高数-函数的极限

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高数函数极限与连续

表示方法
通常用符号"lim(x->x0) f(x) = f(x0)"表示函数f(x)在点x0处连续。
间断点类型及判定方法
第一类间断点
左右极限都存在，包括可去间断点（左右极限相等但不等于函数值）和跳跃间断点（左右极限不相等）。
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在，包括无穷间断点（极限为无穷大）和震荡间断点（极限震荡不存在）。
高数函数极限与连续
contents
目录
• 函数极限概念与性质 • 数列极限与收敛性判断 • 函数连续性概念与性质 • 闭区间上连续函数性质研究 • 极限与连续在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 函数极限概念与性质
函数极限定义及表示方法
函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
数列极限的符号表示
若数列{an}的极限为a，则记作lim(n→∞)an=a。
收敛数列性质与判定定理
1 2 3
收敛数列的有界性
收敛数列一定是有界数列，但反之不一定成立。
收敛数列的保号性
若数列收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正整数N，使得当n>N时，数列的通项an也大于0 （或小于0）。
判定定理
洛必达法则
对于0/0型或∞/∞型的未定式极限，可通过求导后求极限来解决。
因式分解法
通过因式分解简化数列的通项表达式，进而求极限。

大一高数函数极限知识点

大一高数函数极限知识点函数极限是高等数学中的重要概念之一，它是分析函数性质和求解各种数学问题的基础。

在大一高数课程中，函数极限是必修内容，下面将介绍几个常见的函数极限知识点。

一、基本极限公式在求解函数极限的过程中，常用的基本极限公式有以下几个：1. 当n趋向于无穷大时，$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^p} = 0$，其中p是大于0的实数。

2. 当x趋向于无穷大时，$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^p} = 0$，其中p是大于0的实数。

3. $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1$。

4. $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$，其中e是自然对数的底数。

这些基本极限公式在求解各种函数极限时非常常用，熟练掌握它们可以简化计算过程。

二、函数极限的性质函数极限具有一些重要的性质，下面介绍两个常用的性质。

1. 函数极限的唯一性：如果$\lim_{x \to x_0}f(x) = A$，且$\lim_{x \to x_0}f(x) = B$，那么A=B。

即函数在某一点的极限存在时，它的极限值是唯一确定的。

2. 函数极限的四则运算法则：设$\lim_{x \to x_0}f(x) = A$，$\lim_{x \to x_0}g(x) = B$，其中A、B都存在，则有以下四则运算法则：（1）$\lim_{x \to x_0}[f(x) \pm g(x)] = A \pm B$（2）$\lim_{x \to x_0}[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$（3）$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$，其中B不等于0。

这些性质在计算复杂函数极限时非常有用，可以简化计算步骤。

三、函数极限的求解方法对于一些特殊函数，我们需要使用一些特殊的求解方法来计算其极限。

大学高数复习--函数极限

x x0 x x0
。
证明：令 h( x) f ( x) g ( x) 0 ，，则在 U ( x0 ) 内， h( x) 0 ，由“保号性推论”
x x0
。
lim h( x) lim f ( x) lim g ( x) A B 0 。
x x0 x x0
注：1.
( ) ，随着减小，的值总体趋势减小。
2. 空心邻域有两层含义 1） x0 可以不属于函数 f ( x) 的定义域 2） x0 可以属于函数 f ( x) 的定义域，但是函数在 x0 的极限与函数值 f ( x0 ) 没有关系 3．几何意义：
说明 f ( x) 在 U ( x0 , ) 内有界。
x x0
3)
函数
f(x) | sgn x |
1,x 0 ， lim f (x) 1 f (0) 。 x x0 0,x 0
证： 0 ，当 0 x x0 时， f (x) 1 1 1 0
4)
证明 lim
x 1
证： 0 ，要使
性质 4 (局部保号性): 若 lim f ( x ) A ，且
x x0
。
A 0 ， 0 ，当 0 x x0 时， f ( x) 0 。
证明：取
A A ， 0 ，当 0 x x0 时， f ( x) A = ， 2 2 A A A A f ( x) A f ( x) 0 。 2 2 2
2
x 1
解： =3 lim x 2 lim x 1=3(lim x ) 2 1 1 3 1 2 1 1 2 。

高数函数极限

高数函数极限函数极限是高等数学里的一个重要概念，我们将在后面学习。

函数极限在数学中有着重要的地位，那么什么是极限呢？首先要对什么是极限进行说明：函数的极限（简称为“极限”）是指：当左极限等于右极限时，其值等于该函数值。

这里要注意的是：“左极限”和“右极限”是互为逆运算。

由于极限是“无穷大”与“无穷小”的统一，所以可以把极限看成是“无穷小”。

即：对任何自变量取值有界的函数f（ x），当其自变量趋向于无穷大或无穷小时，相应的极限也趋向于无穷大或无穷小，记作lim_f（ x）=∞，即函数值无限接近于它的极限值。

第一个需要说明的是：极限不是一个普遍的概念，它只适用于某些特殊的函数。

为什么函数会有极限呢？其实函数的极限概念是从变量的极限概念发展而来的。

我们知道，我们研究函数总是把函数视为在一个定义域上连续的有限集合，而这样的函数总存在着一个唯一的极限。

不但如此，函数的极限还是有一定范围的。

如果左右极限都存在，则表示函数在这一点处有界，这个点叫做函数的极值点。

二、极限与函数值的关系：极限与函数值是密切相关的。

换句话说，函数的极限决定了函数值。

我们设： x→∞为函数y=x-（ 1/x）的极限，则函数y=x-（ 1/x）=∞。

极限的定义为： lim_f（ x）=∞，即：函数值无限接近于它的极限值。

因此，当我们取两个正数x和y=∞时，函数的极限就是x=0，函数值也就是0。

当然，有时候两个正数x和y=∞，函数的极限却不是x=0，而是y=∞，即： lim_f（ x）=∞。

这说明函数值并不是真正的无穷大，而只是“趋近于无穷大”。

极限存在的充分必要条件是：当x →∞，即当自变量x →∞时，函数f （ x）仍然有极限。

所以说函数的极限是一个条件概念，极限的存在性是指：如果对于一个给定的自变量x，存在正数k，使得当自变量x→∞时，有lim_f（ x）=∞。

一、极限定义：通俗来讲，我们把函数最左极限和最右极限两个数称为“极限值”。

高数基本极限公式大全

高数基本极限公式大全
1．极限的定义：
当x的取值趋近于某个特定的值x0，则函数y=f(x)的值趋于某个特
定的值y0，此时就称y=f(x)在x0处的极限为y0，记为：lim f(x)=y0 。

2．极限的基本公式：
（1）恒等式极限：
lim a=a
即，定值a的极限为a；
（2）加法公式：
lim (f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
即，两个函数的极限的和等于每一个函数的极限的和；
（3）乘法公式：
lim (f(x)g(x))=lim f(x)lim g(x)
即，两个函数的极限的乘积等于每一个函数的极限的乘积；
（4）极限的变换性质：
lim h(x)=h(c)
其中h(x)表示一种关于x的函数，c是h(x)函数上任意一个常数；（5）极限的结合律：
lim [f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)
即，两个函数的极限的结合律等于每一个函数的极限的结合律；（6）极限的链式法则：
lim [f(g(x))]=f(lim g(x))
即，函数f(g(x))的极限等于函数f(x) 对g(x)极限取值后的值。

高数函数的极限知识点

高数函数的极限知识点一、极限的定义1. 数列极限数列 $\{a_n\}$ 极限为 $L$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|a_n - L| < \epsilon$ 成立。

2. 函数极限函数 $f(x)$ 当 $x \to c$ 时的极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - c| < \delta$ 时，不等式 $|f(x) - L| < \epsilon$ 成立。

二、极限的性质1. 唯一性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} f(x) = M$ 都成立，则 $L = M$。

2. 局部有界性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，则 $f(x)$ 在 $c$ 的某个邻域内有界。

3. 局部保号性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 且 $L > 0$，则存在 $c$ 的一个邻域，使得在这个邻域内 $f(x) > 0$。

三、极限的计算1. 极限的四则运算如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} g(x) = M$ 都存在，则：- $\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = L + M$- $\lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = L - M$- $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$- $\lim_{x \to c} [f(x) / g(x)] = L / M$，当 $M \neq 0$。

考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件

无穷小是函数极限的必要条件，即如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的值必定是无穷小。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

大学高数-函数的极限

x2 4
例5 lim
4
x2 x 2
1 lim 1 x1 x
x2 x 1
例6
求
f
( x)
x
1
2
1
x 1 在 x = 1 处的极限. x 1
解
y
lim f (x) lim x2 1
x1
x1
lim f (x) lim (x 1) 0
x1
x1
1
1 2
O1
x
单侧极限:
左极限(Left Limits) x 从左边趋于 x0
例如, {xn}: 0, 2, 0, 4, , 0, 2n, 0,
通过上面演示实验的观察:
当n无限增大时 , xn
n (1)n n
无限趋于1
当n
无限增大时,
xn
1 n
无限接近于0
所以有：
lim 1 0 n n
n (1)n
lim
1
n
n
一般地，当n 时,若xn趋于某一常数a,
则称xn以a为极限
记为：
lim
n
xn
a
函数与极限
12
考察下列四个数列的极限
1
1 , 1 , 1 ,L , 1 ,L ; 2 4 8 2n
x0
x0
lim f ( x) lim x sin 1 0,
x0
x0
x
左极限存在, 右极限存在,
lim f ( x) lim f ( x)
x0
x0
lim x0
f (x)
不存在.
一般地：初等函数在定义域内所有点处的极限就为函数在这一点的函数值
三、无穷小量与无穷大量

高数函数的极限

条件矛盾, 所以假设不真, 故 A ≥ 0 . 思考: 若定理 2 中的条件改为 f (x) > 0, 是否必有 A > 0? 不能! 不能如
20
定理3’ 若定理使当分析: 分析
A , 则在对应的邻域若取 ε = 2 A 3A A > 0: < f (x) < 2 2
则存在时, 有
(P37 )
xn ≠ x0 , f (xn ) 有定义
有 lim f (xn ) = A.
n→ ∞
且
(xn →∞)
说明: 说明此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列
n→∞
xn ≠ x0 ,
使 lim f (xn ) 不存在 .
法2 找两个趋于
n→∞
′ 的不同数列 { xn}及 { xn}, 使
n→∞
第三节函数的极限
第一章
一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限
1
函数极限的定义从函数的观点看，数列是下标变量 n 的函数 xn = f (n) 它有极限 A, 也可以这样叙述：若在自变量 n →∞ 时，相应的函数 f (n) → A 则称当 n →∞ 时，函数这种定义数列极限的思维方法也适合 xn = f (n)有极限。于一般的函数 f (x)，由于 f (x) 的自变量x 变化方式的不同，f (x) 的极限定义就有不同的形式，需分类定义。设有函数 y = f (x) ,自变量的变化过程可以有六种形式:
0.001 若取 ε = 0.001 δ = = 0.0002 5
x→ 2
13
2. 左极限与右极限例： f ( x) = 3x +1 列表看趋势

高数函数的极限

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例3. 证明证: f ( x) A 故 0 , 取 , 当时 , 必有
x 1 2 x 1
2
因此
x2 1 lim 2 x 1 x 1
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例4. 证明: 当
证:
时
0 , 欲使
而
1 x x0 x0 只要
x x0
有 f ( x) A .
xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且
对上述 , N , 当故时, 有
y
于是当 n N 时 f ( xn ) A .
n
lim f ( xn ) A
A
“
” 可用反证法证明. (略)
1. 时函数极限的定义面积为A )
引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为直接观测值边长
确定直接观测值精度 :
x x0
任给精度 , 要求 x 2 A
间接观测值面积
A x0
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定义1 . 设函数
则称常数 A 为函数
x x0
在点
x = 3 时分母为 0 !
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例4 . 求
解: x = 1 时分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
x 2 5 x 4 12 5 1 4 0 lim 2 1 3 x1 2 x 3
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例5 . 求
解:
时, 分母
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高数第一章函数与极限知识点总结

1.2.1 数列极限的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2
数列的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7.2
...................................... 5
1.7.3
定 ......................................... 5
1.8 函数的
与
...................................... 5
1.8.1 函数的
映射的定义
映射 g
映射的
g 的值域 Rg
f f 的定
1
义域
Rg ∈ D f
则
映射 g f 的
义
g◦ f
义
义
映射 f ◦ g 与 g ◦ f
映射的 f ◦g f ◦g 与 g◦ f
1.1.2 函数
函数的概念
定义 1.4. 设数集 D ∈ R，则称映射 f : D → R 为定义在 D 上的函数，通常简记为 y = f (x)，x ∈ D，其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记作 D f , 即 D f = D。
). 如果
lim f (x) = a
x→x0
且 a > 0(或 a < 0), 所以 ∃(正整数 N), 当 n > N, 都有 xn > 0(或 xn < 0).

高数讲义第一章第三节函数的极限

问题：的选取仅与有关，与自变量 x 无关。
例3 证明: lim x2 4 . x2
请思考：为什么能这样？为什么要这样？
证 f ( x) A x2 4 ( x 2)( x 2)
又 x 2，不妨设 1 < x < 3，则有 | x 2 | 5
x2 4 ( x 2)( x 2) 5 | x 2 |
总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x, 所对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A , 那末常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作
lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
x
" X"定义 lim f ( x) A x 0,X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
x0 x x0
定义： 0, 0,使当 x0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0
f ( x0 ) A.
定理 : lim x x0
f (x)
A
f ( x0 )
f ( x0 )
A.
例6 验证 lim x 不存在. x0 x
x
|x|
取X
1,
则当 x X时恒有 sin x 0 , 故 lim sin x 0.
x
x x
定义 : 如果 lim f ( x) c,则直线 y c 是函数 y f ( x)
x
的图形的水平渐近线.
例2 证明 lim ( 1 )x 0. x 2
y (1)x a
证 (1)x 0 (1)x
第三节函数的极限
• 一、函数极限的定义 • 二、函数极限的性质 • 三、小结

考研高数总复习函数的极限(讲义)

因为0 a 1, 有an+1 a x an
由于x + n +
且 lim an1 lim an 0
n
n
即 lim a[ x]1 lim a[ x] 0
x
x
由夹逼定理，所以 lim a x 0. x
子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定义1. 设在过程x a(a可以是x0 , x0 ,或x0 )中，有数列xn ( a), 使得n 时xn a.则称数列
定义4：lim x x0
f
(x)
A
0,
0,
使得当0
|
x
x0
|
时,
恒有 | f (x) A | 成立.
x x0
0 | x x0 |
x x0
0 x0 x
x x0
0 x x0
定义5：设函数y f (x)在点 x0 的某左邻域内有定义，A是常数，
若 0, 0, 使得当0 x0 x 时, 恒有 | f (x) A | 成立，
A
(1) lim 1 0. x x
(2) lim sin x 0. x x
(3) lim arctan x 不存在. x
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
自变量 x 趋于有限值 x0 包括三种情况：
1). x x0 2). x x0 3). x x0
x趋于x0正（或x0加）. x趋于x0负（或x0减）. x趋于x0 .
0，满足n
时，xn
0,
则数列{sin(xn )}就是函数sin x当x 0时的一个子列,
即，lim sin( 1 ) 0.
n
n
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在, 且相等.

高数必背定理函数与极限

高数必背定理：函数与极限函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中0定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。

如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

高数定理大解析必背

高等数学定理大解析-考研必捋版（考研大纲要求范围+高数重点知识）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、函数的单调性、奇偶性、周期性（指最小正周期）3、数列的极限定理(极限的唯一性) 数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n +1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

4、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

定理（极限的局部保号性）如果lim (x→x0)时f(x)=A，而且A>0（或A<0），就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x) >0（或f(x) >0），反之也成立。

●函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)= f(x0+0)，若不相等则lim f(x)不存在。

●一般的说，如果lim（x→∞）f(x)=c，则直线y=c是函数y = f(x)的图形水平渐近线。

如果lim（x→x0）f(x)=∞，则直线x=x0是函数y= f(x)图形的铅直渐近线。

高数课件-函数的极限

对任意给定的正数 ε（不论 ε 多么小），作两条水平直线 y=A-ε，y=A+ε,则总存在一个正数 X，使得在区间（-∞，-X）与(X，+∞)内，函数 f(x)的图形介于这两条水平直线之间（见图）。
25-15
注 2：X 的相应性一般说，X 是随着ε的变小而变大的，可写成 X= X(ε)，但是这种写法并不意味着 X 是由ε唯一确
例 2.2.4 证明 lim ax 0 ，其中常数a 1 . x
证对于任意给定的正数 (0 1) ，要使得 ax 0 ax ,
只须 x lg a lg ，即 x lg ，故取 X lg 0 ，当 x X 时，
lg a
lg a
恒有
ax 0
成立，所以 lim ax 0 . x
lim
x x0
sin
x
sin
x0
.
25-27
注
在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对 |f(x) －A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意
x=x 此时是在
0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一
下。
单侧极限：
自变量 x 是指 x 无限增大.
如果只考察 x 0 ， x 无限增大，就称 x 趋向正无穷大，
f
(x) .
25-30
极限自变量x的li某m变化过程 f (x) A 的整体刻画：
如果对于任意给定的正数 ε，当自变量 x 变化到一定的程度时，恒有
| f (x) A |
成立，则有
lim
自变量x的某变化过程
f
(x)
A。
25-31
lim f (x) A
x
0,X 0,使当x X时，恒有 f (x) A lim f (x) A

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