28.1 锐角三角函数(第一课时)

练习提高，提升能力
练习2 判断下列结论是否正确，并说明理由．
（1）在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sin A 的值也扩大 100 倍；
（2）如图所示，△ABC 的
顶点是正方形网格的格点，则
AC sin B= =
10 ．
BC 4
A E
B FDC
回味 无穷
1. 正弦的定义
=
a c
sin 30°=12
斜边 c
A
b
wk.baidu.comB 对边 a C
sin 45°= 2 2 3
sin 60°= 2 ．
∠A 的正弦 sin A 随着∠A 的 变化而变化．
注意
1. sin A是一个完整的符号，它表示∠A的正弦 ，
记号里习惯省去角的符号“∠”；
2.sin A没有单位，它表示一个比值，即直角三
角形中∠A的对边与斜边的比。
探究
问题3 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A ＇B ＇C ＇，使得
∠C =∠C = 90°．∠A=∠A＇，那么BC AB
与
BA＇＇CB＇＇有什
么关系．你能解释一下吗？
解：∵ ∴ ∴
即
∠C= ∠C＇=90°，∠A=∠A＇
Rt △ABC ∽Rt △ A＇B＇C＇．
BB＇CC＇= AA＇BB＇．
B
BC AB
B=
AB
= 13
求 sin A 就是要 确定∠A 的对边与 斜边的比；求 sin B 就是要确定∠B 的 对边与斜边的比．
练习提高，提升能力
练习1 如下三幅图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， 求 sin A 和 sin B 的值．
BB 6
32 A4 C C
A
2
A
C
B 6
图（1）
图（2）
图（3）
即
30°角的对边 斜边
=
1 2
．
思考2
问题2：如图，任意画一个 Rt△ABC，使
∠C=90°，∠A=45°，计算∠A 的对边与斜
边的比．
B
∠A 的对边 斜边
=
BC AB
=
2． 2
如图，任意画一个 Rt△ABC，使 A
C
∠C=90°，∠A=60°，计算∠A 的对
边与斜边的比．
A
∠A 的对边 斜边
=
BC AB
思考1
在上面的问题中，如果 出水口的高度为 50 m，那么 需要准备多长的水管？
D B＇ B
am 50 m 35 m
A
C C＇ E
思考：由这些结果，你能得到什么结论？
结论： 在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜
1 边的比值是一个固定值，都等于 2 ．
3. sin A不表示“sin”乘以“A”。
例题示范
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，求 sin A 和
sin B 的值．
B
解：如图，在 Rt△ABC 中， 5
13
AC AB2 BC2
132 52
C
A
12 因此
BC 5 sin A= =
AB 13
AC 12
sin
九年级 下册
28.1 锐角三角函数（第1课时）
情景探究
问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的 机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站， 对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的 度数是 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多 长的水管？
B
C A
思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？
=
AB＇＇BC＇＇．
A
C A＇
B＇ C＇
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定 时，不论这个直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜 边的比都是一个固定值．
结论
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边 与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即
sin
A=∠A斜的边对边
=
3． 2
B
C
结论
在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 45°，那
么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是 一个固定值，为2 ．
2
即
45°角的对边 斜边
=
2． 2
在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 60°，那
么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是 一个固定值，为3 ．
2
即
60°角的对边 斜边
这个问题可以归结为:在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ∠A=30°， BC=35 m，求 AB．
在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ∠A=30°， BC=35 m，求 AB．
B
根据“在直角三角形
中，30°角所对的边等
于斜边的一半”，即
A
C
∠A 的对边 斜边
= BC AB
=
1 2
可得AB=2BC=70（m).也就是说，需准备 70m长的水管。
=
3． 2
结论
综上可知，在一个 Rt△ABC 中，∠C=90
当∠A= 30°时，∠A的对边与斜°边，的比都等于1
是一个固定值；
2
，
当∠A= 45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ， 2
是一个固定值；
当∠A= 60°时，∠A的对边与斜边的比都等 3 ，
也是于一个固定值。
2
一般地，当∠A 是任意一个确定的锐角时， 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
sin A=
∠A 的对边 斜边
2. sin 30°=1
2
sin 45°= 2 2
sin 60°= 3 2
3. sin A 是∠A 的函数
斜边 c
A
b
B 对边 a C
4. sin A是线段的一个比值，sin A没有单位。
课后作业
1．教科书第 64 页练习． 2．课外探究：在直角三角形中，锐角 A 的邻边与 斜边的比是否也是一个固定值．