高数-函数的极限

那么称当x 时，函数f ( x)以 a 为极限,记作 lim f ( x) a 或 f ( x) a ( x )
x
此时称当x 时, f ( x) 存在极限.
例3.1 证明 lim（ x2 a2 x2 a2 ) 0(a 0). x 证明：
对 0 , 因为
| ( x2 a2 x2 a2 ) 0 |
2 : 定义中的 和 定量地刻划了变量与某定数
之间的接近程度.
: x与 x0 的接近程度,一般随 而定.
: f (x)与 a 的接近程度.
用邻域的语言叙述:
o
o
若 0, 0, 使得当x N ( x0 , ) N ( x0 )时,
f ( x) N (a, ), lim f ( x) a x x0
“ lim f ( x) a”的几何解释∶ x x0
y
a y f (x)
ya
N(a, ) a
a
o x
x x
N(x, )
ya
x
例 3.3 证明 lim(2x 1) 1 . x 1
分析 : | f ( x) a || (2x 1) 1 | 2 | x 1 | 对任意的 0 , 要使 | f ( x) a | 2 x 1 , 只需| x 1 | .
则称当x x0时,函数f ( x)以a为极限,记作
lim f ( x) a 或
x x0
f (x) a(x x0 )
此时, 亦称当 x x0 时 f ( x) 存在极限
(或收 敛且收 敛 于 a ).
注 1 : 定义中的“0 | x x0 | ”表明: 当 x x0 时, f ( x) 有无极限以及极限值为多少均与 f ( x) 在 x0 有无定义无关.
|
1 2
|
x
1|
要使|
x1 x2 1
1 2
|
,只须1
2
|
x
1 |
所以取 min1,2 , 则当
0 | x 1 |
时,
|
x 1 x2 1
1 2
|
所 以lim x 1
x 1 x2 1
1 2
.
注意 : 该函数在 x 1 处没有定义,
但 lim f ( x) 存在. x1
例 3.5.
例3.2 问limarctanx是否存在？ x
解 因为 lim arctan x ,
x
2
lim arctan x ,
x
2
lim arctan x lim arctan x,
x ＋
x
所以 limarctanx不存在.
x
y arctanx图象如图：
y
2
y arctan x
o
x
2
2. x x0时f ( x)的极限
2a 2
2a 2
x2 a2 x2 a2 | x |
要 使 | ( x2 a2 x2 a2 ) 0 | ,
只 须 2a2 ,
|x|
因此 取X 2a2 0 , 则当| x | X 时, 就有
| ( x2 a2 x2 a2 ) 0 |
所以 lim（ x 2 a 2 x 2 a 2 ) 0(a 0). x
2
证明: 对 0 , , 使得当 0 | x 1 | 时 ,
2
有 | (2x 1) 1| .
所以 lim(2x 1) 1 . x 1
例 3.4
证明
lim
x 1
x1 x2 1
1 2
.
证明 : 0 , 先限制 | x 1 | 1,
则|
x 1 x2 1
1 2
||
x1 2( x 1)
x x0
x
x0
例 3.6
设
f
(
x)
xsin 1 x 0 x
,
1
x0
证明 lim f ( x) 0. x0
证明 :对 0, ,
x x0表示x x0且x趋向于x0 , x x0表示x x0且x趋向于x0 , x x0表示可从x0的两侧任意趋向于x0。
定义3.2(函数极限) 设 f : N ( x0 ) R , 若存在一个常数a R, 满足
0, 0, 使得当0 | x x0 |
且 x N ( x0 ) 时, 恒有 | f ( x) a |
那么称当x 时，函数f ( x)以 a 为极限,记作 lim f ( x) a 或 f ( x) a ( x )
x
此时称当x 时, f ( x) 存在极限.
定义3.1 设 f : (, ] R是任一函数, R, 如果存在常数a R, 满足 : 0, X 0, 使得x X , 恒有 | f ( x) a | ,
证明 当 x0 0 时 ,
lim
x x0
x
x0 .
证明 : 因为 | x x0 |
x x0 x x0
1 x0
|
x
x0
|.
对 0 , 要使 | x x0 | ,
只需| x x0 | x0 .
所以取 x0 ,
则当0 | x x0 | , 且x 0时，
有
|
x
x0
| 所以
lim
平 面 带 形( , ) (a , a )内 。
y
y f (x)
a
a
a
x
பைடு நூலகம்
X
X
o
类似可定义：lim f ( x) a, lim f (x) a
x
x
易证：
lim f ( x) a lim f ( x) lim f ( x) a
x
x
x
定义3.1 设 f : ( ,] R是任一函数, R, 如果存在常数a R, 满足 : 0, X 0, 使得x X , 恒有 | f ( x) a | ,
那么称当x 时，函数f ( x)以 a 为极限,记作 lim f ( x) a 或 f ( x) a ( x )
x
此时称当x 时, f ( x) 存在极限.
上述定义的几何意义是：
任 给 0,总 能 在x轴上找到对称 点X , X , 使 得
函 数 图 象Grf {(x, y) | y f ( x)} 在 直 线x X右 边, x X左边的部分全 部位于
函数的极限
1. x 时f ( x)的极限
x 是指x取正值无限趋大， x 是指x取负值而| x | 无限趋大，
x 是指 x 无限增大。
x
x
x
o
x
定义3.1(函数极限) 设 f : 在 | x | ( R)有定义
如果存在常数a R, 满足 :
0, X 0, 使得 | x | X , 恒有 | f ( x) a | ,