高中数学苏教版高一必修1教案 指数函数

习题课(三) (指数函数) 教学过程
复习
一、分数指数幂及运算性质 1.整数指数幂. 2.分数指数幂. 二、指数函数 1.指数函数的定义.
2.指数函数的图象和性质. 导入新课
在前面的学习中，我们学习了分数指数幂与指数函数的概念及性质，本节课主要通过集中训练来巩固分数指数幂与指数函数的概念及性质，并进一步熟练掌握相应知识的运用. 推进新课 基础训练
1.下列结论中正确的个数是( ) ①当a ＜0
时，(a 2)2
3
=a 3；②n n
a =|a|；③函数y=(x-2)2
1-(3x-7)0的定义域为(2,+∞)；④
若100a =5，10b =2，则2a+b=1.
A.0
B.1
C.2
D.3 2.若集合M={y|y=2-x }，P={y|y=
1-x }，则M∩P 等于( )
A.{y|y ＞1}
B.{y|y≥1}
C.{y|y ＞0}
D.{y|y≥0}
3.已知函数f(x)=2x +m 的图象不经过第二象限，则实数m 的取值范围是( ) A.m≤-1 B.m ＜-1 C.m≤-2 D.m≥-2
4.函数y=1
33+x x
的值域为( )
A.(0,+∞)
B.(-∞,1)
C.(0,1)
D.(1,+∞) 答案：1.B 2. 答案：C 3. 答案：A 4. 答案：C 应用示例
思路1
例1 已知指数函数f(x)的图象经过点(3,8)，求f(1)、f(-1)、f(2x-3)的值.
分析：要求f(1)、f(-1)、f(2x-3)的值，必须要先求出指数函数f(x)的解析式，根据定义，指数函数的解析式为y=a x (a ＞0,a≠1)，因此，本题就是求底数a 的值，把底数a 的值求出后，f(1)、f(-1)、f(2x-3)的值也就迎刃而解了.
解：设指数函数y=a x (a ＞0,a≠1)，因为函数f(x)的图象经过点(3,8)， 所以，f(3)=8，即a 3=8，解得a=2，于是有，f(x)=2x . 所以，f(1)=21=2，f(-1)=2-1=
2
1
,f(2x-3)=22x-3. 点评：本题要弄清两点，一是指数函数的形式即函数的解析式为y=a x (a ＞0,a≠1)，二是求解析式字母a 的值，只需要有一个条件即可.另外对于求函数值的问题，必须是以已知函数解析式为前提，才能求函数的值.
例2 如图，图中所示是指数函数①y=a x ，②y=b x ，③y=c x ，④y=d x 的图象，则a 、b 、
c 、
d 与1的大小关系是( )
A.a ＜b ＜1＜c ＜d
B.b ＜a ＜1＜d ＜c
C.1＜a ＜b ＜c ＜d
D.a ＜b ＜1＜d ＜c 分析：根据指数函数的图象和性质，可将题目所给四个函数的底数进行分类一类是底数大于1，另一类是底数大于０小于1，然后在同一类中比较大小.
解：因为当指数函数底数大于1时，图象呈上升趋势，且底数越大，图象向上方向越靠近y 轴；当指数函数底数大于０且小于1时，图象呈下降趋势，且底数越小，图象向右方向越靠近x 轴；所以，根据题目所给图象，应该选择B.
点评：运用上述方法有利于弄清指数函数在第一象限的图象的大致变化情形.本题除了可以运用上述方法来解以外，还可以运用下面的方法来解：
(1)令x=1，则题目所给四个函数的函数值分别为a 、b 、c 、d ，结合函数图象，就可得到解答.应该选择B.
(2)在所给图象中，过点(1,0)作x 轴的垂线，则垂线与图象的交点的纵坐标就是函数当x=1时的函数值，分别为a 、b 、c 、d ，因此，根据函数的图象不难得到本题的答案.
例3 已知a 2x =2+1，求x
x x x a
a a
a --++33的值. 分析：观察所求式子x
x x
x a
a a a --++33，不难发现已知和未知代数式中都含有a x ，所以可以考虑用换元法令a x =t ，再化简运算求值. 解：令a x =t ，则t 2=2+1.
所以，x x x x a a a a --++33=1
2121133))((------++•-+++t t t t t t t t t t t t =2+1+1
21
+-1=22-1. 点评：换元后得t 2=2+1，可以求出t 的值再代入进行计算，但是这种解法运算量相对来说比较大.本题的解法是换元后，并不求出t 的值(这种方法叫做“设而不求”)而直接将t
代入要求的式子进行运算，对所要求的式子进行变形整理，最后得到关于t 2的式子，将t 2整体代入，求出最后的结果.整体代入的方法是一种非常重要的运算技巧，是整体思想的渗透和运用.
例4 已知f(x)=e x -e -x ，g(x)=e x +e -x ，其中e=2.718 28… (1)求[f(x)]2-[g(x)]2；(2)设f(x)f(y)=4，g(x)g(y)=8，求
y)
-g(x y)
g(x +的值.
分析：观察题目所给的表达式的结构特征，联系多项式乘法公式和分数指数幂的运算性质，就可以很快找到解题的路子了.
解：(1)[f(x)]2-[g(x)]2=[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]=2e x ·(-2e -x )=-4e 0=-4. (2)因为f(x)f(y)=(e x -e -x )(e y -e -y )=e x+y +e -(x+y)-[e x-y +e -(x-y)]， 所以g(x+y)-g(x-y)=4.①
同理可得g(x+y)+g(x-y)=8,②
解由①②组成的方程组，可得g(x+y)=6，g(x-y)=2. 所以
y)-g(x y)g(x +=2
6
=3.
点评：对于(1)，如果将f(x)、g(x)代入，那么这个问题就变成了具体的求值，也就是将问题具体化了.我们应该要充分认识到将问题具体化是探求解题方法的重要策略，因此，要努力掌握这一解决问题的策略，开拓解题思路，提高解题的能力；对于(2)，为了求
y)
-g(x y)
g(x +的值，利用已知条件，通过解关于g(x+y)和g(x-y)的方程组，先求出g(x+y)和g(x-y)的值，再来求
y)
-g(x y)
g(x +的值.这里充分体现了方程的思想在解题时的功能.
例5 已知函数y=x
x x
x ---+10
101010，(1)求函数的定义域；(2)求函数的值域；(3)判断函数的单调性.
分析：将函数y=x x x x ---+10101010解析式化简为y=1
101
1022-+x x ，根据分母不为零可以求函数的
定义域；因为
102x ＞0，所以将函数
y=1
101
1022-+x x 中102x 看成未知数，把102x 用关于y 的式子g(y)表示，解关于不等式g(y)＞0即可得到函数的值域；判断函数的单调性可以运用函数单调性的定义.
解：(1)y=x
x x x ---+10101010=1101
1022-+x x .因为102x -1≠0，所以x≠0， 所以函数y=x
x x
x ---+10
101010定义域为{x|x≠0}. (2)由y=1
1011022-+x x 得y·102x -y=102x +1，所以102x =11
-+y y .
因为102x ＞0，即
1
1
-+y y ＞0，所以y ＜-1或y ＞1. 所以函数的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞). (3)设任意x 1,x 2∈(-∞,0)，且x 1＜x 2，则
f(x 1)-f(x 2)=1
101
10110110211
12222----+x x x x =
)
110)(110()
1010(2)110)(110(1101010101101010102
112212121212122222222222222---=--++-•--+-•x x x x x x x x x x x x x x . 因为x 1,x 2∈(-∞,0)，所以1
210x -1＜0,2
210
x -1＜0.
又因为x 1＜x 2，所以2
210
x ＞1
210
x ，因而有f(x 1)-f(x 2)＞0.
所以函数y=x
x x
x ---+10
101010在(-∞,0)上为单调减函数. 设任意x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1＜x 2，1
210x -1＞0,2
210
x -1＞0,2
210
x ＞1
210
x ，
所以有f(x 1)-f(x 2)＞0.
所以函数y=x
x x
x ---+10
101010在(0,+∞)上为单调减函数. 综上所述，函数y=x
x x
x ---+10
101010在(-∞,0)及(0,+∞)上分别为单调减函数. 点评：若将函数式变形为y=11011022-+x x =110211022-+-x x =1+1
102
2-x
，据此，根据102x -1随x 的值的递增而递增以及x 的取值范围，也可以求出函数的值域以及函数的单调区间.另
外要注意的是：不能由y=f(x)在(-∞,0)及(0,+∞)上分别为单调减函数，得出函数y=f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上为单调减函数，事实上，函数y=f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有单调性. 例6 已知函数f(x)=a
a a x
+-
(a ＞0,a≠1)，(1)证明：f(x)+f(1-x)=-1；(2)求
f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.
分析：要证明等式f(x)+f(1-x)=-1成立，可以直接通过指数进行运算即可证得；而要求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值，如果直接将相应的值(如-2)等直接代入计算，比较烦琐.所以考虑另外的途径，例如能否利用(1)的结论解题. 解：(1)f(x)+f(1-x)=
a
a a x
+-
+(
a
a
a x
+-
-1)=
)
11(
1a
a
a
a a x
x
++
+--=
)
())
(1(
a a a a a a a a a a a
a a x
x x
x
x
++•
-=++
+-=-1.
(2)由(1)f(x)+f(1-x)=-1.令x=-2，得f(-2)+f[1-(-2)]=-1，
即f(-2)+f(3)=-1.同理f(-1)+f(2)=-1，f(0)+f(1)=-1. 所以f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.
点评：如果能够注意到直角坐标平面上的点P(x,y)与点P′(1-x,-1-y)关于点(
21,2
1
-)对称，那么第(1)小题的实质就是证明函数f(x)=a
a a x +-
(a ＞0,a≠1)的图象关于点(
21,2
1
-)对称.据此，我们可以得到证明某一函数f(x)的图象关于某一个定点O 对称的一般方法：设点P(x,y)在函数f(x)的图象上，求出P(x,y)关于点O 的对称点P′的坐标，然后将P′的坐标代入函数f(x)，如果P′的坐标满足函数f(x)，则函数f(x)的图象关于某一个定点O 对称，如果P′的坐标不满足函数f(x)，则函数f(x)的图象不关于某一个定点O 对称.对于第(2)小题的求解，运用了第(1)小题证得的结论.这种解题的方法是在解具有递进关系或具有关联关系的一系列题时的一种常用的技巧，我们必须好好地加以体会.
思路2
例1 函数y=(a 2-3a+3)·a x 是指数函数，则有( )
A.a=1或a=2
B.a=1
C.a=2
D.a ＞0且a≠1 分析：指数函数y=a x 中有两个特点：①a ＞0且a≠1，②a x 的系数必须为1.
解：因为函数y=(a 2-3a+3)·a x 是指数函数，所以有⎪⎩
⎪
⎨⎧≠>=+-,1,0,1332a a a a 解得a=2.
故本题应选择C.
例2 比较下列各组数的大小：
(1)1.25
3，1.275；(2)(-1.2)53，(-1.2)7
5；(3)2，33；(4)0.50.6，0.60.5； (5)0.30.2,30.3,(-0.3)5
3,0.20.3,20.5,(-0.3)7
5.
分析：要比较两个数或几个数的大小，可以利用函数的性质，也可以作差或作商，还可以先找中间数进行分类，然后在同一类中进行比较.
解：(1)指数函数y=1.2x 在(-∞,+∞)上是增函数，因为53＜7
5
，所以1.253＜1.275
.
(2)因为(-1.2)5
3=-1.25
3，(-1.2)75=-1.27
5，
由(1)知1.253＜1.275，所以-1.253＞-1.275，即(-1.2)53＞(-1.2)7
5. (3)方法一：因为2=68，33=69，所以2＜33.
方法二：因为
6
6
6
3
9
8
9
83
2
==
＜1，所以2＜33. (4)因为函数y=0.5x 在(-∞,+∞)上是减函数，所以0.50.6＜0.50.5，又因为y=a x 的图象在y 轴右边是底数越大图象越高，所以0.50.5＜0.60.5，由上述可知：0.50.6＜0.60.5.
(5)由于0.30.2,30.3,(-0.3)5
3,0.20.3,20.5,(-0.3)75中的数(-0.3)53,(-0.3)7
5小于0，其余的数都大于0，所以先比较(-0.3)5
3,(-0.3)7
5的大小，再比较其余的数的大小. 因为0.35
3＞0.375，所以-0.353＜-0.375，即(-0.3)
5
3＜(-0.3)7
5.
因为30.3、20.5都大于1，而30.3÷20.5=310
3÷210
5=2710
1÷3210
1=(32
27)10
1
＜1，
所以30.3＜20.5.
因为0.30.2、0.20.3都大于0且小于1，将0.30.2、0.20.3与0.30.3比较. 由于函数y=0.3x 在(-∞,+∞)上是减函数，所以0.30.2＞0.30.3，又因为y=a x 的图象在y 轴右边是底数越大图象越高，所以0.30.3＞0.20.3，由上述可知：0.30.2＞0.20.3. 综上所述，(-0.3)5
3＜(-0.3)7
5＜0.20.3＜0.30.2＜30.3＜20.5.
点评：在比较两个数的大小时，特别是比较指数幂的大小时，可以按照以下的方法进行比较：首先将题给的数与0进行比较，区分出正负数；第二，将正数与1进行比较，区分出大于1的数和小于1的正数；第三，利用函数的性质分别比较上述各类数的大小；第四，寻找中间数，结合函数的单调性比较大小；第五，运用作差或作商的方法进行比较数的大小. 例3 求函数y=(
3
2)232+-x x 的单调区间. 分析：这是有关复合函数求单调区间的问题.可设y=(
32)u ，u=x 2-3x+2，其中函数y=(3
2)u 为减函数，所以u=x 2-3x+2的减区间就是原函数的增区间；u=x 2-3x+2的增区间就是原函数
的减区间.
解：设y=(
3
2)u
，u=x 2-3x+2，y 关于u 递减， 因为当x ∈(-∞,23
]时，u 为减函数，所以此时y 关于x 为增函数；
当x ∈[2
3
,+∞)时，u 为增函数，所以此时y 关于x 为减函数.
由以上可知函数y=(32)232+-x x 的单调增区间为(-∞, 23]，单调减区间为[2
3
,+∞).
点评：一般地，对形如f[g(x)]的复合函数的单调性的判断或求单调区间的问题，除根据
定义来解答外，还可以依据下述结论来判断：当y=f(u)与u=g(x)的单调性相同时，则y=f[g(x)]为增函数；当y=f(u)与u=g(x)的单调性相异时，则y=f[g(x)]为减函数.而对形如f(x)=a g(x)(a ＞0,a≠1)的复合函数来说，若a ＞1，则f(x)与g(x)的单调性相同，若0＜a ＜1，则f(x)与g(x)的单调性相异.
例4 已知函数y=a 2x +2a x -1(a ＞0且a≠1)在区间[-1,1]上有最大值14，求实数a 的值. 分析：将已知函数y=a 2x +2a x -1的解析式化为y=(a x )2+2a x -1，则令u=a x ，再利用二次函数的相关知识，结合指数函数的性质，即可得到解答. 解：由y=a 2x +2a x -1得y=(a x )2+2a x -1=(a x +1)2-2， 令a x =t ，则y=(t+1)2-2.
①当a ＞1时，因为x ∈[-1,1]，所以
a 1≤a x ≤a ，即a
1
≤t≤a. 因为函数y=(t+1)2-2的对称轴为t=-1，
所以，当t=a 时，函数y=(t+1)2-2有最大值，即(a+1)2-2=14，解得a=3.
②当0＜a ＜1时，因为x ∈[-1,1]，所以a≤a x ≤
a 1，即a≤t≤a
1. 所以，当t=a 1时，函数y=(t+1)2-2有最大值，即(a 1+1)2-2=14，解得a=3
1
.
综上所述，实数a 的值为3或3
1
.
点评：这是一个函数综合问题，考查了指数函数与二次函数的性质，因此，在解综合问题时，一定要对涉及的知识点熟悉并能熟练运用.此外，注意一些数学思想的应用，本题中运用了分类讨论的数学思想，对底数a 在(0,1)及(1,+∞)上两种情况进行分类讨论，因为指数函数在这两个范围上的单调性完全不同. 知能训练 1.已知x
3
2-=4，那么x 等于( )
A.8
B.±8
1
C.443
D.±32
2.化简2)21(x -(x ＞
2
1
)的结果是( ) A.1-2x B.0 C.2x-1 D.(1-2x)2 3.已知c ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A.c ＞2c B.c ＞(
21)c C.2c ＜(21)c D.2c ＞(2
1)c 4.若函数y=a x +b-1(a ＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有…( )
A.a ＞1,且b ＜1
B.0＜a ＜1,且b ＜0
C.0＜a ＜1,且b ＞0
D.a ＞1,且b ＜0 5.函数y=5x 与y=-5-x 的图象( )
A.关于x 轴对称
B.关于y 轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x 对称 6.函数f(x)=(1+a x )2a -x (a ＞0且a≠1)( )
A.是奇函数但不是偶函数
B.是偶函数但不是奇函数
C.既不是奇函数也不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数 7.若a 31＞a 2
1，则实数a 的取值范围是_____________.
8.当x ∈[-1,1]时，函数f(x)=3x -2的值域为_____________.
9.已知a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8，则a 、b 、c 由小到大的排列顺序是_____________.
10.已知a ＞0，x=2
1
(n n a a 1
1
--)，求(x+21x +)n 的值.
解答：
1.答案：B
2. 答案：C
3. 答案：C
4. 答案：D
5. 答案：C
6. 答案：B
7. 答案：0＜a ＜1 8. 答案：[3
5
-
,1] 9. 答案：b ＜a ＜c 10.解：将x=21(n
n a a 1
1
--)代入21x +=21(n n a a 1
1
--)，
因此(x+2
1x +)n =[21(n n a a 1
1
--)+2
1
(n n a a 1
1
--)]n =(n a 1
)n =a.
课堂小结
本节课主要是集中训练分数指数幂与指数函数的相关内容. 对于分数指数幂，要求掌握分数指数幂的概念与运算性质，以及分数指数幂与根式的相互转化，能够熟练并且正确地进行有关根式与分数指数幂的化简、求值等问题，能熟练进行有关分数指数幂的恒等变形，提高有关分数指数幂知识的综合运用能力.
对于指数函数，要求掌握指数函数的定义、图象、性质及其应用，体会利用函数图象来研究函数性质的思想方法，以及从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，充分认识指数函数是一类重要的函数模型，在现实生活、生产实践、现代科技等领域指数函数有着广泛的应用.
作业
课本第93页复习题10、12.
设计感想
在本节内容的学习中应注意以下几点：
(1)要注意正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根没有意义. (2)n n a 一定等于a ，而要分n 是奇数和偶数两种情形来求解.
(3)分数指数幂并不是一种新的运算，而是根式的另一种表达形式，将根式用分数指数幂表示后，可以将根式的运算转化为指数运算.
(4)指数函数y=a x 中的底数a 之所以规定为a ＞0且a≠1，是因为：在y=a x 中，若a=1，则y=1，它是一个常数函数.为了保证当x 取分数时a x 有意义，必须要求a≥0；但是当a=0时，a x 只有x ＞0时有意义且y=a x =0也是常数函数.
(5)在学习指数函数时，注意分清底数是“a ＞1”和“0＜a ＜1”的函数所具有的性质的相同和不同之处.
(6)在学习本节内容时注意结合对比的方法，揭示分数指数幂与根式，指数函数的底数在“a ＞1”和“0＜a ＜1”两种情形的内在联系.在运用性质解题时注意解题的技巧，例如在运用幂的运算性质解题时，凑完全平方及寻求同底数幂的方法的恰当运用；在运用函数图象解题时注意图象变换等.。