高考数学-平面向量(知识点归纳+习题)

高中数学向量专题

【基础知识精讲】

1.向量的定义

既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示. AB表示从点A到B的向量(即A为起点，B为终点的

向量)，也可以用字母a、b、c…等表示.(印刷用黑体a、b、c，书写用a、b、c注意：长度、面积、体积、质量等为数量，位移、速度、力等为向量).

2.向量的模

所谓向量AB的大小，就是向量AB的长度(或称模)，记作｜AB｜或者｜a｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.

3.零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用0表示. 0向量的方向是不定的，或者说任何方向都是0向

量的方向，因此0向量有两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.

4.平行向量、共线向量

方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行.因此，零向量与零向量也可以平行.

根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如AB与BA也是一对平行向量.

由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形，

则向量AB与CD是一组共线向量；向量AD与BC也是一组共线向量.

5.相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量a与向量b相等，记作a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

【重点难点解析】

通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念.

例1判断下列各命题是否正确

(1)若｜a｜=｜b｜，则a=b

(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件.

(3)若a=b,b=c,则a=c

(4)两向量a、b相等的充要条件是

(5)｜｜=｜｜是向量=的必要不充分条件.

(6) AB =CD 的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.

解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. (2)正确.∵AB =DC ,∴｜AB ｜=｜DC ｜且AB ∥DC . 又A 、B 、C 、D 是不共线的四点.

∴四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形则AB ∥DC ，且AB 与DC 方向相同，因此

AB =DC .

(3)正确.∵a =b

∴a ，b 的长度相等且方向相同； 又∵b =c

∴b ，c 的长度相等且方向相同.

∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a =c

(4)不正确.当a ∥b ,但方向相反，即使｜a ｜=｜b ｜，也不能得到a =b ，故

不是a =b 的充要条件. (5)正确.这是因为|

b || a |=a =b ,但a =b ⇒｜a ｜=｜b ｜,所以｜a ｜=｜b ｜是a =b 的必要不充分条件.

(6)不正确.这是因为AB =CD 时，应有：｜AB ｜=｜CD ｜及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定要有A 与C 重合、B 与D 重合.

说明：①针对上述结论(1)、(4)、(5)，我们应该清醒的认识到，两非零向a 、b 相等的充要条件应是a 、b 的方向相同且模相等.

②针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的.

③结论(6)不正确，告诉我们平面向量a 与b 相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合.

例2 如图所示，△ABC 中，三边长｜AB ｜、｜BC ｜、｜AC ｜均不相等，E 、F 、D 是AC ，AB ，BC 的中点.

(1)写出与EF 共线的向量. (2)写出与EF 的模大小相等的向量. (3)写出与EF 相等的向量.

解：(1)∵E 、F 分别是AC ，AB 的中点 ∴EF ∥BC

从而，与

EF 共线的向量，包括：

FE ，BD ，DB ，DC ，CD ，BC ，CB .

(2)∵E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点 ∴EF=

21BC,BD=DC=2

1

BC. 又∵AB 、BC 、AC 均不相等

从而，与EF 的模大小相等的向量是：FE 、BD 、DB 、DC 、CD (3)与EF 相等的向量，包括：DB 、CD .

例3 判断下列命题真假 (1)平行向量一定方向相同. (2)共线向量一定相等.

(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量. (4)不相等的向量，则一定不平行. (5)非零向量的单位向量是±

a

a .

解：(1)假命题，还可以方向相反；

(2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等； (3)真命题，因为向量与起点位置无关；

(4)假命题，因为若a ,b 方向相同，但只要｜a ｜≠｜b ｜，则a ≠b . (5)真命题，任一非零向量：a 的单位向量为±

a

a .

例4 如图，已知：四边形ABCD 中，N 、M 分别是AD 、BC 的中点，又AB =DC .

求证：=MA ， 证明：∵=

∴｜AB ｜=｜DC ｜，且AB ∥DC.从而，四边形ABCD 是平行四边形. ∴AD ∥BC ，AD=BC

∵N 、M 分别是AD 、BC 的中点. ∴AN=

21AD,MC=2

1

BC. ∴AN=MC. 又AN ∥MC ，

∴四边形AMCN 是平行四边形.于是得：AM ∥NC ，｜AM ｜=｜NC ｜. 又由图可知：CN 与MA 的方向一致. ∴CN =MA

【难题巧解点拔】

例1 如图，已知四边形ABCD 是矩形，O 是两对角线AC 与BD 的交点，设点集M={A,B,C,D,O}、向量的集合T={PQ ｜任P ，Q ∈M ，且P 、Q 不重合}，试求集合T 的子集个数.

分析：要确定向量为元素的集合T 有多少个子集，就需搞清楚集合T 中有多少个相异的向量.

解：以矩形ABCD 的四顶点及它的对角线交点O ，五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有20个，但是这20个向量不是各不相等的，我们下面将这20个向量一一列举出来：AO =OC 、OA =CO ;DO =OB 、

BO =OD ;AC 、CA ；BD 、DB ；AD =BC 、DA =CB ;AB =DC 、BA =CD .它们中有12个向量是各不相等的.

故T 是一个12元集.所以T 有212

个子集.

说明：在上述解题过程中，我们一定要根据集合元素的互异性.算出T 中的元素个数为12.而不是20.这样才能得到正确的结果.

例2 已知；如图，点D 在△ABC 的边BC 上，且与B 、C 不重合，E 、F 分别在AB 、AC 上，DF =EA .

(1)求证：△BDE ∽△DCF.

(2)求当D 在什么位置时，四边形AEDF 的面积可以取到最大值?