平方差和完全平方公式及其应用

平方差和完全平方公式及其应用

一、知识梳理

1.平方差公式：

公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

即：22()()a b a b a b +-=-

特征：左边：两个二项式的积，其中一项相同，另一项互为相反数

右边：相同一项的平方减去互为相反数一项的平方。

注意：A ．找符合公式特征的才能运用公式

B ．公式中a 、b 具有广泛性

C ．公式的逆用：22()()a b a b a b -=+-

D ．注意公式的变形 。

添括号：括号前面是“+”，括到括号内的各项不变号，括号前面是“-”，括到括号内的各项全

部变号。

即：()a b c a b c -+=+-+；()a b c a b c -+=--

2.完全平方公式：

公式：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的二倍。

即：222

()2()a b a ab b +=++完全平方和公式

222()2()a b a ab b -=-+完全平方差公式 特征：左边：两个数和（或差）的平方 右边：是一个三项式，其中两项为两数的平方且符号相同，另一项为这两数积的二倍，且符号与左边相同。

完全平方式：一个多项式能改写成平方的形式。 3.乘法公式的运用：

（1）正向运用：22()()a b a b a b +-=-；222

()2a b a ab b ±=±+

（2）逆向运用：22()()a b a b a b -=+-；2222()a ab b a b ±+=±

（3）乘法公式的变式应用： ①2222()244()4a b a ab b ab ab a b ab +=++-+=-+

②22()()4a b a b ab -=+-

③2222()()2()a b a b a b ++-=+；

④22()()4a b a b ab +--=

⑤2222()()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+ ⑥22(

)()22

a b a b ab +-=-； ⑦2222111()()2()2a a a a a a

+=+-=-+ ⑧2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ ⑨2222221[()()()]2

a b c ab bc ac a b b c a c +++++=+++++ ⑩2222221[()()()]2a b c ab bc ac a b b c a c ++---=-+-+- （3）完全平方公式的非负性：

①非负性:2222()0a ab b a b ±+=±≥

②最值定理:a 、b 同号，则：222()a b a b +≤+，当且仅当时a b =时，取等。

（4）乘法公式的变式应用（拓展）：

①33223()33a b a a b ab b +=+++； ②33223()33a b a a b ab b -=-+- ③3322()()a b a b a ab b +=+-+； ④3322()()a b a b a ab b -=-++