行列式按一行或一列展开及行列式的计算
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a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14
1 33 a33 a21 a22 a24 .
a41 a42 a44
Page 5
证 当 aij位于第一行第一列时,
a11 0 0
D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
即有 D a11M11.
又 A11 1 11 M11 M11,
0 an1
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2, ,n
ann
Page 13
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
Page 10
aiij 于是有 ai1, j
0 ai1, j1
0 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1
故得
aaiijj
0
D 1 i j ai1, j ai1, j1
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
Page 12
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
ai1
ain , ain
当 i j 时,
an1 ann
第i行 第 j行
相同
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
Page 15
关于代数余子式的重要性质
n aki Akj
Page 3
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 112 M12 M12 .
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 , A44 1 44 M44 M44 .
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
§2.3 行列式按一行或一列 展开及行列式的计算
一、余子式与代数余子式
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1 二、行列式按行（列）展开法则
42 三、小结 1
一、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
证 把行列式 D det(aij ) 按第 j 行展开，有
a11 a1n
ai1 a j1 Aj1 a jn Ajn
a j1
ain , a jn
an1 ann
Page 14
把 a jk 换成 aik (k 1, ,n),可得
a11 a1n
ai1 ai1 Aj1 ain Ajn
从而 D a11A11.
再证一般情形, 此时
Page 6
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0
an1 anj ann 把D的第i行依次与第i 1行,第i 2行,...,第1行对调,
0 aaiijj 0
得
D
1
a i 1 i 1,1
ai1, j
ai 1,n
an1 anj ann
k 1
D ij
D ,当 i
Page 7
再把D的第j列依次与第j 1列,第j 2列,...,第1列 对调, 得
aiijj
D 1 i1 1 j1 ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1
0 ai 1,n ann
Page 8
aiijj
1 i j2 ai1, j
anj aij
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一
个代数余子式.
Page 4
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
a11 a12 a13 a14
例如 D a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
Page 2
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
1 i j ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1 0 ai1, j1 an, j1
0 ai 1,n ann 0 ai 1,n ann
Page 9
aij
00
元素aij在行列式ai1, j
ai1, j1
ai1,n 中的
anj an, j1 ann
ann
0
ai1,n 1 i j aijMij .
anj an, j1 ann
Page 11
二、行列式按行（列）展开法则
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2, , n
证
a11
a11 a12 a14
1 33 a33 a21 a22 a24 .
a41 a42 a44
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证 当 aij位于第一行第一列时,
a11 0 0
D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
即有 D a11M11.
又 A11 1 11 M11 M11,
0 an1
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2, ,n
ann
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推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
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aiij 于是有 ai1, j
0 ai1, j1
0 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1
故得
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0
D 1 i j ai1, j ai1, j1
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
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a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
ai1
ain , ain
当 i j 时,
an1 ann
第i行 第 j行
相同
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
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关于代数余子式的重要性质
n aki Akj
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a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 112 M12 M12 .
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 , A44 1 44 M44 M44 .
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
§2.3 行列式按一行或一列 展开及行列式的计算
一、余子式与代数余子式
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1 二、行列式按行（列）展开法则
42 三、小结 1
一、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
证 把行列式 D det(aij ) 按第 j 行展开，有
a11 a1n
ai1 a j1 Aj1 a jn Ajn
a j1
ain , a jn
an1 ann
Page 14
把 a jk 换成 aik (k 1, ,n),可得
a11 a1n
ai1 ai1 Aj1 ain Ajn
从而 D a11A11.
再证一般情形, 此时
Page 6
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0
an1 anj ann 把D的第i行依次与第i 1行,第i 2行,...,第1行对调,
0 aaiijj 0
得
D
1
a i 1 i 1,1
ai1, j
ai 1,n
an1 anj ann
k 1
D ij
D ,当 i
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再把D的第j列依次与第j 1列,第j 2列,...,第1列 对调, 得
aiijj
D 1 i1 1 j1 ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1
0 ai 1,n ann
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aiijj
1 i j2 ai1, j
anj aij
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一
个代数余子式.
Page 4
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
a11 a12 a13 a14
例如 D a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
Page 2
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
1 i j ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1 0 ai1, j1 an, j1
0 ai 1,n ann 0 ai 1,n ann
Page 9
aij
00
元素aij在行列式ai1, j
ai1, j1
ai1,n 中的
anj an, j1 ann
ann
0
ai1,n 1 i j aijMij .
anj an, j1 ann
Page 11
二、行列式按行（列）展开法则
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2, , n
证
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