2018年安徽省合肥市包河区中考数学一模试卷(解析版)

2018年安徽省合肥市包河区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．﹣0.2的绝对值是（）
A．0.2B．﹣C．5D．﹣5
2．计算（a2）3÷（a2•a3）的结果是（）
A．0B．1C．a D．a3
3．2017年包河区教育总投入达9.3亿元，与2008年相比，10年间增长了5倍，将9.3亿用科学记数法表示应为（）
A．9.3×104B．9×106C．9.3×108D．9.3×1010
4．将图中的几何体沿竖直方向切掉一半后得到的新几何体与原几何体相比，不变的是（）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．主视图和左视图
5．把多项式4a2b+4ab2+b3因式分解，正确的是（）
A．a（2a+b）2B．b（2a+b）2C．b（a+2b）2D．4b（a+b）2
6．设x1为一元二次方程2x2﹣4x＝较小的根，则（）
A．0＜x1＜1B．﹣1＜x1＜0C．﹣2＜x1＜﹣1D．﹣5＜x1＜﹣
7．期末考试后，数学老师从人数相当的九（1）、九（2）两个班各随机抽取了20名学生，将他们的数学成绩分为A，B，C，D，E共5个等级，井绘制成不完全的统计图如下：
设九（1）、九（2）班学生成绩B等级的人数分别为x、y，则下列结论成立的是（）A．x＝y B．x＜y
C．x＞y D．x与y的大小不能确定
8．如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PO与⊙O相交于B点，B为OP的中点，C为⊙O上一点，AC∥OP，则∠PAC+∠POC＝（）
A．255°B．285°C．280°D．270°
9．如图，在四边形ABCD中AC，BD为对角线，AB＝BC＝AC＝BD，则∠ADC的大小为（）
A．120°B．135°C．145°D．150°
10．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，12）和B（6，2）两点．点P是线段AB上一动点（不与点A和B重合），过P点分别作x、y轴的垂线PC、PD交反比例函数图象于点M、N，则四边形PMON面积的最大值是（）
A．B．C．6D．12
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．64的算术平方根是．
12．计算：（1﹣）•＝
13．如图，AB是⊙O的直径，CD切O于D，AC⊥D，垂足为C，已知，AB＝4，BAC＝110°，则劣弧AD的长为．
14．如图，在△ABC中，已知：AB＝AC＝6，BC＝8，P是BC边上一点（P不与点B，C重合），∠DPE＝∠B，且DP边始终经过点A，另一边PE交AC于点F，当△APF为等腰三角形时，则PB的长为．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：（x﹣3）2﹣（x﹣2）（x+2）
16．某市计划建设一条总长为30000米的轻轨线，已知甲工程队平均每天能比乙工程队多建设20米，平均每天的经费也比乙工程队多40%，经测算：两个工程队单独完成这项工程所需总经费相同，求甲、乙两工程队每天各能建设多少米？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12×2网格中，给出了格点△ABC和直线l．（1）画出△ABC关于直线l对称的格点△A′B′C；
（2）在直线l上选取一格点，在网格内画出格点△DPE，使得△DPE∽△ABC，且相似比为2：1．
18．如图，某蔬菜批发商早上必须从公路MN上的仓库A先将蔬菜送到B超市，再从B起市送到C
超市，M、N、A、B、C均在同一平面内，已知∠BAN＝60°，∠ABC＝40°，AB＝2km，BC＝3km，求C超市到公路MN的距离（精确到0.1km，参考数据：sin20°≈034，cos20°≈0.94，≈1.73）．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，每个图形可以看成由上下左右4个等腰梯形组成或者是外围大正方形减去正中间的正方形（阴影部分），而每个等腰梯形又由若干个更小的全等正方形和全等等腰直角三角形组成，且等腰直角三角形的面积正好是小正方形面积的一半，设小正方形的面积为1，到第①个图形的面积为4（2×1+4×）＝16，第②个图形的面积为4（5×1+5×）＝30，第③个图形的面积为4（9×1+6×）＝
48，……．
根据上述规律，解答下列问题：
（1）第④个图形的面积为：4（×1+×）＝；
第⑤个图形的面积为：4（×1+×）＝；
（2）第n个图形的面积为：4（×1+×）（用含n的式子填空）；
（3）上面的图形还可看成一个大正方形再减去中间1个小正方形组成，这时，第①个图形的面积为（3）2﹣2，第②个图形的面积为（4）2﹣2，第③个图形的面积为（5）2﹣2，……
再根据这个规律，完成下列问题：
①按此规律，第n个图形的面积为，（）2﹣2 （用含n的式子填空）；
②比较两个猜想，写出你发现的结论并验证．
20．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是CD上一点，DE＝2，点P、Q是AD、AC上两动点．
（1）如图1，当EP∥AC，PE⊥PQ时，求PQ的长；
（2）求PE+PQ的最小值．
六、（本题满分12分）
21．甲、乙两人分别在道路的A、B两处．
（1）如图（1），若两人“向东”或“向西”随机运动，求两人“相向而行”的概率；
（2）如图（2），若两人在“”形道路上“向东”、“向西”、“向南”、“向北”随机运动，已知甲的速度比乙块，求两人“不会相遇”的概率．
七、（本题满分12分）
22．某商场在网上和实体店同时销售一批进价为400元/件的某种服装．规定：销售毛利润＝销售收入﹣买入支出．
（1）若商场将这种服装的网上销售价格和实体销售价格分别定为500元/件和600元件，且要求网上销售量不少于实体店销售量的．求怎样安排100件这种服装在实体店和网上销售，售完后可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？
（2）已知：这种服装的销售量y（件）与销售价格x（元/件）满足函数关系y＝﹣0.5x+450．
①如果该商场统一将此服装定价为600元件，求此时售完后商场的销售毛利润；
②销售价格统一定为多少元时，售完后可获得最大销售毛利润？最大销售毛利润为多少？
八、（本题满分14分）
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2，P为△ABC所在平面内一点，分别连结PA，PB，PC．
（1）如图1，已知：∠APB＝∠BPC＝∠APC，以点A为旋转中心，将△APB顺时针旋转60度，
得到△AMN；
①请画出图形，并求证：C、P、M、N四点在同一条直线上；
②求PA+PB+PC的值．
（2）如图2，如果点P满足∠BPC＝90°，设Q是AB边中点，求PQ长的取值范围．
2018年安徽省合肥市包河区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．【分析】直接利用绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．
【解答】解：﹣0.2的绝对值是：0.2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握相关定义是解题关键．
2．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：（a2）3÷（a2•a3）
＝a6÷a5
＝a．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9.3亿＝9.3×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】左视图是从左边看所得到的视图，根据左视图所看的位置找出答案即可．【解答】解：将图中的几何体沿竖直方向切掉一半后得到的新几何体的左视图为梯形，原几何体的左视图为梯形，故左视图不变，
故选：B．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
5．【分析】首先提取公因式b，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：4a2b+4ab2+b3
＝b（4a2+4ab+b2）
＝b（2a+b）2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．6．【分析】求出方程的解，求出方程的最小值，即可求出答案．
【解答】解：2x2﹣4x＝，
8x2﹣16x﹣5＝0，
x＝＝，
∵x1为一元二次方程2x2﹣4x＝较小的根，
∴x1＝＝1﹣，
∵5＜＜6，
∴﹣1＜x1＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估算无理数的大小．
7．【分析】根据各等级人数之和等于总人数求得x的值，用总人数乘以B等级人数所占百分比求得y的值，从而得出答案．
【解答】解：∵x＝20﹣（1+3+5+5）＝6，y＝20×（1﹣10%﹣45%﹣10%﹣15%）＝4，
∴x＞y，
故选：C．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
8．【分析】连接AB、OA，如图，先利用切线的性质得∠OAP＝90°，再根据斜边上的中线等于斜边的一半判断△OAB为等边三角形，则∠AOP＝60°，接着利用平行线的性质得到∠AOP＝∠OAC＝60°，则∠AOC＝60°，然后计算∠PAC+∠POC．
【解答】解：连接AB、OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵B为OP的中点，
∴AB＝BP＝BO，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
∵AC∥OP，
∴∠AOP＝∠OAC＝60°，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠PAC+∠POC＝90°+60°+60°+60°＝270°．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了等边三角形的判定与性质．
9．【分析】先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°可得∠ABC＝60°，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠ADB、∠BDC，然后根据∠ADC＝∠ADB+∠BDC 求解即可．
【解答】解：∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝BC＝BD，
∴∠ADB＝（180°﹣∠ABD），
∠BDC＝（180°﹣∠CBD），
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC，
＝（180°﹣∠ABD）+（180°﹣∠CBD），
＝（180°+180°﹣∠ABD﹣∠CBD），
＝（360°﹣∠ABC），
＝180°﹣×60°，
＝150°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，本题主要利用了等腰三角形两底角相等，要注意整体思想的利用．
10．【分析】设反比例函数解析式为y＝，一次函数解析式为y＝ax+b，根据点的坐标利用待定系
数法求出反比例与一次函数的解析式，再利用分割图形求面积法找出S
四边形PMON
关于m的函数关系式，利用配方法解决最值问题．
【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，一次函数解析式为y＝ax+b，
将点A（1，12）代入y＝中，得k＝12，
∴反比例函数解析式为y＝，
将点A（1，12）、B（6，2）代入y＝ax+b中，
得，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+14．
设点P的坐标为（m，14﹣2m），
则S
四边形PMON ＝S
矩形OCPD
﹣S
△OCM
﹣S
△ODN
＝S
矩形OCPD
﹣|k|＝m（14﹣2m）﹣12＝﹣2m2+14m﹣12
＝﹣2+，
∴四边形PMON面积的最大值是．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及反比例函数与一次函数交点的问题，解题的关
键是找出S
四边形PMON
关于m的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，利用分割图形求面积法是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．【分析】直接根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵82＝64
∴＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是算术平方根必须是正数，注意平方根和算术平方根的区别．
12．【分析】先计算括号内分式的减法，再计算乘法即可得．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．13．【分析】连接OD，如图，利用切线的性质得到OD⊥CD，则判断AC∥OD，则根据平行线的性质计算出∠AOD的度数，然后根据弧长公式计算劣弧AD的长．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD切O于D，
∴OD⊥CD，
∵AC⊥CD，
∴AC∥OD，
∴∠AOD+∠OAC＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣110°＝70°，
∴劣弧AD的长＝﹣π．
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了弧长公式．14．【分析】需要分类讨论：①当AP＝PF时，易得△ABP≌△PCF．
②当AF＝PF时，△ABC∽△FAP，结合相似三角形的对应边成比例求得答案．
③当AF＝AP时，点P与点B重合．
【解答】解：①当AP＝PF时，易得△ABP≌△PCF，则PC＝AB＝6，故PB＝2．
②当AF＝PF时，△ABC∽△FAP，
∴＝＝，即PC＝．
∴PB＝．
③当AF＝AP时，点P与点B重合，不合题意．
综上所述，PB的长为2或．
故答案是：2或．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简即可．
【解答】解：原式＝x2﹣6x+9﹣x2+4＝﹣6x+13．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．16．【分析】设甲工程队平均每天能建设x米，则乙工程队平均每天能建设（x﹣20）米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两个工程队单独完成这项工程所需总经费相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设甲工程队平均每天能建设x米，则乙工程队平均每天能建设（x﹣20）米，根据题意得：（1+40%）＝，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是原分式方程的解，
∴x﹣20＝50．
答：甲工程队平均每天能建设70米，乙工程队平均每天能建设50米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．【分析】（1）直接利用关于l对称点的性质得出答案；
（2）直接利用相似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示：△DPE即为所求．
【点评】此题主要考查了相似变换以及对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
18．【分析】别过B，C两点作BE⊥MN于E，CD⊥MN于D，过C作CF⊥BE于F，构建直角三角形进行解答即可．
【解答】解：分别过B，C两点作BE⊥MN于E，CD⊥MN于D，过C作CF⊥BE于F，
在直角三角形ABE中，AB＝2km，sin60°＝，BE＝＝1.73（km），
在直角三角形BCF中，BC＝3km，∠BCF＝90°﹣30°﹣40°＝20°，sin20°＝，
∴BF＝1.02（km），
CD＝1.73﹣1.02≈0.7（km），
∴C超市到公路MN的距离为0.7km．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，要求学生能借助辅助线构造直角三角形并解直角三角形．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．【分析】（1）探究规律，利用规律解决问题即可；
（2）利用（1）中规律解决问题即可；
（3）探究规律，利用规律解决问题即可；
【解答】解：（1）第④个图形的面积为：4（14×1+7×）＝70；
第⑤个图形的面积为：4（20×1+8×）＝96；
故答案为14，7，70，20，8，96；
（2）第n个图形的面积为：4{[2+3+4+…+n+n+1]×1+（n+3）×}；
故答案为2+3+4+…+n+n+1，n+3；
（3）①按此规律，第n个图形的面积为，[（n+2）]2﹣2 （用含n的式子填空）；
②猜想：4{[2+3+4+…+n+n+1]×1+（n+3）×}＝[（n+2）]2﹣2．
证明：右边＝2n2+8n+6，
左边＝4×+2n+6
＝2n2+8n+6，
∴右边＝左边，
∴4{[2+3+4+…+n+n+1]×1+（n+3）×}＝[（n+2）]2﹣2．
故答案为（n+2）．
【点评】本题考查等腰梯形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、规律型问题等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．20．【分析】（1）只要证明△APQ∽△ACD，可得＝，由此即可解决问题；
（2）如图2中，作点E关于AD的对称点F，作FQ⊥AC于Q，交AD于P，连接PE，此时PQ+PE 的值最小；
【解答】解：（1）∵AB＝6，AD＝8，
∴AC＝10，CD＝AB＝6，
∵PE∥AC，
∴＝，
∴＝，
∴DP＝，
∵PQ⊥PE，
∴PQ⊥AC，
∴△APQ∽△ACD，
∴＝，
∴＝，
∴PQ＝．
（2）如图2中，作点E关于AD的对称点F，作FQ⊥AC于Q，交AD于P，连接PE，此时PQ+PE 的值最小．
∵DE＝DF＝2，CF＝8，∠F＝∠CAD，
∴tan∠F＝tan∠CAD，
∴＝，设CQ＝3x，FQ＝4x，
在Rt△CFQ中，（3x）2+（4x）2＝82，
解得x＝，
∴FQ＝4x＝，
∴PQ+PE的最小值为．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．六、（本题满分12分）
21．【分析】（1）根据两人的运动方向共有4种等可能结果，而相向而行的只有1种情况，利用概率公式计算可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中先确定相遇的情况只有“相向而行”和“两人都向东”
这2种情况，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）根据题意知，两人的运动方向共有4种，且每种情况发生的可能性相同，而相向而行的只有1种情况，
所以两人“相向而行”的概率为；
（2）画树状图如下：
由树状图知共有16种等可能结果，其中相遇的情况只有“相向而行”和“两人都向东”这2种情况，
所以两人“不会相遇”的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
七、（本题满分12分）
22．【分析】（1）根据题意可以得到利润与网上销售的件数的函数关系式，再根据不等式的性质即可解答本题；
（2）①根据题意可以得到该商场统一将此服装定价为600元件，此时售完后商场的销售毛利润；
②根据题意可以得到相应的函数关系式，即可解答本题．
【解答】解：（1）设网上销售的件数为n件，销售利润为w元，
w＝（500﹣400）n+（600﹣400）（100﹣n）＝﹣100n+20000，
∵网上销售量不少于实体店销售量的．
∴n≥（100﹣n），得n≥25，
∴当n＝25时，w取得最大值，此时w＝17500，100﹣x＝75，
答：网上销售和实体店销售分别为25件、75件时，售完后可获得最大毛利润，最大毛利润是17500元；
（2）①当x＝600时，y＝﹣0.5×600+450＝150，
∴此时售完后商场的销售毛利润是：（600﹣400）×150＝30000（元），
即此时售完后商场的销售毛利润是30000元；
②销售毛利润w与销售价格x的函数关系为：
w＝（x﹣400）y＝（x﹣400）（﹣0.5x+450）＝﹣0.5x2+650x﹣180000＝﹣0.5（x﹣650）2+31250，∴当x＝650时，w取得最大值，此时w＝31250，
答：销售价格统一定为650元时，售完后可获得最大销售毛利润，最大销售毛利润是31250元．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
八、（本题满分14分）
23．【分析】（1）①欲证明C、P、M、N四点在同一条直线上，只要证明∠APC+∠APM＝180°，∠AMN+∠AMP＝180°即可；
②只要证明PA+PB+PC＝PC+PM+MN＝CN，在Rt△CBN中，利用勾股定理求出NC即可；
（2）如图2中，由∠BPC＝90°，推出点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），设BC 的中点为O，作直线OQ交⊙O与P和P′，可得PQ的最小值为﹣1，PQ的最大值为+1，PQ≠2，由此即可解决问题；
【解答】（1）①证明：如图，
∵△APB≌△AMN，△APM是等边三角形，
∴∠APM＝∠APM＝60°，
∵∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°，
∴∠APB＝∠BPC＝∠APC＝∠AMN＝120°，
∴∠APC+∠APM＝180°，∠AMN+∠AMP＝180°，
∴C、P、M、N四点在同一条直线上；
②连接BN．∵△ABN是等边三角形，
∴∠ABN＝60°，∵∠ABC＝30°，
∴∠NBC＝90°，
∵AC＝2，
∴AB＝BN＝4，BC＝2，
∵PA＝PM，PB＝MN，
∴PA+PB+PC＝PC+PM+MN＝CN，
在Rt△CBN中，CN＝＝2，
∴PA+PB+PC＝2．
（2）如图2中，
∵∠BPC＝90°，
∴点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），
设BC的中点为O，作直线OQ交⊙O与P和P′，
可得PQ的最小值为﹣1，PQ的最大值为+1，PQ≠2，
∴﹣1≤PQ≤+1且PQ≠2．
【点评】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。