三角函数公式、性质及应用

（一）知识点

1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，2

1122

S lr r α=

=

．

2、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()

2

2

2

2

sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；

()

sin 2tan cos α

αα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛

⎫== ⎪⎝

⎭ 3、函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

4、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数

()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的

A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．

②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数

sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω

个单位长度，得到函数

()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的

A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．

,2x x k k ππ⎧⎫

≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭

6、 周期问题

()()()ω

πωϕωωπ

ωϕωω

π

ωϕω=

>>+==

>>+==>>+=T , 0 , 0A , tan 2T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , x A y x

ACos

y x ASin

y

7、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=

+ ⇒ （()(

)t a n t a n t a n 1t a n

t a n αβαβαβ

-=

-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ

++=

- ⇒ （()(

)t a n t a n t a n 1

t a n t a n

αβαβαβ+

=

+-）． 8、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin 22sin cos ααα=．2

22)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222

cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

⇒升幂公式2

sin

2cos 1,2cos 2cos 12

2

α

αα

α=-=+ ⇒降幂公式2

cos 21

cos 2

αα+=

，2

1cos 2sin 2

α

α-=

．

⑶2

2tan tan 21tan ααα

=

-．

9、利用两角和或差公式化一角一函数 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

)sin(cos sin 2

2

ϕαβα++=

+b a b a ,其中a

b =

ϕtan

（或)cos(cos sin 2

2

θααα-+=+b a b a ，其中b

a =θtan ）

（二）应用

1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）

A ．B=A ∩C

B ．B ∪C=C

C ．A ⊂C

D ．A=B=C 2．下列各组角中，终边相同的角是

（ ）

A ．

π2

k 与)(2

Z k k ∈+

π

π B ．)(3

k 3

Z k k ∈±

π

π

π与

C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈

D ．)(6

6

Z k k k ∈±

+

π

ππ

π与

3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）

A ．2

B ．

1

sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin

4．已知角α的终边在函数||x y -=的图象上，则αcos 的值为

（ ）

A ．2

2 B ．－2

2 C ．2

2或－2

2 D ．2

1

5．1sin 、1cos 、1tan 的大小关系为

（ ）

A ．1tan 1cos 1sin >>

B ．1cos 1tan 1sin >>

C ．1cos 1sin 1tan >>

D ．1sin 1cos 1tan >>

6．已知α是三角形的一个内角，且3

2cos sin =+αα，那么这个三角形的形状为 （ ）

A ．锐角三角形

B ．钝角三角形

C ．不等腰的直角三角形

D ．等腰直角三角形

7．若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为 （ ）

A ．0

B ．1

C ．－1

D ．

2

3

8．已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为

（ ）

A ．5

B ．－5

C ．6

D ．－6 9．设角则

,6

35πα-

=)

(cos )sin(sin

1)cos()cos()sin(22

2

απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于

（ ）

A ．

3

3 B ．－3

3 C ．3 D ．－3 10．下列不等式上正确的是

（ ）

A ．ππ7

4sin

7

5sin

>

B ．)7

tan(8

15tan

π

π-

>

C ．)6

sin()7

5sin(π

π-

>- D ．)4

9cos()5

3cos(ππ->-

≠