人教版九年级数学上21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》导学案

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系学案

一、学习目标：

（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。

（2）能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值。

（3）学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问题的能力。

二、学习重点、难点、疑点及解决办法：

1．学习重点：一元二次方程根与系数的关系及应用。

2．学习难点：正确理解根与系数的关系。

3．学习疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。

△4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意≥0这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数

a△≠0，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件≥0和a≠0。

三、探索新知

回忆：

1、一元二次方程的一般形式是什么？

2、一元二次方程的求根公式是什么？

3、一元二次方程的解的情况怎样确定？

知识小竞赛：

设x、x是下列一元二次方程的两个根，填写下表

12

一元二次方程方程的两个根x+x

12x•x 12

x2+5x+6=0x=-2x=-3

12

2 3

x 2 - 4 x + 3 = 0

2 x 2

- x - 1 = 0

x = 3 x =1

1 2

1

x = - x =1 1 2

3x 2 + x - 2 = 0

x =

2

1

x =-1

2

猜想：根据所填写的表格，请你猜想出 x + x ， x • x 与方程的系数有什么关系

1 2

1

2

吗？

你的猜想是否正确呢?请用求根公式加以验证（分组证明）

已知：如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 （ a ≠ 0 ）的两个根分别是 x 、 x

.

1 2

求证：

x + x = - 1 2 b

a

x • x = 1 2 c

a

证明：

归纳：

如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 （ a ≠ 0 ）的两个根分别是 x 、 x ，那么：

1

2

这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。

观察二次项系数为 1 的方程 x 2 + px + q = 0 的两根 x 、 x 与系数又有什么样的关 1 2

系呢？

推论：

四、应用：

例 1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根 x 、 x 的和与积：

1 2

（1） x 2 - 6 x - 15 = 0

（2） 3x 2 + 7 x - 9 = 0

（3） 5x - 1 = 4 x 2

例 2 已知方程 5x 2 + kx - 6 = 0 的一个根式 2，求它的另一个根及 k 的值：

例3利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0的两个根的

（1）平方和（2）倒数和

五、巩固训练

1.下列方程两根的和与两根的积各是多少(不解方程）

（1）x2+3x+1=0（2）3x2-2x=2

（3）2x2+3x=0（4）3x2=1

2.已知方程x2-(2m+1)x+m=0的两根之和与两根之积相等，那么m的值为（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.方程2x2-ax+2b=0的两根和为4，积为-3，则a=_________，b=________。

4.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一个根是________m的值是_________

5.设x、x是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式

12

的值。

（1）(x+1)(x+1)（2）12x

2+ x

1

x

1

x

2