1.1平面直角坐标系与坐标法ppt课件

点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴， 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别 称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面．
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4、空间中点的坐标
对于空间任意一点M，要求它的坐标
方法一：过M点分别做三个平面分别垂直于x,y,z
轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P、Q、R，在其 相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点M的 空间直角坐标，简称为坐标，记作M(x,y,z)，三个数值
P={ M||MR| |MQ|=k }, 其中Q,R分别是点M到x 轴,y轴的垂线的垂足 所以 |x| |y|=k 即 x y= ±k
y
R
M
Qx
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课堂小结
建立坐标系的一般规律:
1.两条垂直的直线 以该二直线为坐标轴.
2.对称图形 以对称图形的对称轴为坐标轴.
3.已知长度的线段 以线段所在直线为对称轴，端点或中点为原点.
1
xＸ
M点坐标为
•M
(x,y,z)
y Ｙ
y
•P0
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三、空间点的坐标：
设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别
是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实
数组(x，y，z)来表示, (x，y，z)叫做点M 在此
空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．
z
其中x叫做点M的横坐标，
R
M
y叫做点M的纵坐标，
注意:坐标轴上的点不属于任何象限。
3
3.空间直角坐标系：
z
以单位正方体 OABC DABC的 D'
C'
顶点O为原点,分别以射线OA， A'
B'
OC，OD 的方向为正方向,以
线段OA,OC, OD的长为单位
O
A
C B
y
长度,建立三条数轴:x轴,y轴, x
z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 O xy。z
5( y12 6y1 13)
所以 M1A = M1B 由(1),(2)可知,方程是线段AB的垂直平分线的方程.
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例2.已知平面上两个定点A , B , |AB| = 2a , (a>0) , 平面上动 点M到A , B两点的距离之比为 2:1 , 求动点M的轨迹方程.
解:以线段AB所在直线为X轴,线段AB的中点为原点, 建立如图直角坐标系.则 A (-a , 0) , B (a ,0) ,
O
P
x
Q M’
y z叫做点M的竖坐标．
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例1: 在长方体OABC DABC中，
OA 3，OC 4，OD 2,
写出所有点的坐标.
z
2 D'(0, 0, 2)
C '0,4,2
3,0,2 A'
B '(3, 4, 2)
O 0,0,0
4y
3
x A(3, 0, 0)
C (0, 4, 0)
B (3, 4, 0)
证化简过的方程所表示的曲线是否是已知点的轨迹。
上述五个步骤可简记为： 建系设点；写出条件；代入坐标；化简方程；证明结论． 14
例3、点M与两条互相垂直的直线的距离的积是 常数 k (k>0)，求点M轨迹方程.
解：以已知的两条垂直直线为坐标系，建立直角坐标系.
设点M(x,y)是满足题设条件的轨迹上的任意一点，则
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证明:(1)由求方程的过程知道,垂直平分线上每一点的坐标 都是方程的解.
(2)设点M1的坐标(x1 ,y1)是方程的解, 则 x1 2 y1 7 0
点M1到A,B的距离分别是
M1 A (x1 1)2 ( y1 1)2
5( y12 6y1 13)
M1B (x1 3)2 ( y1 7)2
1
1.直线上点的坐标
在直线上规定了原点、正方向、单位长度 就构成了数轴。
B
A
-2 -1 O 1 2 3
x
数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示
2
纵轴 y 5
4 第二象限
3 2
2.平面直角坐标系上的
有序实数对(x,y)表示点
第一象限
1
-4 -3 -2 -4
1 2 3 4 5 x 横轴 第四象限
解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,
由已知得,M点应该满足条件 |MA| = |MB |
由两点间的距离公式,代入M,A,B的坐标得, Y B
M
(x 1)2 (y 1)2 (x 3)2 (y 7)2
化简,整理得, x 2y 7 0
O
X
A
我们还需要证明这就是线段AB的垂直平分线的方程.
z 叫做 M点的横坐标、纵坐标、竖坐标。
z •R
1
•M
y
x•
•o
1
1
•y
Q
xP
5
4、空间中点的坐标
方法二：过M点作xOy面的垂线，垂足为 P0点。
点 P0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是M点的横坐标、
纵坐标。再过M点作z轴的垂线，垂足 在zP轴1 上的坐标
z就是M点的竖坐标。
z
z P1
1
x
•o
1
通过方程，研究平面曲线的性质
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曲线与方程的关系:
分析
把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹, 就可以用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程 f(x,y)=0来表示曲线.
即: 曲线 条件 方程
要求: 曲线上的点
方程的解
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例1. 设A , B两点的坐标是 (-1 , -1) , ( 3 , 7 ), 求线段AB 的垂直平分线的方程.
设动点M的坐标为(x,y),
由已知M点应该满足条件:
MA 2 MB 1
把M , A , B 的坐标代入等式,得
( x a) 2 ( y 0) 2 2
(x a) 2 ( y 0) 2 1
Y M
X AO B
化简,整理得: 3x2 3y 2 10ax 3a2 0
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课堂小结 求曲线方程的一般步骤：
1.设（建系设点）：建立适当的坐标系，用 M(x,y)
表示曲线上任意一点M;
２.写（写等量关系） 写出满足条件的点Ｍ的集合:
｛Ｍ|Ｐ(M) ｝;
３.代（列方程）:将Ｍ点坐标（x,y）代入几何条
件，列出方程 f (x,y) =0;
4.化（化简方程）：化方程为最简形式；
５.证（以方程的解为坐标的点都是曲线上的点）：验
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5、用坐标法研究几何图形的知识形成了一门学科
——解析几何.(实质就是“以数论形”)
曲线
满足某种条件的点的集合或轨迹.
坐标法
(x,y)
f(x,y)=0
借助坐标系，用坐标表示点，用方程表 示曲线，通过研究方程的性质间接地来 研究曲线的性质，这一研究几何问题的 方法称为坐标法.
解析几何两 大基本问题
根据已知条件，求出表示平面曲线的 方程
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课堂小结
关于化简方程
在求轨迹方程的问题中，如果化简方程 过程是同解变形.则由此所得的最简方程就 是所求曲线的方程，可以省略“证明”;