圆度的定义、测量和计算

定义

圆度：是指工件的横截面接近理论圆的程度。测量工具为圆度仪。

地质学名词：圆度（roundness）又称磨圆度（psephicity），是指岩石或矿物颗粒在搬运过程中，经流水冲刷，互相撞击之后，棱角被磨圆的程度。颗粒棱角越多越尖锐则圆度越差；反之棱角圆滑，圆度就好。碎屑颗粒圆度可用公式P=Σr/N·R计算求出。式中Σr=r1+r2+r3……+rn为颗粒各角的曲率颗粒最大投影面上圆度的测量半径总和，R为该颗粒轮廓内最大内接圆半径，N为所测角的曲率半径的数目。卢赛尔等（1937年）曾分出五种颗粒类型：棱角状、次棱角状、次圆状、圆状、极圆状，并提出相应的圆度数值。当对碎屑沉积物的圆度作整体分析时，要求出所有碎屑的平均圆度，这时，可统计各类圆度等级的颗粒数按加权平均法求其平均圆度即可。

主要功能

可快速测环形工件的圆度、表面波纹度（Wc、Wp、Wv、Wt、Wa、Wq、Swm）、谱分析、波高分析、、同心度、垂直度、同轴度、平行度、平面度、轴弯曲度、偏心、跳动量等。

测量仪器

测量仪器很多，然而使用不同仪器会产生不同测量误差。本文介绍了用光学分度头测量圆度误差时所建立的数学模型，分析了各种误差对测量误差的影响，从而为在保证测量精度的同时降低测量成本提供了理论依据。

圆度误差的测量

测量方法

圆度误差的评定方法有4种：最小包容区域法，最小外接圆法，最大内切圆法，最小二乘法。由于最小二乘法简便易行，长期以来甚为流行。测量圆度误差的方法虽有多种，但最为合理、用得最多的是半径法。为此，通过采用半径测量法在光学分度头上用千分表测量圆度误差，并对测量数据进行最小二乘法计算，以求得圆度误差值。

测量时，将被测量工件顶在光学分度头的两顶尖间，将指示表置于被测量横截面上，测量其半径的变化量Δr，即利用光学分度头将被测圆周等分成n个测量点，当每转过一个θ=360°/n角时，从指示表上读出该点相对于某一半径R0的偏差值Δr，由此测得所有数据Δri。

建立数学模型

见图1，若实际被测表面的位置用极坐标(ri，θi)来表示，则ri=ecos(θi-α)+[(R+Δri)2-e2sin(θi-α)]1/2。．．．．．．．．．．(1)

式中：i－－测点数，i=1，2，……，n Δri－－半径偏差观察值；e－－最小二乘圆圆心O1(a,b)的偏移量，a=ecosα,b=esinα。

由于圆度误差精度测量的特点，在测量之前必须调整零件的回转轴线，使a,b之值较小，满足“小偏差假设”，并且零件的圆度误差和其半径相比是微量，称为“小误差情况”，于是式(1)近似为ri=e(θi-α)+R+Δri，因此根据最小二乘法原理有E2=∑ni=1Δr2i=∑ni=1〔ri-R-ecos(θi-α)〕2=min。 (2)

根据?э(E2)/эR=0，э(E2)/эe=0，э(E2)/эα=0，可得∑ni=1ri-nR-e∑ni=1cos(θi-α)=0

∑ni=1ricos(θi-α)-R∑ni=1cos(θi-α)-e∑ni=1cos2(θi-α)=0 ．．．．(3) ∑ni=1risin(θi-α)-R∑ni=1sin(θi-α)-e∑ni=1cos(θi-α)sin(θi-α)=0。

如果各测点均布圆周，且n充分大，则

∑ni=1cos(θi-α)=0,∑ni=1sin(θi-α)=0,

∑ni=1cos2(θi-α)=n/2,∑ni=1sin2(θi-α)=n/2,

∑ni=1cos(θi-α)sin(θi-α)=0,

经简化计算，式(3)的解为

a=2/n∑ni=1Δricosθi

b=2n∑ni=1Δrisinθi

Δr=1/n∑ni=1Δri

R=R0+Δr。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(4)

于是，被测圆上各点到最小二乘圆之径向距离为εi=Δri-Δr-acosθi-bsinθi，则圆度误差为Δf0=εmax-εmin。

误差分析

量仪的回转精度引起的误差回转轴线在回转过程中，对轴线平均位置的相对位移即为回转误差运动。误差运动使回转轴在每一瞬时发生轴向窜动和径向跳动，

使被测工件一转内的采样点不全在一个横截面内，从而使各采样点间的相关性降低。但是，由于轴向窜动一般很小，而实际工件被测表面是平滑的，测头在被测表面采样时，也不可能是纯粹的点接触，而是小面积接触，因此轴向窜动对测量精度的影响可以忽略。径向跳动误差将直接传递到采样数据Δri中，进而影响最小二乘圆心坐标的计算精度。由式(4)可得〔2〕da=db<2d√nd(Δrmax)。因此，径线回转精度是圆度误差测量中极为重要的精度指标。对于光学分度头，是用顶尖装夹工件，其回转精度则由顶尖精度和被测工件顶尖孔的形状精度共同决定。

偏心e引起的误差由于测量时的回转中心O与最小二乘圆的圆心O1不重合，存在偏心e=OO1，式(2)中Δri=ri-R-ecos(θi-α)是式(1)用R+Δri代替[(R+Δri)2-e2sin2(θi-α)]1/2(其中α=arctgb/a)得到的，所以e引起的误差为δe=R+Δri-[(R+Δri)2-e2sin2(θi-α)]1/2，把上式展开成Talor级数得δe=e2/2(R+Δri)sin2(θi-α)，因sin2(θi-α)≤1,且R+Δri≈ri，则δemax=e2/2ri。由于e是微米级，ri是毫米级，所以此项误差一般很小，可忽略。

测头安装误差测头安装误差示意见图2。当测头的位置不通过被测工件的轴线而偏离距离为Δ时，则相应的偏离角为：θ=arcsinΔR，若被测表面半径有增量Δr 时，测头的实际位移为AB，其测量误差δθ=AB-Δr，因为Δr，AB<

测点数对测量误差的影响由于在轮廊上实测有限数量的点来代替被测实际轮廊的全貌，在原理上就存在了误差。为了减少此误差，应合理选择测点数。用计算机对圆度谐波进行模拟，利用数值积分可以求出对应于一定谐波时各种测点的不确定度，随测点数增加，测量不确定度下降。

结论

综上所述，用最小二乘法计算圆度误差，采用分度头测量时，仪器的回转精度、测头的安装误差及测点数是产生测量误差的主要因素。应尽量设法减少其影响，从而提高测量精度。