Peirce：逻辑代数中的几个符号及其它

Peirce：逻辑代数中的几个符号及其它本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！

1

现代逻辑常被人们追溯到她的奠基人Frege (Lebniz是先驱者的地位)；接着谈现代逻辑，人们会自然地找到其身后的Peano、Russell、Whitehead、Wittgenstein、Carnap(维也纳学派时期)、Quine等人，如此就认为是勾勒出了现代逻辑的脉络。这一看法多年来几乎是毫无异议的。但随着逻辑科学尤其是现代逻辑的不断发展，有潜心思考的研究者发现了那多年来一直被忽视但却蕴藏在现代逻辑诞生之初的分歧，认为分歧之中与权威相对的另一面应该值得重新或深入的研究，这另一面就是由Boole开始经由Peirce、Schröder直至后期Carnap、Tarski、Skolem等人维持的一条路线，它可看作是对逻辑基础研究的另一途径或方法。著名Peirce研究学者Ｍ.Ｈ.Fisch一语道出这一分歧的实际情形：“但Boole-Peirce-Schröder (在下文中我们简写为ＢＰＳ)路线不是被Frege-Peano-Russell-Whitehead (在下文我们简写为ＦＰＲ)路线取代了吗？不；它只是被掩盖了。”

在ＢＰＳ传统中，Peirce是位极其重要的人物，

这倒不仅是因为他天才般的思维和对哲学和逻辑史上后来工作者的实际影响，也不仅是因为他涉足领域的广泛；而主要是因为他在现代逻辑理论史上的诸多实质性的贡献。我们已经很难统计他敏锐的洞察力到底涉及到多少逻辑贡献，但根据迄今为止Peirce学者的研究成果，以下的领域是当然的和主要的：形式逻辑、逻辑代数、关系逻辑、命题逻辑、谓词逻辑、三值逻辑、模态逻辑、语言逻辑、逻辑哲学、归纳逻辑以及逻辑史研究。

Peirce早期的逻辑研究主要集中于逻辑代数。在当时，布尔逻辑刚创立不久，布尔的追随者很多，著名的有Venn、Schröder、De Morgon等人，他们之间的研究有相互启发与借鉴之处，但主要还是相互独立的。Peirce就是其中一位极具独立性又最有创新的突出人物。身为著名数学家Benjamin Peirce的儿子，Peirce本人也是一数学家，他对于代数在逻辑中的应用，得心应手，他甚至曾把“三段论”作为“联结词的代数”来研究。事实上，当时的符号逻辑就是逻辑代数。

2

在Peirce看来，现代逻辑的研究实质上就是代数到逻辑的一场“类推(analogy)”，这种“类推”的前提，

首先就是对代数中的符号的选择。不同的逻辑代数研究者都有着自己的选择，它们或者是从代数中原封不动地引入，或者是对代数中的相关符号做出逻辑意义上的改进。我们这里从Peirce逻辑代数研究中所运用的诸多符号中选取以下主要的几个，其中有的是Peirce本人独创性地提出，有的是Peirce同其他人同时提出和使用，有的是BPS传统所特有的：

一、包含于符号“—

1、A —

2 、若A —

他说，这样的定义虽然未区分开包含关系和包含于关系，但为形式逻辑目的，却是足够的。Peirce看到包含于符号具有逻辑上的优点：首先，原来布尔的符号只能表达，物的某种描述不存在，而不能说某物不存在；而使用包含于和非包含于），“griffin(一种怪兽)> 关于Peirce的“—

二、包含意义下的逻辑加”，有时直接用“+”）的使用。Peirce这样定义逻辑加：

1、A—

2、B—

3、若A—

符号“ + ”是Peirce在1867年引入的，而Jevons在1864

年，在1872年，Schröder在1877年，McColl于1877年也相继独立地提出了这一用法，即不管相互间是否相斥，都使用“+”，把不同的项加在一起。这也就是我们常说的区别于算术加的逻辑加，或者如现代逻辑中所说的相容析取。譬如“欧洲人+ 共和党人”就表示，把所有欧洲人和共和党人算在一起，而不用想尽办法，像在算术中一样，把共和党人加上两次。但若是Boole 和Venn，他们就会写成“欧洲人+ 非欧洲人的共和党人”或“非共和党人的欧洲人+共和党人”，这对于逻辑来说，显然是种不必要的麻烦。

三、对“1”的理解。同布尔一样，Peirce在逻辑上把“1”看作有限论域，而不是无限的全体域。他认为，无限域将包括逻辑上可能的所有领域。在这样一个全域中，每一全称命题，如果不是重言的，就是假的；每一特称命题，如果不是荒谬的，就是真的。我们的谈话很少涉及这种全域，我们倒是经常想起物理上可能的，或历史上存在的，或有某种虚构的世界，或是其它的有限域。这样的一种观点可认为是BPS路线的一特色之处，年仅23岁就去世的法国著名逻辑学家Herbrand 正是在一方面接受并重视了这样一种认识，另一方面精心研究《数学原理》系统的基础上，在谓词逻辑等现代逻辑理论上做出了突出贡献。事实上，在逻辑史

上这样一种观点支持了包括可能世界理论、模型论、逻辑语义学和元逻辑理论等在内的一系列理论。然而，与以上有限域的认识截然不同的观点确实在过去以及现在的逻辑学家中存在，最为典型的是Wittgenstein，其名言“一切真命题都是重言式”和“逻辑命题描述世界的脚手架”的提出，正是基于一种无限域的认识；他把现实世界与我们的语言一一对应起来，认为我们对任何系统都只有一种解释，任何时候我们都不能跳出我们唯一的语言之外去言说我们自己。

四、其它符号。以下我们将通过定义或描述的方法列出Peirce的另一些符号：逻辑等即等值“ = ”，与算术上的等号相区别，但Peirce在很多时候，干脆把它写为“ = ”，只是在逻辑上仍与符号“=”含义一样。逻辑乘定义为：

1、A，B—

2、A，B—

3、若C—

“有”定义为：x—

3

以上所谈Peirce的些许理论，当然不能概括出他全部的理论精华；其研究广度如上文所述，而且每一领域