理论力学10动量矩定理

若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了 质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外 力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
基本概念
一．质点的动量矩
质点对点O的动量矩：LO (mv ) r mv 矢量
质点对轴 z 的动量矩：Lz (mv ) LO (mvxy ) 代数量
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Lz rc mi vc rc mi vri i mi vc i mi vri
rc mi vc Lz (mvc )
质心平动动量矩
rc mi vri rc mvrc 0
质心相对于质心的速度为零
i mi vc c mvc 0
质心相对质心的半径为零
i mi vri i mi i mi i2 Jc
开始释放。 求单摆的运动规律。
解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。
M O (F ) M O (T ) M O (mg ) mgl sin
运动分析：v l , OM 。LO (mv ) mll ml 2
由动量矩定理
d dt
LO
(mv
)
即 d (ml2) mgl sin
MO (F ,
绕质心转动动量矩
Lz Lz (mvC ) JC 16
[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，I1 滑轮B：m2，R2，I2 ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。
解：LO LOA LOB LOC
J11 (J 22 m2v2 R2 ) m3v3R2
v3
v2
R2 2
1 2
R11
作转动时的动量矩之和。
将矢径表示为： ri rc i
各点对O矢径 质心对O矢径 各点对质心矢径
vi vc vri
代入动量矩表达式
各质点速度 质心速度 各点相对质心速度
Lz Lz (mivi ) ri mivi (rc i ) mi (vc vri )
rc mi vc rc mi vri i mi vc i mi vri
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的 轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
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证明：设有平行的两轴 z 和 z C ， 轴zC 通过刚体的质心 C，令 J z ,JC 分别为同一刚体对两轴的转动惯量， mT 为刚体的质量，d 为两轴间的距 离。xm ,ym 表示矢量r m在坐标系 Oxy中的投影，根据质心坐标的计 算公式,得(相对于质心的质心坐标)
解：设 m1 和 m2的绝对速度分别为 v 1 、v2 ，两人同时到达的时间为T
。则系统对 O 轴的动量矩为
v
12
13
刚体动量矩计算： §10-3 定轴转动刚体的动力学 1．平动刚体 LO LO (mvC ) rC mvC
(ri mivi mi ri vC rC mvC ) 1、各点的速度相同
定义：
J z miri2
若刚体的质量是连续分布，则 J z m r 2dm
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的 大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。
转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg·m2 。
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转动惯量的计算 １．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例1] 匀质细直杆长为l ,质量为m 。
质系对轴z 动量矩： Lz Lz (mivi ) LO z
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§10-1 质点的动量矩定理
一．质点的动量矩定理推导
d (mv ) F dt
质点动量定理
两边叉乘矢径
r
,
有
r
d (mv ) dt
r
F
左边可写成
r
d (mv ) dt
d dt
(r
mv )
dr dt
mv
而 dr mv v mv 0 , r F M O (F ) dt
左边交换求和与导数运算的顺序，而
LO LO (mivi ), MO (Fi (i) ) 0,则
dLO
dt
n i 1
M O (Fi(e) ) M O(e) 一质点系对固定点的动量矩定理
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在
质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于 刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴 作转动时的动量矩之和。
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3．平面运动刚体 Lz Lz (mvC ) JC
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于
刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴
故：
d
d
(r mv) r F , dt
dt LO (mv ) M O (F )
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
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将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d
d
d
dt Lx (mv) M x (F), dt Ly (mv) M y (F), dt Lz (mv) M z (F)
密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均 质刚体，其回转半径是相同的。
在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质
刚体的 J z和z ，以供参考。
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平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
J z' J zC md 2
Lz mz (mvC )
2、考虑质心公式
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点
（轴）的动量矩。
2．定轴转动刚体 Lz Lz (mivi ) ri miri miri2 Jz
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速 度的乘积。
3．平面运动刚体 Lz Lz (mvC ) JC
[例2] 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 IO 。
解： IO IO杆 IO盘 13m1l 2 12m2R2 m2 (l R)2
13m1l
2
1 2
m2
(3R
2
2l
2
4lR)
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[例3] 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为
r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重
LO
(
J1 R2 2
J2 R2 2
m2
m3 )R2v3
轮B滚而不滑，有瞬心
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对于一个定轴转动刚体 Lz J z
代入质点系动量矩定理，有
d dt
(
J
z)
M
(e) z
Jz
M
( e) z
或
Jz
d 2
dt 2
M
(e) z
—刚体定轴转动微分方程
解决两类问题： 已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。 已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
M (e) O
PAr
PBr
(PA
PB
)r
LO
Leabharlann Baidu
PA g
vr
PB g
vr
I
O
将I O
1 2
Pr2 g
代入,
得
LO
r
g
2
(
PA
PB
P 2
)
由动量矩定理：
d [r
dt g
2
(
PA
PB
P 2
)](
PA
PB
)r
d g PA PB
dt r PA PB P/2
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例 10.1 如图滑轮 O 上悬有一根绳子，绳子两端离过轴 O 的水平线的距离 分别为l1 和 l2。两个质量分别为 m1 和m 2 的人抓着绳子的两端，同时开 始向上爬并同时到达过轴 O 的水平线。不计滑轮和绳子的质量，忽略所有 对运动的阻力。求两人同时到达的时间。
J Z JC mT d 2
0
0 24
复杂形状刚体的转动惯量 按定义，有：
JZ
r 2dm
mT
r2dV V
r2dV V
非均质刚体 均质刚体
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计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
3
LO (mv) 2OAB
Lz (mv ) 2OA' B'
正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看：顺时针为负
逆时针为正
质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
LO (mv) z Lz (mv)
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。kg·ｍ2/s。
二．质点系的动量矩
质系对点O动量矩： LO LO (mivi ) ri mivi
mT xmdm 0
mT
mT ymdm 0
mT
刚体对z轴的转动惯量
JZ
r2dm
mT
(x2 y2 )dm
mT
mT [( xC xm )2 ( yC ym )2 ]dm
mT (xm2 ym2 )dm
mT (xC2 yC2 )dm 2xC
mT
xmdm
2 yC
mT
ymdm
定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改 变质点系的动量矩。
质点系的动量矩守恒 当 MO(e) 0 时， LO 常矢量。
当 M z(e) 0 时，Lz 常量。
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[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。
运动分析： v =ｒ
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§10-2 质点系的动量矩定理
1．质点系的动量矩定理推导
对质点Mi ：
d dt
LO (mivi )
M O (Fi(i) )
M O (Fi(e) )
(i 1,2,3,, n)
对质点系，有
d dt LO (mivi )
M O (Fi(i) )
MO (Fi(e) ) (i 1,2,3,, n)
量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。
求 物体C上升的加速度。
解: 取轮A为研究对象
1 2
P1 g
r12
1
M
1
Tr1
(1)
取轮B连同物体C为研究对象
d dt
(
1 2
P2 g
r2 2
2
P3 g
v r2
)T
'r2
P3
r2
(2)
补充运动学条件 r22 v, r22 a r11
化简(2)
得：P2
2 2g
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
若M O (F ) 0 (M z (F ) 0)则 M O (mv ) 常矢量 (M z (mv) 常量) 称为质点的动量矩守恒。
6
[例2] 单摆 已知m，l，t =0时= 0，从静止
1
第十三章 动量矩定理 §13–1 动量矩 §13–2 动量矩定理 §13–3 刚体定轴转动微分方程 §13–4 刚体对轴的转动惯量 §13–5 质点系相对于质心的动量矩定理 ·
刚体平面运动微分方程 习题课
2
质点 动量定理： 质点系 动量的改变—外力（外力系主矢）
质心运动定理：质心的运动—外力（外力系主矢）
P3
a
T
'
P3
化简(1) 得： P1 a M1 T
2g
r1
a
M1 /r1 P3 P1 P2 2P3
2g
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§10-4 质点系的相对运动动量矩定理
求： 对z轴的转动惯量J z ； 对z' 轴的转动惯量J z' 。
解：J z
l
2 l
2
x2 m dx 1 ml2 l 12
l
Jz' 0
x2 m dx 1 ml2 l3
21
2. 回转半径
由
Jz m
所定义的长度 z
称为刚体对 z 轴的回转半径。
J z mz2
对于均质刚体， z（回转半径）仅与几何形状有关，与
dLx
dt
n
M
x
(Fi
(e)
)
M
(e) x
,
i1
dLy dt
M y (Fi (e) ) M y(e) ,
dLz dt
M
z
( Fi
(e)
)
9
M
z
(e)
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固 定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
)
g
sin
0
dt
l
微幅摆动时，sin ,
并令 n2
g l
，则
n2
0
解微分方程,并代入初始条件 (t 0, 0,0 0) 则运动方程
0 cos
gt l
，摆动周期
T 2
g l
7
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时 针转向为正） 质点动量矩定理的应用：
在质点受有心力的作用时。（面积速度定理） 质点绕某心（轴）转动的问题。（单摆）
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特殊情况：
n
若M z(e) M z (Fi(e) ) 0 ,则 0, 恒量，刚体作匀速转动或 i1
保持静止。
若 M z(e) 常量，则 常量，刚体作匀变速转动。
将 J z M z(e) 与 ma F 比较，刚体的转动惯量 J z 是刚体
转动惯性的度量。
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§10-3-2 刚体对轴的转动惯量