最短路径问题——和最小

最短路径问题——和最小

【典型例题】1、已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1．

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

（2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

2、如图，抛物线y ＝1

2

x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；

（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．

3、已知，如图，二次函数y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两

点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y＝

3

3x＋3对称．

（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．

5、如图，抛物线y ＝1

2(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点

C ，顶点为

D 了．

（1）求点A ，B ，D 的坐标；

（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；

（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．

6、已知：直线l：y＝﹣2，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO＝PQ．

（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：

（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y＝ax2＋bx＋c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM．

（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD＋FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【举一反三】

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B （2，0）三点．

（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．

2、在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝﹣1

2x 2＋bx ＋c （b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直

角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限． （1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ．

（i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；

（ii ）取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．试探究PQ

NP ＋BQ 是否存在最大值？若存在，求出该最

大值；若不存在，请说明理由．

3、如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．

（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2＝d1＋1；

（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△P AC的周长有最小值，并求出△P AC 的周长的最小值．

最短路径问题——和最小

【典型例题】1、已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1．

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；

（2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．

解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O （0，0），

∴代入二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1，得出：m 2－1＝0，解得：m ＝±1，

∴二次函数的解析式为：y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x ；

（2）∵m ＝2， ∴二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1得：y ＝x 2－4x ＋3＝（x －2）2－1，

∴抛物线的顶点为：D （2，－1）， 当x ＝0时，y ＝3，∴C 点坐标为：（0，3），∴C （0，3）、D （2，－1）； （3）当P 、C 、D 共线时PC ＋PD 最短， 【方法一】∵C （0，3）、D （2，－1），

设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋3，代入得：2k ＋3＝－1，∴k ＝－

2，∴y ＝－2x ＋3， 当y ＝0时，－2x ＋3＝0，解得x ＝3

2

，∴PC ＋PD 最短时，P 点的

坐标为：P （3

2

，0）．

【方法二】过点D 作DE ⊥y 轴于点E ，

∵PO ∥DE ，∴PO DE ＝CO CE ，∴PO 2＝34，解得：PO ＝3

2，

∴PC ＋PD 最短时，P 点的坐标为：P （3

2

，0）．

2、如图，抛物线y ＝1

2

x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；

（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．

解：（1）∵点A （－1，0）在抛物线y ＝1

2

x 2＋bx －2上，

∴12×（－1 ）2＋b ×（－1）－2＝0，解得b ＝－32

， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2＝12（x －32）2－258，∴顶点D 的坐标为 （32，－25

8

）．

（2）当x ＝0时y ＝－2，∴C （0，－2），OC ＝2．

当y ＝0时，12x 2－3

2

x －2＝0，∴x 1＝－1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．

∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，∴AC 2＋BC 2＝AB 2． ∴△ABC 是直角三角形．

（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′＝2，

连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值最

小．