求数列通项公式和前N项和的方法

求数列前N 项和的方法

1. 公式法

等差数列前n 项和： 1

1

()(1)22

n

n

n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，21

1(21)k k S k a ++=+g ，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 等比数列前n 项和： q=1时，1

n

S na =

()1

111n

n

a q q S q

-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式： 1、

)

1(21

1

+==∑=n n k S n

k n 2、)

12)(1(61

1

2++==∑=n n n k S n

k n

3、2

1

3)]1(21

[+==∑=n n k S

n k n

[例1] 已知3

log 1

log 23-=

x ，求⋅

⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x

x 32

的前n

项和. 解：由2

1

2log log 3log 1log

3323=⇒-=⇒-=

x x x

由等比数列求和公式得

n

n

x x x x S +⋅⋅⋅+++=3

2

（利用

常用公式）

＝x

x x n

--1)1(＝2

11)2

1

1(21--n ＝1－n

21

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求

1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得

)1(2

1

+=

n n S n ，

)2)(1(2

1

1++=

+n n S n （利用常用公式）

∴

1

)32()(++=

n n

S n S n f ＝64

342

++n n

n

＝

n

n 64

341+

+＝

50

)8(12+-

n

n 50

1≤

∴ 当

8

8-

n ，即n ＝8时，50

1)

(max =

n f

2. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1

3

2

)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n

x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1

)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x }的通项之积

设

n

n

x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位）

①－②得 n

n n

x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--

（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

n

n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----⋅+=--

∴ 2

1

)

1()1()12()12(x x x n x n S n

n n

-+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2

2,,26,24,223

2

n

n

前n 项的和. 解：由题可知，{n

n

2

2}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n

21}的通项

之积

设

n n n S 2

226242232+⋅⋅⋅+++=

…………………………………

①

14322

226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ………………………

………② （设制错位） ①－②得1

4

3

2

2

22222222222)211(+-

+⋅⋅⋅++++=-n n

n

n

S （错位相减）

1

1

22212+--

-=n n n

∴

1

224-+-

=n n n S

练习：

求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1

①

①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ②

①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ n

x ）-（4n-3）x n

当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n

当x ≠1时，S n = 1 1-x

[ 4x(1-x n

) 1-x +1-（4n-3）x n

]