二次函数与等腰三角形存在性问题

二次函数与等腰三角形存在性问题
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ﻩ
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学生姓名学管师
学科
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年级上课时间月日__ :00-- __ :00 课题
名称
等腰三角形的存在问题
教学
重点
教学过程
1.（2011•湘潭）如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交ｙ轴于Ｂ点，过A、Ｂ两点的抛物线交
x轴于另一点C(3，0)．
(1）求抛物线的解析式;
(2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABＱ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标;若不存在，请说明理由．
2.(2０１1•淮安）如图．已知二次函数y=﹣x2+bｘ＋３的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，
与ｙ轴交于点B.
（1)求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．
3.(2011•郴州)如图,在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是(0，1)和(1，0),P是线段
AB上的一动点(不与A、Ｂ重合），坐标为（m，1﹣ｍ)(m为常数）.
（１）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；
（2）当P点在线段AB上移动时,过O、Ｐ、Ｂ三点的抛物线的对称轴是否会随着Ｐ的移动而改变; （3）当P移动到点()时,请你在过O、Ｐ、Ｂ三点的抛物线上至少找出两点,使每个点都能与
P、B两点构成等腰三角形,并求出这两点的坐标．
4.（２0１１•重庆市綦江县潭已知抛物线y＝ax２+bｘ＋c（a＞０)的图象经过点B(１2,0）和C（0，
-6），对称轴为x＝２．
(1）求该抛物线的解析式:
（２）点D在线段AＢ上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AＢ以每秒１个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由;
（３)在（2)的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形?若存在,请求出所有点M 坐标；若不存在,请说明理由.
4.(2０1１•贵港)如图,已知直线ｙ＝﹣x ＋2与抛物线ｙ=a （x+2)2相交于A 、B 两点，点
Ａ在y 轴上，M 为抛物线的顶点.
(１)请直接写出点A 的坐标及该抛物线的解析式;
(2)若Ｐ为线段AB 上一个动点（A 、Ｂ两端点除外）,连接PM ，设线段P Ｍ的长为l ，点P 的横坐标为x,请求出l 2与x 之间的 函数关系,并直接写出自变量x 的取值范围；
(3）在(2)的条件下,线段AB 上是否存在点Ｐ，使以A 、M 、Ｐ为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由．
C
A
B y x
O P D Q
5.（２010•徐州)如图,已知二次函数y＝的图象与y轴交于点A,与x轴交于
B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC.
(1)点A的坐标为_______＿_,点C的坐标为____＿＿___；
(2)线段AＣ上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在，请说明理由；
（３）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接ＰA、PＣ，若所得△ＰAC的面积为S,则S取何值时,相应的点Ｐ有且只有2个？
6.(2０10•鄂州)如图,在直角坐标系中,A（﹣1，0）,B(０,2),一动点Ｐ沿过B点且垂直于AB
的射线ＢM运动,Ｐ点的运动速度为每秒1个单位长度,射线BM与x轴交于点C.
（１）求点C的坐标．
(２）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式.
（3)若P点开始运动时，Q点也同时从C点出发，以Ｐ点相同的速度沿x轴负方向向点Ａ运动，ｔ秒后,以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．(点P到点C时停止运动,点Q也同时停止运动)，求t的值．
（４）在（2）（３)的条件下，当CQ＝CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标.
7.（２010•锦州)如图，抛物线与x轴交于A（ｘ1，0)，Ｂ(x2,０）两点，且ｘ1＞ｘ２,与y
轴交于点C（０,4)，其中x１,x2是方程x２﹣2ｘ﹣８=０的两个根.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2）点Ｐ是线段ＡＢ上的动点,过点P作PE∥ＡC,交ＢＣ于点E,连接CP，当△CＰＥ的面积最大时，求点P的坐标；
（3)探究:若点Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Ｑ，使△ＱＢC成为等腰三角形,若存在，请直接写出所有符合条件的点Ｑ的坐标；若不存在，请说明理由．
8.(２011•柳州)如图,一次函数ｙ＝﹣4x﹣４的图象与x轴、y轴分别交于Ａ、Ｃ两点，抛物
线ｙ=x2+bx+c的图象经过Ａ、Ｃ两点，且与ｘ轴交于点B.
(1)求抛物线的函数表达式;
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ＡＢＤC的面积；
（3）作直线MN平行于x轴,分别交线段ＡＣ、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△ＰMN是等腰直角三角形？如果存在,求出所有满足条件的Ｐ点的坐标;如果不存在,请说明理由.
9.（2０11•广元）如图,抛物线y=ax2+2ax+c（ａ≠0）与y轴交于点C(0，4),与x轴交于点Ａ
（﹣4，0）和B.
(1）求该抛物线的解析式；
(２)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E，连接CQ．当△CＥＱ的面积最大时,求点Q的坐标;
（3)平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点Ｐ,与直线AＣ交于点Ｆ,点D的坐标为(﹣2,0）.问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形?若存在，请求出点F的坐标;若不存在，请说明理由.
10.（２０１1•东营）在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在
两坐标轴上,且点A(0，２),点Ｃ（1，0),如图所示,抛物线y＝ax2﹣aｘ﹣2经过点B．
(１)求点B的坐标;
（２）求抛物线的解析式；
(３）在抛物线上是否还存在点P(点B除外）,使△ACＰ仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在,求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11.(２01０•潼南县）如图，已知抛物线y=+ｂx＋c与y轴相交于C，与ｘ轴相交于A、
B，点A的坐标为（２，０），点C的坐标为(0，﹣1).
（1）求抛物线的解析式；
(２)点Ｅ是线段AC上一动点，过点E作DE⊥ｘ轴于点D,连接DC,当△DCE的面积最大时,求点D 的坐标；
(３)在直线BＣ上是否存在一点P，使△ＡCP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.
12.（２01０•广西北海市县）如图，抛物线y ＝mx 2-（ 4m +4
3
）x ＋3交x 轴于点A 、Ｂ(点Ａ在点B 的左侧）,交y 轴于点C ,直线ｙ=m ｘ－3经过点Ｂ． （１）求抛物线的解析式；
（2）P 为线段ＡB 上的动点,过P 点作PD ∥ＢC ，交抛物线y =m ｘ 2－（ ４m ＋4
3
)ｘ＋3于点D ,连接CP ，当PD 平分∠APC 时，求P 点的坐标；
（3）直线y ＝kx （k <０）交直线y =m ｘ-３于点Q ,交抛物线y ＝mx 2-（ 4m +
4
3
)ｘ＋３于点M ,过M 点作x 轴的垂线,垂足为Ｅ,交直线y ＝mx -3于点N ．△QMN 能否为等腰三角形?若能，求k 的值;若
不能,请说明理由.
13、（2０1０辽宁省阜新市)如图１，抛物线y ＝a ｘ 2+b ｘ－４与x 轴交于A (-1，0)、Ｂ两点(点Ａ在点B 的左侧),与y 轴交于点Ｃ，且OB ＝ＯＣ． （1）求抛物线的函数关系式;
(2)设P 是线段B Ｃ上的动点,过点P 作直线P Ｄ⊥ｘ轴，垂足为D ，交抛物线于点E . ①若B Ｃ分△BD Ｅ的面积为2 ： 3两部分，求点P 的坐标；
②设OD ＝ｍ，△PCD 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式；当m 为何值时,S 有最大值，并求最大值;
（3）如图2，设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,在抛物线上是否存在点Q ，使得△ＱC Ｍ是以QC 为底边的等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由．
y
A O
P B x Q C D
N M
E y
＝
mx －3 y
＝
kx
课后小结上课情况:
课后需再巩固的内容:
配合需求:家长＿__＿____＿_＿__＿＿_________＿________
学管师____＿_____＿___＿________＿_＿_____＿_
y
x
C
B
A O
P
D
E
图1
y
x
C
B
A O M
图2。