高考理科数学第一轮复习测试题20
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A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．
解析 在同一坐标系中作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象可知，当x ∈(－∞，m )∪(2,4)，y <0，；当x ∈(m,2)∪(4，＋∞)时，y >0，(其中m <0)，故选A. 答案 A
2．(2012·合肥模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 010)＋f (2 011)的值为( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－2 010)＝f (2 010)． ∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为2的周期函数，
∴f (－2 010)＋f (2 011)＝f (2 010)＋f (2 011) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝0＋1＝1. 答案 C
3．(2012·人大附中月考) 设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)
D ．(3,4)
解析 (数形结合法)如图所示．
由1 4．(2011·四川)函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )． 解析 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象如图；作其关于直线y ＝x 的对称图象，可知选A. 答案 A 5．(2010·辽宁)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )． A.10 B ．10 C ．20 D ．100 解析 由已知条件a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1 b ＝2，则log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2， 解得m ＝10. 答案 A 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 解析 (数形结合法) 由图象可知0＜2a ＜1，∴0＜a ＜1 2. 答案 ⎝⎛⎭ ⎫0，12 7．若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 ∵3－ 1＝13，30＝1，13＜0.618<1，∴k ＝－1. 答案 －1 8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ， 答案 (1，＋∞) 三、解答题(共23分) 9．(11分)设函数f (x )＝2|x ＋1|－|x －1| ，求使f (x )≥22的x 的取值范围． 解 y ＝2x 是增函数，f (x )≥2 2 等价于|x ＋1|－|x －1|≥3 2 . ① (1)当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝2，∴①式恒成立． (2)当－1 4 ≤x <1. (3)当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解． 综上，x 取值范围是⎣⎡⎭ ⎫3 4，＋∞. 10．(12分)已知f (x )＝e x －e － x ，g (x )＝e x ＋e － x (e ＝2.718 28…) (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值； (2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋y g x －y 的值． 解 (1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e － x )2－(e x ＋e － x )2 ＝(e 2x －2＋e －2x )－(e 2x ＋2＋e －2x )＝－4. (2)f (x )f (y )＝(e x －e － x )(e y －e － y ) ＝e x ＋y ＋e －x －y －e x － y －e －x ＋y ＝[e x ＋ y ＋e －(x ＋y ) ]－[e x － y ＋e －(x －y ) ]＝g (x ＋y )－g (x －y ) ∴g (x ＋y )－g (x －y )＝4 ① 同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8， ② 由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2， ∴g x ＋y g x －y ＝3. B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分) 一、选择题(每小题5分，共10分) 1．(2011·杭州模拟)定义运算：a *b ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ a a ≤ b b a ＞b ，如1]( )． A ．R B ．(0，＋∞) C ．(0,1] D ．[1，＋∞) 解析 f (x )＝2x *2－x ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ 2x x ≤0 ，2－x x ＞0 ，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0＜f (x )≤1. 答案 C 2．(2012·上饶质检)设函数f (x )＝2x 1＋2x －1 2，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )． A ．{0,1} B ．{0，－1} C ．{－1,1} D ．{1,1} 解析 由f (x )＝2x 1＋2x －12＝1－11＋2x －12＝12－11＋2x ， 由于(2x ＋1)在R 上单调递增，所以－11＋2x 在R 上单调递增，所以f (x )为增函数，由于2x ＞0，当x →－∞，2x →0， ∴f (x )＞－12，当x →＋∞，11＋2x →0， ∴f (x )＜12，∴－12＜f (x )＜1 2， ∴y ＝[f (x )]＝{0，－1}． 答案 B 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．(2012·安庆模拟)若f (x )＝a － x 与g (x )＝a x － a (a ＞0且a ≠1)的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝________. 解析 g (x )上的点P (a,1)关于直线x ＝1的对称点P ′(2－a,1)应在f (x )＝a － x 上，∴1＝a a － 2.∴a －2＝0，即a ＝2. 答案 2 4．(★)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 解析 (数形结合法)曲线|y |＝2x ＋1即为y ＝2x ＋1或y ＝－(2x ＋1)，作出曲线的图象(如图)，要使该曲线与直线y ＝b 没有公共点，须－1≤b ≤1.