2019上海各区中考数学一模压轴题18题图文解析

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2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-18题含详解

专题2020年分类汇编-18题专题一图形的翻折【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sin C＝45，AB＝9，AD＝6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对角线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为．2．（2019秋•青浦区期末）已知，在矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，点E、F分别是边AB、CD的中点，折叠矩形纸片ABCD，折痕BM交AD边于点M，在折叠的过程中，如果点A 恰好落在线段EF上，那么边AD的长至少是cm．3．（2019秋•闵行区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC 上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．4．（2019秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B 所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝．5．（2019秋•崇明区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A＝．6．（2019秋•静安区期末）如图，有一菱形纸片ABCD，∠A＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，联结EF，那么cos∠EFB的值为．专题二图形的旋转【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知矩形ABCD（AB＞BC），将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG 的正切值是．2．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D'、E'，当直线D'E'经过点A时，线段CD'的长为．3．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B 的对应点是点B′，则BB′的长等于．4．（2019秋•松江区期末）如图，矩形ABCD中，AD＝1，AB＝k，将矩形ABCD绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A′BC′D′，联结AD′，分别交边CD，A′B于E、F，如果AE D′F，那么k＝．5．（2019秋•嘉定区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cos A＝35（如图），把△ABC绕着点C按照顺时针的方向旋转，将A、B的对应点分别记为点A'、B'．如果A'B'恰好经过点A，那么点A与点A'的距离为．6．（2019秋•徐汇区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是．7.（2019秋•普陀区期末）如图,在RtΔABC中，∠C=90°，AC=5，sinB=513，点P为边BC上一点，PC=3,将△ABC绕点P旋转得到△A'B'C'(点A，B、C分别与点A'、B'、C'对应).使B'C'∥AB，边A'C'与边AB交于点G，那么A'G 的长等于．专题三其他题型【知识梳理】根据题目中给的知识点，结合所学函数及图形知识解答【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且AD3=AE2，那么DEBC的值是．2．（2019秋•宝山区期末）如图，点A在直线34y x上，如果把抛物线y=x²沿OA方向平移5个单位,那么平移后的抛物线的表达式为__．专题2020年分类汇编-18题专题一图形的翻折【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sin C＝45，AB＝9，AD＝6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对角线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为24 7．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰梯形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】解直角三角形求出BF，AF，再利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，∵FB′⊥AB，∴∠BAF＝90°，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠C，∴sin∠ABC＝sin∠C＝AFBF＝45，设AF＝4k，BF＝5k，则AB＝9＝3k，∴k＝3，∴AF＝12，BF＝15，∵AD∥BF，∴△APD∽△FPB，∴PA AD62=== PF BF155，∴PA＝27AF＝247，故答案为24 7．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．（2019秋•青浦区期末）已知，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝5cm ，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，折叠矩形纸片ABCD ，折痕BM 交AD 边于点M ，在折叠的过程中，如果点A恰好落在线段EF 上，那么边AD ．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】根据已知条件得到AE ＝DF ＝BE ＝CF ，求得四边形AEFD 是矩形，得到EF ＝AD ，∠AEN ＝∠BEN ＝90°，根据折叠的性质得到BN ＝AB ，根据直角三角形的性质得到∠BNE ＝30°，于是得到EN ＝32BN 到结论．【解答】解：如图，∵在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，∴AE ＝DF ＝BE ＝CF ，∴四边形AEFD 是矩形，∴EF ＝AD ，∠AEN ＝∠BEN ＝90°，∵折叠矩形纸片ABCD ，折痕BM 交AD 边于点M ，∴BN ＝AB ，∵BE ＝12AB ，∴BE ＝12BN ，∴∠BNE ＝30°，∵AB ＝5cm ，∴EN ＝32BN∴EF ≥EN 时，点A 恰好落在线段EF 上，即AD∴边AD 的长至少是【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．3．（2019秋•闵行区期末）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝6，点D 在底边BC上，且∠DAC ＝∠ACD ，将△ACD 沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为1．【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得AB BDBM BE=，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴CA CDCB AC=，∴464CD=，∴CD＝83，BD＝BC﹣CD＝103，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴AD DMBD DA=，即8310833DM=，∴DM＝3215，MB＝BD﹣DM＝65，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴AB BD BM BE=，∴BE＝BD BMAB＝1．故答案为：1．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难．4．（2019秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝4或【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；三角形中位线定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A1EF＝90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A1C＝A1E＝4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC＝2A1B＝8，最后利用勾股定理可得AB的长；②当∠A1FE＝90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝4．【解答】解：当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A1EF＝90°时，如图1，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A1C＝AC＝4，∠ACB＝∠A1CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A1EF，∴AC∥A1E，∴∠ACB＝∠A1EC，∴∠A1CB＝∠A1EC，∴A1C＝A1E＝4，Rt△A1CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A1E＝8，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AB=；②当∠A1FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA1＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为或4；故答案为：4；【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．5．（2019秋•崇明区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，D 是AC的中点，点E 在边AB 上，将△ADE 沿DE 翻折，使得点A 落在点A ′处，当A ′E ⊥AB 时，则A ′A ＝2825或425．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用．【分析】分两种情形分别求解，作DF ⊥AB 于F ，连接AA ′．想办法求出AE ，利用等腰直角三角形的性质求出AA ′即可．【解答】解：如图，作DF ⊥AB 于F ，连接AA ′．在Rt △ACB 中，BC 22AB AC -＝6，∵∠DAF ＝∠BAC ，∠AFD ＝∠C ＝90°，∴△AFD ∽△ACB ，∴DF AD AF BC AB AC ==，∴46108DF AF ==，∴DF ＝125，AF ＝165，∵A′E⊥AB，∴∠AEA′＝90°，由翻折不变性可知：∠AED＝45°，∴EF＝DF＝125，∴AE＝A′E＝125+165＝285，∴AA′＝2825，如图，作DF⊥AB于F，当EA′⊥AB时，同法可得AE＝165﹣125＝45，AA AE＝425．故答案为2825或425．【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．6．（2019秋•静安区期末）如图，有一菱形纸片ABCD，∠A＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，联结EF，那么cos∠EFB的值为1 7．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用．【分析】如图，连接BD．设BC＝2a．在Rt△BEF中，求出EF，BF即可解决问题．【解答】解：如图，连接BD．设BC＝2a．∵四边形ABC都是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∠A＝∠C＝60°，∴△BDC是等边三角形，∵DE＝EC＝a，∴BE⊥CD，∴BE=a，∵AB∥CD，BE⊥CD，∴BE⊥AB，∴∠EBF＝90°，设AF＝EF＝x，在Rt△EFB中，则有x2＝（2a﹣x）2+a）2，∴x＝74a，∴AF＝EF＝74a，BF＝AB﹣AF＝4a，∴cos∠EFB＝14774aBFaEF==，故答案为1 7．【点评】本题考查菱形的性质，解翻折变换，直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．专题二图形的旋转【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知矩形ABCD（AB＞BC），将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG的正切值是1．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【专题】平移、旋转与对称；应用意识．【分析】连接BD，BF，EG．利用四点共圆证明∠BEG＝∠BFD＝45°即可．【解答】解：连接BD，BF，EG．由题意：BD＝BF，∠DBF＝90°，∵DG＝GF，∴BG⊥DF，∴∠BGF＝∠BEF＝90°，∴B，G，E，F四点共圆，∠BEG＝∠BFD＝45°，∴∠BEG的正切值是1．故答案为1．【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．2．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D'、E'，当直线D'E'经过点A时，线段CD'的长为【考点】三角形综合题．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【分析】分两种情况：①点A在E'D'的延长线上时；②点A在线段D'E'的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．【解答】解：如图1，当点A在E'D'的延长线上时，∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，∴AB＝＝2，∵点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE∥AC，DE＝12AC＝1，BD＝12BC＝2，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∵将△BDE绕着点B旋转，∴∠BD'E'＝∠BDE＝90°，D'E'＝DE＝1，BD＝BD'＝2，∵在Rt△ABC和Rt△BAD'中，D'B＝AC＝2，AB＝BA，∴Rt△ABC≌Rt△BAD'（HL），∴AD'＝BC，且AC＝D'B，∴四边形ACBD'是平行四边形，且∠ACB＝90°，∴四边形ACBD'是矩形，∴CD'＝AB＝如图2，当点A在线段D'E'的延长线上时，∵∠AD 'B ＝90°，∴AD '=＝4，∴AE '＝AD '﹣D 'E '＝3，∵将△BDE 绕着点B 旋转，∴∠ABC ＝∠E 'BD '，∵'12BE AB =＝BD BC ，∴△ABE '∽△CBD '，∴''AE AB CD BC=，∴'3254CD =，∴CD '故答案为：．【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝4点P 在边BC 上，联结AP ，将△ABP 绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，点B的对应点是点B ′，则BB ′的长等于5．【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】如图，延长AB '交BC 于E ，过点B '作B 'D ⊥AB 于点D ，由勾股定理可求AC 的长，由旋转的性质可求AP＝AM ，∠PAB ＝∠CAE ，AB ＝AB '＝2，通过证明△ABP ∽△CBA ，可得∠PAB ＝∠C ，可得CE ＝AE ，由勾股定理可求CE ，BE 的长，由相似三角形的性质可求B 'D ，BD 的长，即可求解．【解答】解：如图，延长AB '交BC 于E ，过点B '作B 'D ⊥AB 于点D ，∵∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝4，∴AC =＝∵点M 是AC 中点，∴AM ∵将△ABP 绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，∴AP ＝AM ，∠PAB ＝∠CAE ，AB ＝AB '＝2，∵AP 2＝AB 2+PB 2，∴PB ＝1，∵BA PB ＝2＝BC AB，且∠ABP ＝∠ABC ＝90°，∴△ABP ∽△CBA ，∴∠PAB ＝∠C ，∴∠C ＝∠CAE ，∴CE ＝AE ，∵AE 2＝AB 2+BE 2，∴CE 2＝4+（4﹣CE ）2，∴CE ＝AE ＝52，∴BE ＝32，∵B 'D ∥BC ，∴△AB 'D ∽△AEB ，∴''AB AD B D AE AB BE ==，∴'253222AD B D ==，∴AD ＝85，B 'D ＝65，∴BD ＝25，∴BB '=2105，故答案为：5．【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出CE 的长是本题的关键．4．（2019秋•松江区期末）如图，矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝k ，将矩形ABCD 绕着点B顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′，联结AD ′，分别交边CD ，A ′B 于E 、F ，如果AED ′F ，那么k【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】由矩形的性质和旋转的性质可求AD ＝A 'D '＝1，AB ＝A 'B ＝k ，∠A '＝∠DAB ＝90°＝∠DCB ＝∠ABC ，通过证明△ADE ∽△FA 'D '，可得''''AD DE AE A F A D D F==，可求DE ，A 'F 的长，通过证明△A 'D 'F ∽△CEF ，由相似三角形的性质可求解．【解答】解：∵将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′，∴AD ＝A 'D '＝1，AB ＝A 'B ＝k ，∠A '＝∠DAB ＝90°＝∠DCB ＝∠ABC ，∴A 'D '∥BA ∥CD∴∠A 'D 'F ＝∠FEC ＝∠DEA ，且∠D ＝∠A '＝90°，∴△ADE ∽△FA 'D '，∴''''AD DE AE A F A D D F==，且AED ′F ，∴DEA 'D '，A 'FAD ＝22，∵∠A '＝∠DCF ＝90°，∠A 'FD '＝∠EFC ，∴△A 'D 'F ∽△CEF ，∴'''EC FC A D A F =，∴''212222k k A D ---=∴k+1，+1．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求DE ，A 'F 的长是本题的关键．5．（2019秋•嘉定区期末）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，cos A ＝35（如图），把△ABC 绕着点C 按照顺时针的方向旋转，将A 、B 的对应点分别记为点A '、B '．如果A 'B '恰好经过点A ，那么点A 与点A '的距离为365．【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点C 作CE ⊥A 'B '，由锐角三角函数可求AC ＝6，由旋转的性质可得AC ＝A 'C ＝6，∠A '＝∠BAC ，即可求A 'E 的长，由等腰三角形的性质可求AA '的长．【解答】解：如图，过点C 作CE ⊥A 'B '，∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，cos ∠BAC ＝35，∴AC ＝6，∵把△ABC 绕着点C 按照顺时针的方向旋转，∴AC ＝A 'C ＝6，∠A '＝∠BAC ，∵cos ∠A '＝cos ∠BAC ＝＝35，∴A 'E ＝185，∵AC ＝A 'C ，CE ⊥A 'B '，∴AA '＝2A 'E ＝365，故答案我：365．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，求出A 'E 的长是本题的关键．6．（2019秋•徐汇区期末）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形A 'BC 'D '，点A 的对应点A '在对角线AC 上，点C 、D 分别与点C '、D '对应，A ′D '与边BC 交于点E ，那么BE 的长是258．【考点】旋转的性质；相似三角形的性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC ，由勾股定理可求AC ＝5，由面积法可求BF ＝125，由勾股定理可求AF ＝95，由旋转的性质可得AB ＝BA '，∠BAD ＝∠BA 'D '＝90°，可求CA '＝75，由等腰三角形的性质可求HC 的长，通过证明△EHC ∽△ABC ，可得EC BC HC AC ，可求EC 的长，即可求解．【解答】解：如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC ，∵AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC ＝＝＝5，∵S △ABC ＝12AB ×BC ＝12AC ×BF ，∴3×4＝5BF ，∴BF ＝125∴AF 22144925AB BF -=-95，∵将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形A 'BC 'D '，∴AB ＝BA '，∠BAD ＝∠BA 'D '＝90°，且BF ⊥AC ，∴∠BAC ＝∠BA 'A ，AF ＝A 'F ＝95，∠BA 'A +∠EA 'C ＝90°，∴A 'C ＝AC ﹣AA '＝75，∵∠BA 'A +∠EA 'C ＝90°，∠BAA '+∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠EA 'C ，∴A 'E ＝EC ，且EH ⊥AC ，∴A 'H ＝HC ＝12A 'C ＝710，∵∠ACB ＝∠ECH ，∠ABC ＝∠EHC ＝90°，∴△EHC ∽△ABC ，∴BC HC AC EC =∴74105EC =∴EC ＝78，∴BE ＝BC ﹣EC ＝4﹣78＝258，故答案为：258．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，求出HC 的长是本题的关键．7.（2019秋•普陀区期末）如图,在RtΔABC 中，∠C=90°，AC=5，sinB=513，点P 为边BC 上一点，PC=3,将△ABC 绕点P 旋转得到△A'B'C'(点A ，B 、C 分别与点A'、B'、C'对应).使B'C'∥AB ，边A'C'与边AB 交于点G ，那么A'G 的长等于2013．【考点】旋转的性质;解直角三角形；平行线的判定，图形的旋转【专题】矩形菱形正方形；平移，旋转与对称；解直角一角形及其应用；应用意识。

2019年上海初三所有区一模数学压轴题详解

25题汇编1. 相似三角形的分类讨论（宝山）25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分）如图10，已知：梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°，AB ∥DC ，DC =3，AB =5，点 P 在AB 边上，以点A 为圆心AP 为半径作弧交边DC 于点E ，射线EP 与射线CB 交于点F ．（1）若，求DE 的长；（2）联结CP ，若CP=EP ，求AP 的长；（3）线段CF 上是否存在点G ，使得△ADE 与△FGE 相似，若相似，求FG 的值；若不相似，请说明理由．【答案】(1) DE =1；(2)；(3) 【解析】(1)过点A 作AG ⊥CD 交CD 的延长线于点M ……………………… … …1分梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°∴∠DAM =45°∵AB //CD ，AM=CD 且∠ADM =∠DAM =45°，DM=AM =2……… … …1分 ∴Rt △AEM 中，AE=AP =√13，ME =√AE 2−AG 2=3…………… ……1分 ∴DE =1 ……………………………………………………………… ……1分 (2)过点P 作PH ⊥CD ，垂足是点H∵CP=EP ∴EC =2CH ……………………………………… …… 1分设AE=AP=x ，PB =5-x ，EC =10-2x ， BC =2∴Rt △PBC 中，PE=PC=√PB 2+BC 2=√(5−x )2+22=√x 2−10x +29 …… 1分由题意可知AE=AP ，∴∠AEP =∠APE ，∵CP=EP ，∴∠PEC =∠PCE …… …1分13AP =31310+133-PEABCDF（图10）∵AB //CD ∴∠PEC =∠APE ，∴∠PEC =∠APE 且∠PCE =∠AEP ∴△APE ∽△PCE …………………………………………………………1分∴ 即 ……………… ……1分化简得解得，（不合题意舍去） ………………………1分∴当CP=EP 时，AD 为． (3)∵△ADE 是钝角三角形，当点G 在CF 上时，∠GEF 、∠F 必是锐角，∴若△ADE ∽△FGE ，只能∠ADE =∠FGE =135°…………………………… ……1分 ∵Rt △PBF 中,∠F +∠FPB =90° 又∵∠EAP +∠APE +∠AEP =180° ∵∠FPB =∠APE ，∠APE =∠AEP ∴∠EAP =2∠F ∵AB//CD ∴∠DEA =∠EAP ∴∠DEA =2∠F∴必有∠DAE =∠F …………………………………………………………… …… …1分 ∴∠EAP =2∠DAE ∴∠EAP =30°，∠F=∠DAE =15°∴AE=AP =2AM =4，PB =1，EM =，CG=CE=……………… ………1分 ∴EG=∵△ADE ∽△FGE∴∴FG=………………………………1分 ∴当FG =时，△ADE ∽△FGE ．ECEPEP AP =x x x x x x2102910291022-+-=+-0292032=+-x x 313101+=x 313-102=x 31310+3232-56225-FGADEG DE =133-133-（奉贤）25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图11，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB =90°，AD =4，26AB CD ==，E 是边BC 上一点，过点D 、E 分别作BC 、CD 的平行线交于点F ，联结AF 并延长，与射线DC 交于点G ．（1）当点G 与点C 重合时，求:CE BE 的值；（2）当点G 在边CD 上时，设CE m =，求△DFG 的面积；（用含m 的代数式表示）（3）当AFD ∆∽ADG ∆时，求∠DAG 的余弦值．【答案】(1) :1CE BE；(2)26255DFGm S m∆=-；(3) 3cos 5DAG ∠= 【解析】（1）∵CD ∥EF ，DF ∥CE ，∴四边形DFEC 是平行四边形． ······················································ （1分） ∴EF=DC ． ················································································ （1分） ∵26AB CD ==，∴3CD EF ==．∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ． ∵点G 与点C 重合，∴12EF CE AB BC ==．∴:1CE BE ． ····················· （2分）（2）过点C 作CQ ∥AG ，交AB 于点Q ，交EF 于点P ．过点C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ，交EF 于点N ．在Rt △BCM 中，90CMB ，4CM AD ==，3BM AB CD =-=，∴5BC =．∵AB ∥EF ∥CD ，∴GC=PF =AQ ． ∴EP CEBQ BC =．又3EF =，∴365GC m CG -=-． ∴1565mGC m-=-．········································································ （2分） ∴35mDG DC GC m=-=-． ····························································· （1分）∵NE ∥MB ，∴CN CECM BC=．又4CM AD ==，∴45CN m =，45mCN =． ········································ （1分）图11ABC D FEG 备用图ABCD∴2113462254255DFGm m m S DG CN m m∆=••=••=--． ································· （1分）（3）当AFD ∆∽ADG ∆时，∵∠DAB =90°，∴ADG ∆是直角三角形，∴AFD ∆也是直角三角形． ∵90DAF ，90FDA ，∴90DFA． ····························· （1分） ∵90FADADF，90FDC ADF，∴FAD FDC ．∵AB ∥EF ，∴BCEF ．∵四边形DFEC 是平行四边形，∴FDC CEF ．∴BFDC FAD ． ······························································ （1分）在Rt △BCM 中， 90CMB ，3BM AB CD =-=，5BC =，∴3cos 5BM B BC ==． ········································································ （2分） ∴3cos 5DAG ∠=． ·········································································· （1分）（嘉定）25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，点E 是边AD 上一点，EC EM ⊥交AB 于点M ，点N 在射线MB 上，且AE 是AM 和AN 的比例中项. （1）如图8，求证：DCE ANE ∠=∠；（2）如图9，当点N 在线段MB 之间，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN 的长；（3）联结AC ，如果△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长．【答案】(1) 略；(2) 2449=MN ；(3) 29或3【解析】（1）证明：∵AE 是AM 和AN 的比例中项∴ANAEAE AM =……………………1分 ∵A A ∠=∠∴△AME ∽△AEN ∴ANE AEM ∠=∠……………………1分 ∵︒=∠90D ∴︒=∠+∠90DEC DCE ∵EC EM ⊥∴︒=∠+∠90DEC AEM ∴DCE AEM ∠=∠……………………1分 ∴DCE ANE ∠=∠ ………1分（2）∵AC 与NE 互相垂直∴︒=∠+∠90AEN EAC ∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠90AEN ANE ∴EAC ANE ∠=∠ 由（1）得DCE ANE ∠=∠ ∴EAC DCE ∠=∠ ∴DAC DCE ∠=∠tan tan∴ADDCDC DE =……………………1分 ∵6==AB DC , 8=AD , ∴29=DE∴27298=-=AE ……………………1分A 图8BMEDCNA备用图BDCM ENA 图9BDC由（1）得DCE AEM ∠=∠ ∴DCE AEM ∠=∠tan tan ∴DCDEAE AM =∴821=AM ……………………1分 ∵AN AE AE AM = ∴314=AN ……………………1分 ∴2449=MN ……………………1分（3）∵AEM MAE NME ∠+∠=∠,DCE D AEC ∠+∠=∠又︒=∠=∠90D MAE ,由（1）得DCE AEM ∠=∠∴ NME AEC ∠=∠ …………………………1分当△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似时 1）EAC ENM ∠=∠，如图9 ∴EAC ANE ∠=∠ 由（2）得：29=DE ……………………2分 2）ECA ENM ∠=∠，如图10 过点E 作AC EH ⊥，垂足为点H由（1）得DCE ANE ∠=∠ ∴DCE ECA ∠=∠ ∴DE HE =又86tan ===∠AD DC AH HE HAE 设x DE 3=，则x HE 3=，x AH 4=，x AE 5= 又AD DE AE =+ ∴835=+x x ，解得1=x∴33==x DE ……………………2分综上所述，DE 的长分别为29或3．A 图10B MEDCNH25（青浦）．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BC =18，DB =DC =15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE =DF =5． AE 的延长线交边BC 于点G ， AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ．（1）求证：BG =CH ；（2）设AD =x ，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长．【答案】(1) 略；(2)()22096x y x x =<≤+；(3) 3或2 【解析】（1）∵AD//BC ，∴=AD DE BG EB ，=AD DFCH FC． ····················································· （2分） ∵DB =DC =15，DE =DF =5， ∴12==DE DF EB FC ，∴=AD ADBG CH． ············································· （1分） ∴BG ＝CH ． ············································································ （1分）（2）过点D 作DP ⊥BC ，过点N 作NQ ⊥AD ，垂足分别为点P 、Q ．∵DB =DC =15，BC =18，∴BP = CP =9，DP =12． ······························ （1分）∵12==AD DE BG EB ，∴BG = CH =2x ，∴BH =18+2x ． ·························· （1分） ∵AD ∥BC ，∴=AD DN BH NB ，∴182=+x DN x NB ，∴182+15==++x DN DNx x NB DN ， ∴56=+xDN x ． ······································································ （1分）∵AD ∥BC ，∴∠ADN =∠DBC ，∴sin ∠ADN =sin ∠DBC ， ∴=NQ PD DN BD ，∴46=+xNQ x ． ················································· （1分） NHG FEDC AB （第25题图）∴()21142092266=⋅=⋅=<≤++x x y AD NQ x x x x ．························· （2分）（3）∵AD ∥BC ，∴∠DAN =∠FHG ．（i ）当∠ADN =∠FGH 时，∵∠ADN =∠DBC ，∴∠DBC =∠FGH ，∴BD ∥FG ， ············································································ （1分） ∴=BG DF BC DC ，∴51815=BG ，∴BG =6，∴AD =3．·························· （1分）（ii ）当∠ADN =∠GFH 时， ∵∠ADN =∠DBC=∠DCB ，又∵∠AND =∠FGH ，∴△ADN ∽△FCG ． ································································· （1分） ∴=AD FC DN CG ，∴()5182106⋅-=⋅+xx x x ，整理得23290--=x x ，解得 =x =x ． ································· （1分）综上所述，当△HFG 与△ADN 相似时，AD 的长为3（长宁）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）已知锐角MBN ∠的余弦值为53，点C 在射线BN 上，25=BC ，点A 在MBN ∠的内部，且︒=∠90BAC ，MBN BCA ∠=∠．过点A 的直线DE 分别交射线BM 、射线BN 于点D 、E ．点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且MBN EAF ∠=∠．（1）如图1，当BN AF ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设x BF =，y BD =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF ，当ADF ∆与ACE ∆相似时，请直接写出BD 的长．【答案】(1) 16=EF ；(2)157400x y -=（2250≤<x ）；(3) 596或 1172000【解析】（1）∵在 BAC Rt ∆中 ︒=∠90BAC∴53cos cos ==∠=∠BC AC MBN BCA ∵25=BC ∴15=AC2022=-=AC BC AB∵AF BC AC AB S ABC ⋅=⋅=∆2121 ∴12=AF ∵BC AF ⊥ ∴︒=∠90AFC ∴ 34tan tan ==∠=∠AF EF BCA FAE ∴16=EF （2）过点A 作EF AH ⊥于点H ∴ ︒=∠90AHB ∴ 1622=-=AH AB BH∵x BF =，x FH -=16，x FC -=25第25题图如图2BF EC N DA MB FC E N AD M如图1备用图BC NAM∴ 40032)16(122222+-=-+=x x x AF ∵ BCA MBN ∠=∠，EAF MBN ∠=∠∴BCA EAF ∠=∠ 又∵CFA AFE ∠=∠ ∴AFE ∆∽CFA ∆ ∴AFEFCF AF =，FAC AEF ∠=∠， ∴EF FC AF ⋅=2∴EF x x x ⋅-=+-)25(400322∴xx x EF -+-=25400322，xxx x x x BF EF BE --=+-+-=+=25740025400322∵ ACB MBN ∠=∠，FAC AEF ∠=∠，∴BDE ∆∽CFA ∆∴ACBEFC BD =∴1525740025x x x y --=- ∴157400x y -=（2250≤<x ）（3）596或 11720002. 等腰三角形的分类讨论（虹口）25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AB =6，BC =10，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，联结EG 并延长交射线BC 于点F ．（1）如果cos ∠DBC =23，求EF 的长；（2）当点F 在边BC 上时，联结AG ，设AD=x ，ABG BEF S y S ∆∆= ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CG ，如果△FCG 是等腰三角形，求AD 的长．【答案】(1) 9；(2)2236x y x =+（92x ≥）；(3) 454AD =或189191【解析】（1）根据题意得△ABE ≌△GBE ∴BG=AB=6在Rt △BGF 中，BF = 9cos BGDBC=∠ …………………………………………（2分）由△ABE ≌△GBE得∠AEB =∠BEG ∵AD ∥BC ∴∠AEB =∠EBF∴∠BEF =∠EBF∴FE=FB =9………………………………………………………………………（2分）（2）∵AD ∥BC ∴∠ADB =∠GBF 又∵∠A =∠BGF =90° ∴△ABD ∽△GFB∴AD BD BG BF =即2366x x BF+= ∴2636x BF x +=………………………………………………………………（2分）EABCFG∵AD ∥BC ∠A =90° ∴∠ABF =90° ∴∠ABG+∠GBF=90° 又∵∠GBF+∠EFB =90° ∴∠ABG =∠EFB 根据题意得AB=BG 又∵FE=FB∴AB BG FB FE =∴△ABG ∽△EFB …………………………………………………………………（1分）∴2222236()36(36)36ABG BEF S AB x x S BF x x ∆∆===++…………………………………（1分）∴2236x y x =+（92x ≥） ………………………………………………（1分，1分）（3）①点F 在BC 上 ∵∠GFC =∠AEG >90°∵△FCG 是等腰三角形 ∴FG=FC 设FG=FC=a ，则BF=10-a由题意得a 2+62=（10-a ）2 解得165a =∵∠ADB=∠GBF ∴tan ∠ADB = tan ∠GBF即16656AD = 解得454AD = ………………………………………………（2分）②点F 在BC 的延长线上 ∵∠GCF >∠DCF >90°∵△FCG 是等腰三角形 ∴CG=CF∴易得在Rt △BGF 中，BC=CF =10∴FG =∵∠ADB=∠GBF ∴tan ∠ADB = tan ∠GBF即6AD =解得AD =…………………………………………（2分）综合①②，454AD =（黄浦）25．（本题满分14分）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，4AC =，点O 是AB 的中点，点D 是边AC 上一点，DE BD ⊥，交BC 的延长线于点E ，OD DF ⊥，交BC 边于点F ，过点E 作EG AB ⊥，垂足为点G ，EG 分别交BD 、DF 、DC 于点M 、N 、H .（1）求证：DE NEDB OB=；（2）设CD x =，NE y =，求y 关于x 的函数关系式及其定义域；（3）当DEF ∆是以DE 为腰的等腰三角形时，求线段CD 的长.【答案】(1) 略；(2)；(3) 或【解析】（1）证明：∵，，，，.------------------------------------------------------------------------------------------（1分），，，又，∴，-------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∽，---------------------------------------------------------------------------------------（1分）.---------------------------------------------------------------------------------------------------（1分）（2），在Rt 中，tan DEDBE BD∠=，在Rt 中，tan DC DBE BC ∠=，.----------------------------------------------------（1分）又，.--------------------------------------------------------------------------------（1分）∵，，，，，.-------------（2分）（3）∵，，，∵，90ADO FDC ∴∠+∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，90CFD FDC ∴∠+∠=︒，ADO CFD ∴∠=∠，∽.---（1分） ()5026y x x ∴=<≤7843OD DF ⊥90ODB BDF ∴∠+∠=︒DE BD ⊥90EDF BDF ∴∠+∠=︒ODB EDF ∴∠=∠DE BD ⊥EG AB ⊥90BGM EDM ∴∠=∠=︒GMB DME ∠=∠GBM DEM ∠=∠∴NDE ∆ODB ∆DE NEDB OB∴=90BDE BCD ∠=∠=︒BDE ∆BCD ∆DE DC DB BC ∴=DE NEDB OB =NE DC OB BC∴=3BC =4AC =CD x =NE y =532y x∴=()5026y x x ∴=<≤EG AB ⊥90ACB ∠=︒GEB A ∴∠=∠OD DF ⊥∴AOD ∆ENF ∆ABCDOEF HGM N（第25题图），∵∽，，，.------------（1分）若，，90AOD DNF ∴∠=∠=︒，，∴.-----（2分）若，∴点H 是重心，.∵tan tan CEH A ∠=∠，，，，，.-----------------------（2分）综上所述，线段CD 的长为或.（徐汇）25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上(不与点A 、C 重合)，EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ．（1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长．【答案】(1) 72AD =；(2)21610010x x y -+=(016x <<且10)x ≠；(3) 3964或.【解析】（1）过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，∵=CH AHC ACB AC ∆∠在Rt 中，cos ，且4=,105ACB AC ∠=cos ，∴8CH =． ∵222AHC AH CH AC ∆+=在Rt 中，，∴6AH = ……………………………（1分） ∴34AHC ACB ∆∠在Rt 中，tan =，∵AD ∥,,BC DF BC AH BC ⊥⊥且， ∴90AHF HFD DFH ∠=∠=∠=︒，∴四边形AHFD 是矩形，∴6DF AH ==AO OD EN NF ∴=NDE ∆ODB ∆BO ODEN ND∴=AO BO =NF ND ∴=DE EF =NE DF ∴⊥OA AC AD AB ∴=78CD =DE DF =1133HC CD x ==HC BCCE AC∴=49CE x ∴=tan tan CDE DBE ∠=∠CE DC DC BC ∴=43CD ∴=7843（第25题图1）（第25题图）CBB∵,CFDFC DEC EDC ACB DF∆∠∠=∠在Rt 中，tan =且…………………………（1分） ∴39tan ,42CF ACB CF DF =∠==得： ……………………………………………（1分） ∴97822AD HF ==-= ……………………………………………………………（1分）（2）∵AD ∥BC ,∴DAC ACB ∠=∠． ∵EDC ACB ∠=∠,∴EDC DAC ∠=∠．∵ACD ACD ∠=∠,∴CAD ∽CDE ………………………………………（1分） ∴CA CDCD CE=, ∵10,AC EC y ==,∴210CD CA CE y =⋅= …………………………………（1分） ∵222226(8)DFC CD DF FC x ∆=+=+-在Rt 中，∴221610010(8)36,10x x y x y -+=-+=即(016x <<且10)x ≠ ……………（2分）（3）由EDC ACB ∠=∠，EFC EFC ∠=∠得：FCE ∆∽FDC ∆，又AD ∥BC 有FCE ∆∽DAE ∆，∴DAE ∆∽FDC ∆∴当FDC ∆是等腰三角形时，DAE ∆也是等腰三角形 ………………………（1分）∴1,DA DE ︒=当时不存在； ………………………………………………………（1分）2,10AD AE x y ︒==-当时得：120(),6x x ==解得：舍……………………………………………………………（2分）3,sin AMEA ED AME MAE ACB AE︒=∆∠=∠当时在Rt 中由=sin 12143920(),1054xx x y ===-得：，解得：舍………………………………………（2分）∴综上所述，当DFC ∆是等腰三角形时，AD 的长是3964或.3. 直角三角形存在性分类讨论（静安）25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图11，在ABC ∆中，6AB =，9AC =，tan 22ABC ∠=．过点B 作BM //AC ，动点P 在射线BM 上（点P 不与点B 重合），联结PA 并延长到点Q ，使AQC ABP ∠=∠．（1）求ABC ∆的面积；（2）设BP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）联结PC ，如果PQC ∆是直角三角形，求BP 的长．【答案】(1) 略；(2)；(3) 或【解析】（1）过点A 作AH ⊥BC ，交BC 于点H ． ············· （1分）在Rt ABH ∆中，tan 22AHABC BH∠==．设22,AH x BH x ==,由勾股定理得36AB x ==．∴2,42BH x AH === ····················· （1分）在Rt AHC ∆中，∴22229(42)7HC AC AH =-=-=,∴279BC BH HC =+=+=, ·················· （1分） ∴1194218222ABC S BC AH ∆=⋅=⨯⨯=．…………………（1分） (2) 过点A 作AG ⊥BM ，交BM 于点G ． ∵AC BC =, ∴CAB CBA ∠=∠ ∵BM //AC , ∴ABP CAB ∠=∠∴ABP CBA ∠=∠∴42AG AH ==,即2BG BH ==………（1分） ∴2PG x =- 在Rt AGP ∆中，22222(42)(2)436AP AG PG x x x =+=+-=-+（1分）∵BAQ BAC CAQ ∠=∠+∠,BAQ ABP APB ∠=∠+∠,∴APB CAQ ∠=∠又AQC ABP ∠=∠ ················ （1分）()5026y x x ∴=<≤7843 图11ABCPQM第25题ABCPQM GH∴ABP ∆∽CQA ∆ ∴AP BPAC AQ=∴9x y=, 即0)y x => ·········· （2分）(3) 由题意得PQ AP AQ =+=2=由ABP ∆∽CQA ∆得AB APCQ AC= 得 CQ = ········ （1分）如果PCQ ∆是直角三角形，又90AQC ABP ∠=∠≠，故只有两种可能：……（1分） ①90PCQ ∠=，则1cos 3CQ AQC PQ ∠==，即3PQ CQ =， 23=，解得129,14x x ==-（舍）；（2分）②90CPQ ∠=，则1cos 3PQ AQC CQ ∠==，即3CQ PQ =， 23=（1分）综上所述，如果PCQ ∆是直角三角形，BP 的长为9．4. 其他求线段长或线段之比（闵行）25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分、第（2）、（3）小题各5分）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，AD = 5，BC = 15，5cos 13ABC ∠=．E 为射线CD 上任意一点，过点A 作AF // BE ，与射线CD 相交于点F ．联结BF ，与直线AD 相交于点G ．设CE = x ，AGy DG=．（1）求AB 的长；（2）当点G 在线段AD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果23ABEF ABCDS S =四边形四边形，求线段CE 的长．【答案】(1) AB = 13；(2)3923x y x -=（3902x <<）；(3) 136522CE =或【解析】（1）分别过点A 、D 作AM ⊥BC 、DN ⊥BC ，垂足为点M 、N ．∵ AD // BC ，AB = CD ，AD = 5，BC = 15，∴ 11()(155)522BM BC AD =-=-=．……………………………（2分）在Rt △ABM 中，∠AMB = 90°，∴ 55cos 13BM ABM AB AB ∠===． ∴ AB = 13．……………………………………………………………（2分）（2）∵AG y DG =，∴ 1AG DGy DG+=+．即得 51DG y =+．………（1分） ∵ ∠AFD =∠BEC ，∠ADF =∠C ．∴ △ADF ∽△BCE ． ∴51153FD AD EC BC ===．……………………………………………（1分）又∵ CE = x ，13FD x =，AB = CD = 13．即得 1133FC x =+．ABCDEFG（第25题图）ABCD（备用图）∵ AD // BC ，∴ FD DGFC BC =．∴ 5113115133x y x +=+．……………（1分） ∴ 3923xy x-=． ∴ 所求函数的解析式为3923x y x -=，函数定义域为3902x <<．（2分）（3）在Rt △ABM 中，利用勾股定理，得12AM =．∴ 11()(515)1212022ABCD S AD BC AM =+⋅=+⨯=梯形．∵23ABEF ABCDS S =四边形四边形，∴ 80ABEF S =四边形． …………………………（1分）设ADFS S =．由 △ADF ∽△BCE ，13FD EC =，得 9BECS S =．过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ．由题意，本题有两种情况：（ⅰ）如果点G 在边AD 上，则 840ABCD ABEF S S S -==四边形四边形．∴ S = 5．∴ 945BECS S ==．∴ 11154522BECSBC EH EH =⋅=⨯⋅=．∴ 6EH =．由 DN ⊥BC ，EH ⊥BC ，易得 EH // DN ． ∴61122CE EH CD DN ===．又 CD = AB = 13，∴ 132CE =．…………………………………（2分）（ⅱ）如果点G 在边DA 的延长线上，则 9ADFABCD ABEF S S SS ++=四边形四边形．∴ 8200S =．解得 25S =．∴ 9225BECS S ==．∴ 111522522BECS BC EH EH =⋅=⨯⋅=．解得 30EH =． ∴305122CE EH CD DN ===．∴ 652CE =．……………………………（2分） ∴ 136522CE =或．（松江）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ．（1）如果BC =6，AC =8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长；（2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE =2，ED =3，求cosA 的值；（3）联结PD ，如果222BP CD =，且CE =2，ED =3，求线段PD 的长．【答案】(1) 241333BE BP ==；(2)6cos 3A =；(3) 15=PD 【解析】（1）∵P 为AC 的中点，AC =8，∴CP =4……………………………（1分）∵∠ACB =90°，BC =6，∴BP =213……………………………………………（1分） ∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是△ABC 的重心……………（1分） ∴241333BE BP ==…………………………………………………………（1分）（2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ………………………………（1分） ∴CABFDC FD DA BD ==………………………………（1分） ∵BD=DA ，∴FD=DC ，BF=AC …………………（1分） ∵CE=2，ED=3，则CD =5，∴EF =8∴4182===EF CE BF CP …………………………（1分） ∴41=CA CP ，∴13CP PA =，设CP=k ，则P A=3k ，∵PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，∴P A=PB=3k∴k BC 22=，∴k AB 62=，∵k AC 4=，∴6cos 3A =…………（1分）（3）∵∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==∵222BP CD =，∴22BP CD CD BD AB =⋅=⋅……………（1分）（备用图2）ABCD（备用图1）ABCD（第25题图）ABPC DEPE （备用图ABCD F∵∠PBD=∠ABP ，∴△PBD ∽△ABP …………………………（1分） ∴∠BPD=∠A ……………………………………………………（1分） ∵∠A=∠DCA ，∴∠DPE=∠DCP ，∵∠PDE=∠CDP ，△DPE ∽△DCP ，∴DC DE PD ⋅=2…………………………（1分） ∵DE=3,DC=5，∴15=PD …………………………………（1分）（普陀）25．（本题满分14分）如图11，点O 在线段AB 上，22AO OB a ==，60BOP ∠=︒，点C 是射线OP 上的一个动点．（1）如图11①，当90ACB ∠=︒，2OC =，求a 的值；（2）如图11②，当AC =AB 时，求OC 的长（用含a 的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A 作AQ ∥BC ，并使∠QOC=∠B ，求:AQ OQ 的值．【答案】(1) 1334a +=；(2)6OC a a =-+；(3) 165AQ OQ +=【解析】（1）过点C 作CH AB ⊥，H 为垂足． ············································· （1分）∴90CHO CHB ∠=∠=．在Rt △COH 中，60COB ∠=，2OC =．∴1OH =，3CH =． ································································ （1分） ∵22AO OB a ==， ∴21AH a =+，1BH a =-．∵90ACB ∠=，∴90ACH HCB ∠+∠=．A BCPOABCPO图11①图11②∵CH AB ⊥，∴90ACH A ∠+∠=． ∴A HCB ∠=∠．∵90CHA BHC ∠=∠=︒，∴△ACH ∽△CBH ． ·································································· （1分） ∴AH CHCH BH=． ∴2CH AH BH =⋅．∴2(21)(1)a a =+⋅-． ···························································· （1分）∴a =，a =．∴14a =． ············································································ （1分）（2）过点C 作CH AB ⊥，H 为垂足．设OC m =．在Rt △COH 中，60COB ∠=，OC m =．∴12OH m =，2CH =． ·························································· （2分）在Rt △ACH 中，90CHA ∠=︒， ∴222AC AH CH =+．∴2221(3)(2)()22a a m =++． ···················································· （2分）得m a =-，m a =-（不合题意，舍去）．即OC a =-． ······································································ （1分）（3）延长QA 、CO 交于点E ． ∵AQ //BC ，∴E OCB ∠=∠．∵COA AOQ QOC ∠=∠+∠，COA OCB B ∠=∠+∠，QOC B ∠=∠， ∴AOQ OCB ∠=∠．∵QOA E ∠=∠．又∵Q Q ∠=∠，∴△QOA ∽△QEO ． ············································ （1分） ∴AQ AOOQ OE=． ············································································ （1分） ∵AQ //BC ，∴AO EO OB OC =．∴AO OBEO OC=．∴AQ OB OQ OC =． ················· （1分）。

上海市普陀区2019届中考数学一模试卷含答案解析

2019年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如图，BD、CE相交于点A，下列条件中，能推得DE∥BC的条件是（）A．AE：EC=AD：DB B．AD：AB=DE：BC C．AD：DE=AB：BC D．BD：AB=AC：EC2．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，若△ADE的面积为3，则△ABC的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．123．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（）A．B．C．D．4．如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是（）A．B．C．D．5．下列命题中，正确的是（）A．圆心角相等，所对的弦的弦心距相等B．三点确定一个圆C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D．弦的垂直平分线必经过圆心6．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD的中点，如果=，=，那么向量关于、的分解式是（）A．﹣B．﹣+C．+D．﹣﹣二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果，那么=．8．计算：2（+）+（﹣）=．9．计算：sin245°+cot30°•tan60°=．10．已知点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB），如果AP是AB和PB的比例中项，那么AP：AB的值等于．11．在函数①y=ax2+bx+c，②y=（x﹣1）2﹣x2，③y=5x2﹣，④y=﹣x2+2中，y关于x的二次函数是．（填写序号）12．二次函数y=x2+2x﹣3的图象有最点．（填：“高”或“低”）13．如果抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），那么m+n的值等于．14．如图，点G为△ABC的重心，DE经过点G，DE∥AC，EF∥AB，如果DE的长是4，那么CF 的长是．15．半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O 重合，则折痕CD的长为cm．16．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在边AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ 与△ABC相似，那么AP的长等于．17．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB，调整为坡度i=1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米．那么新传送带AC的长是米．18．已知A（3，2）是平面直角坐标中的一点，点B是x轴负半轴上一动点，联结AB，并以AB为边在x轴上方作矩形ABCD，且满足BC：AB=1：2，设点C的横坐标是a，如果用含a的代数式表示D点的坐标，那么D点的坐标是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，点M是边BC的中点=，=（1）填空：=，=（结果用、表示）（2）直接在图中画出向量2+．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）20．将抛物线y=先向上平移2个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（﹣1，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．21．如图，已知AD是⊙O的直径，AB、BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足是点E，BC=8，DE=2，求⊙O的半径长和sin∠BAD的值．22．已知：如图，有一块面积等于1200cm2的三角形纸片ABC，已知底边与底边BC上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC 上，顶点D、G分别在边AB、AC上，求加工成的正方形铁片DEFG的边长．23．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：（1）△ACE∽△BDE；（2）BE•DC=AB•DE．24．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣的图象经过点、A（0，8）、B（6，2）、C（9，m），延长AC交x轴于点D．（1）求这个二次函数的解析式及的m值；（2）求∠ADO的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△MDQ相似，求此时点P的坐标．25．如图，已知锐角∠MBN的正切值等于3，△PBD中，∠BDP=90°，点D在∠MBN的边BN上，点P在∠MBN内，PD=3，BD=9，直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线BM于点A，交射线DN于点C，设=x（1）求x=2时，点A到BN的距离；（2）设△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△ABC因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值．2019年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如图，BD、CE相交于点A，下列条件中，能推得DE∥BC的条件是（）A．AE：EC=AD：DB B．AD：AB=DE：BC C．AD：DE=AB：BC D．BD：AB=AC：EC【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据比例式看看能不能推出△ABC∽△ADE即可．【解答】解：A、∵AE：EC=AD：DB，∴=，∴都减去1得：=，∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴∠D=∠B，∴DE∥BC，故本选项正确；B、根据AD：AB=DE：BC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC，故本选项错误；C、根据AD：DE=AB：BC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC，故本选项错误；D、根据BD：AB=AC：EC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能理解平行线分线段成比例定理的内容是解此题的关键．2．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，若△ADE的面积为3，则△ABC的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】由平行可知△ADE∽△ABC，且=，再利用三角形的面积比等于相似比的平方可求得△ABC的面积．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵D是AB的中点，∴=，∴=（）2=，且S△ADE=3，∴=，∴S△ABC=12，故选D．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（）A ．B ．C ．D ．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据余角的性质，可得∠=∠BCD ，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：A 、在Rt △ABD 中，cosA=，故A 正确；B 、在Rt △ABC 中，cosA=，故B 正确C 、在Rt △BCD 中，cosA=cos ∠BCD=，故C 错误；D 、在Rt △BCD 中，cosA=cos ∠BCD=，故D 正确；故选：C ．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．如果a 、b 同号，那么二次函数y=ax 2+bx+1的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【考点】二次函数的图象．【分析】分a ＞0和a ＜0两种情况根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与y 轴的交点情况分析判断即可得解．【解答】解：a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，对称轴x=﹣＜0，在y轴左边，与y轴正半轴相交，a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，对称轴x=﹣＜0，在y轴左边，与y轴正半轴坐标轴相交，D选项符合．故选D．【点评】本题考查了二次函数图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论．5．下列命题中，正确的是（）A．圆心角相等，所对的弦的弦心距相等B．三点确定一个圆C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D．弦的垂直平分线必经过圆心【考点】命题与定理．【分析】根据有关性质和定理分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；B、不在一条直线上的三点确定一个圆，错误；C、平分弦的直径不一定垂直于弦，错误；D、弦的垂直平分线必经过圆心，正确；故选D【点评】此题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．6．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD的中点，如果=，=，那么向量关于、的分解式是（）A．﹣B．﹣+C．+D．﹣﹣【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，然后连接BD，由三角形法则，求得，又由点M、N分别是边BC、CD的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得答案．【解答】解：如图，连接BD，∵在平行四边形ABCD中，=，=，∴=﹣=﹣，∵点M、N分别是边BC、CD的中点，∴MN∥BD，MN=BD，∴==（﹣）=﹣+．故选B．【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形的中位线的性质．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果，那么=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例设x=2k，y=5k，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵=，∴设x=2k，y=5k，则===．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y可以使计算更加简便．8．计算：2（+）+（﹣）=3+．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：2（+）+（﹣）=2+2+﹣=3+．故答案为：3+．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握去括号法则．9．计算：sin245°+cot30°•tan60°=．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=sin245°+cot30°•tan60°=（）2+×=．故答案为：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10．已知点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB），如果AP是AB和PB的比例中项，那么AP：AB的值等于．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可．【解答】解：∵点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB），AP是AB和PB的比例中项，∴点P是线段AB的黄金分割点，∴AP：AB=，故答案为：．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．11．在函数①y=ax2+bx+c，②y=（x﹣1）2﹣x2，③y=5x2﹣，④y=﹣x2+2中，y关于x的二次函数是④．（填写序号）【考点】二次函数的定义．【分析】根据形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案．【解答】解：①a=0时y=ax2+bx+c是一次函数，②y=（x﹣1）2﹣x2是一次函数；③y=5x2﹣不是整式，不是二次函数；④y=﹣x2+2是二次函数，故答案为：④．【点评】本题考查了二次函数，形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，注意二次项的系数不能为零．12．二次函数y=x2+2x﹣3的图象有最低点．（填：“高”或“低”）【考点】二次函数的最值．【分析】直接利用二次函数的性质结合其开口方向得出答案．【解答】解：∵y=x2+2x﹣3，a=1＞0，∴二次函数y=x2+2x﹣3的图象有最低点．故答案为：低．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，得出二次函数的开口方向是解题关键．13．如果抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），那么m+n的值等于1．【考点】二次函数的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），可知，从而可以得到m、n的值，进而可以得到m+n的值．【解答】解：∵抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），∴，解得m=﹣4，n=5，∴m+n=﹣4+5=1．故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的顶点坐标公式．14．如图，点G为△ABC的重心，DE经过点G，DE∥AC，EF∥AB，如果DE的长是4，那么CF 的长是2．【考点】三角形的重心．【分析】连接BD并延长交AC于H，根据重心的性质得到=，根据相似三角形的性质求出AC，根据平行四边形的判定和性质求出AF，计算即可．【解答】解：连接BD并延长交AC于H，∵点G为△ABC的重心，∴=，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴==，又DE=4，∴AC=6，∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF=DE=4，∴CF=AC﹣AF=2，故答案为：2．【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．15．半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】作MO交CD于E，则MO⊥CD．连接CO．根据勾股定理和垂径定理求解．【解答】解：作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则ME=OE=OC，在直角三角形COE中，CE==，折痕CD的长为2×=（cm）．【点评】作出辅助线，构造直角三角形，根据对称性，利用勾股定理解答．16．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在边AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ与△ABC相似，那么AP的长等于或．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可．【解答】解：∵AC=4，BC=3，∠C=90°，∴AB==5，当△APQ∽△ABC时，=，即=，解得，AP=；当△APQ∽△ACB时，=，即，解得，AP=，故答案为：或．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、正确运用分情况讨论思想是解题的关键．17．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB，调整为坡度i=1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米．那么新传送带AC的长是8米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据题意首先得出AD，BD的长，再利用坡角的定义得出DC的长，再结合勾股定理得出答案．【解答】解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，∵∠ABD=45°，∴AD=BD，∵AB=4，∴AD=BD=ABsin45°=4×=4，∵坡度i=1：，∴==，则DC=4，故AC==8（m）．故答案为：8．【点评】此题主要考查了勾股定理以及解直角三角形的应用等知识，正确得出DC，AD的长是解题关键．18．已知A（3，2）是平面直角坐标中的一点，点B是x轴负半轴上一动点，联结AB，并以AB 为边在x轴上方作矩形ABCD，且满足BC：AB=1：2，设点C的横坐标是a，如果用含a的代数式表示D点的坐标，那么D点的坐标是（2，）．【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．【分析】如图，过C作CH⊥x轴于H，过A作AF⊥x轴于F，AG⊥y轴于G，过D作DE⊥AG于E，于是得到∠CHB=∠AFO=∠AED=90°，根据余角的性质得到∠DAE=∠FAB，推出△BCH∽△ABF，根据相似三角形的性质得到，求得BH=AF=1，CH=BF=，通过△BCH≌△ADE，得到AE=BH=1，DE=CH=，求得EG=3﹣1=2，于是得到结论．【解答】解：如图，过C作CH⊥x轴于H，过A作AF⊥x轴于F，AG⊥y轴于G，过D作DE⊥AG 于E，∴∠CHB=∠AFO=∠AED=90°，∴∠GAF=90°，∴∠DAE=∠FAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABF，∴△BCH∽△ABF，∴，∵A（3，2），∴AF=2，AG=3，∵点C的横坐标是a，∴OH=﹣a，∵BC：AB=1：2，∴BH=AF=1，CH=BF=，∵△BCH∽△ABF，∴∠HBC=∠DAE，在△BCH与△ADE中，，∴△BCH≌△ADE，∴AE=BH=1，DE=CH=，∴EG=3﹣1=2，∴D（2，）．故答案为：（2，）．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的画出图形是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，点M是边BC的中点=，=（1）填空：=，=﹣﹣（结果用、表示）（2）直接在图中画出向量2+．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【考点】*平面向量．【分析】（1）由在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，可求得，然后由点M是边BC的中点，求得，再利用三角形法则求解即可求得；（2）首先过点A作AE∥CD，交BC于点E，易得四边形AECD是平行四边形，即可求得=2，即可知=2+．【解答】解：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，=，∴=3=3，∵点M是边BC的中点，∴==；∴=﹣=﹣（+）=﹣﹣；故答案为：，﹣﹣；（2）过点A作AE∥CD，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴==，∴=﹣=2，∴=+=2+．【点评】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．20．将抛物线y=先向上平移2个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（﹣1，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用二次函数平移的性质得出平移后解析式，进而利用x=0时求出新抛物线与y轴交点的坐标．【解答】解：由题意可得：y=（x+m）2+2，代入（﹣1，4），解得：m1=3，m2=﹣1（舍去），故新抛物线的解析式为：y=（x+3）2+2，当x=0时，y=，即与y轴交点坐标为：（0，）．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确利用二次函数平移的性质得出解析式是解题关键．21．如图，已知AD是⊙O的直径，AB、BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足是点E，BC=8，DE=2，求⊙O的半径长和sin∠BAD的值．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】设⊙O的半径为r，根据垂径定理求出BE=CE=BC=4，∠AEB=90°，在Rt△OEB中，由勾股定理得出r2=42+（r﹣2）2，求出r．求出AE，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，解直角三角形求出即可．【解答】解：设⊙O的半径为r，∵直径AD⊥BC，∴BE=CE=BC==4，∠AEB=90°，在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2=0E2+BE2，即r2=42+（r﹣2）2，解得：r=5，即⊙O的半径长为5，∴AE=5+3=8，∵在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB==4，∴sin∠BAD===．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形的应用，能根据垂径定理求出BE是解此题的关键．22．已知：如图，有一块面积等于1200cm2的三角形纸片ABC，已知底边与底边BC上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC 上，顶点D、G分别在边AB、AC上，求加工成的正方形铁片DEFG的边长．【考点】相似三角形的应用．【分析】作AM⊥BC于M，交DG于N，设BC=acm，BC边上的高为hcm，DG=DE=xcm，根据题意得出方程组求出BC和AM，再由平行线得出△ADG∽△ABC，由相似三角形对应高的比等于相似比得出比例式，即可得出结果．【解答】解：作AM⊥BC于M，交DG于N，如图所示：设BC=acm，BC边上的高为hcm，DG=DE=xcm，根据题意得：，解得：，或（不合题意，舍去），∴BC=60cm，AM=h=40cm，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得：x=24，即加工成的正方形铁片DEFG的边长为24cm．【点评】本题考查了方程组的解法、相似三角形的运用；熟练掌握方程组的解法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．23．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：（1）△ACE∽△BDE；（2）BE•DC=AB•DE．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据邻补角的定义得到∠BDE=∠ACE，即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，由于∠E=∠E，得到△ECD∽△EAB，由相似三角形的性质得到，等量代换得到，即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠ADB=∠ACB，∴∠BDE=∠ACE，∴△ACE∽△BDE；（2）∵△ACE∽△BDE，∴，∵∠E=∠E，∴△ECD∽△EAB，∴，∴，∴BE•DC=AB•DE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣的图象经过点、A（0，8）、B（6，2）、C（9，m），延长AC交x轴于点D．（1）求这个二次函数的解析式及的m值；（2）求∠ADO的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△MDQ相似，求此时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A、B的坐标代入函数解析式求得系数a、c的值，从而得到函数解析式，然后把点C的坐标代入来求m的值；（2）由点A、C的坐标求得直线AC的解析式，然后根据直线与坐标轴的交点的求法得到点D的坐标，所以结合锐角三角函数的定义解答即可；（3）根据相似三角形的对应角相等进行解答．【解答】解：（1）把A（0，8）、B（6，2）代入y=ax2﹣，得，解得，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x+8．把C（9，m），代入y=x2﹣x+8得到：m=y=×92﹣×9+8=5，即m=5．综上所述，该二次函数解析式为y=x2﹣x+8，m的值是5；（2）由（1）知，点C的坐标为：（9，5），又由点A的坐标为（0，8），所以直线AC的解析式为：y=﹣x+8，令y=0，则0=﹣x+8，解得x=24，即OD=24，所以cot∠ADO===3，即cot∠ADO=3；（3）在△APQ与△MDQ中，∠AQP=∠MQD．要使△APQ与△MDQ相似，则∠APQ=∠MDQ或∠APQ=∠DMQ（根据题意，这种情况不可能），∴cot∠APQ=cot∠MDQ=3．作BH⊥y轴于点H，在直角△PBH中，cot∠P==3，∴PH=18，OP=20，∴点P的坐标是（0，20）．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数、一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．25．如图，已知锐角∠MBN的正切值等于3，△PBD中，∠BDP=90°，点D在∠MBN的边BN上，点P在∠MBN内，PD=3，BD=9，直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线BM于点A，交射线DN于点C，设=x（1）求x=2时，点A到BN的距离；（2）设△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△ABC因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）由PD∥AH得到=2，即可；（2）由PD∥AH得到，再由tan∠MBN=3，比例式表示出BC，CD，即可；（3）△ABC 为等腰三角形时，分三种情况①AB=AC ，②CB=CA ，③BC=BA 利用tan ∠MBN=3，建立方程即可．【解答】解：（1）如图1，过点A 作AH ⊥BC ，∵PD ⊥BC ，∴PD ∥AH ，∴=2，∴AH=2PD=6，（2）∵PD ∥AH ，∴=x ，∴AH=PD ×x=3x ，∵tan ∠MBN=3，∴BH=3，∵，∴，∴CD=，∴BC=BD+CD=9+=，∴S △ABC =AH ×BC=×3x ×=，∴y=（1＜x ≤9），（3）①当AB=AC时，∵tan∠PCB=tan∠MBC=3，∴=3，∴CD=1，∴BC=BD+CD=10，∴=10，∴x=5，②当CB=CA时，如图2，过点C作CE⊥AB，BE=AB=x，∵tan∠MBN=3，∴cos∠MBN=，∴=，∴，∴x=；③当BA=BC时，x=，∴x=1+，∴△ABC为等腰三角形时，x=5或或1+．【点评】此题是几何变换的综合题，主要考查平行线分线段成比例定理和锐角三角函数，由平行线分线段成比例定理建立方程是解本题的关键．。

2019上海初三数学一模18题解析

2019年上海市初三一模数学考试18题解析2019.1一、宝山18．如图，Rt △A BC 中，90∠=︒ACB ，4=AC ，5BC =，点P 为AC 上一点，将BCP △沿直线BP 翻折，点C 落在 C '处，连接A C '，若AC BC '∥，那么CP 的长为．【答案】52．【解析】如图，BPC BPC '△≌△， 222A C A D DC A D BC BD '''=-=--=，设(04)CP C P x x '==<<，则4AP x =-，由22252C P A C A P x ''=+⇒=，即CP 的长为52．二、崇明18．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD 中，点M 在CD 边上，连结A M 、BM ，90AMB ∠=︒，则点M 为直角点．若点E 、F 分别为矩形ABCD 边AB 、CD 上的直角点，且5AB =，6BC =，则线段EF 的长为．【答案】6或7．【解析】① 当线段EF AB ⊥时，6EF =； ② 当线段EF 不垂直于AB 时，取CD 中点M ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知11522M E CD ==，从而222111112M F M F M E E F ==-=，∴121F F =，221212117E F F F E F =+=；综上，线段EF 的长为6或7．三、奉贤18．如图，在A BC △中，5AB AC ==，3sin 5C =，将A BC △绕点A 逆时针旋转得到ADE △，点B 、C 分别与点D 、E 对应，A D 与边BC 交于点F ．如果AE BC ∥，那么BF 的长是．【答案】258．【解析】过点A 作AH BC ⊥，垂足为H ，∵5AB AC ==，3sin 5C =，∴B C ∠=∠且28BC CH ==， ∵A BC A DE △≌△，∴BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAF EAC ∠=∠， ∵AE BC ∥，∴EAC C ∠=∠，从而BAF C ∠=∠，于是A BC FBA △∽△，∴258A B BC BF BF A B =⇒=．四、虹口18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC 、BD 的交点，点E 为边AB 的中点，BED △绕着点B 旋转至11BE D △，如果点1D E D 、、在同一直线上，那么1E E 的长为．【答案】610．【解析】过点B 作1DD 的垂线，垂足为H ，由题意，2,42,25BE BD ED ===，由等面积法可得1122BDE S BE A D ED BH =⋅=⋅△，解得45BH =，从而22124522DD DH BD BH ==-=， ∵11D BE DBE ∠=∠，∴1111D BE D BE D BE DBE ∠+∠=∠+∠，即11EBE DBD ∠=∠，又1BE BE =，1BD BD =， ∴11EBE DBD △∽△，∴111610EE BE EE DD BD =⇒=．五、黄浦18．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边A D 上的点，EF BE ⊥，交边CD 于点F ，联结CE 、BF ，如果3tan 4A BE ∠=，那么 :CE BF = ．【答案】45．【解析】由3tan 4A BE ∠=可得::3:4:5AE AB BE =，由一线三直角模型可知，A BE DEF △∽△，∴A B BEDE EF=， ∵AB CD =，∴CD BE CD DE DE EF BE EF =⇒=，从而Rt Rt CDE BEF △∽△，∴45CE CD BF BE ==．六、嘉定18．在A BC △中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，3A C A E =，45CDE ∠=︒（如图），DCE △沿直线DE 翻折，翻折后的点C 落在A BC △内部的点F ，直线A F 与边BC 相交于点G ，如果BG AE =，那么tan B = ．【答案】37．【解析】如图，易得四边形CDFE 为正方形，设(0)A E BG a a ==>，则3AC a =，2FE EC a ==， ∵EF BC ∥，∴FE A E GC A C =，得6GC a =，∴33tan 77A C aB BC a ===．七、金山18．如图，在Rt A BC △中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =．在边AB 上取一点O ，使BO OC =，以点O 为旋转中心，把A BC △逆时针旋转90︒，得到A B C '''△（点A 、B 、C 的对应点分别是点A '、B '、C '），那么 A BC △与A B C '''△的重叠部分的面积是．【答案】14425【解析】如图，易证A BC A FO A DE A DO '△∽△∽△∽△， 224116844A FO A FO A BC A BC S A O S S S A C ⎛⎫⎛⎫===⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△， 3314OD OD AD OA =⇒=⇒='，2211161010010025A DE A DE A BC A BCS A D S S S A B ⎛⎫⎛⎫===⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△，则14425ODEF A FO A DE S S S S ==-=△△重叠．八、静安18．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 所在直线翻折后，点A 与点E 重合，且ED 交BC 于点F ，联结A E ．如果 2tan 3DFC ∠=，那么BD A E的值是．【答案】13．【解析】2222313tan 3DF DFC CD +∠=⇒==，易证Rt Rt BFE DFC △≌△，∴BF DF =，∵90BAE ABD ABD FBD ∠+∠=∠+∠=︒，∴BAE FBD ∠=∠，又AB EB =，∴可证A BE BFD △∽△，∴13BD BF DF A E A B CD ===．九、闵行18．如图，在Rt A BC △中，90ACB ∠=︒，3BC =，4AC =，点D 为边AB 上一点．将BCD △沿直线CD 翻折，点B 落在点E 处，联结A E ．如果AE CD ∥，那么BE = ．【答案】245．【解析】联结BE ，交CD 于点M ，易证DM 为EB 的垂直平分线， ∵AE CD ∥，∴AE EB ⊥，又∵EM M B =，∴D 为AB 中点，∴1522CD A B ==，由等面积法可得1122BCD A BC BM CD S S ⋅==△△，1224255BM BE BM ⇒=⇒==．十、浦东18．将矩形纸片ABCD 沿直线A P 折叠，使点D 落在原矩形ABCD 的边BC 上的点E 处，如果AED ∠的余弦值为35，那么A BBC= ．【答案】2425．【解析】联结DE ，交A P 于点M ，易证A M 为ED 的垂直平分线，由AED ∠的余弦值为35，设3,5(0)EM a A E A D a a ===>，则26ED EM a ==，4AM a =，易证Rt Rt A EM DEC △∽△， ∴42455CD A M CD a ED A E ==⇒=，从而2425A B CD BC A D ==．十一、普陀18．如图，A BC △中，8AB AC ==，3cos 4B =，点D 在边BC 上，将A BD △沿直线A D 翻折得到AED △，点B 的对应点为E ，A E 与边BC 相交于点F ，如果2BD =，那么EF = ．【答案】3215．【解析】过点A 作BC 的垂线，垂足为H ，由题意，6CH =，27A H =，A BD A ED △≌△，∴B E C ∠=∠=∠，2DE BD ==，8AE AB ==，从而可证DEF A CF △∽△， ∴14EF DE CF A C ==，设(0)EF x x =>，则4CF x =，46FH x =-，8AF x =- ∵222AF AH FH =+，∴22(8)28(46)x x -=+-，解得3215x =或0x =（舍），即3215EF =．十二、青浦18．对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S 到图形上的任意一点P 之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的点 S 称为“亮点”．如图，对于封闭图形ABCDE ，1S 是“亮点”， 2S 不是“亮点”，如果AB DE ∥，AE DC ∥，2AB =，1AE =，60B C ∠=∠=︒，那么该图形中所有“亮点”组成的图形的面积为．【答案】3．【解析】由“亮点”的定义，可得所有“亮点”组成的图形为图中的正三角形EFG ，其边长为1，∴面积为3．十三、松江18．如图，在直角坐标平面xOy 中，点A 坐标为(3,2)，90AOB ∠=︒，30OAB ∠=︒，AB 与x 轴交于点C ，那么:AC BC 的值为．【答案】23．【解析】如图，过点A 、B 作y 轴的垂线，垂足为D 、E ，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为F 、G ，于是，由题意可得3,2,3OAA D OD OB===，由一线三直角模型可知，A OD OBE △∽△， ∴23,3A O OD A D BE OE OB BE OE ==⇒==，易证，CGA CFB △∽△，∴233A C A G OD BC BF OE ====．十四、徐汇18．在梯形ABCD 中，AB DC ∥，90B ∠=︒，6BC =，2CD =，3tan 4A =．点E 为BC 上一点，过点E 作EF AD ∥交边AB 于点F ．将BEF △沿直线EF 翻折得到GEF △，当EG 过点D 时，BE 的长为．【答案】6512．【解析】如图，过点D 作EF 的垂线，垂足为H ，交BC 于点I ，∵EF AD ∥，∴A EFB ∠=∠，由同角的余角相等，可得EFB DIC ∠=∠， ∵3tan 4A =，∴3810tan ,433CD DIC CI DI CI ∠==⇒==，易证，DEH IEH △≌△，∴DH HI =，1523H I DI ==，由34525tan 45412H I DIC EI H I EI ∠=⇒=⇒==，∴712CE CI EI =-=，6512BE BC CE =-=．十五、杨浦18．Rt A BC △中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为．【答案】2413．【解析】如图，A BC A DE △≌△且四边形ACFG 为矩形， ∴2BC DE ==，3AC AE ==，由一线三直角模型可知，A GE EFD △∽△，∴32GE A E FD ED ==，设3,2GE x DF x ==，则33EF x =-，由勾股定理，得222DE DF EF =+，解得513x =，∴点E 到直线BC 的距离243313EF x =-=．十六、长宁18．如图，点P 在平行四边形ABCD 的边BC 上，将A BP △ 沿直线A P 翻折，点B 恰好落在边A D 的垂直平分线上，如果 5AB =，8A D =，4tan 3B =，那么BP 的长为．【答案】257或7．【解析】记A D 的垂直平分线为l 交A D 、BC 分别于点E 、F ，过点A 作BC 的垂线，垂足为H ，由已知条件，易得5AB AB '==，3BH =，223EB A B A E ''=-=，4AH EF ==，7BF =，设(08)BP BP x x '==<<，则7PF x =-，如图，情况一（B 点翻折后的对称点B '在线段EF 上），此时1B F '=，在Rt B PF '△中应用勾股定理，得222B P PF B F ''=+，解得257x =或0x =（舍）；情况二（B 点翻折后的对称点B '在线段EF 的延长线上），此时7B F '=，类似有222B P PF B F ''=+，解得7x =（表示P 与F 重合）或0x =（舍）；综上，BP 的长为257或7．。

上海市静安区2019届中考数学一模试卷含答案解析

2019年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．的相反数是（）A．B．﹣C．D．﹣2．下列方程中，有实数解的是（）A．x2﹣x+1=0 B．=1﹣x C．=0 D．=13．化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是（）A．B．C．x﹣1 D．1﹣x4．如果点A（2，m）在抛物线y=x2上，将抛物线向右平移3个单位后，点A同时平移到点A′，那么A′坐标为（）A．（2，1） B．（2，7） C．（5，4） D．（﹣1，4）5．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC的长为（）A．m•tanα•cosαB．m•cotα•cosαC． D．6．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．化简：（﹣2a2）3=．8．函数的定义域是．9．方程=x﹣1的根为．10．如果函数y=（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，那么常数m的取值范围为．11．二次函数y=x2﹣6x+1的图象的顶点坐标是．12．如果抛物线y=ax2﹣2ax+5与y轴交于点A，那么点A关于此抛物线对称轴的对称点坐标是．13．如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果AE=1，CE=2，那么EF：BF等于．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是重心，如果sinA=，BC=2，那么GC的长等于．15．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，设=，=，那么=．（用向量，的式子表示）16．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B，AB=6，BC=5，AC=4，如果四边形DBCE的周长为10，那么AD的长等于．17．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB=5，BC=8，sinB=，那么tan∠CDE=．18．将▱ABCD（如图）绕点A旋转后，点D落在边AB上的点D′，点C落到C′，且点C′、B、C 在一直线上．如果AB=13，AD=3，那么∠A的余弦值为．三、解答题：（本大题7题，满分78分）19．化简：÷，并求当x=时的值．20．用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3=0．21．如图，直线y=x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=．（1）求点B的坐标；（2）求△OAB的面积．22．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是26.6°，向前走30米到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是45°和33.7°，求该电线杆PQ的高度（结果精确到1米）（备用数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50，cot26.6°=2.00；sin33.7°=0.55，cos33.7°=0.83，tan33.7°=0.67，cot33.7°=1.50）23．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD=AD=AC，AD与CE相交于点F，AE2=EF•EC．（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF；（2）求证：AF•AD=AB•EF．24．如图，直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，二次函数的图象与y轴相交于点C，与直线y=x+1相交于点A、D，CD∥x轴，∠CDA=∠OCA．（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．25．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BC=10，cos∠ACB=，点E在对角线AC上，且CE=AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G，设AD=x，△AEF的面积为y．（1）求证：∠DCA=∠EBC；（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面积．2019年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．的相反数是（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】实数的性质．【专题】计算题．【分析】符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数为﹣，分母有理化得﹣．【解答】解：根据相反数定义得：的相反数为：﹣，分子分母同乘得：﹣．故选：D．【点评】题目考查了相反数和最简二次根式的定义，学生在进行相反数转换后，不要忘记对二次根式进行化简．2．下列方程中，有实数解的是（）A．x2﹣x+1=0 B．=1﹣x C．=0 D．=1【考点】根的判别式；无理方程；分式方程的解．【分析】A、根据△的值判断即可，B、根据二次根式的意义判断即可；C、根据分式方程的解的定义判断即可；D、根据分式方程的解的定义判断即可．【解答】解：A、∵△=1﹣4=﹣3＜0，∴原方程无实数根，B、当1﹣x＜0，即x＞1时，原方程无实数根，C、当x2﹣x=0，即x=1，或x=0时，原方程无实数根，D、∵=1，∴x=﹣1．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程的根得判别式，无理方程的解，分式方程的解，正确的解方程是解题的关键．3．化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是（）A．B．C．x﹣1 D．1﹣x【考点】负整数指数幂．【分析】根据a﹣p=（a≠0，p为正整数）先计算x﹣1，再计算括号里面的减法，然后再次计算（）﹣1即可．【解答】解：原式=（﹣1）﹣1=（）﹣1=．故选：A．【点评】此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数为正整数指数的倒数．4．如果点A（2，m）在抛物线y=x2上，将抛物线向右平移3个单位后，点A同时平移到点A′，那么A′坐标为（）A．（2，1） B．（2，7） C．（5，4） D．（﹣1，4）【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先把A（2，m）代入y=x2得m=4，于是得到A点坐标为（2，4），由于抛物线向右平移3个单位，则抛物线上所有点都右平移3个单位，然后根据点平移的规律可确定点A′坐标．【解答】解：把A（2，m）代入y=x2得m=4，则A点坐标为（2，4），把点A（2，4）向右平移3个单位后所得对应点A′的坐标为（5，4）．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC的长为（）A．m•tanα•cosαB．m•cotα•cosαC． D．【考点】解直角三角形．【专题】探究型．【分析】根据在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，可以用含m和α的三角函数值表示出CD，通过角相等，它们的三角函数值也相等，可以解答本题．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，∴tanα=，∴CD=m•tanα，∵∠ACB=∠A+∠B=90°，∠BDC=∠B+∠BCD=90°，∠A=α，∴∠BCD=α，∴cos∠BCD=，即cos，CD=．故选C．【点评】本题考查解直角三角函数，解题的关键是明确各个三角函数值的意义，利用转化的思想找到所求问题需要的条件．6．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】本题中已知∠BAC=∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．【解答】解：∵∠BAC=∠D，，∴△ABC∽△ADE．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．化简：（﹣2a2）3=﹣8a6．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积得乘方与幂的乘方的运算法则计算即可．【解答】解：（﹣2a2）3=（﹣2）3•（a2）3=﹣8a6．故答案为：﹣8a6．【点评】本题主要考查的是积得乘方与幂的乘方的运算，掌握积得乘方与幂的乘方的运算法则是解题的关键．8．函数的定义域是x≠﹣2．【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】分式有意义，分母不能为0，故分母x+2≠0，解得x的范围．【解答】解：根据题意得：x+2≠0解得x≠﹣2．故答案为x≠﹣2．【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．分式有意义，分母不能为0．9．方程=x﹣1的根为4．【考点】无理方程．【专题】计算题．【分析】首先根据二次根式的基本性质得出x的取值范围，将无理方程两边平方取消二次根号，整理得一元二次方程，解一元二次方程，将解代回x的取值范围验算即可得出答案．【解答】解：由二次根式性质得：x+5≥0，∴x≥5．将=x﹣1两边平方得：x+5=x2﹣2x+1，整理得：x2﹣3x﹣4=0，分解因式：（x﹣4）（x+1）=0，得：x1=4，x2=﹣1，∵x≥5，∴x=4．故答案为：4．【点评】题目考查了无理方程的求解和二次根式的性质，求解无理方程常用的方法是平方法，不过求出的解一定要带回无理方程进行验算，看是否符合二次根式的性质．10．如果函数y=（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，那么常数m的取值范围为1＜m＜3．【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】根据一次函数的性质列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵函数y=（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，∴，解得1＜m＜3．故答案为：1＜m＜3．【点评】本题考查的是一次函数的图象上与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0时，函数图象经过第二、三、四象限是解答此题的关键．11．二次函数y=x2﹣6x+1的图象的顶点坐标是（3，﹣8）．【考点】二次函数的性质．【分析】利用配方法将一般式转化为顶点式，即可得出顶点坐标．【解答】解：∵y=x2﹣6x+1=（x﹣3）2﹣8，∴抛物线顶点坐标为（3，﹣8）．故答案为：（3，﹣8）．【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k）是解决问题的关键．12．如果抛物线y=ax2﹣2ax+5与y轴交于点A，那么点A关于此抛物线对称轴的对称点坐标是（2，5）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】首先求得点A的坐标为（0，5），抛物线y=ax2﹣2ax+5对称轴为x=﹣=1，进一步利用二次函数的对称性求得点A关于此抛物线对称轴的对称点坐标是即可．【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣2ax+5与y轴交于点A坐标为（0，5），对称轴为x=﹣=1，∴点A（0，5）关于此抛物线对称轴的对称点坐标是（2，5）．故答案为：（2，5）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，求得对称轴，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．13．如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果AE=1，CE=2，那么EF：BF等于．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE∥BC，证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到=，由于△DEF∽△BCF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AE=1，CE=2，∴AC=3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵DE∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，故答案为：1：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练正确相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是重心，如果sinA=，BC=2，那么GC的长等于2．【考点】三角形的重心．【分析】根据题意画出图形，根据sinA=，BC=2可得出AB=3BC=6，利用直角三角形的性质求出CE的长，根据三角形重心的性质即可得出结论．【解答】解：如图所示，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=2，∴AB=3BC=6．∵点G是重心，∴CD为△ABC的中线，∴CD=AB=3，∴CG=CD=×3=2．故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形的重心，根据题意画出图形，由锐角三角函数的定义求出AB的长是解答此题的关键．15．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，设=，=，那么=﹣﹣．（用向量，的式子表示）【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，然后过点D作DE∥AB，交BC于点E，易得四边形ABCD是平行四边形，则可求得与，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：如图，过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BE=AD，DE=AB，∵BC=2AD，=，=，∴==，==，∴=﹣=﹣（+）=﹣（+）=﹣﹣．故答案为：﹣﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的判定与性质．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．16．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，∠AED=∠B ，AB=6，BC=5，AC=4，如果四边形DBCE 的周长为10，那么AD 的长等于 4 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题；图形的相似．【分析】由两对角相等的三角形相似，得到三角形AED 与三角形ABC 相似，由相似得比例，表示出AD ，AE ，DE ，根据四边形DBCE 周长求出AD 的长即可．【解答】解：∵∠A=∠A ，∠AED=∠B ，∴△AED ∽△ABC ，∴==，∵AB=6，BC=5，AC=4，∴==，设AD=4k ，AE=6k ，DE=5k ，∵四边形DBCE 周长DB+DE+EC+BC=10，∴6﹣4k+5k+4﹣6k+5=10，解得：k=1，则AD=4．故答案为：4．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．17．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，如果AB=5，BC=8，sinB=，那么tan ∠CDE= ．【考点】平行四边形的性质；解直角三角形．【分析】首先由已知条件和勾股定理计算CE=5，所以CD=AB，进而得到∠CDE=∠CED=∠ADE，所以tan∠CDE=tan∠ADE，于是得到结论．【解答】解：在△ABE中，AE⊥BC，AB=5，sinB=，∴BE=3，AE=4．∴EC=BC﹣BE=8﹣3=5．∵平行四边形ABCD，∴CD=AB=5．∴△CED为等腰三角形．∴∠CDE=∠CED．∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CED．∴∠CDE=∠ADE．在Rt△ADE中，AE=4，AD=BC=8，∴tan∠CDE==，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的运用、勾股定理的运用、平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找到图形中相等的角．18．将▱ABCD（如图）绕点A旋转后，点D落在边AB上的点D′，点C落到C′，且点C′、B、C在一直线上．如果AB=13，AD=3，那么∠A的余弦值为．【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】根据平行四边形的性质得∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=13，再由AB′∥C′D′得∠D′AB′=∠BD′C′，加上∠C=∠DAB，则∠C=∠BD′C′，接着由点C′、B、C在一直线上，AB∥CD 得到∠C=∠C′BD′，所以∠C′BD′=∠BD′C′，可判断△C′BD′为等腰三角形，作C′H⊥D′B，根据等腰三角形的性质得BH=D′H，由于BD′=10得到D′H=5，然后根据余弦的定义得到cos∠HD′C′=，由此得到∠A的余弦值．【解答】解：∵▱ABCD绕点A旋转后得到▱AB′C′D′，∴∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=13，∵AB′∥C′D′，∴∠D′AB′=∠BD′C′，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C=∠DAB，∴∠C=∠BD′C′，∵点C′、B、C在一直线上，而AB∥CD，∴∠C=∠C′BD′，∴∠C′BD′=∠BD′C′，∴△C′BD′为等腰三角形，作C′H⊥D′B，则BH=D′H，∵AB=13，AD=3，∴BD′=10，∴D′H=5，∴cos∠HD′C′==，即∠A的余弦值为．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质．解决本题的关键是证明△C′BD′为等腰三角形．三、解答题：（本大题7题，满分78分）19．化简：÷，并求当x=时的值．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•=，当x=时，原式==﹣．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【解答】解：2x2﹣3x﹣3=0，x2﹣x﹣=0，x2﹣x+=+，（x﹣）2=，x﹣=±，解得：x1=，x2=．【点评】此题考查利用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．21．如图，直线y=x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=．（1）求点B的坐标；（2）求△OAB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题．【分析】（1）用直线求出点A坐标为（3，4），反比例函数解析式y=，设点B坐标为（x，），tanα=，得出=，x=6，得出B点坐标（6，2）；（2）过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，将三角形OAB分为两个三角形，分别求解即可．【解答】解：（1）∵直线y=x与反比例函数的图象交于点A（3，a），∴A（3，4），反比例函数解析式y=，∵点B在这个反比例函数图象上，设B（x，），∵tanα=，∴=，解得：x=±6，∵点B在第一象限，∴x=6，∴B（6，2）．答：点B坐标为（6，2）．（2）设直线OB为y=kx，（k≠0），将点B（6，2）代入得：k=，∴OB直线解析式为：y=x，过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如下图：则点C坐标为：（3，1），∴AC=3S△OAB的面积=S△OAC的面积+S△ACB的面积，=×|AC|×6=9．△OAB的面积为9．【点评】题目考查了一次函数与反比例函数的基本性质．求函数解析式及函数交点是函数常见问题．题目整体较为简单，学生在解决（2）中的面积问题可以利用多种方法求解．22．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是26.6°，向前走30米到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是45°和33.7°，求该电线杆PQ的高度（结果精确到1米）（备用数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50，cot26.6°=2.00；sin33.7°=0.55，cos33.7°=0.83，tan33.7°=0.67，cot33.7°=1.50）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米．在直角△ABE中，∠PBE=45°，则BE=PE=x米；∵∠PAE=26.6°在直角△APE中，AE=PE•cot∠PAE≈2x，∵AB=AE﹣BE=30米，则2x﹣x=30，解得：x=30．则BE=PE=30米．在直角△BEQ中，QE=BE•tan∠QBE=30×tan33.7°=30×0.67≈20.1米．∴PQ=PE﹣QE=30﹣20=10（米）．答：电线杆PQ的高度是10米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路．23．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD=AD=AC，AD与CE相交于点F，AE2=EF•EC．（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF；（2）求证：AF•AD=AB•EF．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAD，∠ADC=∠ACD，推出△EAF∽△ECA，根据相似三角形的性质得到∠EAF=∠ECA，于是得到∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；（2）根据相似三角形的性质得到，即，推出△FAE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到，于是得到FA•AC=EF•AB，等量代换即可得到结论．【解答】证明：（1）∵BD=AD=AC，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠ACD，∵AE2=EF•EC，∴，∵∠E=∠E，∴△EAF∽△ECA，∴∠EAF=∠ECA，∴∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；（2）∵△EAF∽△ECA，∴，即，∵∠EFA=∠BAC，∠EAF=∠B，∴△FAE∽△ABC，∴，∴FA•AC=EF•AB，∵AC=AD，∴AF•AD=AB•EF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，证得△EAF∽△ECA是解题的关键．24．如图，直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，二次函数的图象与y轴相交于点C，与直线y=x+1相交于点A、D，CD∥x轴，∠CDA=∠OCA．（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）首先利用一次函数解析式计算出A、B两点坐标，然后再根据平行线的性质可得∠ACO=∠BAO，再利用三角函数可得CO长，进而可得C点坐标；（2）首先证明△CBD∽△OBA，根据相似三角形的性质可得=，然后可得D点坐标，再设出二次函数解析式，利用待定系数法求出解析式即可．【解答】解：（1）∵函数y=x+1中，当y=0时，x=﹣2，∴A（﹣2，0），∵函数y=x+1中，当x=0时，y=1，∴B（0，1），∵CD∥x轴，∴∠BAO=∠ADC，∵∠CDA=∠OCA，∴∠ACO=∠BAO，∴tan∠ACO=tan∠BAO=，∴CO=4，∴C（0，4）；（2）∵∠AOB=∠OCD=90°，∠BAO=∠BDC=90°，∴△CBD∽△OBA，∴=，∴=，∴CD=6，∴D（6，4），设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，∵图象经过A（﹣2，0），D（6，4），C（0，4），∴，解得：．∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+4．【点评】此题主要考查了一次函数、二次函数以及相似三角形和三角函数的综合应用，关键是掌握一次函数与坐标轴交点的求法，以及待定系数法求二次函数解析式的方法．25．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BC=10，cos∠ACB=，点E在对角线AC上，且CE=AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G，设AD=x，△AEF的面积为y．（1）求证：∠DCA=∠EBC；（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面积．【考点】相似形综合题．【专题】压轴题；数形结合．【分析】（1）由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由AD=CE，AC=BC，利用SAS可得△DCA≌△ECB，由全等三角形的性质可得结论；（2）由AD与BC平行，得到三角形AEF与三角形CEB相似，由相似得比例表示出AF，过E作EH垂直于AF，根据锐角三角函数定义表示出EH，进而表示出y与x的函数解析式，并求出x的范围即可；（3）分两种情况考虑：①当∠FDG=90°时，如图2所示，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，即为x的值，代入求出y的值，即为三角形AEF面积；②当∠DGF=90°时，过E作EM⊥BC于点M，如图3所示，由相似列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而求出y的值，即为三角形AEF面积．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ECB，在△DCA和△ECB中，，∴△DCA≌△ECB（SAS），∴∠DCA=∠EBC；（2）∵AD∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴，即，解得：AF=，作EH ⊥AF 于H ，如图1所示，∵cos ∠ACB=，∴EH=AE=（10﹣x ），∴y=S △AEF =×（10﹣x ）×=，∴y=，∵点G 在线段CD 上，∴AF ≥AD ，即≥x ，∴x ≤5﹣5，∴0＜x ≤5﹣5，∴y 关于x 的函数解析式为：y=，（0＜x ≤5﹣5）；（3）分两种情况考虑：①当∠FDG=90°时，如图2所示：在Rt△ADC中，AD=AC×=8，即x=8，∴S△AEF=y==；②当∠DGF=90°时，过E作EM⊥BC于点M，如图3所示，由（1）得：CE=AF=x，在Rt△EMC中，EM=x，MC=x，∴BM=BC﹣MC=10﹣x，∵∠GCE=∠GBC，∠EGC=∠CGB，∴△CGE∽△BGC，∴=，即=，∵∠EBM=∠CBG，∠BME=∠BGC=90°，∴△BME∽△BGC，∴==，∴=，即x=5，此时y==15，综上，此时△AEF的面积为或15．【点评】此题属于相似型综合题，涉及的知识有：平行线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，利用了分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．。

精品2019届上海中考数学各区一模汇编-03提升题(18、23、24、25题)

2019届一模提升题汇编目录2019届一模提升题汇编目录 (1)Ⅰ第18题（填空小压轴） (3)【2019届一模徐汇】 (3)【2019届一模浦东】 (3)【2019届一模杨浦】 (3)【2019届一模普陀】 (4)【2019届一模奉贤】 (4)【2019届一模松江】 (4)【2019届一模嘉定】 (5)【2019届一模青浦】 (5)【2019届一模青浦】 (5)【2019届一模静安】 (6)【2019届一模宝山】 (6)【2019届一模长宁】 (6)【2019届一模金山】 (7)【2019届一模闵行】 (7)【2019届一模虹口】 (7)Ⅱ第23题（几何证明题） (9)【2019届一模徐汇】 (9)【2019届一模浦东】 (9)【2019届一模杨浦】 (10)【2019届一模普陀】 (10)【2019届一模奉贤】 (11)【2019届一模松江】 (11)【2019届一模嘉定】 (12)【2019届一模青浦】 (12)【2019届一模静安】 (13)【2019届一模宝山】 (13)【2019届一模长宁】 (14)【2019届一模金山】 (14)【2019届一模闵行】 (15)【2019届一模虹口】 (15)Ⅲ第24题（二次函数综合） (16)【2019届一模徐汇】 (16)【2019届一模浦东】 (17)【2019届一模普陀】 (19)【2019届一模奉贤】 (20)【2019届一模松江】 (21)【2019届一模嘉定】 (22)【2019届一模青浦】 (23)【2019届一模静安】 (24)【2019届一模宝山】 (25)【2019届一模长宁】 (26)【2019届一模金山】 (27)【2019届一模闵行】 (28)【2019届一模虹口】 (29)Ⅳ第25题（压轴题） (30)【2019届一模徐汇】 (30)【2019届一模浦东】 (31)【2019届一模杨浦】 (32)【2019届一模普陀】 (33)【2019届一模奉贤】 (34)【2019届一模松江】 (35)【2019届一模嘉定】 (36)【2019届一模青浦】 (37)【2019届一模静安】 (38)【2019届一模宝山】 (39)【2019届一模长宁】 (40)【2019届一模金山】 (41)【2019届一模闵行】 (42)【2019届一模虹口】 (43)Ⅰ第18题（填空小压轴）【2019届一模徐汇】18．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B =90°，BC=6，CD =2，3tan 4A =．点E 为BC 上一点，过点E 作EF ∥AD 交边AB 于点F ．将△BEF 沿直线EF 翻折得到△GEF ，当EG 过点D 时，BE 的长为 ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模浦东】18. 将矩形纸片ABCD 沿直线AP 折叠，使点D 落在原矩形ABCD 的边BC 上的点E 处，如果∠AED 的余弦值为35，那么ABBC =__________.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模杨浦】18．Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =2，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为 ▲ .【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】GEABC DF （第18题图）ACB（第18题图）18．如图5，△ABC 中，8AB AC ==，3cos 4B =，点D 在边BC 上，将△ABD 沿直线AD 翻折得到△AED ，点B 的对应点为点E ，AE 与边BC 相交于点F ，如果2BD =，那么EF = ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模奉贤】18．如图5，在△ABC 中，AB =AC =5，3sin =5C ，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ,点B 、C 分别与点D 、E 对应，AD 与边BC 交于点F ．如果AE //BC ，那么BF 的长是 ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模松江】18．如图，在直角坐标平面xoy 中，点A 坐标为（3，2），∠AOB ＝90°，∠OAB ＝30°，AB 与x 轴交于点C ，那么AC :BC 的值为______．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图5ABCD图5 ABC（第18题图）xyC BOA18．在△ABC 中，︒=∠90ACB ，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，AE AC 3=，︒=∠45CDE (如图3)，△DCE 沿直线DE 翻折，翻折后的点C 落在△ABC 内部的点F ，直线AF 与边BC 相交于点G ，如果AE BG =，那么=B tan ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模青浦】17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，tan ∠CAB=2，将△ABC 绕点A 旋转后，点B 落在AC 的延长线上的点D ，点C 落在点E ，DE 与直线BC 相交于点F ，那么CF= ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模青浦】18．对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S 到图形上的任意一点P 之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的点S 称为“亮点”．如图，对于封闭图形ABCDE ，S 1是 “亮点”，S 2不是“亮点”，如果AB ∥DE ，AE ∥DC ， AB=2，AE=1，∠B=∠C= 60°，那么该图形中所有“亮点” 组成的图形的面积为 ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】 EDCBAS 2S 1（第18题图）18．如图6，将矩形ABCD 沿对角线BD 所在直线翻折后，点A 与点E 重合，且ED 交BC 于点F ，联结AE ．如果2tan 3DFC ∠=，那么BD AE的值是 ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模宝山】18．如图4，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =5，点P 为AC 上一点，将△BCP 沿直线BP 翻折，点C落在C ’处，连接AC ’，若AC ’∥BC ，则CP 的长为 ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模长宁】18．如图，点P 在平行四边形ABCD 的边BC 上，将ABP ∆沿直线AP 翻折，点B 恰好落在边AD 的垂直平分线上，如果5=AB ，8=AD ，34tan =B ，那么BP 的长为 ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】AC（图4）B图6F BA CD EBACD第18题图18．如图，在ABC Rt ∆中，o90=∠C ，8=AC ，6=BC ．在边AB 上取一点O ，使BC BO =，以点O为旋转中心，把ABC ∆逆时针旋转90，得到C B A '''∆（点A 、B 、C 的对应点分别是点A '、B '、C '），那么ABC ∆与C B A '''∆的重叠部分的面积是 ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模闵行】18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 3，AC = 4，点D 为边AB 上一点．将△BCD 沿直线CD 翻折，点B 落在点E 处，联结AE ．如果AE // CD ，那么BE = ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模虹口】18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC 、BD 的交点，点E 为边AB 的中点，△BED 绕着点B 旋转至△BD 1E 1，如果点D 、E 、D 1在同一直线上，那么EE 1的长为 ▲ ．ABC第18题OABC （第18题图）C第18题图A BDE O【】答案请加QQ群712018203见Word教师版Ⅱ第23题（几何证明题）【2019届一模徐汇】23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，已知菱形ABCD ，点E 是AB 的中点，AF BC ⊥于点F ，联结EF 、ED 、DF ，DE 交AF 于点G ，且2AE EG ED =⋅．(1) 求证：DE EF ⊥； (2) 求证：22BC DF BF =⋅．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模浦东】23. （本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图8，在平行四边形ABCD 中，M 是边BC 的中点，E 是边BA 延长线上的一点，联结EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G .（1）求证：GF EFGM EM=; （2）当22BC BA BE =⋅时，求证：∠EMB =∠ACD .【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】GD EF BCA （第23题图）（图8）DCM BAF GE【2019届一模杨浦】23．（本题满分12分，每小题各6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且∠ACD =∠B =∠BAE. （1）求证：AD DEBC AC=；（2）当点E 为CD 中点时，求证：22AE ABCE AD=.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模普陀】23．（本题满分12分）已知：如图9，△ADE 的顶点E 在△ABC 的边BC 上，DE 与AB 相交于点F ，AE AF AB =⋅2，DAF EAC ∠=∠．（1）求证：△ADE ∽△ACB ；（2）求证：DF CEDE CB=．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】（第23题图）EABCDF图9ABCDE23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）已知：如图9，在△ABC 中，点D 在边AC 上，BD 的垂直平分线交CA 的延长线于点E ，交BD 于点F ，联结BE ，EC EA ED •=2．（1）求证：∠EBA =∠C ；（2）如果BD =CD ，求证：AC AD AB •=2．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版答案请加QQ 群712018203见Word 教师版答案请加QQ 群712018203见Word 教师版答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模松江】23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，E 是对角线AC 上一点，且AC ·CE=AD ·BC . （1）求证：∠DCA=∠EBC ；（2）延长BE 交AD 于F ，求证：AB 2=AF ·AD .【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】AB CDEF图9 （第23题图）EDCBAF（第23题图）EDCBA23．（本题满分12分，每小题6分）如图6，已知点D 在△ABC 的外部，AD //BC ，点E 在边AB 上，AE BC AD AB ⋅=⋅．（1）求证：AED BAC ∠=∠；（2）在边AC 取一点F ，如果D AFE ∠=∠，求证：ACAFBC AD =．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模青浦】23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD=AF ，AE CE DE EF ⋅=⋅．（1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE BD EF AF ⋅=⋅，求证：AB=AC ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图6BCDAE FABCDEF（第23题图）23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图9，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 和AB 上，且AD AC =，EB ED =，分别延长ED 、AC 交于点F ．（1）求证：ABD ∆∽FDC ∆；（2）求证：2AE BE EF =⋅．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模宝山】23．（本题满分12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图8所示，电梯AB 的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A 端6米的P 处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B 处的仰角为14°，求电梯AB 的坡度与长度．参考数据：24.014sin ≈︒，25.014tan ≈︒，97.014cos ≈︒.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】Q 9.9米B出口顶部1.5米（图8）AP6米2.4米︒14图9 AC BDEF23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AC 、AB 上，延长DE 、CB 交于点F ，且AC AD AB AE ⋅=⋅．（1）求证：C FEB ∠=∠；（2）联结AF ，若FD CD AB FB =，求证：FB AC AB EF ⋅=⋅．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模金山】23．如图，M 是平行四边形ABCD 的对角线上的一点，射线AM 与BC 交于点F ，与DC 的延长线交于点H ．（1）求证：MH MF AM ⋅=2．（2）若DM BD BC ⋅=2，求证：ADC AMB ∠=∠．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】第23题图CEDABF A BCD HF M第23题23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，在△ABC 中，点D 为边BC 上一点，且AD = AB ，AE ⊥BC ，垂足为点E ．过点D 作DF // AB ，交边AC 于点F ，联结EF ，212EF BD EC =⋅．（1）求证：△EDF ∽△EFC ；（2）如果14EDF ADC S S =V V ，求证：AB = BD ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模虹口】23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是边BC 的中点，DE ⊥AC ，垂足为点E ．（1）求证：DE CD AD CE ⋅=⋅；（2）设F 为DE 的中点，联结AF 、BE ，求证：=AF BC AD BE ⋅⋅．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】AB CDEF（第23题图）D 第23题图AECBⅢ第24题（二次函数综合）【2019届一模徐汇】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线C 1:2(0)y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，AO =OB =2，120AOB ∠=o ．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM ，求AOM S V ；（3）将抛物线C 1向上平移得到抛物线C 2，抛物线C 2与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果△MBF 与△AOM 相似，求所有符合条件的抛物线C 2的表达式．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】（第24题图）【2019届一模浦东】24.（本题满分12分，其中每小题各4分）已知：如图9，在平面直角坐标系xOy中，直线12y x b=-+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. 抛物线244y ax ax=-+经过点A和点B，并与x轴相交于另一点C，对称轴与x轴相交于点D.（1）求抛物线的表达式;（2）求证: △BOD∽△AOB;（3）如果点P在线段AB上，且∠BCP=∠DBO，求点P的坐标.【答案请加QQ群712018203见Word教师版】（图9）x BOAy【2019届一模杨浦】24．（本题满分12分，每小题各4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++?与y 轴交于点C （0,2），它的顶点为D （1,m ），且1tan 3COD ?. （1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA =OB .若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且∠APB =45°.求P 点的坐标.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】O xy 1 2 3 4 1 2 3 45-1-2 -3 -1 -2 -3 （第24题图）24．（本题满分12分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-(0)a ≠与x 轴交于点A ()1,0-和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）如果点E 是y 轴上的一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ⊥时，求点E 的坐标；（3）如果点F 是抛物线上的一点，且135FBD ∠=，求点F 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图10C BAOyx24．（本题满分12分，每小题满分6分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与抛物线2y ax bx =+交于点A (6，0)和点B (1，－5)．（1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式；（2）如果点C 在直线AB 上，且∠BOC 的正切值是32，求点C 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图10ABxyo24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，抛物线c bx x y ++-=221经过点A （﹣2，0），点B （0，4）. （1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标；（3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE ∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO =2OF ，求m 的值.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】(第24题图)y xOBA24．（本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系xOy （如图7）中，抛物线22++=bx ax y 经过点)0,4(A 、)2,2(B ，与y 轴的交点为C ．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M ，求△AMC 的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 在线段AB 上，且︒=∠45DOE ，求点E 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图7 O 11 xy--24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =-平移后经过点A （-1，0）、B （4，0），且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）．（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CD =2，求∠CAD 的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】CB A xyOCB A xyO（第24题图）（备用图）24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中（如图10），已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图像经过点(40)B ，、(53)D ，，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且ABD ∆的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求ADB ∠的正切值；（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当APE ∆与ABD ∆相似时，求点P 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】BD O图10xy﹒﹒24．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）如图9，已知：二次函数2y x bx =+的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P ,一次函数132y x =-的图像交x 轴于点B ，交y 轴于点C , ∠OCA 的正切值为23． (1)求二次函数的解析式与顶点P 坐标；(2)将二次函数图像向下平移m 个单位,设平移后抛物线顶点为P ’,若，求m 的值．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】A B C O yx（图9）24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O 、点)3,1(B ，又与x 轴正半轴相交于点A ，︒=∠45BAO ，点P 是线段AB 上的一点，过点P 作OB PM //，与抛物线交于点M ，且点M 在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若AOB BMP ∠=∠，求点P 的坐标；（3）过点M 作x MC ⊥轴，分别交直线AB 、x 轴于点N 、C ，若ANC ∆的面积等于PMN ∆的面积的2倍，求NCMN 的值．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】第24题图xO A By备用图xO A By24．已知抛物线c bx x y ++=2经过点()6,0A ，点()3,1B ，直线1l ：()0≠=k kx y ，直线2l ：2--=x y ，直线1l 经过抛物线c bx x y ++=2的顶点P ，且1l 与2l 相交于点C ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E .若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线2l 上（此时抛物线的顶点记为M ），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线1l 上（此时抛物线的顶点记为N ）．（1）求抛物线c bx x y ++=2的解析式．（2）判断以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 的位置关系，并说明理由．（3）设点F 、H 在直线1l 上（点H 在点F 的下方），当MHF ∆与OAB ∆相似时，求点F 、H 的坐标（直接写出结果）．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】第24题yxO24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线2y a x b x=+经过点A（5，0）、B（-3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠P AO =∠BAO，求点P的坐标．【答案请加QQ群712018203见Word教师版】x yO（第24题图）24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于原点O 和点B （4，0），点A （3，m ）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan ∠OAB 的值；（3）点D 在抛物线的对称轴上，如果∠BAD =45°，求点D 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】OAy 第24题图xBF EA CB DF E A CB DⅣ第25题（压轴题）【2019届一模徐汇】25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上(不与点A 、C 重合)，EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ．（1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】（第25题图1）（第25题图）25. （本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图10-1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C 重合，小三角尺的顶点D 、E 分别在大三角尺的直角边AC 、BC 上，此时小三角尺的斜边DE 恰好经过大三角尺的重心G . 已知∠A =∠CDE =30°，AB =12. （1）求小三角尺的直角边CD 的长;（2）将小三角尺绕点C 逆时针旋转，当点D 第一次落在大三角尺的边AB 上时（如图10-2），求点B 、E 之间的距离;（3）在小三角尺绕点C 旋转的过程中，当直线DE 经过点A 时，求∠BAE 的正弦值.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】G（图10-1）（图10-2）E DCABDCBAE25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，AD =3，AB =6，DF ⊥DC 分别交射线AB 、射线CB 于点E 、F .（1）当点E 为边AB 的中点时（如图1），求BC 的长；（2）当点E 在边AB 上时（如图2），联结CE ，试问：∠DCE 的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE 的正切值；若不确定，则设AE =x ，∠DCE 的正切值为y ，请求出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当△AEF 的面积为3时，求△DCE 的面积.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】A BC D EF （图1）（第25题图） A B C D E F （图2）25．（本题满分14分）如图11，点O 在线段AB 上，22AO OB a ==，60BOP ∠=︒，点C 是射线OP 上的一个动点．（1）如图11①，当90ACB ∠=︒，2OC =，求a 的值；（2）如图11②，当AC =AB 时，求OC 的长（用含a 的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A 作AQ ∥BC ，并使∠QOC=∠B ，求:AQ OQ 的值．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】A BCPOABCPO图11①图11②25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图11，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB =90°，AD =4，26AB CD ==，E 是边BC 上一点，过点D 、E 分别作BC 、CD 的平行线交于点F ，联结AF 并延长，与射线DC 交于点G ．（1）当点G 与点C 重合时，求:CE BE 的值；（2）当点G 在边CD 上时，设CE m =，求△DFG 的面积；（用含m 的代数式表示）（3）当AFD ∆∽ADG ∆时，求∠DAG 的余弦值．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图11ABC D F E G 备用图ABC D25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ．（1）如果BC =6，AC =8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长；（2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE =2，ED =3，求cosA 的值；（3）联结PD ，如果222BP CD ，且CE =2，ED =3，求线段PD 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】（备用图2）ABCD（备用图1）ABCD（第25题图）ABPC D E25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，点E 是边AD 上一点，EC EM ⊥交AB 于点M ，点N 在射线MB 上，且AE 是AM 和AN 的比例中项. （1）如图8，求证：DCE ANE ∠=∠；（2）如图9，当点N 在线段MB 之间，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN 的长；（3）联结AC ，如果△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】A备用图BD CA 图8B M E DC N A 备用图 BD C ME N A 图9 B D C25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BC =18，DB =DC =15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE =DF =5． AE 的延长线交边BC 于点G ， AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ．（1）求证：BG =CH ；（2）设AD =x ，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】NHG FEDC AB （第25题图）图11ABCPQM25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图11，在ABC ∆中，6AB =，9AC =，tan 22ABC ∠=．过点B 作BM //AC ，动点P 在射线BM 上（点P 不与点B 重合），联结PA 并延长到点Q ，使AQC ABP ∠=∠．（1）求ABC ∆的面积；（2）设BP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）联结PC ，如果PQC ∆是直角三角形，求BP 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分）如图10，已知：梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°，AB ∥DC ，DC =3，AB =5，点 P 在AB 边上，以点A 为圆心AP 为半径作弧交边DC 于点E ，射线EP 与射线CB 交于点F ．（1）若13AP ，求DE 的长；（2）联结CP ，若CP=EP ，求AP 的长；（3）线段CF 上是否存在点G ，使得△ADE 与△FGE 相似，若相似，求FG 的值；若不相似，请说明理由．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】备用图A BCD PEABCDF（图10）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）已知锐角MBN ∠的余弦值为53，点C 在射线BN 上，25=BC ，点A 在MBN ∠的内部，且︒=∠90BAC ，MBN BCA ∠=∠．过点A 的直线DE 分别交射线BM 、射线BN 于点D 、E ．点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且MBN EAF ∠=∠．（1）如图1，当BN AF ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设x BF =，y BD =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF ，当ADF ∆与ACE ∆相似时，请直接写出BD 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】第25题图如图2BF EC N DA MB FC E N AD M如图1备用图BC NAM25．已知多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，联结AC 、FD ，点H 是射线AF 上的一个动点，联结CH ,直线CH 交射线DF 于点G ，作CH MH ⊥交CD 的延长线于点M ，设⊙O 的半径为()0>r r ．（1）求证：四边形ACDF 是矩形．（2）当CH 经过点E 时，⊙M 与⊙O 外切，求⊙M 的半径（用r 的代数式表示）．（3）设()900<<=∠ααHCD ，求点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积（用r 及含α的三角比的式子表示）．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】A B C D EF G O HM第25题图第25题备用图 ABCD E FO25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分、第（2）、（3）小题各5分）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，AD = 5，BC = 15，5cos 13ABC ∠=．E 为射线CD 上任意一点，过点A 作AF // BE ，与射线CD 相交于点F ．联结BF ，与直线AD 相交于点G ．设CE = x ，AGy DG=．（1）求AB 的长；（2）当点G 在线段AD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果23ABEF ABCDS S =四边形四边形，求线段CE 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】ABCDEFG（第25题图）ABCD（备用图）25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AB =6，BC =10，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，联结EG 并延长交射线BC 于点F ．（1）如果cos ∠DBC =23，求EF 的长；（2）当点F 在边BC 上时，联结AG ，设AD=x ，ABG BEFS y S ∆∆= ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CG ，如果△FCG 是等腰三角形，求AD 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】第25题备用图 AB C 第25题图 E A B C F D G。

2019上海初三一模18题

DC CF 4 2 AC 3
AC = AD2 + DC 2 = 4 2 ， AF 4 2 ， AO DO 1 AC 2 2 ，
3
2
FO AO AF 4 2 ，在 Rt△DOF 中， DF = FO2 + DO2 = 4 5 ，
3
3
\ cosÐBDD'= DO = 2 2 = 3 10 BEE' = BDD' \ cos BEE'=cos BDD' = EH
5
BF 5
cos B 8
上海市闵行区高唱老师编辑整理
三. 杨浦区
18．Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=2，将此三角形绕点 A 旋转，当点 B 落在直线 BC
上的点 D 处时，点 C 落在点 E 处，此时点 E 到直线 BC 的距离为
．
【解析】作 BF ^ AD ，垂足为点 F ，由旋转可知，， BC = DE = 2 ， 1 2 3 ， 1+2+5 180 ， 2+3+4 180 ，\Ð4 = Ð5 ． RtDACD 中，
．
【解析】作 FH ^ AB ，垂足为点 H ，由等腰三角形、旋转、 AE BC 易证
1 2 3 4 5 6 7 ，所以， FB = FA ， BH = 1 AB = 5 ． 22
在 RtDFBH 中， sin B= sin C = 3 ， cos B= BH = 4 Þ BF = BH = 25 ．
BH 3 AH =4, BH = 3 ．由翻折可知，AB = AB' = 5, AM = AD = 2 ，四边形 AHNM 是正方形，
\ MB' =

2019年上海市普陀区中考数学一模试卷及答案(word解析版)

上海市普陀区2019年中考数学一模试卷一.选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）B2．（4分）（2019•普陀区一模）某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一3．（4分）（2019•普陀区一模）若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k4．（4分）（2019•普陀区一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）5．（4分）（2019•普陀区一模）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）=；=；==6．（4分）（2019•普陀区一模）已知线段a、b、c，求作第四比例线段x，下列作图正确的．．二.填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2019•普陀区一模）如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是34千米．÷8．（4分）（2019•普陀区一模）把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5﹣5cm．线段分割叫做黄金分割，他们的比值（×﹣原线段的9．（4分）（2019•普陀区一模）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是1：4．10．（4分）（2019•普陀区一模）如果抛物线y=（k﹣1）x2+4x的开口向下，那么k的取值范围是k＜1．11．（4分）（2019•普陀区一模）把抛物线y=x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=（x﹣3）2﹣2．12．（4分）（2019•普陀区一模）二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为﹣1．13．（4分）（2019•普陀区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC= 2．14．（4分）（2019•普陀区一模）如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，那么与相等的向量是和．相等的向量．相等的向量是和．故答案为：和．15．（4分）（2019•普陀区一模）如图，G是△ABC的重心，AG⊥GC，AC=4，则BG的长为4．16．（4分）（2019•普陀区一模）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，tanB=，则△ABC 的面积是12cm2．tanB===tanB==，17．（4分）（2019•普陀区一模）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是210cm．18．（4分）（2019•普陀区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，那么四边形MABN的面积是．=），即可求得四边形）NC=22，=24﹣=18．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2019•普陀区一模）计算：．，﹣20．（10分）（2019•普陀区一模）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．21．（10分）（2019•普陀区一模）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD，AE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）求线段AE的长．22．（10分）（2019•普陀区一模）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°≈，sin63.5°≈，tan63.5°≈2）CBD=，，，﹣=60=1523．（12分）（2019•普陀区一模）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．EM=，即可求得答案．EM=24．（12分）（2019•普陀区一模）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．×=2，）代入，得﹣+时，在POD==不符合题意，舍去，2|2|2）25．（14分）（2019•普陀区一模）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=3；直线BC 与直线B′C′所夹的锐角为60度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．）（=2=。

2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-25题含详解

专题2020年上海各区分类汇编-25题专题一动点函数下的相似三角形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知平行四边形ABCD中，AD AB＝5，tan A＝2，点E在射线AD上，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AE＝m．（1）当点E在边AD上时，①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示）②当S△DCE＝4S△BFG时，求AE：ED的值；（2）当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．2．（2019秋•杨浦区期末）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．专题二动点函数背景下的面积问题【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD ＝AC ，联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E ．（1）当∠CAD ＝90°时，求线段AE 的长．（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，①当∠CAD ＜120°时，设AE ＝x ，y ＝BCE AEFS S ∆∆（其中S △BCE 表示△BCE 的面积，S △AEF 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当BCE AEFS S ∆∆＝7时，请直接写出线段AE 的长．2．（2019秋•松江区期末）已知tan∠MON＝2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD＝2，AB＝m，CF⊥ON，垂足为点F．（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E，当m＝2时，求线段EF的长度．（2）如图（2），联结OC，当m＝2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值．专题三动点函数背景下的等腰三角形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．2．（2019秋•青浦区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝BD＝10，CD＝4，AD＝6．点P是线段BD上的动点，点E、Q分别是线段DA、BD上的点，且DE＝DQ＝BP，联结EP、EQ．（1）求证：EQ∥DC；（2）当BP＞BQ时，如果△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，求线段BP的长；（3）当BP＝m（0＜m＜5）时，求∠PEQ的正切值．（用含m的式子表示）3．（2019秋•闵行区期末）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．4．（2019秋•崇明区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．5．（2019秋•宝山区期末）如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N．（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．专题四动点函数背景下的线段问题【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝3 5，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF（3）如果AG＝8，求DE的长．2．（2019秋•静安区期末）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE•DC，DE：EC＝3：1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG：DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90°，且DF⊥AE时，求DG：DF的值．专题四动点函数背景下四边形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．2．（2019秋•嘉定区期末）已知：点P在△ABC内，且满足∠APB＝∠APC（如图），∠APB+∠BAC＝180°．（1）求证：△PAB∽△PCA；（2）如果∠APB＝120°，∠ABC＝90°，求PCPB的值；（3）如果∠BAC＝45°，且△ABC是等腰三角形，试求tan∠PBC的值．3．（2019秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F．（1）求cos A的值；（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．4．(2019秋•普陀区期末)如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AD=2，BC=5，DC=3，点E在边BC上，tan∠AEC=3，点M是射线DC上一个动点(不与点D、C重合)，联结BM交射线AE于点N，设DM=x，AN=y．(1)求BE的长；(2)当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域；(3)当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM的长．专题2020年上海各区分类汇编-25题专题一动点函数下的相似三角形【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知平行四边形ABCD 中，AD AB ＝5，tan A ＝2，点E 在射线AD 上，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点E ，交射线AB 于点F ，交射线CB 于点G ，联结CE 、CF ，设AE ＝m ．（1）当点E 在边AD 上时，①求△CEF 的面积；（用含m 的代数式表示）②当S △DCE ＝4S △BFG 时，求AE ：ED 的值；（2）当点E 在边AD 的延长线上时，如果△AEF 与△CFG 相似，求m 的值．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；运算能力；推理能力．【分析】（1）①先根据三角函数表示出EF ，再用勾股定理表示出AF ，再判断出△AEF ∽△BGF ，得出比例式表示出CG ，即可得出结论；②先表示出FG ，再用S △DCE ＝4S △BFG 建立方程求出m ，即可得出结论；（2）分两种情况：①当△AEF ∽△CGF 时，得出∠AFE ＝∠CFG ，进而得出BG ＝12BC ＝52，FG ＝BG tan ∠CBFBF ＝52，进而得出AF ＝AB +BF ＝5+52＝152，最后判断出△BGF ∽△AEF ，得出比例式建立方程求解即可得出结论；②当△AEF ∽△CGF 时，先判断出∠AFC ＝90°，进而得出CF ＝2BF ，再根据勾股定理得，求出BF ＝1，得出AF ＝AB +BF ＝6，同理：BG ＝，再判断出△BGF ∽△AEF ，得出比例式建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）①∵EF ⊥AD ，∴∠AEF ＝90°，在Rt △AEF 中，tan A ＝2，AE ＝m ，∴EF ＝AE tan A ＝2m ，根据勾股定理得，AF ，∵AB ＝5，∴BF ＝5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD AD ∥BC ，∴∠G ＝∠AEF ＝90°，∴△AEF ∽△BGF ，∴AE AFBG BF =，∴m BG =，∴BG m ，∴CG ＝BC +BG ＝m ＝m ，∴S △CEF ＝12EF •CG ＝12•2m •（m ）＝m ﹣m 2；②由①知，△AEF ∽△BGF ，∴BF FG AF EF =，∴FG ＝BFAF •EF •2m ＝2m ），∴EG ＝EF +FG ＝2m +2﹣m ）＝∴S △CDE ＝12DE •EG ＝12（m ）•5，S △BFG ＝12BG •FG ＝12m ）•2m ﹣m ）2，S △DCE ＝4S △BFG 时，∴5＝4m ）2，∴m m ＝354，∴DE ＝AD ﹣AE ﹣4＝4，∴AE ：ED ＝354：54＝3，即：AE ：ED 的值为3；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ，AD ∥BC ，∵EF ⊥AD ，∴EF ⊥BC ，∴∠AEF ＝∠CGF ＝90°，∵△AEF 与△CFG 相似，∴①当△AEF ∽△CGF 时，如图1，∴∠AFE ＝∠CFG ，∵EF ⊥BC ，∴BG ＝12BC ＝52，∵AD ∥BC ，∴∠CBF ＝∠A ，∵tan A ＝2，∴tan ∠CBF ＝2，在Rt △BGF 中，FG ＝BG tan ∠CBF根据勾股定理得，BF 52，∴AF ＝AB +BF ＝5+52＝152，∵BC∥AD，∴△BGF∽△AEF，∴BG BFAE AF=，∴，∴m ＝35 2；②当△AEF∽△CGF时，如图2，∴∠EAF＝∠GFC，∵∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠GFC+∠AFE＝90°，∴∠AFC＝90°，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠A，∴tan∠CBF＝tan A＝2，在Rt△BFC中，CF＝BF•∠CBF＝2BF，根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2，∴BF2+4BF2）2，∴BF＝1，∴AF＝AB+BF＝6，在Rt△BGF中，同理：BG ＝5 5，∵AD∥BC，∴△BGF∽△AEF，∴AE AFBG BF=6155=，∴m ＝655．即：如果△AEF与△CFG相似，m 的值为35 2或．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．2．（2019秋•杨浦区期末）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ ，直线PQ 与直线BC 交于点E ，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段BP 的长．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）如图1中，作PH ⊥BC 于H ．解直角三角形求出BH ，PH ，在Rt △PCH 中，理由勾股定理即可解决问题．（2）如图1中，作PH ⊥BC 于H ，连接PQ ，设PC 交BD 于O ．证明△POQ ∽△BOC ，推出∠OPQ ＝∠OBC ＝30°＝∠PCQ ，推出PQ ＝CQ ＝y ，推出PC ，在Rt △PHB 中，BH ＝12x ，PH ＝2x ，根据PC 2＝PH 2+CH 2，可得结论．（3）分两种情形：①如图2中，若直线QP 交直线BC 于B 点左侧于E ．②如图3中，若直线QP 交直线BC 于C 点右侧于E ．分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作PH ⊥BC 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝4，AD ∥BC ，∴∠A +∠ABC ＝180°，∵∠A ＝120°，∴∠PBH ＝60°，∵PB ＝3，∠PHB ＝90°，∴BH ＝PB •cos60°＝32，PH ＝PB •sin60°＝332，∴CH ＝BC ﹣BH ＝4﹣32＝52，∴PC =．（2）如图1中，作PH ⊥BC 于H ，连接PQ ，设PC 交BD 于O ．∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∵∠PCQ ＝30°，∴∠PBO ＝∠QCO ，∵∠POB＝∠QOC，∴△POB∽△QOC，∴PO BOQO CO=，∴PO QOBO CO=，∵∠POQ＝∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，∴PQ＝CQ＝y，∴PC y，在Rt△PHB中，BH＝12x，PH＝32x，∵PC2＝PH2+CH2，∴3y2＝（2x）2+（4﹣12x）2，∴y＝3（0≤x＜8）．（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．此时∠CQE＝120°，∵∠PBC＝60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝PCF＝45°，∴PF＝CF＝，此时PB＝2+2，③如图4中，当点P在AB的延长线上时，∵△QCE 与△BCP 相似，∴∠CQE ＝∠CBP ＝120°，∴∠QCE ＝∠PCB ＝15°，作CF ⊥AB 于F ．∵∠FCB ＝30°，∴∠FCP ＝45°，∴BF ＝12BC ＝2，CF ＝PF ＝23∴PB ＝3﹣2．综上所述，满足条件的PB 的值为3或232．【点评】本题考查相似形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．专题二动点函数背景下的面积问题【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD ＝AC ，联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E ．（1）当∠CAD ＝90°时，求线段AE 的长．（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，①当∠CAD ＜120°时，设AE ＝x ，y ＝BCE AEFS S ∆∆（其中S △BCE 表示△BCE 的面积，S △AEF 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当BCE AEFS S ∆∆＝7时，请直接写出线段AE的长．【考点】三角形综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【分析】（1）过点E 作EG ⊥BC ，垂足为点G ．AE ＝x ，则EC ＝2﹣x ．根据BG ＝EG 构建方程求出x 即可解决问题．（2）①证明△AEF ∽△BEC ，可得22BCE AEF S BE S AE∆∆=，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD ＜120°时，当120°＜∠CAD ＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°．∵AD ＝AC ，∴AD ＝AB ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB +∠BAC +∠CAD ＝180°，∠CAD ＝90°，∠ABD ＝15°，∴∠EBC ＝45°．过点E 作EG ⊥BC ，垂足为点G．设AE ＝x ，则EC ＝2﹣x ．在Rt △CGE 中，∠ACB ＝60°，∴3sin ACB=)2EG EC x =- ∠，1cos ACB=12CG EC x =- ∠，∴BG ＝2﹣CG ＝1+12x ，在Rt △BGE 中，∠EBC ＝45°，∴131)22x x +=-，解得4x =-．所以线段AE的长是4-．（2）①设∠ABD ＝α，则∠BDA ＝α，∠DAC ＝∠BAD ﹣∠BAC ＝120°﹣2α．∵AD ＝AC ，AH ⊥CD ，∴1CAF=DAC=60-2α ∠∠，又∵∠AEF ＝60°+α，∴∠AFE ＝60°，∴∠AFE ＝∠ACB ，又∵∠AEF ＝∠BEC ，∴△AEF ∽△BEC ，∴22BCE AEF S BE S AE∆∆=，由（1）得在Rt △CGE 中，BG ＝1+12x，EG )2x =-，∴BE 2＝BG 2+EG 2＝x 2﹣2x +4，∴2224x x y x-+=（0＜x ＜2）．②当∠CAD ＜120°时，y ＝7，则有7＝2224x x x-+，整理得3x 2+x ﹣2＝0，解得x ＝23或﹣1（舍弃），2AE=3．当120°＜∠CAD ＜180°时，同法可得22+24x x y x +=当y＝7时，7＝22+24x xx，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣23（舍弃）或1，∴AE＝1．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．2．（2019秋•松江区期末）已知tan∠MON＝2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD＝2，AB＝m，CF⊥ON，垂足为点F．（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E，当m＝2时，求线段EF的长度．（2）如图（2），联结OC，当m＝2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值．【考点】相似形综合题．【专题】分类讨论；图形的相似；推理能力．【分析】（1）如图1，延长FC交OM于点G，证∠BCG＝∠MON，在Rt△AOE中，设OE＝a，可求得OA，OG，OF的长，则EF＝OF﹣OE＝65 5；（2）如图2，延长FC交OM于点G，由（1）得CG＝5，推出CO＝CG＝5，在Rt△COB中，由勾股定理求出a的值，得出OF的长，可求出cos∠COF的值，进一步推出sin∠COF的值；（3）需分情况讨论：当D在∠MON内部时，△FDA∽△FDC时，此时CD＝AD＝2，m＝2；当△FDA∽△CDF 时，延长CD交ON于点Q，过F作FP⊥CQ于P，可利用三角函数求出m的值；当D在∠MON外部时，可利用相似的性质等求出m的值．【解答】解：（1）如图1，延长FC交OM于点G，∵∠BCG+∠CGB＝90°，∠MON+∠CGB＝90°，∴∠BCG＝∠MON，则tan∠BCG＝tan∠MON＝2，∴BG＝2BC＝4，CG＝，在Rt△AOE中，设OE＝a，由tan∠MON＝2，可得OA a，则OG+6，OF＝OG＝a+，∴EF＝OF﹣OE＝65 5；（2）如图2，延长FC交OM于点G，由（1）得CG＝∵CD平分∠FCO，∴∠FCD＝∠DCO，∵CD∥OM，∴∠FCD＝∠CGO，∠DCO＝∠COG，∴∠CGO＝∠COG，∴CO＝CG＝在Rt△COB中，由BC2+BO2＝OC2，得22++2）2＝（2，解得a1＝﹣655（舍去），a2＝255，∴OF＝a+5＝5，cos∠COF＝45 OFOC=，∴sin∠COF＝3 5；（3）当D在∠MON内部时，①如图3﹣1，△FDA∽△FDC时，此时CD＝AD＝2，∴m＝2；②当△FDA∽△CDF时，如图3﹣2，延长CD交ON于点Q，过F作FP⊥CQ于P，则∠FDC＝∠FDA＝135°，∴∠FDP＝45°，∵PC＝FP•tan∠PFC＝FP•tan∠MON＝2FP＝2DP＝CD+DP，∴FP＝PD＝CD＝m，∴FD m，∵△FDA∽△CDF，∴FD CD DA FD=，∴FD==，∴m＝1；当D在∠MON外部时，∠ADF＞90°，∠DFC＞90°，∴∠ADF ＝∠DFC ，∴∠DFI ＝∠FDI ，ID ＝IF ，①如图3﹣3，△FDA ∽△DFC 时，此时△FDA ≌△DFC ，∴CF ＝AD ＝2，∵∠DAF ＝∠FCD ＝∠FHD ，∴A 、O 重合，延长BC 交ON 于R ，∴FR ＝2CF ＝4，CR ＝BR ＝，∴m ＝CD ＝AB ＝12BR ＝；②如图3﹣4，△FDA ∽△CFD 时，设CF ＝（t ＞0），延长BC 交ON 于R ，过F 作FS ⊥CD 于S ，∵△DFC ≌△FDH ，∴DH ＝FC ，∴ID ＝IF ＝12CF ，∴IS ＝t ，FS ＝2t ，CS ＝4t ，DS ）t ，DH ＝FC ＝，∵△FDA ∽△CFD ，∴AD DF DF FC=，∴DF 2＝AD •FC ＝2DH ＝t ，∵DF 2＝DS 2+FS 2，∴＝4t 2+）2t 2，解得t 1＝512-，t 2＝0（舍去），∴DH ＝t ＝52＝AD ，矛盾，综上所述：m ＝1或m ＝2，或m ＝【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想的运用．专题三动点函数背景下的等腰三角形【历年真题】1．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．【考点】几何变换综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）证明∠ACD＝∠EDB＝∠B，推出tan∠ACD＝tan∠B，可得AD ACAC AB=，由此构建方程即可解决问题．（2）如图1中，作EH⊥BD于H．证明△ACD∽△HDE，推出AC ADDH EH=，由此构建关系式即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N．利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图3﹣2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．【解答】解：（1）∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠B，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝∠A＝90°，∵∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDH＝90°，∴∠ACD＝∠EDB＝∠B，∴tan∠ACD＝tan∠B，∴AD ACAC AB=，∴334AD=，∴94AD=．（2）如图1中，作EH⊥BD于H．在Rt△ACB中，∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC=5，∵BE＝y，∴EH＝35y，BH＝45y，DH＝AB﹣AD﹣BH＝4﹣x﹣45y，∵∠A＝∠DHE＝90°，∠ACD＝∠EDH，∴△ACD∽△HDE，∴AC AD=DH EH，∴3x=434-x-55y y，∴220594x xyx-=+（0＜x＜4）．（3）①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N∵AC ＝AB ′＝3，AE ⊥CB ′，∴CE ＝'EB ='12CB ＝52，∴AE 22225113()22AC CE -=-，由△ACE ∽△KCA ，可得AK ＝3115，CK ＝185，∴BK ＝AB ﹣AK ＝4﹣3115，∵∠DCK ＝∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ，∴DM ＝DN ，∴181185215252CDK CDB CK DM S DK CK S DB CB BC DN ∆∆===== ，∴BD ＝2543BK ＝10043151143，∴AD ＝AB ﹣BD ＝4﹣（10043151143）＝7242151143．②如图3﹣2中，当CB ′交BA 的延长线于K 时，同法可得BD ＝2543BK ＝10043151143，∴AD ＝AB ﹣BD ＝7242﹣151143．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（2019秋•青浦区期末）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝BD ＝10，CD ＝4，AD＝6．点P 是线段BD 上的动点，点E 、Q 分别是线段DA 、BD 上的点，且DE ＝DQ ＝BP ，联结EP 、EQ ．（1）求证：EQ ∥DC ；（2）当BP ＞BQ 时，如果△EPQ 是以EQ 为腰的等腰三角形，求线段BP 的长；（3）当BP ＝m （0＜m ＜5）时，求∠PEQ 的正切值．（用含m 的式子表示）【考点】相似形综合题．【专题】综合题；运算能力；推理能力．【分析】（1）先利用两边对应成比例，夹角相等，判断出△DEQ ∽△BCD ，得出∠DQE ＝∠BDC ，即可得出结论；（2）先用△DEQ ∽△BCD ，得出比例式表示出EQ ，再分两种情况，建立方程求解，即可得出结论；（3）先判得出△PHQ ∽△BGD ，得出PH PQ HQ BG BD GD ==，进而表示出HQ ＝1025m -，PH ＝26(102)5m -，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠EDQ ＝∠DBC ，∵DE ＝DQ ，BD ＝BC ，∴1DE DQ =，BD BC ＝1，∴DE BD DQ BC=，∴△DEQ ∽△BCD ，∴∠DQE ＝∠BDC ，∴EQ ∥CD ；（2）设BP ＝x ，则DQ ＝x ，QP ＝2x ﹣10，∵△DEQ∽△BCD，∴EQ QDDC BC=，∴410EQ x=，∴EQ＝25x，∵△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，∴Ⅰ、当EQ＝EP时，∴∠EQP＝∠EPQ，∵DE＝DQ，∴∠EQP＝∠QED，∴∠EPQ＝∠QED，∴△EQP∽△DEQ，∴，∴EQ2＝DE•QP，∴（25x）2＝（2x﹣10）•x，解得，x＝0（舍）或x＝12523＜6，即：BP＝12523，Ⅱ、当QE＝QP时，25x＝2x﹣10，解得，x＝254＞6，此种情况不存在，即：BP＝125 23；（3）如图，过点P作PH⊥EQ，交EQ的延长线于点H，过点B作BG⊥DC，垂足为点G，∵BD＝BC，BG⊥DC，∴DG＝2，BG＝，∵BP＝DQ＝m，∴PQ＝10﹣2m，∵EQ∥DC，∴∠PQH＝∠BDG，∵∠PHQ＝∠BGD＝90°，∴△PHQ∽△BGD，∴PH PQ HQBG BD GD==102102m HQ-==，∴HQ＝1025m-，PH＝2)5m-，∴EH＝102255m m-+＝2，∴tan∠PEQ＝PHEH＝2)5m-12⨯＝﹣5m．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，锐角三角函数，用方程的思想解决问题是解本题的关键．3．（2019秋•闵行区期末）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．【考点】相似形综合题．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由点G是Rt△ABC的重心，证明CF⊥AB，即∠AFC＝90°，利用外角的性质即可证明结论；（2）过点B作BH⊥CD于点H，先证△CAD≌△BCH，得出BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，再证△ADE ∽△BHE，利用合比性质即可求出结论；（3）分两种情况讨论，当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，可证AD＝CH＝12CD=1；当CG＝CD时，如图2﹣2，可由重心分别求出CF，AC，CD的长，可由勾股定理求出AD的长．【解答】（1）证明：∵点G是Rt△ABC的重心，∴CF是Rt△ABC的中线，又∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CF⊥AB，即∠AFC＝90°，∵∠DEF＝∠ADE+∠DAE＝∠EFC+∠ECF，且∠ADE＝∠EFC＝90°，∴∠DAB＝∠DCF；（2）解：如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH+∠BCH＝90°，又∵∠BCH+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，又∵∠ADC＝∠CHB＝90°，AC＝CB，∴△CAD≌△BCH，∴BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，∵∠ADC＝∠CHB＝∠BHD＝90°，∴AD∥BH，∴△ADE∽△BHE，∴AD DEBH EH=，∴2x DEEH=，∴22x DE EH DHEH EH++==，∴4-2xEH=x+2，∴2424(02)22x xy CE CH HE x xx x-+==+=+=<≤++；（3）解：当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，那么MD＝MC，联结MG，MG⊥CD，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，又CH ＝AD ，那么AD ＝CH ＝12CD =1；当CG ＝CD 时，如图2﹣2，即CG ＝2，点G 为△ABC 的重心，∴332CF CG ==，∴AB ＝2CF ＝6，∴22AC AB ==，∴AD ==；综上所述，AD ＝1【点评】本题考查了函数，相似三角形的判定与性质，重心的性质等，解题关键是熟练掌握重心的性质．4．（2019秋•崇明区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，点D 为BC 边上的一个动点（点D 不与点B 、点C 重合）．以D 为顶点作∠ADE ＝∠B ，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点F ．（1）求证：AB •CE ＝BD •CD ；（2）当DF 平分∠ADC 时，求AE 的长；（3）当△AEF 是等腰三角形时，求BD 的长．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ，根据三角形的外角性质得到∠BAD ＝∠CDE ，得到△BAD ∽△CDE ，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明DF ∥AB ，根据平行线的性质得到AE BD AC BC =，证明△BDA ∽△BAC ，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点F 在DE 的延长线上、点F 在线段DE 上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∠ADC ＝∠BAD +∠B ，∠ADE ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠CDE ，又∠B ＝∠C ，∴△BAD ∽△CDE ，∴AB BD CD CE=，即AB •CE ＝BD •CD ；（2）解：∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵∠CDE ＝∠BAD ，∴∠ADE ＝∠BAD ，∴DF ∥AB ，∴AE BD AC BC=，∵∠BAD ＝∠ADE ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠C ，又∠B ＝∠B ，∴△BDA ∽△BAC ，∴BD BA BA BC =，即101016BD =解得，254BD =，∴2541016AE =，解得，AE ＝12532；（3）解：作AH ⊥BC 于H ，∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝HC ＝12BC ＝8，由勾股定理得，AH 22221086AB BH -=-=，∴tan B ＝AH BH ＝34，∴tan ∠ADF ＝AF AD ＝34，设AF ＝3x ，则AD ＝4x ，由勾股定理得，DF 22AD AF +＝5x ，∵△BAD ∽△CDE ，∴AD AB DE CD =，当点F在DE的延长线上，FA＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴1042xCD x=，解得，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝11，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴1042.5xCD x=，解得，CD＝254，∴BD＝BC﹣CD＝39 4；当AE＝AF＝3x时，DE＝75x，∴10475xCD x=，解得，CD＝72，∴BD＝BC﹣CD＝252；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有FA＝FE＝3x，则DE＝8x，∴1048x CD x=，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或394或252．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．5．（2019秋•宝山区期末）如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N．（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．【考点】几何变换综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△ODE ∽△OCA ，可得2()DEO OAC S OD S OC∆∆=，即可求解；（2）通过证明△OEM ∽△BAC ，可得∠EOM ＝∠ABC ＝36°，分两种情况讨论可求解；（3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵OC 是△ABC 中AB 边的中线，△ABC 的面积为26，∴S △OAC ＝13，∵DE ∥AC ，∴△ODE ∽△OCA ，∠OEM ＝∠OAC ，∴2()DEO OAC S OD S OC∆∆=，且OD ＝k ⋅OC ，∴S △ODE ＝13k 2，（2）∵△ODE ∽△OCA ，∴OE OD DE k OA OC AC ===，∵OC 是△ABC 中AB 边的中线，点M 是DE 的中点，∴AB ＝2AO ，EM ＝12DE ，∴2OE k EM AB AC==，且∠OEM ＝∠OAC ，∴△OEM ∽△BAC ，∴∠EOM ＝∠ABC ＝36°，如图2，当0＜α＜144°时，∵∠AON ＝∠B +∠ONB ，∴∠AOE +∠EOM ＝∠B +∠ONB ∴y ＝α如图3，当144°＜α＜180°时，∵∠BON ＝∠EOM ﹣∠BOE ＝36°﹣（180°﹣α）∴∠NOB ＝α﹣144°，∵∠BNO ＝∠ABC ﹣∠NOB ＝36°﹣（α﹣144°）＝180°﹣α；（3）当0＜α＜144°时，若OB＝ON，则∠ABC＝∠BNO＝36°＝α，若OB＝BN，则∠ONB＝180362-＝72°＝α，若ON＝BN，则∠ABC＝∠BON＝36°，∴∠ONB＝180°﹣2×36°＝108°＝α，当144°＜α＜180°时，若OB＝BN，则∠N＝∠NOB＝18°＝180°﹣α，∴α＝162°．【点评】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，证明△OEM∽△BAC是本题的关键．专题四动点函数背景下的线段问题【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝3 5，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果AG＝8，求DE的长．【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】（1）求出AC＝3，可得∠DAC＝∠FBC，则tan∠FBC＝tan∠DAC＝23 DCAC=；（2）由条件可得∠AGF＝∠CBF，可得AF CFAG BC=，可用x表示CF和AF的长，求出CD，则S△DAF＝12AF CD，可用x表示结果；（3）分两种情况，①当点D 在BC 的延长线上时，②当点D 在BC 的边上时，可求出AE 长AD 的长，则DE ＝AD ﹣AE 可求出．【解答】解：（1）∵∠ACB ＝90°，BC ＝4，sin ∠ABC ＝35，∴设AC ＝3x ，AB ＝5x ，∴（3x ）2+16＝（5x ）2，∴x ＝1，即AC ＝3，∵BE ⊥AD ，∴∠AEF ＝90°，∵∠AFE ＝∠CFB ，∴∠DAC ＝∠FBC ，∴tan ∠FBC ＝tan ∠DAC ＝23DC AC =；（2）∵AG ∥BD ，∴∠AGF ＝∠CBF ，∴tan ∠AGF ＝tan ∠CBF ，∴AF CF AG BC =，AG AF BC CF =，∴34x CF CF-=，∴124CF x =+．∴12334AF CF x =-=-+＝34x x+．∵∠EAF ＝∠CBF ，∴CD CF AC BC =，∴94CD x =+，∴S △DAF ＝12AF CD ＝2193272442(4)x x x x x ⨯⨯=+++；（3）①当点D 在BC 的延长线上时，如图1，∵AG ＝8，BC ＝4，AG ∥BD ，∴21AG AF BC CF ==，∴AF ＝2CF ，∵AC ＝3，∴AF ＝2，CF ＝1，∴CF 1tan AGE=tan CBF==BC 4∠∠，∴AE 1=GE 4，设AE ＝x ，GE ＝4x ，∴x 2+16x 2＝82，解得x ＝，即AE ．同理tan ∠DAC ＝tan ∠CBF ，∴DC 1=AC 4，∴DC ＝34，∴AD∴DE AD AE=-=②当点D在BC的边上时，如图2，∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，∴8241AG AFBC CF===．∴AF＝6，∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，∴cos∠EAF＝cos∠ABC，∴654AE=，∴245AE=，同理AC BCAD AB=，∴345AD=，∴154AD=．∴DE＝AE﹣AD＝241521 5420-=．综合以上可得DE的长为191768或2120．【点评】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，锐角三角函数等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2019秋•静安区期末）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE•DC，DE：EC＝3：1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG：DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90°，且DF⊥AE时，求DG：DF的值．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理进行判定即可；（2）由相似三角形的性质即可得出答案；（3）由等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案．【解答】解：（1）与△ACD 相似的三角形有：△ABE 、△ADE ，理由如下：∵AB 2＝BE •DC ，∴BE AB AB DC=，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，BE AC AB DC =，∴△ABE ∽△DCA ．∵△ABE ∽△DCA ，∴∠AED ＝∠DAC ．∵∠AED ＝∠C +∠EAC ，∠DAC ＝∠DAE +∠EAC ，∴∠DAE ＝∠C ．∴△ADE ∽△CDA ；（2）∵△ADE ∽△CDA ，又∵DF 平分∠ADC ，∴DG DE AD DF AD CD==，设CE ＝a ，则DE ＝3CE ＝3a ，CD ＝4a ，∴34a AD AD a=，解得：AD ＝23a ，∴23342DG AD a DF CD a ===；（3）∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴∠DAE ＝∠C ＝45°∵DG ⊥AE ，∴∠DAG ＝∠ADF ＝45°，∴AG ＝DG ＝22AD ＝22×236a ，∴EG 2222(3)(6)3DE DG a a -=-a ，∴AE ＝AG +EG ＝（63）a ，∵∠AED ＝∠DAC ，∴△ADE ∽△DFA ，∴AD AE DF AD=，∴22AD AE ==a ，∴24DG DF +==．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．专题四动点函数背景下四边形【历年真题】1．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 、Q 分别在边AC 、射线CB 上，且AP ＝CQ ，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为点M ，联结PQ ，以PM 、PQ 为邻边作平行四边形PQNM ，设AP ＝x ，平行四边形PQNM 的面积为y ．（1）当平行四边形PQNM 为矩形时，求∠PQM 的正切值；（2）当点N 在△ABC 内，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P 且平行于BC 的直线经过平行四边形PQNM 一边的中点时，直接写出x 的值．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）当四边形PQMN 是矩形时，PQ ∥AB ．根据tan ∠PQM ＝PM PQ求解即可．（2）如图1中，延长QN 交AB 于K ．求出MK ，PM ，根据y ＝PM •MK 求解即可．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当平分MN 时，D 为MN 的中点，作NE ∥BC 交PQ 于E ，作NH ⊥CB 交CB 的延长线于H ，EG ⊥BC 于G ．根据EG ＝12PC 构建方程求解．②如图3﹣2中，当平分NQ 时，D 是NQ 的中点，作DH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．根据PC ＝GH 构建方程求解即可．【解答】解：（1）在Rt △ACB 中，∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝＝10，当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．∴tan∠PQM＝PMPQ=3955253PACQ=．（2）如图1中，延长QN交AB于K．由题意BQ＝6﹣x，QN＝PM＝35x，AM＝45x，KQ＝45BQ＝2445x-，BK＝35BQ＝1835x-，∴MK＝AB﹣AM﹣BK＝325x-，∵QN＜QK，∴35x＜2445x-，∴x＜247，∴y＝PM•MK＝296325x x-（0＜x＜247）．（3）①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．∵PD∥BC，EN∥BC，∴PD∥NE，∵PE∥DN，∴四边形PDNE是平行四边形，∴PE＝DN，∵DN＝DM，PQ＝MN，∴PE＝EQ，∵EG∥PC，∴CG＝GQ，∴EG＝12PC，∵四边形EGHN是矩形，∴NH＝EG＝35NQ＝35PM＝925x，PC＝8﹣x，∴925x＝12•（8﹣x），解得x＝20043．②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．∵DH＝PC，∴8﹣x＝12•925x，解得x＝40059，综上所述，满足条件x的值为20043或40059．【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．2．（2019秋•嘉定区期末）已知：点P在△ABC内，且满足∠APB＝∠APC（如图），∠APB+∠BAC＝180°．（1）求证：△PAB∽△PCA；（2）如果∠APB＝120°，∠ABC＝90°，求PCPB的值；（3）如果∠BAC＝45°，且△ABC是等腰三角形，试求tan∠PBC的值．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的性质．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）证明△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）分三种情形：AB＝AC，AB＝BC，AC＝BC分别求解即可解决问题．【解答】证明：（1）∵∠ABP +∠BAP +∠APB ＝180°，∠APB +∠BAC ＝180°，∴∠ABP +∠BAP +∠APB ＝∠APB +∠BAC ，即∠ABP +∠BAP +∠APB ＝∠APB +∠BAP +∠CAP ，∴∠ABP ＝∠CAP ，又∵∠APB ＝∠APC ，∴△PAB ∽△PCA ．（2）如图1中，∵∠APB +∠BAC ＝180°，∠APB ＝120°，∴∠BAC ＝60°，在△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴，又∵△PAB ∽△PCA ，∴12PB PA AB PA PC AC ===，∴14PB PB PA PC PA PC == ，即4PC PB =．（3）∵∠BAC ＝45°，∠APB +∠BAC ＝180°，∠APB ＝∠APC ，∴∠APB ＝∠APC ＝135°．∴∠BPC ＝360°﹣∠APB ﹣∠APC ＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∵△PCA ∽△PAB ，∴PA PC AC PB PA AB==，∴163．①如图2中，当△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC 时，2tan PBC=()=1PC AC PB AB =∠．②如图3中，当△ABC 是等腰三角形，且AB ＝BC 时，∠ACB ＝∠BAC ＝45°，∠ABC ＝90°，易得2AC AB ，∴2tan PBC=()=2PC AC PB AB=∠．③如图10﹣4，当△ABC 是等腰三角形，且AC ＝BC 时，∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∠ACB ＝90°，易得2=2AC AB ，∴21tan PBC=()=2PC AC PB AB =∠．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．（2019秋•徐汇区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点AB 重合），点G 在边AB 的延长线上，∠CDE ＝∠A ，∠GBE ＝∠ABC ，DE 与边BC 交于点F ．（1）求cos A 的值；（2）当∠A ＝2∠ACD 时，求AD 的长；（3）点D 在边AB 上运动的过程中，AD ：BE 的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD ：BE 的值；如果变化，请说明理由．【考点】三角形综合题．。

2019-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编18题-定义新图形及其他题型含详解

专题定义新图形及其他题型【知识梳理】根据题目中给的知识点，结合所学函数及图形知识解答【历年真题】1．（2021秋•浦东新区期末）如图，a ∥b ∥c ，直线a 与直线b c与直线b 之间的距离为，等边△ABC 的三个顶点分别在直线a 、直线b 、直线c 上，则等边三角形的边长是．2．（2021秋•宝山区期末）如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y ＝x 2+bx （b ＞0）的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为．3．（2021秋•青浦区期末）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为．4.（2021秋•青浦区期末）若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 1x+c 1的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上，则称抛物线y 1与抛物线y 2互为“关联抛物线”已知顶点为M 的抛物线y=(x-2)2+3与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan MDO=4∠，那么顶点为N 的抛物线的表达式为5．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC AD＝CD＝32，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．6．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝．7．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．8．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝45，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是．9．（2020秋•金山区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝12，CE＝GE，那么BD的长等于．10．(2020秋•黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为．11．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且AD3=AE2，那么DEBC的值是．12．（2019秋•宝山区期末）如图，点A在直线34y x上，如果把抛物线y=x²沿OA方向平移5个单位,那么平移后的抛物线的表达式为__．专题定义新图形及其他题型【历年真题】1．（2021秋•浦东新区期末）如图，a ∥b ∥c ，直线a 与直线b c与直线b 之间的距离为，等边△ABC 的三个顶点分别在直线a 、直线b 、直线c 上，则等边三角形的边长是【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】图形的相似；模型思想．【分析】过点A 作AD ⊥直线b 于D ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，作EG ⊥直线c 于G 交直线a 于F ．想办法求出AE ，EC 即可解决问题．【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥直线b 于D ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，作EG ⊥直线c 于G 交直线a 于F ．则有∠AEC ＝∠ADB ＝∠AFE ＝∠EGC ＝90°，AE ＝AD ，∠EAF ＝∠CEG ＝30°，∴EF ＝12AE ＝2，∴EG ＝2，CG ＝3EG ＝52，CE ＝2CG ＝5，∴AC =．∴等边△ABC 的边长为．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，相似三角形的性质的运用，解答时构造相似三角形是关键．2．（2021秋•宝山区期末）如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y ＝x 2+bx （b ＞0）的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为2．【考点】抛物线与x 轴的交点；等腰直角三角形；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】根据抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形建立方程求解即可．【解答】解：设抛物线y ＝x 2+bx 与x 轴的交点坐标为A ，B ，顶点为D ，∴A （0，0），B （﹣b ，0），D （﹣2b ，﹣24b ），∵抛物线y ＝x 2+bx 对应的“特征三角形”是等腰直角三角形，∴AB 2＝AD 2+BD 2＝2AD 2，∴b 2＝2（24b +416b ），解得：b ＝±2，∵b ＞0，∴b ＝2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点和抛物线的“特征三角形”的特点，关键是利用“特征三角形”是等腰直角三角形建立等量关系．3．（2021秋•青浦区期末）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3．【考点】抛物线与x 轴的交点；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】先由直线y ＝﹣kx +k 求得点A 和点B 的坐标，然后求得点C 的坐标，最后将点A 、B 、C 的坐标分别代入函数y ＝mx 2+2mx +c 中求得m 、k 、c 的值，即可得到一次函数的解析式．【解答】解：对y ＝﹣kx +k ，当x ＝0时，y ＝k ，当y ＝0时，x ＝1，∴A （1，0），B （0，k ），∴C （﹣k ，0），将A 、B 、C 的坐标代入y ＝mx 2+2mx +c 得，22020m m c c k mk mk c ⎧++=⎪=⎨⎪++=⎩，解得：000m k c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或133m k c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩或1311m k c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，∵m ≠0，k ＞0，∴m ＝﹣1，k ＝3，c ＝3，∴一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3，故答案为：y ＝﹣3x +3．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的解析式、旋转的特征，解题的关键是会求点B 经过逆时针旋转90°后的点的坐标．4.（2021秋•青浦区期末）若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 2x+c 2的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上，则称抛物线y 1与抛物线y 2互为“关联抛物线”已知顶点为M 的抛物线y=(x-2)2+3与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan MDO=4∠，那么顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】二次函数图象及其性质；；推理能力．【分析】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ），由题意可知34M M N y x x =-，即可求得D 点坐标为（6，0），则有直线MD 解析式为3(6)4y x =--，因为N 点过直线MD ，N 点也过抛物线y=(x-2)2+3，故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩，解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N 点坐标为（54，5716），可设顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y a x =-+，又因为M 点过2557()416y a x =-+，即可解得a=-1，故顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y x =--+．【解答】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ）已知抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标M 为（2，3）∵3tan 4MDO ∠=∴34M M N y x x =-即3324D x =-解得24D x =±∵直线MN 与x 轴正半轴交于点D ∴D 点坐标为（6，0）则直线MD 解析式为3(6)4y x =--N 点在直线MD 3(6)4y x =--上，N 点也在抛物线y=(x-2)2+3故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩化简得2394247b a b a a ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩联立得2394742a a a --=-+化简得2135042a a -+=解得a=54或a=2（舍）将a=54代入3942b a =-有359157257442161616b =-⨯+=-+=解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故N 点坐标为（54，5716）则顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y a x =-+将（2，3）代入2557(416y a x =-+有25573(2)416a =-+化简得95731616a =+解得a=-1故顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+故答案为：2557(416y x =--+．【点评】本题考察了二次函数的图象及其性质，三角函数的应用．理解题意所述“关联抛物线”的特点，即若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 2x+c 2的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上是解题的关键．5．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB ＝ACAD＝CD ＝32，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC 是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于414．【考点】相似图形；三角形中位线定理．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】利用相似三角形的性质求出BC 长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF 的长即可．【解答】解：如图所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC•AD，∵AC AD＝32，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F为BC中点，∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠FAE＝∠AFC＝90°，∵AC Rt△AFC中AF＝=，∵AD＝32，E为AD中点，∴AE＝34，∴EF414 =．故答案为：41 4．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，以及等腰三角形的性质和勾股定理，关键是掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等．6．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝或．【考点】相似图形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．【解答】解：如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形，∴AD＝EF，∵AB＝CD＝2，AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABE＝∠DCF＝60°，BE＝AB•cos60°＝1，CF＝CD•cos60°＝1，∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝6，∴AD＝EF＝6，DQ＝6﹣x，∵△BAQ∽△QDC，∴AB AQ=QD CD，∴x（6﹣x）＝4，解得x＝3±5，∴AQ＝3±5故答案为：5或3-5【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为2．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】先求出BD＝8，CD＝4，再求出MH＝4，DH＝2，设BE＝x，得出CE＝12﹣x，CF＝3+x，EH＝10﹣x，再判断出△EHM∽△ECF，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：如图，∵点D是BC上一点，BC＝12，∴BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DCA，∴MH DH=ACDMCD AD=，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴MH DH1=842=，∴MH＝4，DH＝2，过点M 作MG ∥AB 交BD 于G ，同理得，BG ＝DG ＝4，∵AB ＝10，BC ＝12，AC ＝8，∴△ABC 的周长为10+12+8＝30，∵过AD 中点M 的直线将△ABC 分成周长相等的两部分，∴CE +CF ＝15，设BE ＝x ，则CE ＝12﹣x ，∴CF ＝15﹣（12﹣x ）＝3+x ，EH ＝CE ﹣CH ＝CE ﹣（CD ﹣DH ）＝12﹣x ﹣2＝10﹣x ，∵MH ∥AC ，∴△EHM ∽△ECF ，∴MH EH =CF CE ，∴410-=3+12x x x，∴x ＝2或x ＝9，当x ＝9时，CF ＝12＞AC ，点F 不在边AC 上，此种情况不符合题意，即BE ＝x ＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．8．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝12，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，sin ∠ADE ＝45，ED ＝5，如果△ECD 的面积是6，那么BC 的长是﹣6．【考点】解直角三角形；三角形的面积．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．解直角三角形求出BH ，CH 即可解决问题．【解答】解：如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．∵∠ABC ＝120°，∴∠ABH ＝180°﹣∠ABC ＝60°，∵AB ＝12，∠H ＝90°，∴BH ＝AB •cos60°＝6，AH ＝AB •sin60°＝，∵EF ⊥DF ，DE ＝5，∴sin ∠ADE ＝EF DE ＝45，∴EF ＝4，∴DF 3==，∵S △CDE ＝6，∴12•CD •EF ＝6，∴CD ＝3，∴CF ＝CD +DF ＝6，∵tan C ＝EF AH CF CH =，∴4636CH=，∴CH ＝，∴BC ＝CH ﹣BH ＝6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9．（2020秋•金山区期末）已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，以点C 为直角顶点的Rt △DCE 的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若tan ∠CED＝12，CE ＝GE ，那么BD 的长等于2+【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点A 作AH ⊥CE 于H ．想办法证明AK ＝AC ，推出HK ＝CH ，推出AK ＝AD ＝2，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A 作AH ⊥CE 于H .∵tan ∠CED ＝12＝tan ∠BAC ，∴∠E ＝∠BAC ，∵CE ＝EG ，∴∠CGE ＝∠ECG ，∵∠BAC +∠GAK ＝180°，∴∠E +∠GAK ＝180°，∴∠AGE +∠AKE ＝180°，∵∠AKE +∠AKC ＝180°，∴∠AKC ＝∠CGE ，∴∠AKC ＝∠ACK ，∴AC ＝AK ＝2，∵AH ⊥CK ，∴KH ＝CH ，∵∠AHE ＝∠DCK ＝90°，∴AH ∥CD ，∴KA ＝AD ，∴DK ＝2AK ＝4，AD ＝AK ＝2，∵∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，∴AB =∴BD ＝AB +AD ＝，故答案为：【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．10．(2020秋·黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5.一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为2:1或1:2或1:1．【考点】相似多边形的性质;矩形的性质，四手拉手模型【专题】图形的相似;推理能力.【分析】如图，设AB=a，AD=2.5a，AE=x，则DE=2.5a-x，利用相似多边形的性质，构建方程求解，另外两个矩形全等也符合题意．【解答】解:如图，设AB=a，AD=2.5a，,AE=x，则DE=2.5a-x.∵矩形ABFE∽矩形EDCF∴AE EF=EF DE∴=2.5x aa a x整理得，x2-2.5xa+a2=0，解得x=2a或0.5a，∴矩形ABFE与矩形EDCF相似，相似比为2：1或1：2.当E，F分别是AD，BC的中点时，两个矩形全等，也符合题意，相似比为：1：1故答案为：2：1或1：2或1：1.【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程求解，属干电考常考题型11．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且AD3=AE2，那么DEBC的值是13318﹣1．【考点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】证明△ADE∽△BAE，得出AE2＝DE×BE，同理△ADE∽△CDA，得出AD2＝DE×CD，得出2294AD CD AE BE ==，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，求出AB ＝AD AE×BE ＝6x ，作AM ⊥BC 于M ，由等腰三角形的性质得出BM ＝CM ＝12BC ，由直角三角形的性质得出AM ＝12AB ＝3x ，BM AM ＝x ，得出BC ＝2BM ＝，求出DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣x ，即可得出答案．【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ＝30°，∵∠DAE ＝∠B ＝30°，∴∠DAE ＝∠B ＝∠C ，∵∠AED ＝∠BEA ，∴△ADE ∽△BAE ，∴AD AE DE ==AB BE AE，∴AE 2＝DE ×BE ，同理：△ADE ∽△CDA ，∴AD DE =CD AD ，∴AD 2＝DE ×CD ，∴22239()24AD CD AE BE ===，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，∵AD AE AB BE =，∴AB ＝AD AE ×BE ＝32×4x ＝6x ，作AM ⊥BC 于M ，如图所示：∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM ＝12BC ，∵∠B ＝30°，∴AM ＝12AB ＝3x ，BM AM ＝，∴BC ＝2BM ＝，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣x ，∴13318DE EC ==﹣1；故答案为：13318﹣1．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．12．（2019秋•宝山区期末）如图，点A 在直线34y x =上，如果把抛物线y=x ²沿OA 方向平移5个单位,那么平移后的抛物线的表达式为_y=(x-4)2+3_．【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征，四二次函数的平移【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力.【分析】过点A作AB丄x轴于B，求出OB、AB，然后写出点A的坐标，再利用顶点式解析式写出即可.【解答】解：如图，过点A作AB丄x轴于B，∵点A在直线34y x上，OA=5，∴OB=4，AB=3，∵点A的坐标为(4，3)，∴平移后的抛物线解析式是y=(x-4)2+3故答案为y=(x-4)2+3.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便.。

2019年上海市普陀区中考数学一模考试卷含逐题详解

2019年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞1D．a＜12．下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2B．y＝3x2+1C．y＝3（x+1）2D．y＝3x2﹣x3．如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE 与△ABC相似，那么这个条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝D．＝4．已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣2，那么下列说法中，错误的是（）A．∥B．||＝||C．＝0D．与方向相反5．已知⊙O1和⊙O2，其中⊙O1为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1B．4C．5D．86．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中①＝；②＝；③＝；④＝，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果＝，那么的值是．8．化简：3（）﹣2（）＝．9．如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于．10．将抛物线y＝（x+3）2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是．11．已知抛物线y＝2x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝1，那么b的值等于．12．已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于．13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．14．正八边形的中心角为度．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD＝，BC＝5，那么DC的长等于．16．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD 的长等于．17．已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1y2（填“＜”、“＝”或“＞”）18．如图，△ABC中，AB＝AC＝8，cos B＝，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD＝2，那么EF＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：4sin45°+cos230°﹣．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．（1）求EC：BC的值；（2）设＝，＝，那么＝，＝（用向量、表示）21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．（1）求证：O1E＝O1C；（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．22．（10分）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）23．（12分）已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且OB＝3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BE⊥DE时，求点E的坐标；（3）如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD＝135°，求点F的坐标．25．（14分）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．2019年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞1D．a＜1【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a﹣1＜0，∴a＜1，故选：D．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．2．下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2B．y＝3x2+1C．y＝3（x+1）2D．y＝3x2﹣x【分析】根据y轴上点的坐标特征，分别计算出x＝0时四个函数对应的函数值，然后根据函数值是否为1来判断图象能否与y轴交于点A（0，1）．【解答】解：当x＝0时，y＝3x2＝0；当x＝0时，y＝3x2+1＝1；当x＝0时，y＝3（x+1）2＝9；当x＝0时，y ＝3x2﹣x＝0，所以抛物线y＝3x2+1与y轴交于点（0，1）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3．如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE 与△ABC相似，那么这个条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝D．＝【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．【解答】解：由题意得，∠A＝∠A，A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；C、当＝时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；D、当＝时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．4．已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣2，那么下列说法中，错误的是（）A．∥B．||＝||C．＝0D．与方向相反【分析】根据平面相等向量的定义、共线向量的定义以及向量的模的计算方法解答．【解答】解：A、因为＝2，＝﹣2，所以∥，且与方向相反，故本选项说法正确；B、因为＝2，＝﹣2，所以||＝||＝|2|，故选项说法正确；C、因为＝2，＝﹣2，所以∥，则•＝0，故本选项说法错误；D、因为＝2，＝﹣2，所以∥，且与方向相反，故本选项说法正确；故选：C．【点评】考查了向量，向量是既有方向又有大小的．5．已知⊙O1和⊙O2，其中⊙O1为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1B．4C．5D．8【分析】根据两圆位置关系是内切，则圆心距＝两圆半径之差，以及外切时，r+R＝d，分别求出即可．【解答】解：∵两圆相内切，设小圆半径为x，圆心距为2，∴3﹣x＝2，∴x＝1，∴小圆半径为1，这两圆外切时，圆心距为：1+3＝4．故选：B．【点评】此题主要考查了两圆的位置关系，用到的知识点为：两圆内切，圆心距＝两圆半径之差，外切时，r+R ＝d．6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中①＝；②＝；③＝；④＝，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接AG并延长，交BC于F，依据DE∥BC，且DE经过重心G，即可得到△ADE∽△ABC，且相似比为2：3，依据相似三角形的性质，即可得到正确结论．【解答】解：如图所示，连接AG并延长，交BC于F，∵DE∥BC，且DE经过重心G，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，故①正确；∴＝，故③正确；∵DG∥BF，∴＝＝，故②错误；∵△ADE∽△ABC，＝，∴＝，∴＝，故④正确；故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质以及三角形重心的性质的运用，解决问题的关键是知道相似三角形的对应边对应成比例．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果＝，那么的值是．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∴设x＝7a，则y＝2a，那么＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．8．化简：3（）﹣2（）＝．【分析】平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．【解答】解：3（）﹣2（）＝3+﹣2+2＝（3﹣2）+（+2）＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．9．如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于1．【分析】把原点坐标代入抛物线解析式即可得到对应m的值．【解答】解：把（0，0）代入y＝2x2+x+m﹣1得m﹣1＝0，解得m＝1，故答案为1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．10．将抛物线y＝（x+3）2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是（x+1）2﹣1．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝（x+3）2﹣4向右平移2个单位所得直线解析式为：y＝（x+3﹣2）2﹣4＝（x+1）2﹣4；再向上平移3个单位为：y＝（x+1）2﹣4+3，即y＝（x+1）2﹣1．故答案是：y＝（x+1）2﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．11．已知抛物线y＝2x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝1，那么b的值等于﹣4．【分析】由对称轴公式可得到关于b的方程，可求得答案．【解答】解：∵y＝2x2+bx﹣1，∴抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣，∴﹣＝1，解得b＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣．12．已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于24．【分析】由于△A′B′C′∽△ABC，因此它们各对应边的比都相等，可据此求出△A′B′C′的最大边的长．【解答】解：设△A′B′C′的最大边长是x，根据相似三角形的对应边的比相等，可得：＝，解得：x＝24，∴△A′B′C′最大边的长等于24．故答案为：24．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．【分析】我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．代入数据直接计算得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，∴∠A的正弦值sin A＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．正八边形的中心角为45度．【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；故答案为45．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD＝，BC＝5，那么DC的长等于2．【分析】根据垂直的定义得到∠ABD＝∠C，根据正切的定义得到BD＝CD，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∵BD⊥DC，∴∠C+∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴tan C＝＝，∴BD＝CD，由勾股定理得，BD2+CD2＝BC2，即（CD）2+CD2＝52，解得，CD＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是梯形的性质，正切的定义，勾股定理，掌握梯形的性质，正切的定义是解题的关键．16．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD 的长等于15．【分析】由△ABE∽△DCE，推出＝＝，可得＝，再证明△BEF∽△BCD，可得＝＝，由此即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，∴＝，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴＝＝，∵EF＝6，∴CD＝15，故答案为15．【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1＜y2（填“＜”、“＝”或“＞”）【分析】由于二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象的开口向上，然后根据点A和点B离对称轴的远近可判断y1与y2的大小关系．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+c（a＞0），∴抛物线开口向上，∵点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，∴y1＜y2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足解析式y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）．18．如图，△ABC中，AB＝AC＝8，cos B＝，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD＝2，那么EF＝．【分析】过A作AH⊥BC于H，依据等腰三角形的性质即可得到BH＝6＝CH，由折叠可得，BD＝DE＝2，∠E ＝∠ABC＝∠C，AB＝AE＝6，依据△AFC∽△DFE，即可得到＝＝＝，设EF＝x，则CF＝4x，AF＝8﹣x，DF＝AF＝2﹣x，依据BD+DF+CF＝BC，可得x的值，进而得出EF的长．【解答】解：如图所示，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝8，cos B＝，∴BH＝6＝CH，BC＝12，由折叠可得，BD＝DE＝2，∠E＝∠ABC＝∠C，AB＝AE＝6，又∵∠AFC＝∠DFE，∴△AFC∽△DFE，∴＝＝＝，设EF＝x，则CF＝4x，AF＝8﹣x，∴DF＝AF＝2﹣x，∵BD+DF+CF＝BC，∴2+2﹣x+4x＝12，解得x＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是利用相似三角形的对应边成比例，列方程求解．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：4sin45°+cos230°﹣．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：原式＝4×+（）2﹣＝2+﹣2（+）＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．（1）求EC：BC的值；（2）设＝，＝，那么＝+，＝﹣﹣（用向量、表示）【分析】（1）根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）利用三角形法则计算即可；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴＝＝3，∴＝3，∴EC：BC＝2：3．（2）∵＝，AC＝2AO，∴＝2，∵＝+＝+2，EC＝BC，∴＝+，∵AD∥BE，∴＝＝，∴BG＝BD，∵＝+＝+＝++2＝2+2，∴＝（2+2）＝+，∴＝﹣﹣故答案为+，﹣﹣．【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．（1）求证：O1E＝O1C；（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．【分析】（1）连接O1A，根据垂径定理得到O1E⊥AD，根据相交两圆的性质得到O1C⊥AB，证明Rt△O1EA≌Rt△O1CA，根据全等三角形的性质证明结论；（2）设⊙O2的半径长为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】（1）证明：连接O1A，∵点E为AD的中点，∴O1E⊥AD，∵⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，∴O1C⊥AB，在Rt△O1EA和Rt△O1CA中，，∴Rt△O1EA≌Rt△O1CA（HL）∴O1E＝O1C；（2）解：设⊙O2的半径长为r，∵O1E＝O1C＝6，∴O2C＝10﹣6＝4，在Rt△O1EO2中，O2E＝＝8，则AC＝AE＝8﹣r，在Rt△ACO2中，O2A2＝AC2+O2C2，即r2＝（8﹣r）2+42，解得，r＝5，即⊙O2的半径长为5．【点评】本题考查的是相交两圆的性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理的应用，掌握相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦是解题的关键．22．（10分）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）【分析】延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，根据勾股定理得到EH＝5，DH ＝12根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，∵斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，∴设EH＝5x，DH＝12x，∵EH2+DH2＝DE2，∴（5x）2+（12x）2＝132，∴x＝1，∴EH＝5，DH＝12，∵EB∥DC，∴∠ABE＝∠AGH＝90°，∵∠AEB＝45°，∴AB＝BE，∴HG＝AB，∴FG＝5+12+AB，AG＝AB+5，∵∠F＝31°，∴tan F＝tan31°＝＝＝0.6，∴AB＝13米，答：铁塔AB的高度是13米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．23．（12分）已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．【分析】（1）由AE2＝AF•AB，推出△AEF∽△ABE，推出∠AEF＝∠B，再证明∠DAE＝∠BAC，即可解决问题；（2）由△ADE∽△ACB，推出＝，∠D＝∠C，再证明△ADF∽△ACE，可得＝，由此即可解决问题；【解答】证明：（1）∵AE2＝AF•AB，∴＝，∵∠EAF＝∠BAE，∴△AEF∽△ABE，∴∠AEF＝∠B，∵∠DAF＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ACB．（2）∵△ADE∽△ACB，∴＝，∠D＝∠C，∵∠DAF＝∠EAC，∴△ADF∽△ACE，∴＝，∴＝，∴＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且OB＝3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BE⊥DE时，求点E的坐标；（3）如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD＝135°，求点F的坐标．【分析】（1）把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设：OE＝m，则EL＝4﹣m，OB＝3，DL＝1，利用∠LED＝∠OBE，即可求解；（3）延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F．确定直线BH′的表达式，即可求解．【解答】解：（1）OB＝3OA＝3，则点B的坐标为（3，0），点A（﹣1，0），则函数的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），则﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①函数对称轴为x＝﹣＝1，则点D的坐标为（1，﹣4）；（2）如图，过点D作DL⊥y轴，交于点L，设：OE＝m，则EL＝4﹣m，OB＝3，DL＝1，∵∠LED+∠OEB＝90°，∠OEB+∠OBE＝90°，∴∠LED＝∠OBE，∴tan∠LED＝tan∠OBE，即：＝，＝，解得：m＝1或3（舍去x＝3），则点E的坐标为（0，﹣1）；（3）延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B，顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F，∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，则∠FBD＝135°，BC′⊥x轴，则点C′（3，3），∠H′C′B＝∠HCB＝180°﹣45°＝135°，tan∠ABD＝＝＝2，OH＝OB•tan∠ABD＝2×3＝6，则：HC＝6﹣3＝3＝H′C′，过点C′作C′G⊥GH′交于点G，在△BGH′中，GC′＝H′C′cos45°＝＝GH′，则点H′的坐标为（3﹣，），将点H′、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，则直线BH′的表达式为：y＝﹣3x+9…②，联立①②并解得：x＝3或﹣4（x＝3舍去），故点F的坐标为（﹣4，21）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、图形旋转等知识，其中（3）用图形旋转的方法，确定旋转后图形的位置时本题的难点．25．（14分）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．【分析】（1）如图①中，作CH⊥AB于H．证明△ACH∽△CBH，可得＝，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH＝，CH＝x．在Rt△ACH中，根据AC2＝AH2+CH2，构建方程即可解决问题．（3）如图②﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．利用相似三角形的性质证明＝，即可解决问题．【解答】解：（1）如图①中，作CH⊥AB于H．∵CH⊥AB，∴∠AHC＝∠BHC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠BCH＝90°，∵∠ACH+∠A＝90°，∴∠BCH＝∠A，∴△ACH∽△CBH，∴＝，∵OC＝2，∠COH＝60°，∴∠OCH＝30°，∴OH＝OC＝1，CH＝，∴＝，整理得：2a2﹣a﹣4＝0，解得a＝或（舍弃）．经检验a＝是分式方程的解．∴a＝．（2）如图②中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH＝，CH＝x．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴（3a）2＝（x）2+（2a+x）2，整理得：x2+ax﹣5a2＝0，解得x＝（﹣1）a或（﹣﹣1）a（舍弃），∴OC＝（﹣1）a，（3）如图②﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．∵∠AOC＝∠∠AOQ+∠QOC＝∠ABC+∠OCB，∠QOC＝∠ABC，∴∠AOQ＝∠KCO，∵AQ∥BK，∴∠Q＝∠K，∴△QOA∽△KCO，∴＝，∴＝，∵∠K＝∠K，∠KOB＝∠AOQ＝∠KCO，∴△KOB∽△KCO，∴＝，∴＝＝＝【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷(解析版)

2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A．1：2000B．1：200C．200：1D．2000：12．将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣23．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ADC＝∠ACB B．C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB5．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（）A．||＝2B．||＝4C．＝4D．＝6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）A．①④B．②④C．③④D．②③二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．已知，则的值是．8．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．9．计算：（﹣2）﹣4＝．10．已知A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y1y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝．13．如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，则ABC的高AH为厘米．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC 长为．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为米（结果保留根号）．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cos B＝，则＝．18．在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，BC＝6，CD＝2，tan A＝．点E为BC上一点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设＝，＝．（1）试用、表示；（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．22．（10分）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）23．（12分）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；；（2）联结AM，求S△AOM（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．25．（14分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A．1：2000B．1：200C．200：1D．2000：1【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝”即可求得这幅设计图的比例尺．【解答】解：因为2毫米＝0.2厘米，则0.2厘米：40厘米＝1：200；所以这幅设计图的比例尺是1：200．故选：B．【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．2．将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移+2个单位长度所得的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】直接利用坡角的定义以及坡比的定义即可得出答案．【解答】解：∵斜坡的坡比为1：，设坡角为α，∴tanα＝＝，∴α＝60°．故选：D．【点评】此题考查了坡度坡角问题，借助解直角三角形的知识求解是关键．4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ADC＝∠ACB B．C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得．【解答】解：A、由∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；B、由不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；C、由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；D、由AC2＝AD•AB，即＝，且∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．5．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（）A．||＝2B．||＝4C．＝4D．＝【分析】根据已知条件可以得到：＝﹣4，由此对选项进行判断．【解答】解：A、由＝2推知||＝2，故本选项不符合题意．B、由＝﹣4推知||＝4，故本选项不符合题意．C、依题意得：＝﹣4，故本选项符合题意．D、依题意得：＝，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）A．①④B．②④C．③④D．②③【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x＝＝1，故②错误，抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①错误，当y＝0时，x＝0或x＝2，故m的值为0，故③正确，当y≤0时，x的取值范围是0≤x≤2，故④正确，故选：C．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．已知，则的值是．【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．【解答】解：∵∴设a＝2k，则b＝3k．∴＝＝．【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．8．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝2﹣2．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝AB＝×4＝2﹣2．故答案为2﹣2．【点评】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．9．计算：（﹣2）﹣4＝﹣7．【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算．【解答】解：：（﹣2）﹣4＝﹣×2﹣4＝﹣7．故答案是：﹣7．【点评】本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．10．已知A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y1＜y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）【分析】根据二次函数的性质得到x＜1时，y随y的增大而减小，然后根据自变量的大小得到对应函数值的大小．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，而x＜1时，y随y的增大而减小，所以y1＜y2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质可得＝＝3，可得BE＝3CE，即可求CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AD＝BC＝5，∴△ABE∽△FCE∴＝＝3∴BE＝3CE∵BC＝BE+CE＝5∴CE＝故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝．【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A，可代入数计算出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴sin A＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦定义．13．如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，则ABC的高AH为厘米．【分析】由DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【解答】解：设三角形ABC的高AH为x厘米．由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG．由DG∥BC得△ADG∽△ABC∴＝．∵PH⊥BC，DE⊥BC，∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，∵BC长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，∴＝，解得x＝．即AH为厘米．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝．【分析】由梯形中位线定理得到EF＝，结合梯形的性质，平行四边形的判定与性质求得GF 的长度，利用平面向量表示即可．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥HC，AH∥CD，∴四边形AHCD是平行四边形．∴AD＝HC．又EF是梯形ABCD的中位线，∴EF＝，且GF＝AD．∴EG＝EF﹣GF＝﹣AD＝．∵＝，＝，∴＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量和梯形中位线定理，注意：向量既有大小又有方向．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC 长为4．【分析】延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，由点G是△ABC的重心，得到CG＝2，求得CD ＝3，点D为AB的中点，根据等腰三角形的性质得到DC＝DB，又DE⊥BC，求得CE＝BE＝BC，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，∵点G是△ABC的重心，∵CG＝2，∴CD＝3，点D为AB的中点，∴DC＝DB，又DE⊥BC，∴CE＝BE＝BC，∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠ACG＝∠CDE，∵sin∠ACG＝sin∠CDE＝，∴CE＝2，∴BC＝4故答案为：4．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为（50﹣10）米（结果保留根号）．【分析】过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，可得四边形ECBG，HBDF是矩形，在Rt△AEG中，根据三角函数求得EG，在Rt△AHP中，根据三角函数求得AH，再根据线段的和差关系即可求解．【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，则四边形ECBG，HBDF是矩形，∴EC＝GB＝20，HB＝FD，∵B为CD的中点，∴EG＝CB＝BD＝HF，由已知得：∠EAG＝90°﹣60°＝30°，∠AFH＝45°．在Rt△AEG中，AG＝AB﹣GB＝50﹣20＝30米，∴EG＝AG•tan30°＝30×＝10米，在Rt△AHP中，AH＝HF•tan45°＝10米，∴FD＝HB＝AB﹣AH＝50﹣10（米）．答：2号楼的高度为（50﹣10）米．故答案为：（50﹣10）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cos B＝，则＝．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，设BD＝5x，AB＝13x，根据勾股定理得到AD＝＝12x，求得BC＝2BD＝10x，根据相似三角形的性质得到BE＝x，CE＝x，于是得到结论．【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵cos B＝＝，设BD＝5x，AB＝13x，∴AD＝＝12x，∴BC＝2BD＝10x，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE，∴，∴＝，∴BE＝x，CE＝x，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．18．在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，BC＝6，CD＝2，tan A＝．点E为BC上一点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE的长为．【分析】根据平行线的性质得到∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，根据轴对称的性质得到∠GFE＝∠BFE，求得∠A＝∠AMF，得到AF＝FM，作DQ⊥AB于点Q，求得∠AQD＝∠DQB＝90°．根据矩形的性质得到CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，求得AQ＝10﹣2＝8，根据勾股定理得到AD＝＝10，设EB＝3x，求得FB＝4x，CE＝6﹣3x，求得AF＝MF＝10﹣4x，GM＝8x﹣10，根据相似三角形的性质得到GD＝6x﹣，求得DE＝﹣3x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：如图，∵EF∥AD，∴∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，∵△GFE与△BFE关于EF对称，∴△GFE≌△BFE，∴∠GFE＝∠BFE，∴∠A＝∠AMF，∴△AMF是等腰三角形，∴AF＝FM，作DQ⊥AB于点Q，∴∠AQD＝∠DQB＝90°．∵AB∥DC，∴∠CDQ＝90°．∵∠B＝90°，∴四边形CDQB是矩形，∴CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，∴AQ＝10﹣2＝8，在Rt△ADQ中，由勾股定理得AD＝＝10，∵tan A＝，∴tan∠EFB＝＝，设EB＝3x，∴FB＝4x，CE＝6﹣3x，∴AF＝MF＝10﹣4x，∴GM＝8x﹣10，∵∠G＝∠B＝∠DQA＝90°，∠GMD＝∠A，∴△DGM∽△DQA，∴＝，∴GD＝6x﹣，∴DE＝﹣3x，在Rt△CED中，由勾股定理得（﹣3x）2﹣（6﹣3x）2＝4，解得：3x＝，∴当EG过点D时BE＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝2+．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．（10分）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设＝，＝．（1）试用、表示；（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．【分析】（1）利用三角形法则求出，再根据CD＝CA求出即可解决问题．（2）利用平行四边形法则，画出分向量，根据＝+计算即可．【解答】解：（1）∵＝，＝，∴＝+＝﹣+，∵AD＝2CD，∴CD＝CA，∵与同向，∴＝＝（﹣+）＝﹣；（2）如图在、上的分向量分别为，．∵＝+＝+﹣＝+．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），可以得到抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；（2）根据题意，可以求得点E的坐标，从而可以求得直线EB的函数解析式，进而求得与y轴的交点，从而可以求得tan∠CEB的值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），∴，得，∴y＝﹣x2﹣+2＝，∴抛物线顶点D的坐标为（﹣1，），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣+2，顶点D的坐标为（﹣1，）；（2）∵y＝，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，点C（0，2），∴点E的坐标为（﹣2，2），当y＝0时，0＝，得x1＝﹣3，x2＝1，∴点B的坐标为（1，0），设直线BE的函数解析式为y＝kx+n，，得，∴直线BE的函数解析式为y＝﹣，当x＝0时，y＝，设直线BE与y轴交于点F，则点F的坐标为（0，），∴OF＝，∵点C（0，2），点E（﹣2，2），∴OC＝2，CE＝2，∴CF＝2﹣＝，∴tan∠CEF＝，即tan∠CEB的值是．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（10分）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）【分析】（1）根据上题证得的结论分别求得BH的长，利用正弦函数的定义即可得到结论；（2）设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，得到△B'H'C∽△BHC，利用相似三角形的性质求得BB'的长即可．【解答】解：（1）设AC于BE交于H，∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，∴AD∥CF∥HE，∵AD＝30cm，CF＝30cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝30cm，∵BC长为54cm，且∠BCA＝71°，∴BH＝BC•sin71°＝51.3cm，∴BE＝BH+EH＝BH+AD＝51.3+30≈81cm；答：车座B到地面的高度是81cm；（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得＝．即＝，∴B'C＝cm．故BB'＝B'C﹣BC＝60﹣54＝6（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是6cm．【点评】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．23．（12分）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AE＝FE，根据相似三角形的性质得到∠EAG＝∠ADG，求得∠DAG＝∠FEG，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG＝∠AFB＝90°，于是得到结论；（2）由AE＝EF，AE2＝EG•ED，得到FE2＝EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG＝∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝FE，∴∠EAF＝∠AFE，∵AE2＝EG•ED，∴＝，∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴∠EAG＝∠ADG，∵∠AGD＝∠FGE，∴∠DAG＝∠FEG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB＝90°，∴∠FEG＝90°，∴DE⊥EF；（2）解：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，∴FE2＝EG•ED，∴＝，∵∠FEG＝∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG＝∠EDF，∴∠BAF＝∠EDF，∵∠DEF＝∠AFB＝90°，∴△ABF∽△DFE，∴＝，∵四边形ACBD是菱形，∴AB＝BC，∵∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴FE＝AB＝BC，∴＝，∴BC2＝2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；；（2）联结AM，求S△AOM（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．【分析】（1）根据题意，可以写出点B和点A的坐标，从而可以得到该抛物线的表达式；（2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点M的坐标，从而可以求得直线AM的函数解析式，从；而可以求得S△AOM（3）根据题意，利用分类讨论的方法和三角形相似的知识可以求得点F的坐标，从而可以求得抛物线C2的表达式．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB ＝120°，∴点B（2，0），点A（﹣1，﹣），∴，得，∴该抛物线的解析式为y＝；（2）连接MO，AM，AM与y轴交于点D，∵y＝＝，∴点M的坐标为（1，），设过点A（﹣1，﹣），M（1，）的直线解析式为y＝mx+n，，得，∴直线AM的函数解析式为y＝x﹣，当x＝0时，y＝﹣，∴点D的坐标为（0，﹣），∴OD ＝，∴S △AOM ＝S △AOD +S △MOD ＝＝；（3）当△AOM ∽△FBM 时，，∵OA ＝2，点O （0，0），点M （1，），点B （2，0），∴OM ＝，BM ＝，∴，解得，BF ＝2，∴点F 的坐标为（4，0），设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝+c ，∵点F （4，0）在抛物线C 2上， ∴0＝+c ，得c ＝，∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝+3；当△AOM ∽△MBF 时，，∵OA ＝2，点O （0，0），点M （1，），点B （2，0），∴OM ＝，BM ＝，∴，解得，BF ＝，∴点F 的坐标为（，0），设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝+d ，∵点F（，0）在抛物线C2上，∴0＝，得d＝，∴抛物线C2的函数解析式为：y＝+．【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论和数形结合的思想解答．25．（14分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．【分析】（1）证明△ADC∽△DCE，利用AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，即可求解；（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，CD2＝CH2+DH2＝（AC sinα）2+（AC cosα﹣x）2，即可求解；（3）分DF＝DC、FC＝DC、FC＝FD三种情况，求解即可．【解答】解：（1）设：∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD，∵cosα＝，∴sinα＝，过点A作AH⊥BC交于点H，AH＝AC•sinα＝6＝DF，BH＝2，如图1，设：FC＝4a，∴cos∠ACB＝，则EF＝3a，EC＝5a，∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，∴△ADC∽△DCE，∴AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，解得：a＝2或（舍去a＝2），AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝；（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，CD2＝CH2+DH2＝（AC sinα）2+（AC cosα﹣x）2，即：CD2＝36+（8﹣x）2，由（1）得：AC•CE＝CD2，即：y＝x2﹣x+10（0＜x≤10）…①，（3）①当DF＝DC时，∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，即：10＝x2﹣x+10+x，解得：x＝6；②当FC＝DC，则∠DFC＝∠FDC＝α，则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝＝＝，即：5x+8y＝80，将上式代入①式并解得：x＝；③当FC＝FD，则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，故：该情况不存在；故：AD的长为6和．【点评】本题为四边形的综合题，涉及到解直角三角形、一元二次方程，三角形相似等诸多知识点，其中三角形相似是本题的突破点，难度较大．。

2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-24题含详解

m专题2020年上海各区分类汇编-24题专题一二次函数与角度问题【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）联结AC、BC，求∠ACB的正切值；（3）点P在抛物线上，且∠PAB＝∠ACB，求点P的坐标．2．（2019秋•闵行区期末）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P的坐标．3．（2019秋•静安区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的图象经过点A（0，﹣3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．（1）求这个二次函数的解析式；：S△BCD＝3：2，求tan∠DBC的值；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果S△ABD（3）如果点E在该二次函数图象的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．4．（2019秋•杨浦区期末）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+4（m≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），且AB＝6．（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；＝10，求点F的（2）在y轴上取点E（0，2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF，EF，如果S四边形OEFB坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在x轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF，求点P的坐标．5、(2019秋•普陀区期末)在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线28 ()3y ax a x c=+++ (a≠0)经过点A(-3，-2)，与y轴交干点B(0，-2)，抛物线的顶点为点C．对称轴与x轴交干点D．(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED=∠BCD．求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，点P是位干y轴左侧抛物线上的一点，如果△PAE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．专题二二次函数与相似三角形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•崇明区期末）如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上一动点，连接OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求∠ACB的正切值；（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．2．（2019秋•徐汇区期末）如图，将抛物线y＝﹣x2+4平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C，新抛物线与x轴正半轴交于点B，联结BC，tan B＝4，设新抛物线与x轴的另一交点是A，新抛物线的顶点是D．（1）求点D的坐标；（2）设点E在新抛物线上，联结AC、DC，如果CE平分∠DCA，求点E的坐标．（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝﹣43x2+4沿x轴左右平移，点C的对应点为F，当△DEF和△ABC相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．专题三二次函数与等腰三角形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•松江区期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），点B（0，3）．点M（m，0）在线段OA上（与点A，O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．专题四二次函数与线段【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．2．（2019秋•虹口区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点P在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为3．（1）求抛物线的表达式以及点P的坐标；（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”．①当D在射线AP上，如果∠DAB为△ABD的特征角，求点D的坐标；②点E为第一象限内抛物线上一点，点F在x轴上，CE⊥EF，如果∠CEF为△ECF的特征角，求点E的坐标．专题五二次函数与其他【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y＝﹣x2+5，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．2．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝13x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．3．（2019秋•青浦区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．4．（2019秋•宝山区期末）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y＝a（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，a）和点B（﹣1，﹣a）．（1）求直线AB与y轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y随着x的增大而增大，求a应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当Q在以AB为直径的圆上时，求a的值．5．（2019秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中，将点P1（a，b﹣a）定义为点P（a，b）的“关联点”．已知：点A（x，y）在函数y＝x2的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点A1．（1）请在如图的基础上画出函数y＝x2﹣2的图象，简要说明画图方法；（2）如果点A1在函数y＝x2﹣2的图象上，求点A1的坐标；（3）将点P2（a，b﹣na）称为点P（a，b）的“待定关联点”（其中，n≠0）．如果点A（x，y）的“待定关联点”A2在函数y＝x2﹣n的图象上，试用含n的代数式表示点A2的坐标．专题2020年上海各区分类汇编-24题专题一二次函数与角度问题【历年真题】1．（2019秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）联结AC、BC，求∠ACB的正切值；（3）点P在抛物线上，且∠PAB＝∠ACB，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】分类讨论；解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c即可；（2）如图1，过点A作AH⊥BC于H，分别证△OBC和△AHB是等腰直角三角形，可求出CH，AH的长，可在Rt△AHC中，直接求出∠ACB的正切值；（3）此问需分类讨论，当∠PAB＝∠ACB时，过点P作PM⊥x轴于点M，设P（a，﹣a2+2a+3），由同角的三角函数值相等可求出a的值，由对称性可求出第二种情况．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得-1-b+c=0-9+3b+c=0⎧⎨⎩，解得，b＝2，c＝3，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴OC＝OB＝3，∴△OBC为等腰直角三角形，∠OBC＝45°，∴BC OC＝如图1，过点A作AH⊥BC于H，则∠HAB＝∠HBA＝45°，∴△AHB是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴AH＝BH＝2AB＝，∴CH＝BC﹣BH，∴在Rt △AHC 中，tan ∠ACH ＝AH CH ＝＝2，即∠ACB 的正切值为2；（3）①如图2，当∠PAB ＝∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P （a ，﹣a 2+2a +3），则M （a ，0），由（1）知，tan ∠ACB ＝2，∴tan ∠PAM ＝2，∴PM AM＝2，∴2-a 23a+1a ++＝2，解得，a 1＝﹣1（舍去），a 2＝1，∴P 1（1，4）；②取点P （1，4）关于x 轴的对称点Q （1，﹣4），延长AQ 交抛物线于P 2，则此时∠P 2AB ＝∠PAM ＝∠ACB ，设直线PQ 的解析式为y ＝kx +b ，将A （﹣1，0），Q （1，﹣4）代入，得，04k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得，k ＝﹣2，b ＝﹣2，∴y AQ ＝﹣2x ﹣2，联立，22223y x y x x =--⎧⎨=-++⎩，解得，10x y =-⎧⎨=⎩或512x y =⎧⎨=-⎩，∴P 2（5，﹣12）；综上所述，点P 的坐标为（1，4）或（5，﹣12）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用．2．（2019秋•闵行区期末）已知：在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线x ＝﹣2的抛物线经过点C （0，2），与x 轴交于A （﹣3，0）、B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC ，求∠BCO 的余切值；（3）如果过点C 的直线，交x 轴于点E ，交抛物线于点P ，且∠CEO ＝∠BCO ，求点P 的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】分类讨论；解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想．【分析】（1）设抛物线的表达式为y ＝ax 2+bx +c ，将A ，B 的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B ，C 的坐标，直接在Rt △OBC 中，根据余切定义即可求出；（3）设点E 的坐标是（x ，0），求出点E 的坐标，再求出CE 的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y ＝ax 2+bx +c ，将点C （0，2）、A （﹣3，0）、对称轴直线x ＝﹣2代入，得：229302b a a b c c ⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩，解得：23a =，83a =，∴这条抛物线的表达式为228233y x x =++；（2）令y ＝0，那么2282033x x ++=，解得x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，∵点A 的坐标是（﹣3，0），∴点B 的坐标是（﹣1，0），∵C （0，2），∴OB ＝1，OC ＝2，在Rt △OBC 中，∠BOC ＝90°，∴OC cot BCO==2OB∠；（3）设点E 的坐标是（x ，0），得OE ＝|x |．∵∠CEO ＝∠BCO ，∴cot ∠CEO ＝cot ∠BCO ，在Rt △EOC 中，∴OE |x|cot CEO==2OC 2=∠，∴|x |＝4，∴点E 坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C 坐标是（0，2），∴CE l ：122y x =+或122y x =-+，∴212228233y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，或212228233y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得13438x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去），或194358x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去）；∴点P 坐标是（134-，38）或（194-，358）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数等，解题关键是在求点E 坐标时需注意可在x 轴的正半轴，也可在负半轴．3．（2019秋•静安区期末）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数y ＝ax 2+bx +c（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图象经过点A （0，﹣3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果S △ABD ：S △BCD ＝3：2，求tan ∠DBC 的值；（3）如果点E在该二次函数图象的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；图形的相似；运算能力．【分析】（1）将A、B、C的坐标直接代入y＝ax2+bx+c即可；（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，求出AD与DC的比，证△CHD∽△COA，可求出CH，DH，BH的长，可根据正切定义求出结果；（3）求出抛物线对称轴为直线x＝2，设直线x＝2与x轴交于点G，过点A作AF垂直于直线x＝2，垂足为F，证∠OAC＝∠OCA＝45°，∠FAC＝∠OCA＝45°，推出∠BAO＝∠EAF，证△OAB∽△FEA，即可求出AF的长，EF 的长，EG的长，即可写出点E的坐标．【解答】解：（1）将A（0，﹣3）、B（1，0）、C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，得，3930ca b ca b c=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得，143abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是y＝﹣x2+4x﹣3；（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，则132122ABDBCDAD hS ADS DCCD h∆∆===，又∵DH∥y轴，∴△CHD∽△COA，∴25CH DC DHOC AC OA===，∴CH＝DH＝25×3＝65，∴BH＝BC﹣CH＝2﹣65＝45，∴tan∠DBC＝32 DHBH=；（3）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴对称轴为直线x＝2，设直线x＝2与x轴交于点G，过点A作AF垂直于直线x＝2，垂足为F，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵AF∥x轴，∴∠FAC＝∠OCA＝45°，∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠EAC，∵∠BAO＝∠OAC﹣∠BAC，∠EAF＝∠FAC﹣∠EAC，∴∠BAO＝∠EAF，∵∠AOB＝∠AFE＝90°，∴△OAB∽△FEA，∴13 OB EFOA AF==，∵AF＝2，∴EF＝23，∴EG＝GF﹣EF＝AO﹣EF＝3﹣23＝73，∴E（2，﹣7 3）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够由题意作出适当的辅助线构造相似三角形．4．（2019秋•杨浦区期末）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+4（m≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），且AB＝6．（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y轴上取点E（0，2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF，EF，如果S四边形OEFB＝10，求点F的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在x轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；方程思想；几何直观；运算能力．【分析】（1）根据抛物线解析式求得对称轴方程为x＝1，结合AB＝6求得点A、B的坐标；然后利用待定系数法确定函数解析式；（2）如图1，联结OF，设F（t，﹣12t2+t+4），根据图形得到S四边形OEFB＝S△OEF+S△OFB，由三角形的面积公式列出方程，利用方程求得点F的横坐标，结合二次函数图象上点的坐标特征求得点F的纵坐标；（3）如图2，设PF与y轴的交点为G．由tan∠EBO＝tan∠HFB＝12得到：∠EBO＝∠HFB．易推知∠PFB＝∠PBF．故PF＝PB．设P（a，0）．由两点间的距离公式求得相关线段的长度并列出方程，通过解方程求得点P的横坐标．【解答】解：（1）由y＝mx2﹣2mx+4＝m（x﹣1）2+4﹣m得到：抛物线对称轴为直线x＝1．∵AB＝6，∴A（﹣2，0），B（4，0）．将点A的坐标代入函数解析式得到：4m+4m+4＝0，解得m＝﹣1 2．故该抛物线解析式是：y＝﹣12x2+x+4；（2）如图1，联结OF，设F（t，﹣12t2+t+4），则S四边形OEFB＝S△OEF+S△OFB＝12×2t+12×4（﹣12t2+t+4）＝10．∴t1＝1，t2＝2．∴点F的坐标是（1，）或（2，4）；（3）由题意得，F（2，4），如图2，设PF与y轴的交点为G．，∵tan∠EBO＝24OEOB=＝12，tan∠HFB＝BHFH＝12，∴tan∠EBO＝tan∠HFB．∴∠EBO＝∠HFB．又∵∠PFH＝∠EGF＝∠FBE，∴∠PFB＝∠PBF．∴PF＝PB．设P（a，0）．则PF＝PB，∴（a﹣4）2＝（a﹣2）2+42，解得a＝﹣1．∴P（﹣1，0）【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．5、(2019秋•普陀区期末)在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线28 ()3y ax a x c=+++ (a≠0)经过点A(-3，-2)，与y轴交干点B(0，-2)，抛物线的顶点为点C．对称轴与x轴交干点D．(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED=∠BCD．求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，点P是位干y轴左侧抛物线上的一点，如果△PAE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；方程思想；几何直观；运算能力．【分析】（1）将点A 、B 代入抛物线28()3y ax a x c =+++，即可求出抛物线解析式，再化为顶点式即可．（2）如图1，连接AB ，交对称轴于点N ，则N （32-，-2），利用相等角的正切值相等即可求出EH 的长，OE 的长，可写出点E 的坐标（3）分∠EAP=90°和∠AEP=90°两种情况讨论，通过相似的性质，用含t 的代数式表示出点P 的坐标，可分别求出点P 的坐标【解答】解：（1）将点A (-3，-2)、B (0，-2)代入抛物线28(3y ax a x c =+++得8293()32a a x c c⎧-=-++⎪⎨⎪-=⎩解得，43a =-，2c =-∴2244342()5332y x x x =+-=+-∴抛物线的解析式是：24423y x x =+-，顶点C 的坐标为（32-，-5）（2）如图1，连接AB ，交对称轴于点N ，则N （32-，-2）在Rt△BCN 中，3BN 12tan BCN===EH 32∠∴1tan AED=2∠过点A 作AH⊥DE 于点H，则AH 21tan AED===EH EH 2∠∴EH=4，OE=1，∴E （1,0）（3）①如图2，当∠EAP=90°时，∵∠HEA+∠HAE=90°，∠MAP+∠HAE=90°∴∠HEA=∠MAP又∵∠AHE=∠PMA=90°∴△AHE ∽△PMA ，∴PM AH =AM HE设PM=t，则AM=2t，将P（t-3，-2-2t）代入24423y x x =+-得t 1=0（舍去），23t =2∴P 1（32-，-5）②如图3，当∠AEP=90°时，∵∠PEN +∠EPN=90°，∠AEG +∠PEN=90°∴∠EPN =∠AEG 又∵∠N=∠G=90°∴△AEG ∽△EPN ∴PN EG 1=EN 2AG =设PN=t ，则EN=2t ，将P （1-t ，2t ）代入24423y x x =+-得：1134t +=，2134t -=（舍）∴P 2（91294+-，131292）∴综上所述：P 1（32-，-5），P 2（32-，-5）专题二二次函数与相似三角形【历年真题】1．（2019秋•崇明区期末）如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上一动点，连接OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求∠ACB的正切值；（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；分类讨论；函数的综合应用；运算能力；推理能力；模型思想．【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；（2）如图，过点B作BH⊥AC于点H，构造等腰直角△ABH和直角△BCH，利用勾股定理和两点间的距离公式求得相关线段的长度，从而利用锐角三角函数的定义求得答案；（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，构造直角△DOK，设D（x，﹣x2﹣2x+3），则K（x，0）．并由题意知点D位于第二象限．由于∠BAC是公共角，所以当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：①∠AOD＝∠ABC．则tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D的坐标．②∠AOD＝∠ACB．则tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）分别代入得：9303a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．由于y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，所以该抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）；（2）如图1，过点B作BH⊥AC于点H．∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，AC＝．∵∠BHA＝90°，∴∠HAB+∠HBA＝90°．∴∠HAB＝∠HBA＝45°．∵在直角△AHB中，AH2+BH2＝AB2，AB＝4．∴AH＝BH＝2．∴CH＝﹣．∵∠BHC＝90°，∴tan∠ACB＝2 BHCH==；（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，设D（x，﹣x2﹣2x+3），则K（x，0）．并由题意知点D位于第二象限．∴DK＝﹣x2﹣2x+3，OK＝﹣x．∵∠BAC是公共角，∴当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：①∠AOD＝∠ABC时，△AOE∽△ABC，∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．∴2233x xx--+=-，解得x1＝1132-，x2＝1132+（舍去）∴D（1132，31332-）．②∠AOD＝∠ACB时，△AOE∽△ACB，∴tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．∴2232x xx--+=-，解得x13x2＝3（舍去）∴D3，3）．综上所述，当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标是（1132-，3133233）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2．（2019秋•徐汇区期末）如图，将抛物线y＝﹣x2+4平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C，新抛物线与x轴正半轴交于点B，联结BC，tan B＝4，设新抛物线与x轴的另一交点是A，新抛物线的顶点是D．（1）求点D的坐标；（2）设点E在新抛物线上，联结AC、DC，如果CE平分∠DCA，求点E的坐标．（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝﹣43x2+4沿x轴左右平移，点C的对应点为F，当△DEF和△ABC相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；二次函数的应用；图形的相似；应用意识．【分析】（1）设点D 坐标（a ，b ），可得新抛物线解析式为：y ＝﹣43（x ﹣a ）2+b ，先求出点C ，点B 坐标，代入解析式可求解；（2）通过证明△AOC ∽△CHD ，可得∠ACO ＝∠DCH ，可证EC ∥AO ，可得点E 纵坐标为4，即可求点E 坐标；（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求点F 坐标，即可求平移后得到抛物线的表达式．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣43x 2+4的顶点为C ，∴点C （0，4）∴OC ＝4，∵tan B ＝4＝OC OB，∴OB ＝1，∴点B （1，0）设点D 坐标（a ，b ）∴新抛物线解析式为：y ＝﹣43（x ﹣a ）2+b ，且过点C （0，4），点B （1，0）∴2240=-(1)3443a b a b ⎧-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得：13EF =125∴点D 坐标（﹣1，163）（2）如图1，过点D 作DH ⊥OC，∵点D 坐标（﹣1，163）当y＝0时，0＝﹣43（x+1）2+163，∴x1＝﹣3，x2＝1，∴点A（﹣3，0），∴AO＝3，∴AO3= CO4，∵点D坐标（﹣1，163）∴DH＝1，HO＝163，∴CH＝OH﹣OC＝43，∴DH3=CH4，∴AO DH=CO CH，且∠AOC＝∠DHC＝90°，∴△AOC∽△CHD，∴∠ACO＝∠DCH，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∴∠ACO+∠ACE＝∠DCH+∠DCE，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE＝180°∴∠ECO＝∠ECH＝90°＝∠AOB，∴EC∥AO，∴点E纵坐标为4，∴4＝﹣43（x+1）2+163，∴x1＝﹣2，x2＝0，∴点E（﹣2，4），（3）如图2，∵点E（﹣2，4），点C（0，4），点A（﹣3，0），点B（1，0），点D坐标（﹣1，16 3）∴DE＝DC＝53，AC＝5，AB＝3+1＝4，∴∠DEC＝∠DCE，∵EC∥AB，∴∠ECA＝∠CAB，∴∠DEC＝∠CAB，∵△DEF和△ABC相似∴DE EF=AC AB或DE EF=AB AC，∴5EF3=54或5EF3=45∴EF＝43或2512∴点F（﹣23，4）或（112，4）∴4＝﹣43（﹣23+1﹣c）2+4或4＝﹣43（112+1﹣c）2+4，∴c1＝13，c2＝1312∴平移后解析式为：y＝﹣43（x+23）2+4或y＝﹣43（x﹣112）2+4，【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法求解析式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．专题三二次函数与等腰三角形【历年真题】1．（2019秋•松江区期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），点B（0，3）．点M（m，0）在线段OA上（与点A，O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；分类讨论；方程思想；函数的综合应用；运算能力；推理能力．【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式即可；（2）根据点A、B的坐标得到直线AB解析式：y＝﹣x+3．设P（m，﹣m+3），Q（m，﹣m2+2m+3）．根据相似三角形△POB∽△QBP的性质列出比例式，通过比例式求得m的值，然后由两点间的距离公式求得PQ的长度；（3）利用两点间的距离公式求得BP 2、PQ 2、BQ 2的值．需要分三种情况解答：①BP ＝BQ ；②BP ＝PQ ；③PQ ＝BQ ，代入相关数值，列出方程，通过解方程求得m 的值．【解答】解：（1）将A （3，0），B （0，3）分别代入抛物线解析式，得9303b c c -++=⎧⎨=⎩．解得23b c =⎧⎨=⎩．故该抛物线解析式是：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）设直线AB 的解析式是：y ＝kx +t （k ≠0），把A （3，0），B （0，3）分别代入，得303k t t +=⎧⎨=⎩．解得k ＝﹣1，t ＝3．则该直线方程为：y ＝﹣x +3．故设P （m ，﹣m +3），Q （m ，﹣m 2+2m +3）．则BP m ，PQ ＝﹣m 2+3m ．∵OB ＝OA ＝3，∴∠BAO ＝45°．∵QM ⊥OA ，∴∠PMA ＝90°．∴∠AMP ＝45°．∴∠BPQ ＝∠APM ＝∠BAO ＝45°．又∵∠BOP ＝∠QBP ，∴△POB ∽△QBP ．于是BP OBPQ BP =，即23m m =-+．解得m 1＝95，m 2＝0（舍去）．∴PQ ＝﹣m 2+3m ＝；（3）由两点间的距离公式知，BP 2＝2m 2，PQ 2＝（﹣m 2+3m ）2，BQ 2＝m 2+（﹣m 2+2m ）2．①若BP ＝BQ ，2m 2＝m 2+（﹣m 2+2m ）2，解得m 1＝1，m 2＝3（舍去）．即m ＝1符合题意．②若BP ＝PQ ，2m 2＝（﹣m 2+3m ）2，解得m 1＝3，m 2＝（舍去）．即m ＝3符合题意．③若PQ ＝BQ ，（﹣m 2+3m ）2＝m 2+（﹣m 2+2m ）2，解得m ＝2．综上所述，m 的值为1或3或2．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．专题四二次函数与线段【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；应用意识．【分析】（1）用待定系数法可求解析式，配方后即可求顶点C坐标；（2）作辅助线，构建直角三角形，根据两点的距离求线段的长，根据三角函数定义可得结论；（3）利用平移的性质表示E和F的坐标，根据两点的距离公式和BE＝BF列方程可得结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），∴-3=4+20255b cb c+⎧⎨=++⎩解得：65bc=-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴顶点C坐标为（3，﹣4）；（2）∵点A关于抛物线对称轴x＝3的对应点为点D，∴点D的坐标（4，﹣3），∴OD＝5，如图1，过O作OG⊥BD于G，∵点B（5，0），∴OB＝OD，∴DG＝BG＝12BD＝12102=，∴OG＝，∴tan∠ODB＝102OGDG=＝3；（3）如图2，∵抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，∴E（3，﹣4+t），F（5，t），∵BE＝BF，B（5，0），∴（3﹣5）2+（﹣4+t）2＝（5﹣5）2+t2，t＝5 2．【点评】本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法、等腰三角形的性质、两点的距离、平移、三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会数形结合的思想，与方程相结合解决问题，属于中考常考题型2．（2019秋•虹口区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点P在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为．（1）求抛物线的表达式以及点P的坐标；（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”．①当D在射线AP上，如果∠DAB为△ABD的特征角，求点D的坐标；②点E为第一象限内抛物线上一点，点F在x轴上，CE⊥EF，如果∠CEF为△ECF的特征角，求点E的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】分类讨论；数据分析观念．【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C（0，3），则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b ＝2，即可求解；（2）当α＝60°，∠DBA＝12βα=＝30°时，△ABD为直角三角形，即可求解；当∠ADB＝β时，则∠ABD＝90°，即可求解；（3）∠CEF为△ECF的特征角，则△CEF为等腰直角三角形，则△CNE≌△EMF（AAS），即可求解．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C（0，3），则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；点P（1，）；（2）由点A、P的坐标知，∠PAB＝60°，直线AP的表达式为：y x+1）…①，当α＝60°，∠DBA＝12βα=＝30°时，△ABD为直角三角形，由面积公式得：y D×AB＝AD•BD，即y D×4＝2×解得：y D，点D在AP上，故点D（0）；当∠ADB＝β时，则∠ABD＝90°，故点D （3，；综上，点D 的坐标为：（0）或（3，）；（3）∠CEF 为△ECF 的特征角，则△CEF 为等腰直角三角形，过点E 分别作x 轴、y 轴的垂线交于点M 、N ，则△CNE ≌△EMF （AAS ），则EN ＝EM ，即x ＝y ，x ＝y ＝﹣x 2+2x +3，解得：x ＝12+，故点E （1132，1132+）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等和相似、新定义等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．专题五二次函数与其他【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是y ＝x 2﹣2x +5，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y ＝﹣x 2+5，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y 轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；二次函数的应用；应用意识．【分析】（1）设影子抛物线表达式是y＝x2+n，先求出原抛物线的顶点坐标，代入y＝x2+n，可求解；（2）设原抛物线表达式是y＝﹣（x+m）2+k，用待定系数法可求m，k，即可求解；（3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．【解答】解：（1）∵原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4∴原抛物线顶点是（1，4），设影子抛物线表达式是y＝x2+n，将（1，4）代入y＝x2+n，解得n＝3，所以“影子抛物线”的表达式是y＝x2+3；（2）设原抛物线表达式是y＝﹣（x+m）2+k，则原抛物线顶点是（﹣m，k），将（﹣m，k）代入y＝﹣x2+5，得﹣（﹣m）2+5＝k①，将（1，0）代入y＝﹣（x+m）2+k，0＝﹣（1+m）2+k②，由①、②解得111 4m k =⎧⎨=⎩，2221mk=-⎧⎨=⎩．所以，原抛物线表达式是y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣（x﹣2）2+1；（3）结论成立．设影子抛物线表达式是y＝ax2+n．原抛物线于y轴交点坐标为（0，c）则两条原抛物线可表示为y1＝ax2+b1x+c与抛物线y2＝ax2+b2x+c（其中a、b1、b2、c是常数，且a≠0，b1≠b2）由题意，可知两个抛物线的顶点分别是21114(,)24b ac bPa a--、22224(,)24b ac bPa a--将P1、P2分别代入y＝ax2+n，得221122224()244()24b ac b a na ab ac b a na a ⎧--+=⎪⎪⎨-⎪-+=⎪⎩消去n得b12＝b22，∵b1≠b2，∴b1＝﹣b2∴21114(,)24b ac bPa a--、22224(,)24b ac bPa a--，∴P1、P2关于y轴对称．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，理解“影子抛物线”的定义并能运用是本题的关键．2．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝13x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】（1）将点B、C代入抛物线解析式y＝13x2+mx+n即可；（2）先证△ABC为直角三角形，再证∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可证△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，求出BB'的坐标，直线AB'的解析式，即可求出点F'的坐标，接着求直线FF'的解析式，求出其与AB的交点即可．【解答】解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝13x2+mx+n，得112625053m nm n =++⎧⎪⎨=++⎪⎩，解得，m＝﹣83，n＝5，则抛物线的解析式为：y＝13x2﹣83x+5，点A坐标为（0，5）；（2）AC=BC==，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，当∠PAB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y轴于点Q，∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠PAB＝135°，∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，∵∠QAP+∠QPA＝90°，∴∠QPA＝∠CAB，又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线，由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1），将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5，∴k＝﹣3 2，∴y AB'＝﹣32x+5，联立235218533y xy x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得，x1＝72，x2＝0（舍去），则F'（72，14-），将B（6，1），B'（4，﹣1）代入直线y＝mx+n，得，61 41 k bk b+=⎧⎨+=-⎩，解得，k＝1，b＝﹣5，∴y BB'＝x﹣5，由题意知，k FF'＝K BB'，∴设y FF'＝x+b，将点F'（72，14-）代入，得，b＝﹣154，∴y FF'＝x﹣154，联立2+53154y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得，x＝214，y＝32，∴F（214，32），则FF'724 =．。

2019-2020年上海市中考数学各地区模拟试题分类：圆压轴题专项(含解析)

2019-2020年上海市中考数学各地区模拟试题分类：圆压轴题专项1．（2020•长宁区二模）已知AB是⊙O的一条弦，点C在⊙O上，联结CO并延长，交弦AB于点D，且CD＝CB．（1）如图1，如果BO平分∠ABC，求证：＝；（2）如图2，如果AO⊥OB，求AD：DB的值；（3）延长线段AO交弦BC于点E，如果△EOB是等腰三角形，且⊙O的半径长等于2，求弦BC的长．2．（2020•浦东新区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC．（1）求EF的长；（2）求∠COE的正弦值．3．（2020•崇明区二模）如图已知⊙O经过A、B两点，AB＝6，C是的中点，联结OC 交弦AB与点D，CD＝1．（1）求圆⊙O的半径；（2）过点B、点O分别作点AO、AB的平行线，交于点G，E是⊙O上一点，联结EG 交⊙O于点F，当EF＝AB，求sin∠OGE的值．4．（2020•宝山区二模）已知：如图，⊙O与⊙P相切于点A，如果过点A的直线BC交⊙O 于点B，交⊙P于点C，OD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E．求：（1）求的值；（2）如果⊙O和⊙P的半径比为3：5，求的值．5．（2020•闵行区一模）在圆O中，弦AB与CD相交于点E，且弧AC与弧BD相等．点D 在劣弧AB上，联结CO并延长交线段AB于点F，联结OA、OB．当OA＝，且tan∠OAB ＝．（1）求弦CD的长；（2）如果△AOF是直角三角形，求线段EF的长；（3）如果S△CEF ＝4S△BOF，求线段AF的长．6．（2020•宝山区一模）如图，直线l：y＝x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x 的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去．求：（1）点B1的坐标和∠A1OB1的度数；（2）弦A4B3的弦心距的长度．7．（2020•闵行区一模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．8．（2020•都江堰市模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝16．点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A．P是弧AB上的一个动点．（1）求半径OB的长；（2）如果点P是弧AB的中点，联结PC，求∠PCB的正切值；（3）如果BA平分∠PBC，延长BP、CA交于点D，求线段DP的长．9．（2020•亳州模拟）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A 的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．（1）求证：O1E＝O1C；（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．10．（2019•杨浦区三模）△ABC中，∠ACB＝90°，tan B＝，AB＝5，点O为边AB上一动点，以O为圆心，OB为半径的圆交射线BC于点E，以A为圆心，OB为半径的圆交射线AC于点G．（1）如图1，当点E、G分别在边BC、AC上，且CE＝CG时，请判断圆A与圆O的位置关系，并证明你的结论；（2）当圆O与圆A存在公共弦MN时（如图2），设OB＝x，MN＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）设圆A与边AB的交点为F，联结OE、EF，当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，求圆O的半径长．11．（2019•青浦区二模）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点，以CD为直径的⊙Q分别交BC、BA于点F、E，点E位于点D下方，连接EF交CD于点G．（1）如图1，如果BC＝2，求DE的长；（2）如图2，设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）如图3，连接CE，如果CG＝CE，求BC的长．12．（2019•浦东新区二模）已知AB是圆O的一条弦，P是圆O上一点，过点O作MN⊥AP，垂足为点M，并交射线AB于点N，圆O的半径为5，AB＝8．（1）当P是优弧的中点时（如图），求弦AP的长；（2）当点N与点B重合时，试判断：以圆O为圆心，为半径的圆与直线AP的位置关系，并说明理由；（3）当∠BNO＝∠BON，且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长．13．（2019•静安区二模）已知：如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝CD ＝6．动点P在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP＝x，PC＝y．（1）求证：PE∥DC；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）联结PD，当∠PDC＝∠B时，以D为圆心半径为R的⊙D与⊙P相交，求R的取值范围．14．（2019•普陀区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，cos∠BAC＝，点O是边AC上一个动点（不与A、C重合），以点O为圆心，AO为半径作⊙O，⊙O 与射线AB交于点D，以点C为圆心，CD为半径作⊙C，设OA＝x．（1）如图2，当点D与点B重合时，求x的值；（2）当点D在线段AB上，如果⊙C与AB的另一个交点E在线段AD上时，设AE＝y，试求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在点O的运动过程中，如果⊙C与线段AB只有一个公共点，请直接写出x的取值范围．15．（2019•嘉定区二模）在圆O中，AB是圆O的直径，AB＝10，点C是圆O上一点（与点A、B不重合），点M是弦BC的中点．（1）如图1，如果AM交OC于点E，求OE：CE的值；（2）如图2，如果AM⊥OC于点E，求sin∠ABC的值；（3）如图3，如果AB：BC＝5：4，点D为弦BC上一动点，过点D作DF⊥OC，交半径OC于点H，与射线BO交于圆内点F．探究一：如果设BD＝x，FO＝y，求y关于x 的函数解析式及其定义域；探究二：如果以点O为圆心，OF为半径的圆经过点D，直接写出此时BD的长度；请你完成上述两个探究．16．（2019•虹口区二模）如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，点P为射线BC 上一动点，以P为圆心，BP长为半径作⊙P，交射线BC于点Q，联结BD、AQ相交于点G，⊙P与线段BD、AQ分别相交于点E、F．（1）如果BE＝FQ，求⊙P的半径；（2）设BP＝x，FQ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结PE、PF，如果四边形EGFP是梯形，求BE的长．17．（2019•长宁区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在边AC上（点P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于另一点D，ED⊥DP，交边BC于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若BE＝x，AD＝y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；（3）延长ED交CA的延长线于点F，联结BP，若△BDP与△DAF相似，求线段AD的长．18．（2019•宝山区二模）如图已知：AB是圆O的直径，AB＝10，点C为圆O上异于点A、B的一点，点M为弦BC的中点．（1）如果AM交OC于点E，求OE：CE的值；（2）如果AM⊥OC于点E，求∠ABC的正弦值；（3）如果AB：BC＝5：4，D为BC上一动点，过D作DF⊥OC，交OC于点H，与射线BO交于圆内点F，请完成下列探究．探究一：设BD＝x，FO＝y，求y关于x的函数解析式及其定义域．探究二：如果点D在以O为圆心，OF为半径的圆上，写出此时BD的长度．19．（2019•徐汇区二模）如图，△ABC中，AC＝BC＝10，cos C＝，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．（1）当⊙P与边BC相切时，求⊙P的半径．（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长20．（2019•金山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB＝20cm，动点D由点C向点A以每秒1cm速度在边AC上运动，动点E由点C向点B以每秒cm速度在边BC上运动，若点D，点E从点C同时出发，运动t秒（t＞0），联结DE．（1）求证：△DCE∽△BCA．（2）设经过点D、C、E三点的圆为⊙P．①当⊙P与边AB相切时，求t的值．②在点D、点E运动过程中，若⊙P与边AB交于点F、G（点F在点G左侧），联结CP并延长CP交边AB于点M，当△PFM与△CDE相似时，求t的值．参考答案一．解答1．（1）证明：如图1中，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵OB＝OA＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠C＝∠OBC，∴∠A＝∠C，∵OB＝OB，∴△OBA≌△OBC（AAS），∴AB＝BC，∴＝．（2）解：如图2中，作DM⊥OB于M，DN⊥OA于N，设OM＝a．∵OA⊥OB，∴∠MON＝∠DMO＝∠DNO＝90°，∴四边形DMON是矩形，∴DN＝OM＝a，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠ABO＝45°，∵OC＝OB，CD＝CB，∴∠C＝∠OBC，∠CDB＝∠CBD，∵∠C+∠CDB+∠CBD＝180°，∴3∠C+90°＝180°，∴∠C＝30°，∴∠CDB＝∠CBD＝75°，∵∠DMB＝90°，∴∠MDB＝∠DBM＝45°，∴DM＝BM，∠ODM＝30°，∴DM＝OM＝a，DN＝DM＝a，AD＝DN＝a，∴＝＝．（3）解：如图3﹣1中，当BO＝BE时，∵CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD，∴∠A+∠AOD＝∠OBA+∠OBC，∵∠A＝∠ABO，∴∠AOD＝∠OBC＝∠C，∵AOD＝∠COE，∴∠C＝∠COE＝∠CBO，∵∠C＝∠C，∴△OCE∽△BCO，∴＝，∴＝，∴EC2+2EC﹣4＝0，解得EC＝﹣1+或﹣1﹣（舍弃），∴BC＝+1．如图3﹣2中，当EO＝EB时，同法可证△OEB是等腰直角三角形，∴EO＝EB＝EC＝OB＝，∴BC＝2，∵∠OEB＝∠C+∠COE＞∠OBE，∴OE≠OB，综上所述，BC的值为+1或2．2．解：（1）作OM⊥EF于M，如图，则EM＝FM，∵∠ACB＝90°，∴OM⊥BC，∴OM＝AC＝×8＝4，在Rt△OEM中，EM＝＝3，∴EF＝2EM＝6；（2）CM＝BC＝8，∴CE＝8﹣3＝5，∴CE＝OE，∴∠OEC＝∠OCE，在Rt△OCM中，OC＝＝4，∴sin∠OCM＝＝＝，∴∠COE的正弦值为．3．解：（1）∵AB＝6，C是的中点，CD＝1，∴OC⊥AB且OC平分AB，∴AD＝3，∠ODA＝90°，设OA＝r，则OD＝r﹣1，∴r2＝32+（r﹣1）2，解得，r＝5，即圆⊙O的半径为5；（2）作OH⊥EF于点H，∵AB＝EF，OD＝r﹣1＝4，∴OH＝OD＝4，∠OHG＝90°，∵OA∥BG，OG∥AB，∴四边形OABG是平行四边形，∴OG＝AB，∵AB＝6，∴OG＝6，∴sin∠OGH＝＝＝，即sin∠OGE＝．4．解：（1）∵OD⊥AB，PE⊥AC，OD过O，PE过P，∴AD＝AB，AE＝AC，∴；（2）连接OP，OP必过切点A，连接OB、CP，∵OB＝OA，PA＝PC，∴∠OBA＝∠OAB＝∠PAC＝∠PCA，即∠OBA＝∠PCA，∠BAO＝∠PAC，∴△OOA∽△CPA，∴＝，∵⊙O和⊙P的半径比为3：5，即＝，∴＝．5．解：（1）如图，过点O作OH⊥AB于点H，∵tan∠OAB＝＝，∴设OH＝a，AH＝2a，∵AO2＝OH2+AH2＝5，∴a＝1，∴OH＝1，AH＝2，∵OH⊥AB，∴AB＝2AH＝4，∵弧AC＝弧BD∴＝，∴AB＝CD＝4；（2）∵OA＝OB，∴∠OAF＝∠OBA，∴∠OAF＝∠ECF，①当∠AFO＝90°时，∵OA＝，tan∠OBA＝，∴OC＝OA＝，OF＝1，AB＝4，∴EF＝CF•tan∠ECF＝CF•tan∠OBA＝；②当∠AOF＝90°时，∵OA＝OB，∴∠OAF＝∠OBA，∴tan∠OAF＝tan∠OBA＝，∵OA＝，∴OF＝OA•tan∠OAF＝，∴AF＝，∵∠OAF＝∠OBA＝∠ECF，∠OFA＝∠EFC，∴△OFA∽△EFC，∴＝＝，∴EF＝OF＝，即：EF＝或；（3）如图，连接OE ，∵∠ECB ＝∠EBC ，∴CE ＝EB ，∵OE ＝OE ，OB ＝OC ，∴△OEC ≌△OEB ，∴S △OEC ＝S △OEB ，∵S △CEF ＝4S △BOF ，∴S △CEO +S △EOF ＝4（S △BOE ﹣S △EOF ）， ∴＝， ∴＝，∴FO ＝CO ＝，∴OH ＝＝1，∴HF ＝＝，∴AF ＝AH +HF ＝2+．6．解：（1）∵直线的解析式y ＝x ，∴tan ∠A 1OB 1＝＝， ∴∠A 1OB 1＝60°，OA 1＝1，∴A 1B 1＝，OA 2＝OB 1＝2， ∴B 1（1，）．（2）连接A 4B 3，作OH ⊥A 4B 3于H ．由题意OA1＝1，OA2＝2，OA3＝4，OA4＝8，∵OA4＝OB3，OH⊥A4B3，∴∠A4OH＝∠A4OB3＝30°，∴OH＝OA4•cos30°＝8×＝4．7．（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．8．解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝16，∴AB＝＝12，如图1，过O作OH⊥AB于H，则BH＝AB＝6，∵∠BHO＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△BHO∽△BCA，∴，∴＝，∴OB＝9；（2）如图2，连接OP交AB于H，过P作PE⊥BC于E，∵点P是弧AB的中点，∴OP⊥AB，AH＝BH＝AB＝6，在Rt△BHO中，OH＝＝＝3，在△POE与△BOH中，，∴△POE≌△BOH（AAS），∴PE＝HB＝6，OE＝OH＝3，∴CE＝BC﹣OB+OE＝10，∴∠PCB的正切值＝＝；（3）如图3，过A作AE⊥BD于E，连接CP，∵BA平分∠PBC，AC⊥BC，∴AE＝AC＝4，∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠D＝∠D，∴△ADE∽△BDC，∴＝，设DE＝x，∴＝，∴AD＝，在Rt△ACB与Rt△AEB中，，∴Rt△ACB≌Rt△AEB（HL），∴BE＝BC＝16，∵CD2+BC2＝BD2，∴（4+）2+162＝（16+x）2，解得：x＝，∴AD＝，BD＝16+＝，∴CD＝，∴OB＝9，过O作OF⊥PB交PB于F，则△OBF∽△DBC，∴，∴＝，∴BF＝7，∴PB＝2BF＝14，∴PD＝BD﹣BP＝．9．（1）证明：连接O1A，∵点E为AD的中点，∴O1E⊥AD，∵⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，∴O1C⊥AB，在Rt△O1EA和Rt△O1CA中，，∴Rt△O1EA≌Rt△O1CA（HL）∴O1E＝O1C；（2）解：设⊙O2的半径长为r，∵O1E＝O1C＝6，∴O2C＝10﹣6＝4，在Rt△O1EO2中，O2E＝＝8，则AC＝AE＝8﹣r，在Rt△ACO2中，O2A2＝AC2+O2C2，即r2＝（8﹣r）2+42，解得，r＝5，即⊙O2的半径长为5．10．解：（1）圆A与圆O外切，理由如下：∵∠ACB＝90°，tan B＝，AB＝5，∴AC＝3，BC＝4，作OP⊥BE于P，如图1所示：则PB＝PE，OP∥AC，∴＝，设PB＝PE＝x，则CG＝CE＝4﹣2x，∴OB＝＝x，AG＝AC﹣CG＝2x﹣1，∵AG＝OB，∴2x﹣1＝x，解得：x＝，∴OB═，∴OA＝AB﹣OB＝5﹣＝＝2OB，∴圆A与圆O外切；（2）连接OM，如图2所示：∵圆O与圆A存在公共弦MN，∴OA与MN垂直平分，∴∠ODM＝90°，DM＝MN＝y，AD＝OD＝（5﹣x），由勾股定理得：DM2＝OM2﹣OD2，即（y）2＝x2﹣（）2，整理得：y2＝3x2+10x﹣25，∴y＝（＜x＜5）；（3）分三种情况：①当圆O与圆A外切，OE＝OF时，圆O与圆A外切，圆O的半径长OB＝；②当OE＝FE时，圆O与圆A相交，如图3所示：作EH⊥OF于H，则OF＝OH＝﹣OB，∵∠B＝∠B，∠EHB＝90°＝∠C，∴△BEH∽△BAC，∴＝，∴EH＝＝，在Rt△OEH中，由勾股定理得：（）2+（﹣OB）2＝OE2＝OB2，解得：OB＝；③当O与A重合时，OE＝OF，F与B重合，OE＝AB＝5；综上所述，当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，圆O的半径长为或或5．11．解：（1）如图1中，连接CE．在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，∴AB＝＝，∵CD是⊙Q的直径，∴∠CED＝90°，∴CE⊥AB，∵BD＝AD，∴CD＝AB＝，∵•AB•CE＝•BC•AC，∴CE＝，在Rt△CDE中，DE＝＝＝．（2）如图2中，连接CE，设AC交⊙Q于K，连接FK，DF，DK．∵∠FCK＝90°，∴FK是⊙Q的直径，∴直线FK经过点Q，∵CD是⊙Q的直径，∴∠CFD＝∠CKD＝90°，∴DF⊥BC，DK⊥AC，∵DC＝DB＝DA，∴BF＝CF，CK＝AK，∴FK∥AB，∴＝，∵BC＝x，AC＝1，∴AB＝，∴DC＝DB＝DA＝，∵△ACE∽△ABC，∴可得AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝﹣，∴＝，∴＝，∴y＝（x＞1）．（3）如图3中，连接FK．∵CE＝CG，∴∠CEG＝∠CGE，∵∠FKC＝∠CEG，∵FK∥AB，∴∠FKC＝∠A，∵DC＝DA，∴∠A＝∠DCA，∴∠A＝∠DCA＝∠CEG＝∠CGE，∴∠CDA＝∠ECG，∴EC＝DE，由（2）可知：＝﹣，整理得：x2﹣2x﹣1＝0，∴x＝1+或1﹣（舍弃），∴BC＝1+．12．解：（1）连接PO并延长交弦AB于点H，如图1所示：∵P是优弧的中点，PH经过圆心O，∴PH⊥AB，AH＝BH，在△AOH中，∠AHO＝90°，AH＝AB＝4，AO＝5，∴OH＝＝＝3，在△APH中，∠AHP＝90°，PH＝OP+OH＝5+3＝8，∴AP＝＝＝4；（2）当点N与点B重合时，以点O为圆心，为半径的圆与直线AP相交；理由如下：作OG⊥AB于G，如图2所示：∵∠OBG＝∠ABM，∠OGB＝∠AMB，∴△OBG∽△ABM，∴＝，即＝，解得：BM＝，∴OM＝﹣5＝，∵＜，∴当点N与点B重合时，以点O为圆心，为半径的圆与直线AP相交；（3）①当点N在线段AB延长线上时，当圆N与圆O相外切时，作OD⊥AB于D，如图3所示：∵OA＝OB＝5，∴AD＝DB＝AB＝4，∴OD＝＝＝3，∵∠BNO＝∠BON，∴BN＝OB＝5，∴DN＝DB+BN＝9，在Rt△ODN中，由勾股定理得：ON＝＝＝3，∵圆N与圆O相切，∴圆N半径＝ON﹣5＝3﹣5；当圆N与圆O相内切时，圆N半径＝ON+5＝3+5；②当点N在线段AB上时，此时点P在弦AB的下方，点N在圆O内部，如图4所示：作OE⊥AB于E，则AE＝BE＝4，OE＝＝3，∵∠BNO＝∠BON，∴BN＝OB＝5，∴EN＝BN＝BE＝1，在Rt△OEN中，由勾股定理得：ON＝＝＝，∴圆N半径为5﹣或5+；综上所述，当∠BNO＝∠BON，且圆N与圆O相切时，圆N半径的长为3﹣5或3+5或5﹣或5+．13．（1）∵证明：梯形ABCD，AB＝CD，∴∠B＝∠DCB，∵PB＝PE，∴∠B＝∠PEB，∴∠DCB＝∠PEB，∴PE∥CD；（2）解：分别过P、A、D作BC的垂线，垂足分别为点H、F、G．∵梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC，DG⊥BC，PH⊥BC，∴四边形ADGF是矩形，PH∥AF，∵AD＝2，BC＝DC＝6，∴BF＝FG＝GC＝2，在Rt△ABF中，AF＝＝＝4，∵PH∥AF，∴＝＝，即＝＝，∴PH＝x，BH＝x，∴CH＝6﹣x，在Rt△PHC中，PC＝，∴y＝，即y＝（0＜x＜9）；（3）解：作EM∥PD交DC于M．∵PE∥DC，∴四边形PDME是平行四边形．∴PE＝DM＝x，即MC＝6﹣x，∴PD＝ME，∠PDC＝∠EMC，又∵∠PDC＝∠B，∠B＝∠DCB，∴∠DCB＝∠EMC＝∠PBE＝∠PEB．∴△PBE∽△ECM，∴＝，即＝，解得：x＝，即BE＝，∴PD＝EC＝6﹣＝，当两圆外切时，PD＝r P+R，即R＝0（舍去）；当两圆内切时，PD＝r P﹣R，即R1＝0（舍去），R2＝；即两圆相交时，0＜R＜．14．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，cos∠BAC＝，∴AC＝4，BC＝＝＝3，∵OA＝OB＝x，∴OC＝4﹣x，在Rt△BOC中，∵OB2＝BC2+OC2，∴x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝（2）如图2中，作CH⊥AB于H，OG⊥AB于G，EK⊥AC于K，连接CE．∵•AB•CH＝•BC•AC，∴CH＝，AH＝，∵OD＝OA＝x，OG⊥AD，∴AG＝DG＝OA•cos A＝x，∴AD＝x，DH＝x﹣，∴CD2＝（）2+（x﹣）2，∵AK＝AE•cos A＝y，EK＝y，∴CE2＝（4﹣y）2+（y）2，∵CD＝CE，∴（）2+（x﹣）2＝（4﹣y）2+（y）2，∴x2﹣x＝y2﹣y，∴（y﹣）2＝（x﹣2）2，∵y＜，x＞2，∴﹣y＝x﹣，∴y＝﹣x+（2＜x≤）．（3）①如图3﹣1中，当⊙C经过点B时，易知：BH＝DH＝，∴BD＝，∴AD＝5﹣＝，∴x＝，∴x＝，观察图象可知：当0＜x＜时，⊙C与线段AB只有一个公共点．②如图3﹣2中，当⊙C与AB相切时，CD⊥AB，易知OA＝2，此时x＝2，③如图3﹣3中，当＜x＜4时，⊙C与线段AB只有一个公共点．综上所述，当0＜x＜或x＝2或＜x＜4时，⊙C与线段AB只有一个公共点．15．解：（1）过点O作ON∥BC交AM于点N，如图1∴，，∵∴∵点M是弦BC的中点∴BM＝MC∴，∴OE：CE＝1：2；（2）联结OM，如图2∵点M是弦BC的中点，OM经过圆心O ∴OM⊥BC，∠OMC＝90°，∵AM⊥OC，∴∠MEO＝90°∴∠OMC＝∠MEO＝90°，又∵∠MOC＝∠EOM∴△MOC∽△EOM；∴，∵OE：CE＝1：2∴，∵OB＝OC∴∠ABC＝∠OCM在直角△MOC中，∴；（3）探究一：如图3，过点D作DL⊥DF交BO于点L，取BC中点M，连接OM∵DF⊥OC，∴DL∥OC，∴∠LDB＝∠C＝∠B∴BL＝DL，∵AB＝10，AB：BC＝5：4，∴BC＝8，OC＝5，∵BM＝CM＝4，∴cos∠OCM＝∵DL∥OC，∴设BD＝x，则CD＝8﹣x，∴BL＝DL＝x，CH＝（8﹣x），OH＝OC﹣CH＝5﹣（8﹣x），∵OH∥DL，∴，∴＝；∴y关于x的函数解析式是定义域是，探究二：∵以O为圆心，OF为半径的圆经过D，∴OF＝OD，∵DF⊥OC，∴OC垂直平分DF，FO＝OL，∴y＝5﹣x，∴，解得：x＝，∴BD＝．16．解：（1）∵BE＝FQ，∴∠BPE＝∠FPQ，∵PE＝PB，∴∠EBP＝（180°﹣∠EPB），同理∠FQP＝（180°﹣∠FPQ），∴∠EBP＝∠FQP，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBP，∴∠FQP＝∠ADB，∴tan∠FQP＝tan∠ADB＝，设⊙P的半径为r，则tan∠FQP＝＝，∴＝，解得：r＝，∴⊙P的半径为；（2）过点P作PM⊥FQ，垂足为点M，如图1所示：在Rt△ABQ中，cos∠AQB＝＝＝＝，在Rt△PQM中，QM＝PQ cos∠AQB＝，∵PM⊥FQ，PF＝PQ，∴FQ＝2QM＝，∴，当圆与D点相交时，x最大，作DH⊥BC于H，如图2所示：则PD＝PB＝x，DH＝AB＝4，BH＝AD＝3，则PH＝BP﹣BH＝x﹣3，在Rt△PDH中，由勾股定理得：42+（x﹣3）2＝x2，解得：x＝，∴x的取值范围为：；（3）设BP＝x，分两种情况：①EP∥AQ时，∴∠BEP＝∠BGQ，∵PB＝PE，∴∠PBE＝∠BEP，∴∠BGQ＝∠PBE，∴QG＝QB＝2x，同理：AG＝AD＝3，在Rt△ABQ中，由勾股定理得：42+（2x）2＝（3+2x）2，解得：x＝，∴QG＝QB＝2x＝，∵EP∥AQ，PB＝PQ，∴BE＝EG，∵AD∥BC，∴＝，即＝，解得：BG＝，∴BE＝BG＝；②PF∥BD时，同①得：BG＝BQ＝2x，DG＝AD＝3，在Rt△ABD中，由勾股定理得：42+32＝（3+2x）2，解得：x＝1或x＝﹣4（舍去），∴BQ＝2，∴BP＝1，作PN⊥BG于N，则BE＝2BN，如图3所示：∵AD∥BC，∴∠PBN＝∠ADB，∴cos∠PBN＝cos∠ADB＝，即＝，∴BN＝，∴BE＝2BN＝；综上所述，或．17．（1）证明：∵ED⊥DP，∴∠EDP＝90°．∴∠BDE+∠PDA＝90°．又∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠PAD＝90°．∵PD＝PA，∴∠PDA＝∠PAD．∴∠BDE＝∠B．∴BE＝DE．（2）∵AD＝y，BD＝BA﹣AD＝5﹣y．过点E作EH⊥BD垂足为点H，由（1）知BE＝DE，∴．在Rt△EHB中，∠EHB＝90°，∴．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．∴AB＝5．∴．∴，∴．（3）设PD＝a，则，在等腰△PDA中，，易得在Rt△PDF中，∠PDF＝90°，．∴，．若△BDP∽△DAF又∠BDP＝∠DAF①当∠DBP＝∠ADF时，即，解得a＝3，此时．②当∠DBP＝∠F时，即，解得，此时．综上所述，若△BDP与△DAF相似，线段AD的长为或．18．解：（1）如图1，过点O作ON∥BC交AM于点N，∵点O是AB的中点，∴点N是AM的中点，∴ON＝BM，∵点M为弦BC的中点，∴BM＝CM，∴ON＝CM，∵ON∥BC，∴＝；（2）如图1，连接OM，∵点M为弦BC的中点，∴OM⊥BC，∵AM⊥OC于点E，∴∴∠OME+∠CME＝∠CME+∠C＝90°，∴∠OME＝∠MCE，∴△OME∽△MCE，∴ME2＝OE•CE，设OE＝x，则CE＝2x，ME＝x，在Rt△MCE中，CM＝＝x，∴sin∠ECM＝＝＝∴sin∠ABC＝；（3）探究一：如图2，过点D作DL⊥DF交BO于点L，∵DF⊥OC，∴DL∥OC，∴∠LDB＝∠C＝∠B，∴BL＝DL，∵AB＝10，AB：BC＝5：4，设BD＝x，则CD＝8﹣x，BL＝DL＝x，CH＝，OH＝OC﹣CH＝5﹣（8﹣x），∵OH∥DL，∴＝，∴，∴y＝（其中）；探究二：∵以O为圆心，OF为半径的圆经过D，∴OF＝OD，∵DF⊥OC，∴OC垂直平分DF，FO＝OL，∴y＝5﹣x，∴，解得：x＝，∴BD＝．19．解：（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cos C＝，则sin C＝，sin C＝＝＝，解得：R＝；（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cos C＝，设AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，过点B作BH⊥AC，则BH＝BC sin C＝8，同理可得：CH＝6，HA＝4，AB＝4，则：tan∠CAB＝2BP＝＝，DA＝x，则BD＝4﹣x，如下图所示，PA＝PD，∴∠PAD＝∠CAB＝∠CBA＝β，PD∥BE，tanβ＝2，则cosβ＝，sinβ＝，EB＝BD cosβ＝（4﹣x）×＝4﹣x，∴PD∥BE，∴，即：＝，整理得：y＝（0＜x＜10）；（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，点D在圆P上，EP是圆Q的直径，则点D也在圆Q上，故GD为相交所得的公共弦，设∠DCP＝∠PDC＝∠α，GD是公共弦，则GD⊥PE，则∠PED＝∠BDE，∵∠EDP＝90°，∴∠PDE+∠EPD＝90°＝∠EPD+∠GDP，故∠PED＝∠EDP＝∠α，由（2）知tan∠BAC＝tanβ＝2，故tan，则cosα＝，则AD＝AG＝x，在Rt△EPD中，ED＝2PD＝2x，在Rt△BED中，ED＝2x，则EB＝ED＝x，则EC＝CB﹣BE＝10﹣x，在Rt△CGE中，CG＝AC﹣AG＝10﹣2x，cos∠C＝＝＝，解得：x＝；GD＝2PD cosα＝2x cosα＝2××＝．20．（1）证明：由题意得：CD＝t，CE＝t，由勾股定理得，BC＝＝12，＝，＝＝，∴＝，又∠C＝∠C，∴△DCE∽△BCA；（2）①连结CP并延长CP交AB于点H，∵∠ACB＝90°，∴DE是⊙P的直径，即P为DE中点，∴CP＝DP＝PE＝DE，∴∠PCE＝∠PEC，∵△DCE∽△BCA，∴∠CDE＝∠B，∵∠CDE+∠CED＝90°，∴∠B+∠HCB＝90°，即CH⊥AB，∵⊙P与边AB相切，∴点H为切点，CH为⊙P的直径，∵sin A＝＝，∴＝，解得，CH＝，∴DE＝，sin A＝sin∠CED＝＝，即＝，解得，CD＝，∴t＝；②由题意得，0＜t≤12，即0＜t≤9，∵CD＝t，CE＝t，∴DE＝＝t，由①得，CM＝，CP＝DE＝t，CM⊥AB，∴PM＝﹣t，PF＝CP＝t，∠PMF＝90°，当△FMP∽△DCE时，＝，即＝，解得，t＝；当△PMF∽△DCE时，＝，即＝，解得，t＝；∴综上所述：当△PFM与△CDE相似时．t＝或t＝．。

2018-2019学年上海中考数学各区一模压轴题汇编

目录Ⅰ第18题（填空小压轴） (2)【2019届一模徐汇】 (2)【2019届一模浦东】 (2)【2019届一模杨浦】 (3)【2019届一模普陀】 (3)【2019届一模奉贤】 (3)【2019届一模松江】 (3)【2019届一模嘉定】 (4)【2019届一模青浦】 (4)【2019届一模青浦】 (4)【2019届一模静安】 (5)【2019届一模宝山】 (5)【2019届一模长宁】 (5)【2019届一模金山】 (6)【2019届一模闵行】 (6)【2019届一模虹口】 (6)Ⅱ第23题（几何证明题） (7)【2019届一模徐汇】 (7)【2019届一模浦东】 (7)【2019届一模杨浦】 (7)【2019届一模普陀】 (8)【2019届一模奉贤】 (8)【2019届一模松江】 (9)【2019届一模嘉定】 (9)【2019届一模青浦】 (10)【2019届一模静安】 (10)【2019届一模宝山】 (11)【2019届一模长宁】 (11)【2019届一模金山】 (12)【2019届一模闵行】 (12)【2019届一模虹口】 (13)Ⅲ第24题（二次函数综合） (13)【2019届一模徐汇】 (13)【2019届一模浦东】 (14)【2019届一模普陀】 (16)【2019届一模奉贤】 (16)【2019届一模松江】 (17)【2019届一模嘉定】 (18)【2019届一模青浦】 (19)【2019届一模静安】 (20)【2019届一模宝山】 (21)【2019届一模长宁】 (22)【2019届一模金山】 (23)【2019届一模闵行】 (24)【2019届一模虹口】 (25)Ⅳ第25题（压轴题） (25)【2019届一模徐汇】 (25)【2019届一模浦东】 (26)【2019届一模杨浦】 (27)【2019届一模普陀】 (28)【2019届一模奉贤】 (29)【2019届一模松江】 (30)【2019届一模嘉定】 (31)【2019届一模青浦】 (32)【2019届一模静安】 (33)【2019届一模宝山】 (33)【2019届一模长宁】 (34)【2019届一模金山】 (35)【2019届一模闵行】 (36)【2019届一模虹口】 (37)Ⅰ第18题（填空小压轴）【2019届一模徐汇】18．在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，BC=6，CD=2，3tan4A=．点E为BC上一点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE的长为▲ ．【2019届一模浦东】18. 将矩形纸片ABCD沿直线AP折叠，使点D落在原矩形ABCD的边BC上的点E处，如果∠AED的余弦值为35，那么ABBC=__________.（第18题图）【2019届一模杨浦】18．Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =2，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为 ▲ .【2019届一模普陀】18．如图5，△ABC 中，8AB AC ==，3cos 4B =，点D 在边BC 上，将△ABD 沿直线AD 翻折得到△AED ，点B 的对应点为点E ，AE 与边BC 相交于点F ，如果2BD =，那么EF = ▲ ．【2019届一模奉贤】18．如图5，在△ABC 中，AB =AC =5，3sin =5C ，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ,点B 、C 分别与点D 、E 对应，AD 与边BC 交于点F ．如果AE //BC ，那么BF 的长是 ▲ ．【2019届一模松江】18．如图，在直角坐标平面xoy 中，点A 坐标为（3，2），∠AOB ＝90°，∠OAB ＝30°，ABACB（第18题图）图 5ABCD图5ABC与x 轴交于点C ，那么AC :BC 的值为______．【2019届一模嘉定】18．在△ABC 中，°=∠90ACB ，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，AE AC 3=，°=∠45CDE (如图3)，△DCE沿直线DE 翻折，翻折后的点C 落在△ABC 内部的点F ，直线AF 与边BC 相交于点G ，如果AE BG =，那么=B tan ▲ ．【2019届一模青浦】17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，tan ∠CAB=2，将△ABC 绕点A 旋转后，点B 落在AC 的延长线上的点D ，点C 落在点E ，DE 与直线BC 相交于点F ，那么CF= ▲ ．【2019届一模青浦】18．对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S 到图形上的任意一点P 之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的点S 称为“亮点”．如图，对于封闭图形ABCDE ，S 1是“亮点”，S 2不是“亮点”，如果AB ∥DE ，AE ∥DC ， AB=2，AE=1，∠B=∠C= 60°，那么该图形中所有“亮点” 组成的图形的面积为 ▲ ．【2019届一模静安】18．如图6，将矩形ABCD 沿对角线BD 所在直线翻折后，点A 与点E 重合，且ED 交BC 于点F ，联结AE ．如果2tan 3DFC ∠=，那么BDAE的值是 ▲ ．【2019届一模宝山】18．如图4，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =5，点P 为AC 上一点，将△BCP 沿直线BP 翻折，点C 落在C ’处，连接AC ’，若AC ’∥BC ，则CP 的长为 ▲ ．【2019届一模长宁】18．如图，点P 在平行四边形ABCD 的边BC 上，将ABP ∆沿直线AP 翻折，点B 恰好落在边AD 的垂直平分线上，如果5=AB ，8=AD ，34tan =B ，那么BP 的长为 ▲ ． AC（图4）B（第18题图）图6F BA CDEA【2019届一模金山】18．如图，在ABC Rt ∆中，o90=∠C ，8=AC ，6=BC ．在边AB 上取一点O ，使BC BO =，以点O 为旋转中心，把ABC ∆逆时针旋转o90，得到C B A ′′′∆（点A 、B 、C 的对应点分别是点A ′、B ′、C ′），那么ABC ∆与C B A ′′′∆的重叠部分的面积是 ▲ ．【2019届一模闵行】18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 3，AC = 4，点D 为边AB 上一点．将△BCD 沿直线CD 翻折，点B 落在点E 处，联结AE ．如果AE // CD ，那么BE = ▲ ．【2019届一模虹口】18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC 、BD 的交点，点E 为边AB 的中点，△BED 绕着点B 旋转至△BD 1E 1，如果点D 、E 、D 1在同一直线上，那么EE 1的长为 ▲ ．ABC第18题OABC （第18题图）A DE OⅡ第23题（几何证明题）【2019届一模徐汇】23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF BC⊥于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且2AE EG ED=⋅．(1) 求证：DE EF⊥；(2) 求证：22BC DF BF=⋅．【2019届一模浦东】23.（本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图8，在平行四边形ABCD中，M是边BC的中点，E是边BA延长线上的一点，联结EM，分别交线段AD于点F、AC于点G.（1）求证：GF EF GM EM=;（2）当22BC BA BE=⋅时，求证：∠EMB=∠ACD.【2019届一模杨浦】23．（本题满分12分，每小题各6分）B（第23题图）（图8）D B已知：如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且∠ACD =∠B =∠BAE. （1）求证：AD DEBC AC=；（2）当点E 为CD 中点时，求证：22AE ABCE AD=.【2019届一模普陀】23．（本题满分12分）已知：如图9，△ADE 的顶点E 在△ABC 的边BC 上，DE 与AB 相交于点F ，AE AF AB =⋅2，DAF EAC ∠=∠．（1）求证：△ADE ∽△ACB ；（2）求证：DF CE DE CB=．【2019届一模奉贤】23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）已知：如图9，在△ABC 中，点D 在边AC 上，BD 的垂直平分线交CA 的延长线于点E ，（第23题图）ECF图9ABDE交BD 于点F ，联结BE ，EC EA ED •=2．（1）求证：∠EBA =∠C ；（2）如果BD =CD ，求证：AC AD AB •=2．【2019届一模松江】23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，E 是对角线AC 上一点，且AC ·CE=AD ·BC . （1）求证：∠DCA=∠EBC ；（2）延长BE 交AD 于F ，求证：AB 2=AF ·AD .【2019届一模嘉定】23．（本题满分12分，每小题6分）如图6，已知点D 在△ABC 的外部，AD //BC ，点E 在边AB 上，AE BC AD AB ⋅=⋅．（1）求证：AED BAC ∠=∠；（2）在边AC 取一点F ，如果D AFE ∠=∠，ABCDEF图9（第23题图）EDCBAF（第23题图）EDCBAD A求证：ACAFBC AD =．【2019届一模青浦】23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD=AF ，AE CE DE EF ⋅=⋅．（1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE BD EF AF ⋅=⋅，求证：AB=AC ．【2019届一模静安】23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图9，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 和AB 上，且AD AC =，EB ED =，分别延长ED 、AC 交于点F ．（1）求证：ABD ∆∽FDC ∆；（2）求证：2AE BE EF =⋅．ABCDEF（第23题图）图9AC BDEF【2019届一模宝山】23．（本题满分12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图8所示，电梯AB 的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A 端6米的P 处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B 处的仰角为14°，求电梯AB 的坡度与长度．参考数据：，，.【2019届一模长宁】23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AC 、AB 上，延长DE 、CB 交于点F ，且AC AD AB AE ⋅=⋅．（1）求证：C FEB ∠=∠；（2）联结AF ，若FD CD AB FB =，求证：FB AC AB EF ⋅=⋅．24.014sin ≈°25.014tan ≈°97.014cos ≈°Q 9.9米 B出口顶部1.5米（图8） AP 6米 2.4米°14 第23题图CEDABF【2019届一模金山】23．如图，M 是平行四边形ABCD 的对角线上的一点，射线AM 与BC 交于点F ，与DC 的延长线交于点H ．（1）求证：MH MF AM ⋅=2．（2）若DM BD BC ⋅=2，求证：ADC AMB ∠=∠．【2019届一模闵行】23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，在△ABC 中，点D 为边BC 上一点，且AD = AB ，AE ⊥BC ，垂足为点E ．过点D 作DF // AB ，交边AC 于点F ，联结EF ，212EF BD EC =⋅．（1）求证：△EDF ∽△EFC ；（2）如果14EDF ADC S S =V V ，求证：AB = BD ．ABCD HF M第23题ABCDE F（第23题图）【2019届一模虹口】23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是边BC 的中点，DE ⊥AC ，垂足为点E ．（1）求证：DE CD AD CE ⋅=⋅；（2）设F 为DE 的中点，联结AF 、BE ，求证：=AF BC AD BE ⋅⋅．Ⅲ第24题（二次函数综合）【2019届一模徐汇】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线C 1:2(0)y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，AO =OB =2，120AOB ∠=o ．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM ，求AOM S V ；（3）将抛物线C 1向上平移得到抛物线C 2，抛物线C 2与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果△MBF 与△AOM 相似，求所有符合条件的抛物线C 2的表达式．（第24题图）第23题图E【2019届一模浦东】24. （本题满分12分，其中每小题各4分）已知：如图9，在平面直角坐标系xOy 中，直线12y x b =−+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B . 抛物线244y ax ax =−+经过点A 和点B ，并与x 轴相交于另一点C ，对称轴与x 轴相交于点D .（1）求抛物线的表达式; （2）求证: △BOD ∽△AOB ;（3）如果点P 在线段AB 上，且∠BCP =∠DBO ，求点P 的坐标.【2019届一模杨浦】24．（本题满分12分，每小题各4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++?与y 轴交于点C （0,2），它的顶点为D （1,m ），且1tan 3COD ?. （1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA =OB .若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且∠APB =45°.求P 点的坐标.O xy 1 2 3 4 1 2 3 45-1-2 -3-1 -2 -3 （第24题图）【2019届一模普陀】24．（本题满分12分）如图10，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+−(0)a ≠与x 轴交于点A ()1,0−和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）如果点E 是y 轴上的一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ⊥时，求点E 的坐标；（3）如果点F 是抛物线上的一点，且135FBD ∠=o ，求点F 的坐标．【2019届一模奉贤】24．（本题满分12分，每小题满分6分）如图10，在平面直角坐标系中，直线AB 与抛物线2y ax bx =+交于点A (6，0)和点B (1，－5)．（1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式； xOy xOy 图10（2）如果点C 在直线AB 上，且∠BOC 的正切值是32，求点C 的坐标．【2019届一模松江】24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，抛物线c bx x y ++−=221经过点A （﹣2，0），点B （0，4）. （1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标；（3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE ∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO =2OF ，求m 的值.【2019届一模嘉定】24．（本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系xOy （如图7）中，抛物线22++=bx ax y 经过点)0,4(A 、)2,2(B ，与y 轴的交点为C ．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M ，求△AMC（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC 交于点D (第24题图)y xOBA在线段AB 上，且°=∠45DOE ，求点E 的坐标．【2019届一模青浦】24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =−平移后经过点A （-1，0）、B （4，0），且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）．（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CD CAD 的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标．【2019届一模静安】24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中（如图10），已知抛物线2(0)y ax bx c a ++≠的图像经过点(40)B ，、(53)D ，，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且ABD ∆的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求ADB ∠的正切值；（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当APE ∆与ABD ∆相似时，求点P 的坐标．（第24题图）（备用图）BD ﹒﹒【2019届一模宝山】24．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）如图9，已知：二次函数的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P ,一次函数的图像交x 轴于点B ，交y 轴于点C , ∠OCA 的正切值为． (1)求二次函数的解析式与顶点P 坐标；(2)将二次函数图像向下平移m 个单位,设平移后抛物线顶点为P ’,若，求m 的值．2y x bx =+132y x =−23A CO （图9）【2019届一模长宁】24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O 、点)3,1(B ，又与x 轴正半轴相交于点A ，°=∠45BAO ，点P 是线段AB 上的一点，过点P 作OB PM //，与抛物线交于点M ，且点M 在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若AOB BMP ∠=∠，求点P 的坐标；（3）过点M 作x MC ⊥轴，分别交直线AB 、x 轴于点N 、C ，若ANC ∆的面积等于PMN ∆的面积的2倍，求NCMN 的值．第24题图xO A By备用图xO A By【2019届一模金山】24．已知抛物线c bx x y ++=2经过点()6,0A ，点()3,1B ，直线1l ：()0≠=k kx y ，直线2l ：2−−=x y ，直线1l 经过抛物线c bx x y ++=2的顶点P ，且1l 与2l 相交于点C ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E .若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线2l 上（此时抛物线的顶点记为M ），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线1l 上（此时抛物线的顶点记为N ）．（1）求抛物线c bx x y ++=2的解析式．（2）判断以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 的位置关系，并说明理由．（3）设点F 、H 在直线1l 上（点H 在点F 的下方），当MHF ∆与OAB ∆相似时，求点F 、H 的坐标（直接写出结果）．第24题【2019届一模闵行】24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线2y a x b x=+经过点A（5，0）、B（-3，4），抛物线的对称轴与x 轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠PAO =∠BAO，求点P的坐标．xO（第24题图）【2019届一模虹口】24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴相交于原点O 和点B （4，0），点A （3，m ）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan ∠OAB 的值；（3）点D 在抛物线的对称轴上，如果∠BAD =45°，求点D 的坐标．Ⅳ第25题（压轴题）【2019届一模徐汇】25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上(不与点A 、C 重合)，EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ．（1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长．OAy xB【2019届一模浦东】25. （本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图10-1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C重合，小三角尺的顶点D、E分别在大三角尺的直角边AC、BC上，此时小三角尺的斜边DE恰好经过大三角尺的重心G. 已知∠A=∠CDE=30°，AB=12.（1）求小三角尺的直角边CD的长;（2）将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边AB上时（如图10-2），求点B、E之间的距离;（3）在小三角尺绕点C旋转的过程中，当直线DE经过点A时，求∠BAE的正弦值.（第25题图1）（第25题图）CE【2019届一模杨浦】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，AD =3，AB =6，DF ⊥DC 分别交射线AB 、射线CB 于点E 、F . （1）当点E 为边AB 的中点时（如图1），求BC 的长；（2）当点E 在边AB 上时（如图2），联结CE ，试问：∠DCE 的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE 的正切值；若不确定，则设AE =x ，∠DCE 的正切值为y ，请求出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当△AEF 的面积为3时，求△DCE 的面积.A BC D EF （图1）（第25题图） A B C D E F （图2）【2019届一模普陀】25．（本题满分14分）如图11，点O 在线段AB 上，22AO OB a ==，60BOP ∠=°，点C 是射线OP 上的一个动点．（1）如图11①，当90ACB ∠=°，2OC =，求a 的值；（2）如图11②，当AC =AB 时，求OC 的长（用含a 的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A 作AQ ∥BC ，并使∠QOC=∠B ，求:AQ OQ 的值．A BCP OABCPO图11①图11②【2019届一模奉贤】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图11，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB =90°，AD =4，26AB CD ==，E 是边BC 上一点，过点D 、E 分别作BC 、CD 的平行线交于点F ，联结AF 并延长，与射线DC 交于点G ．（1）当点G 与点C 重合时，求:CE BE 的值；（2）当点G 在边CD 上时，设CE m =，求△DFG 的面积；（用含m 的代数式表示）（3）当AFD ∆∽ADG ∆时，求∠DAG 的余弦值．图11ABC D F E G 备用图ABC D【2019届一模松江】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ．（1）如果BC =6，AC =8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长；（2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE =2，ED =3，求cosA 的值；（3）联结PD ，如果222BP CD =，且CE =2，ED =3，求线段PD 的长．（备用图2）ABCD（备用图1）ABCD（第25题图）ABPCD E【2019届一模嘉定】25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，点E 是边AD 上一点，EC EM ⊥交AB 于点M ，点N 在射线MB 上，且AE 是AM 和AN 的比例中项. （1）如图8，求证：DCE ANE ∠=∠；（2）如图9，当点N 在线段MB 之间，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN 的长；（3）联结AC ，如果△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长．A 备用图BDCA 图8B M E DC N A 备用图 BD C ME N A 图9 B D C【2019届一模青浦】25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BC =18，DB =DC =15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE =DF =5． AE 的延长线交边BC 于点G ， AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ．（1）求证：BG =CH ；（2）设AD =x ，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长． NHGFEDC AB （第25题图）图11ABCPQM【2019届一模静安】25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图11，在ABC ∆中，6AB =，9AC=，tan ABC ∠．过点B 作BM //AC ，动点P 在射线BM 上（点P 不与点B 重合），联结PA 并延长到点Q ，使AQC ABP ∠=∠．（1）求ABC ∆的面积；（2）设BP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）联结PC ，如果PQC ∆是直角三角形，求BP 的长．【2019届一模宝山】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分）如图10，已知：梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°，AB ∥DC ，DC =3，AB =5，点 P 在AB 边上，以点A 为圆心AP 为半径作弧交边DC 于点E ，射线EP 与射线CB 交于点F ．（1）若DE 的长；（2）联结CP ，若CP=EP ，求AP 的长；（3）线段CF 上是否存在点G ，使得△ADE 与△FGE 相似，若相似，求FG 的值；若不相似，请说明理由．【2019届一模长宁】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）已知锐角MBN ∠的余弦值为53，点C 在射线BN 上，25=BC ，点A 在MBN ∠的内部，且°=∠90BAC ，MBN BCA ∠=∠．过点A 的直线DE 分别交射线BM 、射线BN 于点D 、E ．点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且MBN EAF ∠=∠．（1）如图1，当BN AF ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设x BF =，y BD =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域； AP 备用图A BCD A（图10）（3）联结DF ，当ADF ∆与ACE ∆相似时，请直接写出BD 的长．【2019届一模金山】25．已知多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，联结AC 、FD ，点H 是射线AF 上的一个动点，联结CH ,直线CH 交射线DF 于点G ，作CH MH ⊥交CD 的延长线于点M ，设⊙O 的半径为()0>r r ．（1）求证：四边形ACDF 是矩形．（2）当CH 经过点E 时，⊙M 与⊙O 外切，求⊙M 的半径（用r 的代数式表示）．（3）设()o900<<=∠ααHCD ，求点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积（用r 及含α的三角比的式子表示）．第25题图图2 BFEC NDA MB FCE N A DM图1备用图BC NAMA B FOHEO【2019届一模闵行】25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分、第（2）、（3）小题各5分）如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB = CD，AD = 5，BC = 15，5cos13ABC∠=．E为射线CD上任意一点，过点A作AF // BE，与射线CD相交于点F．联结BF，与直线AD相交于点G．设CE = x，AG yDG=．（1）求AB的长；（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果23ABEFABCDSS=四边形四边形，求线段CE的长．A DFGA D【2019届一模虹口】25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AB =6，BC =10，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，联结EG 并延长交射线BC 于点F ．（1）如果cos ∠DBC =23，求EF 的长；（2）当点F 在边BC 上时，联结AG ，设AD=x ，ABG BEFS y S ∆∆= ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CG ，如果△FCG 是等腰三角形，求AD 的长．第25题备用图第25题图EABCFDG。

2019年上海市普陀区中考数学一模试卷含答案解析

2019年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题（每题4分）1．“相似的图形”是（）A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形C．能够重合的图形 D．大小相同的图形2．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y=2x+1 B．y=2x（x+1） C．y=D．y=（x﹣2）2﹣x23．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．4．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的5．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=6．下列说法中，错误的是（）A．长度为1的向量叫做单位向量B．如果k≠0，且≠，那么k的方向与的方向相同C．如果k=0或=，那么k=D．如果=，=，其中是非零向量，那么∥二、填空题（每题2分）7．如果x：y=4：3，那么=．8．计算：3﹣4（+）=．9．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是．10．抛物线y=4x2﹣3x与y轴的交点坐标是．11．若点A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，则n的值为．12．已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP的长等于厘米．13．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是．14．已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是．15．如果港口A的南偏东52°方向有一座小岛B，那么从小岛B观察港口A的方向是．16．在半径为4厘米的圆面中，挖去一个半径为x厘米的圆面，剩下部分的面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式：（结果保留π，不要求写出定义域）17．如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于．18．如图，DE∥BC，且过△ABC的重心，分别与AB、AC交于点D、E，点P是线段DE上一点，CP的延长线交AB于点Q，如果=，那么S△DPQ ：S△CPE的值是．三、解答题19．计算：cos245°+﹣•tan30°．20．如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC=16，求⊙O的直径．21．如图，已知向量，，．（1）求做：向量分别在，方向上的分向量，：（不要求写作法，但要在图中明确标出向量和）．（2）如果点A是线段OD的中点，联结AE、交线段OP于点Q，设=，=，那么试用，表示向量，（请直接写出结论）22．一段斜坡路面的截面图如图所示，BC⊥AC，其中坡面AB的坡比i1=1：2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面AD的坡比i2（结果保留根号）23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC∽△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）是抛物线y=ax2+2x﹣c 上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P．（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C的坐标；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ与△ACP相似，求点Q的坐标．25．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB=，点O是AB的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．（1）当CM=2时，求线段CD的长；（2）设CM=x，BN=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM的长．2019年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分）1．“相似的图形”是（）A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形C．能够重合的图形 D．大小相同的图形【考点】相似图形．【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选A．2．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y=2x+1 B．y=2x（x+1） C．y=D．y=（x﹣2）2﹣x2【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：A、y=2x+1是一次函数，故A错误；B、y=2x（x+1）是二次函数，故B正确；C、y=不是二次函数，故C错误；D、y=（x﹣2）2﹣x2是一次函数，故D错误；故选：B．3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例，可以解答本题．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AH=2，BH=1，BC=5，∴AB=AH+BH=3，∴，∴，故选D．4．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的【考点】二次函数的性质．【分析】由表可知抛物线过点（﹣2，0）、（0，6）可判断A、B；当x=0或x=1时，y=6可求得其对称轴，可判断C；由表中所给函数值可判断D．【解答】解：当x=﹣2时，y=0，∴抛物线过（﹣2，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故A正确；当x=0时，y=6，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；当x=0和x=1时，y=6，∴对称轴为x=，故C错误；当x＜时，y随x的增大而增大，∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选C．5．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】已知∠ADC=∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠ABC或AC是∠BCD的平分线；②=；故选：C．6．下列说法中，错误的是（）A．长度为1的向量叫做单位向量B．如果k≠0，且≠，那么k的方向与的方向相同C．如果k=0或=，那么k=D．如果=，=，其中是非零向量，那么∥【考点】*平面向量．【分析】由平面向量的性质来判断选项的正误．【解答】解：A、长度为1的向量叫做单位向量，故本选项错误；B、当k＞0且≠时，那么k的方向与的方向相同，故本选项正确；C、如果k=0或=，那么k=，故本选项错误；D、如果=，=，其中是非零向量，那么向量a与向量b共线，即∥，故本选项错误；故选：B．二、填空题（每题2分）7．如果x：y=4：3，那么=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质用x表示y，代入计算即可．【解答】解：∵x：y=4：3，∴x=y，∴==，故答案为：．8．计算：3﹣4（+）=﹣﹣4．【考点】*平面向量．【分析】根据向量加法的运算律进行计算即可．【解答】解：3﹣4（+）=3﹣4﹣4=﹣﹣4．故答案是：﹣﹣4．9．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是m＞1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣1＞0．【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．10．抛物线y=4x2﹣3x与y轴的交点坐标是（0，0）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】令x=0可求得y=0，可求得答案．【解答】解：在y=4x2﹣3x中，令x=0可得y=0，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），故答案为：（0，0）．11．若点A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，则n的值为12．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将A（3，n）代入二次函数的关系式y=x2+2x﹣3，然后解关于n的方程即可．【解答】解：∵A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，∴A（3，n）满足二次函数y=x2+2x﹣3，∴n=9+6﹣3=12，即n=12，故答案是：12．12．已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP的长等于5﹣5厘米．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP=AB=（5﹣5）厘米，故答案为：5﹣5．13．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是1：4．【考点】相似图形．【分析】根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的面积比为5：20=1：4，故答案为：1：4．14．已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是x＞5．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点在圆外的判断方法得到x的取值范围．【解答】解：∵点P在半径为5的⊙O外，∴OP＞5，即x＞5．故答案为x＞5．15．如果港口A的南偏东52°方向有一座小岛B，那么从小岛B观察港口A的方向是北偏西52°．【考点】方向角．【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．【解答】解：如图，∵∠1=∠2=52°，∴从小岛B观察港口A的方向是北偏西52°．故答案为：北偏西52°．16．在半径为4厘米的圆面中，挖去一个半径为x厘米的圆面，剩下部分的面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式：y=﹣πx2+16π（结果保留π，不要求写出定义域）【考点】函数关系式；函数自变量的取值范围．【分析】根据圆的面积公式，可得答案．【解答】解：由题意得在半径为4厘米的圆面中，挖去一个半径为x厘米的圆面，剩下部分的面积为y 平方厘米，y=﹣πx2+16π，故答案为：y=﹣πx2+16π．17．如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于．【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．【分析】如图，△ABC中，AB=AC，AC：BC=5：6，作AE⊥BC于E，则BE=EC，在Rt△AEC中，根据cos∠C===，即可解决问题．【解答】解：如图，△ABC中，AB=AC，AC：BC=5：6，作AE⊥BC于E，则BE=EC，，在Rt△AEC中，cos∠C===，故答案为．18．如图，DE∥BC，且过△ABC的重心，分别与AB、AC交于点D、E，点P是线段DE上一点，CP的延长线交AB于点Q，如果=，那么S△DPQ ：S△CPE的值是1：15．【考点】三角形的重心；相似三角形的判定与性质．【分析】连接QE，由DE∥BC、DE过△ABC的重心即可得出=，设DE=4m，则BC=6m，结合=即可得出DP=m，PE=3m，由△DPQ与△QPE有相同的高即可得出==，再根据DE∥BC，利用平行线的性质即可得出∠QDP=∠QBC，结合公共角∠DQP=∠BQC即可得出△QDP∽△QBC，依据相似三角形的性质即可得出==，进而得出=，结合三角形的面积即可得出==，将与相乘即可得出结论．【解答】解：连接QE，如图所示．∵DE∥BC，DE过△ABC的重心，∴=．设DE=4m，则BC=6m．∵=，∴DP=m，PE=3m，∴==．∵DE∥BC，∴∠QDP=∠QBC，∵∠DQP=∠BQC，∴△QDP∽△QBC，∴==，∴=，∴==，∴=•=×=．故答案为：1：15．三、解答题19．计算：cos245°+﹣•tan30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=（）2+﹣×=+﹣1=．20．如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC=16，求⊙O的直径．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：连接OB，设OB=OA=R，则OE=16﹣R，∵AD⊥BC，BC=16，∴∠OEB=90°，BE=BC=8，由勾股定理得：OB2=OE2+BE2，R2=（16﹣R）2+82，解得：R=10，即⊙O的直径为20．21．如图，已知向量，，．（1）求做：向量分别在，方向上的分向量，：（不要求写作法，但要在图中明确标出向量和）．（2）如果点A是线段OD的中点，联结AE、交线段OP于点Q，设=，=，那么试用，表示向量，（请直接写出结论）【考点】*平面向量．【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则，分别过P 作OA 、OB 的平行线，交OA 于D ，交OB 于E ；（2）易得△OAQ ∽△PEQ ，根据相似三角形对应边成比例得出===，那么=2=﹣2， ==．再求出==﹣2，然后根据=﹣即可求解．【解答】解：（1）如图，分别过P 作OA 、OB 的平行线，交OA 于D ，交OB 于E ，则向量分别在，方向上的分向量是，；（2）如图，∵四边形ODPE 是平行四边形， ∴PE ∥DO ，PE=DO ， ∴△OAQ ∽△PEQ ，∴==，∵点A 是线段OD 的中点，∴OA=OD=PE ，∴===，∴=2=﹣2， ==．∵=﹣=﹣2，∴==﹣2，∴=﹣=﹣2﹣=﹣2．22．一段斜坡路面的截面图如图所示，BC ⊥AC ，其中坡面AB 的坡比i 1=1：2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面AD 的坡比i 2（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】作DE ⊥AB ，可得∠BDE=∠BAC ，即可知tan ∠BAC=tan ∠BDE ，即==，设DC=2x ，由角平分线性质得DE=DC=2x ，再分别表示出BD 、AC 的长，最后由坡比定义可得答案．【解答】解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB=∠C=90°， ∵∠B=∠B ， ∴∠BDE=∠BAC ，∴tan ∠BAC=tan ∠BDE ，即==，设DC=2x ，∵∠DAC=∠DAE ，∠DEB=∠C=90°， ∴DE=DC=2x ，则BE=x ，BD==x ，∴BC=CD+BD=（2+）x，∴AC=2BC=（4+2）x，∴新坡面AD的坡比i2===﹣2．23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC∽△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；（2）先根据相似三角形的性质，得出∠BAC=∠EDA，=，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可．【解答】证明：（1）∵DC=，CE=a，AC=b，∴CD2=CE×CA，即=，又∵∠ECD=∠DCA，∴△DEC∽△ADC；（2）∵△DEC∽△ADC，∴∠DAE=∠CDE，∵∠BAD=∠CDA，∴∠BAC=∠EDA，∵△DEC∽△ADC，∴=，∵DC=AB ，∴=，即=，∴△ADE ∽△CAB ，∴=，即AE•AB=BC•DE ．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，0）是抛物线y=ax 2+2x ﹣c 上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B （0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C ，新抛物线的对称轴与线段AB 的交点记为P ．（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C 的坐标；（2）求∠CAB 的正切值；（3）如果点Q 是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ 与△ACP 相似，求点Q 的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先根据点B （0，2）向上平移6个单位得到点B'（0，8），将A （4，0），B'（0，8）分别代入y=ax 2+2x ﹣c ，得原抛物线为y=﹣x 2+2x +8，向下平移6个单位后所得的新抛物线为y=﹣x 2+2x +2，据此求得顶点C 的坐标；（2）根据A （4，0），B （0，2），C （1，3），得到AB 2=20，AC 2=18，BC 2=2，进而得出AB 2=AC 2+BC 2，根据∠ACB=90°，求得tan ∠CAB 的值即可；（3）先设抛物线的对称轴x=1与x 轴交于点H ，根据==，求得PH=AH=，进而得到P （1，），再由HA=HC=3，得∠HCA=45°，根据当点Q 在点C 下方时，∠BCQ=∠ACP ，因此△BCQ 与△ACP 相似分两种情况，根据相似三角形的性质即可得到点Q的坐标．【解答】解：（1）点B（0，2）向上平移6个单位得到点B'（0，8），将A（4，0），B'（0，8）分别代入y=ax2+2x﹣c，得，解得，∴原抛物线为y=﹣x2+2x+8，向下平移6个单位后所得的新抛物线为y=﹣x2+2x+2，∴顶点C的坐标为（1，3）；（2）如图2，由A（4，0），B（0，2），C（1，3），得AB2=20，AC2=18，BC2=2，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴tan∠CAB===；（3）如图3，设抛物线的对称轴x=1与x轴交于点H，由==，得PH=AH=，∴P（1，），由HA=HC=3，得∠HCA=45°，∴当点Q在点C下方时，∠BCQ=∠ACP，因此△BCQ与△ACP相似分两种情况：①如图3，当=时，=，解得CQ=4，此时Q（1，﹣1）；②如图4，当=时，=，解得CQ=，此时Q（1，）．25．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB=，点O是AB的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．（1）当CM=2时，求线段CD的长；（2）设CM=x，BN=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM的长．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）如图1中，作OH⊥BC于H．只要证明△DCM≌△OHM，即可得出CD=OH=3．（2）如图2中，作NG⊥OB于G．首先证明∠1=∠2，根据tan∠1=tan∠2，可得=，由此即可解决问题．（3）分两种情形讨论即可①如图3中，当OM=ON时，OH垂直平分MN，②如图4中，当OM=MN时，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作OH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AB=10，sinB=，∴AC=6，BC=8，∵AO=OB，OH∥AC，∴CH=HB=4，OH=3，∵CM=2，∴CM=HM=2，在△DCM和△OHM中，，∴△DCM≌△OHM，∴CD=OH=3．（2）如图2中，作NG⊥OB于G．∵∠HOB=∠A=∠MON，∴∠1=∠2，在Rt△BNG中，BN=y，sibB=，∴GN=y，BG=y，∵tan∠1=tan∠2，∴=，∴=，∴y=，（0＜x＜4）．（3）①如图3中，当OM=ON时，OH垂直平分MN，∴BN=CM=x，∵△OMH≌△ONG，∴NG=HM=4﹣x，∵sinB=，∴=，∴CM=x=．②如图4中，当OM=MN时．连接CO，∵OA=OB，OM=MN，∴CO=OA=OB，∴∠MON=∠MNO=∠A=∠OCA，∴△MON∽△OAC，∴∠AOC=∠OMN，∴∠BOC=∠CMO，∵∠B=∠B，∴△CMO∽△COB，∴=，∴8x=52，∴x=．综上所述，△OMN是以OM为腰的等腰三角形时，线段CM的长为或．2019年2月12日。

2019年上海市虹口区中考数学一模考试卷含逐题详解

2019年上海市虹口区中考数学一模试卷一、选择题1．抛物线y＝x2﹣1与y轴交点的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）2．如果抛物线y＝（a+2）x2开口向下，那么a的取值范围为（）A．a＞2B．a＜2C．a＞﹣2D．a＜﹣23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝5，AB＝13，那么cos A的值为（）A．B．C．D．4．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A．5米B．5米C．2米D．4米5．如果向量与单位向量的方向相反，且长度为3，那么用向量表示向量为（）A．＝3B．＝﹣3C．＝3D．＝﹣36．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE 与△ADC的周长比为（）A．1：2B．2：3C．1：4D．4：9二、填空题7．如果＝，那么的值为．8．计算：2﹣（3﹣）＝9．如果抛物线y＝ax2+2经过点（1，0），那么a的值为．10．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为．11．如果抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，那么它的顶点坐标为．12．如果点A（﹣5，y1）与点B（﹣2，y2）都在抛物线y＝（x+1）2+1上，那么y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，BC＝4，那么AB＝．14．如图，AB∥CD∥EF，点C、D分别在BE、AF上，如果BC＝6，CE＝9，AF＝10，那么DF的长为．15．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝．17．定义：如果△ABC内有一点P，满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果PA＝2，那么PC＝．18．如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC、BD的交点，点E为边AB的中点，△BED绕着点B旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1在同一直线上，那么EE1的长为．三、解答题19．（10分）计算：20．（10分）已知抛物线y＝2x2﹣4x﹣6．（1）请用配方法求出顶点的坐标；（2）如果该抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位后经过原点，求m的值．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，BC＝6，点D、E分别在边AC、AB上，且DE∥BC，tan∠DBC＝．（1）求AD的长；（2）如果＝，＝，用、表示．22．（10分）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE•CD＝AD•CE；（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，m）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan∠OAB的值．25．（14分）如图，在四边形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，点E为边AD上一点，将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，连接EG并延长交射线BC于点F．（1）如果cos∠DBC＝，求EF的长；（2）当点F在边BC上时，连接AG，设AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式并写出x的取值范围；（3）连接CG，如果△FCG是等腰三角形，求AD的长．2019年上海市虹口区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．抛物线y＝x2﹣1与y轴交点的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）【分析】通过计算自变量为对应的函数值可得到抛物线y＝x2﹣1与y轴交点的坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝x2﹣1＝﹣1，所以抛物线y＝x2﹣1与y轴交点的坐标为（0，﹣1）．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．2．如果抛物线y＝（a+2）x2开口向下，那么a的取值范围为（）A．a＞2B．a＜2C．a＞﹣2D．a＜﹣2【分析】由抛物线的开口向下可得出a+2＜0，解之即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝（a+2）x2开口向下，∴a+2＜0，∴a＜﹣2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．”是解题的关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝5，AB＝13，那么cos A的值为（）A．B．C．D．【分析】锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴cos A＝＝，故选：A．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦．4．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A．5米B．5米C．2米D．4米【分析】作BC⊥地面于点C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．【解答】解：作BC⊥地面于点C，设BC＝x米，∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，∴AC＝2x米，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2x）2+x2＝102，解得，x＝2，即BC＝2米，故选：C．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．5．如果向量与单位向量的方向相反，且长度为3，那么用向量表示向量为（）A．＝3B．＝﹣3C．＝3D．＝﹣3【分析】根据平面向量的定义即可解决问题．【解答】解：∵向量为单位向量，向量与向量方向相反，∴＝﹣3．故选：B．【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（）A．1：2B．2：3C．1：4D．4：9：S△BED＝2：1，再根据三角形相似求得S△ACD＝S△ABE即可求得．【分析】根据已知条件先求得S△ABE【解答】解：∵AD：ED＝3：1，∴AE：AD＝2：3，∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，：L△ACD＝2：3，∴L△ABE故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．二、填空题7．如果＝，那么的值为．【分析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．【解答】解：∵＝，∴设a＝2x，则b＝3x，那么＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键．8．计算：2﹣（3﹣）＝3﹣3【分析】实数的加减计算法则同样适用于平面向量的加减计算法则．【解答】解：原式＝2﹣3+＝3﹣3．故答案是：3﹣3．【点评】考查了平面向量，掌握平面向量的加减计算法则即可解题，属于基础计算题．9．如果抛物线y＝ax2+2经过点（1，0），那么a的值为﹣2．【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可求出a的值．【解答】解：把（1，0）代入y＝ax2+2得a+2＝0，解得a＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．10．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为m＞1．【分析】由于抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定m的范围．【解答】解：∵抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，∴m﹣1＞0，即m＞1．故答案为m＞1．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．11．如果抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，那么它的顶点坐标为（1，2）．【分析】首先根据对称轴是直线x＝1，从而求得m的值，然后根据顶点式直接写出顶点坐标；【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，∴m＝1，∴解析式y＝（x﹣1）2+2，∴顶点坐标为：（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键，难度适中．12．如果点A（﹣5，y1）与点B（﹣2，y2）都在抛物线y＝（x+1）2+1上，那么y1＞y2（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】利用二次函数的性质得到当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，然后利用自变量的大小关系得到y1与y2的大小关系．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，而抛物线开口向上，所以当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，所以y1＞y2．故答案为＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，BC＝4，那么AB＝6．【分析】由sin A＝知AB＝，代入计算可得．【解答】解：∵在Rt△ABC中，sin A＝＝，且BC＝4，∴AB＝＝＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．14．如图，AB∥CD∥EF，点C、D分别在BE、AF上，如果BC＝6，CE＝9，AF＝10，那么DF的长为6．【分析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质解答即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∴＝，∴DF＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出AF是解决问题的关键．15．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为8．【分析】连接BG并延长交AC于H，根据G为ABC的重心，得到＝2，根据平行四边形的性质得到CE＝DF ＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，∴＝2，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴△BEG∽△CBH，∴＝2，∴BE＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝2．【分析】根据直角三角形的性质得到AD＝CD＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，根据余角的性质得到∠CAE＝∠B，于是得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，∴AD＝CD＝BD，∴∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，∵AE⊥CD，∴∠CAE+∠ACD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠B，∴cot∠CAE＝cot B＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，余角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．17．定义：如果△ABC内有一点P，满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果PA＝2，那么PC＝．【分析】根据两角对应相等的两三角形相似得出△ACP∽△CBP，利用相似三角形对应边的比相等即可求出PC．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠PCB＝∠PBA，∴∠ACB﹣∠PCB＝∠ABC﹣∠PBA，即∠ACP＝∠CBP．在△ACP与△CBP中，，∴△ACP∽△CBP，∴＝，∵AC＝5，BC＝8，PA＝2，∴PC＝＝．故答案为．【点评】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△ACP∽△CBP，属于中考常考题型．18．如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC、BD的交点，点E为边AB的中点，△BED绕着点B旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1在同一直线上，那么EE1的长为．【分析】根据正方形的性质得到AB＝AD＝4，根据勾股定理得到BD＝AB＝4，＝＝2，过B作BF⊥DD1于F，根据相似三角形的性质得到EF＝，求得DF＝2+＝，根据旋转的性质得到BD1＝BD，∠D1BD＝∠E1BE，BE1＝BE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝4，∴BD＝AB＝4，∵点E为边AB的中点，∴AE＝AB＝2，∵∠EAD＝90°，∴DE＝＝2，过B作BF⊥DD1于F，∴∠DAE＝∠EFB＝90°，∵∠AED＝∠BEF，∴△ADE∽△FEB，∴，∴＝，∴EF＝，∴DF＝2+＝，∵△BED绕着点B旋转至△BD1E1，∴BD1＝BD，∠D1BD＝∠E1BE，BE1＝BE，∴DD1＝2DF＝，△D1BD∽△E1BE，∴＝，∴＝，∴EE1＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．三、解答题19．（10分）计算：【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝3+2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）已知抛物线y＝2x2﹣4x﹣6．（1）请用配方法求出顶点的坐标；（2）如果该抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位后经过原点，求m的值．【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可；（2）直接求出图象与x轴的交点，进而得出平移规律．【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6＝2（x﹣1）2﹣8，故该函数的顶点坐标为：（1，﹣8）；（2）当y＝0时，0＝2（x﹣1）2﹣8，解得：x1＝﹣1，x2＝3，即图象与x轴的交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），故该抛物线沿x轴向左平移3个单位后经过原点，即m＝3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确得出顶点坐标是解题关键．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，BC＝6，点D、E分别在边AC、AB上，且DE∥BC，tan∠DBC＝．（1）求AD的长；（2）如果＝，＝，用、表示．【分析】（1）通过解Rt△ABC求得AC＝8，解Rt△BCD得到CD＝3，易得AD＝AC﹣CD＝5；（2）由平行线截线段成比例求得DE的长度，利用向量表示即可．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，BC＝6，∴＝＝，则AC＝8．又∵在Rt△BCD中，tan∠DBC＝，∴＝＝，∴CD＝3．∴AD＝AC﹣CD＝5．（2）∵DE∥BC，∴＝＝．∴DE＝BC．∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣．∴＝﹣．【点评】考查了平面向量，解直角三角形，平行线的性质．注意：向量是有方向的．22．（10分）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】过点C作CG⊥AB于G，得到四边形CFEG是矩形，根据矩形的性质得到EG＝CF＝0.45，设AD＝x，求得AE＝1.8﹣x，AC＝AB＝AE﹣BE＝1.6﹣x，AG＝AE﹣CF＝1.35﹣x，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：过点C作CG⊥AB于G，则四边形CFEG是矩形，∴EG＝CF＝0.45，设AD＝x，∴AE＝1.8﹣x，∴AC＝AB＝AE﹣BE＝1.6﹣x，AG＝AE﹣CF＝1.35﹣x，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝37°，cos∠CAG＝＝＝0.8，解得：x＝0.35，∴AD＝0.35米，AB＝1.25米，答：AB和AD的长分别为1.25米，0.35米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE•CD＝AD•CE；（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．【分析】（1）由AB＝AC，D是边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得出∠ADC＝90°，由同角的余角相等可得出∠ADE＝∠DCE，结合∠AED＝∠DEC＝90°可证出△AED∽△DEC，再利用相似三角形的性质可证出DE•CD＝AD•CE；（2）利用等腰三角形的性质及中点的定义可得出CD＝BC，DE＝2DF，结合DE•CD＝AD•CE可得出＝，结合∠BCE＝∠ADF可证出△BCE∽△ADF，再利用相似三角形的性质可证出AF•BC＝AD•BE．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDE＝90°．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠ADE＝∠DCE．又∵∠AED＝∠DEC＝90°，∴△AED∽△DEC，∴＝，∴DE•CD＝AD•CE；（2）∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC．∵F为DE的中点，∴DE＝2DF．∵DE•CD＝AD•CE，∴2DF•BC＝AD•CE，∴＝．又∵∠BCE＝∠ADF，∴△BCE∽△ADF，∴＝，∴AF•BC＝AD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及余角，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理证出△AED∽△DEC；（2）利用相似三角形的判定定理证出△BCE∽△ADF．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，m）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan∠OAB的值．【分析】（1）把点O（0，0），点B（4，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c，解之，得到b和c的值，即可得到抛物线的表达式，根据抛物线的对称轴x＝﹣，代入求值即可，（2）把点A（3，m）代入y＝﹣x2+4x，求出m的值，得到点A的坐标，过点B作BD⊥OA，交OA于点D，过点A作AE⊥OB，交OB于点E，根据三角形的面积和勾股定理，求出线段BD和AD的长，即可得到答案．【解答】解：（1）把点O（0，0），点B（4，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x，它的对称轴为：x＝﹣＝2，（2）把点A（3，m）代入y＝﹣x2+4x得：m＝﹣32+4×3＝3，即点A的坐标为：（3，3），过点B作BD⊥OA，交OA于点D，过点A作AE⊥OB，交OB于点E，如下图所示，AE＝3，OE＝3，BE＝4﹣3＝1，OA＝＝3，AB＝＝，S△OAB＝×OB×AE＝×OA×BD，BD＝＝＝2，AD＝＝，tan∠OAB＝＝2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，解题的关键：（1）正确掌握代入法和抛物线的对称轴公式，（2）正确掌握三角形面积公式和勾股定理．25．（14分）如图，在四边形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，点E为边AD上一点，将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，连接EG并延长交射线BC于点F．（1）如果cos∠DBC＝，求EF的长；（2）当点F在边BC上时，连接AG，设AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式并写出x的取值范围；（3）连接CG，如果△FCG是等腰三角形，求AD的长．＝BF•AB＝EF•BG，即可求解；【分析】（1）利用S△BEF（2）y＝＝＝＝，tanα＝＝＝，即可求解；（3）分GF＝FC、CF＝CG两种情况，求解即可．【解答】解：（1）将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，∴BG⊥EF，BG＝AB＝6，cos∠DBC＝＝＝，则：BF＝9，S△BEF＝BF•AB＝EF•BG，即：9×6＝6×EF，则EF＝9；（2）过点A作AH⊥BG交于点H，连接AG，设：BF＝a，在Rt△BGF中，cos∠GBF＝cosα＝＝，则tanα＝，sinα＝，y＝＝＝＝…①，tanα＝＝＝，解得：a2＝36+（）2…②，把②式代入①式整理得：y＝（x）；（3）①当GF＝FC时，FC＝10﹣a＝GF＝a sinα＝，把②式代入上式并解得：x＝，②当CF＝CG时，同理可得：x＝；故：AD的长为或．【点评】本题为四边形综合题，基本方法是利用解直角三角形的方法，确定相应线段间的关系，此类题目难度较大．。

17--19上海各区一模压轴题(2)

17--19上海各区压轴题（2）一．解答题（共42小题）1．（2018•马边县模拟）如图，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．2．（2018•市中区二模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cos A＝，D是AB 边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．3．（2019•广东一模）在直角坐标平面内，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y＝﹣+bx+c经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．4．（2018•长宁区一模）已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE ＝∠BAP，PE交BF于点E．设PD＝x，EF＝y．（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC，若∠FPC＝∠BPE，请直接写出PD的长．5．（2018•松江区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为t．（1）求点A的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP＝1：2时，求点E的坐标；（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t 的值．6．（2018•松江区一模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，CD平分∠ACB交边AB与点D，P是射线CD上一点，联结AP．（1）求线段CD的长；（2）当点P在CD的延长线上，且∠P AB＝45°时，求CP的长；（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长．7．（2019•富顺县三模）在正方形ABCD中，AB＝8，点P在边CD上，tan∠PBC＝，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．（1）如图1，当点R与点D重合时，求PQ的长；（2）如图2，试探索：的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图3，若点Q在线段BP上，设PQ＝x，RM＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．8．（2018•嘉定区一模）已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知抛物线y＝+bx+c 点经过A（1，0）、B（0，2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x轴的交点为C，第四象限内的点D在该抛物线的对称轴上，如果以点A、C、D所组成的三角形与△AOB相似，求点D的坐标；（3）设点E在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1，联结AE、BE，求sin∠ABE．9．（2018•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝+bx+c与x 轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），经过点A的射线AM与y轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，且．（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求∠F AB的余切值；（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP＝∠DAB，求点P的坐标．10．（2019•莲湖区模拟）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD ＝2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x．（1）用含x的代数式表示线段CF的长；（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设＝y，求y 关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当∠ABE的正切值是时，求AB的长．11．（2018•虹口区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4），BC与抛物线的对称轴相交于点D．（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；（2）过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点F在射线AE上，若△ADF∽△CBA，求点F的坐标．12．（2018•虹口区一模）已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，cos B＝（如图），点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE，使得∠DAE＝∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC＝x，＝y．（1）如图1，当x＝4时，求AF的长；（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）联结BD交AE于点P，若△ADP是等腰三角形，直接写出x的值．13．（2018•普陀区一模）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP＝∠CAO，试直接写出点P的坐标．14．（2018•普陀区一模）如图1，∠BAC的余切值为2，AB＝2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BP A；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．15．（2018•金山区一模）平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+3与y轴相交于点C，与x轴正半轴相交于点A，OA＝OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线x＝1，顶点为P．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；（3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．16．（2018•五通桥区模拟）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，cos B＝，P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径的⊙P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．（1）求△ABC的面积；（2）设PB＝x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．17．（2019•禄劝县一模）如图，二次函数y＝ax2﹣x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．18．（2017•宝山区一模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I 两点之间的距离．19．（2017•静安区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x 轴，且∠DCB＝∠DAB，AB与CD相交于点E．（1）求证：△BDE∽△CAE；（2）已知OC＝2，tan∠DAC＝3，求此抛物线的表达式．20．（2017•静安区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC＝BC，点E在DC的延长线上，∠BEC＝∠ACB，已知BC＝9，cos∠ABC＝．（1）求证：BC2＝CD•BE；（2）设AD＝x，CE＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．21．（2017•浦东新区一模）已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；（3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB＝45°，求点P的坐标．22．（2017•浦东新区一模）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD 交于点M；（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE＝x，tan∠MAG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．23．（2018•邵阳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+1与x 轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB＝3OC，点P是第一象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．（1）求这个抛物线的表达式；（2）求点P的坐标；（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．24．（2017•青浦区一模）已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝5，联结BD，sin∠ABD＝．点P是射线BC上的一个动点（点P不与点B重合），联结AP，与对角线BD相交于点E，联结EC．（1）求证：AE＝CE；（2）当点P在线段BC上时，设BP＝x，△PEC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，求线段BP的长．25．（2017•松江区一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y＝﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE 的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．26．（2017•阳谷县一模）如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB＝，AB＝16．点E 在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF＝∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．27．（2017•闵行区一模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象经过点A（3，0），B（m，m+1），且与y轴相交于点C．（1）求这个二次函数的解析式并写出其图象顶点D的坐标；（2）求∠CAD的正弦值；（3）设点P在线段DC的延长线上，且∠P AO＝∠CAD，求点P的坐标．28．（2017•闵行区一模）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝5，tan∠DBC ＝．点E为线段BD上任意一点（点E与点B，D不重合），过点E作EF∥CD，与BC相交于点F，连接CE．设BE＝x，y＝．（1）求BD的长；（2）如果BC＝BD，当△DCE是等腰三角形时，求x的值；（3）如果BC＝10，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．29．（2017•黄浦区一模）平面直角坐标系xOy中，对称轴平行于y轴的抛物线过点A（1，0）、B（3，0）和C（4，6）；（1）求抛物线的表达式；（2）现将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，再沿y轴方向平移k个单位，若所得抛物线与x轴交于点D、E（点D在点E的左边），且使△ACD∽△AEC（顶点A、C、D依次对应顶点A、E、C），试求k的值，并注明方向．30．（2017•黄浦区一模）如图，△ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足∠DCE ＝∠ABC，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4；（1）当CD⊥AB时，求线段BE的长；（2）当△CDE是等腰三角形时，求线段AD的长；（3）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．31．（2017•普陀区一模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）是抛物线y＝ax2+2x﹣c上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P．（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C的坐标；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ与△ACP相似，求点Q的坐标．32．（2017•普陀区一模）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin B＝，点O是AB的中点，∠DOE＝∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．（1）当CM＝2时，求线段CD的长；（2）设CM＝x，BN＝y，试求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM的长．33．（2017•杨浦区一模）在直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝ax2﹣4ax+4a+3（a＜0）的顶点为D，它的对称轴与x轴交点为M．（1）求点D、点M的坐标；（2）如果该抛物线与y轴的交点为A，点P在抛物线上且AM∥DP，AM＝2DP，求a 的值．34．（2017•杨浦区一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P为边BC上的一动点（不与B、C重合），点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，连接MN交边AB于点F，交边AC于点E．（1）如图1，当点P为边BC的中点时，求∠M的正切值；（2）连接FP，设CP＝x，S△MPF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似？若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长．35．（2017•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为点D，联结AC、BC、DB、DC．（1）求这条抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）求证：△ACO∽△DBC；（3）如果点E在x轴上，且在点B的右侧，∠BCE＝∠ACO，求点E的坐标．36．（2017•奉贤区一模）已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，cot∠BAC＝，点D在边BC上（不与点B、C重合），点E在边BC的延长线上，∠DAE＝∠BAC，点F 在线段AE上，∠ACF＝∠B．设BD＝x．（1）若点F恰好是AE的中点，求线段BD的长；（2）若y＝，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△ADE是以AD为腰的等腰三角形时，求线段BD的长．37．（2017•金山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B （点A在点B的右侧），且与y轴正半轴交于点C，已知A（2，0）（1）当B（﹣4，0）时，求抛物线的解析式；（2）O为坐标原点，抛物线的顶点为P，当tan∠OAP＝3时，求此抛物线的解析式；（3）O为坐标原点，以A为圆心OA长为半径画⊙A，以C为圆心，OC长为半径画圆⊙C，当⊙A与⊙C外切时，求此抛物线的解析式．38．（2017•金山区一模）已知△ABC，AB＝AC＝5，BC＝8，∠PDQ的顶点D在BC边上，DP交AB边于点E，DQ交AB边于点O且交CA的延长线于点F（点F与点A不重合），设∠PDQ＝∠B，BD＝3．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）设BE＝x，OA＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△AOF是等腰三角形时，求BE的长．39．（2017•嘉定区一模）已知在平面直角坐标系xOy（如图）中．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4与X轴的一个交点为A（﹣1，0），与y轴的交点记为点C（1）求该抛物线的表达式以及顶点D的坐标；（2）如果点E在这个抛物线上，点F在x轴上，且以点O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．直接写出点F的坐标（写出两种情况即可）；（3）点P与点A关于y轴对称，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，点Q在抛物线上，且∠PCB＝∠QCB．求点Q的坐标．40．（2017•嘉定区一模）已知点P不在⊙O上，点Q是⊙O上任意一点，将线段PQ的长度中最小的值定义为点P到⊙O的“最近距离”；将线段PQ的长度的最大的值定义为点P到⊙O的“最远距离”．（1）（尝试）已知点P到⊙O的“最近距离”为2，点P到⊙O的“最远距离”为6，求⊙O的半径长（不需要解题过程，直接写出答案）．（2）（证明）如图，已知点P在⊙O外，试在⊙O上确定一点Q，使得PQ最短，并简要说明PQ最短的理由．（3）（应用）已知⊙O的半径长为5，点P到⊙O的“最近距离”为1，以点P为圆心，以线段PO为半径画圆．⊙P交⊙O于点A、B，联结OA、P A．求∠OAP的余弦值．41．（2017•虹口区一模）如图，抛物线y＝x2+bx+5与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P．（1）求抛物线的表达式并写出顶点P的坐标；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD＝∠ABP，试求出点D的坐标；（3）设在直线BC下方的抛物线上有一点Q，若S△BCQ＝15，试求出点Q的坐标．42．（2017•虹口区一模）如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F设，DC＝x，＝y．（1）当x＝1时，求tan∠BCE的值；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当x＝1时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N．当△MNF ∽△ABC时，请直接写出AG的长．17--19上海各区压轴题（2）参考答案与试题解析一．解答题（共42小题）1．（2018•马边县模拟）如图，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求直线和抛物线解析式；（2）先表示出N（m，﹣m2+m+2），P（m，﹣m+2），则计算出NP＝﹣m2+4m，PM＝﹣m+2，则利用NP＝PM得到﹣m2+4m＝﹣m+2，然后解方程求出m即可得到N点坐标；（3）利用两点间的距离公式计算出AB＝，BP＝m，NP＝﹣m2+4m，由于∠BPN＝∠ABO，利用相似三角形的判定方法，当＝时，△BPN∽△OBA，则△BPN ∽△MP A，即m：2＝（﹣m2+4m）：；当＝时，△BPN∽△ABO，则△BPN∽△APM，即m：＝（﹣m2+4m）：2，然后分别解关于m的方程即可得到对应的M点的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝px+q，把A（3，0），B（0，2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；把A（3，0），B（0，2）代入y＝﹣+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵M（m，0），MN⊥x轴，∴N（m，﹣m2+m+2），P（m，﹣m+2），∴NP＝﹣m2+4m，PM＝﹣m+2，而NP＝PM，∴﹣m2+4m＝﹣m+2，解得m1＝3（舍去），m2＝，∴N点坐标为（，）；（3）∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），∴AB＝＝，BP＝＝m，而NP＝﹣m2+4m，∵MN∥OB，∴∠BPN＝∠ABO，当＝时，△BPN∽△OBA，则△BPN∽△MP A，即m：2＝（﹣m2+4m）：，整理得8m2﹣11m＝0，解得m1＝0（舍去），m2＝，此时M点的坐标为（，0）；当＝时，△BPN∽△ABO，则△BPN∽△APM，即m：＝（﹣m2+4m）：2，整理得2m2﹣5m＝0，解得m1＝0（舍去），m2＝，此时M点的坐标为（，0）；综上所述，点M的坐标为（，0）或（，0）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．2．（2018•市中区二模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cos A＝，D是AB 边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．【分析】（1）先求出BC＝6，AB＝10，再判断出四边形DECF是矩形，即可用勾股定理求出EF；（2）先判断出四边形DHCG是矩形，进而判断出△EDH∽△FDG，即可得出结论；（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质和相似三角形得出比例式建立方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴，∵AC＝8，∴AB＝10，∵D是AB边的中点，∴，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝∠DEC＝90°，∴，∴AE＝4，∴CE＝8﹣4＝4，∵在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2，∴DE＝3，∵DF⊥DE，∴∠FDE＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴DF＝EC＝4，∵在Rt△EDF中，DF2+DE2＝EF2，∴EF＝5（2）不变如图2，过点D作DH⊥AC，DG⊥BC，垂足分别为点H、G，由（1）可得DH＝3，DG＝4，∵DH⊥AC，DG⊥BC，∴∠DHC＝∠DGC＝90°又∵∠ACB＝90°，∴四边形DHCG是矩形，∴∠HDG＝90°，∵∠FDE＝90°，∴∠HDG﹣∠HDF＝∠EDF﹣∠HDF，即∠EDH＝∠FDG，又∵∠DHE＝∠DGF＝90°∴△EDH∽△FDG，∴，∵∠FDE＝90°，∴，（3）①当QF＝QC时，∴∠QFC＝∠QCF，∵∠EDF+∠ECF＝180°，∴点D，E，C，F四点共圆，∴∠ECQ＝∠DFE，∠DFE+∠QFC＝∠ECQ+∠QCF＝∠ACB＝90°，即∠DFC＝90°，又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴，∴，②当FQ＝FC时，∴∠BCD＝∠CQF，∵点D是AB的中点，∴BD＝CD＝AB＝5，∴∠BDC＝∠BCD，∴∠BCD＝∠FCQ，∠BDC＝∠CFQ，∴△FQC∽△DCB，由①知，点D，E，C，F四点共圆，∴∠DEF＝∠DCF，∵∠DQE＝∠FQC，∴△FQC∽△DEQ，即：△FQC∽△DEQ∽△DCB∵在Rt△EDF中，，∴设DE＝3k，则DF＝4k，EF＝5k，∵∠DEF＝∠DCF＝∠CQF＝∠DQE，∴DE＝DQ＝3k，∴CQ＝5﹣3k，∵△DEQ∽△DCB，∴，∴，∴，∵△FQC∽△DCB，∴，∴，解得，∴，∴，③当CF＝CQ时，如图3，∴∠BCD＝∠CQF，由②知，CD＝BD，∴∠BDC＝∠BCD，∵△EDQ∽△BDK，在BC边上截取BK＝BD＝5，过点D作DH⊥BC于H，∴DH＝AC＝4，BH＝BC＝3，由勾股定理得，同②的方法得，△CFQ∽△EDQ，∴设DE＝3m，则EQ＝3m，EF＝5m，∴FQ＝2m，∵△EDQ∽△BDK，∴，∴DQ＝m，∴CQ＝FC＝5﹣m，∵△CQF∽△BDK，∴，∴，解得m＝，∴，∴．即：△CQF是等腰三角形时，BF的长为3或或．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是判断出相似三角形得出比例式建立方程求解．3．（2019•广东一模）在直角坐标平面内，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y＝﹣+bx+c经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．【分析】（1）先利用一次函数解析式确定A（﹣4，0），C（0，2），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）过点E作EH⊥AB于点H，如图1，先解方程﹣﹣x+2＝0得B（1，0），设E（x，x+2），再计算出△ABC的面积为5，则△ABE的面积为4，所以•（1+4）•（x+2）＝4，解得x＝﹣，则E（﹣，），然后利用余切的定义求解；（3）利用∠AOC＝∠DFC＝90°进行讨论：若∠DCF＝∠ACO时，△DCF∽△ACO，如图2，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DC交x轴于点Q，先证明QA＝QC，设Q（m，0），解方程m+4＝可确定Q（﹣，0），再证明Rt△DCG∽Rt△CQO，利用相似比得到＝，设DG＝4t，CG＝3t，可表示出D（﹣4t，3t+2），然后把D（﹣4t，3t+2）代入抛物线解析式得到﹣8t2+6t+2＝3t+2，解方程求出t即可得到此时D点坐标；当∠DCF＝∠CAO时，△DCF∽△CAO，则CD∥AO，利用D点的纵坐标与C点的纵坐标相同可确定此时点D的纵坐标．【解答】解：（1）当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣4，则A（﹣4，0）；当x＝0时，y＝x+2＝2，则C（0，2），把A（﹣4，0），C（0，2）代入y＝﹣+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣﹣x+2；（2）过点E作EH⊥AB于点H，如图1，当y＝0时，﹣﹣x+2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1，则B（1，0）设E（x，x+2），∵S△ABC＝•（1+4）•2＝5，而△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，∴S△AEB＝4，∴•（1+4）•（x+2）＝4，解得x＝﹣，∴E（﹣，），∴BH＝1+＝，在Rt△BHE中，cot∠EBH＝＝＝，即∠DBA的余切值为；（3）∠AOC＝∠DFC＝90°，若∠DCF＝∠ACO时，△DCF∽△ACO，如图2，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DC交x轴于点Q，∵∠DCQ＝∠AOC，∴∠DCF+∠ACQ＝90°，即∠ACO+∠ACQ＝90°，而∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠ACQ＝∠CAO，∴QA＝QC，设Q（m，0），则m+4＝，解得m＝﹣，∴Q（﹣，0），∵∠QCO+∠DCG＝90°，∠QCO+∠CQO＝90°，∴∠DCG＝∠CQO，∴Rt△DCG∽Rt△CQO，∴＝，即＝＝＝，设DG＝4t，CG＝3t，则D（﹣4t，3t+2），把D（﹣4t，3t+2）代入y＝﹣﹣x+2得﹣8t2+6t+2＝3t+2，整理得8t2﹣3t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝，∴D（﹣，）；当∠DCF＝∠CAO时，△DCF∽△CAO，则CD∥AO，∴点D的纵坐标为2，把y＝2代入y＝﹣﹣x+2得﹣﹣x+2＝2，解得x1＝﹣3，x2＝0（舍去），∴D（﹣3，2），综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（﹣3，2）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．4．（2018•长宁区一模）已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE ＝∠BAP，PE交BF于点E．设PD＝x，EF＝y．（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC，若∠FPC＝∠BPE，请直接写出PD的长．【分析】（1）首先证明∠ADB＝∠BAF，由tan∠ADB＝＝＝，推出tan∠BAF＝＝，可得BF＝1，根据S△ABF＝•AB•BF计算即可；（2）首先证明△BAP∽△BAP，可得＝，由AD∥BC，推出∠ADB＝∠PBF，tan ∠PBF＝tan∠ADB＝，即＝，由BP＝2﹣x，可得PF＝（2﹣x），代入比例式即可解决问题；（3）分两种情形分别求解：①当点F在线段BC上时，如图1﹣1中；②如图2中，当点F在线段BC的延长线上时，作PH⊥AD于H，连接DF．寻找相似三角形，构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）如图，∵矩形ABCD，∴∠BAD＝∠ABF＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，∴∠BP A＝90°，∴∠ABD+∠BAF＝90°，∴∠ADB＝∠BAF，∵tan∠ADB＝＝＝，∴tan∠BAF＝＝，∴BF＝1，∴S△ABF＝•AB•BF＝×2×1＝1．（2）如图1中，∵PF⊥BP，∴∠BPF＝90°，∴∠PFB+∠PBF＝90°，∵∠ABF＝90°，∴∠PBF+∠ABP＝90°，∴∠ABP＝∠PFB，又∵∠BAP＝∠FPE∴△BAP∽△FPE，∴＝，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠PBF，∴tan∠PBF＝tan∠ADB＝，即＝，∵BP＝2﹣x，∴PF＝（2﹣x），∴＝，∴y＝（≤x＜2）．（3）①当点F在线段BC上时，如图1﹣1中，∵∠FPB＝∠BCD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3，∵∠4＝∠5，∠4+∠7＝90°，∠5+∠6＝90°，∴∠6＝∠7，∴△PEF∽△PCD，∴＝，∴＝，整理得：x2﹣2x+4＝0，解得x＝±1．②如图2中，当点F在线段BC的延长线上时，作PH⊥AD于H，连接DF．由△APH∽△DFC，可得＝，∴＝，解得x＝或（舍弃），综上所述，PD的长为±1或．【点评】本题考查四边形综合题．相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．5．（2018•松江区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为t．（1）求点A的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP＝1：2时，求点E的坐标；（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t 的值．【分析】（1）依据抛物线的对称性可得到A、B的坐标，利用抛物线的交点式可得到抛物线的解析式；（2）过点P作PF∥y轴，交x轴与点F，则△AEG∽△APF，从而可得到AF＝6，然后可求得PF的长，从而可得到EG的长，故此可得到点E的坐标；（3）先证明∠ADO＝∠CME，然后，再求得点C和点M的坐标，从而可得到tan∠ADO ＝1，于是可得到OD＝AO＝1，故此可得到AP的解析式，最后求得直线AP与抛物线的交点坐标即可．【解答】解：（1）∵AB＝4，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，∴点A到对称轴的距离为2，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴y＝（x+1）（x﹣3）整理得：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如下图所示：过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP＝1：2，∴＝＝．又∵AG＝2，∴AF＝6，∴F（5，0）．当x＝5时，y＝12，∴EG＝4，∴E（1，4）．（3）∵CD∥EM，∴∠ADO＝∠AEM．又∵四边形CDEM是等腰梯形，∴∠ADO＝∠CME．∴∠ADO＝∠CME．∵y＝x2﹣2x﹣3，∴C（0，﹣3），M（1，﹣4）∴tan∠DAO＝tan∠CME＝1．∴OA＝OD＝1．∴直线AP的解析式为y＝x+1．把y＝x+1代入y＝x2﹣2x﹣3得：x+1＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝4或x＝﹣1（舍去）∴点P的横坐标为4，即t＝4．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定、等腰梯形的性质、求得AF的长是解答问题（2）的关键；求得AP的解析式是解答问题（3）的关键．6．（2018•松江区一模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，CD平分∠ACB交边AB与点D，P是射线CD上一点，联结AP．（1）求线段CD的长；（2）当点P在CD的延长线上，且∠P AB＝45°时，求CP的长；（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长．【分析】（1）作辅助线，证明四边形ECFD是正方形，设DF＝x，则CF＝x，BF＝2﹣x，由△BDF∽△BAC，得，可得CD的长；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先根据C、B、P、A四点共圆，得∠APB＝90°，可知AP＝BP，由角平分线性质得：PM＝PN，根据HL证明Rt△PMA≌Rt△PNB （HL），得AM＝BN，设AM＝x，则PM＝CM＝x+1，CN＝2﹣x，由CM＝CN列方程可得x的值，可得CD的长；（3）存在三种情况：①当PM＝CM时，如图3，同理作出辅助线，根据△PCM是等腰直角三角形，可得CP的长；②先根据勾股定理求AB＝，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CP的长；③由△CPN∽△CMH，列比例式结合①可得CP的长．【解答】解：（1）如图1，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴DE＝DF，∵∠DEC＝∠ACB＝∠CFD＝90°，∴四边形ECFD是正方形，设DF＝x，则CF＝x，BF＝2﹣x，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴，∴，∴x＝，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝；（2）如图2，∵∠P AB＝∠PCB＝45°，∴C、B、P、A四点共圆，∴∠ACB+∠APB＝180°，∵∠ACB＝90°，∴∠APB＝90°，∴△APB是等腰直角三角形，∴AP＝BP，过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，连接PB，∵PM＝PN，∴Rt△PMA≌Rt△PNB（HL），∴AM＝BN，由（1）知：四边形MCNP是正方形，∴CM＝CN，设AM＝x，则PM＝CN＝x+1，CN＝2﹣x，∴x+1＝2﹣x，x＝，∴CM＝，∴CP＝；（3）若△CMP是等腰三角形，存在三种情况：①当PM＝CM时，如图3，同理作出辅助线，∵∠PCN＝45°，∴△PCN是等腰直角三角形，∴CN＝PN，同（2）得Rt△PGA≌Rt△PNB（HL），∴AG＝BN，设AG＝x，则PN＝CG＝x+1，CN＝2﹣x，∴x+1＝2﹣x，x＝，∴CN＝，∴CP＝；②Rt△ACB中，AC＝1，BC＝2，∴AB＝，∵M是AB的中点，∴CM＝CP＝AB＝；③作CM的中垂线交CD于P，则CP＝PM，过M作MH⊥CD于H，由①知：CG（就是CP＝）＝，CH＝，∵△CPN∽△CMH，∴，∴＝，CP＝，综上所述，CP的长是或或．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形相似的性质和判定、正方形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，与方程相结合，设未知数，列方程解决问题．7．（2019•富顺县三模）在正方形ABCD中，AB＝8，点P在边CD上，tan∠PBC＝，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．（1）如图1，当点R与点D重合时，求PQ的长；（2）如图2，试探索：的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图3，若点Q在线段BP上，设PQ＝x，RM＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【分析】（1）先求出PC＝6、PB＝10、RP＝2，再证△PBC∽△PRQ得，据此可得；（2）证△RMQ∽△PCB得，根据PC＝6、BC＝8知，据此可得答案；（3）由PD∥AB知，据此可得、PN＝，由、RM＝y知，根据PD∥MQ得，即，整理可得函数解析式，当点R与点A重合。

2019年上海市静安区中考数学一模考试卷含逐题详解

2019年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．化简（﹣x3）2的结果是（）A．﹣x6B．﹣x5C．x6D．x52．下列抛物线中，顶点坐标为（2，1）的是（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2﹣13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（）A．3sinαB．3cosαC．D．4．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且DE与BC不平行．下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．下列说法不正确的是（）A．设为单位向量，那么||＝1B．已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣4，那么∥C．四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，||＝||，那么这个四边形一定是平行四边形D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．不等式2x﹣1＞0的解是．8．方程＝的根是．9．已知＝，那么的值是．10．△ABC∽△A1B1C1，其中点A，B，C分别与点A1，B1，C1对应，如果AB：A1B1＝2：3，AC＝6，那么A1C1＝．11．如图，在点A处测得点B处的仰角是．（用“∠1，∠2，∠3或∠4”表示）12．如图，当小明沿坡度i＝1：的坡面由A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC＝米．13．抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，那么该抛物线在对称轴左侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）14．如图4，AD∥BC，AC、BD相交于点O，且S△AOD：S△BOC＝1：4．设＝，＝，那么向量＝．（用向量、表示）15．在中△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，G是重心，那么G到斜边AB中点的距离是．16．抛物线y＝ax2（a≠0）沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线y＝x2沿直线y＝x向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是．17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BE∥AD，且BE交CD于点E，∠AEB＝∠C．如果AB＝3，CD＝8，那么AD的长是．18．如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线翻折后，点A与点E重合，且ED交BC于点F，连接AE．如果tan∠DFC＝，那么的值是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：20．（10分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．21．（10分）已知：如图，反比例函数的图象经过点A、P，点A（6，），点P的横坐标是2．抛物线y＝ax2+bx+c （a≠0）经过坐标原点，且与x轴交于点B，顶点为P．求：（1）反比例函数的解析式；（2）抛物线的表达式及B点坐标．22．（10分）2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°．（1）求道路AB段的长；（精确到1米）（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC和AB上，且AD＝AC，EB＝ED，分别延长ED、AC 交于点F．（1）求证：△ABD∽△FDC；（2）求证：AE2＝BE•EF．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（4，0）、D（5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ADB的正切值；（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD相似时，求点P 的坐标．25．（14分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，tan∠ABC＝2．过点B作BM∥AC，动点P在射线BM 上（点P不与B重合），连结PA并延长到点Q，使∠AQC＝∠ABP．（1）求△ABC的面积；（2）设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）连接PC，如果△PQC是直角三角形，求BP的长．2019年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．化简（﹣x3）2的结果是（）A．﹣x6B．﹣x5C．x6D．x5【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝x6，故选：C．【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．下列抛物线中，顶点坐标为（2，1）的是（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2﹣1【分析】根据各个选项中的函数解析式可以直接写出它们的顶点坐标，从而可以解答本题．【解答】解：y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1），故选项A不符合题意，y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（2，1），故选项B符合题意，y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1），故选项C不符合题意，y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），故选项D不符合题意，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（）A．3sinαB．3cosαC．D．【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠A＝α，AB＝3，∴cosα＝，∴AC＝AB•cosα＝3cosα，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．4．点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：∵点P把线段AB分割成AP和PB两段，AP是PB和AB的比例中项，∴根据线段黄金分割的定义得：＝．故选：D．【点评】考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．5．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且DE与BC不平行．下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．【解答】解：在△ADE与△ACB中，∵＝，且∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的判定：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．下列说法不正确的是（）A．设为单位向量，那么||＝1B．已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣4，那么∥C．四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，||＝||，那么这个四边形一定是平行四边形D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解【分析】根据单位向量的定义，向量平行的定义以及平行四边形的判定进行判断．【解答】解：A、设为单位向量，那么||＝1，故本选项说法正确．B、已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣4，那么、方向相反，则∥，故本选项说法正确．C、四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，||＝||即AD＝BC，不能判定这个四边形一定是平行四边形，故本选项说法错误．D、由平面向量的平行四边形法则可以推知，平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，故本选项说法正确．故选：C．【点评】此题考查了平面向量的知识，属于基础题，解答本题的关键是明确平面向量的表示形式，难度一般．二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．不等式2x﹣1＞0的解是x＞．【分析】先移项，再系数化为1即可．【解答】解：移项，得2x＞1，系数化为1，得x＞．【点评】注意移项要变号．8．方程＝的根是x＝﹣1．【分析】按分式方程的解法，去分母化分式方程为整式方程求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（x﹣1），得x2＝1所以x＝±1．当x＝1时，x﹣1＝0，所以1不是原方程的根；当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣2≠0，所以﹣1是原方程的根．所以原方程的解为：x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查了分式方程的解法．题目比较简单，解分式方程易忘记检验而出错．9．已知＝，那么的值是．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∴设x＝2a，则y＝5a，那么＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．10．△ABC∽△A1B1C1，其中点A，B，C分别与点A1，B1，C1对应，如果AB：A1B1＝2：3，AC＝6，那么A1C1＝9．【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AB：A1B1＝2：3，∴＝＝，∵AC＝6，∴＝∴A1C1＝9，故答案为：9．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．11．如图，在点A处测得点B处的仰角是∠4．（用“∠1，∠2，∠3或∠4”表示）【分析】根据仰角的定义即可得到结论．【解答】解：在点A处测得点B处的仰角是∠4，故答案为：∠4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角和俯角，熟记仰角和俯角的定义是解题的关键．12．如图，当小明沿坡度i＝1：的坡面由A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC＝3米．【分析】根据坡度的概念求出∠A，根据直角三角形的性质解答．【解答】解：∵i＝1：，∴tan A＝＝，∴∠A＝30°，∴BC＝AB＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是解题的关键．13．抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，那么该抛物线在对称轴左侧的部分是下降的．（填“上升”或“下降”）【分析】根据抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，从而可以求得a的值，进而得到该抛物线在对称轴左侧的部分是上升还是下降，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，∴0＝a×02+（a﹣1），得a＝1，∴y＝x2，∴该函数的顶点坐标为（0，0），函数图象的开口向上，∴该抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，故答案为：下降．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14．如图4，AD∥BC，AC、BD相交于点O，且S△AOD：S△BOC＝1：4．设＝，＝，那么向量＝+．（用向量、表示）【分析】根据已知条件得到△ADO∽△CBO，根据相似三角形的性质得到＝（）2＝，得到＝，求得＝，根据已知条件得到＝+，于是得到结论．【解答】解：∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，∴＝（）2＝，∴＝，∴＝，∵＝，＝，∴＝+，∴＝＝+，故答案为：+．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．15．在中△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，G是重心，那么G到斜边AB中点的距离是．【分析】根据勾股定理可求得AB＝10，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝5，最后根据重心的性质可求DG．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵CD为AB边上的中线，∴CD＝AB＝5，∵点G是重心，∴DG＝CD＝．故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．16．抛物线y＝ax2（a≠0）沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线y＝x2沿直线y＝x向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是y＝（x﹣1）2+1．【分析】沿直线y＝x向上平移，平移距离为则相当于抛物线y＝ax2（a≠0）向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．【解答】解：∵抛物线y＝x2沿直线y＝x向上平移，平移距离为，相当于抛物线y＝ax2（a≠0）向右平移1个单位，向上平移1个单位，∴根据平移的规律得到：“同簇抛物线”的表达式是y＝（x﹣1）2+1．故答案为：y＝（x﹣1）2+1．【点评】本题考查了二次函数的几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BE∥AD，且BE交CD于点E，∠AEB＝∠C．如果AB＝3，CD＝8，那么AD的长是．【分析】根据平行四边形的判定得到四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质得到BE＝AD，DE＝AB ＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE＝AD，DE＝AB＝3，∵CD＝8，∴CE＝CD﹣DE＝5，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∵∠AEB＝∠C，∴△AEB∽△BCE，∴，∴，∴BE＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线翻折后，点A与点E重合，且ED交BC于点F，连接AE．如果tan∠DFC＝，那么的值是．【分析】根据矩形的性质得到BC＝AD，∠DAB＝∠C＝90°，AD∥BC，根据折叠的性质得到DE＝AD，∠BED＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠BDE，设CD＝BE＝2x，CF＝EF＝3x，根据勾股定理得到BF＝CF＝＝x，求得BC＝（+3）x，根据勾股定理得到BD＝＝x，根据三角形的面积公式得到AH＝，求得AE＝2AH＝，于是得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，∠DAB＝∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵矩形ABCD沿对角线BD所在直线翻折后，点A与点E重合，∴DE＝AD，∠BED＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠BDE，∴∠DBF＝∠FDB，∴BF＝DF，∴EF＝CF，∵tan∠DFC＝∠BFE＝，∴设CD＝BE＝2x，CF＝EF＝3x，∴BF＝CF＝＝x，∴BC＝（+3）x，∴BD＝＝x，∵AE⊥BD，∴AH＝，∴AE＝2AH＝，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝3﹣2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（2﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．21．（10分）已知：如图，反比例函数的图象经过点A、P，点A（6，），点P的横坐标是2．抛物线y＝ax2+bx+c （a≠0）经过坐标原点，且与x轴交于点B，顶点为P．求：（1）反比例函数的解析式；（2）抛物线的表达式及B点坐标．【分析】（1）设反比例函数的解析式为：y＝，把点A（6，）代入，得到关于k的一元一次方程，解之得到k的值，即可得到答案，（2）把x＝2代入（1）的解析式，得到点P的坐标，根据抛物线过坐标原点，利用待定系数法，求得抛物线的表达式，把y＝0代入抛物线的表达式，解之即可得到答案．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为：y＝，把点A（6，）代入得：＝，解得：k＝8，即反比例函数的解析式为：y＝，（2）把x＝2代入y＝得：y＝＝4，即点P的坐标为：（2，4），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+4，把点O（0，0）代入得：4a+4＝0，解得：a＝﹣1，即抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，把y＝0代入得：﹣（x﹣2）2+4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，即B点的坐标为：（4，0）．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，解题的关键：（1）正确掌握待定系数法求反比例函数解析式，（2）正确掌握待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线解析式，求抛物线与x 轴的交点．22．（10分）2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°．（1）求道路AB段的长；（精确到1米）（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）【分析】（1）由AC⊥BC，得到∠C＝90°，根据三角函数的定义得到AC＝800，在Rt△ABC中根据三角函数的定义得到AB＝＝≈1395米；（2）求得该车的速度＝＝55.8km/h＜60千米/时，于是得到结论．【解答】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵tan∠ADC＝＝2，∵CD＝400，∴AC＝800，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝35°，AC＝800，∴AB＝＝≈1395米；（2）∵AB＝1395，∴该车的速度＝＝55.8km/h＜60千米/时，故没有超速．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握三角函数定义．23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC和AB上，且AD＝AC，EB＝ED，分别延长ED、AC 交于点F．（1）求证：△ABD∽△FDC；（2）求证：AE2＝BE•EF．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BDE，根据三角形的外角的性质得到∠BAD ＝∠F，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到＝，等量代换即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵BE＝DE，∴∠B＝∠BDE，∵∠BDE＝∠CDF，∴∠CDF＝∠B，∵∠BAD＝∠ADC﹣∠B，∠F＝∠ACD﹣∠CDF，∴∠BAD＝∠F，∴△ABD∽△FDC；（2）∵∠EAD＝∠F，∠AED＝∠FEA，∴△AED∽△FEA，∴＝，∴AE2＝DE•EF，∵BE＝DE，∴AE2＝BE•EF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（4，0）、D（5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ADB的正切值；（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD相似时，求点P 的坐标．【分析】（1）设A（m，0），由△ABD的面积是3可求得m＝2，再利用待定系数法求解可得；（2）作DF⊥x轴，BF⊥AD，由A，B，D坐标知DF＝AF＝3，据此可求得AD＝3，∠DAF＝45°，继而可得AE＝BE＝，DE＝2，再依据正切函数的定义求解可得；（3）先求出直线AD解析式为y＝x﹣2，直线BD解析式为y＝3x﹣12，直线CD解析式为y＝﹣x+8，①△ADB ∽△APE时BD∥PE，此条件下求得PE解析式，连接直线PE和直线AD解析式所得方程组，解之求得点P坐标；②△ADB∽△AEP时∠ADB＝∠AEP，依据tan∠ADB＝tan∠AEP＝求解可得．【解答】解：（1）设A（m，0），则AB＝4﹣m，由△ABD的面积是3知（4﹣m）×3＝3，解得m＝2，∴A（2，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣4），将D（5，3）代入得：3a＝3，解得a＝1，∴y＝（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8；（2）如图1，过点D作DF⊥x轴于点F，∵A（2，0），B（4，0），D（5，3），∴DF＝3，AF＝3，则AD＝3，∠DAF＝45°，过点B作BE⊥AD于E，则AE＝BE＝，∴DE＝2，∴tan∠ADB＝＝＝；（3）如图2，由A（2，0），D（5，3）得直线AD解析式为y＝x﹣2，由B（4，0），D（5，3）可得直线BD解析式为y＝3x﹣12，由C（0，8），D（5，3）可得直线CD解析式为y＝﹣x+8，当y＝0时，﹣x+8＝0，解得x＝8，∴E（8，0），①若△ADB∽△APE，则∠ADB＝∠APE，∴BD∥PE，设PE所在直线解析式为y＝3x+m，将点E（8，0）代入得24+m＝0，解得m＝﹣24，∴直线PE解析式为y＝3x+24，由得，∴此时点P（11，9）；②若△ADB∽△AEP，则∠ADB＝∠AEP，∴tan∠ADB＝tan∠AEP＝，设P（n，n﹣2），过点P作PG⊥AE于点G，则OG＝n，PG＝n﹣2，∴GE＝8﹣n，由tan∠AEP＝＝＝求得n＝4，∴P（4，2）；综上，P（11，9）或（4，2）．【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握三角形的面积公式、待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、一次函数和二次函数的交点问题等知识点．25．（14分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，tan∠ABC＝2．过点B作BM∥AC，动点P在射线BM 上（点P不与B重合），连结PA并延长到点Q，使∠AQC＝∠ABP．（1）求△ABC的面积；（2）设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）连接PC，如果△PQC是直角三角形，求BP的长．【分析】（1）用解直角三角形的方法，求出AH和BC长即可求解；（2）证明△ABP∽△CQA，利用，即可求解；（3）连接PC，△PQC是直角三角形，即∠PCQ＝90°，利用cos∠PQC＝cosα＝＝，即可求解．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC交于点H，在Rt△ABH中，tan∠ABC＝＝2，设BH＝m，∴AH＝2m，根据勾股定理得，m2+（2m）2＝36，∴m＝﹣2（舍）或m＝2，∴BH＝2，AH＝2m＝4，在Rt△AHC中，AC＝9，根据勾股定理得，CH＝＝7，∴BC＝BH+CH＝9，S△ABC＝AH•BC＝×4×9＝18；（2）过点A作AG⊥PA交于点G，由（1）知，BC＝9，∵AC＝9，∴AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC，∵BM∥AC，∴∠BAC＝∠ABP，∴∠ABP＝∠ABC，∵AH⊥BC，AG⊥BP，∴AG＝AH＝4，BG＝BH＝2，∴PG＝BP﹣BG＝x﹣2根据勾股定理得，AP＝＝，∵BM∥AC，∴∠QAC＝∠APB，又∠AQC＝∠ABP，∴△ABP∽△CQA，∴，其中：AB＝6，BP＝x，QA＝y，AP ＝，AC＝9，∴，∴CQ ＝，y ＝①（x＞0）；（3）连接PC，△PQC是直角三角形，即∠PCQ＝90°，在Rt△ABH中，cos∠ABH ＝＝，∴cos∠PQC＝cosα＝＝其中CQ ＝，PQ＝AP+AQ＝y+AP，AP ＝，∴＝②联立①②解得：x＝﹣14（舍）或x＝9，即BP的长为9．【点评】本题为三角形综合题，重点是确定三角形相似，利用解直角三角形和三角形相似的方法，求出对应线段长度是解题的关键，本题难度较大．第21页（共21页）。