行列式按一行或一列展开及行列式的计算
2_3行列式按一行或一列展开及行列式的计算
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . a11 a12 a13 M 44 = a21 a22 a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a31 a32 a33
行列式的每个元素分别 对应着一个余子式和一 个代数余子式 .
Page 4
阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 外都为零， 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积， 代数余子式的乘积，即 D = a ij Aij ． a11 a12 a13 a14 例如 D =
0 2 0 0 0
解
5 3 −1 2 1 7 2 5 D= 0 −2 3 1 0 −4 −1 4 0 2 3 5
Page 22
5 3 −1 2 −2 3 1 3 1 r2 + (− 2 )r1 2+ 5 0 − 2 = (− 1) 2 − 2⋅ 5− 4 −1 4 0 − 4 − 1 4 r3 + r1 2 3 5 0 2 3 5 −2 3 1 −7 2 = −10 0 − 7 2 = −10 ⋅ (− 2 ) 6 6 0 6 6
Page 9
aij aij M M anj aij aij M = ( − 1)
i+ j
L
0 M M
L
0 M M
(− 1)i + j − 2 ai −1, j L ai −1, j −1 L ai −1,n =
L L a n , j −1 0 M M L a n , j −1 L L L ann 0 M M ann
a14 a 34 a 44
D=
A23 = (− 1)
M 23 = − M 23 .
行列式的展开法则
03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则 1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++= ； 2)按一列展开法则 1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++= . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式1)xy x yyx； 2)111111121n n----； 3)121111n n na a xD a xa x---=-.解 1)按1c 展开得原式1111111(1)(1)n n n n n n n xA yA xxy y x y -+-+=+=+-=+-. 2)原式121(1)(12)2n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=按展开. 3)法1 按1r 展开得()112112121223121211(,,,)(,,)(,,).()n n n n n n n n n n n n n n n D a a a a x D a a a x a x D a a a x a x a x a D a a --------=+=++==++++=法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为11111(1)11i n i i x x M x x x x-----==---.将n D 按1c 展开得11211211(1)ni n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑ .法3 1121212112121101,1,,210i i nn n n n n n na a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++12121n n n n a x a x a x a ---=++++ . ()11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=法4 按n r 展开得111212121.n n n nn n n n n n n n n n D a A xA a xD a a x xD a x a x a x a ------=+=+=++==++++定理3.2 当i j ≠时， 11220i j i j in jn a A a A a A +++= ；11220i j i j ni nj a A a A a A +++= . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++= δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++= δ，其中1,;0,ij i j i j=⎧=⎨≠⎩当当δ为克罗内克(Kronecker )符号.例3.3 1)二元(实)函数1,;(,)0,.x y f x y x y =⎧=⎨≠⎩当当 显然(,)xy f x y =δ.2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯= δ.例3.4 设四阶行列式1212211220211234D =. 1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号1,;0,.ij i j i j <⎧=⎨>⎩当当ρ 例3.5 1)若正整数i j ≠，则1.ij ji +=ρρ2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列124567,,,,,a a a a a a 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列12467,,,,a a a a a中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，121()t sn j j s t nj j j ≤<≤=∑τρ.例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1[]i j n n a -⨯的行列式122131121(,,,)()()()(,,)().n n n j i i j nV a a a a a a a a a V a a a a ≤<≤=---=-∏例3.7 填空11112345_____49162582764125----=----.例3.8 设0abcd ≠，求证222211(,,,)11a a bcd b b acdV a b c d c c abd d d abc=-.例3.9 计算n 阶三对角行列式111n a b ab a b ab D a b aba b++=++ .二、按多行(列)展开法则定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212A k l i i i j j j ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 及其余子阵，k 阶子方阵、k 阶子式；n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=- ，k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.例3.10 设55[]A ij a ⨯=.1)25135A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫⎪⎝⎭为其余子阵；2)1325A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫⎪⎝⎭为对应余子式，而对应代数余子式为(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3)235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子式，其代数余子式就是余子式1414A ⎛⎫⎪⎝⎭，是A 的一个2阶主子式；4)A 共有五个顺序主子阵(式).定理3.3 按多行(列)展开法则——拉普拉斯(Laplace )定理1122C C ||A k k nnN A N A N A =+++ .例3.11 计算四阶行列式1234500112365112D -=--.例3.12 计算六阶行列式111000234000310161111101112411243161139D =---.例3.13 计算六阶行列式120000350000635475124583240064270034D -=-.例3.14 计算叉形行列式1)11211n n n nna b a b D c d c d =；2)112111nn n nna b a b D e c d c d +=.。
§2.3 行列式按一行或已列的展开以及行列式的计算PPT课件
例
ab000
ab00
0 D 0
a 0
b a
0 b
0 0
按第一 列展开
a (1)11
0
a
b
0
000ab
00ab
b000a
000a
b000
b (1)51 a b 0 0 0ab0
a5 b5.
00ab 13
注：在实际展开时:
(1) 常按含“0”元较多的行或列 展开（以简化计算）。
(2) 还可先利用性质将某一行（或列） 化为仅含一个非零元再按此行（或列） 展开，降为低一阶行列式，如此继续， 直到化为三阶或二阶行列式计算。
子式乘积之和，即 n
A aij Aij (i 1,2,, n)
j 1
(2) 行列式的任一行的每个元素与另一行对应元素的
代数余子式乘积之和为零，即
n
aij Akj 0, i k
j 1
4
证明：（1）注意
(i,1, 2, , i 1, i 1, , n) i 1 ( j, j1, j2 , , ji1, ji1, , jn ) j 1 ( j1, j2 , , ji1, ji1, , jn )
ai 1n ai 1n
an1
anj 1
anj 1
ann
且 Aij (1)i j Mij (i, j 1,2,, n) 称为 aij 的代数余子式
(algebraic cofactor)。 3
定理4 A设 (aij )n 余子式，
A，ij aij为(i, j 1,2,, n)
的代数
(1) 行列式等于它的任一行的每个元素与其代数余
A21 A22
An1 a11 An2 a21
行列式按一行列展开
A44 1
4 4
M 44 M 44
注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式.
2.行列式按一行（列）展开法则
定理1.3.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即 D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n 证明 （先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理. (1) 假定行列式D的第一行除 a11 外都是 0. a11 0 0
a11 a12 a1n
an1 an 2 ann
an1 an 2
0 0 0 ain an1 an 2 ann ann
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2,, n 证毕.
3 5 3
证明 由定理1.3.1，行列式等于某一行的元素分别与 它们代数余子式的乘积之和.
a11 ai 1 在 D ak 1 an1 a12 ai 2 a1 n ain 中，如果令第 i 行的元素 等于另外一行，譬如第 k
ak 2 akn 行的元素 an 2 ann
由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，
得
aij 0 0 D ( 1)i j 2 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n anj an , j 1 ann
(1) aij Mij
i j
aij Aij
(3) 一般情形 a11 a12 a1n D ai 1 ai 2 ain an1 an 2 ann
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式 的计算. 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n-1 阶行列式来计算？
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要知识点，它广泛应用于数学、物理等领域。
行列式的计算有多种方法，每种方法都有其特点和适用的场合。
下面我们就来介绍一下几种行列式的计算方法。
一、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种矩阵求解行列式的方法，通过选取某一行或某一列的元素展开，将行列式转化为较小规模的行列式相乘的和的形式。
具体步骤如下：1. 选择任意一行或一列，假设选择第i行，i列的元素进行展开。
2. 对于第i行第j列的元素A[i,j]，计算其代数余子式M[i,j]。
这种方法的优点是可以将较大的行列式转化为多个规模较小的行列式相乘的形式，简化了计算的难度。
但是这种方法并不适合于计算较大规模的行列式，因为会产生大量的中间结果需要计算。
二、按行（列）展开法按行（列）展开法的计算比较直观，适合用于小规模行列式的计算。
但是对于较大规模的行列式，计算量会相当大，不够高效。
三、三角形式计算法1. 利用初等变换将方阵化为上三角形或下三角形形式。
2. 上三角形形式的行列式等于对角线元素的乘积。
比较适用于计算较大规模行列式，但是需要进行大量的初等变换操作，计算复杂度较高。
四、行列式性质法行列式性质法是一种基于行列式性质推导的计算方法，通过运用多项式代数的性质，将行列式转化为一些易于计算的形式。
行列式性质包括奇偶性、行列式的性质、对称性质等。
具体步骤如下：1. 利用行列式性质将行列式进行转化，使其具有更加易于计算的形式。
2. 依次计算每一项的值，得出行列式的结果。
行列式性质法适用于各种规模的行列式，但需要熟练掌握行列式的性质和多项式代数的运算规则。
行列式的计算有多种方法，每种方法都有其适用的场合。
选择合适的计算方法可以提高计算效率，简化计算流程。
在实际运用中，根据行列式的规模和具体情况选择合适的计算方法是非常重要的。
希望本文介绍的几种行列式的计算方法能够帮助大家更好地理解和运用行列式知识。
线性代数1.6行列式按行(列)展开
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某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都 乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此 行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素 都是两数之和，则这个行列式可以拆 分为两个行列式的和，这两个行列式 分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所 有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行 列式中两行（列）的位置，行列 式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的 一种重要方法，特别是当行列式的阶数 较高时，直接计算往往比较困难，而按 行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03
行列式按一行或一列展开及行列式的计算
VS
三阶行列式
由三个元素构成的方阵，其计算公式为： $D = a_{11} cdot a_{22} cdot a_{33} + a_{12} cdot a_{23} cdot a_{31} + a_{13} cdot a_{21} cdot a_{32} - a_{13} cdot a_{22} cdot a_{31} - a_{12} cdot a_{21} cdot a_{33} - a_{11} cdot a_{23} cdot a_{32}$。
行列式乘法
两个行列式相乘时，可以将一个行列式的行元素作为 另一个行列式的列元素，从而简化计算。
利用分块矩阵简化计算
01
分块矩阵的性质
将一个大的行列式分成若干个小 行列式，利用分块矩阵的性质， 可以简化计算。
02
矩阵分块求逆
03
分块矩阵的行列式
将一个矩阵分成若干个小矩阵， 利用逆矩阵的性质，可以求出原 矩阵的逆矩阵。
计算步骤
按照定义，将行列式中的元素按照排列顺序展开，得到n个代数余 子式，将它们相乘并求和，得到行列式的值。
注意事项
定义法是最基本的行列式计算方法，适用于所有阶数的行列式。
代数余子式法
定义
对于n阶行列式A，去掉第i行和第 j列后得到的(n-1)阶行列式称为代 数余子式。
计算步骤
将代数余子式乘以(-1)^(i+j)，得 到余子式的值，再将所有余子式 的值相加，得到行列式的值。
注意事项
范德蒙德行列式法适用于计算某些特殊形式的行列式，如三对角线行列 式等。
04
行列式在数学中的应用
在线性方程组中的应用
求解线性方程组
行列式可以用来求解线性方程组，通过计算系数矩阵的行列式，可以判断方程组是否有解，以及解的个数。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是矩阵的一个重要的数值性质，它将一个矩阵映射为一个数。
行列式的计算方法有多种，包括按定义展开、按行（列）展开、按特定行（列）展开、按相似行变化展开、按行列变换展开等等。
下面将总结行列式的计算方法。
1. 按定义展开法：行列式的定义是通过求和的形式给出的，具体计算步骤如下：a. 对于1×1的矩阵，直接返回矩阵元素的值。
b. 对于n×n的矩阵A，选择第一行或第一列，如第一行，则有det(A) = a_{11} * det(A_{11}) - a_{12} * det(A_{12}) + ... + (-1)^(1+n) * a_{1n} * det(A_{1n})，其中A_{ij}表示删去第i行第j列后的（n-1）×（n-1）的矩阵。
c. 迭代调用行列式计算函数，直到矩阵规模变为1×1，然后返回最终的计算结果。
2. 按行（列）展开法：选择任意一行（列），对于这一行（列）的每个元素aij，计算aij*（-1）^(i+j)*Det(Aij)，其中Det(Aij)表示矩阵A删去第i行第j列后的（n-1）×（n-1）的矩阵的行列式。
将所有结果相加即可获得行列式的值。
3. 按特定行（列）展开法：对于任意一行（列）i，选择元素a_{ik}，其中k≤n。
根据特定行（列）展开的性质，行列式的值可以表示为det(A) =a_{ik} * C_{ik}，其中C_{ik}表示A中删去第i行第k列后的（n-1）×（n-1）的矩阵的行列式。
简而言之，即选取矩阵中的某个元素，用这个元素乘以它的代数余子式（或称余子式）再相加。
4. 按相似行变化展开法：相似行是指行向量的倍数，对于具有相似行的矩阵A，其行列式的值为零。
因此，可以选择特定的行对矩阵进行行变换，使得相似行变成0，从而简化计算。
这需要根据具体的矩阵进行分析，选择合适的行变换方式。
5. 按行列变换展开法：行列变换可以通过交换两行（列）或某行（列）乘以一个非零数加到另外一行（列）上进行。
行列式按行(列)展开定理
证 由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和.
10
a11
a12
a1n
ai1
ai2
a in
在行列式 D
ak1
ak 2
a kn
an1
3 1 1 2
5 1
例2 计算行列式 D
20
3 4 .
1 1
1 5 3 3 14
3 1 1 2
解
5 D
1
20
3 4 1 1
1 5 3 3
c1 2 c3 c4 c3
5 1 1 1 11 1 3 1
0 010 5 5 3 0
15
5 11
5 11
(1)33 11
1
1 r2 r1 6
2
0
5 5 0
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
3
a11 a12 a14
M23 a31 a32 a34 a23 的余子式.
a41 a42 a44
A23
1
M 2 3 23
M23
a23 的代数余子式.
an
0
b 0
0
0
0 b
0
0
00
b
[(a1 a2 an ) b](b)n1
32
例9 x1 a a a
a x2 a a
D a
a
x3
行列式按一行(列)展开
a1n L 0 +L+ L ann
= ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + L + ain Ain
§2.6 行列式按一行（列）展开 行列式按一行（
(i = 1,2,L, n )
例1.计算行列式 .
3 −5 D= 2 1
1 1 0 −5
−1 3 1 3
2 −4 −1 −3
解：
5 1 D = −11 1 0 0 −5 −5
k= k =1
n
或 D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + L + anj Anj = ∑ akj Akj
k =1
n
j = 1,2,L , n
§2.6 行列式按一行（列）展开 行列式按一行（
证：
a11 a12 L L D = ai 1 + 0 + L + 0 0 + ai 2 + L + 0 L L a n1 an 2
由行列式的定义， 由行列式的定义，有
D=
=
∑j j jL
1 2
1 n −1
( −1)τ ( j1L jn ) a1 j1 a2 j2 L an−1, jn−1 anjn
( −1)τ ( j1L jn−1n ) a1 j1 a2 j2 L an−1, jn−1 ann ( −1)τ ( j1L jn−1 ) a1 j1 L an−1, jn−1
1 a1 = ( −1)
1+ n
1 a2
2 a2
L 1 L a n −1
2 L a n −1
(a1 − an )(a2 − an )L (an−1 − an )
第1章行列式1.4行列式的展开
=
n − 1 ×( −1) n − 2 ×( −1) 2行减去第1行 第 行减去第1 n − 3 ×( −1) 3行减去第2行 第 行减去第2 行减去第3 第4行减去第3行 n−4 ⋯ ×( −1) 第 行减去第n 1 ×( −1) n-1行减去第n-2行 行减去第n 第n行减去第n-1行 0 0 1 2 3 ⋯n− 2 n−1 0 1 2 3 ⋯ n− 2 n−1 1 0 0 0 ⋯ 0 1 −1 −1 −1 ⋯ −1 −1 0 0 1 1 −1 −1 ⋯ −1 −1 第1列加到 1 2 0 0 ⋯ 0 0 1 1 1 −1 ⋯ −1 −1 其他每一列 1 2 2 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a⋯= 0, a =⋯ ⋯ = 2, ..., a = n − 1 ⋯ ⋯ 1, a13 11 1n 12 0 1 2 2 2⋯ 0 1 a 1 = 1, a1 =⋯ −1 −1 1 0, 22 21 0 1 2 2 2⋯ 2 1 a 1 = n−2 ⋯ 1 1 1 −1 + − n −1,1 = ( n − 1) A1n = ( n − 1)( −1)n+1 2n− 2 最后1 最后1列递减
1 1 0 b −a = 0 b (b−a) b2(b−a) 0
1 c −a c (c−a) 2 c (c −a) 1 1 = (b−a) (c−a) (d −a) b c
1 d −a d (d −a) 2 d (d −a) 1 1 1 1 0 c −b d −b d 2 0 c (c−b) d (d−b) c2 d 2 b = (b−a) (c−a) (d −a) (c−b) (d−b) (d −c)
行列式的每个元素 都有一个余子式 代数余子式. 行列式的每个元素 都有一个余子式 和代数余子式.
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的基本概念，在数学、工程、物理、经济学等众多领域中都有广泛的应用。
行列式的计算方法有多种，下面将介绍其中的几种方法。
1.按行（列）展开法按照行或列来展开行列式是一种基本的计算方法。
假设行列式为：$$D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$$按第1行展开，得到：按照任意一行或一列展开，都可以得到同样的结果。
展开的过程中，每个元素前面加上正负号的符号与其对应的行数和列数有关。
这种方法适用于$3\times 3$的行列式，对于更高维的行列式，效率会大大降低。
2.三角行列式求法如果一个$n\times n$的行列式中有某一行或某一列的元素都是0，那么通过消元可以化简为一个更小的$n-1$阶行列式，然后递归地运用同样的方法求解，最终可以化简为一阶行列式。
这种方法叫做三角行列式求法。
例如，对于$3\times 3$的行列式：将第1列乘以$a_{23}$，再将第2列乘以$a_{11}$，用第2行减去第1行，用第3行加上第1行，得到：继续化简：3.性质计算法行列式有一些性质，可以通过这些性质来计算行列式。
其中最基本的性质是行列式的行列互换性质：将行列式的一行或一列互换，行列式的值反号。
例如：$$\begin{vmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}4 &5 &6 \\1 &2 &3 \\7 & 8 & 9\end{vmatrix}=0$$如果行列式某一行可以表示为其他行的线性组合，那么行列式的值为0。
行列式的计算
1 2 1 2
1 1 3 1
1 1 1 3
D
1
C C
k
2
3
4
1 2 1
0 1 1 1
1
0 0 1 0
1 2
0 0 1 2
12
1
6
1 2 1
1
0 1 0
0 1 2
按 r1 展 开
k 2 ,3 ,4
6 1 1
按 r1 展 开
6 0
a 0
b a 0 0
0 b 0 0
x x x3 x
n
x x x
例8 计算n阶行列式
Dn
x x
x n
x 1
x 2 0 0
x 0 3 0
x 0 0
( x 1) 0 0 0
j2
x j
x 2 0 0
x 0 3 0
x 0 0
r
Dn
k 2 , , n
x ( n 1) a
Dn
k 2 , , n
1
xa
a 0 0
C
k 2 , , n
1
C
k
0 0 0
xa
x ( n 1 ) a ( x a )
n 1
x a1
a1 x a2 a2
a2 a2 x a3
1 1
n
C
k 2 , , n 1
k
a
k 1 1
C
1
n
行列式的性质和计算
i+ j
4 0 0 1 4 0 0 2 1 3 1 = 22 1 3 = 2×4 1 3 D= 4 3 0 0 0 2 7 4 3 7 4 3 2
= 2×4 ×(15)
例 计算 解
a11 a12 a1n a22 a2n Dn = 0 a1,n1 a2,n1 ann
Dn = ann
证
不可逆时： 当A不可逆时 设 不可逆时
初等行变换 A R(最后一行的元全为零) →
即存在初等矩阵 E1, E2, ..., Et， A = E1E2 Et R
det R = 0 det A = (det E1 )(det Et )(det R) = 0.
不可逆 又A不可逆 AT不可逆 不可逆 所以 det AT = 0.
2 A ≠ 2A
k An×n = k A ≠ k A .
n
初等矩阵与任一方阵A乘积的行列式： 初等矩阵与任一方阵 乘积的行列式： 乘积的行列式
det(Eij A) = det A = (det Eij )(det A), det(Ei (c) A) = c(det A) = (det Ei (c))(det A),
det(Eij (c) A) =det A = (det Eij (c))(det A).
对任一初等矩阵 E , det( EA ) = (det E )(det A )
设E1 , E2 ,, Et为初等矩阵，则 为初等矩阵， det( E1 E2 Et A) = (det E1 )(det Et )(det A)
1 7 5 r3 + ( 3 )r1 0 10 3 0 15 5 1 7 5 r3 + 3 r3 0 5 2 0 0 1
1 r2 r3 0
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a11 a12 a14
1 33 a33 a21 a22 a24 .
a41 a42 a44
Page 5
证 当 aij位于第一行第一列时,
a11 0 0
D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
即有 D a11M11.
又 A11 1 11 M11 M11,
0 an1
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2, ,n
ann
Page 13
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
Page 10
aiij 于是有 ai1, j
0 ai1, j1
0 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1
故得
aaiijj
0
D 1 i j ai1, j ai1, j1
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
Page 12
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
ai1
ain , ain
当 i j 时,
an1 ann
第i行 第 j行
相同
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
Page 15
关于代数余子式的重要性质
n aki Akj
Page 3
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 112 M12 M12 .
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 , A44 1 44 M44 M44 .
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
§2.3 行列式按一行或一列 展开及行列式的计算
一、余子式与代数余子式
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1 二、行列式按行（列）展开法则
42 三、小结 1
一、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
证 把行列式 D det(aij ) 按第 j 行展开，有
a11 a1n
ai1 a j1 Aj1 a jn Ajn
a j1
ain , a jn
an1 ann
Page 14
把 a jk 换成 aik (k 1, ,n),可得
a11 a1n
ai1 ai1 Aj1 ain Ajn
从而 D a11A11.
再证一般情形, 此时
Page 6
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0
an1 anj ann 把D的第i行依次与第i 1行,第i 2行,...,第1行对调,
0 aaiijj 0
得
D
1
a i 1 i 1,1
ai1, j
ai 1,n
an1 anj ann
k 1
D ij
D ,当 i
Page 7
再把D的第j列依次与第j 1列,第j 2列,...,第1列 对调, 得
aiijj
D 1 i1 1 j1 ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1
0 ai 1,n ann
Page 8
aiijj
1 i j2 ai1, j
anj aij
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一
个代数余子式.
Page 4
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
a11 a12 a13 a14
例如 D a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
Page 2
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
1 i j ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1 0 ai1, j1 an, j1
0 ai 1,n ann 0 ai 1,n ann
Page 9
aij
00
元素aij在行列式ai1, j
ai1, j1
ai1,n 中的
anj an, j1 ann
ann
0
ai1,n 1 i j aijMij .
anj an, j1 ann
Page 11
二、行列式按行（列）展开法则
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2, , n
证
a11