知椭圆C：的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且，的面积为．求椭圆C的方程；已知O是坐标原点，向量过点的直线l与椭圆C交于M，N两点．若点满足，，求的最小值．21.已知函数，其中e为自然对数的底数．若函数的极小值为，求a的值；若，证明：当时，成立．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求直线l的直角坐标方程；已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，若的最大值为6，求a的值．23.已知函数．解不等式：；若a，b，c均为正数，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：因为复数，所以，由于，即，则的取值范围为，故选：A．根据复数的基本运算法则进行化简，再求复数模的范围即可．本题主要考查复数的乘法运算及模长的计算，比较基础．3.答案：D解析：解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，，，即．解得，．立秋的晷长．故选：D．由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，可得：，，即解出利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：如图，在中，，，且AB边上的高CD为，，，由余弦定理可得，由正弦定理，可得．故选：B．由已知可求AD，利用勾股定理可求AC，由余弦定理可得BC，进而根据正弦定理可得sin C的值．本题主要考查了勾股定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.答案：D解析：解：作出该几何体的轴截面图如图，，，设内接圆柱的高为h，由，得．∽，，即，得，该圆锥的体积为．故选：D．由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高，则圆锥体积可求．本题主要考查了圆锥的内接圆柱的体积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6.答案：B解析：解：根据题意，函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，则在上递减，又由，则，则函数的草图如图：若，则有，解可得，即不等式的解集为；故选：B．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得函数的大致图象，据此分析可得关于x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意作出函数的简图，分析不等式的解集．7.答案：D解析：解：如图，由，得，即，，即．则．故选：D．由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到，则离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题．8.答案：A解析：解：在中，由余弦定理有，，，易知，又，，故，．故选：A．先由余弦定理求得，再根据题设条件求得，而展开，利用数量积公式化简求解即可．本题考查平面向量数量积的综合运用，涉及了余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．9.答案：C解析：解：把的展开式看成6个因式的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含的项；故含项的系数为：．故选：C．把的展开式看成6个因式的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含的项，求出项的系数．本题考查了排列组合与二项式定理的应用问题，是综合性题目．10.答案：C解析：解：把函数的图象向右平移个单位长度，得，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，则，函数的图象不关于点对称，故错误；，函数的图象的一条对称轴是，故正确；当时，，则，即函数在上的最上的最小值为，故正确；当时，，可知函数在上不单调，故错误．正确命题的个数为2．故选：C．通过平移变换与伸缩变换求得函数的解析式．由判断错误；由求得最小值判断正确；由x的范围求得函数值域判断正确；由x的范围可知函数在上不单调判断错误．本题考查命题的真假判断与应用，考查型函数的图象与性质，是中档题．11.答案：B解析：解：在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边DE上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面BCDE时体积最大，此时三棱锥的高等于：；取DC的中点H，过H作下底面的垂线；此时三棱锥的外接球球心在OH上；三棱锥外接球的体积为；所以球半径；如图：；；即：；；联立可得；故选：B．要想体积最大，需高最大，当面BCDE时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论．本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型．12.答案：D解析：解：因为．令，则，所以当时，，即在R上单调递增，又，所以，，当，，所以在上为增函数，在上为减函数，又，所以当，，当，对恒成立，即当时，，且当且仅当，，故当时，有唯一的零点；排除A，当时，，令，可得，有无数解，所以，不成立，排除BC，故选：D．求导，构造辅助函数，则，当时，可知在R上单调递增，，即可判断在上为增函数，在上为减函数，由，即可证明，当时，有唯一的零点；然后验证时，函数的零点的个数，判断选项即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及含量，分类讨论思想的应用，是中档题．13.答案：6解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为直线方程的斜截式：．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，Z有最大值为；故答案为：6．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．14.答案：解析：解：，则．故答案为：由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．15.答案：48解析：解：根据题意，如图，在正方体中，与平面中一条对角线成的直线有，，，，，，，，共8条直线，则包含在内的符合题意的对角线有8对；又由正方体6个面，每个面有2条对角线，共有12条对角线，则共有对面对角线所成角为，而其中有一半是重复的；则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有48对．故答案为：48根据题意，由正方体几何结构分析可得：每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为，进而可得共有对对角线所成角为，并且容易看出有一半是重复的，据此分析可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．16.答案：解析：解：由题意圆的圆心为抛物线的焦点F，再由题意可得直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：，，设，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得，，所以，由抛物线的性质可得：弦长，由题意可得为的直径2，所以，而，所以可得：，因为，所以，代入直线AB中可得，即，将A点坐标代入抛物线的方程，整理可得，解得，因为，所以，故答案为：．由题意设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出弦长的值，再由圆的方程可得圆心为抛物线的焦点可得为圆的直径，求出的值，再由题意可得的值，由题意可得A的横坐标，代入直线的方程，可得A的纵坐标，代入抛物线的方程中可得斜率的平方的值．本题考查抛物线的性质及求点的坐标，属于中档题．17.答案：解：依题意，由，可得，两边同时乘以，可得，即，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，．由题意，设等比数列的公比为q，则，故，．由知，，且，则，所以：，，得：，，，所以．解析：直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．利用乘公比错位相减法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．18.答案：解：估计新设备所生产的产品的优质品率为，估计旧设备所生产的产品的优质品率为．补充完整的列联表如下所示，非优质品优质品合计新设备产品 30 70 100旧设备产品 45 55 100合计 75 125 200，有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．由知，新设备所生产的优质品率为，而X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，．的分布列为：X 0 1 2 3P数学期望．解析：由频数分布表可知，将的频数相加，再除以100，即为新设备的优质品率；由频率分布直方图可知，将的频率组距相加，再乘以组距即为旧设备的优质品率；先填写列联表，再根据的公式计算其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；由知，新设备所生产的优质品率为，而X的所有可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．本题考查频率分布直方图、频数分布表、独立性检验、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.答案：证明：四边形ABCD是菱形，是AC的中点，，，，平面PAC，平面PAC，．，O是AC的中点，．平面ABCD，平面ABCD，，平面ABCD；解：由知，平面ABCD，．以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设四边形ABCD的边长为4，．四边形ABCD是菱形，，与都是等边三角形．．0，，0，，0，，，，，．，，即，得．，．设平面PAE的法向量为，由，取，得；设平面PEC的一个法向量为，由，取，得．设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．解析：由已知可得，，由直线与平面垂直的判定可得平面PAC，得到再由进一步得到平面ABCD；由知，平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设四边形ABCD的边长为4，由列式求解a，可得所用点的坐标，再求出平面PAE与平面PEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.答案：解：依据题意得，所以，所以，因为，故设，代入椭圆方程得，所以的面积为：．联立，解得，，所以椭圆C的方程为：．由题意可知直线l的斜率显然存在，故设直线l的方程为：，联立，消去y并整理得，所以，设，，所以，，因为，所以，当时，，当时，，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，且满足，所以，综上．解析：根据题意可得方程组联立，解得b，a，进而得出椭圆C的方程．设直线l的方程为：，设，，联立直线l与椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理得，，因为，得，当时，，当时，，，因为，所以，代入化简得化简，利用基本不等式可得出答案．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，向量问题，属于中档题．21.答案：解：函数的定义域是R，，时，对恒成立，在R递减，函数无极值，时，令，解得：，令，解得：，在递减，在递增，时，取极小值，，即，令，则，，，在递增，，；，，，令，，令，，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递增，时，取极小值，又，，存在使得，在递增，在递减，在递增，，，时，，即，令，，则对于恒成立，在递增，，即当时，，时，，，故时，成立．解析：求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到，令，根据函数的单调性求出a的值即可；令，求出，令，，求出，从而证明结论．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，不等式的证明，是一道综合题．22.答案：解：由，得，即．，，直线l的直角坐标方程为，即；依题意可知曲线C的参数方程为为参数．设，则点P到直线l的距离为：．，当时，．又过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，，即．的最大值为，即．，解得．解析：把展开两角差的余弦，结合，可得直线l的直角坐标方程；依题意可知曲线C的参数方程为为参数设，写出点P到直线l的距离，利用三角函数求其最大值，可得的最大值，结合已知列式求解a．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：函数．当时，，解得，故．当时，，恒成立．当时，，解得，故，所以不等式的解集为．证明：由知：，所以：，所以，所以，所以当且仅当时，等号成立．故：．解析：直接利用分段函数的解析式和零点讨论法的应用求出结果．直接利用基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：分段函数的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。
广东省潮州市高三第二次模拟考试(图片)——数学理数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B D A D B B C C A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14．或 15. 16.部分题目解析：1.检验可知都满足，所以故选B ．3. 依题意可得54)8sin(]2)8cos[()83cos(-=--=+-=+παππαπα，故选A 5.，否,1.0515331,3≤=⨯==s i ，否,1.0717551,5≤=⨯==s i 否,1.0919771,7≤=⨯==s i ，是,1.011111991,9≤=⨯==s i 故选B ． 6. 依题意，由r r r r r r r r r x C x C x C x T x 71771)2()2()2()1()1(-+-=-+=+++，当时，得，当时，得，故含，故选B7. 当命题为真时，由且可得，故命题为假时，，故选C ．8. 依题意可知表示两点、的距离的平方，由函数与函数的图象可知，最小距离为2，故的最小值为49. 依题意在点处取得最大值，在点处取得最小值，由目标函数得，当时满足条件，故选A ．10. 设第日相逢，则依题意得21125)21(2)1(97132)1(103⨯≥-⨯-++⨯-+n n n n n n 整理得，解得，故选B ．11．该几何体的直观图如图所示：2442221=⋅⋅==∆∆P B C P A D S S 5452421=⋅⋅=∆P D C S , 故表面积为54282045424244++=++⨯+⨯，故选C12. 设，在椭圆中 60cos 2)2(2122212r r r r C -+= 2121212213)2(3)(r r a r r r r -=-+=，21221214443b c a r r =-=∴，即在双曲线中 60cos 2)2(2122212r r r r C -+=212221221)2()(r r a r r r r +=+-= 2222221444b a c r r =-=∴，即，则所以，由题知，则椭圆离心率（另解）在椭圆中，在双曲线中所以，即，则所以，由题知，则椭圆离心率13. 由图中条件求得，，则，再代入点可得，故14．因为构成一个等比数列，所以，故，当时椭圆的焦距为，当时双曲线的焦距为 15．因为与的夹角为钝角，,所以在方向上的投影为，在直角中522022==+=BC AB AC ，所以5545242=⨯=⋅=AC BC AB BE ，所以516)(2-=-=⋅-=-=⋅BE CE AE CE CD AE16. 因为，所以数列为等比数列 所以1331)31(21)1(1-=--=--=n n n n q q a S ， 又1111111+++++-=-==n n n n n n n n n n S S S S S S S S a b ，则 )11()11()11(1322121+-++-+-=+++n n n S S S S S S b b b 1312111111--=-=++n n S S . 三、解答题：第题为必做题，每题满分各为分，第题为选做题，只能选做一题，满分分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（1）解：由cos cos 3a Bb A Cc += 及正弦定理有2sin cos sin cos sin 3A B B A C +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分22sin()sin A B C C C ∴+==即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分60C C ∴∠=为锐角 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分（2）由及正弦定理有 知．．．．．．．．．．．．7分由余弦定理得：2222cos c b a ba C =+-，即222122b a ba =+-⋅， ……8分 ，∴3,ba a b ≤当且仅当=时取等号．∴11sin 322S ba C =≤⋅= ……11分 面积的最大值为 ……12分18．解：（1）由题意知频率分布表可知：，所以，=0.3 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分补全频率分布直方图，如图所示．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设抽出的20名受访者年龄在[30，35）和[35，40）分别由m ，n 名，由分层抽样可得，解得m=7，n=6 所以年龄在[30，40）共有13名．故ξ的可能取值为0，1，2， ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分()()()0211206767672221313137750,1,2261326C C C C C C P P P C C C ξξξ=========．．．．10分 ξ的分布列为：7751201226132613E ξ∴=⨯+⨯+⨯= ．．．．．．12分19.解： (1)证明 取AD 的中点M ，连接EM ，CM ，则EM ∥PA.因为EM 平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以EM ∥平面PAB. ．．．．．2分在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CM ＝AM ，所以∠ACM ＝60°.而∠BAC ＝60°，所以MC ∥AB.因为MC 平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以MC ∥平面PAB. ．．．．．．．4分又因为EM∩MC ＝M ，所以平面EMC ∥平面PAB.因为EC ⊂平面EMC ，所以EC ∥平面PAB. ．．．．．．．6分（注：（1）问也可建系来证明）(2)过A 作AF ⊥AD ，交BC 于F ，又PA ⊥平面ABCD 知以A 为原点，AF 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建系如图：．．．．．．．7分 则1(0,0,0),,0),(0,4,0),(0,0,2),2A B CD P - 设平面PAC 的法向量，由00n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩有200z y =⎧⎪+=取 ．．．．．．．8分设PN →＝λPD →(0≤λ≤1)，则PN →＝λ(0，4，－2)＝(0，4λ，-2λ)，()()()1,20,4,21,22CN CP PN λλλλ∴=+=-+-=-- ．．．．．．．10分 sin cos ,,3CN nCN n CN n θ∴==== 210816=∴=+-∴λλ． 11分 线段PD 上存在一点N ，N 为PD 中点．．．．．．．12分20．解：（1）由，直线的倾斜角为，知直线方程 ．．1分代入得 ．．．．．．．2分由有51633N M px x p p ∴++=+=．．．．．．．4分（2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 斜率为0，此时4,PMQN MN PQ S ===四边形．．．．．．5分当直线MN 斜率存在时，直线MN ：y=k （x-1），联立得()()22222400k x k x k -++=∆>，则∴44||2+=++=k p x x MN N M．．．．．．．7分由可设直线PQ : ()()11k 0y x k =--≠，联立椭圆消去y 得，()()222242200k x x k +-+-=∆>222422,22P Q P Q k x x x x k k -∴+==++)2212k PQ k +∴==+ ．．．．．．．9分)()22221122PMQN k S MN PQ k k +=⋅=+四边形,令则()()2222111111PMQN S t t t t ⎫===+>⎪-+--⎭四边形．．．．．．．11分综上， ()min PMQN S =四边形．．12分21. 解：(1)的定义域为，()12(2)g x ax a x '=-+- ．．．．．．．1分当时，，递增．．．．．．．2分当时，()212(2)1(21)(1)2(2)ax a x x ax g x ax a x x x -+-++-+'=-+-==()()110,0,(),0,()x g x g x x g x g x a a''<<>><递增；递减， ．．．．．．．3分 综上：当时，的单调增区间为，单调减区间为当时，的单调增区间为 ．．．．．．．4分（2）由是函数的两个零点有()21111ln 0f x x x ax =+-= ()22222ln 0f x x x ax =+-=，相减得121212ln ln x x a x x x x -=++- ……6分 1()2f x x a x '=+-又 121212121212ln ln 222x x x x f x x a x x x x x x +-⎛⎫'∴=++-=- ⎪++-⎝⎭ ……8分所以要证明，只需证明121212ln ln 20x x x x x x --<+- 即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，即证明()12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>*+ ……10分 令12(0,1)x t x =∈，则22ln )1()(+-+=t t t t h 则，∴在上递减，，∴在上递增，所以成立，即 ………12分22．解：（1）点R 的极坐标转化成直角坐标为：R （2，2）． ……2分由sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩消参数得． ……4分 （2）设P （）根据题意，得到Q （2，sin θ），则：|PQ|=，|QR|=2﹣sin θ， ……6分 所以矩形PQRS 的周长为：2（|PQ|+|QR|）=． ……8分由知当时， ……9分所以矩形的最小周长为4，点P （）． ……10分23.解：（Ⅰ）∵()|23||1|.f x x x =++-33223()412321x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩……………………………………2分 3311()42232432444x x x f x x x x ⎧⎧><--≤≤⎧⎪⎪>⇔⎨⎨⎨+>⎩⎪⎪-->+>⎩⎩或或 ……………………4分 211x x x ⇔<-<≤>或0或 …………………………………… …………………5分 综上所述，不等式的解集为： …… …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，3()322x f x x <-=--当时 ………7分 35()3222x f x x <-=-->当时 ……………………………… …………………8分 …………………………………………………………………9分∴实数的取值范围为 ……………………… …………………10分。
2020年广东省潮州市高考数学二模试卷(理科) (含解析)
2020年广东省潮州市高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合S ={x|x +9>0}，T ={x|x 2<5x}，则S ∩T =( )A. (−9,5)B. (−∞,5)C. (−9,0)D. (0,5)2. 已知复数z 1对应复平面上的点(−1,1)，复数z 2满足z 1z 2=−2，则|z 2+2i|=( )A. √2B. 2C. √10D. 103. 在边长为4的等边△ABC 中，M ，N 分别为BC ，AC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.B. 6C. 0D.4. 一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b ，b <c 时称为“凹数”(如213，312等).若a,b,c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )．A. 16B. 524C. 13D. 7245. 已知直线ax +by +c −1=0(b,c >0)经过圆x 2+y 2−2y −5=0的圆心，则4a +1c 的最小值是( )。
A. 9B. 8C. 4D. 26. 函数f(x)=e x −e −xx 2的图象大致为( )A.B.C.D.7. 已知数列{a n }满足：a 1=12，a n+1=a n +12n (n ∈N ∗)，则a 2019=( )A. 1−122018B. 1−122019C. 32−122018D. 32−1220198. 下列关于频率分布折线图的说法正确的是( )A. 频率分布折线图与总体密度曲线无关B. 频率分布折线图就是总体密度曲线C. 样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线D. 如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线9.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)，f(x)≤f(π9)对任意x∈R恒成立，则ω可以是()A. 1B. 32C. 152D. 1210.在三棱锥D−ABC中，已知DB⊥平面ABC，DB=2√3，∠ABC=60°，AC=√3，则此三棱锥外接球的体积为()A. 16π3B. 4π C. 32π3D. 16π11.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. √3+12D. √5+1212.若关于x的方程x2+ax−4=0在区间[2,4]上有实数根，则实数a的取值范围是()A. (−3,+∞)B. [−3,0]C. (0,+∞)D. [0,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3+a6=4，则S8=________．14.二项式(3x−1x )6的展开式中，常数项等于__________，二项式系数和为__________15.已知直线2x+y−4=0过椭圆E：x2a +y2b=1(a>b>0)的右焦点F2，且与椭圆E在第一象限的交点为M，与y轴交于点N，F1是椭圆E的左焦点，且|MN|=|MF1|，则椭圆E的方程为______ ．16.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD//BC，AB=BC=12AD=1，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P−ABCEF的体积的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2ccosA，．(1)求sin C；(2)求b．c18.已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=2，AB=2√2，PA=√3，E为CD的中点，PA⊥BD．(1)求证：平面PAE⊥平面PBD；(2)若PE=3，求二面角D−PC−A的余弦值．19.在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数yi(单位：万元)与时间ti(单位：年)的数据，列表如下：ti12345yi 2.4 2.7 4.1 6.47.9(Ⅰ)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明(计算结果精确到0.01).(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)附：相关系数公式参考数据√56.95≈7.547．(Ⅱ)该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满500元可减50元；，中奖就可以获得100元现金奖励，假方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为25设顾客每次抽奖的结果相互独立．①某位顾客购买了1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客获得100元现金奖励的概率．②某位顾客购买了1500元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加三次抽奖⋅说明理由．20.已知函数f(x)=lnxx−1．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)证明：f(x)>x+1e x(其中e是自然对数的底数，e=2.71828…)．21.如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：x216+y212=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为8√63．(Ⅰ)求抛物线C1的方程；(Ⅱ)过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=4t,y=4t2(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．(1)求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；(2)已知射线θ=α(0<α<π2)与C1交于O，P两点，与C2交于O，Q两点，且Q为OP的中点，求α．23.已知函数f(x)=|2x+3|+|2x−1|．(1)求不等式f(x)<8的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：S ={x|x >−9}，T ={x|0<x <5}； ∴S ∩T =(0,5)． 故选：D ．先求出集合S ={x|x >−9}，T ={x|0<x <5}，然后进行交集的运算即可． 考查描述法表示集合的概念，以及交集的概念及运算．2.答案：C解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．由已知可得z 1，代入z 1z 2=−2，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z 2，再由复数模的计算公式求|z 2+2i|．解：由题意可得，z 1=−1+i ，则由z 1z 2=−2，得z 2=−2z 1=−2−1+i =−2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=1+i ，∴|z 2+2i|=|1+3i|=√10． 故选C ．3.答案：A解析：本题考查了向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属基础题． 由向量的线性运算及平面向量数量积的运算，求解即可． 解：由图可知：|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4×4×12=8，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−14×(16+8)=−6，故选：A ．4.答案：C解析：根据题意，分析“凹数”的定义，可得要得到一个满足a ≠b ≠c 的三位“凹数”，在{1,2，3，4}的4个整数中任取3个数字，组成三位数，再将最小的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上即可，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率．本题考查组合数公式的运用，关键在于根据题干中所给的“凹数”的定义，再利用古典概型概率计算公式即得答案． 解：根据题意，要得到一个满足a ≠b ≠c 的三位“凹数”，在{1,2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数组成三位数，有C 43×A 33=24种取法，在{1,2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数，将最小的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上，有C 43×2=8种情况，则这个三位数是“凹数”的概率是824=13； 故选C ．5.答案：A解析：本题着重考查了直线与圆的位置关系、圆的标准方程和基本不等式等知识，属于中档题． 将圆化成标准方程可得圆心为C(0,1)，代入题中的直线方程算出b +c =1，从而化简得4b +1c =4c b+bc+5，再根据基本不等式加以计算，可得当b =23且c =13时，4b +1c 的最小值为9．解：圆x 2+y 2−2y −5=0化成标准方程，得x 2+(y −1)2=6， ∴圆x 2+y 2−2y −5=0的圆心为C(0,1)，半径r =√6． ∵直线ax +by +c −1=0经过圆心C ， ∴a ×0+b ×1+c −1=0，即b +c =1， 因此，4b +1c =(b +c)(4b +1c )=4c b+bc +5，∵b 、c >0， ∴4c b+b c≥2√4c b⋅bc=4，当且仅当4c b =bc =2时等号成立． 由此可得当b =2c ，即b =23且c =13时，4b +1c =4c b+bc +5的最小值为9．故选A ．6.答案：B解析：本题考查函数的图象的识别和判断，考查函数的奇偶性，属于中档题． 判断函数的奇偶性，再用特殊值进行排除即可． 解：函数定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， ∵f(−x)=e −x −e x (−x )2=−e x −e −xx 2=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A ， 当x =1时，f(1)=e −1e >0，排除D ， 当x →+∞时，f(x)→+∞，排除C ， 故选B ．7.答案：C解析：本题主要考查数列的递推公式，累加法求通项.属于基础题． 根据累加法列出式子，再结合等比数列的前n 项和公式可得答案． 解：由已知，a n −a n−1=12n−1(n ≥2)，则a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n−1)。
2020年广东省潮州市高考数学二模试卷1（含答案解析）
2020年广东省潮州市高考数学二模试卷1一'选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合S= [x\x2-2x-3<0], T=｛x\-l<x<4.xeZ｝t WlJSnT等于（）A.（x|O<x<3,x e Z）B.（x|O<x<4,x E Z）C. （xl-1<x<O,x e Z）D.（x|-1<x<3,x G Z）2.己知Sfe1 =l+2i,z2=2-i,则关于它们的模下列选项正确的是（）A.\z±\>\z2\B.|电|v|z2|C.IzJ=\z2\D.不能比较大小3.己知向量m=（l,2）,»=（2,l-m），且•那么实数，〃的值为（）A.-2B.IC.2D.44.同时抛掷三枚均匀的硬币，一枚反而朝上，两枚正而朝上的概率等于（）A上B Y C.兰 D. 土83835.若直线ox-by+2=0（a>0f b>0）经过圆/+y2+4x-4y-1=。
的圆心，则；+：的最小值为（）A.10B.4+2V&C. 5+2v&D・6-已知函数六时=｛，贝W（》]的值是（）A.9B.|C.D・-97.在△ABC中，q=S,b=3,则siM：sinB=（）A.-B.：C.|D.-8.下列关于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系的说法中，正确的是（）A.频率分布折线图与总体密度曲线无关B.频率分布折线图就是总体密度曲线C.样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线D.如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小,那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线9.斐波那契数列｛/；｝：1，1，2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.233・现已知｛与｝连续两项平方和仍是数列｛&｝中的项，则F备“+F第]4等于（）A.已02。
B.已024C.^4027D.^402810.已知双曲线§一§=10>0，b>0）的一条渐近线过点（2,^3）.则双曲线的离心率为（）A.；B.四C.立D.归222311.三^P-ABC的四个顶点都在球。
2020年广东省二模理科数学试题及答案
，
估计旧设备所生产的产品的优质品率为 补充完整的 列联表如下所示，
非优质品
新设备产品
30
旧设备产品
45
合计
75
优质品 70 55 125
．
合计 100 100 200
，
有 的把握认为“产品质量高与新设备有关”． 由 知，新设备所生产的优质品率为 ，而 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
，
，
，
．
的分布列为：
本题考查排列、组合的应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．
16.答案：
第 6 页，共 13 页
解析：解：由题意圆
的圆心为抛物线的焦点 F，
再由题意可得直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为：
，
，
设
，
，联立直线与抛物线的方程：
，
整理可得
，
，所以
，
由抛物线的性质可得：弦长
，
由题意可得 为
正确命题的个数为 2． 故选：C．
通过平移变换与伸缩变换求得函数 的解析式．由
判断 错误；由
求得最
小值判断 正确；由 x 的范围求得函数值域判断 调判断 错误． 本题考查命题的真假判断与应用，考查
11.答案：B
正确；由 x 的范围可知函数 在 上不单 型函数的图象与性质，是中档题．
解析：解：在矩形 ABCD 中，已知
故
，
．
由 知，
，且
，
则
，
所以：
，
，
得：
，
，
所以
， ．
解析： 直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式． 利用乘公比错位相减法的应用求出结果．
2020年广东省潮州市高考理科数学模拟试卷及答案解析
12．已知函数f（x）＝log3x的图象与函数g（x）的图象关于直线y＝x对称，函数h（x）是最小正周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，h（x）＝g（x）﹣1，若函数y＝k•f（x）+h（x）有3个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（1，2log73）B．（﹣2，﹣2log53）
3．等差数列{an}的公差d≠0，且a3＝0，若ak是a6与ak+6的等比中项，则k＝（ ）
A．5B．6C．9D．11
4．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D．
2020年广东省潮州市高考理科数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，3]D．（3，4]
2．已知i为虚数单位，复数z满足 ，则|z|＝（ ）
A．1B． C． D．5
四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1：x2﹣y2＝2，曲线C2的参数方程为 （θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标系中，射线 与曲线C1，C2分别交于A，B两点（异于极点O），定点M（3，0），求△MAB的面积．
（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（Ⅱ）斜率为2的直线l1与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P，证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|•|PB|成立，并求λ的值．
2020年广东省高考数学二模试卷(理科)
2020年广东省高考数学二模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1＜x＜6}，集合B={x|x2＜4}，则A∩（∁R B）=（）A. {x|-1＜x＜2}B. {x|-1＜x≤2}C. {x|2≤x＜6}D. {x|2＜x＜6}2.设i为虚数单位，则复数的共轭复数=（）A. B. C. D.3.在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为（）A. 0.2B. 0.25C. 40D. 504.设向量与向量垂直，且=（2，k），=（6，4），则下列下列与向量+共线的是（）A. （1，8）B. （-16，-2）C. （1，-8）D. （-16，2）5.某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为，则其体积为（）A.B.C.D.6.阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为（）A. B. C. D.7.设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若B=C≠A，且b=2a cos A，则A=（）A. B. C. D.8.的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为（）A. 30B. 80C. -50D. 1309.函数的部分图象不可能为（）A. B.C. D.10.若函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（）A. [0，+∞）B.C.D.11.已知高为H的正三棱锥P-ABC的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，若二面角P-AB-C的正切值为4，则=（）A. B. C. D.12.已知函数，若关于x的方程f（f（x））=m有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2的取值范围为（）A. [2，3）B. （2，3）C. [2ln2，4）D. （2ln2，4）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值为______．14.若tan（α-2β）=4，tanβ=2，则=______．15.已知函数f（x）=3x+9x（t≤x≤t+1），若f（x）的最大值为12，则f（x）的最小值为______16.已知直线x=2a与双曲线C：的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n为数列{a n}的前n项和，且依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB中点．（1）证明；PE⊥CD；（2）求二面角A-PE-C的余弦值．19.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=6y与直线l：y=kx+3交于M，N两点．（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1和d2的乘积为定值；（2）y轴上是否存在点p，当k变化时，总有∠OPM=∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40记作区[20，40），9：40～10：00记作[40，60），10：00～10：20记作[60，80），10：20～10：40记作[80，100），例如10点04分，记作时刻64．（1）估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．若T～N（μ，σ2）则P（μ-σ＜T≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜T≤σ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ＜T≤μ+3σ）=0.9973．21.已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）过曲线C上一动点P分别作极轴、直线ρcosθ=-1的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．23.设函数f（x）=|x+1|+|2-x|-k．（1）当k=4时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式对x∈R恒成立，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，则∁R B={x|x≥2或x≤-2}，则A∩（∁R B）={x|2≤x＜6}，故选：C．求出集合B的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集补集的定义是解决本题的关键．2.【答案】D【解析】解：∵==，∴．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，解得m=150，∴中间一组的频数为=50．故选：D．设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，由此能求出中间一组的频数．本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵；∴；∴k=-3；∴；∴；∴（-16，-2）与共线．故选：B．根据即可得出，从而得出k=-3，从而可求出，从而可找出与共线的向量．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.【答案】A【解析】解：将三视图还原可知该几何体为球体的，S=3×+=，r=，几何体的体积为：=．故选：A．首先把几何体的三视图进行转换，进一步利用表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：由题意可得：，解得a=4，b=3，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：．故选：A．利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．本题考查椭圆飞简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．7.【答案】B【解析】解：在△ABC中，∵b=2acosA，∴由正弦定理可得：sinB=2sinAcosA=sin2A，∴B=2A，或B=π-2A，∵B=C≠A，∴当B=2A时，由于A+B+C=5A=π，可得：A=；当B=π-2A时，由于A+B+C=B+2A，可得：B=C=A（舍去）．综上，A=．故选：B．由正弦定理化简已知等式可得：sinB=sin2A，可求B=2A，或B=π-2A，根据三角形的内角和定理即可得解A的值．本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：令x=1得各项系数和为（2-n）（1-2）5=3，即n-2=3，得n=5，多项式为（2x2-5）（x-）5，二项式（x-）5的通项公式为T k+1=C5k x5-k（-）k=（-2）k C5k x5-2k，若第一个因式是2x2，则第二个因式为x，即当k=2时，因式为4C52x=40x，此时2x2×40x=80x3，若第一个因式是-5，则第二个因式为x3，即当k=1时，因式为-2C51x3=-10x3，此时-5×（-10）x3=50x3，则展开式中x3项的为80x3+50x3=130x3，即x3的系数为130故选：D．令x=1得各项系数为3，求出n的值，结合展开式项的系数进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，令x=1求出各项系数和以及通过通项公式求出对应项的系数是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：A．由图象知函数的周期T=2π，则=2π得ω=1，此时f（x）=2sin（x-）=-2cosx为偶函数，对应图象为A，故A图象可能B．由图象知函数的周期T=-（-）==，即=，得ω=±3，当ω=3时，此时f（x）=2sin（3x-），f（）=2sin（3×-）=2sin≠-2，即B 图象不可能，当ω=-3时，此时f（x）=2sin（-3x+），f（）=2sin（-3×+）=-2sin≠-2，即B图象不可能，C．由图象知函数的周期T=4π，则=4π得ω=±，当ω=时，此时f（x）=2sin（x-π）=-2sin x，f（π）=-2sin=-1，即此时C图象不可能，当ω=-时，此时f（x）=2sin（-x-π）=2sin x，f（π）=2sin=-1，即此时C图象可能，D．由图象知函数的周期=-=，即t=π，则=π得ω=2，此时f（x）=2sin（2x-），f（）=2sin（2×-）=2sin=2，即D图象可能，综上不可能的图象是B，故选：B．根据三角函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论．本题主要考查三角函数图象的识别和判断，利用周期性求出ω以及利用特殊值进行验证是解决本题的关键．注意本题的ω有可能是复数．10.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，∴f′（x）=3x2-ke x≤0在（0，+∞）上恒成立，∴k在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，x＞0，则，当0＜x＜2时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减故当x=2时，g（x）取得最大值g（2）=，则k，故选：C．令f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立得k在（0，+∞）上恒成立，求出右侧函数的最大值即可得出k的范围．本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：设P在底面ABC的射影为E，D为AB的中点，连结PD，设正三角形ABC的边长为a，则CD=，∴ED=，EC=a，由二面角P-AB-C的正切值为4，得=4，解得a=．∴EC==，OP+OC=R，OE=H-R，∴OC2=OE2+CE2，∴R2=（H-R）2+（）2，解得=．故选：A．设棱锥底面边长为a，由已知把a用含有H的代数式表示，再由球的性质利用勾股定理求得．本题考查正三棱柱的高与其外接球半径的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：函数，的图象如下：当m≥1时，f（t）=m，有两个解t1，t2，其中t1≤0，t2≥2，f（x）=t1有一个解，f（x）=t2有两个解，不符合题意．当m＜0时，f（t）=m，有一个解t，且t∈（0，1）f（x）=t有一个解，不符合题意．当0≤m＜1时，f（t）=m，有一个解t，且t∈[1，2）f（x）=t两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1-x1=log2x=t，且t∈[1，2），x1+x2=2t-t+1，令g（t）=2t-t+1，g′（t）=2t lnt-1＞0，故g（t）在（1，2）单调递增，∴g（t）∈[2，3）．故选：A．画出函数，的图象，可求得当0≤m＜1时，f（t）=m，有一个解t，且t∈[1，2）f（x）=t两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1-x1=log2x=t，且t∈[1，2），x1+x2=2t-t+1，令g（t）=2t-t+1，利用导数求解．本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．13.【答案】【解析】解：设z=，则k得几何意义为过原点得直线得斜率，作出不等式组对应得平面区域如图：则由图象可知OA的斜率最大，由，解得A（3，4），则OA得斜率k=，则的最大值为．故答案为：．设z=，作出不等式组对应得平面区域，利用z得几何意义即可得到结论．本题主要考查直线斜率的计算，以及线性规划得应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由tanβ=2，得tan2β==，又tan（α-2β）=4，∴tanα=tan[（α-2β）+2β]==．∴=．故答案为：．由已知求得tan2β，再由tanα=tan[（α-2β）+2β]求出tanα，代入得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正切与二倍角的正切，是中档题．15.【答案】2【解析】解：设m=3x，因为t≤x≤t+1，所以3t≤m≤3t+1，则g（m）=m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1=12，解得：3t+1=3，即t=0，即f（x）min=g（30）=2，故答案为：2．由二次型函数值域的求法得：设m=3x，则3t≤m≤3t+1，则g（m）=m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1=12，解得：3t+1=3，即t=0，即f（x）min=g（30）=2，得解本题考查了二次型函数值域的求法，属中档题．16.【答案】【解析】解：双曲线C的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），且，可得sin∠PF2F1==，即有直线PF2的斜率为tan∠PF2F1=，由直线x=2a与双曲线C：的一条渐近线y=x交于点P，可得P（2a，2b），可得=，即有4b2=15（4a2-4ac+c2）=4（c2-a2），化为11c2-60ac+64a2=0，由e=可得11e2-60e+64=0，解得e=或e=4，由2a-c＞0，可得c＜2a，即e＜2，可得e=4舍去．故答案为：．设出双曲线的焦点，求得一条渐近线方程可得P的坐标，求得直线PF2的斜率，由两点的斜率公式和离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）依次成等比数列，可得（）2=S n=（n+2）（a1-2）n，当n=1时，a1=S1=3（a1-2），解得a1=3，当n≥2时，a n=S n-S n-1=n（n+2）-（n-1）（n+1）=2n+1，上式对n=1也成立，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1；（2）==（-），可得前n项和T n=（-+-+…+-）=（-）=．【解析】（1）运用等比数列的中项性质，令n=1，可得首项，再由数列的递推式：当n≥2时，a n=S n-S n-1，计算可得所求通项公式；（2）求得==（-），再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查等比数列中项性质和数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．18.【答案】证明：（1）连结DE，BD，∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，E为AB的中点，∴DE⊥AB，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，又DE∩PD=D，∴AB⊥平面PDE，∴AB⊥PE，∵AB∥CD，∴PE⊥CD．解：（2）设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则P（-1，0，2），A（0，-，0），E（，0），C（0，，0），=（-1，，2），=（，0），=（1，），=（，0），设平面APE的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平面PCE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（3，1，2），设二面角A-PE-C的平面角为θ，由图知θ为钝角，∴cosθ=-=-=-．∴二面角A-PE-C的余弦值为-．【解析】（1）连结DE，BD，推导出DE⊥AB，PD⊥AB，从而AB⊥平面PDE，进而AB⊥PE，由此能证明PE⊥CD．（2）设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PE-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解（1）证明：将y=kx+3代入x2=6y，得x2-6kx-18=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2=-18，从而d1d2=|x1|•|x2|=|x1x2|=18为定值．（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，．从而k1+k2=+==．当b=-3时，有k1+k2=0对任意k恒成立，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以点P（0，-3）符合题意．【解析】（1）先将y=kx+3代入x2=6y，设M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，即可证明结论成立；（2）先设设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，由∠OPM=∠OPN，得当k变化时，k1+k2=0恒成立，进而可求出结果本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于中档题．20.【答案】解：（1）这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30×0.05+50×0.015+70×0.025+90×0.010）×20=64，即10：04（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60）这一区间内的车辆数，即（0.005+0.015）×20×10=4，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4．所以P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以X的分布列为：X01234P所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=．（3）由（1）得μ=64，σ2=（30-64）2×0.1+（50-64）2×0.3+（50-64）2×0.4+（70-64）2×0.4+（90-64）2×0.2=324，所以σ=18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，由T～N（64，182），得，P（64-18≤T≤64+2×18）=+=0.8186，所以估计在在9：46～10：40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆．【解析】（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．（2）抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量X的所有可能的取值，计算出每个X对应的概率，列分布列，求期望即可．（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到μ，σ2再根据其对称性处理即可．本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布等知识，阅读量大，审清题意是关键，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵函数．∴x＞0，．若a≤-，∵x＞1，∴ln x＞0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，若a＞-，令g′（x）=0，得x=，当1＜x＜e时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（，+∞），单调递增区间为（1，）．（2）a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成立，∴x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=x lnx-ax+a+a-2，则h′（x）=ln x+1-a，令h′（x）=0，得x=e a-1，当x∈（0，e a-1）时，h′（x）＜0，当x∈（e a-1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）的最小值为h（e a-1）=（a-1）e a-1+a+e-2-ae a-1=a+e-2-e a-1，令t（a）=a+e-2-e a-1，则t′（a）=1-e a-1，令t′（a）=0，得a=1，当a∈[0，1）时，t′（a）＞0，t（a）在[0，1）上单调递增，当a∈（1，+∞）时，t′（a）＜0，t（a）在（1，+∞）上单调递减，∴当a∈[0，1）时，h（x）的最小值为t（a）≥t（0）=e-2-，当a∈[1，+∞）时，h（x）的最小值为t（a）=a+e-2-e a-1≥0=t（2），∴a的取值范围是[0，2]．【解析】（1）x＞0，．利用分类讨论思想结合导数性质能讨论函数在（1，+∞）上的单调性．（2）推导出xlnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=xlnx-ax+a+a-2，则h′（x）=lnx+1-a，由此利用导数性质，结合分类讨论思想能求出a的取值范围．本题考查函数单调性的讨论，考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．22.【答案】解：（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直角坐标方程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，则|PM|=3+sinα，又直线ρcosθ=-1的直角坐标方程为x=-1，所以|PN|=2+cosα+1=3+cosα，所以|PM|+|PN|=6+sin（α+），故当α=时，|PM|+|PN|取得最大值为6+．【解析】（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直角坐标方程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，求出|PM|和|PN|后相加，用三角函数的性质求得最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）k=4时，函数f（x）=|x+1|+|2-x|-4，不等式f（x）＜0化为|x+1|+|2-x|＜4，当x＜-1时，不等式化为-x-1+2-x＜4，解得-＜x＜-1，当-1≤x≤2时，不等式化为x+1+2-x=3＜4恒成立，则-1≤x≤2，当x＞2时，不等式化为x+1+x-2＜4，解得2＜x＜，综上所述，不等式f（x）＜0的解集为（-，）；（2）因为f（x）=|x+1|+|2-x|-k≥|x+1+2-x|-k=3-k，所以f（x）的最小值为3-k；又不等式对x∈R恒成立，所以3-k≥，所以，解得k≤1，所以k的取值范围是（-∞，1]．【解析】（1）k=4时，利用分类讨论思想求出不等式f（x）＜0的解集，再求它们的并集；（2）利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值，再把不等式化为3-k≥，求出不等式的解集即可．本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。
2020-2021学年广东省高考数学二模试卷(理科)及答案解析
广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数f（x）=+lg（6﹣3x）的定义域为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，2]2．己知复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|z|为（）A．B．C．6 D．33．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知sinα﹣cosα=，则cos（﹣2α）=（）A．﹣ B．C．D．5．己知0＜a＜b＜l＜c，则（）A．a b＞a a B．c a＞c b C．log a c＞log b c D．log b c＞log b a6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞍铜方升，其三视图如图所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）（）A．14 B．12+C．12+πD．38+2π7．设计如图的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数（用j表示），则判断框中应填入的条件是（）A．i＜58？B．i≤58？C．j＜59？D．j≤59？8．某撤信群中四人同时抢3个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（）A．B．C．D．9．己知实数x，y满足不等式组，若z=x﹣2y的最小值为﹣3，则a的值为（）A．1 B．C．2 D．10．函数f（x）=x2﹣（）x的大致图象是（）A．B．C．D．11．已知一长方体的体对角线的长为l0，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（）A．64 B．128 C．192 D．38412．已知函数f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内有零点，则ω的取值范围是（）A．（，）∪（，+∞）B．（0，]∪[，1）C．（，）∪（，）D．（，）∪（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上.13．已知向量=（x﹣1，2），=（2，x﹣1）满足=﹣||•||，则x= ．14．已知直线3x﹣4y﹣6=0与圆x2+y2﹣2y+m=0（m∈R）相切，则m的值为．15．在△ABC中，已知与的夹角为150°，||=2，则||的取值范围是．16．己知双曲线﹣=1（b＞0）的离心率为，F1，F2时双曲线的两个焦点，A 为左顶点、B（0，b），点P在线段AB上，则•的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=+n+1．（I）求证：数列{+1}是等比教列．（II）求数列{a n}的前n项和为S n．18．（12分）己知图1中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，O、Q分别为线段AB，CD的中点，OQ与EF的交点为P，OP=1，PQ=2，现将梯形ABCD沿EF 折起，使得OQ=，连结AD，BC，得一几何体如图2示．（I）证明：平面ABCD⊥平面ABFE；（II）若图1中．∠A=45°，CD=2，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值．19．（12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n（n∈N*）关者奖励2n﹣1件小奖品（奖品都一样）．如图是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．（Ⅰ）估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值；（II）估计小明在3次游戏中至少过两关的平均次数；（Ⅲ）估计小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率．20．（12分）己知椭圆+=1（a＞b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）共焦点F2，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|=．（I）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A，B两点，设线段AB的中点为C（x0，y0），求x0的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=（x﹣a）2（a∈R），g（x）=lnx，（I）试求曲线F（x））=f（x）+g（x）在点（1，F（1））处的切线l与曲线F（x）的公共点个数；（II）若函数G（x）=f（x）．g（x）有两个极值点，求实数a的取值范围．（附：当a＜0，x趋近于0时，2lnx﹣趋向于+∞）三、请考生在第（12）、（23）題中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=tanα•x（0≤a＜π，α），抛物线C：（t为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（Ⅰ）求直线l1和抛物线C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l1和抛物线C相交于点A（异于原点O），过原点作与l1垂直的直线l2，l2和抛物线C相交于点B（异于原点O），求△OAB的面积的最小值．五、[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．己知函数f（x）=|2|x|﹣1|．（I）求不等式f（x）≤1的解集A；（Ⅱ）当m，n∈A时，证明：|m+n|≤mn+1．参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
2020年广东高三二模理科数学试卷-学生用卷
2020年广东高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年广东高三二模理科第1题5分已知集合A={x|(x−√7)(x+3)<0}，B={x|−2<x<2√2}，则A∩B=（）．A. {x|−3<x<2√2}B. {x|−3<x<√7}C. {x|−2<x<√7}D. {x|−2<x<2√2}2、【来源】 2020年广东高三二模理科第2题5分已知复数z=i(a−i)（i为虚数单位，a∈R），若1<a<2，则|z|的取值范围为（）．A. (√2,√5)B. (√2,2)C. (2,√5)D. (1,2)3、【来源】 2020年广东高三二模理科第3题5分2020~2021学年10月甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高三上学期月考文科第6题5分2019~2020学年6月辽宁沈阳沈北新区东北育才双语学校高一下学期周测B卷第8题5分2020~2021学年10月甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高三上学期月考理科第6题5分2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三四模理科第4题5分《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（）．A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺4、【来源】 2020年广东高三二模理科第4题5分在△ABC中，已知∠A=45°，AB=6√2，且AB边上的高为2√2，则sinC=（）．A. √1010B. 3√1010C. √105D. 2√1055、【来源】 2020年广东高三二模理科第5题5分一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，则该圆锥的体积为（）．A. 2√3ππB. 2√33πC. 4√33πD. 8√336、【来源】 2020年广东高三二模理科第6题5分已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，f(−3)=0，则不等式f(x−1)>0的解集为（）．A. (−3,3)B. (−∞,−2)∪(1,4)C. (−∞,−4)∪(−1,2)D. (−∞,−3)∪(0,3)7、【来源】 2020年广东高三二模理科第7题5分2020年广东高三二模文科第8题5分已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若FA →⋅FB →=0，则该双曲线的离心率为（ ）．A. √5B. 2C. √3D. √28、【来源】 2020年广东高三二模理科第8题5分已知四边形ABCD 中，AD//BC ，∠A =30°，AB =2√3，AD =5，E 在CB 的延长线上，且AE =BE ，则AE →⋅DB →=（ ）．A. 1B. 2C. 12D. √39、【来源】 2020年广东高三二模理科第9题5分(x +y +2)6的展开式中，xy 3的系数为（ ）．A. 120B. 480C. 240D. 32010、【来源】 2020年广东高三二模理科第10题5分2020年广东高三二模文科第10题5分把函数f(x)=2sinx 的图象向右平移π3个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数g(x)的图象，关于g(x)的说法有：①函数g(x)的图象关于点(π3,0)对称；②函数g(x)的图象的一条对称轴是x =−π12；③函数g(x)在[π3,π2]上的最小值为√3；④函数g(x)在[0,π]上单调递增．则以上说法正确的个数是（ ）．A. 4B. 3C. 2D. 111、【来源】 2020年广东高三二模理科第11题5分如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C．若当三棱锥A1−CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1−CDE外接球的体积为8√23π，则a=（）．A. 2B. √2C. 2√2D. 412、【来源】 2020年广东高三二模理科第12题5分已知函数f(x)=12ax2+cosx−1(a∈R)，若函数f(x)有唯一零点，则a的取值范围为（）．A. (−∞,0)B. (−∞,0]∪[1,+∞)C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. (−∞,0)∪[1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年广东高三二模理科第13题5分若x，y满足约束条件{x+y−3⩽0x−y−3⩽0x+1⩾0，则z=y−2x的最大值是．14、【来源】 2020年广东高三二模理科第14题5分已知cos(α+π12)=35，则sin(2α+2π3)=．15、【来源】 2020年广东高三二模理科第15题5分从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是60°的有对．16、【来源】 2020年广东高三二模理科第16题5分如图，直线l过抛物线y2=4x的焦点F且交抛物线于A，B两点，直线l与圆(x−1)2+y2=1交于C，D两点，若2∣AC∣=∣BD∣，设直线l的斜率为k，则k2=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年广东高三二模理科第17题12分已知数列{a n}和{b n}满足a n⋅b n+1−a n+1⋅b n−2a n⋅a n+1=0，且a1=1，b1=1，．设c n=b n an(1) 求数列{c n}的通项公式．(2) 若{a n}是等比数列，且a2=3，求数列{b n}的前n项和S n．18、【来源】 2020年广东高三二模理科第18题12分为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(15,45]内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(15,30]内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图如图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．(1) 请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．(2) 优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”．附：K2=n(ad−bc)2，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d．(3) 用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X的分布列及数学期望．19、【来源】 2020年广东高三二模理科第19题12分如图，四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA =PC ，BD ⊥PA ．E 是BC 上一点，且EC =3BE ．设AC ∩BD =O ．(1) 证明：PO ⊥平面ABCD ．(2) 若∠BAD =60°，PA ⊥PE ，求二面角A −PE −C 的余弦值．20、【来源】 2020年广东高三二模理科第20题12分2020年四川成都高新区成都石室天府中学高三零模文科第20题已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心率为√22，且PF 1⊥F 1F 2，△PF 1F 2的面积为√22．(1) 求椭圆C 的方程．(2) 已知O 是坐标原点，向量m →=(1,1)，过点(2,0)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．若点Q (x,y )满足OQ →⋅m →=1，OM →+ON →=λOQ →，求λ的最小值．21、【来源】 2020年广东高三二模理科第21题12分已知函数f(x)=ae x −ex −a （a <e ），其中e 为自然对数的底数．(1) 若函数f(x)的极小值为−1，求a 的值．(2) 若a =1，证明：当x ⩾0时，f(x)+2x −xln(x +1)⩾0成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年广东高三二模理科第22题10分2020年广东高三二模文科第22题10分在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x 212+y24=1，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为√2ρcos(θ−π4)=a(a>0)．(1) 求直线l的直角坐标方程．(2) 已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线l1交直线l于点A，且直线l1与直线l的夹角为45°，若|PA|的最大值为6，求a的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年广东高三二模理科第23题10分2020年广东高三二模文科第23题10分已知函数f(x)=|x−1|+|x+3|．(1) 解不等式：f(x)⩽6．(2) 若a，b，c均为正数，且a+b+c=f(x)min，证明：(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2⩾493．1 、【答案】 C;2 、【答案】 A;3 、【答案】 D;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】6;;14 、【答案】−72515 、【答案】48;16 、【答案】12√2+16;17 、【答案】 (1) c n=2n−1．;(2) S n=(n−1)×3n+1．;18 、【答案】 (1) 70%，55%．;(2)有95%的把握认为产品质量高与新设备有关．;(3) X的分布列为E(X)=2.1．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) −√15．5;+y2=1．20 、【答案】 (1) x22;(2) 2−√6．;21 、【答案】 (1) 1．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) x+y−a=0．;(2) 2．;23 、【答案】 (1) {x|−4⩽x⩽2}．;(2) 证明见解析．;。
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ＝ ， ＝ ，则 ＝（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 对应复平面上的点 ，复数 满足 ＝ ，则 ＝（ ）
A. B. C. D.
3.在边长为 的等边 中， ， 分别为 ， 的中点，则
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
由向量的线性运算及平面向量数量积的运算，求解即可．
【解答】
由图可知： ＝ ＝ ， ，
， ，
所以 ，
4.
【答案】
A
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
设事件 表示：从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”，则事件 包含的基本事件的个数为： 个，又基本事件的总数为 个，代入古典概型的概率公式即可．
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）射线 与曲线 ， 分别交于 ， 两点（异于原点 ），定点 ，求 的面积．
[选修4-5:不等式选讲]
设函数 ＝ ， ＝ ．
当 ＝ 时，求不等式 的解集；
若关于 的不等式 有解，求 的取值范围．
参考答案与试题解析
2020年广东省潮州市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【解答】
依题意， ，故所有的基本事件的个数为 个，设事件 表示“从这些三位数中任取一个，则它为“凹数””，
则事件 包含的基本事件的个数为： 个，
所以从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率为 ．
5.
【答案】
A
【考点】
直线与圆相交的性质
基本不等式及其应用
【解析】
利用“乘 法”与基本不等式的性质即可得出．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若二面角 的平面角大小 满足 ，求线段 的长．
在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数 （单位：万元）与时间 （单位：年）的数据，列表如下：
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
先求出集合 ＝ ， ＝ ，然后进行交集的运算即可．
【解答】
＝ ， ＝ ；
∴ ＝ ．
2.【答案】C【考点】复数的模【解析】
由已知求得 ，代入 ＝ ，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【解答】
由题意， ＝ ，又 ＝ ，
∴ ．
∴ ．
3.
A. B. C. D.
4.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是 ， ， ，当且仅当 ，且 时称为“凸数”，若 ， ， ，从这些三位数中任取一个，则它为“凸数”的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.若直线 ＝ 过圆 ＝ 的圆心，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
6.函数 的图象大致为（ ）
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 与 的关系，请计算相关系数 并加以说明．（若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式：
参考数据： ， ．
（2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．
方案一：每满 元可减 元；
方案二：每满 元可抽奖一次，每次中奖的概率都为 ，中奖就可以获得 元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．
A. B.
C. D.
7.已知数列 满足： ， ＝ ，则 ＝（ ）
A. B. C. D.
8.如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润＝营业额-支出），根据折线图，下列说法中错误的是（ ）
A.该超市这五个月中的营业额一直在增长
B.该超市这五个月的利润一直在增长
C.该超市这五个月中五月份的利润最高
A. B. C. D.
12.已知函数 ，若在区间 上方程 ＝ 只有一个解，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
是等差数列，其前 项和为 ， ＝ ， ＝ ， 的最大值为________．
的展开式的常数项是________．
已知直线 ＝ 经过椭圆 的右焦点 ，且与椭圆在第一象限的交点为 ，与 轴的交点为 ， 是椭圆的左焦点，且 ＝ ，则椭圆的方程为________ ＝ ．
①某位顾客购买了 元的产品、该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客换得 元现金奖励的概率．
②某位顾客购买了 元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回 元现金，还是选择参加四次抽奖？说明理由．
已知函数 （ ＝ …是自然对数的底数）．
（1）求 的单调区间；
（2）记 ＝ ，其中 为 的导函数，证明：对 ， ．
已知曲线 上任意一点 到点 的距离比它到直线 ＝ 的距离小 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 的且斜率不为零的直线 与曲线 交于 ， 两点，设 ，当 （ 为坐标原点）的面积为 时，求 的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ＝ ．
如图，在直角梯形 中， ， ， ＝ ＝ ，点 是线段 上异于点 ， 的动点， 于点 ，将 沿 折起到 的位置，并使 ，则五棱锥 的体积的取值范围为________．
三、解答题（共5小题，满分60分）
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 的面积为 ．
（1）求 ；
（2）若 ， ＝ ，求 的值．
如图，四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 为正三角形，且平面 平面 ， 为 中点， ＝ ．
D.该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关．
9.已知函数 ＝ ， 对任意 恒成立，则 可以是（ ）
A. B. C. D.
10.在三棱锥 中， 平面 ， ， ＝ ， ＝ ＝ ，则三棱锥 的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
11.已知 为双曲线 的左焦点，直线 经过点 ，若点 ， 关于直线 对称，则双曲线 的离心率为（ ）
【解答】
由题意可得圆 ＝ 的圆心 ，
故 ＝ 即 ＝ ， ，
则 ＝ ，
当且仅当 且 ＝ 即 ， 时取等号．
6.
【答案】
B
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】