九年级数学上册 一元二次方程的根与系数的关系导学案

第9课时 一元二次方程的根与系数的关系（1）

学 习 目 标 1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。

学习重点 一元二次方程的根与系数的关系及运用。 学习难点

定理的发现及运用。

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、自主学习 感受新知

【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1+x 2，x 1·x 2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你

能发现什么规律？

一元二次方程 x 1 x 2 x 1+x 2 x 1·x 2 2x +6x -16=0

2x -2x -5=0

22x -3x +1=0 52x +4x -1=0

通过学生计算一

些特殊的一元二

次方程的两根之和与两根之积，

启发学生从中发

现存在的一般规

律，渗透特殊到

一般的思考方法。

二、自主交流 探究新知

【探究】一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公

式知x 1=a ac b b 242-+-，x 2=a

ac

b b 242---， 能得出以下结果：

x 1＋x 2=a

b

-，即：两根之和等于 x 1•x 2=

a

c

，即：两根之积等于 特殊的：若一元二次方程2

x +px +q =0的两根为1x 、2x ，则：

x 1＋x 2== -p x 1•x 2= q

如果把方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为

x 2＋a b -

x ＋a

c

＝0(a ≠0)，

让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。

则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：

x 2-（x 1+x 2）x ＋x 1x 2＝0(a ≠0)

三、自主应用 巩固新知

【例1】求下列方程的两根之和与两根之积. （1）2x -6x -15=0 （2）5x -1= 42x （3）2x =4 （4）22x =3x

（5）2x -(k +1)x +2k -1=0（x 是未知数，k 是常数）

【例2】已知方程5x 2

＋kx -6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值；

解：设方程的另一个根是x 1，那么5

6

21-=x

∴ x 1=

又x 1+2=5

k -

∴ k =

【例3】利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2

＋3x -1＝0的两个根的

（1）平方和 （2）倒数和

解：设方程的两个根分别为x 1，x 2，那么x 1+x 2= ， x 1x 2= （1）∵ （x 1+x 2）2

= x 12

+2 +x 22

∴ x 12

+x 22

=（x 1+x 2）2

-2 =

（2）==+

2

12

11

1x x x x

【练习】Р42 练习

让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（3）、（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解。

进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。

四、自主总结 拓展新知

不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值。

1、先化成一般形式，再确定a,b,c .

2、当且仅当b 2

-4ac ≥0时，才能应用根与系关系.

3、要注意比的符号：两个根的和－－比前面有负号，两个根的积－－比前面没有负号。 五、课堂作业 P43 7 （《课堂内外》对应练习） 教学理念/教学反思