新北师大版九年级数学反比例函数知识点总结复习专题

反比例函数知识点总结复习

知识点１: 反比例函数的定义

一般地，形如x

k

y =

（k 为常数,0k ≠)的函数称为_________函数,它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数;

⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠; ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式:①x

k y =

（0k ≠）,②1

kx y -=(0k ≠），③k y x =⋅（定值)（0k ≠);知识点2:用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数x

k

y =

(0k ≠）中，只有一个待定系数,因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值， 从而确定反比例函数的表达式。 知识点3：反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是___＿_＿__,它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠,所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤:⑴_____＿_＿＿＿；⑵＿_＿＿_＿＿＿_＿__;⑶__＿_＿___＿____＿。 知识点4:反比例函数的性质

★关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表:

反比例函数

x

k

y =

(0k ≠) k 的符号

K___0 K ＿__0

图像

性质

①x 的取值范围是＿__＿___＿_＿_， y 的取值范围是＿__＿＿__＿_＿_. ②当0k >时,函数图像的两个分支分别在第______＿__＿象限，在每个象限内,y 随x 的增大而___＿＿_＿__。

①x 的取值范围是___________,

ｙ的取值范围是＿＿_____＿___． ②当0k <时,函数图像的两个分支分别在第_＿＿___＿__＿象限，在每个象限内,y 随x 的增大而＿__＿________。

注意：1、描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则,笼统地说,当0k >时， y 随x 的增大而减小，就会与事实不符的矛盾。

２、反比例函数系数k 的符号决定反比例函数图像的位置和函数的增减性。 ★反比例函数x

k

y =

（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义。 如图所示，过双曲线上任一点P(x,y ）分别作ｘ轴、ｙ轴的垂线，E 、F 分别为垂足， 则___y x ===•=xy PE PF S PEOF 矩形， 连接OP,则S △PEO ＝_______

y

x

y

x

☆ 反比例函数x k y =

（0k ≠）中，k 越大，双曲线x k y =越远离坐标原点；k 越小,双曲线x

k

y =越靠近坐标原点。

☆ 双曲线是_＿＿＿__对称图形,对称中心是_______;又是＿_＿_对称图形，对称轴是直线___＿＿和直线＿

_______＿。

经典例题透析

类型一: 反比例函数的概念 （一）反比例函数的定义

【例题】１、下列函数中是反比例函数的有＿＿___＿__＿___＿＿__＿_＿(填序号）

()()()()()()()()())

0(10;29;1)8(;87;216;

235;2114;23;1312;3122≠==-===-=-=-=+=

-=k k x k

y x y x y x

y xy x

y x y x y x y x y 为常数，

2、在函数2

1

+=

x y 中，自变量x 的取值范围是 （二)反比例函数的意义

【例题】1、k__＿_＿__＿_＿_＿__＿_时，2

3)2(k x k y --=是反比例函数。

2、已知函数3

422+-+=m m x

m y

)(（１）当m____＿＿__＿_时，它是反比例函数,

（２)它的图像位于第__＿_＿_____＿＿__象限. 在每个象限内，y 随x 的增大而_______＿_______。 3、反比例函数y =21039n n x

--的图象在每一象限内，y 随x 的增大而增大,则n ＝_______．

(三） “成反比例”的含义

【例题】１.已知y 与x-１成反比例,并且x=-２时y ＝7,

则：（1)求y 和x 之间的函数关系式为_____________； (２）当x=8时,y 的值为_＿_____＿___＿__； (3)ｙ＝-2时，x 的值为_____＿＿_______＿。

【练习】1.已知y ＝ｙ１+y 2，y 1与1+x 成正比例,y 2与1+x 成反比例;当0=x 时，5-=y ,当2=x 时,7-=y ; (１）求y 与ｘ的函数解析式;（2）当5=x 时，求y 的值。

类型二:确定反比例函数的解析式

【例题】反比例函数x

k

y =，当自变量取值为—1时,函数值为２,则反比例函数的关系式为____＿______＿_＿

＿。

【练习】1、已知变量y 与x 成反比例，并且当x=3时,y=7.则ｙ与x 之间的函数关系式是___＿___________； 2、函数x

k

y =

的图像经过点)2,1(-A ，则ｋ的值为 。 3、如图,P 是反比例函数图象上的一点,且点P 到x 轴的距离为3,到ｙ轴

的距离为2,则这个反比例函数的解析式为_______＿__＿_＿____.

类型三:反比例函数的图像及性质

【例题】1．已知反比例函数x

m y 2

=的图像过点（-3，-12),且双曲线x m y =位于第二、四象限,则m=_____。

2、已知反比例函数x

k y 2

-=

的图像位于第一、三象限，则k 的取值范围是 。 3. 如图,P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PE ＯF 的面积为8, 则反比例函数的表达式是＿__＿_____． 【练习】1、当a_____＿_时，函数2

--=a ax

y 为反比例函数,且其图像同一支上的点的纵坐标随横坐标的增

大而增大,此时的函数关系式为____＿_______，它的图像在第＿_______＿象限。

2．如图，若点A 在反比例函数(0)k

y k x

=

≠的图象上, AM x ⊥ 轴于 点M ,AMO △的面积为3，则k = .

类型四:同一坐标系画一次函数与反比例函数图像

【例题】

1．已知关于x 的函数y ＝k(ｘ+１)和ｙ＝－k

x

（ｋ≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是(• ）.

【练习】１、函数x k

y =的图象经过(1，)1-，则函数2-=kx y 的图象是( ）

2、在同一坐标系中，函数x k

y =和3+=kx y 的图像大致是（ ）

A Ｂ C D

类型五:比较函数值或自变量的大小

【例题】１．若点(x 1，y 1)、（ｘ２,y 2)、(x 3，y 3)都是反比例函数x

y 1

-

=的图象上的点, 并且x 1＜0

Ａ、y １＜y ２

4

x

的图象上,则( ). A.ｙ1<ｙ2<ｙ3 B.y 3

2

2

22-2

-2-2-2O

O O O

y

y y y

x

x

x

x

B

C D