常微分方程及其应用

第5章 常微分方程及其应用

习题5.2

1．求下列各微分方程的通解：

（1）02=+ydy dx x ； （2）0ln =-'y y y x ；

（3）0)()(22=-++dy y x y dx x xy ； （4）03=-'xy y ；

（5）x e y y =-'2； （6）x x y y cos tan +='．

2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：

（1）y x e y -='2，0)0(=y ； （2）011=+-+dy x

y dx y x ，1)0(=y ； （3）x y y cos =-'，0)0(=y ； （4）x x y y sec tan =-'，0)0(=y ；

（5）x

x x y y sin =+'，1)(=πy ； （6）()0122=+-+dx x xy dy x ，0)1(=y ． 5.3 可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程

案例引入 求微分方程x y 6=''的通解．

解 两边积分，得1236C x xdx y +=='⎰

两边再积分，得 ()213123C x C x dx C x

y ++=+=⎰ 所以，原方程的通解为213C x C x y ++=，其中21C C 、为任意常数．

5.3.1 可降阶微分方程

1. 形如)()(x f y n =的微分方程

特点：方程右端为已知函数)(x f ．

解法：对)()(x f y n =连续积分n 次，即可得含有n 个任意常数的通解．

2. 形如),(y x f y '=''的微分方程

特点：方程右端不显含未知函数y ．

解法： 令)(x p y ='，则)(x p y '=''．于是，原方程可化为),(p x f p ='．这是关于p p ',的一阶微分方程．设其通解为),()(1C x x p ϕ=，即),(1C x y ϕ='．两边积分，即可得原方程通解21),(C dx C x y +=⎰ϕ，其中21C C 、为任意常数．

3. 形如),(y y f y '=''的微分方程

特点：方程右端不显含自变量x ．

解法：令)(y p y ='，则dy

dp p dy dp y dx dy dy dp y ='=⋅=''．于是，原方程可化为 ),(p y f p p ='．这是关于p p ',的一阶微分方程．设其通解为),()(1C y y p ψ=，即

),(1C y dx

dy ψ=．分离变量，得dx C y dy =),(1ψ．然后两边积分，即可得原方程通解 21)

,(C x C y dy +=⎰ψ，其中21C C 、为任意常数． 例5-7 求微分方程x x y cos sin -='''的通解．

解 两边积分，得12sin cos )cos (sin C x x dx x x y +--=-=''⎰

两边再积分，得()2112cos sin 2sin cos C x C x x dx C x x y +++-=+--=

⎰ 第三次积分，得()322121sin cos 2cos sin C x C x C x x dx C x C x x y ++++=+++-=⎰

所以，原方程的通解为3221sin cos C x C x C x x y ++++=，其中321C C C 、、为常数．

例5-8 求微分方程0='-''y y x 的通解．

解 令)(x p y ='，则)(x p y '=''．原方程可化为0=-'p p x ，即01=-

'p x

p ．这是关于p p ',的一阶线性齐次微分方程．其通解为：

x C e C e C x p x dx x 1ln 11

1222)(==⎰=，即x C y 12='．两边积分，即得原方程通解

22112C x C dx x C y +==⎰，其中21C C 、为任意常数．

例5-9 求微分方程x xe y x

y -='-''1的通解． 解 令)(x p y ='，则)(x p y '=''．于是，原方程可化为x xe p x

p -=-'1．这是关于p p ',的一阶线性非齐次微分方程．其通解为

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰--1112)(C dx e xe e x p dx x x dx x ()

1ln ln 2C dx e xe e

x x x +=⎰-- ()

12C dx e x

x +=⎰-()12C e x x +-=- 即()12C e x y x +-='-．两边积分，即得原方程通解

()()⎰⎰+-=+-=--dx x C xe dx C e x y x x 1122()

21x C e xd x +=⎰- 21x C dx e xe x x +-=⎰

--221)1(C x C e x x +++=-

其中21C C 、为任意常数．

例5-10 求微分方程()02='-''y y y 的通解． 解 令)(y p y ='，则)(y p p y '=''．于是，原方程可化为02

=-'p p yp ，即01=-'p y

p ．这是关于p p ',的一阶线性齐次微分方程．其通解为 y C e C e

C y p y dy y 1ln 111)(==⎰=，即y C y 1='． 所以原方程通解为x C dx C e C e C y 1122=⎰=，其中21C C 、为任意常数．

5.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程

定义5.4 形如

常数 0为、，q p qy y p y =+'+'' （5-5）