高考数学-平面向量(知识点归纳+习题)
高考数学专题复习题：平面向量
高考数学专题复习题：平面向量一、单项选择题（共8小题）1.已知向量(1,)x =a ，(1,3)=−b .若向量2+a b 与向量b 垂直，则x 的值为（ ） 33||||4AC CB =.若AB BC λ=，则λ34 C.74 3.已知向量a ，b 不共线，设k =+u a b ，2=−v a b ，若//u v ，则实数k 的值为（ ）A.4.如图所示，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 上靠近点C 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（ ）A.1151818AB AC −+B.1111189AB AC −+C.114189AB AC −+D.1526AB AC −+第4题图 第5题图 第6题图5.如图，在等边三角形ABC 中，如果3BD DC =，那么向量AB 在向量AD 上的投影向量为（ ）AD AD AD AD 6.如图，在ABC △中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，如果AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，那么μ值是（ ）7−7.单位向量a ，b ，c 满足22−+=0a b c ，则cos ,2〈−〉=a b c （ ）8.若AB AC ⊥，||AB t =，1||AC =，ABC 平面内一点，2||||AB AC AP AB AC =+，则的最大值为（ ）A.13B.二、多项选择题（共2小题）9.已知向量，，其中，则下列说法中正确的是（ ）A.若，则B.若a 与b 的夹角为锐角，则C.若1x =，则a 在b 上的投影向量为bD.若，则10.在ABC △中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，点D 为线段AB 上靠近A 点的三等分点，E 为CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A.16AE AB AC = AE 与EB 的夹角的余弦值为 C.AE CD ⋅=三、填空题（共5小题）11.图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，如果A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，那么AB CD ⋅=________.12.已知向量(2,5)=a ，(,4)λ=b ，若//a b ，则λ=________.13.平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，()m m =+∈R c a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹PB PC ⋅5−−+(1,3)=a (2,2)x x =−b x ∈R ⊥a b 6x =6x <||||||+=+a b a b 27x =角，则m =________.14.在ABC △中，2AB =，3AC =，A =3255AD AB AC =+，则AB 与AD 夹角的大小为________.15.如图，在平行四边形ABCD 中，已知M 是BC 中点，DE AM ⊥于E ，2AB AD =，cos DAB ∠=AB =a ，，以，为基底表示EC ，则EC =________.AD =b a b。
高考数学(文)《平面向量》专题复习
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0.②实数和向量可 以求积，但不能求和、求差．③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．
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考法2 平面向量的线性运算
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考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时，应注意以下两点： 1．应正确理解向量的概念 ①向量既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以 判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；②大小与方向是向 量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；③向量可以自 由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 2．正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反， 当然向量所在直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义．
(2)b在a方向上的投影是 一个数量，当0°≤θ＜ 90°时为正；当90°＜θ ≤180°时为负；当θ＝ 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
高考数学平面向量考点及知识点总结解析(理科)
平行且|a|＝1，则 a＝a0.假命题的个数是
()
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，
但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0
的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，
故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3.
3．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与 OC 相等 的向量有________．
答案： AB， ED，FO
4．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的
1 3
处相交的两个全等
的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为
a 3
的若干个向量，则
(1)与向量GH 相等的向量有________； (2)与向量GH 共线，且模相等的向量有________； (3)与向量 EA共线，且模相等的向量有________． 解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等． 向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合． 答案：(1) LB， HC (2) EC， LE ， LB，GB， HC (3) EF ，FB， HA， HK ， KB
HF
＝
1 4
AH ，∴ AH ＝45 AF ， AF ＝ AD＋ DF ＝b＋12a，∴ AH ＝45
b＋12a＝25a＋45b，故选B. 答案：B
4. [考点二] 已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点
相同．若a，tb，
1 3
(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t
＝________.
解析：∵a，tb，
与向量 b 相同，且|aa|＝|bb|，所以向量 a 与向量 b 方向相同，故
2023届高考数学复习：历年经典好题专项(平面向量的概念及线性运算)练习(附答案)
A.√3
B.2√3
C.3√3
D.4√3
)
)
10.(多选)设 M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是(
A.若⃗
1 ⃗
2
1 ⃗
,则
2
⃗
M 是边 BC 的中点
B.若⃗=2⃗
⃗ ,则点 M 在边 BC 的延长线上
C.若⃗=-⃗
⃗,则 M 是△ABC 的重心
1
1
D.若⃗=x⃗+y⃗ ,且 x+y= ,则△MBC 的面积是△ABC 面积的
2
2
1
4
11.(历年山东德州高三模拟)设向量 a,b 不平行,向量 a+ λb 与-a+b 平行.则实数 λ=
.
12.(历年浙江杭州二中高二期中)在等腰梯形 ABCD 中,设⃗=a,⃗=b,⃗ =2⃗,M 为 BC 的中点,则
2
3
1
3
A. a+ b
2
3
1
3
C. a- b
2
3
)
(
)
1
3
B.- a+ b
2
3
1
3
D.- a- b
5.(历年四川宜宾叙州区第一中学月考)在▱ABCD 中,若|⃗
A.▱ABCD 为菱形
(
⃗|=|⃗
⃗|,则必有(
)
B.▱ABCD 为矩形
C.▱ABCD 为正方形 D.▱ABCD 为梯形
6.设 a,b 是非零向量,则“a=2b”是“|a+b|≥|a|+|b|”的
A.充分不必要条件
高考数学复习知识点专题讲解25---平面向量高考选择填空压轴题专练(培优版)
，∴
t
=
1 4
(1−
m)
，
解
得
m
=
3 7
，∴
4
1 2
(1
−
t
)
=
m
t
=
1 7
OM
=
1 7
OA +
3 OB 7
，设 OM
=
xOE
+
yOF
=
xλOA +
yµOB
，则
xλ
yµ
= =
1 7 3 7
7x ，即 7 y
= =
1 λ 3 µ
，
即
1 λ
+
3 µ
=
7
，故
λ
+
µ
=
1 7
(λ
+
µ )
1 λ
=
2 λ
,
PF PD
=
λ
λ +
2
,故选
A.
uuur uuur 7．由点 P 向圆 O ：x2 + y2 = 2 引两条切线，切点为 A ，B ，则 PA⋅ PB 的最小值是（ ）
A． 4 2-6
B． 2 2 − 3
C． 3 − 2 2
D． 6 − 4 2
【答案】A
【解析】
设
OP = x
，
则
PA2 = x 2 − 2
P(x , y) ,
uuur 由已知 AP
=
1 ，得 ( x
−
2)2
+
y2
=
1 ，又
uuuur PM
=
uuuur MC
考点10 平面向量(核心考点讲与练)-2023年高考数学核心考点讲与练(新高考专用)(解析版)
①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝ ＝ .
③夹角：cosθ＝ ＝ .
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ · .
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
3.（2021年全国高考甲卷）若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是 ＋ ＋ ＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则 ＋ ＝2 ；
(3)对于平面上的任一点O， ， 不共线，满足 ＝x ＋y (x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
【答案】D
【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.
【详解】 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，A正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0，B正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，C正确；
＋ ＋ ＝ ＋0＝ ＝ ≠ ，D错误，
故选：D．
2.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是
A．若向量 ， 共线，则向量 ， 的方向相同
2023版高考数学一轮总复习5-1平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标表示习题
5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇固本夯基考点一平面向量的概念及线性运算1.(2017课标Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( )A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案 A2.(2022届江西重点中学联考二,5)设e1,e2是两个不共线的平面向量,若a=3e1-2e2,b=e1+ke2,且a与b共线,则实数k的值为( )A.-12B.12C.-23D.23答案 C3.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 A4.(2021宁夏吴忠4月模拟,5)如图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),则λ+μ等于( )A.1B.-1C.12D.-12答案 D5.(2021陕西延安重点中学模拟,6)设M是△ABC所在平面上的一点,且EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,D是AC的中点,则|EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为( )A.13B.12C.1D.2答案 A6.(2020吉林梅河口五中4月模拟,5)在△ABC中,延长BC至点M使得BC=2CM,连接AM,点N为AM上一点且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ=()A.13B.12C.-12D.-13答案 A7.(2022届山西吕梁11月月考,9)如图,△ABC中,点M是BC的中点,点N满足EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM 与CN交于点D,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=()A.23B.34C.45D.56答案 C8.(2022届安徽淮南一中月考,9)已知点M是△ABC所在平面内一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABM与△BC M的面积之比为( )A.83B.52C.2D.43答案 C9.(2022届黑龙江八校期中,13)如图,在△ABC中,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D是BE上的点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数x的值为.答案19考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2022届哈尔滨三中期中,3)已知对任意的平面向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b),把EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕其起点A沿逆时针方向旋转角φ得到向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(acosφ-bsinφ,asinφ+bcosφ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角φ得到点P.已知A(1,2),B(1-√2,2+2√2),把点B绕点A沿逆时针方向旋转π4得到点P,则点P的坐标为( )A.(-3,1)B.(-2,1)C.(2,3)D.(-2,3)答案 D2.(2021云南统一检测一,7)已知向量a=(32,1),b=(-12,4),则( )A.a∥(a-b)B.a⊥(a-b)C.(a-b)∥(a+b)D.(a-b)⊥(a+b)答案 B3.(2020陕西咸阳一模,3)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O逆时针旋转60°得到向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(0,1) B.(1,0)C.(√32,-12) D.(12,-√32)答案 A4.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA=2,OB=2,OC=1,∠AOB=60°,∠BOC=90°,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE=( )A.√3B.12C.√33D.23答案 C5.(2022届四川绵阳中学模拟二,5)设向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,-1),EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则1E +2E的最小值为( )A.4B.6C.8D.9答案 C6.(2021全国甲,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= .答案-1037.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案128.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B上方,M为抛物线上一点,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=.答案 39.(2022届云南五华模拟,15)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以CD为直径的半圆上有一点P,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为.答案73综合篇知能转换考法一平面向量线性运算的解题策略1.(2021广西百色重点中学4月模拟,5)已知点P为△ABC所在平面内一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,点Q是线段BP的中点,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 D2.(20215·3原创题)△ABC中,点M为AC上的点,且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1 E -1E的值为( )A.0B.-32C.1D.-1答案 B3.(2022届福州福清西山学校10月月考,8)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a+35bB.35a+45bC.1225a+925bD.1625a+1225b 答案 D4.(2022届河南段考三)已知△ABC 的三个内角分别为A,B,C,动点P 满足EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ·(EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin E +EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin E),λ∈(0,+∞),则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.垂心C.内心D.外心 答案 A5.(2021赣中南五校联考二,15)已知△ABC 的重心为G,过G 点的直线与边AB 和AC 的交点分别为M 和N,若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且△AMN 与△ABC 的面积的比值为2554,则实数λ= .答案 5或546.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tanα=7,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n∈R),则m+n= .答案 3考法二 向量共线问题的求解方法1.(2021山西孝义二模,6)已知EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cosα),EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sinα),若A,B,D 三点共线,则tanα=( )A.-2B.-12C.12D.2答案 A2.(2021太原一模,6)已知梯形ABCD 中,AB∥DC,且AB=2DC,点P 在线段BC 上,若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =56EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λEE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ=( )A.34 B.23 C.13 D.12 答案 C3.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC中,E、F分别为AC、AB上的点,BE与CF交于点Q,且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ交BC于点D,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6答案 C4.(2022届河南平顶山月考,10)已知点O为正△ABC所在平面上一点,且满足EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+λ)EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若△OAC的面积与△OAB的面积比为1∶4,则λ的值为( )A.12B.13C.2D.3答案 B5.(2022届拉萨中学月考,15)在△ABC中,点D满足BD=34BC,E点在线段AD上移动,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则t=(λ-1)2+μ2的最小值是.答案9106.(2020吉林桦甸四中等4月联考,15)在△ABC中,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P为线段AM上任意一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x2+2x+y2的最小值为.答案916应用篇知行合一应用向量在物理中的应用1.(2021山西长治二中月考,3探索创新情境)已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为( )A.40NB.10√2NC.20√2ND.40√2N答案 B2.(2021咸阳模拟,9生活实践情境)渭河某处南北两岸平行,如图所示.某艘游船从南岸码头A出发向北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为|v1|=10km/h,水流速度的大小为|v2|=6km/h.设速度v1与速度v2的夹角为120°,北岸的点A'在码头A的正北方向,那么该游船航行到达北岸的位置应( )A.在A'东侧B.在A'西侧C.恰好与A'重合D.无法确定答案 A。
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知在平行四边形ABCD 中，()2,6AD =，()4,4AB =-，对角线AC 与BD 相交于点M ，AM =（ ）A ．()2,5--B ．()1,5--C ．2,5D ．()1,5-3．已知ABC 中，G 是BC 的中点，若2AB =，10AC =，则AG BC ⋅的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线 6．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且52AB AM =，则CB =（ ） A ．3522CA CM --B ．3522CA CM -C ．3522CA CM +D ．3522CA CM -+7．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+8．如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（ ）A ．3144ABAC B ．1455AB AC +C ．4155AB AC +D ．1344ABAC 9．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．1-10．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -11．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH =（ ）A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．25a b --12．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 是AD 的中点，则BE =（ ） A ．2136AB AC -B ．2136AB AC +C ．2136AB AC -- D ．2136AB AC -+二、填空题13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若ab ，则+=a b ________．14．锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3tan tan aB C =+，若3c =，D 为AB 的中点，则中线CD 的范围为______________.15．已知向量()22OC =，,()2cos CA αα= ，则向量OA 的模的最大值是________.16．在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．三、解答题17．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c = (1)若a b +与c 垂直， 求实数m 的值; (2)若a b -与c 共线， 求实数m 的值.18．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-. (1)求2a b +；(2)若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a =，OB b =. (1)求a 在b 上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；21．已知向量(1,2),(,1),()//(2)a b x a b a b ==+-． (1)求x 的值；(2)若ka b +与ka b -相互垂直，求k 的值．22．在△ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且|AO |＝2|OC |，设AB a =，AC b =．(1)试用a ，b 表示AR ；(2)若H 在BC 上，且RH ⊥BC ，设|a |＝2，|b |＝1，a θ∈<,b >，若θ＝[3π,23π]，求CH CB 的取值范围．23．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。
高考数学知识点总复习教案平面向量的基本定理及向量坐标运算
第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( )．A ．(6,3)B ．(7,3)C ．(2,1)D ．(7,2)解析 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)． 答案 B2．已知平面内任一点O 满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则“x ＋y ＝1”是“点P在直线AB 上”的( )．A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 根据平面向量基本定理知：OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )且x ＋y ＝1等价于P 在直线AB 上． 答案 C3．(2013·金华模拟)设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D. 答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝ ( )．A.14B.12C ．1D ．2解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·杭州模拟)若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 126．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a＝________.解析 设C (x ，y )，则AC→＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎨⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3. ∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上， ∴3＝12a ·3，∴a ＝2. 答案 2 三、解答题(共25分)7．(12分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )． ∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行 ∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13， 此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 8．(13分)已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP→＝OA →＋tAB →，求：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP→＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23； 若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13； 若P 在第二象限，则⎩⎨⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13.(2)因为OA→＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎨⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，无解． 所以四边形OABP 不能成为平行四边形．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )．A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )， 整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 B2．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )， ∴⎩⎨⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2. ∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)． 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2012·扬州质检)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为________． 解析 AB→＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b ＝8.当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b 的最小值是8. 答案 84.(2013·青岛期末)设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．解析 由题意得点A 的坐标为(－2,1)，点B 的坐标为(4,3)，|OA →|＝5，|OB →|＝5.sin ∠AOB ＝sin(∠AOy ＋∠BOy )＝sin ∠AOy cos ∠BOy ＋cos ∠AOy sin ∠BOy ＝255×35＋55×45＝255.故S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12×5×5×255＝5. 答案 5 三、解答题(共25分)5．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )，(1)若a ∥AB→，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB→，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解 (1)∵AB→＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0. ∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1. 当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)， 当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12， ∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.6．(13分)已知向量v ＝(x ，y )与向量d ＝(y,2y －x )的对应关系用d ＝f (v )表示．(1)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标； (2)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 为常数)的向量c 的坐标；(3)证明：对任意的向量a ，b 及常数m ，n 恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )． (1)解 f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)解 设c ＝(x ，y )，则由f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )， 得⎩⎨⎧ y ＝p ，2y －x ＝q ，所以⎩⎨⎧x ＝2p －q ，y ＝p ， 所以c ＝(2p －q ，p )．(3)证明 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，所以f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1) 又mf (a )＝m (a 2,2a 2－a 1)，nf (b )＝n (b 2,2b 2－b 1)， 所以mf (a )＋nf (b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)． 故f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b ).。
高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》知识点总复习有解析
【最新】数学《平面向量》高考复习知识点一、选择题1．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ=( )A ．3B ．2C ．3D ．2【答案】D 【解析】 【分析】将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r中计算即可. 【详解】由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u ur u u u r2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC =u u u r u u u r ，||||AB AC λ===u u u ru u ur . 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.2．在平行四边形OABC 中，2OA =，OC =6AOC π∠=，动点P 在以点B 为圆心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则43λμ+的最大值为（ ）A ．2+B ．3+C ．5+D ．7+【答案】D 【解析】 【分析】先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，再求出7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为.【详解】如图所示，由2OA =，6AOC π∠=，由余弦定理得24+3221,12AC AC =-⨯=∴=，∴90OCA BAC ∠=∠=o , ∴圆B 与AC 相切于点A ，又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r ， ∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；∴()43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6BAD π∠=,所以22333333,,(2)()1322222AD DB OB =⨯==∴=++=, 所以72cos 13213BOA ∠==, 所以1327213OB OA ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ， 因为BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为32cos023⨯⨯=o ，∴43λμ+的最大值是723+. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λ＋μ的值为（ ）A．6 5B．85C．2D．83【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DBu u u r u u u r u u u r，利用(,)CA CE DB Rλμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，列出方程组求解即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB∴=-=-=u u u r u u u r u u u rCA CE DBλμ=+u u u r u u u r u u u rQ∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则85λμ+=.故选：B【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.4．已知5MN a b=+u u u u r rr，28NP a b=-+u u u r rr，3()PQ a b=-u u u r rr，则（）A．,,M N P三点共线B．,,M N Q三点共线C．,,N P Q三点共线D．,,M P Q三点共线【答案】B【解析】【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可.【详解】因为28NP a b=-+u u u r rr,3()PQ a b=-u u u r rr所以()2835NQ NP PQ a b a b a b=+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r,因为5MN a b=+u u u u r rr,所以MN NQ=u u u u r u u u r由平面向量共线定理可知,MN u u u u r与NQ uuu r为共线向量,又因为MN u u u u r 与NQ uuur 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线.故选: B 【点睛】本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5．如图，在ABC ∆中，12AN NC =u u u r u u u r，P 是线段BN 上的一点，若15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则实数m 的值为（ ）A ．35B ．25C ．1415D ．910【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，以AB u u u r ，AC u u ur 为基底表示出AP u u u r 即可得到结论. 【详解】由题意，设()NP NB AB AN λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，所以，()()113AP AN NP AN AB AN AB AN AB AC λλλλλ-=+=+-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 又15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以，1135λ-=，且m λ=，解得25m λ==. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题．6．下列说法中说法正确的有（ ）①零向量与任一向量平行；②若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r④||||||a b a b +≥+r r r r ；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则A ，B ，C为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④ B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r，故②错误；对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r不共线，故③错误；对于④：a b a b +≥+r r r r，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．7．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v（ ）A ．43AD BE +u u uv u u u vB ．53AD BE +u u uv u u u vC ．4132AD BE +u u uv u u u vD ．5132AD BE +u u uv u u u v【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减运算求解即可 【详解】2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．故选B ． 【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题8．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ） A ．4 B ．22C ．2D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可求221216y y -=，结合221244y y CD =-即可求解 【详解】如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，222212121212,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，()222221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，即()()222122212016y y y y ---= 解得221216y y -=（0舍去），所以222212124444y y y y CD -=-==故选：A本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题9．已知ABC V 为直角三角形，,6,82C BC AC π===，点P 为ABC V 所在平面内一点，则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为（ ）A ．252-B ．8-C ．172-D ．1758-【答案】A 【解析】 【分析】根据,2C π=以C 点建系, 设(,)P x y ,则22325()=2(2)222PC PA PB x y ⎛⎫⋅+-+-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,即当3=2=2x y ，时,取得最小值.【详解】如图建系，(0,0), (8,0), (0,6)C A B ,设(,)P x y ，(8,)PA x y =--u u u r ，(,6)PB x y =--u u u r，则22()(,)(82,62)2826PC PA PB x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-u u u r u u u r u u u r22325252(2)2222x y ⎛⎫=-+--≥- ⎪⎝⎭.故选:A. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示及其应用,根据所求关系式运用几何意义是解题的关键,属于中档题.10．如图，在ABC V 中，已知D 是BC 边延长线上一点，若2B C C D =u u u v u u u v，点E 为线段AD 的中点，34AE AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v，则λ=（ ）A ．14B ．14-C ．13D ．13-【答案】B 【解析】 【分析】由12AE AD =u u u r u u u r ，AD BD BA =-u u u r u u u r u u u r ，AC BC BA =-u u ur u u u r u u u r ，32BD BC =u u u r u u u r ，代入化简即可得出．【详解】 13,,,22AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB ==-==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，带人可得()13132244AE AC AB AB AB AC ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，可得14λ=-，故选B. 【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．在边长为1的等边三角形ABC 中，点P 是边AB 上一点，且．2BP PA =，则CP CB ⋅=u u u v u u u v（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减法及数乘运算用,CA CB u u u r u u u r表示CP u u u v，再利用数量积的定义得解． 【详解】依据已知作出图形如下：()11213333CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v .所以221213333CP CB CA CB CB CA CB CB ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v 221211cos 13333π=⨯⨯⨯+⨯= 故选C 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于中档题．12．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v（ ）A ．3155AB AC +u u uv u u u vB ．2155AB AC +u u uv u u u vC ．481515AB AC +u u uv u u u v D ．841515AB AC +u u uv u u u v 【答案】D 【解析】 【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r为基底来表示的形式.【详解】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u ur u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.13．已知平面向量,,a b c r r r满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ） ABC．2-D【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，易知a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r， 因为()()21a c b c -⋅-=r r r r，所以221202x y x +-+=，又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为=. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．14．已知平面直角坐标系xOy 中有一凸四边形ABCD ，且AB 不平行于,CD AD 不平行于BC ．设AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，且222a b +=，求||||AB DC +u u u r u u u r的取值范围（ ） A ．(4,)+∞ B ．[4,)+∞C ．(0,4)D ．(2,4)【答案】A 【解析】 【分析】根据AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，通过向量运算得到2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r，从而有2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r ，用两点间距离公式得到EF u u u r，再根据AB 不平行于CD ，由||||AB D AB DC C ++>u u u r u u r u u u u u r求解.【详解】因为,EF ED DC CF EF EA AB BF =++=++u u u ru u u ru u u ru u u r u u u ru u u r u u u ru u u r， 所以2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ，又因为2EF ===u u u r ，所以24AB DC EF +==u u u r u u ，因为AB 不平行于CD ，所以||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以||||4AB DC +>u u u r u u u r.故选：A【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u ur u u u r 的最小值为（ ） A ．1- B ．3-C ．12-D ．32-【答案】A 【解析】 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解． 【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当32x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.故选：A ． 【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．如图，向量a b -r r等于A ．1224e e --u r u u rB ．1242e e --u r u u rC ．123e e -r u u rD ．123e e -+r u u r【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r，17．已知向量OA u u u r 与OB uuu r的夹角为θ，2OA =u u u r ，1OB =uu u r ，=u u u r u u u r OP tOA ，()1OQ t OB =-u u u r u u u r ，PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ）A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围.【详解】因为2cos OA OB θ⋅=u u u r u u u r，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ， ∵PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，所以223ππθ<<，故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.18．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r的最大值为（ ） A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【答案】A 【解析】 【分析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，()0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x <AE BE =Q()222001x x +=-解得01x =-(E ∴-(C Q ，()5,0DCD ∴所在直线的方程为y =+因为点M 在边CD 所在直线上，故设(,M x +(,AM x ∴=+u u u u r()1,343E x M x -=--u u u r()()()3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++u u u u r u u u r242660x x =-+- 242660x x =-+-23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max714AM ME⋅=-u u u u r u u u r 故选：A【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.19．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r，则以下说法不正确的是（ ） A ．若//a b r r，则1tan 2α=B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2α=C ．若()f a b α=⋅r r取得最大值，则1tan 2α= D ．||a b -r r 51 【答案】B 【解析】 【分析】A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.C 选项求得()fα的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C 选项的正确性.D 选项利用向量模的运算来判断正确性. 【详解】A 选项，若//a b r r，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确. B 选项，若a b ⊥r r，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.C选项，si (n )2cos in()f a b ααααϕ+==⋅=+r r，其中tan 2ϕ=.取得最大值时，22k παϕπ+=+，22k πϕπα=+-，tan 2tan 2k πϕπα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan 22tan παα⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，则1tan 2α=，则C 正确.D 选项，由向量减法、模的几何意义可知||a b -r r1，此时a =r，,a b r r反向.故选项D 正确.故选：B 【点睛】本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.20．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B．3-C．3-D ．13-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案. 【详解】//a b ∴r r1cos tan sin 3ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.。
高中数学必修二 专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积(重难点突破)(含答案)
专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积一、考情分析二、题型分析(一) 平面向量的基本定理与坐标表示知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（ ）A ．B ．C ．D ．12(1,2),(2,4)e e ==12(3,1),(1,3)e e =-=-12(2,1),(2,1)e e ==--121(,0),(3,0)2e e ==【答案】B【解析】对于，与共线，不能作为基底；对于，与不共线，能作为基底；对于，与共线，不能作为基底；对于，与共线，不能作为基底，故选B. （2）.（2019·江西高一期末）设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ）A ．与B ．与C ．与D ．与 【答案】C【解析】由是平面内的一组基底，所以和不共线，对应选项A ：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项B ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项D ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项C ：与不共线，能作为基底.故选：C ．A 114220,e ⨯-⨯=∴2eB ()()1331180,e ⨯--⨯-=≠∴2eC ()()121120,e ⨯--⨯-=∴2eD 110030,2e ⨯-⨯=∴2e 12,e e 21e e -12e e -1223e e +1246e e --12e e +12e e -121128e e -+1214e e -12,e e 1e 2e 21e e -()12e e =--1223e e +()121462e e =---121128e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12e e +12e e -（3）.（2020·内蒙古高三月考）在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】连并延长到与相交于点，设正方形的边长为1，则，设内切圆的半径为，则，可得. 设内切圆在边上的切点为，则，有，，故. 故选：DABCD O ABC ∆AO xAB yAD =+xy 1434-1412OB AC HABCD 122BH BD ==ABC ∆r)1BH OH OB r r =+=+==r =ABC ∆AB E ()1AO AE EO r AB r AD=+=-+22222112222AB AD AB AD ⎛⎛⎫-=-+=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x =1y =-11222xy ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭【变式训练1】．（2020·北京高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，，，，则 .（用表示） 【答案】 【解析】如图：＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－＋ ＝.故本题答案为. 【变式训练2】．（2020·辽宁高考模拟）在中，，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：，因此1AB e =2AC e =14NC AC =12BM MC =MN =12,e e 1225312e e -+MN CN CM CN BM CN 23BC 14AC 23AC AB 214e 212()3e e -1225312e e -+1225312e e -+ABC ∆2AB AC AD +=0AE DE +=EB xAB y AC =+3y x =3x y =3y x =-3x y =-2AB AC AD +=D BC 0AE DE +=E AD 11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，故本题选D. 31,344x y x y =-=⇒=-(二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )．(4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(5)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.例2．（1）.（2020·福建高三月考）已知，若，则的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】设,因为,所以.所以,所以, 解得: ,.所以.故选D. （2）.（2019·湖南高一期末）已知，，则（ ） A ．2 BC ．4 D．【答案】C 【解析】由题得=（0,4）所以．故选：C(5,2),(4,3)a b =-=--230a b c -+=c 8(1,)3138(,)33-134(,)33134(,)33--(,)c x y =230a b c -+=(5,2)2(4,3)3(,)(0,0)x y ----+=(583,263)(0,0)x y ++-++=1330,430x y +=+=133x 43y =-134(,)33c =--()0,1A -()0,3B ||AB =AB ||04AB =+=【变式训练1】.（2020·湖北高一期中）已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】（1）（2），∵与共线，∴∴【变式训练2】.（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知，为坐标原点.(1) 求向量的坐标及；(2) 若，求与同向的单位向量的坐标． 【答案】(1) ，；（2）.【解析】 （1）,.（2）,, 与同向的单位向量. ()1,2a =()3,2b =-2a b -k ka b +2a b -()7,2-12k =-()()()21,223,27,2a b -=--=-()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+()()()21,223,27,2a b -=--=-ka b +2a b -()()72223k k +=--12k =-(3,4),(5,10)A B ---O AB AB OC OA OB =+OC ()8,6AB =-10AB =21010OC n OC ⎛==- ⎝⎭()8,6AB =-2810AB ∴==()()()3,45,102,14OC OA OB =+=--+-=-22OC ==∴OC 21010OC n OC ⎛==- ⎝⎭(三) 平面向量的数量积知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则(1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|.特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a .(3)cos θ＝a·b |a||b|.(4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则(1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.(3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例3．（1）（2020·浙江高一期末）已知向量，，则__________，与方向相反的单位向量__________.【解析】依题意，故与方向相反的单位向量为. （2）.（2019·全国高考真题）已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则= A ．-3B ．-2C ．2D ．3 【答案】C 【解析】 由，，得，则，．故选C【变式训练1】.（2019·安徽高三月考（理））已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为( ) ()3,4a =()1,2b =-2a b +=a c =34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭()21,8a b +=2218a b +=+=a c ()()()3,43,434,5553,4a a -----⎛⎫===-- ⎪---⎝⎭AB AC ||BC AB BC ⋅(1,3)BC AC AB t =-=-211BC ==3t =(1,0)BC =(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=a b c a b 60()(2)c a c b +⋅-A ．BC ．2D ． 3【答案】B 【解析】设与的夹角为，因为，，所以，所以，所以.故选：B ．【变式训练2】.（2020·四川高一月考）已知，若，则实数=__________；=__________. 【答案】0 0【解析】∵，∴，∵，∴，解得． 故答案为．【变式训练3】.（2019·江苏高考真题）如图，在中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点.若，则的值是_____. 32c 2a b -θ222|2|443a b a a b b -=-⋅+=|2|3a b -=2()(2)(2)21|||2|cos 1c a c b cc a b a b c a b θ+⋅-=+⋅--⋅=+⋅--()(2)3cos c a c b θ+⋅-=max =cos 1θ=()()1,3,1,2a b ==-0a b λμ+=λμ()()1,3,1,2a b ==-()()()1,31,2,32a b λμλμλμλμ+=+-=+-0a b λμ+=0320λμλμ+=⎧⎨-=⎩0λμ=⎧⎨=⎩0,0λμ==ABC O 6AB AC AO EC ⋅=⋅ABAC. 【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .， 得即故. 【变式训练4】.（2020·浙江高一期中）已知为单位向量，. （1）求；（2）求与的夹角的余弦值；()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭2213,22AB AC =3,AB AC =AB AC=,a b 12a b ⋅=2a b +2a b +b θ【答案】（1；（2）.【解析】由题得； 由题得与的夹角的余弦值为故答案为：（1；（2.7222=4++4=5+4a b a b a b +⋅⋅2a b +b θ(2)2cos |2|||7a b b a b a b b θ+⋅⋅====+(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)（2020·江西高一期末）已知向量，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】向量，，且，，解得. 故选：D.(2)．(多选题)已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 的夹角为钝角()1,a m =()2,5b =//a b m =152-25-52()1,a m =()2,5b =//a b 25m ∴=52m =B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为2 【答案】CD对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅=，错误； 对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD.【变式训练1】（2020·浙江高一期中）已知向量满足.若，则 _______； ______.【答案】【解析】因为，所以（1）×m 4=0,所以m= 4.所以故答案为：(1). (2).【变式训练2】．（2020广东高一期末）已知， ;(1) 若，求的值；,a b (1,2),(2,)a b m =-=//a b m =||b =4-//a b ---2||=2+b =（4-)cos ,1(),sin ,1(θθ==b aR ∈θ)0,2(=+b a θθθcos sin 2sin 2+（2）若，，求的值.【答案】（1）（2） 【解析】（1），∴， ……1分∴ ； ……3分∴. ……7分（2）， ……8分∴，两边平方得， ……10分 ，且， ∴∴， ……12分 ∴. ……分)51,0(=-b a(,2)θππ∈θθcos sin +12-75-)cos ,1(),sin ,1(θθ==b a)0,2()cos sin ,2(=+=+θθb asin cos 0,tan 1θθθ+=∴=-1tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 222222++=++=+θθθθθθθθθθθ21-=)51,0()cos sin ,0(=-=-θθb a51cos sin =-θθ2512cos sin =θθ(,2)θππ∈02512cos sin >=θθ⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ23,0cos sin <+θθ57cos sin 21cos sin -=+-=+θθθθ14。
考点32平面向量的数量积(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版)
考点32平面向量的数量积（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题【知识点】1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA → ＝a ，OB →＝b ，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a 与b 的数量积，记作.3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，AB → ＝a ，CD → ＝b ，过AB → 的起点A 和终点B ，分别作CD → 所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→ ，我们称上述变换为向量a 向向量b ，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的．记为.4．向量数量积的运算律(1)a ·b ＝.(2)(λa )·b ＝ ＝．(3)(a ＋b )·c ＝.5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(2)(a±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.2．有关向量夹角的两个结论(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0.(2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π.【核心题型】题型一 平面向量数量积的基本运算计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义【例题1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知平行四边形ABCD 中，4,3,60,(0),9AB AD BAD DP DC AP BP l l ==Ð=°=>×=uuu r uuu r uuu r uuu r，则l 的值为（ ）A ．45B ．34C ．23D ．12【变式1】（2024·浙江金华·三模）已知4a =r ，3b =r ，a b a b +=-r r r r ，则()a ab ×-=rr r （ ）A ．16-B ．16C ．9-D ．9【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量,a b rr 的夹角为60°，若(4)8,||1a b b a -×=-=r r r r ，则||b =r.【变式3】（2024·辽宁丹东·一模）记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V面积为S ，且222a b c +-=．(1)求C ；(2)若a =6BA BC ×=uuu r uuu r，求S ．题型二 平面向量数量积的应用(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2；②几何法：利用向量的几何意义．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a ·b |a ||b |；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |(其中a ≠0，b ≠0)命题点1 向量的模【例题2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知向量a r ，b r 满足1a =ra r 与b r的夹角为5π6，则2a b -=r r （ ）A ．12BC ．1D ．13【变式1】（2024·河北·三模）已知非零向量a r ，b r 的夹角为π3，12a æö=ç÷ç÷èør ，1a b -=r r ，则a b +=r r（ ）A ．1BCD【变式2】（2024·河南·三模）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60C =°，7c =，若3,a b D -=为AB 中点，则CD =．【变式3】（2023·福建福州·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2sin sin ,3a C c B C p==．(1)求B ；(2)若ABC VBC 边上中线的长．命题点2 向量的夹角【例题3】（2024·北京·三模）若||1,||2,()a b a b a ==-^r r r r r，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【变式1】（2024·江苏南通·三模）已知三个单位向量,,a b c r r r 满足=+r r ra b c ，则向量,b c r r 的夹角为（ ）A ．6pB ．3pC ．23pD ．56p 【变式2】（2024·江西·模拟预测）已知平面内非零向量a r在向量b r 上的投影向量为12b -r ，且3a b =r r ，则a r 与b r夹角的余弦值为 ．【变式3】（2024·江西·模拟预测）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱11A B 的中点，Q是棱AC 上一点，且AQ AC =122AB BB ==.(1)求证：1BP B C ^；(2)求平面1PQB 与平面1BPB 的夹角的余弦值.命题点3 向量的垂直【例题4】（2024·江苏连云港·模拟预测）若向量m r，n r 满足1m =r ，2n =r ，且()m n m -^r r r ，则m n -=r r（ ）A ．1BCD ．2【变式1】（2024·重庆·模拟预测）已知||1,||2a b ==r r ，且a r 与b r 不共线，若向量k +r r a b 与-rr a kb 互相垂直，则实数k 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．12±D ．2±【变式2】（2024·宁夏银川·三模）已知a r 是单位向量，且a r 与a b +r r 垂直，a r 与b r的夹角为135°，则a b +rr 在b r 上的投影数量为 .【变式3】（2023高三·全国·专题练习）四面体ABCD 中，2222AB CD AD BC +=+，求证：AC BD ^．题型三 平面向量的实际应用 用向量方法解决实际问题的步骤【例题5】（2024·广东梅州·二模）如图，两根绳子把物体M 吊在水平杆子AB 上.已知物体M 的重力大小为20牛，且150AOM Ð=°，在下列角度中，当角q 取哪个值时，绳OB 承受的拉力最小.（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【变式1】（2020·宁夏中卫·二模）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N ，则该学生的体重（单位：kg ）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为210/ 1.732g m s »＝）A ．63B ．69C ．75D ．81【变式2】（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点O 的三个力123F F F ，，使物体处于平衡状态，已知11N F =，22N F =，1F 与2F 的夹角为120°，则3F 的大小为 ．（牛顿N 是物理的力学单位）【变式3】（2022·内蒙古赤峰·三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30o 的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G u r，垂直斜面向上的弹力1F uu r ，沿着斜面向上的摩擦力2F uu r .已知：13N,160N F G ==u u r u r ，则2F uu r 的大小为.【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·山西太原·模拟预测）已知单位向量a r ，b r 满足()12a b a -×=r r r ，则2a b -r r 与b r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2024·四川眉山·三模）已知向量,,a b c r r r 0a b c ++=r r r ，则cos ,a c b c --=r r r r（ ）A ．1314B C ．D ．1314-3．（2024·安徽合肥·模拟预测）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，cos cos cos B A Cb ac +=+，2AM MC =uuuu r uuu u r ，则BM uuuu r 可能是（ ）A ．12B ．23C ．1D ．24．（2024·重庆·模拟预测）如图，圆O 内接边长为1的正方形,ABCD P 是弧BC （包括端点）上一点，则AP AB ×uuu r uuu r的取值范围是（ ）A ．éêëB ．éêëC ．éêëD ．ùúû二、多选题5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量(1,2)a =-r，(6,2)b =-r ，则（ ）A ．(2)a b a +^r r rB ．||a b -=r rC ．a r 与b r 的夹角为π4D ．a r 在b r 上的投影向量为14b -r6．（2024·浙江温州·模拟预测）已知单位向量,,a b c r rr 共面，则下列说法中正确的是（ ）A ．若a b a b +=-r r r r ，则//a b r rB ．若a b a b +=-r r r r ，则a b ^r rC ．若0a b c ++=r r r r ，则π,3a c =r r D ．若0a b c ++=r r r r ，则π3,2b c =r r 三、填空题7．（2024·辽宁丹东·二模）设向量a r ，b r 的夹角为60o，且1a =r ，2b =r ，则()2a b b +×=r r r．8．（2021·云南昆明·三模）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则1F 与2F 大小之比为．9．（2024·重庆·模拟预测）已知非零向量a r 、b r 满足()2,a b a b b =+^r r r r r ，则向量a r 与b r的夹角为 ．四、解答题10．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(),sin sin b A C m =+r，()sin sin ,v A B a c =+-r 且v m ^r r ．(1)求角C 的大小；(2)若ABC V 3cos cos 4A B =，求c ．11．（2024·江苏南通·模拟预测）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，2c BA BC =×-uuu r uuu r，其中S 为ABC V 的面积.(1)求角A 的大小；(2)设D 是边BC 的中点，若AB AD ^，求AD 的长.【综合提升练】一、单选题1．（2024·宁夏固原·一模）已知向量(1,1),(0,)a b t =-=r r，若()2a a b ^+r r r ，则b =r （ ）A B ．1C D ．22．（2024·福建泉州·模拟预测）已知||2a =r ，b =r ，|2|2a b -=r r，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．（2024·吉林长春·模拟预测）已知两个向量,a b rr 满足1a b b ×==r r r ，a -r ，则a =r （ ）A ．1B C D ．24．（2024·浙江绍兴·二模）已知1e u r ，2e u u r 是单位向量，且它们的夹角是60°，若122a e e =+r u r u u r，12b e e l =-r u r u u r ，且a b ^r r，则l =（ ）A ．25B ．45C ．1D ．25．（2024·河北衡水·模拟预测）在ABC V 中，60,6,3,2,BAC AB AC AM MB CN NM Ð=====o uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r ，则AN CB ×=uuu r uuu r（ ）A ．9-B ．172C ．9D ．186．（2024·河南·模拟预测）已知向量,a b 满足2a b a b ==×=r rr r ，又非零向量c 满足c a c b×=×rr r r ，则b r 与c r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．π3或2π3D ．π6或5π67．（2024·湖北黄冈·二模）已知e r为单位向量，向量a r 满足3,1a e e a l ×=-=r r r r ，则a r 的最大值为（ ）A ．9B ．3C D ．108．（2024·云南曲靖·二模）已知O 是ABC V 的外心，2AB AC AO +=uuu r uuu r uuu r ，OA AB =uuu r uuu r ，则向量AC uuu r在向量BC uuu r上的投影向量为（）A ．14BC-uuur B ．r C ．34BCuuur D BC r 二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）已知向量()()1,1,2,,,a b k a b c a tb =-=^=-r r r r r r r．若,,a c b c =r r r r ，则（ ）A ．12a b=r r B ．4b c ×=r rC ．b r 在c r 方向上的投影向量为cr D ．与b r反向的单位向量是10．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知单位向量a r ，b r的夹角为q ，则下列结论正确的有（ ）A ．()()a b a b +^-r rr r B ．a r 在b r 方向上的投影向量为()a b b×r r r C ．若||1a b +=rr ，则60q =oD ．若()()a b a a b a +×=-×r r r r r r，则//a br r 11．（2024·贵州黔东南·二模）拋物线2:2(0)C y px p =->的焦点F 到准线的距离为1，经过点(),0P m 的直线l 与C 交于,A B 两点，则（ ）A ．当1m =时，直线l 斜率的取值范围是æççèB ．当点P 与点F 重合时，112FA FB+=C ．当2m =-时，FA uuu r 与FB uuu r的夹角必为钝角D ．当2m =-时，AOB Ð为定值（O 为坐标原点）三、填空题12．（2024·辽宁沈阳·三模）已知向量,a b rr 满足2=r a ，()44a b b +×=r r r ，则2a b +=r r.13．（2020·河北张家口·二模）如图，某班体重为70kg 的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为60°，拉力大小均为F ，若使身体能向上移动，则拉力F 的最小整数值为 N ．（取重力加速度大小为2g 10m /s =1.732»）14．（2024·吉林长春·模拟预测）在ABC V 中，已知π,3A BC ==当边BC的中线AD =时，ABC V 的面积为 ．四、解答题15．（2024·贵州·模拟预测）在ABC V中，AB =2AC =，π6C Ð=，N 为AB 的中点，A Ð的角平分线AM 交CN 于点O .(1)求CN 的长；(2)求AOC V 的面积.16．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知()1sin cos ,2cos ,2sin ,sin 2.2a x x b x q q æö=+=ç÷èør r (1)若),4(3c =-r 且 ()π,0,π4x q =Î时，a r 与c r 的夹角为钝角，求cos q 的取值范围；(2)若π3q =函数()f x a b =×r r ，求()f x 的最小值.17．（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,cos cos a b a b c c B A-=-．(1)试判断ABC V 的形状，并说明理由；(2)若a ，点P 在ABC V 内，0PA PC ×=uuu r uuu r ，3tan 4PCB Ð=，求tan APB Ð．18．（2024·福建宁德·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2292cos a c ac B +=+，且sin sin B A C =.(1)若BD AC ^，垂足为D ，求BD 的长;(2)若3BA BC ×=u uuu r uu r ，求a c +的长.19．（2024·湖北·二模）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，()c a b <，2cos cos cos 2c a A B b A =-．(1)求A ；(2)者13BD BC =uuu r uuu r ，2AD =uuu r ，求b c +的取值范围．【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·江苏·模拟预测）已知向量a r ，b r 满足1a =r ，b =r ()218b a b ×-=-r r r ，则a r 与b r 的夹角等于（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．（2024·浙江·三模）已知单位向量,a b r r 满足0a b ×=r r ，则cos 34,a b a b ++=r r r r （ ）A ．0BCD ．13．（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量(2,1),)a b m =-=r r ，且()()a b a b +^-r r r r ，则m 的值为（ ）A ．1±B ．C ．2±D ．±4．（2023高三·全国·专题练习）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF Ð=，则||PO =（ ）A ．25B C ．35D 二、多选题5．（2024·贵州·模拟预测）已知(3,1)a =-r ，(2,1)b =r ，则下列结论正确的是（ ）A ．()a b b -^r r rB ．2a b +=r rC ．a r 与b r 的夹角为4pD ．a r 在b r 6．（2022·湖北·模拟预测）已知向量()21a =-r ，，()1,b t =-r ，则下列说法正确的是（ ）A ．若a b ^r r ，则t 的值为2-B ．若//a b r r ，则t 的值为12C ．若02t <<，则a r 与b r 的夹角为锐角D ．若()()a b a b +^-r r r r ，则a b a b +=-r r r r 三、填空题7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知非零向量,a b r r 满足2a b =r r ，且()a ab ^-r r r ，则a b r r ，的夹角大小为 ．8．（2024·安徽合肥·三模）在ABC V 中，若3BA BC CA CB AC AB ×=×=×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，则||||AB BC =uuu r uuu r .9．（2023·上海闵行·二模）平面上有一组互不相等的单位向量1OA ，2OA ，…，n OA ，若存在单位向量OP uuu r 满足12OP OA OP OA ×+×uuu r uuur uuu r uuuu r 0n OP OA ++×=L uuu r uuuu r ，则称OP uuu r 是向量组1OA ，2OA ，…，n OA 的平衡向量．已知12π,3OA OA =uuur uuuu r ，向量OP uuu r 是向量组1OA uuur ，2OA uuuu r ，3OA uuu u r 的平衡向量，当3OP OA ×uuu r uuu u r 取得最大值时，13OA OA ×uuur uuu u r 值为 ．四、解答题10．（2024·山东枣庄·一模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin tan 22a C A c =．(1)求C ；(2)若8,5,a b CH ==是边AB 上的高，且CH mCA nCB =+uuu r uur uuu r ，求m n．11．（2023·河北衡水·模拟预测）已知ABC V ，D 为边AC 上一点，1AD =，2CD =.(1)若34BA BD ×=uuu r uuu r ，0BC BD ×=uuu r uuu r ，求ABC S V ；(2)若直线BD 平分ABC Ð，求ABD △与CBD △内切圆半径之比的取值范围.。
高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》知识点训练附答案
新高考数学《平面向量》练习题一、选择题1．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.2．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ．83- B ．1- C ．1 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】由已知可得：7 ， 又23tan BED 3BD ED ∠===所以221tan 1cos 1tan 7BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ⎛⎫⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．3．若向量a b r r ，的夹角为3π，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ）A ．12-B ．12C ．32D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ⋅+⋅=r r r，即可得出答案.【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r .即22b a b=⋅r r r，也即22cos3b a bπ=r r r，所以b a=r r.又由()a ta b⊥+r r r，得()0a ta b⋅+=r r r，即2t a a b⋅+⋅=r r r.所以2221122ba bta b⋅=-=-=-rr rr r故选：A【点睛】本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.4．已知向量ar与向量br满足||2a=r，||22b=r，||||45a b a b+⋅-=r r r r，则向量ar与向量br的夹角为( )A．4π或34πB．6π或56πC．3π或23πD．2π【答案】A【解析】【分析】设向量ar，br的夹角为θ，则2||1282cosa bθ+=+r r，2||1282cosa bθ-=-r r，即可求出2cosθ，从而得到向量的夹角；【详解】解：设向量ar，br的夹角为θ，222||||||2||||cos4882cosa b a b a bθθ+=++=++r r r r r r1282cosθ=+，222||||||2||||cos4882cos1282cosa b a b a bθθθ-=+-=+-=-r r r r r r，所以2222||||144128cos(45)80a b a bθ+⋅-=-==r r r r，21cos2θ∴=，因为[0,)θπ∈，故4πθ=或34π，故选：A.【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.5．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若(,)CA CE DB Rλμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λ＋μ的值为（）A．6 5B．85C．2D．83【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DBu u u r u u u r u u u r，利用(,)CA CE DB Rλμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，列出方程组求解即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB∴=-=-=u u u r u u u r u u u rCA CE DBλμ=+u u u r u u u r u u u rQ∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则85λμ+=.故选：B【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.6．在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，CE的延长线交AB于点,F则（）A．1162DF AB AC=--u u u r u u u r u u u rB．1134DF AB AC=--u u u r u u u r u u u rC．3142DF AB AC=-+u u u r u u u r u u u rD．1126DF AB AC=--u u u r u u u r u u u r【答案】A【解析】【分析】设AB AFλ=u u u r u u u r，由平行四边形法则得出144AE AF ACλ=+u u u ru u u r u u u r，再根据平面向量共线定理得出得出=3λ，由DF AF AD=-u u u r u u u r u u u r，即可得出答案.【详解】设AB AF λ=u u u r u u u r ，111124444AE AB A A C A AC D F λ==+=+u u u r u u u u u ur u u u r r u u u r u u u r因为C E F 、、三点共线，则1=144λ+，=3λ 所以1111132262DF AF AD AB AB AC AB AC =-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r故选：A【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.7．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.A ．33,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．2323,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．233⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭ D ．3,3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-， 由题意，()22410t t ∆--<=， 解得23t <或23t >.故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.8．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r，则x =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=rr ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，向量(1,1)a =r，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=rr ，所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（ ） A ．125B ．125-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．10．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u ur u u u r 的最小值为（ ） A ．1- B ．3-C ．12-D ．32-【答案】A 【解析】 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解． 【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当32x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.故选：A ． 【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11．在边长为1的等边三角形ABC 中，点P 是边AB 上一点，且．2BP PA =，则CP CB ⋅=u u u v u u u v（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减法及数乘运算用,CA CB u u u r u u u r 表示CP u u u v，再利用数量积的定义得解．【详解】依据已知作出图形如下：()11213333CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v .所以221213333CP CB CA CB CB CA CB CB ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v 221211cos 13333π=⨯⨯⨯+⨯= 故选C 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于中档题．12．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．23-B ．43-C ．83-D ．2-【答案】D 【解析】 【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值． 【详解】在边长为2的等边三角形ABC 中，若13AE AC =u u u r u u u r，则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12（AC AB +u u ur u u u r ）＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12（AC AB +u u ur u u u r ）1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．13．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r，则 22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r，因为点P 为椭圆上，所以有：22143x y +=即22334y x =-， 所以()222223132244x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r又因为22x -≤≤，所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为6 故选：C 【点睛】本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.14．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v（ ）A ．3155AB AC +u u uv u u u v B ．2155AB AC +u u uv u u u vC ．481515AB AC +u u uv u u u v D ．841515AB AC +u u uv u u u v 【答案】D 【解析】 【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r为基底来表示的形式.【详解】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u ur u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.15．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，3CD a mb =+u u u r r r，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．23B ．15C ．72D ．152【答案】D 【解析】 【分析】计算25AC a b =+u u u r r r，得到()253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案.【详解】∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r，∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r，即()253a b a mb λ+=+r r r r ，∴235m λλ=⎧⎨=⎩，解得23152m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故选：D . 【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.16．已知平面直角坐标系xOy 中有一凸四边形ABCD ，且AB 不平行于,CD AD 不平行于BC ．设AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，且222a b +=，求||||AB DC +u u u r u u u r的取值范围（ ） A ．(4,)+∞ B ．[4,)+∞C ．(0,4)D ．(2,4)【答案】A 【解析】 【分析】根据AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，通过向量运算得到2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r，从而有2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r ，用两点间距离公式得到EF u u u r，再根据AB 不平行于CD ，由||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r求解.【详解】因为,EF ED DC CF EF EA AB BF =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ，又因为2EF ===u u u r ，所以24AB DC EF +==u u u r u u ， 因为AB 不平行于CD ，所以||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以||||4AB DC +>u u u r u u u r.故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．已知向量OA u u u r 与OB uuu r的夹角为θ，2OA =u u u r ，1OB =uu u r ，=u u u r u u u r OP tOA ，()1OQ t OB =-u u u r u u u r ，PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围.【详解】因为2cos OA OB θ⋅=u u u r u u u r，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ， ∵PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，所以223ππθ<<，故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.18．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u ur r r ，则x ，y 的值分别为（ ）A ．15，45B ．43，13-C ．45，15D ．13-，43 【答案】C 【解析】 【分析】求得向量5(,5)2OP x y =u u u r ，5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r ，根据OP AB ⊥u u u r u u u r 和,,A B P 三点共线，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r ，所以5(,5)2OP xa yb x y =+=u u u r r r ，又由5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r ，因为OP AB ⊥u u u r u u u r ，所以252504OP AB x y ⋅=-+=u u u r u u u r ，可得4x y =， 又由,,A B P 三点共线，所以1x y +=，联立方程组41x y x y =⎧⎨+=⎩，解得41,55x y ==.故选：C . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.19．已知单位向量,a b r r满足3a b +=r r，则a r 与b r 的夹角为A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】由3a b +=r r 22236913a b a a b b +=+⋅+=r rr r r r ，又因为单位向量,a b r r ，所以1632a ba b ⋅=⇒⋅=rr r r ，所以向量,a b r r 的夹角为1cos ,2a b a b a b ⋅〈〉==⋅r r r r r r ，且,[0,]a b π〈〉∈r r ，所以,3a b π〈〉∈r r ，故选C.20．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（ ）ABC．3D．2【答案】A 【解析】 【分析】根据OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP uu u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知2OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u r 代入2sin 2OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22,22⎛ ⎝⎭所以2222OA ⎛= ⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u ur因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r 2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+=所以当95λ=时, min OP ==u u u r 故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.。
平面向量知识点归纳高考
平面向量知识点归纳高考一、向量的定义和性质在数学中，向量是由大小和方向组成的量。
平面向量可以表示为有序的数对，其中第一个数表示向量在水平方向上的分量，第二个数表示向量在垂直方向上的分量。
即向量a可以表示为a=(a₁, a₂)。
向量的性质有：1. 向量相等：如果两个向量的对应分量相等，那么这两个向量是相等的。
2. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
即a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂)。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量都乘以一个常数得到一个新的向量。
即k×a=(k×a₁, k×a₂)。
4. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
即a-b=(a₁-b₁, a₂-b₂)。
5. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0表示。
二、向量的模和方向角1. 向量的模：向量的模是指向量的长度，也就是向量的大小。
向量a的模可以表示为|a|=√(a₁²+a₂²)。
2. 向量的方向角：向量的方向角是指向量与某个固定直线之间的夹角。
一般将向量与x轴正方向之间的夹角称为向量的方向角。
三、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积：向量的数量积又称为点积或内积。
数量积的结果是一个标量，表示两个向量的相似程度。
向量a和向量b的数量积可以表示为a·b=a₁b₁+a₂b₂。
2. 向量的向量积：向量的向量积又称为叉积或外积。
向量积的结果是一个向量，垂直于这两个向量所在的平面。
向量a和向量b的向量积可以表示为a×b=(a₁b₂-a₂b₁)。
四、平面向量的运算定律1. 交换律：向量的加法满足交换律，即a+b=b+a；向量的数量积满足交换律，即a·b=b·a。
2. 结合律：向量的加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)；向量的数量积满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)。
高考数学考点与题型知识点5平面向量
平面向量平面向量 (2)第一节平面向量的概念及线性运算 (2)考点一平面向量的有关概念 (3)考点二平面向量的线性运算 (5)考点三共线向量定理的应用 (7)第二节平面向量基本定理及坐标表示 (13)考点一平面向量基本定理及其应用 (14)考点二平面向量的坐标运算 (15)考点三平面向量共线的坐标表示 (16)第三节平面向量的数量积 (22)考点一平面向量的数量积的运算 (23)考点二平面向量数量积的性质 (26)第四节平面向量的综合应用 (33)考点一平面向量与平面几何 (33)考点二平面向量与解析几何 (34)考点三平面向量与三角函数 (35)第五章 平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算一、基础知识1．向量的有关概念(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB ―→，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．(2)向量的长度(模)：向量AB ―→的大小即向量AB ―→的长度(模)，记为|AB ―→|. 2．几种特殊向量单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a 平行的单位向量有两个，即向量a|a |和－a|a |.3．向量的线性运算三角形法则 平行四边形法则三角形法则多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.二、常用结论(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP―→＝12(OA―→＋OB―→)．(2)OA―→＝λOB―→＋μOC―→(λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.考点一平面向量的有关概念[典例]给出下列命题：①若a＝b，b＝c，则a＝c；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB―→＝DC―→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．[解析] ①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. [答案] ①②[解题技法] 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线． [题组训练] 1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.考点二 平面向量的线性运算[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( )A.34AB ―→－14AC ―→B.14AB ―→－34AC ―→C.34AB ―→＋14AC ―→ D.14AB ―→＋34AC ―→(2)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14AB ―→，BE ―→＝2EC ―→， 且AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD ―→＋12CB ―→＝12×12(AB ―→＋AC ―→)＋12(AB ―→－AC ―→)＝34AB ―→－14AC ―→.故选A. (2)根据图形，由题意可得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(BA ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→＋14AB ―→＝12AB ―→＋23AD ―→. 因为AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.[答案] (1)A (2)C[解题技法] 向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果． (4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．[题组训练]1．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：选A 由题意得AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→. 2．(2019·太原模拟)在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则实数λ＋μ＝________.解析：如图，∵AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋12BC ―→＝DC ―→＋12BC ―→，①AN ―→＝AD ―→＋DN ―→＝BC ―→＋12DC ―→，②由①②得BC ―→＝43AN ―→－23AM ―→，DC ―→＝43AM ―→－23AN ―→，∴AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝DC ―→＋BC ―→＝43AM ―→－23AN ―→＋43AN ―→－23AM ―→＝23AM ―→＋23AN ―→，∵AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，∴λ＝23，μ＝23，λ＋μ＝43.答案：43考点三 共线向量定理的应用[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．[解] (1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→， ∴AB ―→，BD ―→共线． 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1， 又∵λ>0，∴k ＝1.1.向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．[题组训练]1．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→.又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．2．已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若向量a 与向量b 共线，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0解析：选D 因为向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，又因为向量a 和b 共线，存在实数k ，使得a ＝k b ，所以e 1＋λe 2＝2k e 1，所以λe 2＝(2k －1)e 1，所以e 1∥e 2或λ＝0.3．已知O 为△ABC 内一点，且AO ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)，AD ―→＝t AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则t ＝( )A.14B.13C.12D.23解析：选B 设E 是BC 边的中点，则12(OB ―→＋OC ―→)＝OE ―→，由题意得AO ―→＝OE ―→，所以AO ―→＝12AE ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋14t AD ―→，又因为B ，O ，D 三点共线，所以14＋14t ＝1，解得t ＝13，故选B.4．已知O ，A ，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且OP ―→＝OA ―→＋AB―→|AB ―→|，则( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上解析：选D 由OP ―→＝OA ―→＋AB ―→|AB ―→|，得OP ―→－OA ―→＝AB ―→|AB ―→|，∴AP ―→＝1|AB ―→|·AB ―→，∴点P在射线AB 上，故选D.[课时跟踪检测]1．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ―→＋FC ―→＝( ) A ．AD ―→B.12AD ―→C.12BC ―→ D ．BC ―→解析：选A 由题意得EB ―→＋FC ―→＝12(AB ―→＋CB ―→)＋12(AC ―→＋BC ―→)＝12(AB ―→＋AC ―→)＝AD ―→.2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)， 于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b . 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．设向量a ，b 不共线，AB ―→＝2a ＋p b ，BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B 因为BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a －b .又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ―→，BD ―→共线．设AB ―→＝λBD ―→，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b )，所以2＝2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1.4．(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝－4CD ―→，则AD ―→＝( ) A.14AB ―→－34AC ―→ B.14AB ―→＋34AC ―→C.34AB ―→－14AC ―→ D.34AB ―→＋14AC ―→解析：选B 法一：设AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，由BC ―→＝－4CD ―→可得，BA ―→＋AC ―→＝－4CA―→－4AD ―→，即－AB ―→－3AC ―→＝－4x AB ―→－4y AC ―→，则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝34，即AD ―→＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.法二：在△ABC 中，BC ―→＝－4CD ―→，即－14BC ―→＝CD ―→，则AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→－14BC―→＝AC ―→－14(BA ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ―→＝34OA ―→＋14OB ―→，则|BC ―→||AC ―→|等于( )A ．1B ．2C ．3D.32解析：选C 因为BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝34OA ―→＋14OB ―→－OB ―→＝34BA ―→，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝34OA ―→＋14OB ―→－OA ―→＝14AB ―→，所以|BC ―→||AC ―→|＝3.故选C.6．已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点G 满足GA ―→＋BG ―→＋CG ―→＝0，且AG ―→＝λGD ―→，则λ的值是( )A.12 B ．2 C ．－2D ．－12解析：选C 由GA ―→＋BG ―→＋CG ―→＝0，得G 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AG ―→＝－2GD ―→，则λ＝－2.故选C.7．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0； ③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④N Q ―→＋Q P ―→＋MN ―→－MP ―→＝0， 其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错误；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CD ―→＋DC ―→＝0，③正确；④N Q ―→＋Q P ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确．故①③④正确．8.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM ―→＝34AB ―→，AN ―→＝23AD ―→，AC ，MN 交于点P .若AP ―→＝λAC ―→，则λ的值为( ) A.35 B.37C.316D.617解析：选D ∵AM ―→＝34AB ―→，AN ―→＝23AD ―→，∴AP ―→＝λAC ―→＝λ(AB ―→＋AD ―→)＝λ⎝⎛⎭⎫43AM ―→＋32AN ―→＝43λAM ―→＋32λAN ―→.∵点M ，N ，P 三点共线，∴43λ＋32λ＝1，则λ＝617.故选D. 9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以可设λa ＋b ＝k (a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.答案：1210．若AP ―→＝12PB ―→，AB ―→＝(λ＋1)BP ―→，则λ＝________.解析：如图，由AP ―→＝12PB ―→，可知点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，则AB ―→＝－32BP ―→，结合题意可得λ＋1＝－32，所以λ＝－52.答案：－5211．已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b .答案：b －a －a －b12．(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→，则λ－μ＝________.解析：如图，在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→，所以AB ―→＝AM ―→＋MB ―→＝AM ―→＋12CB ―→＝AM ―→＋12(DB ―→－DC ―→)＝AM ―→＋12(DB ―→－AB ―→)＝AM ―→＋12DB ―→－12AB ―→，所以32AB ―→＝AM ―→＋12DB ―→，所以AB ―→＝23AM ―→＋13DB ―→，所以λ＝23，μ＝13，所以λ－μ＝13.答案：1313．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴存在实数λ，使BF ―→＝λBD ―→， 即3e 1－ke 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.第二节 平面向量基本定理及坐标表示一、基础知识1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.若a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．考点一 平面向量基本定理及其应用[典例] 如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.[解] ∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b .∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b .[解题技法]1．平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组． (2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．[题组训练]1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则P Q ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A 由题意知P Q ―→＝PB ―→＋B Q ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 2．已知在△ABC 中，点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是________．解析：依题意，设OP ―→＝λOC ―→(0<λ<1)， 由OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，知OC ―→＝－(OA ―→＋OB ―→)， 所以OP ―→＝－λOA ―→－λOB ―→，由平面向量基本定理可知， m ＋n ＝－2λ，所以m ＋n ∈(－2,0)． 答案：(－2,0)考点二 平面向量的坐标运算[典例] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ， ∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．[变透练清]1.(变结论)本例条件不变，若a ＝m b ＋n c ，则m ＝________，n ＝________. 解析：∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，a ＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.答案：－1 －12．已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝72.答案：72[解题技法]1．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．2．向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同． (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分． 考点三 平面向量共线的坐标表示[典例] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[解题技法]1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb . 2．两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．[题组训练]1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的取值为( ) A ．－13B.13C ．－3D ．3解析：选A k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)． a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 则由(k a ＋b )∥(a －3b )得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.2．(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3―→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D 设OP 3―→＝(x ，y )，则由OP 3―→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3―→＝(x ，－x )．若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.3．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ， ∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x,2－y )，AB ―→＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 答案：(2,4)[课时跟踪检测]1．(2019·昆明调研)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,3)，则|2a －b |＝( ) A.2 B ．2 C.10D ．10解析：选C 由已知，易得2a －b ＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a －b |＝(－3)2＋12＝10.故选C.2．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3．(2018·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.4．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→＝( ) A.12AC ―→＋13AB ―→ B.12AC ―→＋16AB ―→C.16AC ―→＋12AB ―→ D.16AC ―→＋32AB ―→解析：选C 如图，因为EC ―→＝2AE ―→，所以EC ―→＝23AC ―→，所以EM ―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC ―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝12AB ―→＋16AC ―→.5．已知点A (8，－1)，B (1，－3)，若点C (2m －1，m ＋2)在直线AB 上，则实数m ＝( ) A ．－12 B ．13 C ．－13D ．12解析：选C 因为点C 在直线AB 上，所以AC ―→与AB ―→同向．又AB ―→＝(－7，－2)，AC ―→＝(2m －9，m ＋3)，故2m －9－7＝m ＋3－2，所以m ＝－13.故选C.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．22 B.2 C ．2 D ．42解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.7．已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→， 点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°.设OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R )，则m n等于( )A.13 B ．3 C.33D.3 解析：选B 如图，由已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→，可得AB ＝2，∠A ＝60°，因为点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°，所以OC ⊥AB ，过点C 作CD ⊥OA ，垂足为点D ，则OD ＝34，CD ＝34，所以OD ―→＝34OA ―→，DC ―→＝ 14OB ―→，即OC ―→＝34OA ―→＋14OB ―→，所以mn＝3.8.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2解析：选B 以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→的方向为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以AC ―→＝(2,2)，AM ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC―→＝λAM ―→＋μBD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.9．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5， ∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－310．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(4，m )，若有(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0，则实数m ＝________. 解析：因为a ＋b ＝(5,2m )≠0，所以由(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0得2|a |－|b |＝0， 所以|b |＝2|a |，所以42＋m 2＝212＋m 2，解得m ＝±2. 答案：±211．(2019·南昌模拟)已知向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－2)，若|a |＝25，a ＝λb (λ<0)，则m －n ＝________.解析：∵a ＝(m ，n )，b ＝(1，－2)， ∴由|a |＝25，得m 2＋n 2＝20， ① 由a ＝λb (λ<0)，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，－2m －n ＝0， ②由①②，解得m ＝－2，n ＝4. ∴m －n ＝－6. 答案：－612．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.答案：1213．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，求|OP ―→|；(2)设OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n .解：(1)∵P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得x ＝2，y ＝2， 即OP ―→＝(2,2)，故|OP ―→|＝2 2.(2)∵OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，AB ―→＝(1,2)，AC ―→＝(2,1)． ∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .第三节 平面向量的数量积一、基础知识1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]． 当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向；当θ＝π2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ；当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b | cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影．(2)a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量. 4．向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a .(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．5．平面向量数量积的性质设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4)cos θ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.6．平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则(1)|a|＝x21＋y21；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(2)a·b＝x1x2＋y1y2;_ (4)cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.二、常用结论汇总1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．考点一平面向量的数量积的运算[典例](1)(2018·新乡二模)若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4,1)共线，则m·n＝()A ．0B ．4C ．－92D ．－172(2)(2018·天津高考)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→，则BC ―→·OM ―→的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0[解析] (1)∵向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，∴2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，∴m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12， ∴m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172. (2)法一：如图，连接MN . ∵BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→， ∴AM AB ＝AN AC ＝13. ∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13.∴BC ―→＝3MN ―→＝3(ON ―→－OM ―→)． ∴BC ―→·OM ―→＝3(ON ―→·OM ―→－OM ―→2) ＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.法二：在△ABC 中，不妨设∠A ＝90°，取特殊情况ON ⊥AC ，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON ＝120°，ON ＝2，OM ＝1，所以O ⎝⎛⎭⎫2，32，C ⎝⎛⎭⎫0，332，M ⎝⎛⎭⎫52，0，B ⎝⎛⎭⎫152，0. 故BC ―→·OM ―→＝⎝⎛⎭⎫－152，332·⎝⎛⎭⎫12，－32＝－154－94＝－6.[答案] (1)D (2)C[解题技法] 求非零向量a ，b 的数量积的策略(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算求解．[题组训练]1．(2019·济南模拟)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC ―→·CB ―→＝( ) A ．1 B ．－1 C.6D ．22解析：选B 设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则a ·b ＝0， ∵|a |＝2，|b |＝1，∴AC ―→·CB ―→＝(a ＋b )·(－b )＝－a ·b －b 2＝－1.2．(2019·南昌调研)已知向量a ，b 满足a ·(b ＋a )＝2，且a ＝(1,2)，则向量b 在a 方向上的投影为( )A.55B ．－55C ．－255D ．－355解析：选D 由a ＝(1,2)，可得|a |＝5， 由a ·(b ＋a )＝2，可得a ·b ＋a 2＝2， ∴a ·b ＝－3，∴向量b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝－355.3．(2018·石家庄质检)在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则 λμ的值为________．解析：法一：∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→·BC ―→＝0， ∴(λAB ―→＋μAC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，∵AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1， ∴－λ|AB ―→|2＋μ|AC ―→|2＝0，即－4λ＋μ＝0，∴λμ＝14.法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y 2y ＝14.答案：14考点二 平面向量数量积的性质考法(一) 平面向量的模[典例] (1)(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b |＝( )A ．6B ．32C ．22D ．3(2)(2019·福州四校联考)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1 B.12C.34D.32[解析] (1)∵a ·b ＝0，|a |＝3，∴a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a ||a ＋b |cos π4，∴|a ＋b |＝32，将|a ＋b |＝32两边平方可得，a 2＋2a ·b ＋b 2＝18，解得|b |＝3，故选D.(2)∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R)，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)·a ·b ＋t 2b 2， ∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32，故选D. [答案] (1)D (2)D考法(二) 平面向量的夹角[典例] (1)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6 B.5π6C.π4D.3π4(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )且b 在a 方向上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________．[解析] (1)因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b |＝ 3.又(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b |a ＋2b ||b |＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.(2)因为b 在a 方向上的投影为－3，所以|b |cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a |＝12＋(3)2＝2，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－6，又a ·b ＝3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，所以|b |＝32＋(－33)2＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－62×6＝－12，因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为2π3. [答案] (1)A (2)2π3考法(三) 平面向量的垂直[典例] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π(2)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，因为|a |＝223|b |，(a －b )⊥(3a ＋2b )， 所以(a －b )·(3a ＋2b )＝3|a |2－2|b |2－a ·b ＝83|b |2－2|b |2－223|b |2cos θ＝0，解得cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. (2)由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→·BC ―→＝0，即AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. [答案] (1)A (2)712[解题技法]1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[题组训练]1．(2018·深圳高级中学期中)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析：选B ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝m 2－n 2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.2．(2018·永州二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( ) A.12 B ．1 C.2D ．2解析：选A ∵非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，∴a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2，∵|2a－b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1，∴4|a |2－2|a |＝0，∴|a |＝12，故选A.3．(2019·益阳、湘潭调研)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，则t a n θ＝________.解析：∵|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5＋2a ·b ＝1＋3，∴a ·b ＝－12，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－14，∴sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154，∴t a n θ＝sin θc os θ＝－15. 答案：－15[课时跟踪检测]1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a－b )等于( )A ．2B ．－1C ．－6D ．－18解析：选D ∵a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32， ∴a ·b ＝－3，b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝－18.2．已知平面向量a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，向量λa ＋b 与b 垂直，则实数λ的值为( ) A.413 B ．－413C.54D ．－54解析：选D ∵a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，∴λa ＋b ＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λa ＋b )·b ＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－54.3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且a ·b ＝0，则|a －b |＝( ) A.6 B.5 C ．2D.3解析：选A 因为|a |＝1，b ＝(2,1)，且a ·b ＝0，所以|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1＋5－0＝6，所以|a －b |＝ 6.故选A.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(a ＋c )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析：选D 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)， 因为(a ＋c )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )， 即3m ＋2n ＝－7，又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋2n ＝－7，3m －n ＝0.解得⎩⎨⎧m ＝－79，n ＝－73.所以c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73. 5．(2018·襄阳调研)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，12解析：选C 不妨令i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，因为它们的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0且a ，b 不共线，所以λ<12且λ≠－2，故选C.6．(2019·石家庄质检)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a ·b ＝0.又|a ＋b |＝2|b |，∴|a ＋b |2＝4|b |2，|a |2＝3|b |2，∴|a |＝3|b |，cos 〈a ＋b ，a 〉＝(a ＋b )·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b |a ＋b ||a |＝|a |22|b ||a |＝|a |2|b |＝32，故a ＋b 与a 的夹角为π6. 7．(2018·宝鸡质检)在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝1，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝( )A ．0B ．1 C.94D ．－94解析：选B 以点C 为坐标原点，分别以CA ―→，CB ―→的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C (0,0)，A (1，0)，B (0,1)，不妨设P ⎝⎛⎭⎫13，23，所以CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝CP ―→·(CB ―→＋CA ―→)＝13＋23＝1.故选B.8．(2019·武汉调研)已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，则a ·b 的最大值为( )A ．－1B ．－2C ．－52D ．－54解析：选D 不妨设e ＝(1,0)，则a ＝(1，m )，b ＝(－2，n )(m ，n ∈R)，则a ＋b ＝(－1，m ＋n )，所以|a ＋b |＝1＋(m ＋n )2＝2，所以(m ＋n )2＝3，即3＝m 2＋n 2＋2mn ≥2mn ＋2mn ＝4mn ，当且仅当m ＝n 时等号成立，所以mn ≤34，所以a ·b ＝－2＋mn ≤－54，综上可得a ·b的最大值为－54.9．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角的正弦值为________．解析：∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－c os 2〈a ，b 〉＝32. 答案：3210．(2018·湖北八校联考)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝2，若(λa ＋b )⊥(a －2b )，则λ＝________.解析：∵|a |＝1，|b |＝2，且a ，b 的夹角为2π3，∴a ·b ＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，又∵(λa ＋b )⊥(a －2b )，∴(λa ＋b )·(a －2b )＝0，即(λa ＋b )·(a －2b )＝λa 2－2b 2＋(1－2λ)a ·b ＝λ－8－(1－2λ)＝0，解得λ＝3.答案：311．(2018·合肥一检)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．解析：∵|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3， ∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5＋2a ·b ＝3， ∴a ·b ＝－1，∴a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－12.答案：－1212.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.解析：由已知得|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝24，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝(OA ―→＋AC ―→)·AB ―→＝OA ―→·AB ―→＋AC ―→·AB ―→＝2cos 3π4＋24×2＝－12. 答案：－1213．(2019·南昌质检)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|2a －b |＝ 5. (1)求|2a －3b |的值；(2)求向量3a －b 与a －2b 的夹角θ.解：(1)∵|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4a ·b ＋1＝5，∴a ·b ＝0， ∴|2a －3b |＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4＋9＝13.(2)cos θ＝(3a －b )·(a －2b )|3a －b ||a －2b |＝3a 2＋2b 29a 2＋b 2×a 2＋4b 2＝510×5＝22，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.。
2020高考数学专题复习《平面向量》(讲义和练习)
一、知识纲要1、向量的相关概念：《必修 4》 第二章平面向量（1） 向量： 既有大小又有方向的量叫做向量，记为 AB 或a 。
向量又称矢量。
①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。
普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。
②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。
（2） 向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。
记作：| AB |或｜ a ｜。
向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
（3） 零 向 量： 长度为 0 的向量叫零向量，记为0 ，零向量的方向是任意的。
①｜ a ｜＝0； ② 0 与 0 的区别：写法的区别，意义的区别。
（4） 单位向量：模长为 1 个单位长度的非零向量叫单位向量。
若向量a 是单位向量，则｜ a ｜= 1 。
2、 向量的表示：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意：方向是“起点指向终点”。
→（2） 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴正方向相同的两个单位向量i 、 j 为基底向量，则平面内的任一向量 a 可表示为 a = xi + y j = ( x , y ) ，称( x , y ) 为向量 a 的坐标， a ＝( x , y ) 叫做向量 a 的坐标表示。
此时｜ a ｜。
若已知 A ( x 1 , y 1 )和B ( x 2 , y 2 ) ，则 AB = ( x 2 -x 1，y 2 -y 1 ) ， 即终点坐标减去起点坐标。
特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。
注意 注意 注意 注意a 3、 向量之间的关系：（1）平行（共线）：对于两个非零向量，若它们的方向相同或相反的，那么就称这种关系 为平行，记作a ∥ b 。
高考数学专题复习五-5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示-模拟练习题(附答案)
专题五 平面向量5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2022吉林第三次调研,5)已知向量a =(4,3),则与向量a 垂直的单位向量的坐标为 ( ) A.(45,35) B.(35,−45)C.(−45,−35)或(45,35) D.(35,−45)或(−35,45) 答案 D2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2n B.-2m +3n C.3m +2n D.2m +3n 答案 B3.(2022四川绵阳二模,6)已知平面向量a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a +6b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +3b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +3b ,则( )A.A ,B ,D 三点共线B.A ,B ,C 三点共线C.B ,C ,D 三点共线D.A ,C ,D 三点共线 答案 D4.(2022江西宜春4月联考,7)如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.38AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −58AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.-58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C5.(2023届江西宜春月考,7)已知S △ABC =3,点M 是△ABC 内一点且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△MBC 的面积为( )A.14B.13C.34D.12答案 C6.(2023届哈尔滨三中月考二,5)在△ABC 中,点D 是线段BC 上任意一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若存在实数m 和n ,使得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n = ( )A.23 B.13 C.-23 D.−13 答案 C7.(2022贵州适应性考试,14)在平行四边形ABCD 中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ .若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 答案 23考点二 平面向量基本定理及坐标表示考向一 平面向量基本定理1.(2022江西重点中学联考二,5)设e 1,e 2是两个不共线的平面向量,若a =3e 1-2e 2,b =e 1+ke 2,且a 与b 共线,则实数k 的值为( ) A.-12 B.12 C.−23 D.23 答案 C2.(2022甘肃顶级名校第二次联考,14)如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +4y 的值为 .答案 13.(2022东北三省三校联考(二),14)在正六边形ABCDEF 中,点G 为线段DF (含端点)上的动点,若CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是 . 答案 [1,4]考向二 平面向量的坐标运算1.(2022黑龙江齐齐哈尔第一中学一模,3)已知向量a =(3,-2),b =(m ,1),若a ⊥b ,则a -3b = ( )A.(0,5)B.(5,1)C.(1,-5)D.(152,−5) 答案 C2.(2023届四川内江六中9月联考,1)已知向量a =(1,2),b =(1,1),若c =a +kb ,且b ⊥c ,则实数k =( )A.32B.−53C.53D.−32答案 D3.(2021云南统一检测一,7)已知向量a =(32,1),b =(−12,4),则 ( )A.a ∥(a -b )B.a ⊥(a -b )C.(a -b )∥(a +b )D.(a -b )⊥(a +b ) 答案 B4.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ= . 答案 125.(2022合肥二模,13)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t ,t +5),若A ,B ,C 三点共线,则t = . 答案 -16.(2021全国甲,14,5分)已知向量a =(3,1),b =(1,0),c =a +kb.若a ⊥c ,则k = . 答案 -1037.(2022河南中原名校4月联考,13)已知向量a =(-1,1),b =(-2,4),若a ∥c ,a ⊥(b +c ),则|c |= . 答案 3√28.(2023届河南安阳调研测试,13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a -b |2=|a |2-|b |2,则实数m = . 答案 39.(2019上海,9,5分)过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A 、B ,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 答案 310.(2022湘豫名校4月联考,13)已知向量a =(-1,3),b =(2x ,-x ),其中x ∈R ,则|a -b |的最小值为 . 答案 √5综合篇考法一 平面向量的线性运算1.(2021贵州安顺模拟,5)如图,在正六边形ABCDEF 中,M 为DE 的中点,设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a -34b B.-34a +54b C.54a +34b D.34a +54b 答案 D2.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA =2,OB =2,OC =1,∠AOB =60°,∠BOC =90°,若OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x y= ( )A.√3B.12 C.√33D.23答案 C3.(2021皖江名校4月联考,10)在△ABC 中,AC ⊥AB ,AB =2,AC =1,点P ,M 是△ABC 所在平面内一点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+2AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2λ+μ的最小值是 ( )A.3+√2B.5C.1D.3−√2 答案 D4.(2023届河南名校诊断测试一,10)已知△ABC 中,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点O 的直线分别交射线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,则△AMN 与△ABC 的面积之比的最小值为 ( )A.2√23B.49C.89 D.2答案 C5.(2022山西大同重点中学4月联考,14)在△ABC 中,若AD 是∠BAC 的平分线,且D 在边BC 上,则有ABAC =BDDC ,称之为三角形的内角平分线定理.已知在△ABC 中,AC =4,BC =6,AB =8,P 是△ABC 的内心,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则xy = . 答案8816.(2022昆明五华模拟,15)如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =3,以CD 为直径的半圆上有一点P ,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为 .答案 737.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R ),则m +n = .答案 3考法二 向量共线问题1.(2021山西孝义二模,6)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cos α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sin α),若A ,B ,D 三点共线,则tan α=( )A.-2B.-12 C.12 D.2 答案 A2.(2022安徽蚌埠三模,11)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC 且AB =2DC ,点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点,点F 为线段AD 的中点,AE 与BF 交于点O ,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y 的值为( )A.1B.57C.1417D.56答案 C3.(2022江西九大名校3月联考,9)在△ABC 中,点D 在线段AC 上,且满足|AD |=13|AC |,点Q 为线段BD 上任意一点,若实数x ,y 满足AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1x+1y的最小值为 ( )A.4B.4√3C.8D.4+2√3 答案 D4.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC 中,E 、F 分别为AC 、AB 上的点,BE 与CF 交于点Q ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ 交BC 于点D ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C5.(2022豫北名校联盟4月联考,14)如图所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n 的取值范围为 .答案 (-1,0)。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析
数学《平面向量》高考知识点一、选择题1．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（ ）A ．125B ．125-C ．32D ．32- 【答案】B【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．2．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r ，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数λ=( )A ．3B ．3C ．6D ．6 【答案】D【解析】【分析】 将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 中计算即可.【详解】 由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ， 所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u r u u u r 2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC =u u u r u u u r ，||3622||AB AC λ===u u u r u u u r . 故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.3．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u v u u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v （ ）A ．3B 3C 3D 3【答案】D【解析】 ∵3AC AB BC AB =+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v ，∴(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r ，∴33cos 3cos 33AC AD AD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，故选D ．4．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v（）A ．4B ．6C ．23D ．43 【答案】B【解析】【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．【详解】如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=，∴23BD =，且30BDC ∠=︒，∴|||3 302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒=⨯⨯=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故选B ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．5．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r，则AE BF ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．24B ．7-C ．10-D ．12- 【答案】D【解析】【分析】 根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r 用基底,AB AD u u u r u u u r 表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可.【详解】由已知得13AF AD =u u u r u u u r ,12BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r ,所以1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13BF AF AB AD AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221111||||16(8)16126666AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：D【点睛】本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想. 6．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r ，则x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】【分析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=r r ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案.【详解】 由题意，向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=r r ，所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r ，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12- 【答案】C【解析】【分析】 以,BA BC u u u r u u u r 为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【详解】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r , 211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22111362BC BC BA BA =-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题. 8．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）A ．13-B ．13C ．12-D ．12 【答案】C【解析】【分析】由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+.【详解】解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点，由向量的加减法运算， 得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩， 则12λμ+=-. 故选：C.【点睛】本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r ，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ）A ．1005B ．1006C ．2010D ．2012 【答案】A【解析】【分析】 根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值.【详解】由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ；∴{a n }为等差数列； 由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以A ，B ，C 三点共线；∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1，∴S 2010()12010201020101100522a a +⨯===.故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.10．已知向量m =r (1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r ，且m r ⊥n r，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ）A ．12B ．2C ．D ．﹣2 【答案】B【解析】【分析】根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案.【详解】 因为向量m =r (1，cosθ)，n =r (sinθ，﹣2)， 所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r 因为m r ⊥n r ，所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B.【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题. 11．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，则当,1[]2t ∈-时，a tb -r r 的最大值为（ ）AB C ．2 D 【答案】D【解析】【分析】 根据(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，得到1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，再利用a tb -==r r 求解.【详解】 因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，所以1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，所以a tb -==r r当[]2,1t ∈-时，maxa tb -=r r 故选：D【点睛】本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.12．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】【分析】设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值.【详解】设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则 ()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r ，因为点P 为椭圆上，所以有：22143x y +=即22334y x =-， 所以()222223132244x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤，所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为6故选：C【点睛】本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.13．已知平面直角坐标系xOy 中有一凸四边形ABCD ，且AB 不平行于,CD AD 不平行于BC ．设AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，且222a b +=，求||||AB DC +u u u r u u u r 的取值范围（ ）A ．(4,)+∞B ．[4,)+∞C ．(0,4)D ．(2,4)【答案】A【解析】【分析】根据AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，通过向量运算得到2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ，从而有2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r ，用两点间距离公式得到EF u u u r ，再根据AB 不平行于CD ，由||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r 求解. 【详解】 因为,EF ED DC CF EF EA AB BF =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ，又因为2EF ===u u u r ，所以24AB DC EF +==u u u r u u ， 因为AB 不平行于CD ， 所以||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以||||4AB DC +>u u u r u u u r .故选：A【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．下列命题为真命题的个数是（ ）①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；②若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题； ④函数()x xe ef x x--=是偶函数. A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误；对于②中，若0a b ⋅=r r ，可以有a b ⊥r r ，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-， 且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确. 综上，真命题的个数是2.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.15．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r ，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( )A ．[0,2]B．[0, C ．[0,4] D ．[0,8] 【答案】D【解析】【分析】以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解．【详解】 设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ，依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动，设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r ，由圆心到直线22x y t +=的距离d =≤，可得[0,8]t ∈.故选：D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．16．已知向量OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为θ，2OA =u u u r ，1OB =uu u r ，=u u u r u u u r OP tOA ，()1OQ t OB =-u u u r u u u r ，PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ）A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】 根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围. 【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=u u u r u u u r ，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ， ∵PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤， 所以223ππθ<<， 故选：C.【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.17．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【答案】A【解析】【分析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，()0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =Q()222001x x +=-解得01x =-(E ∴-(C Q ，()5,0DCD ∴所在直线的方程为y =+因为点M 在边CD 所在直线上，故设(,M x + (,AM x ∴=+u u u u r(1E x M -=--u u u r()1AM ME x x -∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-242660x x =-+-23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max 714AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.18．已知向量a v ，b v 满足2a v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（ ）A ．22B ．23C ．28D ．24【答案】D【解析】【分析】 根据平方运算可求得12a b ⋅=r r ，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】 由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ，解得：12a b ⋅=r r 2cos ,422a b a b a b ⋅∴<>===r r r r r r 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.19．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u u r r r ，则x ，y 的值分别为（ ） A ．15，45B ．43，13-C ．45，15D ．13-，43 【答案】C【解析】【分析】 求得向量5(,5)2OP x y =u u u r ，5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r ，根据OP AB ⊥u u u r u u u r 和,,A B P 三点共线，列出方程组，即可求解.【详解】 由题意，向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r ，所以5(,5)2OP xa yb x y =+=u u u r r r ， 又由5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r ， 因为OP AB ⊥u u u r u u u r ，所以252504OP AB x y ⋅=-+=u u u r u u u r ，可得4x y =， 又由,,A B P 三点共线，所以1x y +=， 联立方程组41x y x y =⎧⎨+=⎩，解得41,55x y ==. 故选：C .【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.20．已知向量(),1a x =-r ， (b =r ，若a b ⊥r r ，则a =r （ ）AB C ．2 D ．4 【答案】C【解析】由a b r r ⊥，(),1a x =-r ， (b r =，可得：x 0x ，==，即)1a =-r所以2a ==r 故选C。
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高中数学向量专题【基础知识精讲】1.向量的定义既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示. AB表示从点A到B的向量(即A为起点，B为终点的向量)，也可以用字母a、b、c…等表示.(印刷用黑体a、b、c，书写用a、b、c注意：长度、面积、体积、质量等为数量，位移、速度、力等为向量).2.向量的模所谓向量AB的大小，就是向量AB的长度(或称模)，记作｜AB｜或者｜a｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.3.零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用0表示. 0向量的方向是不定的，或者说任何方向都是0向量的方向，因此0向量有两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.4.平行向量、共线向量方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行.因此，零向量与零向量也可以平行.根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如AB与BA也是一对平行向量.由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形，则向量AB与CD是一组共线向量；向量AD与BC也是一组共线向量.5.相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量a与向量b相等，记作a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.【重点难点解析】通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念.例1判断下列各命题是否正确(1)若｜a｜=｜b｜，则a=b(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件.(3)若a=b,b=c,则a=c(4)两向量a、b相等的充要条件是(5)｜｜=｜｜是向量=的必要不充分条件.(6) AB =CD 的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. (2)正确.∵AB =DC ,∴｜AB ｜=｜DC ｜且AB ∥DC . 又A 、B 、C 、D 是不共线的四点.∴四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形则AB ∥DC ，且AB 与DC 方向相同，因此AB =DC .(3)正确.∵a =b∴a ，b 的长度相等且方向相同； 又∵b =c∴b ，c 的长度相等且方向相同.∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a =c(4)不正确.当a ∥b ,但方向相反，即使｜a ｜=｜b ｜，也不能得到a =b ，故不是a =b 的充要条件. (5)正确.这是因为|b || a |=a =b ,但a =b ⇒｜a ｜=｜b ｜,所以｜a ｜=｜b ｜是a =b 的必要不充分条件.(6)不正确.这是因为AB =CD 时，应有：｜AB ｜=｜CD ｜及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定要有A 与C 重合、B 与D 重合.说明：①针对上述结论(1)、(4)、(5)，我们应该清醒的认识到，两非零向a 、b 相等的充要条件应是a 、b 的方向相同且模相等.②针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的.③结论(6)不正确，告诉我们平面向量a 与b 相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合.例2 如图所示，△ABC 中，三边长｜AB ｜、｜BC ｜、｜AC ｜均不相等，E 、F 、D 是AC ，AB ，BC 的中点.(1)写出与EF 共线的向量. (2)写出与EF 的模大小相等的向量. (3)写出与EF 相等的向量.解：(1)∵E 、F 分别是AC ，AB 的中点 ∴EF ∥BC从而，与EF 共线的向量，包括：FE ，BD ，DB ，DC ，CD ，BC ，CB .(2)∵E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点 ∴EF=21BC,BD=DC=21BC. 又∵AB 、BC 、AC 均不相等从而，与EF 的模大小相等的向量是：FE 、BD 、DB 、DC 、CD (3)与EF 相等的向量，包括：DB 、CD .例3 判断下列命题真假 (1)平行向量一定方向相同. (2)共线向量一定相等.(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量. (4)不相等的向量，则一定不平行. (5)非零向量的单位向量是±aa .解：(1)假命题，还可以方向相反；(2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等； (3)真命题，因为向量与起点位置无关；(4)假命题，因为若a ,b 方向相同，但只要｜a ｜≠｜b ｜，则a ≠b . (5)真命题，任一非零向量：a 的单位向量为±aa .例4 如图，已知：四边形ABCD 中，N 、M 分别是AD 、BC 的中点，又AB =DC .求证：=MA ， 证明：∵=∴｜AB ｜=｜DC ｜，且AB ∥DC.从而，四边形ABCD 是平行四边形. ∴AD ∥BC ，AD=BC∵N 、M 分别是AD 、BC 的中点. ∴AN=21AD,MC=21BC. ∴AN=MC. 又AN ∥MC ，∴四边形AMCN 是平行四边形.于是得：AM ∥NC ，｜AM ｜=｜NC ｜. 又由图可知：CN 与MA 的方向一致. ∴CN =MA【难题巧解点拔】例1 如图，已知四边形ABCD 是矩形，O 是两对角线AC 与BD 的交点，设点集M={A,B,C,D,O}、向量的集合T={PQ ｜任P ，Q ∈M ，且P 、Q 不重合}，试求集合T 的子集个数.分析：要确定向量为元素的集合T 有多少个子集，就需搞清楚集合T 中有多少个相异的向量.解：以矩形ABCD 的四顶点及它的对角线交点O ，五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有20个，但是这20个向量不是各不相等的，我们下面将这20个向量一一列举出来：AO =OC 、OA =CO ;DO =OB 、BO =OD ;AC 、CA ；BD 、DB ；AD =BC 、DA =CB ;AB =DC 、BA =CD .它们中有12个向量是各不相等的.故T 是一个12元集.所以T 有212个子集.说明：在上述解题过程中，我们一定要根据集合元素的互异性.算出T 中的元素个数为12.而不是20.这样才能得到正确的结果.例2 已知；如图，点D 在△ABC 的边BC 上，且与B 、C 不重合，E 、F 分别在AB 、AC 上，DF =EA .(1)求证：△BDE ∽△DCF.(2)求当D 在什么位置时，四边形AEDF 的面积可以取到最大值?证明：(1)∵=∴DF ∥AE ，｜DF ｜=｜EA ｜.从而，得：四边形AEDF 是平行四边形 ∴DE ∥AF ，｜DE ｜=｜AF ｜ 由DE ∥AF 可得：∠BDE=∠C 由DF ∥AE 可得：∠B=∠FDC ∴△BDE ∽△DCF(2)设｜BC ｜=a,｜AC ｜=b,｜AB ｜=c,｜BD ｜=x,则｜DC ｜=a-x. ∵△BDE ∽△DCF. ∴CDBD =DFBE =FCED从而，xBE =xa DF -，设比为k 1.xED =xa FC -，设比为k 2.由｜BE ｜+｜DF ｜=c,｜ED ｜+｜FC ｜=b. 可得：xk 1+(a-x)k 1=c,∴k 1=ac . xk 2+(a-x)k 2=b,∴k 2=ab . ∴｜DF ｜=ac(a-x) ｜DE ｜=ab x 由点F 作FT ⊥AB ，垂足为T由锐角三角函数，｜FT ｜=｜AF ｜sinA=abx ·sinA ∴S □AEDF =｜DF ｜·｜FT ｜=a c (a-x)·abx ·sinA =2abc (ax-x 2)sinA =2abc ［42a -(x-2a )2］sinA ≤4bc sinA当且仅当x=2a时，等号成立. 答：D 是BC 边的中点时，S □AEDF 取到最大值.例3 如图A 1，A 2，…A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2…A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个?模等于半径2倍的向量有多少个?分析：(1)由于A 1、A 2…A 8是⊙O 上的八个等分点，所以八边形A 1A 2…A 8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与⊙O 的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是i OA 与O A i (i=1,2,…，8)两类.(2)⊙O 内接正方形的边长是半径的2倍，所以我们应考虑与圆心O 形成90°圆心角的两点为端点的向量个数. 解：(1)模等于半径的向量只有两类，一类是i OA (i=1,2，…，8)共8个；另一类是O A i (i=1,2,…,8)也有8个，两类合计16个.(2)以A 1，A 2，…，A 8为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一是正方形A 1A 3A 5A 7；另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍.所以模为半径2倍的向量共有4×2×2=16个.说明：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算i OA 与O A i (i=1，2，…，8)两类，一般我们易想到i OA (i=1,2,…，8)这8个，而易遗漏O A i (i=1，2，…，8)这8个.(2)圆内接正方形的一边对应了长为2的两个向量.例如边A 1A 3对应向量31A A 与42A A .因此与(1)一样，在解题过程中主要要防止漏算.认为满足条件的向量个数为8是错误的.【命题趋势分析】本节着重考查对向量的概念的理解，高考中将会以选择题、填空题形式命题.【典型热点考题】例1 给出下列3个命题：(1)单位向量都相等；(2)单位向量都共线；(3)共线的单位向量必相等.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3分析：本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识，增加了考点，加大了难度.因为不同的单位向量有不同的方向，所以(1)和(2)较易判断是假命题.因为共线的单位向量有可能方向相反，它们不一定相等，所以(3)也是假命题.∴选A.例2 如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.(1)与向量相等的向量有；(2)若｜｜=3，则向量的模等于 .分析：本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力，是容易题，由条件，可得ED=AB且DC=AB，所以ED=.于是E、D、C三点共线，故｜｜=｜ED｜+｜｜=2｜AB｜=6.答：(1) ，；(2)6例3下列命题中，正确的是( )A.｜｜=｜｜⇒=B.｜｜＞｜｜⇒＞C. =⇒｜｜∥｜｜D.｜｜=0⇒=0解：由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的.∴应排除D，∴应选C.例4下列四个命题：①若｜｜=0,则=0；②若｜｜=｜｜,则=或=-；③若与是平行向量，则｜｜=｜｜；④若=，则-=正确命题个数是( )A.1B.2C.3D.4分析：①是忽略了0与不同，由于｜｜=0⇒=,但不能写成0；②是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相同，并不意味它们的方向相同或相反；③是对两个向量平行的意义理解不透，两个向量平行，只是这两个向量的方向相同或相反，而它们的模不一定相等；④正确，故选A.强化练习：【同步达纲练习】一、选择题1.下列命题中的假命题是( )A.向量AB与BA的长度相等B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等2.如图，在圆O中，向量，，是( )A.有相同起点的向量B.单位向量C.相等的向量D.模相等的向量3.如图，△ABC中，DE∥BC，则其中共线向量有( )A.一组B.二组C.三组D.四组4.若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥；③｜｜＞0；④｜｜=±1；b，其中正确的有( )aA.①④⑤B.③C.①②③⑤D.②③⑤5.四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD( )A.是平行四边形B.是梯形C.是平行四边形或梯形D.不是平行四边形，也不是梯形6.把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一个圆面C.圆上的一群弧立点D.一个圆7.若，是两个不平行的非零向量，并且∥, ∥，则向量等于( )A. B. C. D. 不存在8.命题p：与是方向相同的非零向量，命题q: 与是两平行向量，则命题p是命题q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、判断题1.向量AB与BA是两平行向量.( )2.若是单位向量，也是单位向量，则=.( )3.长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量.( )4.与任一向量都平行的向量为向量.( )5.若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形.( )6.两向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点也相同.( )7.设O是正三角形ABC的中心，则向量的长度是OA长度的3倍.( )8.已知四边形ABCD是菱形，则｜｜=｜｜是菱形ABCD为正方形的充要条件.( )9.在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆.( ) 10.凡模相等且平行的两向量均相等.( )三、填空题1.已知a ，b ，c 为非零向量，且a 与b 不共线，若c ∥a ，则c 与b 必定 .2.已知｜OA ｜=4,｜AB ｜=8，∠AOB=60°，则｜AB ｜= .3.如图，已知O 是正六边形的中心，则在图中所标出的各向量中，模等于该正六边形边长的向量共有 个.4.如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量AB 共线的向量有 ； ②若｜AB ｜=1.5,则｜CE ｜= .5.已知四边形ABCD 中，AB =21DC ,且｜AD ｜=｜BC ｜,则四边形ABCD 的形状是 .四、解答题1.如图，在△ABC 中，已知：向量AD =DB ,DF =BE ,求证：DE =AF .2.在直角坐标系中，将所有与y 轴共线的单位向量的起点移到x 轴上，其终点的集合构成什么图形?【素质优化训练】1.已知、是任意两个向量，下列条件：①=;②｜｜=｜｜;③与的方向相反；④=或=;⑤与都是单位向量.其中，哪些是向量与共线的充分不必要条件 .2.已知ABCD 是等腰梯形，AB ∥DC ，下列各式：①AB =DC ;②AD =BC ;③｜AC ｜=｜BD ｜;④｜AB ｜≠｜｜;⑤AB ∥CD .正确的式子的序号是 .3.不相等的向量a和b，有可能是平行向量吗?若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列出.4.下列各组量是不是向量?如果是向量，说明这些向量之间有什么关系?(1)两个三角形的面积S1，S2；(2)桌面上两个物体各自受到的重力F1，F2；(3)某人向河对岸游泳的速度v1与水流的速度v2；(4)浮在水面上的物体受到的重力W和水的浮力F.【生活实际运用】某人从A点出发向西走了10米，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15米到达C点，最后又向东走了10米到达D点.(1)作出向量AB、BC、CD (用1cm长的线段表示10m长)；(2)求｜DA｜.解：(1)(2)显然DA=CB,故｜DA｜=｜CB｜=15cm【知识验证实验】已知某轮船从S岛沿北偏西30°的方向航行了45海里，请你用有向线段表示此轮船的位移.【知识探究学习】一小球在30m高处，以2m/s的速度水平抛出，请你用有向线段画出小球经过2S后的水平位移，竖直位移，并计算出实际位移的大小.(g=10m/s2)解：依题意：v0=2m/s,t=2s11 / 11 水平位移x=2×2=4m竖直位移h=21gt 2=20m 实际位移大小是：｜OC ｜22204+=426m参考答案【同步达纲练习】一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A二、1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.× 6.× 7.√ 8.√ 9.√ 10.×三、1.不共线 2.43 3.12 4.①，，，，，， ②3 5.等腰梯形 四、1.提示：证F 平分AC ，E 平分BC.2.平行于x 轴，且与x 轴的距离为1的两条直线【素质优化训练】1.①③④2.②④⑤3.有三种情况：(1)两个向量和中有一个是零向量，另一个是非零向量；(2)向量，为模不相等，方向相同的两个非零向量；(3)向量，为非零向量且方向相反4.(1)不是向量 (2)是向量，它们是方向相同的向量 (3)是向量，不共线 (4)模相等方向相反的向量。