DVD在线租赁问题数学模型
数学建模——DVD在线租赁
DVD在线租赁问题优化方案（田密万国）摘要本文依托现实网站DVD在线租赁预测、购买和分配方式，抽象简化出主要以网站购置量少、分配方式好以及会员满意度高为目标的数学模型，并通过合理简化假设进行需求预测，并建立优化模型。
问题一：我们建立DVD利用率数学模型，得到了至少50%在一个月内能够看到各种DVD至少需要的DVD张数分别为6250,3125,1563,782,313，以及三个月内能保证至95%的会员能够看到各种DVD至少需要的每种DVD的张数分别为3959,1980,990,495,198。
（具体见表一）问题二：首先通过对数据的分析定义了关系式：满意度f ij=11－偏爱度d ij，建立整数规划模型。
用Lingo解得最大满意度为24746,以及前三十名会员的分配方案（见表一），全部会员的分配方式（见附表DVDc.xls）。
问题三：要求DVD购置量最小与满意度最高是决策问题的关键，平衡DVD购置量和会员满意度，找到较好的购置方式及分配方案。
于是有两个目标：DVD购买总量最少，总满意度最大。
采用分层序列法将多目标规划转换为单目标规划，用Lingo编程解得DVD 购买总量2850张, 最大满意度为25650,以及分配方式（见附表DVD3c.xls）。
问题四：我们的想法是从网站最大化客户满意度与最大利润双目标的具体实现入手，可以考虑设立不同等级优先度的策略，以及减少DVD人为或运输破损等造成的损失，来共同提高会员整体满意度和实现效益最优。
关键词：整数规划模型，满意度，0-1规划，多目标规划，Lingo一、问题重述信息时代，网络发挥越来越重要的作用，许多网站利用强大资源和知名度为消费者提供专业便捷的服务。
音像制品的在线租赁即为其中一项，充分发挥了网络诸多优势，为顾客提供了周到的服务。
考虑在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员提交订单，网站根据现有的DVD数量和会员的订单进行分发，并基于其偏爱程度排序。
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）B题：DVD在线租赁随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从/mcm05/problems2005c.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
数学建模2005B DVD在线租赁(山东大学)
DVD 在线租赁方案摘要摘要本论文通过对DVD 租赁问题的抽象简化，建立了一个明确的、完整的数学模型，分别用线性规划模型与递归算法对DVD 分配进行优化，设计出一个使得会员满意度较高的分配方案。
针对问题一,我们利用正态分布等概率论知识建立了一个较为完整而又简单的数学模型1.6j j j d Q ω≥×在问题四中，关于问题一我们利用货币流通模型和信息源的最大熵原理，建立起关于需求量的另一种模型：j j j m d n ω=针对问题二, 考虑到当天会员的偏爱度加和可以用来衡量满意度，我们提出了在两种不同网站运行模式下的分配方案，方案一运用线性规划很好的解决了分配问题，使得满意度最大。
方案二运用递归算法较好的解决了此问题，并且跟方案一结果相当吻合。
针对问题三,我们利用问题一和问题二建立的数学模型组合起来解决了当前DVD 的购买和分发问题，并阐述了动态规划的方法。
针对问题四,我们从DVD 需求预测角度出发，利用本模型特点合理的引入了传染病模型，有效的解决了该预测问题。
最后,我们对模型的科学性和现实性进行了阐述,并得到了对模型的整体评价,及急需改进之处.关键字关键字:: 正态分布 线性规划 递归算法 货币流通 最大熵原理 SIS 模型SIR 模型问题重述问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
DVD 的在线租赁就是一种可行的服务。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD 租赁服务。
会员对哪些DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁.1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD 的数据）。
DVD在线租赁的数学模型
DVD在线租赁的数学模型数学模型是通过数学语言、符号和算法来描述和解释现实生活中的问题的工具。
DVD在线租赁业务是一种基于数字技术和互联网的新型商业模式，对于该业务，数学模型有着非常重要的应用价值。
下面将介绍DVD在线租赁业务的数学模型。
一、问题描述DVD在线租赁业务是一种基于互联网的流媒体服务，用户可以通过网络订购所需的DVD，收到DVD后使用一段时间后再归还。
该业务存在一些关键问题，比如如何安排库存，如何控制用户租赁时间等问题。
下面将对这些问题进行具体描述。
1. 库存安排问题在DVD在线租赁业务中，每个DVD的使用时间不同，一些DVD可能会在一段时间内连续租出，而另一些DVD则可能长时间放置于库存中未被租赁。
因此，如何安排库存是一个非常重要的问题。
库存成本和库存量之间存在着一定的关系，库存量越高，库存成本则越高。
因此，需要找到一个合适的库存量，使库存成本最小化。
2. 用户租赁时间问题用户租赁时间会直接影响业务的盈利情况。
用户租赁时间越长，公司的收益也就越高。
但是，租赁时间过长也会导致库存中的DVD数量减少，增加库存成本。
因此，需要找到一个合适的租赁时间，使业务的收益最大化。
二、数学模型DVD在线租赁业务的数学模型可以采用动态规划模型来描述。
该模型可以将库存管理和用户租赁时间问题结合起来，以最大化业务的盈利为目标。
1. 库存管理的动态规划模型库存管理问题可以用动态规划模型来解决。
假设有一个DVD的库存，指定库存中每个DVD可以被租赁的最大时间为t，且每个DVD被租赁的时间是相互独立的。
那么该问题可以表述为：设f(i,j)表示前i个DVD中所有租赁时间不超过j的最大收益，则有：f(i,j) = max{f(i-1,j-k) + profit(i,k)}, 0 <= k <= t其中，profit(i,k)表示第i个DVD租赁k天的收益，f(i,j-k)表示前i-1个DVD所有租赁时间不超过j-k的最大收益，可以使用递推公式计算出f(i,j)。
DVD在线租赁
DVD在线租赁摘要在科学技术高速发展的今天，特别是因特网建立后,网络更是成为我们传播信息的主渠道以及一种莫大的经济资源。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务，如：DVD在线租赁。
本文解决的是一个DVD在线租赁问题，模型主要涉及到DVD的数量，一个月中租用的次数以及会员对各DVD的满意度。
模型中运用了0-1型整数规划，并采用LINGO数学软件来求解模型。
在处理第一问时，对于一个月满足50%的情况，分析完后用了一个简易包络图来描述。
并依照分析建立了一个以调查表中各DVD 愿意观看的人数为参数的数学模型。
得出对于各种DVD分别需要准备的张数为：6250、3125、1563、782、313；在该模型的基础上，增加了对一个月租两次的会员优先考虑的条件，而建立了一个新的模型，同时解得各种DVD需要分别准备5000张、2500张、1250张、625张、250张。
由此比较得出第二个模型更优。
对于三个月满足95%的情况，在模型的建立的过程把三个月分成6个阶段，用包络图直观的表述出来，同时根据包络图建立出数学模型。
根据模型可解得各种DVD应准备的量，分别为：4260张、2130张、1065张、533张、213张。
也在此基础上，给一个月租两次的会员优先权时，又可建立一个模型。
模型求解得：各种DVD分别需要准备3800张、1900张、950张、475张、190张。
同样也得出了一个更优的方案。
在第二问的模型建立的时候，本文是用会员们的在线定单上所显示出来的意愿顺序数的倒数，来表示会员对该DVD的满意度。
以满意度最大为目标函数。
同时根据题目列出其约束条件，运用LINGO 8.0编程、并计算得出了所有DVD的分配情况（附录一）。
在解决问题三的时候，也以满意度最大为目标函数。
改变三个约束条件，也同样运用LINGO 8.0编程、并计算得出分配情况（附录二），在本文中运用了表格的形式表述出了各种DVD的购买量。
11560-数学建模-2005年BD题《DVD在线租赁》题目、论文、点评
2005年B\D题《DVD在线租赁》题目、论文、点评DVD租赁优化方案王颖高德宏...在线租赁是信息时代发展的必然趋势。
在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD 的预测、购买和分配。
本文提出了简单随机抽样、分类预测和关联预测等三种方法进行需求预测。
针对问题一，利用需求预测得到观霜DVD的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买DVD的数量。
以会员的最大满意度为目标函数，建立一个整数规划模型，得到问题二的分配方案。
并计算出前30位会员的分配结果。
在问题三中，我们考虑到60％的会员由于两次租赁而导致DVD可重复利用，因而，采用了两阶段购买的策略，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划，从而得到的购买量比原来网站拥有量小，并且会员的满意度达到99．38％，本文最后还给出了考虑归还DVD周期的情形下购买与分配的模型。
DVD租赁优化方案.pdf (388.78 KB)DVD在线租赁系统的优化设计李蓬蓬朱小满...本文在DVD在线租赁背景下，对DVD的租赁与归还，网方的购买与分配以及需求预测等相关问题进行了建模和研究。
首先，对题中给出的表示会员对各DVD的偏爱程度的偏好指数进行修正，提出了绝对满意度和相对满意度的合理定义。
在模型的建盘和求解上，本文首先建立了基于DVD租用次数限制的通用模型和以Pois8ion过程模拟DVD归还过程的随机服务模型解决了在预知市场需求的情况下，各DVD采购量的问题。
随后，建立0-1整数线性规划模型并结合Lingo软件进行求解，很好地回答了现有碟的一次性分配问题。
结合抽样统计的知识，建立0-1规划模型用以解答第三问的多目标规划问题。
在双目标规划的求解处理上，采取以满意度为限制条件，以碟的总量最小为目标进行规划的方式寻优求解。
针对第四问，本文引入VIP机制，分别建立并求解了VIP会员与普通会员的权重不同时的加权规划模型、VIP会员有优先权的分层规划模型。
还简单讨论了会员的信用度、邮递时间、租赁规则、DVD价格因素等实际问题DVD在线租赁系统的优化设计.pdf (315.72 KB)DVD租赁问题的模型设计及求解王成文野...本文讨论了DVD在线租赁的服务供应商可能遇到的问题与其解决方案。
DVD在线租赁问题的数学模型和计算
收 稿 日期 ： ０７— ０— ８ ２０ １ ０
作者简介 ： 张
立（ ９４ ） 男 ， １７ 一 ， 江苏武进人 ， 常熟理工学 院数学系讲师 ， 硕士 ， 研究方向 ： 优化和数学建模
维普资讯
第 ２期
张
立 ：Ｖ Ｄ Ｄ在线 租赁 问题 的数 学模 型和计算
３ ： ．Ａ 每月 租借 Ｄ Ｄ一 次 的会 员 的 比例 ；：每月 租借 Ｄ Ｄ两 次 的会 员 的 比例． Ｖ Ａ： Ｖ
４ 第 ｉ Ｄ Ｄ应该 准备 的数 量 （ ＝１２， ， ， ） ．ｂ： 种 Ｖ ｉ ， ３４５ ． ５ ． 一个 月 内对第 ｉ Ｄ Ｄ有需 求 的会员 得到 满足 的 比例 （ ＝１２ ３ ４ ５ ． ． ： 种 Ｖ ｉ ，， ，，） ６ Ｄ：Ｄ Ｄ每月可 用 次数 的数学期 望． ．Ｅ Ｖ ７ ， 一 个月 内对第 ｉ ．Ｑ ： 种需 求 的人数 上 限（ ＝１２ ３４， ） ｉ ，， ， ５ ．
１ ２， ．０） ， … ２ ．
３ 模 型 的建 立 和 求 解
对第 一个 问题 ， 考虑 到会 员 租 赁 的 实 际情 况 ， １中给 出 的某 种 Ｄ Ｄ的人 数 可 以看 成 是 某 月 选 择 该 表 Ｖ Ｄ Ｄ人 数 的数 学期 望 ， 月 实际选 择该 Ｄ Ｄ的人数 会有 少许 波动 ， 文认 为对 第 种 Ｄ Ｄ的总 的需 求可 以 Ｖ 每 Ｖ 本 Ｖ
３ ７
３ ．客 户提 交订单 应该 注 明 自己的租借 类 型 ： 该月 内一 次或 者两 次． ４ ．对 于租借 一 次或者 两次 的会员 ， 员 必须在 ３ 该会 ０天 内归 还所借 的 Ｄ Ｄ Ｖ．
符号 和变量 说 明如下 ： １ ．Ｎ：网站现 有 的会 员人 数． ． ２ Ｐ ： ｉ Ｄ Ｄ被选 中的概率 （ ＝１２ ３ ４， ） ｇ： ｉ Ｄ Ｄ没有 选 中的概率 （ ＝１２ ３， ５ ． ． 第 种 Ｖ ｉ ， ， ， ５ ； 第 种 Ｖ ｉ ， ， ４， ）
论文(dvd租赁)
基于0-1规划及多目标规划问题的DVD在线租赁问题摘要本文是在DVD在线租赁背景下，根据会员的偏爱指数，对DVD的租赁与归还，网站对DVD的采购及分配问题进行分析。
同时要考虑会员的最大满意度以及使商家达到最大的收益额，本文主要利用线性规划思想对问题做了模型研究。
对问题一是在预知会员需求量的情况下，确定5种DVD购买量的问题。
本文依据不同租赁周期进行建模分析，并建立了基于DVD实际可租用次数的通用模型，并利用LINGO进行求解。
求出保证至少50%会员一个月内看到5种DVD的所需购买量分别为：DVD1为6250张，DVD2为3125张，DVD3为1563张，DVD4为782张，DVD5为313张。
保证至少95%会员一个月内看到5种DVD的所需购买量分别为：DVD1为3959张，DVD2为1980张，DVD3为990张，DVD4为495张，DVD5为594张。
对问题二是在预知DVD总量的情况下，进行的一次分配问题。
本文在建立模型之前，首先对会员偏爱指数进行了处理，排出了0对模型的干扰，然后通过建立0-1整数线性规划的模型，利用LINGO进行最大满意度求解以及对应的最优分配。
求出最大满意度E为24746，以及前三十名会员的DVD分配情况。
对于问题三,运用多目标规划，求解每种DVD的购买量及对DVD的分配，使之达到满意度最大。
由于有60%的会员每月租赁DVD两次，而另外40%的会员每月租赁一次，所以进行分段求解。
第一次租赁时，建立多目标规划模型，由赋权得，满意度最大为2895，购买量为2850；第二次租赁时，考虑到第一次归还的情况，得出100种DVD购买总数为3111张。
对于问题四，基于现实生活中会出现会员拖延归还时间，损坏DVD，以及每月租赁次数较少的情况，本文给出了两条营销建议：1、建议DVD租赁公司建立会员诚信制，以减少DVD损坏情况及规范归还秩序。
2、增加每月租赁次数，增加的次数由会员自行承担邮费，为网站增加部分收益。
DVD在线租赁问题的最优规划模型
中圈分 类号 ： Ｂ１４ 文 献标 识码 ： 文章 编 号 ：６ ２２ ６ （０ ６０ －０ ６ ０ Ｔ １ Ａ １７ — ８ ８２０ ）６－ ０ － ５ ０
ｌ 引 言
生 数 学建 模 竞 赛 （ Ｕ Ｍ）０ ５ Ｃ ＭＣ ２ ０ Ｄ题 为 例 【 应 用 ｌ 】 ， 线 性 规 划 方 法 。建 立 关 于 此 问 题 的最 优 规 划 模
所 分得 的 ＤＶ 的满意度 为 ： ＝ Ｄ Ｍｉ
ｏ
× ‘ ，
凡个会员 的总体满意度为：
＾
＝
程度 。依此 ， 我们可 以将会员的在线订单上凡是 非０ 项全部算作 １从而可 以计算出定单上该张 ， Ｄ 的总数 。
另 外 ， 们 还 应 考 虑 到 ， 为 网 站 方 ， 该 我 作 应 是 定 购 的 ＤＶ 数 量 最 小 但 同 时 又 应 该 能 使 会 Ｄ 员 的满 意 度 最 大 。上 法 确 定 的 ＤＶ 数 没 有 考 Ｄ 虑 到 满 意 度 的 问题 。 为 此 。 们 参 考层 次 分 析 我
随着互 联 网 的迅 速发 展 ， 电子 商务 已经成 为
一
种新的商务手段。Ｄ Ｄ在线租赁问题 ， Ｖ 就是许
型 ．并应用 ＬＮ Ｏ软件和 Ｍ Ⅱｂ软件进行模型 ＩＧ ａａ
的分 析和求 解 。
２ 建模 ２１ 符 号说 明 ．
多 知名 网站利 用 自己拥有 的知 名度 ， 对入 会 的会 员进 行 在线服务 的一种形 式 。网站对顾 客 收费成 为会 员 ， 受 Ｄ 享 ＶＤ租 赁服 务 。会 员对 网站 提供 的
０６× ２ ＋０４Ｘ Ｘ凡 ｃ ． ｘ ｘ凡 ． ≥ｓ加 ｍ％ （ ） Ｘ １
DVD在线租赁DVD在线租赁数学建模
DVD在线租赁一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
2005DVD租赁论文
DVD 在线租赁模型摘要随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
本文通过对DVD 在线租赁问题的研究，建立了根据统计规律及优化模型相关知识来确定DVD 在线租赁最优问题解决方案的数学模型。
对于问题一:首先通过表1 对1000个会员调查的部分结果可以计算出10万会员对5种DVD 的接受比例，然后通过估算比例可以得知对应的估算10万会员中愿意观看每类DVD 会员人数。
为了简化模型，在这里暂认为归还时间规律可用正态分布函数曲线描述，即：在月初与月末的归还量都比较少，在每月15号时归还量达最大值，由于有60%的会员会在一月内租借两次，则假设15号为第一次租赁归还最后期限，即：希望租赁第二次的会员已在15号将第一次租赁的光盘全部归还。
则通过图表5.1.3可知，有两次租赁意向的会员的回收光盘可满足其余40%的一次租赁的会员需求。
那么仅考虑在月初满足60%有二次租赁意向的会员需求即可。
具体求解过程见模型建立与求解。
对于问题二：由于在表格中数字0表示对应的DVD 当前不在会员的在线订单中，并且会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高。
所以为了在求解过程中0不影响满意度的计算，则现把0均改为10进行求解。
为了用现有DVD 的数量来保证最大满意度，则考虑尽先满足会员的渴求度最大的DVD 影片，会员编号为i ，DVD 编号为j ，第j 号DVD 的现有数量为j A ，第i 个会员对第j 号DVD 的渴求度记为ij x ，满足第i 个会员对第j 号DVD 的租赁要求记为ij y =1，否则ij y =0，由于在表格中数字0表示对应的DVD 当前不在会员的在线订单中，并且会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高。
所以为了在求解过程中0不影响满意度的计算，则现把0均改为10进行求解。
DVD在线租赁(2005年数学建模D题)
2005年数学建模D题
问题重述
考虑如下的在线DVD租赁问题。 考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成 DVD租赁问题 为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣， DVD租赁服务 DVD有兴趣 为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提 交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。 交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的 订单包括多张DVD 这些DVD是基于其偏爱程度排序的。 DVD， DVD是基于其偏爱程度排序的 订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根 据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。 DVD数量和会员的订单进行分发 据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租 赁次数不得超过2 每次获得3 DVD。会员看完3 DVD之后 之后， 赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只 需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担）， DVD放进网站提供的信封里寄回 ），就可 需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可 以继续下次租赁。请考虑以下问题： 以继续下次租赁。请考虑以下问题： 网站正准备购买一些新的DVD 通过问卷调查1000个会员， DVD， 1000个会员 1. 网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了 愿意观看这些DVD的人数（ 给出了其中5 DVD的数据）。此外 DVD的人数 的数据）。此外， 愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外， 历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次 而另外的40% 的会员每月租赁DVD两次， 40%只租一 历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一 假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说， 10万个会员 DVD来说 次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至 少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50% DVD的会员中至少50%在一个 少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个 月内能够看到该DVD 如果要求保证在三个月内至少95% DVD？ 95%的会员能 月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能 够看到该DVD DVD呢 够看到该VD租给哪个会员，即分配方案，对于每 种DVD,每个会员都要知道是租还是不租。因此我们引 入 x ij 表示第j种DVD是否租给第i个会员。
DVD在线租赁问题的探讨数学建模
DVD在线租赁问题的探讨摘要本文探讨了DVD在线租赁问题，成立了DVD租赁问题的优化模型，依据会员中意度达到最优原那么，综合考虑网站制定的假设干约束，分层次成立了以下三个模型：模型Ⅰ：利用概率统计中样本散布可估量整体散布的知识，成立了在最糟糕的情形下也能知足会员要求所需要的DVD数量的模型，而且取得了知足要求的结果：一个月：DVD1~DVD5张数别离为：6250，3125，1563，782，313。
三个月：3959，1980，990，495，198。
模型Ⅱ：咱们概念了一个较为合理的中意度函数，成立了0-1整数计划的模型并用求解，取得整体平均中意度为的全局最优分派情形，而且具体列出了前30位会员别离取得的DVD编号。
模型Ⅲ：咱们采纳了单因素、双因素分层次解决双目标计划的方式，通过运算机C语言编程来实现随机抽样，模拟真实情形，并通过大量的数据观测出DVD总数稳固在2850～2950张之间，依照这一点咱们提出了一个快速算法，使得计算效率大大提高。
咱们还从市场因素，效劳因素，时刻因素和其他因素综合考虑了DVD需求预测，购买，分派中的一些问题，并就需求问题做了专门的探讨，其中会员人流量为其要紧因素。
本文章还从会员一次订购DVD的数量对中意度函数进行了灵敏度分析，并依照拟合图像验证了一次订购3张DVD能够使中意度达到最优的假设。
在问题的进一步讨论中，咱们给出了模型Ⅰ可能的取值范围，考虑到实际情形，对模型Ⅱ进行了改良，提出了一种应用更普遍的模型。
关键词：全局最优解 0－1计划中意度随机抽样快速算法一．问题重述1. 1问题的背景在线DVD租赁问题。
随着信息时期的到来，网络成为人们生活中愈来愈不可或缺的元素之一。
许多网站利用其壮大的资源和知名度，面向其会员群提供日趋专业化和便利化的效劳。
1．2实际现状顾客缴纳必然数量的月费成为会员，订购DVD租赁效劳。
会员假设对DVD 有爱好，只要在线提交定单，网站就会通过快递的方式尽可能知足要求。
数学建模_问题重述
DVD（重述居多）1．1 提出背景随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
在线DVD 租赁就是这样一种传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉的服务。
1．2 问题提出客户缴纳一定数量的月费成为会员，通过在线提交订单，订购DVD 租赁服务，会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2 次，每次获得3 张DVD。
在已知会员订单情况下，如何购买、分配这些DVD，使会员满意度最大且成本最低就成了自然而然的问题。
另外，在DVD 的需求预测、购买和分配中还存在很多其他问题值得研究。
1. 1 问题的背景1．2 实际现状1．3 要解决的问题问题重述长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。
为了保护长江水资源，必须对长江水质进行评价和预测进而采取措施来治理水质的污染，根据题意，本文要解决的问题有：1. 对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。
2. 研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的主要污染源的位置。
3. 在不采取有效治理措施的情况下，根据过去10 年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析。
4. 根据(3)预测分析，确定每年处理的污水量使长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水。
5. 对解决长江水质污染问题提出切实可行的建议和意见。
DVD在线租赁-2005年全国大学生数学建模大赛B题全国一等奖论文
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：南京邮电大学参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2015 年 7 月10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：DVD在线租赁摘要随着信息时代的到来以及电子商务的迅猛发展，人们的生活方式发生了深刻的变革。
问题一：为了求解各种DVD的最优进货量，我们运用概率论、线性规划的知识，建立线性规划模型。
首先，我们根据题目中给出的问卷调查表1给出的数据，估算各种DVD的理论需求量。
接着，由题目中的约束条件、目标函数，建立相应的线性规划模型。
最终，运用LINGO，计算出模型最优解，得到所需求DVD的最少数量。
问题二：为了实现在每个会员每次只能获得3张DVD和每种DVD数量有限的前提下，根据表2给出的会员订单数据来分配DVD,实现会员的满意度最大。
由题意可知，数字越小表示会员的偏爱程度越高，但字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中，即可以认为偏好程度最低。
于是我们把原始数据里的“0”，全部替换成比现有偏爱程度数值最大值还要大的数字，这样随着数值的增大，偏爱程度降低，满意程度也降低，即满意程度与表示偏爱程度的数值成反比。
DVD在线租赁问题数学模型
2）如何对手中DVD已编号有的DD0V01D进行D00分2 配，D0以03 使所D有004会员的…
满
DVD现有数量
8
1
22
10
…
意度和达到最大C00。01 0
0
2
0
…
C0002
1
0
9
0
…
会员 C0003
0
6
0
0
…
在线
订单 C0004
0
0
0
0
…
C0005
5பைடு நூலகம்
0
0
0
…
…
…
…
…
…
…
D001－D020表示20种DVD, C0001－C0100表示100个会员，会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员 的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。
问题二类似于“分配问题”或“指派问题（Assignment problem）”，我们可以对偏 爱度进行适当的处理以满足我们的要求。0-1规划是处理该问题的最佳方法，因此如 何使用这一方法将是研究问题二的关键。
问题三看似是问题一与问题二的结合（存贮+分配），但实际要复杂得多。他综合 考虑一个月内DVD的购买、分配方案，是一个多目标线性规划。从经济效益看，在 保证95%以上会员一个月内看到想看的DVD的情况下，希望购买尽量少的DVD， 从社会效应看，则要尽可能多地考虑让总的满意度最大。 这时，可以将多目标变为单目标规划，以求得一个经济与社会效益的综合最优。由 于问题三牵涉到两次分配，而对会员满意率的理解又有多种解释，因此目标及约束 函数会和问题一、问题二有很大差别。而问题三的模型又可从当前满意度最大和一 段时间内满意度最大两个角度来考虑。
数学建模-DVD租赁在线租赁问题
DVD 租赁问题摘要我们通过分析题目可知，在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD 的购买和分配。
根据题目所提出的要求，本文针对在线DVD 租赁问题中的订购、分配等问题进行了研究，建立了DVD 的购买和分配0-1规划模型，给出了该问题的优化方案。
问题一：通过对调查问卷的整理分析，我们得到了1000个会员对于其中5种DVD 愿意观看的频数。
因此我们认为愿意观看各种DVD 的人数服从二项分布，从而计算出在多种可靠度下应该购买DVD 的数量，见表一。
!问题二：题目要求如何进行分配，使会员获得最大满意度。
所以我们以会员的标准最大满意度∑∑==⨯1000110011000116i j ijijbx 为目标函数，建立一个0—1规划模型，得到分配方案，并使用软件LINGO 编程求解。
得到最大满意度%，和前30位会员的分配方案（见表五）。
问题三：我们以会员的最大满意度和网站的最小购买量建立双目标函数。
考虑到60%的会员在一个月内由于两次租赁，而致使一部分DVD 可被重复利用，因而，我们采用了分两个阶段购买的方案，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划模型，利用lingo 求得应购买3066张。
从而使实际购买量比网站原来的拥有量小，并且使会员的满意度达到了%。
问题四：我们对新出的DVD 进行市场需求预测；利用市场预测选取购买方案，最后按会员在线的订单进行合理分配。
在这个过程中，我们追求获得最大收益。
因而一方面减少购买DVD 所需的成本，另一方面最大化满足各会员的需求。
关键词： 二项分布、0-1规划、双目标规划、满意度…一、问题重述许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核，为顾客提供更为周到的服务。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
DVD在线租赁的数学模型
１ 模 型 假 设
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
显然 随机变量 ｘ ， 服从两 点分布 ， 其分 布律 为
Ｐ｛ ： ｝ Ｘ ｌ 一 ， Ｐ｛ ｝ １ Ｘｏ 。 一 一
１ 一 个月结 束 ， ） 所租赁 出的 ＤＶ 全部归 还 网站 ， 其 中 为会 员租赁第 种 Ｄ Ｄ ＶＤ 的概 率 ， （ 一 １２ ，，
Ｄ ＶＤ 的 会 员 中 至 少 ５ 在 一 个 月 内 能 看 到 该 ＤＶ ０ Ｄ。
表 ｌ 会 员 租 赁 ５种 Ｄ ＶＤ 的概 率
设 网站 的会 员数为 ， 因为每张 Ｄ ｚ ， ＶＤ是否 被租赁
且 租赁 或不 租 赁 ， 因此设 随 如果 要求 保证 在三 个 月 内至 少 ９ 的会员 能 够 看 到 是随机 的 ， 只有两种情 况 ， ５ 个会 员租赁 第 种 ＤＶ ｉ ， ， Ｄ（一１ ２ 该 Ｄ ＶＤ怎 么办 ；２ 如 果 网站 现有 １ ０种 ＤＶ 的数 机变量 Ｘ 表 示第 ｉ （） ０ Ｄ
Ｖｏ ． ５ № ． １１ ５
Ｓｅ ． ０ ｐｔ ２０ ７
ＤＶＤ 在 线 租 赁 的 数 学 模 型
李 新 芳 ， 秀梅 ， 王 贪书 杰
（ 河南 机 电 高 等专 科 学 校 基 础部 ， 南 新 乡 ４３ ０ ） 河 ５ ０ ２ 摘要 ：文 中根 据 需求 预 测 ， 概 率 统 计方 法求 出 了在 一定 置信 水 平 下 Ｄ Ｄ 的 购 买数 量 ； 对 现 有 ＤＶ 的分 配 问 用 Ｖ 针 Ｄ 题 ， 所有 会 员 的平 均 满 意度 最 大 为 目标 函数 ， 立 了 Ｄ 以 建 ＶＤ分 配 方 案 的整 数规 划 模 型 ， 利 用 Ｌｎ ｏ８ ０求 出 了 并 ｉｇ ．
次， 每次 最多 租 赁 ３张 ， 员 看完 ３张 Ｄ 会 ＶＤ 之后 ， 只
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问题二类似于“分配问题”或“指派问题（Assignment problem）”，我们可以对偏 爱度进行适当的处理以满足我们的要求。0-1规划是处理该问题的最佳方法，因此如 何使用这一方法将是研究问题二的关键。
问题三看似是问题一与问题二的结合（存贮+分配），但实际要复杂得多。他综合 考虑一个月内DVD的购买、分配方案，是一个多目标线性规划。从经济效益看，在 保证95%以上会员一个月内看到想看的DVD的情况下，希望购买尽量少的DVD， 从社会效应看，则要尽可能多地考虑让总的满意度最大。 这时，可以将多目标变为单目标规划，以求得一个经济与社会效益的综合最优。由 于问题三牵涉到两次分配，而对会员满意率的理解又有多种解释，因此目标及约束 函数会和问题一、问题二有很大差别。而问题三的模型又可从当前满意度最大和一 段时间内满意度最大两个角度来考虑。
表1.1 对1000个会员调查的部分结果
DVD名称
DVD1 DVD2 DVD3 DVD4
愿意观看的人数 200
100
50
25
DVD5 10
DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型
问题提出
为2深、入尽研可究能网多站的的满经足营会策员略是，经我营们中从的以一下大几目个标角，度但由每浅个入会深员得对进不行同考D察VD：
DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型
假设条件
1.对1000名会员的调查足以反映10万名会员对于各种DVD的需求及喜好 2.所有会员提交订单的时间是随机的 3.一个月的天数为30天 4.会员中有60%的会员每月租赁DVD两次，40%的会员每月租赁DVD一次 5.会员只有在需要再次租赁DVD时，才会将上次租赁的DVD归还 6.会员临近两次借的DVD种类不会重复 7.每位会员每月至少租赁1次 8.会员本次提交后没得到该DVD，则他下次仍要看该DVD，且偏爱度不变 9.每类租赁出的DVD有60%在每月租赁2次的会员中，40%在每月租赁1次的会 员中 10在.公实司际收建到模订中单还时会不遇知到道其此他会问员题在，一比个如月问内题会一借中一可次以或淡两化次会员每次借三张的条 件，即会员每次借的DVD数量不固定；问题二中不考虑多次分配的问题；问题 三中对顾客满意率的不同理解。因此，我们将在以下的讨论具体问题时再给出。
鉴于业务量的考虑，网站有必要采用会员制度，顾客需缴纳一定数量的月费成 为会员。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就能立即了解他们的需求， 并通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单内容包括他对哪几张DVD 感兴趣，对不同的DVD的偏爱度，用数字表示。这些DVD是基于其偏爱程度排 序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型
问题提出
为深入研究网站的经营策略，我们从以下几个角度由浅入深得进行考察： 1）至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员 中
3、在至实少际50的%经在营一过个程月中内，能不够可看能到像？刚若才要讨求论保的证两在个三问个题月这么简单，我们 不可内能至将少顾9客5%的的满会意员率能与够他看们到的呢满？意度割裂开来分开研究，可以说这是 两网进最个2满3，个 行 大 认站））意问分呢识经如作度营题配？。何为和管是，只对网达相才有理手站到互能弄人中经最牵使清员已营大制一楚，有管。如的个这的理何关 月 个员D系 内 问决V，D。 题定9如5进假 ，每%何行设 我种的决分表 们D会定配V才1员每D.，2能得的种中以初到购DD使步他V买V所D的D想量的有现对看，购会有D的以买员V数D及D量的量V在如D全线何，部对租并为这赁且0些问。满D题作意V有为度D
2）如何对手中DVD已编号有的DD0V01D进行D00分2 配，D0以03 使所D有004会员的…
满
DVD现有数量
8
1
22
10
…
意度和达到最大C00。01 0
0
2
0
…
C0002
1
0
9
0
…
会员 C0003
0
6
0
0
…
在线
订单 C0004
0
0
0
0
…
C0005
5
0
0
0
…
…
…
…
…
…
…
D001－D020表示20种DVD, C0001－C0100表示100个会员，会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员 的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张 DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就 可以继续下次租赁。
DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型
问题提出
为1深、入由研于究D网VD站的的更经新营速策度略很，快我，们网从站以必下须几时个常角更度新由现浅有入产深品得，进因行此考在察现： 有1会）员至中少随准机备抽多取少1张00，0才个能会保员证进希行望调看查到，该以D得V知D愿的意会观员看不同DVD的 人中数（表1.1给出了其中5种DVD的数据）。虽然网站规定每位会员每月 只能至借少两5次0%DV在D一，个但月从内历能史够数看据到显？示若，要6求0%保的证会在员三每个月月租赁DVD两次 ，而内另至外少的9450%%的只会租员一能次够。看现到在呢我？们假设网站现有10万个会员，并已经 知道会员对DVD的需求，以及会员每月订DVD的规律。问题是应该至少 准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能 够看到？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到呢？
以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内 95%
的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大呢？
DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型
问题分析
问题一类似于“货物存储问题（Inventory problem）”，基本思路是跟踪DVD在一个月 （三个月）内的流动情况，目标是计算出DVD的流转次数，然后再结合满意率要求得 出所需准备的DVD数量。
数LO学G模O型
DVD在线租赁问题数学模 型
(CUMCM2005-B题 ) 华东理工大学 鲁习文
DVD在线租赁问题数学模型
1
问题提出
2
问题分析
3
假设条件
4
模型建立与求解
5
模型评价
DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型
ห้องสมุดไป่ตู้
问题提出
随着信息时代的到来,电子商务已成为一个重要的商业途径。在线DVD租赁就 是其中一种典型的经营方式，但在实际的经营过程中还是存在很多问题。下面我 们从复杂的现实情况中考虑一个典型的情景。