百校联考数学理答案

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2022-2023学年江苏省百校大联考数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析

12．关于函数 f（x）= sin x 1 有如下四个命题： sin x
①f（x）的图象关于 y 轴对称
②f（x）的图象关于原点对称
③f（x）的图象关于直线
x=
对称
2
④f（x）的最小值为 2
其中所有真命题的序号是__________
13．已知函数
f
x
a
1 2
x
b 的图象过原点，且无限接近直线
7
t x2 4x 5(1 x 5) ，则函数为 y log 1 t ，外层函数单调递减，由复合函数的单调性为同增异减，要求函数 7
f x 的增区间，即求 t 的减区间，当 x (2,5) ，t 单调递减，则 f x log1 x2 4x 5 在 x (2,5) 上单调递增，
n(n N* )
小时才可以驾
90e0.5x 14, x 2
车，则 n 的值为（）
（参考数据： ln15 2.71， ln 30 3.40 ）
A.5
B.6
C.7
D.8
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11．写出一个值域为 ,1，在区间 , 上单调递增的函数 f x ______
【详解】由散点图知，该人喝一瓶啤酒后 2 个小时内酒精含量大于或者等于 20mg/100ml ，所以所求 n 2 ，
故选 D
点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 8、D
【解析】由已知得 a 1， 0 b 1， c 0 ，判断可得选项. 【详解】解：由指数函数和对数函数的图象可知： a 1， 0 b 1， c 0 ，所以 c b a ，

江苏省百校大联考2024届高三上学期第二次考试数学含答案解析

江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

选择题部分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足z(1+i)=1-3i,则复数z的共轭复数z−的模长为()A.√2B.√3C.2D.√52.已知集合M={x|1xx-1<-1},N={x|ln x<1},则M∪N=()A.(0,1]B.(1,e)C.(0,e)D.(-∞,e)3.已知平面向量a=(-2,1),c=(2,t),则“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,A(π3,0),B(7π12,-1),则f(x)的解析式是()A.f(x)=sin(x+π6)B.f(x)=sin(x-π6)C.f(x)=sin(2x+π3)D.f(x)=sin(2x-π6)5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“C8xx>C8yy”,则P(A)=()A.1136B.13C.1336D.5126.若直线y=ax+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则2a+b的最小值为()A.2ln 2B.ln 2C.12ln 2D.1+ln 27.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C过点P(1,-2),过点F的直线与抛物线C交于两点,A1,B1分别为A,B两点在抛物线C准线上的投影,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是()A.线段AB长度的最小值为2B.△A1FB1的形状为锐角三角形C.A,O,B1三点共线D.M的坐标不可能为(3,-2)8.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n+a n=1,记b m为数列{a n}中能使a n≥12mm+1(m∈N*)成立的最小项,则数列{b m}的前2023项和为()A.2023×2024B.22024-1C.6-327D.112-328二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则以下说法正确的是()A.f(0)=0B.f(x)的一个周期为2C.f(2023)=1D.f(5)=f(4)+f(3)10.双曲线C:xx2aa2-yy2bb2=1(a>0,b>0),左、右顶点分别为A,B,O为坐标原点,如图,已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P,Q两点,与其两条渐近线分别交于R,S两点,则下列命题正确的是()A.存在直线l,使得AP∥ORB.l在运动的过程中,始终有|PR|=|SQ|C.若直线l的方程为y=kx+2,存在k,使得S△ORB取到最大值D.若直线l的方程为y=-√22(x-a),RRRR��⃗=2RRSS��⃗,则双曲线C的离心率为√311.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,动点P在直线CD1上运动,以下四个命题正确的是()A.BD⊥APB.四棱锥P-ABB1A1的体积是定值C.若M为BC的中点,则AA1B��⃗=2AAAA��⃗-AACC1��⃗��⃗·PPCC��⃗的最小值为-14D.PPAA12.已知函数f(x)=a(e x+a)-x,则下列结论正确的有()A.当a=1时,方程f(x)=0存在实数根B.当a≤0时,函数f(x)在R上单调递减C.当a>0时,函数f(x)有最小值,且最小值在x=ln a处取得D.当a>0时,不等式f(x)>2ln a+32恒成立非选择题部分三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,则实数a的取值范围是▲.14.已知{a n}是递增的等比数列,且满足a3=1,a1+a3+a5=919,则a4+a6+a8=▲.15.如图,若圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r1r2=3,则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为▲.16.设a>0,已知函数f(x)=e x-a ln(ax+b)-b,若f(x)≥0恒成立,则ab的最大值为▲.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知1-cos AA sin AA=sin2SS1+cos2SS.(1)证明:cos B=aa2bb.(2)求aa bb的取值范围.18.(12分)受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为4∶6∶10,现从这三个市中任意选取一个人. (1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;(2)若此人感染支原体肺炎病毒,求他来自甲市的概率. 19.(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=3,2S n =3a n -3. (1)证明数列{a n }为等比数列;(2)设数列{a n }的前n 项积为T n ,若1log )232)(21(13+•>+−−∑=n a T a S k n nk k k k λ对任意n ∈N *恒成立,求整数λ的最大值. 20.(12分)设椭圆xx 2aa 2+yy2bb2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,右焦点为F ,已知AA 1F ��⃗=3FFAA 2��⃗.(1)求椭圆的离心率.(2)已知椭圆右焦点F 的坐标为(1,0),P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线A 2P 交y 轴于点Q.若△A 1PQ 的面积与△A 2FP 的面积相等,求直线A 2P 的斜率. 21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PCD ⊥平面ABCD. (1)证明:PD ⊥平面ABCD.(2)若PD=AD , M 是PD 的中点,N 在线段PC 上,求平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围.22.(12分)已知函数f (x )=x ln x-12ax 2(a>0).(1)若函数f (x )在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围; (2)若函数f (x )有两个极值点x 1,x 2 (x 1<x 2),证明:x 1x 2>1aa .江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷参考答案1.D【解析】法一:因为z(1+i)=1-3i,所以z=1-3i1+i=(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3-4i2=-1-2i,所以|z−|=|z|=√5,故选D.法二:两边取模|z(1+i)|=|1-3i|,得|z|·|1+i|=|1-3i|,所以|z−|=|z|=√5,故选D.2.C【解析】解不等式1xx-1<-1,即xx xx-1<0,所以0<x<1,即M=(0,1),由ln x<1,得0<x<e,所以N=(0,e),所以M∪N=(0,e),故选C.3.C【解析】a=(-2,1),c=(2,t).若a∥c,t×(-2)=2×1,得t=-1,此时a与c互为相反向量;若a·c=(-2)×2+t=t-4>0,得t>4,此时向量a与c的夹角为锐角.故“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的充要条件,故选C.4.C【解析】由图象知T=4×(7π12-π3)=π,故ω=2.将(7π12,-1)代入解析式,得sin(7π6+φ)=-1,所以7π6+φ=-π2+2kπ,k∈Z,又|φ|<π2,即φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3).故选C.5.C【解析】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件;当x=2时,y=1满足;当x=3时,y=1,2,6满足;当x=4时,y=1,2,3,5,6满足;当x=5时,y=1,2,6满足;当x=6时,y=1满足.总共有13种满足题意,所以P(A)=1336,故选C.6.B【解析】设切点为(x0,ln x0),y'=1xx,则�aa=1xx0,aaxx0+b=ln xx0,得b=ln x0-1,∴2a+b=2xx0+ln x0-1.设f(x)=2xx+ln x-1(x>0),f'(x)=-2xx2+1xx=xx-2xx2,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)min=f(2)=ln 2,∴2a+b的最小值为ln 2.7.C【解析】因为抛物线C过点P(1,-2),所以抛物线C的方程为y2=4x,线段AB长度的最小值为通径2p=4,所以A错误;由定义知AA1=AF,AA1∥x轴,所以∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,所以∠A1FB1=90°,所以B错误;设直线与抛物线C交于AB:x=my+1,联立抛物线,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-4,k OA=yy1xx1=4yy1=-y2,因为B1(-1,y2),所以kk OOBB1=-y2=k OA,A,O,B1三点共线,所以C正确;设AB的中点为M(x0,y0),则y0=yy1+yy22=2m,x0=my0+1=2m2+1,取m=-1,M(3,-2),所以D错误.故选C. 8.D【解析】当n=1时,a1=12,由S n+1+a n+1=1,得2a n+1-a n=0,∴a n=12nn,显然{a n}递减,要使得a n最小,即要使得n最大,令12nn≥12mm+1,得2n≤2m+1.若m=1,则n≤1,b1=a1=12;若2≤m≤3,则n≤2,b m=a2=14;若4≤m≤7,则n≤3,b m=a3=18;若8≤m≤15,则n≤4,b m=a4=116;…;若1024≤m≤2047,则n≤11,b m=a11=1211.∴T1=b1=12,T3=b1+(b2+b3)=12+12=1,T7=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)=12+12+12=32,…,∴T204 7=11×12=112,∴T2023=112-24211=112-328,故选D.9.ABD【解析】f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0,A正确;由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),所以2是它的一个周期,B正确;f(2023)=f(2×1011+1)=f(1),而f(1)=0,C错误;f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),因此f(5)=f(4)+f(3),D正确.故选ABD.10.BD【解析】A选项,与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A错误;B选项,易证明线段PQ与线段RS的中点重合,故B正确;C选项,当k,S△ORB会趋向于无穷,不可能有最大值,故C错误;D选项,联立直线l与渐近线y=bb aa x,解得S(aa2√2b+a,aabb√2b+a),联立直线l与渐近线y=-bb aa x,解得R(aa2-√2b+a,aabb√2b-a),由题可知,RRRR��⃗=2RRSS��⃗,所以y S-y R=2(y B-y S),即3y S=y R+2y B,3aabb√2b+a=aabb√2b-a,解得b=√2a,所以e=√3,故D正确.故选BD.11.BCD【解析】对于A,假设BD⊥AP,则BD⊥平面ACD1,因为AC⊂平面ACD1,所以BD⊥AC,则四边形ABCD是菱形,AB=AD,A不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面ABB1A1,所以四棱锥P-ABB1A1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B正确;对于C,AACC1��⃗=AASS��⃗+AAAA��⃗+AAAA1��⃗,AAAA��⃗=AASS��⃗+12AAAA��⃗,故2AAAA��⃗-AACC1��⃗=AASS��⃗-AAAA1��⃗=AA1B��⃗,故C正确;对于D,设PPCC��⃗=λAA1C��⃗,PPAA��⃗·PPCC��⃗=(PPCC��⃗+CCSS��⃗+SSAA��⃗)·PPCC��⃗=(λAA1C��⃗-AAAA��⃗-AASS��⃗)·λAA1C��⃗=(λAA1B��⃗-AAAA��⃗-AASS��⃗)·λAA1B��⃗=(λAASS��⃗-λAAAA1��⃗-AAAA��⃗-AASS��⃗)·(λAASS��⃗-λAAAA1��⃗)=λ(λ-1)|AASS��⃗|2-λ2AAAA1��⃗·AASS��⃗-λAAAA��⃗·AASS��⃗-λ(λ-1)AASS��⃗·AAAA1��⃗+λ2|AAAA1��⃗|2+λAAAA��⃗·AAAA1��⃗=λ(λ-1)|AASS��⃗|2-(2λ2-λ)AAAA1��⃗·AASS��⃗-λAAAA��⃗·AASS��⃗+λ2|AAAA1��⃗|2+λAAAA��⃗·AAAA1��⃗=λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos 60°-λ×2cos 60°+4λ2+λ·2cos 60°=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-14,当且仅当λ=14时,等号成立,所以PPAA��⃗·PPCC��⃗的最小值为-14,故D正确.故选BCD.12.BD【解析】对于A,因为a=1,所以方程f(x)=0即e x+1-x=0,又e x≥x+1>x-1,所以e x+1-x>0恒成立,所以方程f(x)=0不存在实数根,所以A错误.对于B,因为f(x)=a(e x+a)-x,定义域为R,所以f'(x)=a e x-1,当a≤0时,由于e x>0,则a e x≤0,故f'(x)=a e x-1<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减,所以B正确.对于C,由上知,当a>0时,令f'(x)=a e x-1=0,解得x=-ln a.当x<-ln a时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减;当x>-ln a时,f'(x)>0,则f(x)在(-,+∞)上单调递增.当a>0时,f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.所以函数f(x)有最小值,即最小值在x=-ln a处取得,所以C错误.对于D,由上知f(x)min=f(-ln a)=a(e-ln a+a)+ln a=1+a2+ln a,要证f(x)>2ln a+32,即证1+a2+ln a>2ln a+32,即证a2-12-ln a>0恒成立,令g(a)=a2-12-ln a(a>0),则g'(a)=2a-1aa=2aa2-1aa.令g'(a)<0,则0<a<√22;令g'(a)>0,则a>√22.所以g(a)在(0,√22)上单调递减,在(√22,+∞)上单调递增,所以g(a)min=g(√22)=(√22)2-12-ln√22=ln√2>0,则g(a)>0恒成立,所以当a>0时,f (x )>2ln a+32恒成立,D 正确.综上,故选BD . 13.(-∞,1] 【解析】因为x ∈[0,2],所以由ax 2-2x+a ≤0,得a ≤2xxxx 2+1, 因为关于x 的不等式ax 2-2x+a ≤0在区间[0,2]上有解,所以只需a 小于或等于2xxxx 2+1的最大值,当x=0时,2xxxx 2+1=0,当x ≠0时,2xx xx 2+1=2xx +1xx≤1,当且仅当x=1时,等号成立,所以2xxxx 2+1的最大值为1,故a ≤1,即实数a 的取值范围是(-∞,1].故答案为(-∞,1].14.273 【解析】设公比为q ,a 1+a 3+a 5=aa3qq 2+a 3+a 3q 2=919,解得q 2=9或19,因为{a n }递增,所以q=3,则a 4+a 6+a 8=(a 1+a 3+a 5)q 3=919×33=273.故答案为273.15.12π 【解析】设圆台上、下底面圆心分别为O 1,O 2,则圆台内切球的球心O 一定在O 1O 2的中点处,设球O 与母线AB 切于M 点,∴OM ⊥AB ,∴OM=OO 1=OO 2=R (R 为球O 的半径),∴△AOO 1与△AOM 全等,∴AM=r 1,同理BM=r 2,∴AB=r 1+r 2,∴O 1OO 22=(r 1+r 2)2-(r 1-r 2)2=4r 1r 2=12,∴O 1O 2=2√3,∴圆台的内切球半径R=√3,∴内切球的表面积为4πR 2=12π.故答案为12π.16.e2【解析】f (x )≥0⇔ax+e x ≥a ln(ax+b )+(ax+b ),设g (x )=a ln x+x ,易知g (x )在(0,+∞)上递增,且g (e x )=a ln e x +e x =ax+e x ,故f (x )≥0⇔g (e x )≥g (ax+b )⇔e x ≥ax+b.法一:设y=e x 在点P (x 0,e xx 0)处的切线斜率为a ,e xx 0=a ,即x 0=ln a ,切线l :y=ax+a (1-ln a ),由e x ≥ax+b 恒成立,可得b ≤a (1-ln a ),∴ab ≤a 2(1-ln a ),设h (a )=a 2(1-ln a ),a>0,h'(a )=2a (12-ln a ),当a ∈(0,e 12)时,h'(a )>0,当a ∈(e 12,+∞)时,h'(a )<0,∴h (a )max =h (e 12)=e 2,∴ab 的最大值为e2.故答案为e 2.法二:设h (x )=e x -ax-b ,h'(x )=e x -a ,当x ∈(-∞,ln a )时,h'(x )<0,当x ∈(ln a ,+∞)时,h'(x )>0,∴h (x )min =h (ln a )=a (1-ln a )-b ≥0,即有b ≤a (1-ln a ),∴ab ≤a 2(1-ln a ),下同法一.17.【解析】(1)证法一:因为1-cos AA sin AA =sin2SS 1+cos2SS =2sin SS cos SS 2cos 2B=sin SScos SS ,所以(1-cos A )·cos B=sin A ·sin B , ............................................................................................................................... 2分所以cos B=cos A cos B+sin A sin B ,即cos(A-B )=cos B ,而-π2<A-B<π2,0<B<π2,所以A-B=B ,即A=2B , .............................................................................................................. 4分所以sin A=sin 2B=2sin B cos B.由正弦定理得 a=2b cos B ,即cos B=aa2bb ....................................................................................................................... 5分证法二:由1-cos AA sin AA =2sin 2AA22sin AA 2cos AA 2=sin AA2cos AA 2=sin2SS 1+cos2SS ,所以sin AA2cos AA 2=sin2SS1+cos2SS , 即sin AA2·(1+cos 2B )=cos AA 2·sin 2B ,所以sin AA2=sin 2B ·cos AA 2-cos 2B ·sin AA 2=sin(2B-AA 2), 又0<A<π2,0<B<π2且A+B>π2,所以AA 2=2B-AA 2或AA 2+(2B-AA 2)=2B=π,所以A=2B 或B=π2(与锐角△ABC 不合,舍去).综上知,A=2B.所以sin A=sin 2B=2sin B cos B ,由正弦定理得 a=2b cos B ,即cos B=aa2bb . (2)由上知A=2B ,则C=π-A-B=π-3B ,在锐角△ABC 中,π6<B<π4, .............................................................................. 7分由正弦定理,得aa bb =sin AA sin SS =sin2SS sin SS =2sin SS cos SSsin SS=2cos B ∈(√2,√3), ......................................................................................... 9分所以aabb 的取值范围是(√2,√3). ........................................................................................................................................ 10分 18.【解析】(1)记事件D :选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件E :此人来自甲市,记事件F :此人来自乙市,记事件G :此人来自丙市. ............................................................................................................................................ 1分Ω=E ∪F ∪G ,且E ,F ,G 彼此互斥,由题意可得P (E )=420=0.2,P (F )=620=0.3,P (G )=1020=0.5, P (D|E )=0.08,P (D|F )=0.06,P (D|G )=0.04, ................................................................................................................... 3分由全概率公式可得P (D )=P (E ).P (D|E )+P (F ).P (D|F )+P (G ).P (D|G )=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054, (5)分所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054. ................................................................... 6分 (2)由条件概率公式可得P (E|D )=PP (AADD )PP (AA )=PP (DD )·PP (AA |DD )PP (AA )=0.2×0.080.054=827. ........................................................................... 11分所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为827.................................................................................. 12分19.【解析】(1)因为2S n -3a n +3=0,①当n ≥2时,2S n-1-3a n-1+3=0,② ..................................................................................................................................... 2分①-②得 a n =3a n-1(n ≥2),即aann aa nn -1=3(n ≥2),所以数列{a n }是首项为3,公比为3的等比数列. .......................................................................................................... 4分 (2)由(1)知a n=3n ,所以S n =3(1-3nn )1-3=3nn +1-32,T n =a 1a 2a 3…a n =3×32×33×…×3n =31+2+3+…+n =3nn (nn +1)2, ........................................................................................... 6分所以�kk=1nn (1-2kk )(RR kk -2aa kk +32)log 3TT kk =�kk=1nn (1-2kk )(3kk +1-32-2·3kk +32)log 33kk (kk +1)2 =�kk=1nn (2kk -1)3kkkk (kk +1)=�kk=1nn(3kk +1kk +1-3kk kk )=3nn +1nn +1-3>λλ·3nnnn +1对任意n ∈N *恒成立, .................................................................................. 8分故λ<3-nn +13nn -1恒成立, ........................................................................................................................................................... 9分令f (n )=3-nn +13nn -1,则f (n+1)-f (n )=3-nn +23nn -(3-nn +13nn -1)=2nn +13nn >0, ........................................................................................ 11分所以数列{f (n )}单调递增,所以f (n )min =f (1)=1,所以λ<1,故整数λ的最大值为0. ............................................ 12分20.【解析】(1)由题可知,|A 1A 2|=2a ,由AA 1F ��⃗=3FFAA 2��⃗,所以|AA 1F ��⃗|=3|FFAA 2��⃗|,所以|AA 1F ��⃗|=34|A 1A 2|=32a ,即a+c=32a ,所以椭圆的离心率e=cc aa =12. ......................................................................................................................... 3分 (2)法一:由题意知,c=1,a=2,所以椭圆方程为xx 24+yy 23=1,直线A 2P 的斜率存在,设直线A 2P 的斜率为k , 则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,设A 1到直线A 2P 的距离为h 1,F 到直线A 2P 的距离为h 2, 则h 1=|-4kk |�kk 2+1,h 2=|-kk |�kk 2+1, .................................................................................................................................................... 5分又RR △AA 1PQ =12h 1·|PQ|,RR △AA 2FP =12h 2·|A 2P|,RR △AA 1PQ =RR △AA 2FP ,所以|PPPP||AA2P|=ℎ2ℎ1=14, ................................................................................................................................................................. 8分由图可得AA2P��⃗=45AA2Q��⃗,又因为A2(2,0),Q(0,-2k),所以P(25,-85k), ............................................................................... 10分又P在椭圆上,代入椭圆方程解得k2=98,因为k<0,所以k=-3√24. .......................................................................... 12分法二:由题意知,直线A2P的斜率存在,设直线A2P的斜率为k,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,联立�kkxx-yy-2kk=0,xx24+yy23=1,消去y得到方程(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0,所以xx AA2·x P=16kk2-123+4kk2,所以x P=8kk2-63+4kk2, ................................................................................................................................ 5分代入直线方程得P(8kk2-63+4kk2,-12kk3+4kk2),Q(0,-2k), .................................................................................................................... 7分RR△AA2FP=12|A2F|·y P=yy PP2,RR△AA1PQ=RR△QQAA1AA2-RR△PPAA1AA2=12·4·(-2k)-12·4·y P,又因为RR△AA1PQ=RR△AA2FP,所以52y P=-4k, ......................................................................................................................... 10分所以52·-12kk3+4kk2=-4k,解得k2=98,因为k<0,所以k=-3√24................................................................................................ 12分21.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,∴AD⊥平面PCD,∵PD⊂平面PCD,∴AD⊥PD,........................................................................................................................................... 2分同理CD⊥PD.∵AD∩CD=D,AD⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PD⊥平面ABCD. .......................................................................................................................................................... 4分(2)由(1)知AD⊥PD,CD⊥PD,AD⊥CD,∴DA,DC,DP两两垂直,如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设PD=AD=2,则D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,1).∵PD⊥平面ABCD,∴平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), .................................................................................................................. 5分CCCC��⃗=λCCPP��⃗(0≤λ≤1),∴SSAA��⃗=(-2,-2,1),CCPP��⃗=(0,-2,2),∴SSCC��⃗=SSCC��⃗+CCCC��⃗=SSCC��⃗+λCCPP��⃗=(-2,0,0)+λ(0,-2,2)=(-2,-2λ,2λ),设平面BMN的法向量为n=(x,y,z),则�SSAA��⃗·nn=-2xx-2yy+zz=0,SSCC��⃗·nn=-2xx-2λλyy+2λλzz=0,取x=λ,则y=1-2λ,z=2-2λ,∴平面BMN的一个法向量为n=(λ,1-2λ,2-2λ)......................................................................................................... 7分设平面BMN与平面ABCD的夹角为θ,则cos θ=|cos<n,m>|=|nn·mm|nn||mm||=|2-2λλ|�λλ2+(1-2λ)2+(2-2λ)2=|2-2λλ|�9λλ2-12λ+5, .............................................................................. 8分设t=1-λ,则0≤t≤1.①当t=0时,cos θ=0. ..................................................................................................................................................... 9分②当t≠0时,cos θ=2|tt|�9tt2-6t+2=2�tt29tt2-6t+2=2�12(1tt)2-6×1tt+9=2�12[(1tt-32)2+92],当t=23时,cos θ=2√23,∴0<cos θ≤2√23.......................................................................................................................... 11分综上,0≤cos θ≤2√23.∴平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围为[0,2√23]........................................ 12分22.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x-ax+1, .......................................................................................... 1分由题意,f'(x)≤0恒成立,即a≥ln xx+1xx恒成立,.................................................................................................................... 2分设h(x)=ln xx+1xx,h'(x)=-ln xx xx2,当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)递减, ...................................................................... 3分∴h(x)max=h(1)=1,∴a≥1................................................................................................................................................. 4分(2)证法一:∵函数f(x)有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g(x)=f'(x)=ln x-ax+1,则x1,x2是g(x)的两个零点,∵g'(x)=1xx-a,当x∈(0,1aa)时,g'(x)>0,当x∈(1aa,+∞)时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,1aa)上递增,在(1aa,+∞)上递减,∴0<x1<1aa<x2,又∵g(1)=1-a>0,∴0<x1<1<1aa<x2, ............................................................................................................................................................... 6分要证x1x2>1aa,只需证x2>1aaxx1(>1aa),只需证g(x2)<g(1aaxx1),即证g(1aaxx1)=-ln(ax1)-1xx1+1>0,即证ln(ax1)+1xx1-1<0,(*) ........................................................................................... 8分由g(x1)=ln x1-ax1+1=0,设ax1=t∈(0,1),则ln x1=t-1,x1=e t-1,则(*)⇔ln t+e1-t-1<0, ................................. 10分设G(t)=ln t+e1-t-1(0<t<1),G'(t)=1tt-1e tt-1=e tt-1-t tt e tt-1,由(1)知ln x≤x-1,∴e x-1≥x,∴e t-1-t≥0,即G'(t)≥0,G(t)在(0,1)上递增,G(t)<G(1)=0,故(*)成立,即x1x2>1aa.................................................................................................................... 12分证法二:先证明引理:当0<t<1时,ln t<2(tt-1)tt+1,当t>1时,ln t>2(tt-1)tt+1.设G(t)=ln t-2(tt-1)tt+1(t>0),G'(t)=1tt-4(tt+1)2=(tt-1)2tt(tt+1)2≥0,∴G(t)在(0,+∞)上递增,又G(1)=0,当0<t<1时,G(t)<G(1)=0,当t>1时,G(t)>G(1)=0,∴引理得证............................................................................................... 5分∵函数f(x)有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g(x)=f'(x)=ln x-ax+1,则x1,x2是g(x)的两个零点,∵g'(x)=1xx-a,当x∈(0,1aa)时,g'(x)>0,当x∈(1aa,+∞)时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,1aa)上递增,在(1aa,+∞)上递减,∴0<x1<1aa<x2,即0<ax1<1<ax2................................................................... 6分要证x1x2>1aa,只需证ln x1+ln x2>-ln a,即证a(x2+x1)>2-ln a,(*) .......................................................................... 7分由引理可得ax2+ln a-1=ln(ax2)>2(aaxx2-1)aaxx2+1,化简可得a2xx22+a(ln a-2)x2+ln a+1>0,①....................................... 9分同理ax1+ln a-1=ln(ax1)<2(aaxx1-1)aaxx1+1,即有a2xx12+a(ln a-2)x1+ln a+1<0.②......................................................... 10分由①-②可得,a2(x2+x1)(x2-x1)+a(ln a-2)(x2-x1)>0,即a2(x2+x1)+a(ln a-2)>0,即a(x2+x1)>2-ln a,故(*)得证,从而x1x2>1aa. ................................................................................................................................................................... 12分。

2021年江苏省高三年级数学百校大联考(含答案解析)

2021年江苏省高三年级百校大联考1.已知集合A={x|x2−x−2<0}，B={−2,−1,0,1,2}，则A⋂B=( )A. {0}B. {0,1}C. {−1,0}D. {−1,0,1,2}2.若复数z=(m+1)−2mi(m∈R)为纯虚数，则z的共轭复数是( )A. −2iB. −iC. iD. 2i3.设函数f(x)={√1−x+1,x≤1,2x−1,x>1,则f(f(−3))=( )A. 14B. 2C. 4D. 84.《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成．已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3.8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12.6立方寸，若π取3.14，则圆柱的母线长约为( )A. 0.38寸B. 1.15寸C. 1.53寸D. 4.59寸5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)，现有如下四个命题：甲：该函数的最大值为√2；乙：该函数图象可以由y=sin2x+cos2x的图象平移得到；丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π；丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3,0).如果只有一个假命题，那么该命题是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.“0<xsinx<π2”是“0<x<π2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知双曲线C 的左、右焦点分别是为F 1，F 2，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知角α与角β的顶点均与原点O 重合，始边均与x 轴的非负半轴重合，它们的终边关于y 轴对称．若sinα=35，则cos(α+β)cos(a −β)=( )A. 725B. 15C. −15D. −7259. 已知x +y >0，且x <0，则( )A. x 2>−xyB. |x|<|y|C. lgx 2>lgy 2D. yx +xy <−210. 已知两点A(−4,3)，B(2,1)，曲线C 上存在点P 满足|PA|=|PB|，则曲线C 的方程可以是( )A. 3x −y +1=0B. x 2+y 2=4C.x 22−y 2=1 D. y 2=3x11. 设S n 和T n 分别为数列{a n }和{b n }的前n 项和．已知2S n =3−a n ，b n =na n 3，则( )A. {a n }是等比数列B. {b n }是递增数列C. Sn a n=3n −12D. Sn T n>212. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4，将△ACD 沿直线AC 翻折，形成三棱锥D −ABC.下列说法正确的是( )A. 在翻折过程中，三棱锥D −ABC 外接球的体积为定值B. 在翻折过程中，存在某个位置，使得BC ⊥ADC. 当平面DAC ⊥平面ABC 时，BD =2√855D. 当平面DBC ⊥平面ABC 时，三棱锥D −ABC 的体积为4√3313. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=4，a ⃗ −b ⃗ =(−4,3)，则|a ⃗ +b ⃗ |=__________. 14. 写出一个能说明“若函数f(x)的导函数f′(x)是周期函数，则f(x)也是周期函数”为假命题的函数：f(x)=__________.15. 已知AB 是过抛物线y 2=4x 焦点F 的弦，P 为该抛物线准线上的动点，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为__________.16. 函数f(x)=2cosx +x 2的最小值为__________；若存在x ≥0，使得f′(x)>2e x +ax −2，则a 的取值范围为__________.17. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n +a n +1=λn ，n ∈N ∗，λ≠0，且a 2是a 1，a 5的等比中项． (1)求λ的值；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .18. 在①sinAsinB +sinBsinA +1=c 2ab ，②(a +2b)cosC +ccosA =0，③√3asinA+B 2=csinA 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且__________. (1)求角C 的大小；(2)若c =√7，sinAsinB =314，求△ABC 的面积．19.一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，且只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线．选择适当的坐标系后，悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数，其解析式可以为f(x)=ae x+be−x，其中a，b是常数．(1)当a=b≠0时，判断f(x)的奇偶性；(2)当a，b∈(0,1)时，若f(x)的最小值为√2，求11−a +21−b的最小值．20.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的底面ABC为正三角形，D是AB的中点，AB=BB1，∠ABB1=60∘，平面AA1B1B⊥底面ABC.(1)证明：平面B1DC⊥平面AA1B1B；(2)求二面角B−CB1−A1的余弦值．21.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−√6,0)，B(√6,0)，动点E(x,y)满足直线AE与BE的斜率之积为−13，记E的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过点D(2,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x=3的垂线，垂足为G，过点O作OM⊥QG，垂足为M.证明：存在定点N，使得|MN|为定值．22.已知函数f(x)=alnx−x，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若关于x的不等式f(x)≤1x −2e在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查交集的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题.先求出集合A，再利用交集定义能求出A⋂B.【解答】解：∵集合A={x|(x+1)(x−2)<0}={x|−1<x<2}，B={−2,−1,0,1,2}，∴A⋂B={0,1}.故答案选：B.2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了纯虚数、共轭复数的概念，属于基础题．先利用纯虚数的定义求出m的值，求出复数z，再利用共轭复数概念即可求解．【解答】解：∵复数z=(m+1)−2mi(m∈R)为纯虚数，∴m+1=0且m≠0，∴m=−1，∴z=2i，∴复数z的共轭复数为−2i.故答案选：A.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了分段函数求值，属于基础题.根据题意可得f(−3)=3，代入即可求得结果.【解答】解：因为f(−3)=√1−(−3)+1=3，所以f(f(−3))=f(3)=23−1=4.故答案选：C.4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查圆柱的体积，考查简单组合体及其结构特征，属于中档题.由题意得求出长方体的体积和圆柱的体积，设圆柱的母线长为l，则由圆柱的底面半径为0.5寸，通过体积公式，即可求出l.【解答】解：由题意得，长方体的体积为3.8×3×1=11.4(立方寸)，故圆柱的体积为12.6−11.4=1.2(立方寸).设圆柱的母线长为l，则由圆柱的底面半径为0.5寸，得0.52πl=1.2，计算得l≈1.53(寸).故答案选：C.5.【答案】B【解析】【分析】)图像与性质以及命题真假本题主要考查的是y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2的判断，属于基础题.分别将甲、乙、丙、丁一一判断即可.【解答】解：由命题甲知A=√2;根据命题乙，由y=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，可知A=√2，ω=2;由命题丙知T=2π，则ω=1，那么命题乙和命题丙矛盾.若假命题是乙，则f(x)=√2sin(x+φ)，由命题丁知，φ=π3，符合题意;若假命题是丙，则f(x)=√2sin(2x+φ)，由命题丁知，φ=kπ−4π3，k∈Z，不满足条件0<φ<π2.故假命题是乙.故答案选：B.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，涉及三角函数的性质，以及利用导数判断函数的单调性，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.当0<x<π2时，设函数f(x)=xsinx，对函数求导，结合函数的单调性，求出f(x)对应的取值范围，可判断必要性是否成立；举出特例判断充分性是否成立.【解答】解：当0<x<π2时，设函数f(x)=xsinx，x∈(0,π2),f′(x)=sinx+xcosx>0，∴f(x)在(0,π2)上单调递增，所以f(0)<f(x)<f(π2)，又f(0)=0,f(π2)=π2，∴0<xsinx<π2成立，满足必要性；当0<xsinx<π2时，0<x<π2不一定成立，如0<5π6sin56π=5π12<π2，但5π6∉(0,π2)，不满足充分性，故“0<xsinx<π2”是“0<x<π2”的必要不充分条件.故答案选：B.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查余弦定理，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．由题意知过F 2的直线与C 的右支交于A ，B 两点，可设|F 2B|=t ，则|AF 2|=3t ，|AB|=|AF 1|=4t ，由双曲线的定义及余弦定理，求出a 和c ，即可求出双曲线的离心率. 【解答】解：由题意得：过F 2的直线与C 的右支交于A ，B 两点，可设|F 2B|=t ，则|AF 2|=3t ，|AB|=|AF 1|=4t ，由双曲线的定义得2a =|AF 1|−|AF 2|=t ，所以|BF 1|=2a +|BF 2|=2t.在△AF 1B 中，由余弦定理得cos∠F 1AB =16t 2+16t 2−4t 22⋅4t⋅4t=78.在△AF 1F 2中，由余弦定理得16t 2+9t 2−2⋅4t ⋅3t ⋅78=4c 2，解得c =t ，所以2a =t =c.所以C 的离心率为ca =2.故答案选：A.8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数之间的关系，两角和与差的余弦公式，属于基础题．由题意得cosα与cosβ、sinα与sinβ的关系，利用条件求出cosα的值，再利用两角差的余弦公式，化简所求即可求解．【解答】解：因为sinα=35，则cosα=±45，又α与β关于y 轴对称，则sinβ=sinα=35，cosβ=−cosα=45(或cosβ=−cosα=−45)，所以cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=−cos 2α+sin 2α=−1625+925=−725.同理，cos(α+β)=−cos 2α−sin 2α=−1625−925=−1 故cos(α+β)cos(α−β)=725.故答案选：A.9.【答案】BD【解析】【分析】本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，属于基础题. 利用题目条件，对照选项逐个判断即可. 【解答】对于选项A ，由题意，易知x <0，y >0，取x =−1，y =2，可知x 2>−xy 不成立，故A 错误；对于选项B ，由题意，易知x <0，y >0，从而|x|−|y|=−x −y =−(x +y)<0，故|x|<|y|，B 正确；对于选项C ，取x =−1,y =2，可知lgx 2>lgy 2不成立，故C 错误；对于选项D ，由于x ，y 异号，从而y x ,xy 均小于0，故yx +xy =−[(−yx )+(−xy )]≤−2√(−yx )⋅(−xy )=−2，当且仅当x =−y 时取等号，而由于x +y >0，从而等号取不到，即yx+xy <−2，故D正确.故答案选：BD.10.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查两条直线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线与抛物线的位置关系，考查中点坐标，考查直线垂直的判定，属于中档题.利用直线与圆锥曲线的位置关系，联立直线与曲线的方程，根据解的情况逐一判断即可. 【解答】解：由|PA|=|PB|，得知点P 在AB 的垂直平分线l 上，因为线段AB 的中点坐标为(−1,2)，k AB =−13，且AB 与直线l 垂直，且过AB 中点，所以l 的方程为y =3x +5，所以3x −y +1=0与l 平行，可知两直线无交点，故A 不正确；联立方程组{x 2+y 2=43x −y +5=0，消y ，可得10x 2+30x +21=0，△=900−4×10×21>0，可知两直线有交点，故B 正确；将直线l 的方程代入双曲线x 22−y 2=1，得17x 2+60x +52=0，△=3600−4×17×52=3600−3536>0，所以l 与双曲线相交，故C 正确；联立方程组将直线l 的方程代入y 2=3x ，得y 2=y −5，△<0，方程无实数解，故D 不正确. 故答案选：BC.11.【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查的是等比数列的判定和性质以及错位相减法的应用，属于中档题. 利用为等比数列，判定A 正确；b n+1−b n 与0比较，得出数列单调性判断B 错误.根据，进一步判定D 正确.【解答】解：因为2S n =3−a n ，所以当n =1时，2S 1=3−a 1，即2a 1=3−a 1，即a 1=1，又2S n+1=3−a n+1，所以2S n+1−2S n =a n −a n+1，即3a n+1=a n ，所以{a n }是首项为1，公比为13的等比数列，所以a n =(13)n−1，故A 正确；因为b n =na n 3=n3n ，所以b n+1−b n =n+13n+1−n3n =1−2n 3n+1<0，{b n }是递减数列，故B 错误；因为S n =3−a n 2=32(1−13n )，所以S na n=3n −12，故C 正确；T n =13+232+⋯+n−13n−1+n 3n ①，13Tn =132+233+⋯+n−13n +n 3n+1②，①-②得23T n =13+132+133+⋯+13n −n3n+1=13(1−13n )1−13−n3n+1=12(1−13n )−n3n+1，所以T n =34(1−13n )−n2⋅3n >0，所以2T n −S n =32(1−13n)−n 3n−32(1−13n)=−n 3n<0，所以S n T n>2，故D 正确.故答案选：ACD.12.【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查了简单多面体及其结构特征，线面垂直的判定，棱柱，棱锥，棱台的侧面积，表面积和体积，球的表面积和体积的应用，属于较难题.利用三棱锥的侧面的特征和侧棱的长度，可判断外接球球心的位置，可判断出A 选项；利用反证法，假设BC ⊥AD ，通过线面垂直的判定和性质可得到BC ⊥BD ，得到CD >BC ，与条件矛盾，可判断出B 选项；根据条件分别过D 作AC 的垂线DE ，过B 作AC 的垂线BF ，再结合条件分别在几个直角三角形依次求出DE ，AE ，BF ，EF 和BE ，最后在直角三角形BED 中，求出BD 的长度，即可判断C 选项；利用条件结合面面垂直的性质，可得到AB ⊥平面DBC ，即AB 为三棱锥D −ABC 在平面DBC 上的高，在直角三角形ABD 中可求出BD 的长度，结合条件中的AB =DC =2，BC =AD =4，可得到DB ⊥DC ，故可求得三棱锥D −ABC 的体积为4√33，即可判断D 选项.【解答】解：设O 为AC 的中点，则OA =OB =OC =OD =√5，所以三棱锥D −ABC 外接球的半径为√5，所以三棱锥D −ABC 外接球的体积为定值，故A 正确；若在翻折过程中，存在某个位置，使得BC ⊥AD ，又AB ⊥BC ，则BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥BD ，从而斜边CD 的长大于直角边BC ，这与CD =2，BC =4矛盾，故B 错误；当平面DAC ⊥平面ABC 时，过D 作AC 的垂线DE ，垂足为E ，则DE ⊥平面ABC ，DE =4√55，AE =8√55，在平面ABC 上，过B 作AC 的垂线BF ，垂足为F ，则BF ⊥平面DAC ，BF =4√55，EF =6√55，则BE =√BF 2+EF 2=√525，在直角三角形BED 中，BD =√DE 2+BE 2=2√855，故C 正确；当平面DBC ⊥平面ABC 时，平面DBC ∩平面ABC =BC ，又AB ⊥BC ，AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面DBC ，计算得DB =2√3，因为AB =DC =2，BC =AD =4，所以DB ⊥DC ，所以S △DBC =12×DB ×DC =2√3，所以三棱锥D −ABC 的体积为13×2×2√3=4√33，故D 正确.故答案选：ACD.13.【答案】5【解析】【分析】本题考查向量的模，向量数量积的运算，属于基础题．根据向量的数量积的性质求解即可. 【解答】解：因为|a →|=3，|b →|=4，a ⃗ −b ⃗ =(−4,3)，|a →−b →|=√a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√(−4)2+32=5，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|a ⃗ +b ⃗ |=√a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√32+42=5.故答案为：5.14.【答案】f(x)=sinx +x【解析】【分析】本题考查函数求导以及周期性，属于基础题. 按题目要求举出反例即可. 【解答】解：f(x)=sinx +x ，则f′(x)=cosx +1是周期函数，而f(x)不是周期函数. 符合题意.15.【答案】0【解析】【分析】本题考查了抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系和圆锥曲线中的最值问题，属于中档题.根据条件，直线AB 的方程可设为x =ty +1，与抛物线联立，设P(−1,m)，得出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由韦达定理和向量的数量积可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值. 【解答】解：因为抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0)，所以直线AB 的方程可设为x =ty +1，代入抛物线方程得y 2−4ty −4=0. 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4t ，y 1⋅y 2=−4.因为P 为该抛物线准线上的动点，可设P(−1,m)，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1−m)=(ty 1+2,y 1−m)， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2−m)=(ty 2+2,y 2−m)，所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ty 1+2)(ty 2+2)+(y 1−m)(y 2−m) =(t 2+1)y 1y 2+(2t −m)(y 1+y 2)+4+m 2 =(t 2+1)⋅(−4)+(2t −m)⋅4t +4+m 2 =(2t −m)2≥0.即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为0.16.【答案】2(−∞,−2)【解析】【分析】本题考查利用导数求函数最值，考查不等式的恒成立问题，关键是利用导数判断函数的单调性，进而将问题转化为求函数的最值问题.因为f(x)为偶函数，所以f(x)的最小值就是f(x)在[0,+∞)上的最小值，由单调性求得最小值即可；由(1)可知f′(x)=−2sinx+2x，代入f′(x)>2e x+ax−2等价于−2sinx+2x>2e x+ ax−2，即2e x+2sinx+(a−2)x−2<0，利用导数判断单调性，再对a的取值进行讨论，得出结论.【解答】解：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(x)的最小值就是f(x)在[0,+∞)上的最小值，f′(x)=−2sinx+2x，x≥0，令m(x)=−2sinx+2x，则m′(x)=2−2cosx≥0，所以f′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以f′(x)≥f′(0)=0，所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(0)=2.(2)f′(x)>2e x+ax−2等价于−2sinx+2x>2e x+ax−2，即2e x+2sinx+(a−2)x−2<0.令g(x)=2e x+2sinx+(a−2)x−2，则g′(x)=2e x+2cosx+(a−2)，g(0)=0，g′(0)=a+2.当a≥−2时，g(x)≥2e x+2sinx−4x−2，设ℎ(x)=2e x+2sinx−4x−2，ℎ′(x)=2e x+2cosx−4，令t(x)=2e x+2cosx−4，则t′(x)=2e x−2sinx，注意到x∈(0,+∞)，e x>x>sinx，所以t′(x)>0，所以ℎ′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以ℎ′(x)≥ℎ′(0)=0，所以ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，g(x)≥ℎ(x)≥ℎ(0)=0，不合题意.当a<−2时，设φ(x)=g′(x)，φ′(x)=2e x−2sinx>0，所以g′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以g′(0)=a+2<0，所以存在x0>0，使得g′(x)=0，当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,x0)上单调递减，于是有g(x)<g(0)=0，即存在x∈(0,x0)，使得2e x+2sinx+(a−2)x−2<0，即f′(x)>2e x+ax−2.综上所述，a的取值范围为(−∞,−2).17.【答案】解：(1)由a n+a n+1=λn，可得a1+a2=λ，a2+a3=2λ，a3+a4=3λ，a4+a5=4λ，所以a2=λ−1，a3=λ+1，a4=2λ−1，a5=2λ+1.因为a2是a1，a5的等比中项，所以a22=a1⋅a5，即(λ−1)2=1⋅2λ+1，则λ2=4λ，又λ≠0，所以λ=4.(2)由(1)知a n+a n+1=4n.当n为偶数时，S n=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a n−1+a n)=4+12+20+⋯+4(n−1)=4n×n22=n2;当n为奇数时，S n=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a7)+⋯+(a n−1+a n)=1+8+16+24+⋯+4(n−1)=1+(4n+4)×n−122=n2.综上所述，S n=n2，n∈N∗.【解析】本题考查了等比中项，等差数列的前n项和，以及并项法求数列前n项和，属于中档题.(1)由a1，a2，a5成等比数列，求得λ；(2)由(1)得到a n+a n+1=4n，对n进行奇数，偶数分类讨论，利用并项法即可得到结果.18.【答案】解：(1)选择条件①由sinAsinB +sinBsinA+1=c2ab及正弦定理，可得ab+ba+1=c2ab，则a2+b2−c2=−ab，由余弦定理，得cosC=a 2+b2−c22ab=−ab2ab=−12，因为0<C<π，所以C=2π3；选择条件②由(a+2b)cosC+ccosA=0及正弦定理，可得(sinA+2sinB)cosC+sinCcosA=0，即sinAcosC+cosAsinC=−2sinBcosC，即sin(A+C)=−2sinBcosC，在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，即sinB=−2cosCsinB，因为sinB≠0，所以cosC=−12，因为0<C<π，所以C=2π3；选择条件③由√3asin A+B2=csinA及正弦定理，可得√3sinAsin A+B2=sinCsinA，因为sinA≠0，所以√3sin A+B2=sinC，在△ABC中，A+B+C=π，可得sin A+B2=cos C2，故√3cos C2=2sin C2cos C2，因为0<C<π，所以cos C2≠0，则sin C2=√32，故C=2π3.(2)由正弦定理，得absinAsinB =(csinC)2，所以ab=(csinC )2sinAsinB=(√7sin 2π3)2×314=2，所以△ABC的面积S=12absinC=12×2×sin2π3=√32.【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式的应用，属于中档题.(1)根据已知及正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数公式的计算，求出角C的大小；(2)根据已知及正弦定理，三角形面积公式的计算，求出△ABC的面积．19.【答案】解：(1)当a=b≠0时，函数f(x)=a(e x+e−x)的定义域为R.因为对任意的x∈R，都有−x∈R，且f(−x)=a(e−x+e x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.(2)因为当a，b∈(0,1)时，f(x)的最小值为√2，且ae x>0，be−x>0，所以f(x)=ae x+be−x≥2√ae x⋅be−x=2√ab=√2，(当且仅当ae x=be−x时，即x=12ln ba时，等号成立.)即ab=12，所以b=12a<1，所以12<a<1，所以2−2a>0，2a−1>0.所以11−a +21−b=11−a+21−12a=11−a+4a2a−1=11−a+22a−1+2=22−2a+22a−1+2=(22−2a+22a−1)⋅[(2−2a)+(2a−1)]+2=2(2a−1)2−2a +2(2−2a)2a−1+6≥2√4+6=10，当且仅当2−2a=2a−1，ab=12，即a=34，b=23时，等号成立，所以11−a +21−b的最小值为10.【解析】本题主要考查函数奇偶性和最值的应用，结合指数幂的运算以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．(1)利用函数奇偶性定义求解即可；(2)利用函数的最值，结合基本不等式进行求解即可．20.【答案】(1)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1的底面ABC为正三角形，D是AB的中点，所以CD⊥AB.又在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BB1，∠ABB1=60∘，所以B1D⊥AB.因为CD∩B1D=D，且CD与B1D都属于平面B1DC，所以AB⊥平面B1DC.因为AB⊂平面AA1B1B，所以平面B1DC⊥平面AA1B1B(2)解：因为平面AA1B1B⊥底面ABC，平面AA1B1B∩底面ABC=AB，B1D⊥AB，所以B1D⊥底面ABC.故以D 为坐标原点，DB ，DC ，DB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz.设AB =2，则A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,√3,0)，B 1(0,0,√3)，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−√3)，B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0). 设平面BCB 1的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面CB 1A 1的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2).由{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{−x 1+√3y 1=0,√3y 1−√3z 1=0,取x 1=√3，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,1); 由{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{−2x 2=0,√3y 2−√3z 2=0,取y 2=1，得n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1). 所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√2=√105，由图知二面角B −CB 1−A 1是钝二面角，所以二面角B −CB 1−A 1的余弦值为−√105.【解析】本题主要考查的是面面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题. (1)利用线面垂直得到面面垂直；(2)建立空间坐标系，利用法向量，求解二面角即可.21.【答案】(1)解：由题得x+√6⋅x−√6=−13，化简得x 26+y 22=1(|x|≠√6)，所以C 是中心在原点，焦点在x 轴上，不含左、右顶点的椭圆. (2)证明：由(1)知直线l 与x 轴不重合，可设l:x =my +2，联立{x =my +2,x 26+y 22=1,得(m 2+3)y 2+4my −2=0.设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−4mm 2+3，y 1y 2=−2m 2+3，Δ=24m 2+24>0，所以m =12(1y 1+1y 2).因为G(3,y 1)，Q(my 2+2,y 2)，所以直线QG 的斜率为y 2−y 1my2−1=y 2−y 112(1y 1+1y 2)y 2−1=2y 1，所以直线QG 的方程为y −y 1=2y 1(x −3)，所以直线QG 过定点H(52,0). 因为OM ⊥QG ，所以△OHM 为直角三角形，取OH 的中点N(54,0)，则|MN|=12|OH|=54，即|MN|为定值. 综上，存在定点N(54,0)，使得|MN|为定值.【解析】本题主要考查直线的斜率，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查一元二次方程根与系数的关系，考查圆锥曲线中的轨迹方程，属于中档题. (1)分别求由直线AE 与BE 的的斜率，根据直线AE 与BE 的斜率之积为−13，化简即可求曲曲线C 的方程，注意直线 AE 与BE 斜率的条件;(2)由(1)知直线l 与x 轴不重合，可设l:x =my +2，联立{x =my +2,x 26+y 22=1,得(m 2+3)y 2+4my −2=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−4mm 2+3，y 1y 2=−2m 2+3，求出m ，由G(3,y 1)，Q(my 2+2,y 2)，求出直线QG 的斜率及直线方程，求出直线QG 过定点H ，由OM ⊥QG ，则△OHM 为直角三角形，取OH 的中点N ，即可求出|MN|为定值.22.【答案】解：(1)f′(x)=ax −1=a−x x(x >0).①若a ≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减; ②若a >0，令f′(x)=0，得x =a.当x ∈(0,a)时，f′(x)>0;当x ∈(a,+∞)时，f′(x)<0，则f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减.(2)不等式f(x)≤1x −2e 等价于alnx −x −1x +2e ≤0在(0,+∞)上恒成立，令g(x)=alnx −x −1x +2e ，则g′(x)=ax −1+1x 2=−x 2−ax−1x 2，对于二次函数y =x 2−ax −1，△=a 2+4>0，所以其必有两个零点，又两零点之积为−1，所以两个零点一正一负，设其中一个零点x0∈(0,+∞)，则x02−ax0−1=0，即a=x0−1x0，则0<x<x0时，g′(x)>0;x>x0时，g′(x)<0，此时g(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，故g(x0)≤0，即(x0−1x0)lnx0−x0−1x0+2e≤0，设函数ℎ(x)=(x−1x )lnx−x−1x+2e，则ℎ′(x)=(1+1x2)lnx+1−1x2−1+1x2=(1+1x2)lnx.当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0;当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.又ℎ(1e)=ℎ(e)=0，所以x0∈[1e,e]，由a=x0−1x0在[1e,e]上单调递增，得a∈[1e−e,e−1e].故a的取值范围为[1e −e,e−1e].【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，二次函数的零点与一元二次方程的关系，不等式的恒成立问题的应用.(1)根据已知及利用导数研究函数的单调性的计算，分a>0、a≤0两种情况讨论f(x)的单调性；(2)根据已知及利用导数研究函数的单调性，二次函数的零点与一元二次方程的关系，不等式的恒成立问题的计算，构造函数，结合导函数，求出a的取值范围．第21页，共21页。

江苏省百校大联考2024学年高三下学期第三次月考试数学试题

江苏省百校大联考2024学年高三下学期第三次月考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（）A ．2B ．14C ．116或2 D ．14或4 2．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（） A ．6B ．1C ．32D ．32-3．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（） A ．19B ．20C ．21D ．224．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（） A ．4B ．8C ．16D ．25．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（）A ．4B ．6C ．8D ．107．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．18．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<9．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）A ．2014年我国入境游客万人次最少B ．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C ．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D ．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=AB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（） A ．3y x = B ．6y x = C ．(32=±y x D ．)31=±y x11．已知集合{}1A x x =<，{}1xB x e =<，则（） A ．{}1A B x x ⋂=< B ．{}A B x x e ⋃=< C ．{}1A B x x ⋃=<D ．{}01A B x x ⋂=<<12．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山西省百校联考中考数学模拟试卷(二)(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

2016年某某省百校联考中考数学模拟试卷（二）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑．1．某某省某地某天的最低温度为﹣7℃，且昼夜温差为12℃，则最高温度为（）A．5℃B．7℃C．﹣12℃D．﹣5℃2．如图为一个正方体的表面展开图，则该正方体的六个表面中，与“善”字相对的面上的字是（）A．敬B．业C．诚D．信3．下列运算正确的是（）A．x3+x2=x5B．x3﹣x3=x0C．x3÷x2=x D．（x3）2=x54．某某剪纸是一门古老的民间艺术，下面四幅剪纸艺术作品中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，一个直角三角尺的直角顶点和一个锐角顶点分别落在直线l1和l2上，且l1∥l2，∠1=30°，当∠2=10°时，∠3的度数是（）A．45° B．40° C．35° D．30°6．我国古代典籍《庄子•天下篇》中曾说过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为（）A．尺B．尺C．尺D．尺7．现有五X完全相同的卡片，某同学在其中四X的正面分别写上了春节、清明节、端午节、重阳节这四个中国传统节日，在第五X的正面写上了国庆节，然后把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一X卡片，则所抽取卡片正面所写节日是中国传统节日的概率是（）A．B．C．D．8．不等式组的整数解的个数是（）A．无数个B．6 C．5 D．49．某银行规定：客户定期存款到期后，客户如不前往银行办理转存手续，银行会自动将到期的存款本息按相同存期一并转存，不受次数限制，续存期利率按前期到期日的利率计算．某人在2014年10月24日在此银行存入一年定期存款若干元．存款年利率为3%．2015年10月24日．该客户没有前往该银行办理转存手续，且该银行一年定期存款年利率于当日调整为1.5%．若该客户在2016年10月24日到银行取出该笔存款，可得到利息909元，则该客户在2014年10月24日存入的本金为（）A．16000元B．18000元C．20000元D．22000元10．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A切y轴于点B，且点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，连接OA交⊙A于点C，且点C为OA中点，则图中阴影部分的面积为（）A．4﹣B．4 C．2D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．计算（）﹣1×|﹣3|﹣（﹣4）的结果是．12．计算： +=．13．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A、B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有个．14．如图，正方形ABCD内有一点O使得△OBC是等边三角形，连接OA并延长，交以O为圆心OB长为半径的⊙O于点E，连接BD并延长交⊙O于点F，连接EF，则∠EFB的度数为度．15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，若S△ADE=1，则四边形DBCE的面积S=．△DBCE三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（1）计算：；（2）因式分解：（a+2）（a﹣2）+4（a+1）+4．17．实践与操作：我们在学习四边形的相关知识时，认识了平行四边形、矩形、菱形、正方形等一些特殊的四边形，下面我们用尺规作图的方法来体会它们之间的联系．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，∠ABC=60°，请完成下列任务：（1）在图1中作一个菱形，使得点A、B为所作菱形的2个顶点，另外2个顶点在▱ABCD的边上；在图2中作一个菱形，使点B、D为所作菱形的2个顶点，另外2个顶点在▱ABCD的边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）请在图形下方横线处直接写出你按（1）中要求作出的菱形的面积．18．某校积极倡导学生展示自我，发展综合素质，在新学期举办的校园文化艺术节中，学生可以在舞蹈、器乐、声乐、小品、播音主持五个类别中挑选一项报名参加比赛，八年级学生小明从本年级学生各个类别的报名登记表中随机抽取了一部分学生的报名情况进行整理，并制作了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请解答下列问题：（1）小明随机抽取了名学生的报名情况进行整理，扇形统计图中，表示E类别部分的扇形的圆心角度数为度；（2）将条形统计图补充完整；（3）小华认为如果知道八年级报名参加比赛的总人数，则根据小明制作的统计图就可以估算出八年级报名参加声乐比赛的人数．小明认为如果知道初中三个年级报名参加比赛的总人数，则根据自己制作的统计图也可以估算出整个初中年级报名参见声乐比赛的人数．你认为他俩的看法对吗？并说明你的理由．19．发现与探究：如图，△ABC和△DCE中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=45°，点B、C、E三点共线，且BC：CE=2：1，连接AE、BD．（1）在不添加辅助线和字母的情况下，请在图中找出一对全等三角形（用“≌”表示），并加以证明；（2）求tan∠BDC的值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于点A（﹣3，2）和点B（1，m），连接BO并延长与反比例函数y=的图象交于点C．（1）求一次函数y=k1x+b和反比例函数y=的表达式；（2）是否在双曲线y=上存在一点D，使得以点A、B、D、C为顶点的四边形成为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标，并求出该平行四边形的面积；若不存在，请说明理由．21．农业现代化是我国“十三五”的重要规划之一，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年，合作社600亩玉米喜获丰收．合作社打算雇佣玉米收割机收割玉米，现有A、B两种型号收割机可供选择，且每台B种型号收割机每天的收个亩数是A 种型号的1.5倍，如果单独使用一台收割机将600亩玉米全部收割完，A种型号收割机比B种型号收割机多用10天．（1）求A、B两种型号收割机每台每天收个玉米的亩数；（2）已知A种型号收割机收费是45元/亩，B种型号收割机收费是50元/亩，经过研究，合作社计划同时雇佣A、B两种型号收割机各一台合作完成600亩玉米的收割任务，则合作社需要支付的玉米收割总费用为多少元？数学活动：拼图中的数学22．问题背景：数学活动课上老师出示问题，如图1，有边长为a的正方形纸片一X，三边长分别为a、b、c的全等直角三角形纸片两X，且b．请你用这三X纸片拼出一个图案，并将这个图案的某部分进行旋转或平移变换之后，提出一个问题（可以添加其他条件，例如可以给出a、b的值等等）．解决问题：下面是两个学习小组拼出图案后提出的问题，请你解决他们提出的问题．（1）“爱心”小组提出的问题是：如图2，将△DFC绕点F逆时针旋转，使点D恰好落在AD边上的点D′处，猜想此时四边形AEFD′是什么特殊四边形，并加以证明；（2）“希望”小组提出的问题是：如图3，点M为BE中点，将△DCF向左平移至DF恰好过点M时停止，且补充条件a=6，b=2，求△DCF平移的距离．自主创新：（3）请你仿照上述小组的同学，在下面图4的空白处用实线画出你拼出的图案，用虚线画出变换图，并在横线处写出你提出的问题．（不必解答）你提出的问题：．23．综合探究：如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接AE、EC．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）连接AC交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为EP中点时，S△ADP：S△CDE=；（3）如图2，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使得以点A、E、G 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，说明理由．2016年某某省百校联考中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑．1．某某省某地某天的最低温度为﹣7℃，且昼夜温差为12℃，则最高温度为（）A．5℃B．7℃C．﹣12℃D．﹣5℃【考点】有理数的减法．【分析】根据有理数的减法，即可解答．【解答】解：∵最高温度﹣最低温度=温差，∴最高温度为：温差+最低气温=12+（﹣7）=5（℃），故选：A．【点评】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法．2．如图为一个正方体的表面展开图，则该正方体的六个表面中，与“善”字相对的面上的字是（）A．敬B．业C．诚D．信【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“敬”与“信”是相对面，“业”与“友”是相对面，“诚”与“善”是相对面．故选C．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．3．下列运算正确的是（）A．x3+x2=x5B．x3﹣x3=x0C．x3÷x2=x D．（x3）2=x5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【分析】依据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，积的乘方法则进行判断即可．【解答】解；A、x3与x2不是同类项不能合并，故A错误；B、x3﹣x3=0，故B错误；C、x3÷x2=x，正确．D、（x3）2=x6，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查的是同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方法则的应用，熟练掌握相关法则是解题的关键．4．某某剪纸是一门古老的民间艺术，下面四幅剪纸艺术作品中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是掌握中心对称图形要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．如图，一个直角三角尺的直角顶点和一个锐角顶点分别落在直线l1和l2上，且l1∥l2，∠1=30°，当∠2=10°时，∠3的度数是（）A．45° B．40° C．35° D．30°【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【分析】根据三角形外角性质求出∠4，根据平行线的性质得出∠3=∠4，即可得出答案．【解答】解：∵∠1=30°，∠2=10°，∴∠4=∠1+∠2=40°，∵l1∥l2，∴∠3=∠4=40°，故选B．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能根据平行线的性质得出∠3=∠4是解此题的关键．6．我国古代典籍《庄子•天下篇》中曾说过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】有理数的乘方．【专题】计算题；实数．【分析】根据题意，利用乘方的意义确定出剩下的长度即可．【解答】解：第1次截取其长度的一半，剩下长度为×1=尺，第2次截取其第1次剩下长度的一半，剩下的长度为×1=尺，第3次截取其第2次剩下长度的一半，剩下的长度为×1=尺，如此反复，第99次截取后，木杆剩下的长度为×1=（尺），则此木杆剩下的长度为尺．故选B【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．7．现有五X完全相同的卡片，某同学在其中四X的正面分别写上了春节、清明节、端午节、重阳节这四个中国传统节日，在第五X的正面写上了国庆节，然后把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一X卡片，则所抽取卡片正面所写节日是中国传统节日的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】由现有五X完全相同的卡片，某同学在其中四X的正面分别写上了春节、清明节、端午节、重阳节这四个中国传统节日，在第五X的正面写上了国庆节，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵现有五X完全相同的卡片，某同学在其中四X的正面分别写上了春节、清明节、端午节、重阳节这四个中国传统节日，在第五X的正面写上了国庆节，∴从中随机抽取一X卡片，则所抽取卡片正面所写节日是中国传统节日的概率是：．故选A．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．不等式组的整数解的个数是（）A．无数个B．6 C．5 D．4【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】先对一元一次不等式组进行求解，再根据x取整数解将x的取值列举出来，从而可得整数解的个数．【解答】解：解不等式组得：﹣3＜x＜2，又由于x是整数，则x可取﹣2，﹣1，0，1．所以不等式组整数解的个数是4．故选D．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．9．某银行规定：客户定期存款到期后，客户如不前往银行办理转存手续，银行会自动将到期的存款本息按相同存期一并转存，不受次数限制，续存期利率按前期到期日的利率计算．某人在2014年10月24日在此银行存入一年定期存款若干元．存款年利率为3%．2015年10月24日．该客户没有前往该银行办理转存手续，且该银行一年定期存款年利率于当日调整为1.5%．若该客户在2016年10月24日到银行取出该笔存款，可得到利息909元，则该客户在2014年10月24日存入的本金为（）A．16000元B．18000元C．20000元D．22000元【考点】一元一次方程的应用．【分析】该客户在2014年10月24日存入的本金为x元，根据利息=本金×利率×时间求出2015年10月24日获得的利息为3%x元，那么本息和为（x+3%x）元，再根据该客户在2016年10月24日到银行取出该笔存款，可得到利息909元列出方程，求解即可．【解答】解：该客户在2014年10月24日存入的本金为x元，则2015年10月24日获得的利息为3%x元，本息和为（x+3%x）元，根据题意得，3%x+（x+3%x）×1.5%=909，+×0.015=909，0.04545x=909，解得x=20000．答：该客户在2014年10月24日存入的本金为20000元．故选C．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利息=本金×利率×时间的公式以及理解计算2015到2016年的利息时本金为2015年10月24日的本息和是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A切y轴于点B，且点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，连接OA交⊙A于点C，且点C为OA中点，则图中阴影部分的面积为（）A．4﹣B．4 C．2D．2【考点】反比例函数系数k的几何意义；扇形面积的计算．【分析】连接AB，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB=2，根据点C为OA中点，得出AB=OA，即可求得∠OAB=60°，根据面积求得AB的长，然后求得扇形的面积，即可求得阴影的面积．【解答】解：连接AB，BC，∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴S△AOB=×4=2，∴OB•AB=2，∵点C为OA中点，∴BC=OA=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠OAB=60°，∴=tan60°=，∴OB=AB，∴•AB•AB=2，∴AB=2，∴S扇形===，∴S阴影=S△AOB﹣S扇形=2﹣，故选D．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质以及扇形的面积等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．计算（）﹣1×|﹣3|﹣（﹣4）的结果是10 ．【考点】负整数指数幂．【专题】计算题；实数．【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×3+4=6+4=10，故答案为：10【点评】此题考查了负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．计算： += x+1 ．【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣==x+1．故答案为：x+1【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A、B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 5 个．【考点】等腰三角形的判定．【分析】由已知条件，分别AB为腰找等腰三角形和AB为底找等腰三角形．【解答】解：画出图形得：故答案为：5【点评】本题考查等腰三角形的判定；分类讨论的应用是正确解答本题的关键，要注意仔细找不要遗漏．14．如图，正方形ABCD内有一点O使得△OBC是等边三角形，连接OA并延长，交以O为圆心OB长为半径的⊙O于点E，连接BD并延长交⊙O于点F，连接EF，则∠EFB的度数为37.5 度．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，由△OBC是等边三角形，得到∠OBC=60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOB=（180°﹣30°）=75°，由圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵AB=BO，∴∠AOB=（180°﹣30°）=75°，∴AOB=37.5°，故答案为：37.5．【点评】本题考查了圆周角定理，正方形的性质等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，若S△ADE=1，则四边形DBCE的面积S= 3 ．△DBCE【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥BC，且BE=BC；从而判定△ADE∽△ABC，因为相似三角形的面积比是相似比的平方，则可得出S△ADE：S△ABC的比，则△ADE的面积：四边形DBCE的面积可求，已知△ADE的面积，即可得解．【解答】解：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，且BE=BC，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，∵相似三角形的面积比是相似比的平方，∴S△ADE：S△ABC的比=1：4，则△ADE的面积：四边形DBCE的面积=1：3，∵S△ADE=1，∴四边形DBCE的面积=3．故填3．【点评】本题主要考查中位线定理及相似三角形判定及及性质，要牢记并熟练掌握．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（1）计算：；（2）因式分解：（a+2）（a﹣2）+4（a+1）+4．【考点】实数的运算；因式分解-运用公式法；特殊角的三角函数值．【专题】因式分解；实数．【分析】（1）原式利用算术平方根，立方根定义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=﹣×﹣2=﹣﹣2=﹣2；（2）原式=a2﹣4+4a+4+4=a2+4a+4=（a+2）2．【点评】此题考查了实数的运算，以及因式分解﹣运用公式法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．实践与操作：我们在学习四边形的相关知识时，认识了平行四边形、矩形、菱形、正方形等一些特殊的四边形，下面我们用尺规作图的方法来体会它们之间的联系．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，∠ABC=60°，请完成下列任务：（1）在图1中作一个菱形，使得点A、B为所作菱形的2个顶点，另外2个顶点在▱ABCD的边上；在图2中作一个菱形，使点B、D为所作菱形的2个顶点，另外2个顶点在▱ABCD的边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）请在图形下方横线处直接写出你按（1）中要求作出的菱形的面积．【考点】菱形的性质；平行四边形的性质；作图—复杂作图．【分析】（1）如图1，在AD、BC上分别截取AF=BE=4，连结EF，则四边形ABEF是菱形；如图2，连结BD，作BD的垂直平分线，交AD于E，BC于F，则四边形BEDF是菱形；（2）如图1，作▱ABCD的高AH，根据菱形的面积=底×高列式计算即可；如图2，设BD与EF交于点O，作DM⊥BC于M，则CM=BH=2，DM=AH=2．分别求出BD与EF，根据菱形的面积=两对角线乘积的一半列式计算即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图1，作▱ABCD的高AH．在直角△ABH中，∵AB=4，∠ABC=60°，∴AH=AB•sin60°=4×=2，BH=AB•cos60°=4×=2，∴S菱形ABEF=BE•AH=4×2=8；如图2，设BD与EF交于点O，作DM⊥BC于M，则CM=BH=2，DM=AH=2．在直角△BDM中，∵∠M=90°，∴BD===2．设BF=x，CF=y，则DF=x，由题意得，解得，∴OF===，∴S菱形ABEF=BD•EF=×2×=．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，作图﹣复杂作图，熟练掌握定理是解题的关键．18．某校积极倡导学生展示自我，发展综合素质，在新学期举办的校园文化艺术节中，学生可以在舞蹈、器乐、声乐、小品、播音主持五个类别中挑选一项报名参加比赛，八年级学生小明从本年级学生各个类别的报名登记表中随机抽取了一部分学生的报名情况进行整理，并制作了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请解答下列问题：（1）小明随机抽取了50 名学生的报名情况进行整理，扇形统计图中，表示E类别部分的扇形的圆心角度数为14.4 度；（2）将条形统计图补充完整；（3）小华认为如果知道八年级报名参加比赛的总人数，则根据小明制作的统计图就可以估算出八年级报名参加声乐比赛的人数．小明认为如果知道初中三个年级报名参加比赛的总人数，则根据自己制作的统计图也可以估算出整个初中年级报名参见声乐比赛的人数．你认为他俩的看法对吗？并说明你的理由．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比求出总人数，再用360乘以E类别部分所占的百分比即可求出E类别部分的扇形的圆心角的度数；（2）用总人数乘以C类别部分所占的百分比求出C类的人数，从而补全统计图；（3）根据50名同学报名类别的样本是从八年级的报名中随机抽出来的，对于八年级来说，具有代表性，而对于全校三个年级来说，不具有代表性，所以只能由此估算出八年级报名参加声乐比赛的人数，而不能估算出整个初中年级报名参加声乐比赛的人数，从而得出小明与小华说的是否正确．【解答】解：（1）小明随机抽取的学生数是： =50（名），表示E类别部分的扇形的圆心角度数为360×=14.4°；故答案为：50，14.4；（2）C类的人数是：50×40%=20（人），补图如下：（3）小华的看法正确，小明的看法不正确，理由如下：因为50名同学报名类别的样本是从八年级的报名中随机抽出来的，所以对于八年级来说，具有代表性，而对于全校三个年级来说，不具有代表性，所以只能由此估算出八年级报名参加声乐比赛的人数，而不能估算出整个初中年级报名参加声乐比赛的人数．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．19．发现与探究：如图，△ABC和△DCE中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=45°，点B、C、E三点共线，且BC：CE=2：1，连接AE、BD．（1）在不添加辅助线和字母的情况下，请在图中找出一对全等三角形（用“≌”表示），并加以证明；（2）求tan∠BDC的值．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据SAS证明△BCD与△ACE全等即可；（2）作AF⊥BE，利用三角函数进行解答即可．【解答】解：（1）△BCD≌△ACE，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在△BCD与△ACE中，∴△BCD≌△ACE（SAS）；（2）作AF⊥BE，如图：∵BC：CE=2：1，∴设BC=2k，CE=k，在Rt△AFC中，AC=BC=2k，∠ACF=45°，∴FC=AC•cos45°=2k×，EF=FC+CE=k+k=（+1）k，∵∠FAC=45°，∴AF=k，由（1）得△BCD≌△ACE，∴∠BDC=∠AEC，∴在Rt△AFE中，tan∠BDC=tan∠AEC=．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角函数等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度，关键是根据SAS证明△BCD与△ACE全等．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于点A（﹣3，2）和点B（1，m），连接BO并延长与反比例函数y=的图象交于点C．（1）求一次函数y=k1x+b和反比例函数y=的表达式；（2）是否在双曲线y=上存在一点D，使得以点A、B、D、C为顶点的四边形成为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标，并求出该平行四边形的面积；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式求出k2的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k1与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）根据中心对称求得C的坐标，然后根据平移的性质和A、C、B的坐标即可求得D的坐标，作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，设直线AB交y轴于E，则E（0，﹣4），根据S△AOB=S△AOE+S△BOE求得△AOB的面积，进而即可求得平行四边形的面积．【解答】解：（1）将A（﹣3，2）代入反比例解析式得：k2=﹣6，则反比例解析式为y=﹣；将B（1，m）代入反比例解析式得：m=﹣6，即B（1，﹣6），将A与B坐标代入y=k1x+b中，得：，。

精品解析：【校级联考】四川省百校2019年高三模拟冲刺卷理科数学试题(解析版)

2019年四川省百校高三模拟冲刺卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2log 1,2,1,0,1,2A x x B =<=--，则A B ⋂=（） A. {}1 B. {}1,2 C. {}2101--,,, D. {}2,1,0,1,2--【答案】A 【解析】【分析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ．【详解】∵集合A ＝{x |log 2x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}， B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∩B ＝{1}．故选：A ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.复数12z i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算得到结果. 【详解】复数()()12222222555i i z i i i i --====-++- 对应的点坐标为22,55⎛⎫-⎪⎝⎭在第四象限.故答案为：D.【点睛】在复平面上，点(,)Z a b 和复数bi a z +=),(R b a ∈一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了．3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且728S =，则4a =（） A. 4 B. 7C. 8D. 14【答案】A 【解析】【分析】由等差数列的性质即可求解【详解】()177477282a a S a +===,故44a =故选：A【点睛】本题考查等差数列求和及基本性质，熟记求和公式及性质，准确计算是关键，是基础题4.从1,2,3,4,5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（） A.15B.25C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】先求出基本事件总数n 25C 10==，再求出这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+，由此能求出这两个数字的和为偶数的概率【详解】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n 25C 10==，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+=4，∴这两个数字的和为偶数的概率为p m 40.4n 10===．故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5.函数()=sin 3f x x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】函数f （x ）＝sin （ωx 3π-）在区间[0，2π]上至少存在5个不同的零点， ,2333x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,根据题意得到只需要132436ππωπω-≥⇒≥.最小整数为3. 故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 6.若5(-)ax x x的展开式中常数项为270，则实数a = A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】求出5(-)ax x中1x -的系数为270，进而求得a 值.【详解】设1555155()()(1)r r r r r r r rr T C ax x C a x----++=-=- ， ∴2r -5= -1，即r =2， ∴25225(1)=270C a--，∴a =3故选C.【点睛】本题主要考查了二项式系数的求法，属于简单题.7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是()()()()0,0,0,1,2,0,0,2,1,1,0,1，则该四面体在yOz 平面内的投影为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】直接利用空间坐标系的应用和射影的应用求出结果．【详解】一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是O （0，0，0），A （1，2，0），B （0，2，1），C （1，0，1），则建立空间直角坐标系：如图所示：所以该四面体在平面yoz 平面内的射影为矩形，其中AC 的射影为实线，OB 为虚线．故选：D ．【点睛】本题考查的知识要点：空间直角坐标系的应用，射影的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.设实数,x y 满足326x y +≤，则731x y +-的最小值为（）A. 13-B. 15-C. 17-D. 19-【答案】B 【解析】【分析】画出不等式表示的可行域，利用z=731x y +-的几何意义求解即可【详解】由题画出可行域，如图阴影所示：当z=731x y +-,平移到过A(-2,0)时，z 最小，为-15 故选：B【点睛】本题考查线性规格，熟练作图准确计算是关键，是基础题9.已知定义在R 上的函数()22xf x a -=-与函数()222x g x x -=+-的图像有唯一公共点，则实数a 的值为（） A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】原题等价为22222xx a x ---=+-有一解，即22222x x a x --=++-，令()22222x x g x x --=++-,确定其函数性质即可求解【详解】()22xf x a -=-与函数()222x g x x -=+-的图像有唯一公共点，故22222xx a x ---=+-有唯一解，即22222x x a x --=++-有唯一解令()()()2222222xx g x x g x g x --=++--=+，，所以g （x ）关于x=2对称，故a=g(2)=2故选：D【点睛】本题考查函数性质及方程的根，准确构造函数判断其对称性是本题关键，是基础题10.在平面直角坐标系xOy 中，两动圆12,O O 均过定点()1,0，它们的圆心分别为()()()1212,0,,00,0a a a a ≠≠，且与y 轴正半轴分别交于()()120,,0,y y .若121y y =，则1211a a +=（） A.12B. 21-C. 2D. 2-【答案】C 【解析】【分析】圆12O ,O 方程为()()()()22222211221,?1x a y a x a y a -+=--+=-, 由两动圆12O ,O 均过定点()1,0,及121y y =得12a a ，的关系式即可求解【详解】由题圆12O ,O 方程为()()()()22222211221,?1x a y a x a y a -+=--+=-，两动圆12O ,O 均过定点()1,0，故()222211111r a a y =-=+,得21112y a =-，同理22212y a =- 又112211y y y y =∴=即（112a -）（212a -）=1整理得12122a a a a +=,故12112a a += 故选：C【点睛】本题考查圆的方程综合，点与圆的位置关系，推理转化能力，准确计算是关键，是中档题11.已知球O 的半径为4，矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上，球心O 到平面ABCD 的距离为2，则此矩形的最大面积为（） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30【答案】C 【解析】【分析】推导出BD ＝，当AB ＝AD 时，矩形ABCD 的面积最大，此时AB 2+AD 2＝2AB 2＝48，由此能求出此矩形的最大面积．【详解】∵球O 的半径为4，矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上，球心O 到平面ABCD 的距离为2，∴12BD ==BD ＝， 22,482S AB AD AB AD AB AD =⨯+=≥⨯由不等式性质得到得到：当AB ＝AD 时，矩形ABCD 的面积最大，此时AB 2+AD 2＝DB 2＝48，解得AB 2＝AD 2＝24，∴此矩形的最大面积S ＝AB 2＝24．故选：C ．【点睛】本题考查矩形的最大面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足：当02x ≤<时，()22f x x x =-；当2x ≥时，()()32f x f x =-.记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,,,,,n a a a 并记相应的极大值为12,,,,,n b b b 则11222020a b a b a b +++的值为（）A. 201931⨯+B. 191931⨯+C. 192031⨯+D. 202031⨯+【答案】A 【解析】【分析】确定函数极大值点及极大值求得21n a n =-.1,3n n b -=，再求和即可【详解】由题当当0x 2≤<时，()()22f x 2x x 11,x =-=--+极大值点为1，极大值为1当x 2≥时，()()f x 3f x 2=-.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列故21n a n =-.1,3n n b -=,故()1213n n n a b n -=-设S=121911222020113353393a b a b a b +++=++++3S=12201333393+++两式相减得-2S=1+2(1219333+++)-()19202020313312393238313-=+⨯-=---∴S=201931⨯+故选：A【点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定n a 及n b 的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()()2,1,1,a b λ=-=，若()()2//2a b a b +-，则实数λ=__________．【答案】21- 【解析】【分析】先计算2a b +及2a b -的坐标，再由向量共线的坐标表示求解即可【详解】24,2123,2a b a b λλ+=--=--，，()()2//2a b a b +-∴()42λ--=()321λ-，解1λ2=-故答案为12-【点睛】本题考查向量共线的的坐标运算，熟记定理，准确计算是关键，是基础题14.甲、乙两名同学八次化学测试成绩得分茎叶图如下图所示，若乙同学成绩的平均分为90，则甲同学成绩的平均分为__________．【答案】89 【解析】【分析】由乙同学成绩的平均分计算得a,再求同学成绩的平均分即可【详解】由题乙同学的平均分为82838789929390a 98908++++++++=,解a=6故甲同学成绩平均分为81828688929394968+++++++=89 故答案为89【点睛】本题考查茎叶图，平均值计算，准确计算是关键，是基础题15.已知P 为双曲线122=-y x 右支上任意一点，Q 与P 关于x 轴对称，12,F F 为双曲线的左、右焦点，则12F P F Q ⋅=__________．【答案】1- 【解析】【分析】设P(00x ,y ),则Q (00x ,y -)，将12FP F Q ⋅坐标化整理即可求解【详解】由题双曲线的焦点12F ,F 为（0），）设P (00,x y ),则Q (00,x y -)，12F P F Q ⋅=（00x y ）⋅（00x y -）=22002x y --=-1故答案为-1【点睛】本题考查双曲线简单性质，向量的坐标运算，准确计算是关键，是基础题16.已知恰有两条不同的直线与曲线2x y e -=和py x 22=都相切，则实数p 的取值范围是__________．【答案】()0,2 【解析】【分析】设曲线x 2y e-=的切点为（11x y ，），其切线,2x 2py =的切点坐标为（22x y ，），【详解】设曲线x 2y e-=的切点为（121x x e-，），22x p y =的切点坐标为（2222x x p，），121x y k e -==' ,222,2x x y p p '== ∴122x xe p-=① 切线方程为y-11221,x x eex x --=-且过点（222x x 2p ，），故22x 2p-11x 2x 221e e x x --=-②由①②得21x 1x 2+=,故2x 1221e p x -=有两解，由①知2x 0p >，若2x 0,?p 0<<不合题意；所以必有2x 0,?p 0>>,即2x 1221e p x -=在()0∞+，有两解，令f(x)=12xex-,()()()()12212,02,0;2,0,f x x x ef x x f x x f x x -⎛⎫- ''⎪⎝⎭=<∴'在（02，）单减，在（2，+∞）单增，()f x 的最小值为()1f 22=，又()(),,0,,x f x x f x →+∞→+∞→→+∞故11p 2>,解0<p<2 故答案为()0,2【点睛】本题考查导数的几何意义，导数与函数最值，函数与方程零点问题，转化化归能力，考查计算能力，是难题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，已知内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2sin 6a B c π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积等于12，求a 的最小值. 【答案】（1）6π；（21- 【解析】【分析】（1）由正弦定理，得)()sinAcosB sinC sin A B +==+，cosA =，即可求解；（2）由面积公式得bc 2=，由余弦定理结合基本不等式即可求a 的最小值【详解】（1）)26asin B c a cosB c π⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭由正弦定理，得)()sinAcosB sinC sin A B +==+sinAcosB + sinAcosB cosAsinB =+cosAsinB =又据题意，0sinB ≠cosA =解得πA 6=（2）122S bcsinA bc =⇒=由余弦定理，得2222a b c bccosA =+- (222b c bc =+-≥ 4=-当且仅当b c =时取等号，即)2241a ≥-=，所以a 1【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，基本不等式求最值，熟记公式定理，准确计算是关键，是中档题18.画糖是一种以糖为材料在石板上进行造型的民间艺术，常见于公园与旅游景点.某师傅制作了一种新造型糖画，为了进行合理定价先进性试销售，其单价x （元）与销量y （个）相关数据如下表：（1）已知销量y 与单价x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性相关方程；（2）若该新造型糖画每个的成本为7.7元，要使得进入售卖时利润最大，请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程ˆˆy abx =+中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：1221ˆ,ni ii nii x y bxybxnx ==-=-∑∑x by a ˆˆ-=.参考数据：55211419.5,453.75i i i i i x y x ====∑∑. 【答案】（1） 3.239.4y x =-+；（2）10 【解析】【分析】（1）由表中数据计算x 、y ，求出回归系数，写出回归方程；（2）由题意写出利润函数，利用二次函数的性质求出x 为何值时函数值最大．【详解】（1）由表中数据，计算15x =⨯（8.5+9+9.5+10+10.5）＝9.5， 15y =⨯（12+11+9+7+6）＝9，则12221 419.559.59453.7559.5 ˆni i i n i i x y nxy b x nx ==--⨯⨯===--⨯-∑∑ 3.2， 9 3.29.539ˆ.4ˆa y bx =-=⨯﹣（﹣）＝，所以y 关于x 的线性相关方程为y ＝﹣3.2x +39.4；（2）设定价为x 元，则利润函数为y ＝（﹣3.2x +39.4）（x ﹣7.7），其中x ≥7.7；则y ＝﹣3.2x 2+64.04x ﹣303.38，所以x ()64.042 3.2=-≈⨯-10（元），为使得进入售卖时利润最大，确定单价应该定为10元．【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值19.如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D 是棱AB 的中点.（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）若1AA ⊥平面1,2,4,,ABC AB BB AC BC E ===是棱1BB 的中点，当二面角1E A C D --的大小为4π时，求线段DC 的长度.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 的中点,证明1BC //DF ，即可证明结论；（2）证明DC ⊥面11ABB A ，以D 为原点，过D 作AB 的垂线为x 轴，DB 为y 轴，DC 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设DC 得长度为t ，求平面1EA C 与平面1DA C 的法向量，得二面角的余弦值求即可【详解】（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 的中点连结DF ，而D 是AB 中点，则1BC //DF因为DF ⊂平面11A CD,BC ⊄平面1A CD ，所以1BC //平面1A CD（2）因为1AA ⊥平面ABC ，所以1AA CD ⊥又AC BC,E =是棱1BB 的中点，∴DC AB,⊥所以DC ⊥面11ABB A以D 为原点，过D 作AB 的垂线为x 轴，DB 为y 轴，DC 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设DC 得长度为t ，则()()()()1C 0,0,t ,E 2,1,0,A 4,1,0,D 0,0,0- 所以()()11EA 2,2,0,A C 4,1,t ,=-=- ()()1DA 4,1,0,DC 0,0,t =-=分别设平面1EA C 与平面1DA C 的法向量为()()111222m x ,y ,z ,n x ,y ,z ==由111112x 2y 0,4x y z 0,t -=⎧⎨-++=⎩解得t m 1,1,3⎛⎫= ⎪⎝⎭，同理可得()n 1,4,0=由cosm,n 2==，解得t =所以线段DC【点睛】本题考查线面平行的判定，空间向量求二面角，熟记定理，准确计算是关键，是中档题20.已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点为12,F F ，点(),P m n 在椭圆C 上.（1）设点P 到直线4:=x l 的距离为d ，证明：2dPF 为定值；（2）若02,,m A B <<是椭圆C 上的两个动点（都不与P 重合），直线PB PA ,的斜率互为相反数，求直线AB 的斜率（结果用n 表示）【答案】（1）见解析；（2）2n【解析】【分析】（1）点()P m,n 在椭圆22x y C :143+=上，得22m n 314⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化简21PF m 42=-，即可证明；（2）当0m 2<<时，则n 0≠，直线PA,PB 的斜率一定存在.设()()1122A x ,y ,B x ,y ，直线PA 的斜率为k ，则PA 的方程为()y n k x m -=-，即y kx km n =-+，与椭圆C 的方程223x 4y 12+=，联立组成方程组，消去y ，由韦达定理得11x y ，同理得2x ，2y ，即可求得12AB 12y y k x x -=-的值【详解】（1）由已知，得22a 4,b 3==，所以222c a b 1=-=，即()()12F 1,0,F 1,0-因为点()P m,n 在椭圆22x y C :143+=上，所以22m n 143+=，即22m n 314⎛⎫=- ⎪⎝⎭又2PF ==1m 42==- 所以2m 4d21PF m 42-==-为定值. （2）当0m 2<<时，则n 0≠，直线PA,PB 的斜率一定存在.设()()1122A x ,y ,B x ,y ，直线PA 的斜率为k ，则PA 的方程为()y n k x m -=-，即y kx km n =-+，与椭圆C 的方程223x 4y 12+=，联立组成方程组，消去y ，整理得()()2234kx8k km n x +-- ()24km n 120+--=由韦达定理，得()2124km n 12m x 34k--⋅=+，于是()()211124km n 12x ,y kx km n 34k m--==-++根据直线PB 的斜率为k -，将上式中的k 用k -代替，得()()()()222224km n 124km n 12x ,34k m34k m---+-==⎡⎤++-⎣⎦22y kx km n =-++于是()()1212y y kx km n kx km n -=-+--++ ()12k x x 2km =+-()()()()22224km n 124km n 12k 2km 34k m 34k m ⎡⎤--+-⎢⎥=+-++⎢⎥⎣⎦()()()2222228k m n 242m 34k k 34k m +--+=⋅+ ()2228n 246m k 34k m--=⋅+ ()()()()2212224km n 124km n 12x x 34k m 34k m --+--=-++ ()()()()22224km n km n 16kmn 34k m 34k m⎡⎤--+⎣⎦==-++ 注意到223m 4n 12+=得22124n 3m -=，于是m =因此，直线AB 的斜率为()2212AB128n 246m k y y k x x 16kmn---==--2223m 4n 126m 3m 8mn 8mn 4n -+====【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，设而求的思想，准确计算是得解，是中档题21.已知函数()()()1ln 0,f x a x a g x x x=≠=-. （1）当2a =时，比较()f x 与()g x 的大小，并证明；（2）令函数()22F x fg ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，若1x =是函数()F x 的极大值点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）[2,0)(0,2]a ∈-⋃ 【解析】【分析】（1）当a 2=时，()()1f x g x 2lnx x x -=-+，令()1h x 2lnx x x=-+，求导判断单调性即可求解；（2）()F x = 22a 1ln x x 2,x 04x ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，令2a m 02=>()2lnx 111F x m 1mlnx x x x x x ⎛⎫=⋅-+=-+ ⎝'⎪⎭，讨论m 的范围即可求解【详解】（1）当a 2=时，()()1f x g x 2lnx x x -=-+，令()1h x 2lnx x x=-+ 则()()22222x 121x 2x 1h x 10x x xx--+-=--=-'=≤所以函数()1h x 2lnx x x=-+在()0,∞+上单调递减，且()h 10= 所以当0x 1<<时，()h x 0<，即()()f x g x >；当x 1>时，()h x 0<，即()()f x g x < 当x 1=时，()h x 0=，即()()f x g x =. （2）()22F x fg⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ 22a 1ln x x 2,x 04x ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，令2a m 02=> ()2lnx 111F x m 1mlnx x x x x x ⎛⎫=⋅-+=-+ ⎝'⎪⎭令()1G x mlnx x x =-+，则()222m 1x mx 1G x 1x x x-+=--=-'① 当0m 2<≤时，()22x mx 1G x 0x-+-'=≤恒成立，所以()1G x mlnx x x=-+在()0,∞+上递减，且()G 10= 所以0x 1<<时，()()F x 0,F x '>在()0,1上递增，x 1>时，()()F x 0,F x '<在()1,∞+上递减，此时x 1=是函数()F x 的极大值点，满足题意.② 当m 2>时，()()12x 0,1,x 1,∞∃∈∈+，使得当()12x x ,x ∈时，()G x 0'≥ 所以()1G x mlnx x x=-+在()12x ,x 上递增，且()G 10= 所以1x x 1<<时，()()F x 0,F x '<在()1x ,1上递减；21x x <<时，()()F x 0,F x '>在()21,x 上递增，此时x 1=是函数()F x 的极小值点，不合题意.综合得(]2a m 0,22=∈，解得[)(]a 2,00,2∈-⋃.【点睛】本题考查函数与导数的综合，函数极值与最值，转化化归思想，分类讨论，准确推理计算是关键，是中档题22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数）.以坐标原点O 为原点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点为P ，过点P 作倾斜角为α的直线m 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB -的最大值.【答案】（1）:10l x y +-=，22:14x C y +=；（2）2 【解析】【分析】（1）由2x c o s y s i n ββ=⎧⎨=⎩得曲线C 的普通方程为：24x +y 2＝1，由ρsin （θ4π+）=ρsinθ+cosθ）2=，得直线l 的直角坐标方程为：x +y ﹣1＝0；（2）先求出直线l 的参数方程的标准形式，并利用参数t 的几何意义可得．【详解】（1）因为直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以:10l x y +-= 因为曲线C 的参数方程为2x cos y sin ββ=⎧⎨=⎩（β为参数），所以曲线22:14x C y +=（2）由:10l x y +-=得()1,0P ，设直线m 的参数方程为1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入曲线22:14x C y +=得()2213sin 2cos 30t t αα++⋅-=，易知∆>0因为1222cos 13sin PA PB t t αα-=+=+ 20,22cos 2[0,)(,)443cos 223cos cos πααππαπααα⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=∈⋃⎪--⎪⎩ (][0,)(,),cos 1,0)(0,122t ππαπα∈=∈-，43(,7][1,)y t t=-∈-∞-+∞，所以PA PB -20,22cos 2(0,2],[0,)(,)443cos 223cos cos πααππαπααα⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=∈∈⋃⎪--⎪⎩故得到：以当t cos 1α==时，PA PB -的最大值为2.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线参数中t 的几何意义，一般t 的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故PA PB +，PA PB -，PA PB 均可用t 来表示，从而转化为韦达定理来解决.23.设函数()31,f x x x x R =++-∈，不等式()6f x ≤的解集为M . （1）求M ；（2）当M x ∈时，()1f x a x ≥-恒成立，求正数a 的取值范围. 【答案】（1）{}42M x x =-≤≤；（2）]1,0( 【解析】【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式f （x ）≤6的解集即可；(2)结合第一问的表达式，分情况讨论即可.【详解】（1）()()()()223,31431,221,x x f x x x x x x ⎧--<-⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩当3-<x 时，226x --≤，解得34-<≤-x ；当31x -≤≤时，46≤可得31x -≤≤；当1>x 时，226x +≤，解得12x <≤.综上，不等式()6f x ≤的解集{}42M x x =-≤≤.（2）当43x -≤≤-时，()1f x a x ≥-等价于()22a x a -≥+，得01a <≤；当31x -≤≤时，()1f x a x ≥-等价于40ax a -+≥，得01a <≤；当12x <≤时，()1f x a x ≥-等价于()220a x a ---≤得06a <≤ 综上，实数a 的取值范围为(]0,1.【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想与集合的应用问题，是中档题．。

山西省百校联考中考数学模拟试卷（四）含答案解析

山西省百校联考中考数学模拟试卷（四）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1．﹣3的倒数是（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．2．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．a3÷a2=a C．a2+a2=a4D．（a2）3=a53．如图所示几何体的俯视图是（）A．B． C．D．4．下列说法正确的是（）A．“任意画出一个圆，它是中心对称图形”是随机事件B．为了解我省中学生的体能情况，应采用普查的方式C．天气预报明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数不一定是5次5．不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B．C． D．6．如图6×7的方格中，点A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是（）A．P1B．P2C．P3D．P47．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°，AB，CB分别交直线m 于点D和点E，且DB=DE，若∠B=25°，则∠1的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°8．天然气公司为了解某社区居民使用天然气的情况，随机对该社区10户居民进行了调查，如表是这10户居民3月份用气量的调查结果：居民户数 1 2 3 4月用气量（立方米）14 15 22 25则这10户居民月用气量（单位：立方米）的中位数是（）A．14 B．15 C．22 D．259．某网上电器商城销售某种品牌的高端电器．已知该电器按批发价上浮50%进行标价，若按照标价的九折销售，则可获纯利润350元，现由于商城搞促销，该电器按照标价的八折销售，则可获纯利润（）A．180元B．200元C．220元D．240元10．如图，在以点O为圆心的半圆中，AB为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A和点B落在点O处，折痕分别为EC和FD，则图中阴影部分面积为（）A．4﹣B．4﹣C．2﹣D．2﹣二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分11．计算×﹣的结果是______．12．从5，6，7这三个数字中，随机抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是______．13．如图，小明家所在住宅楼楼前广场的宽AB为30米，线段BC为AB正前方的一条道路的宽．小明站在家里点D处观察B，C两点的俯角分别为60°和45°，已知DA垂直地面，则这条道路的宽BC为______米（≈1.732）14．如图4×5的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有______种．15．如图，为一块面积为1.5m2的直角三角形模板，其中∠B=90°，AB=1.5m，现要把它加工成正方形DEFG木板（EF在AC上，点D和点G分别在AB和BC上），则该正方形木板的边长为______m．三、解答题：本大题共8个小题，共75分16．（1）计算：（）﹣3﹣|﹣1|×（﹣3）2+（）0（2）化简：﹣．17．阅读与观察：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他所著的《详解九章算法》艺术中，揖录了如图1所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，经观察研究发现，在两腰上的数位1的前提下，杨辉三角有许多重要的特点，例如：每个数都等于它上方两数之和等等．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．（1）通过观察，请你写出杨辉三角具有的任意两个特点；（阅读材料中的特点除外）（2）计算：993+3×992+3×99+1；（3）请你直接写出（a+b）4的展开式．18．作图与证明：如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：（1）作⊙O 的内接正六边形ABCDEF ；（2）连接BF ，CE ，判断四边形BCEF 的形状并加以证明．19．某艺术类学校进行绘画特长生的招生工作，每名考生需要参加“素描”“色彩”“速写”三个项目的测试，三个项目的满分均为100分，“素描”“色彩”“速写”按照4：4：2的比例计算得到选手最终成就，现有20名考生报名参加测试，测试结束后，考生的素描成绩如下（单位：分）：88，85，90，99，86，68，94，98，78，9796，93，89，94，89，85，80，95，89，77请根据上述数据，解决下列问题：（1）补全下面考生素描成绩的表格（每组数据含最小值不含最大值）和频数分布直方图；分组人数（频数）60﹣70 170﹣80 280﹣90 990﹣100 8合计20 （2）如表为甲、乙两名选手比赛成绩的记录表，现要在甲、乙二人中录取一名，请通过计算得出谁最终被录取．项目成绩素描色彩速写甲98 93 95 乙95 95 10020．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=k 1x +b 与反比例函数y=的图象交于点A （﹣1，6）和点B （3，m ），与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．（1）求一次函数y=k 1x +b 和反比例函数y=的表达式；（2）点P 是双曲线y=上的一点，且满足S △PCD =S △DOE ，求点P 的坐标．21．为弘扬中华传统文化，某徽章设计公司设计了如图所示的一种新式徽章，每件的成本是50元，为了合理定价，先投放在某饰品店进行试销．试销发现，该徽章销售单价为100元时，每天的销售量是50件，且当销售单价每降低1元时，每天就可多售出5件．（1）如果该店每天要使该徽章的销售利润为4000元，则销售单价应定为多少元？（2）该店每天该徽章的销售是否有最大利润？若有，请求出最大利润及销售单价，若没有，请说明理由．22．如图1，在△ABC和△MNB中，∠ACB=∠MBN=90°，AC=BC=4，MB=NB=2，点N 在BC边上，连接AN，CM，点E，F，D，G分别为AC，AN，MN，CM的中点，连接EF，FD，DG，EG．（1）判断四边形EFDG的形状，并证明；（2）求FD的长；（3）如图2，将图1中的△MBN绕点B逆时针旋转90°，其他条件不变，猜想此时四边形EFDG的形状，并证明．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l经过点A和点C，连接BC．将直线l沿着x轴正方形平移m个单位（0＜m＜10）得到直线l′，l′交x轴于点D，交BC于点E，交抛物线于点F．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）如图2，将△EDB沿直线l′翻折得到△EDB′，求点B′的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，当点B′落在直线AC上时，请直接写出点F的坐标．山西省百校联考中考数学模拟试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1．﹣3的倒数是（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．【考点】倒数．【分析】根据倒数的定义可得﹣3的倒数是﹣．【解答】解：﹣3的倒数是﹣．故选：C．2．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．a3÷a2=a C．a2+a2=a4D．（a2）3=a5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】A：根据同底数幂的乘法法则判断即可．B：根据同底数幂的除法法则判断即可．C：根据合并同类项的方法判断即可．D：根据幂的乘方的运算方法判断即可．【解答】解：∵a2•a3=a5，∴选项A不正确；∵a3÷a2=a，∴选项B正确；∵a2+a2=2a2，∴选项C不正确；∵（a2）3=a6，∴选项D不正确．故选：B．3．如图所示几何体的俯视图是（）A．B． C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中并且注意虚线和实线的不同．【解答】解：从上往下看，易得一个长方形，其中有两条实线和两条虚线虚线，如图所示：故选D．4．下列说法正确的是（）A．“任意画出一个圆，它是中心对称图形”是随机事件B．为了解我省中学生的体能情况，应采用普查的方式C．天气预报明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数不一定是5次【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；随机事件．【分析】根据随机事件、概率的意义以及全面调查与抽样调查的定义即可作出判断．【解答】解：A、“任意画出一个圆，它是中心对称图形”是必然事件，本选项错误；B、为了解我省中学生的体能情况，应采用抽查的方式，本选项错误；C、天气预报明天下雨的概率是99%，该事件不是必然事件，说明明天不一定会下雨，本选项错误；D、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数不一定是5次，该事件是随机事件，本选项正确．故选D．5．不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B．C． D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【解答】解：，由x+2≤3得x≤1，由＜3得x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤1，在数轴上表示为：故选A．6．如图6×7的方格中，点A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是（）A．P1B．P2C．P3D．P4【考点】位似变换．【分析】连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案．【解答】解：∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．∴它们的位似中心是P3．故选C．7．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°，AB，CB分别交直线m 于点D和点E，且DB=DE，若∠B=25°，则∠1的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【考点】平行线的性质．【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠4的度数，再由∠ACB=90°得出∠5的度数，根据平角的定义即可得出结论．【解答】解：如图，∵DB=DE，∠B=25°，∴∠2=25°，∴∠3=25°+25°=50°，∵m∥n，∴∠4=50°，∵∠C=90°，∴∠5=65°，∴∠1=180°﹣50°﹣65°=65°．故选：B．8．天然气公司为了解某社区居民使用天然气的情况，随机对该社区10户居民进行了调查，如表是这10户居民3月份用气量的调查结果：居民户数 1 2 3 4月用气量（立方米）14 15 22 25则这10户居民月用气量（单位：立方米）的中位数是（）A．14 B．15 C．22 D．25【考点】中位数．【分析】根据中位数的定义解答即可．【解答】解：10个数，最中间的数为第5个数和第6个数，它们都是22，所以这10户居民用水量的中位数为（22+22）÷2=22．故选C．9．某网上电器商城销售某种品牌的高端电器．已知该电器按批发价上浮50%进行标价，若按照标价的九折销售，则可获纯利润350元，现由于商城搞促销，该电器按照标价的八折销售，则可获纯利润（）A．180元B．200元C．220元D．240元【考点】一元一次方程的应用．【分析】设该商品批发价为x元/件，则该商品的标价为（1+50%）x元/件，根据：标价×0.9﹣批发价=纯利润，列方程求得商品的批发价，继而可得该电器按照标价的八折销售可获纯利润．【解答】解：设该商品批发价为x元/件，则该商品的标价为（1+50%）x元/件，根据题意，得：（1+50%）x•0.9﹣x=350，解得：x=1000，则其标价为（1+50%）×1000=1500元/件，∴该电器按照标价的八折销售，则可获纯利润为1500×0.8﹣1000=200元，故选：B．10．如图，在以点O为圆心的半圆中，AB为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A和点B落在点O处，折痕分别为EC和FD，则图中阴影部分面积为（）A．4﹣B．4﹣C．2﹣D．2﹣【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据题意求得AC=OC=OD=DB=1，CD=2，EC==，进一步求得△EOF 是等边三角形，然后根据S 阴影=S 长方形﹣（S 半圆﹣S 长方形CDFE ）+2（S 扇形OEF ﹣S △EOF ）即可求得．【解答】解：∵AB 为直径，且AB=4，∴OA=OE=2，∵点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，∴AC=OC=OD=DB=1，∴CD=2，EC==，∴△EOF 是等边三角形，∴∠EOF=60°，∴S 半圆=π×22=2π，S 长方形CDFE =2×=2， ∴S 阴影=S 长方形﹣（S 半圆﹣S 长方形CDFE ）+2（S 扇形OEF ﹣S △EOF ） =4﹣2π+2（﹣×2×） =2﹣．故选D ．二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分11．计算×﹣的结果是 1 ．【考点】实数的运算．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算开方和乘法，然后计算减法，求出算式×﹣的结果是多少即可．【解答】解：×﹣ =3×﹣2=3﹣2=1故答案为：1．12．从5，6，7这三个数字中，随机抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】根据所抽取的数据拼成两位数，得出总数及能被3整除的数，求概率．【解答】解：如下表，∵任意抽取两个不同数字组成一个两位数，共6种情况，其中能被3整除的有57，75两种，∴组成两位数能被3整除的概率为=．故答案为：．13．如图，小明家所在住宅楼楼前广场的宽AB为30米，线段BC为AB正前方的一条道路的宽．小明站在家里点D处观察B，C两点的俯角分别为60°和45°，已知DA垂直地面，则这条道路的宽BC为21.96米（≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意求出∠ABD和∠C的度数，根据正切的定义计算即可．【解答】解：由题意得，∠ABD=∠EDB=60°，∠C=∠EDC=45°，∴AD=AB×tan∠ABD=30米，∴AC=AD=30米，∴BC=AC﹣AB=30﹣30≈21.96米，故答案为：21.96．14．如图4×5的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有4种．【考点】轴对称图形．【分析】结合图象根据轴对称图形的概念求解即可．【解答】解：根据轴对称图形的概念可知，一共有四种涂法，如下图所示：．故答案为：4．15．如图，为一块面积为1.5m2的直角三角形模板，其中∠B=90°，AB=1.5m，现要把它加工成正方形DEFG木板（EF在AC上，点D和点G分别在AB和BC上），则该正方形木板的边长为m．【考点】相似三角形的应用．【分析】直接利用勾股定理结合直角三角形的性质得出BN的长，再利用相似三角形的判定与性质表示出AD的长，进而得出答案．【解答】解：过点B作BN⊥AC于点N，∵面积为1.5m2的直角三角形模板，其中∠B=90°，AB=1.5m，∴BC=2cm，∴AC==2.5（m），∴2.5BN=1.5×2，解得：BN=1.2，∵∠A=∠A，∠AED=∠ABC，∴△AED∽△ABC，∴=，设DE=x，则=，解得：AD=x，∵DG∥AC，∴△GBD∽△CBA，∴=∴=解得：x=．故该正方形木板的边长为m．故答案为：．三、解答题：本大题共8个小题，共75分16．（1）计算：（）﹣3﹣|﹣1|×（﹣3）2+（）0（2）化简：﹣．【考点】分式的加减法；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．【解答】解：（1）原式=8﹣9+1=0；（2）原式=﹣==．17．阅读与观察：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他所著的《详解九章算法》艺术中，揖录了如图1所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，经观察研究发现，在两腰上的数位1的前提下，杨辉三角有许多重要的特点，例如：每个数都等于它上方两数之和等等．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．（1）通过观察，请你写出杨辉三角具有的任意两个特点；（阅读材料中的特点除外）（2）计算：993+3×992+3×99+1；（3）请你直接写出（a+b）4的展开式．【考点】完全平方公式．【分析】（1）从每行的数字个数和数字之和可得规律；（2）根据图中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数即可求得；（3）根据（a+b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n﹣1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和即可得出．【解答】解：（1）∵第1行有1个数字，数字之和为1=20，第2行有2个数字，数字之和为2=21，第3行有3个数字，数字之和为4=22，第4行有4个数字，数字之和为8=23，…第n行有n个数字，数字之和为2n﹣1；（2）993+3×992+3×99+1=（99+1）3=1003=106；（3）（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．18．作图与证明：如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：（1）作⊙O的内接正六边形ABCDEF；（2）连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．【考点】正多边形和圆；作图—复杂作图．【分析】（1）由正六边形ABCDEF的中心角为60°，可得△OAB是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出⊙O的内接正六边形ABCDEF；（2）首先连接OE，由六边形ABCDEF是正六边形，易得EF=BC，=，则可得BF=CE，证得四边形BCEF是平行四边形，然后由∠EDC=∠DEF=120°，∠DEC=30°，求得∠CEF=90°，则可证得结论．【解答】解：（1）如图1，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形ABCDEF即为⊙O所求；（2）四边形BCEF是矩形．理由：如图2，连接OE，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB=AF=DE=DC，FE=BC，∴===，∴=，∴BF=CE，∴四边形BCEF是平行四边形，∵∠EOD==60°，OE=OD，∴△EOD是等边三角形，∴∠OED=∠ODE=60°，∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°，∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE=30°，∴∠CEF=∠DEF﹣∠CED=90°，∴四边形BCEF是矩形．19．某艺术类学校进行绘画特长生的招生工作，每名考生需要参加“素描”“色彩”“速写”三个项目的测试，三个项目的满分均为100分，“素描”“色彩”“速写”按照4：4：2的比例计算得到选手最终成就，现有20名考生报名参加测试，测试结束后，考生的素描成绩如下（单位：分）：88，85，90，99，86，68，94，98，78，9796，93，89，94，89，85，80，95，89，77请根据上述数据，解决下列问题：（1）补全下面考生素描成绩的表格（每组数据含最小值不含最大值）和频数分布直方图；分组人数（频数）60﹣70 170﹣80 280﹣90 990﹣100 8合计20（2）如表为甲、乙两名选手比赛成绩的记录表，现要在甲、乙二人中录取一名，请通过计算得出谁最终被录取．项目素描色彩速写成绩甲98 93 95乙95 95 100【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；加权平均数．【分析】（1）根据考生的素描成绩可得70﹣80的人数（频数），90﹣100的人数（频数），进一步补全频数分布直方图；（2）根据加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数，求出甲、乙两名选手比赛成绩，再比较大小即可求解．【解答】解：（1）填表如下：分组人数（频数）60﹣70 170﹣80 280﹣90 990﹣100 8合计20如图所示：（2）4+4+2=10，4÷10=0.4，2÷10=0.2，=98×0.4+95×0.4+95×0.2=96.2，=98×0.4+95×0.4+100×0.2=96，∵96.2＞96，∴甲最终被录取．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=k 1x +b 与反比例函数y=的图象交于点A （﹣1，6）和点B （3，m ），与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．（1）求一次函数y=k 1x +b 和反比例函数y=的表达式；（2）点P 是双曲线y=上的一点，且满足S △PCD =S △DOE ，求点P 的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将A 坐标代入反比例函数解析式中求出k 2的值，即可确定出反比例函数解析式；将B 坐标代入反比例解析式中求出m 的值，确定出B 坐标，将A 与B 坐标代入一次函数解析式中求出k 1与b 的值，即可确定出一次函数解析式；（2）如图，当P 在第二象限时，连接PC ，PO ，作PE ⊥y 轴于E ，求得D 的横坐标为2，根据已知条件得到PE=OD=2，求得P 的横坐标为﹣2，把x=﹣2代入y=﹣中得y=3，于是得到结论；同理可得当点P 在第四象限时，求得P （2，﹣3）．【解答】解：∵A （﹣1，6）在y=上得k 2=﹣6．∴y=﹣，∵B （3，m ）反比例函数y=﹣的图象上，∴m=﹣2，因为y=k 1x +b 过A （﹣1，6）、B （3，﹣2）两点， ∴，解得：，∴一次函数的表达式是y=﹣2x +4；（2）如图，当P 在第二象限时，连接PC ，PO ，作PE ⊥y 轴于E ，把y=0代入y=﹣2k +4中得x=2，∴D 的横坐标为2，∵S △PCD =S △DOE ， ∴CO •PE=CO •OD ，∴PE=OD=2，∴P 的横坐标为﹣2，把x=﹣2代入y=﹣中得y=3，∴此时点P 的坐标为（﹣2，3），同理可得当点P 在第四象限时，P （2，﹣3），∴点P 的坐标是（﹣2，3），（2，﹣3）．21．为弘扬中华传统文化，某徽章设计公司设计了如图所示的一种新式徽章，每件的成本是50元，为了合理定价，先投放在某饰品店进行试销．试销发现，该徽章销售单价为100元时，每天的销售量是50件，且当销售单价每降低1元时，每天就可多售出5件．（1）如果该店每天要使该徽章的销售利润为4000元，则销售单价应定为多少元？（2）该店每天该徽章的销售是否有最大利润？若有，请求出最大利润及销售单价，若没有，请说明理由．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）利用每件商品利润×销量=总利润4000，得出关系式求出即可；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．【解答】解：（1）设应将单价降低x 元，则商店每天的销售量为（50+5x ）件，由题意得（50﹣x ）（50+5x ）=4000，解得：x 1=10，x 2=30．答：如果要使该企业每天的销售利润为4000元，应将销售单价应定为70元或90元；（2）y=﹣5x 2+800x ﹣27500=﹣5（x ﹣80）2+4500∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，=4500；∴当x=80时，y最大值即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．22．如图1，在△ABC和△MNB中，∠ACB=∠MBN=90°，AC=BC=4，MB=NB=2，点N 在BC边上，连接AN，CM，点E，F，D，G分别为AC，AN，MN，CM的中点，连接EF，FD，DG，EG．（1）判断四边形EFDG的形状，并证明；（2）求FD的长；（3）如图2，将图1中的△MBN绕点B逆时针旋转90°，其他条件不变，猜想此时四边形EFDG的形状，并证明．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）四边形EFDG是平行四边形，理由为：如图1，连接AM，由E、F、G、H分别为中点，利用利用中位线定理得到两组对边相等，即可得证；（2）如图1，过点M作MH⊥AB，交AB的延长线于点H，根据内错角相等，两直线平行，得到AC与BM平行，由三角形ACB与三角形MBN都为等腰直角三角形，由BC求出AB 的长，进而求出BH的长，由AB+BH求出AH的长，在直角三角形AMH中，利用勾股定理求出AM的长，利用中位线定理求出FD的长即可；（3）四边形EFDG为正方形，理由为：如图2，连接CN，AM，分别交EF、CN于点L与K，由CB﹣BM求出CM的长，得到CM=BN，再由一对直角相等，AC=BC，利用SAS得到三角形ACM与三角形CBN全等，利用全等三角形对应边、对应角相等得到AM=CN，∠CAM=∠BCN，利用同角的余角相等，求出∠AKC为直角，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到四边形EFDG为平行四边形，再由一个内角为直角，且邻边相等即可得证．【解答】解：（1）四边形EFDG是平行四边形，证明：如图1，连接AM，∵E、F、D、G分别为AC、AN、MN、CM的中点，∴FD=EG=AM，EF=GD=CN，∴四边形EFDG是平行四边形；（2）如图1，过点M作MH⊥AB，交AB的延长线于点H，∵∠ACB=∠MBN=90°，AC=BC=4，MB=NB=2，∴AC∥BM，∴∠MBH=∠CAB=45°，∴AB==4，∴BH=MH=MBsin45°=，∴AH=AB+BH=4+=5，在Rt△AMH中，由勾股定理得：AM===2，则FD=AM=；（3）四边形EFDG是正方形，证明：如图2，连接CN，AM，分别交EF、CN于点L与K，由已知得：点M和点D分别落在BC与AB边上，∴CM=CB﹣BM=4﹣2=2，∴CM=BN，∵∠ACM=∠CBN=90°，AC=BC，∴△ACM≌△CBN（SAS），∴AM=CN，∠CAM=∠BCN，∵∠ACK+∠KCM=90°，∴∠ACK+∠CAK=90°，在△ACK中，∠AKC=180°﹣（∠ACK+∠CAK）=180°﹣90°=90°，由（1）可得EG∥AM∥FD，EF∥CN∥GD，∴四边形EFDG是平行四边形，∴∠GEL=∠ELA=∠AKC=90°，∴四边形EFDG是矩形，∵EG=AM=CN=EF，∴四边形EFDG是正方形．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l经过点A和点C，连接BC．将直线l沿着x轴正方形平移m个单位（0＜m＜10）得到直线l′，l′交x轴于点D，交BC于点E，交抛物线于点F．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）如图2，将△EDB沿直线l′翻折得到△EDB′，求点B′的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，当点B′落在直线AC上时，请直接写出点F的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）通过解方程，﹣x2+x+6=0可得A点和B点坐标，再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标；（2）根据勾股定理求得BC=10，即可证得AB=BC，根据AC∥FD，得出=，求得BE=BD，即可证得四边形EB′DB是菱形，得出B′D∥BC，然后过点B′作B′H⊥AB与H，证得△B′HD∽△COB，即可求得B′H=﹣m+6，HD=﹣m+8，进一步求得OH，得出B′的坐标；（3）根据菱形的性质得出BM=B′M，由平移的定义可知DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理证得BD=AD=AB=5，求得D的坐标，根据勾股定理求得AC的解析式，进而求得DF的解析式，然后联立方程，即可求得F的坐标．【解答】解：（1）将y=0代入y=﹣x2+x+6得，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）；将x=0代入y=﹣x2+x+6得y=6，∴点C的坐标为（0，6）；（2）在RT△COB中，由勾股定理得BC===10，∵AB=AO+OB=2+8=10，∴AB=BC，∵AD=m，∴DB=AB﹣AD=10﹣m，∵AC∥FD，∴=，∴BE=BD=B′E=B′D=10﹣m，∴四边形EB′DB是菱形，∴B′D∥BC，过点B′作B′H⊥AB与H，∴∠B′DH=∠CBO，∠B′HD=∠COB=90°，∴△B′HD∽△COB，∴==，即==，∴B′H=﹣m+6，HD=﹣m+8，当点B′在y轴的右侧时，OH=OB﹣HD﹣DB=8﹣（﹣m+8）﹣（10﹣m）=m﹣10，当点B′在y轴的左侧时，OH=HD+DB﹣OB=（﹣m+8）+（10﹣m）﹣8=10﹣m，∴点B′的坐标为（m﹣10，﹣m+6）；（3）∵四边形EB′DB是菱形，∴BM=B′M，由平移的定义可知DE∥AC，∴==1，∴BD=AD=AB=5，∵OA=2，∴OD=3，∴D的坐标为（3，0），设直线AC的解析式为y=kx+b，代入A（﹣2，0），C（0，6）得：，解得，∵DF∥AC，设直线DF的解析式为y=3x+b，代入D（3，0）得9+b=0，解得b=﹣9，∴直线DF为y=3x﹣9，解得或，∴F的坐标为（﹣1，3﹣12）．9月28日。

2024百师联盟高二下学期期末联考数学试题及答案

2023—2024学年高二期末联考数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得0分.已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，设其罚球一次的得分为X ，则（）A.()0.5E X =，()0.20D X = B.()0.5E X =，()0.25D X =C.()0.8E X =，()0.12D X = D.()0.8E X =，()0.16D X =2.函数ln y x x =的单调递减区间是（）A.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(0,)+∞3.已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（）A.47B.23C.13D.164.已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，且(02)0.2P X <<=，则(4)P X >=（）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.85.有6名男生和5名女生共11名大学生报名参加某社区服务，现从6名男生中选出2名组成一个小组，从5名女生中选出2名组成一个小组，在周日的上午和下午各安排一个小组值班，则不同的排班种数为（）A.75B.150C.300D.6006.已知今天是星期日，则经过763-天后是（）A.星期一B.星期二C.星期三D.星期四7.一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为13，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（）A.13B.23C.34D.148.已知函数()e ln(3)xf x x =-+，则下面对函数()f x 的描述正确的是（）A.(3,)x ∀∈-+∞，1()3f x ≥B.(3,)x ∀∈-+∞，1()2f x >-C.0(3,)x ∃∈-+∞，()01f x =- D.min ()(0,1)f x ∈二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

江苏省百校大联考2024学年数学高三上期末调研模拟试题含解析

江苏省百校大联考2024学年数学高三上期末调研模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A ．12B ．10C ．10D ．22．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（）A ．31log 5+B ．6C ．4D ．53．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（） A ．40B ．60C ．80D ．1004．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π5．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（）A ．22B ．23C ．4D ．266．已知函数2sin ()1x f x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（） A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④7．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．8．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 9．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．411．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（）A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件12．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023届百师联盟高三一轮复习联考(五) 全国卷(1月) 数学(理)【含答案】

2023届高三一轮复习联考（五）全国卷理科数学试题考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则=（）{}2230A x x x =--≤∣{21}B xx =-<≤∣A B ⋃A ．［-1，1]B ．（-2，1]C ．［-1，3]D ．（-2，3]2．已知，则的虚部是（）(2i)2i z -=+z A ．B ．C ．D ．454i 545-4i 5-3．设等比数列的公比为q ，则“q >1”是“是单调递增数列”的（）{}n a {}n a A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数的图象大致为（）3e e ()x xf x x-+=A ．B ．C ．D ．5．双曲线1，则双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>方程为（）A ．B ．2214y x -=2214x y -=C ．D ．22123x y -=22132x y -=6．中国的计量单位可追溯到4000多年前的氏族社会末期，秦王统一中国后，颁布了统一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器，如图是当时的一种度量工具“斗”（无盖，不计厚度）的三视图（正视图和侧视图都是等腰梯形），若此“斗”的体积约为2000立方厘米，则其高约为（）（单位：厘米）A ．8B ．9C ．10D ．117．已知某品牌电视机使用寿命超过15000小时的概率为0.95，而使用寿命超过30000小时的寿命的概率为0.85，则已经使用了15000小时的这种电视，使用寿命能超过30000小时的概率为（）A ．B ．C ．D ．1720171919203234008．某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列结论不正确的是（）A ．中位数70B ．众数75C ．平均数68.5D ．平均数709．函数的图象关于直线对称，将f （x ）的图象向()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(04)ω<<6x π=左平移个单位长度后与函数y =g （x ）图象重合，则关于y =g （x ），下列说法正确的是（6π）A ．函数图象关于对称B ．函数图象关于对称3x π=,03π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．在单调递减D ．最小正周期为(0,)ππ10．已知过点（0，1）的直线与椭圆交于A 、B 两点，三角形OAB 面积的最大2212y x +=值是（）ABC ．D ．11211．设是函数的极值点，若满足不等式的实0 x 21()ln (0)2f x x mx x x =++>0132x ≤≤数有且只有一个，则实数m 的取值范围是（）0 x A ．B ．C ．D ．105,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭105,32⎡⎫--⎪⎢⎣⎭105,32⎛⎤-- ⎥⎝⎦105,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12．y =f （x ）的定义域为，y =f （x +2）为偶函数，f （2）=1且f （x ）=g （2x ）-g （4-2x ），R 则下列说法不正确的是（）A ．y =f （x ）的图象关于（1，0）对称B ．y =f （x ）的图象关于x =2对称C ．4为y =f （x ）的周期D ．221()0k f k ==∑二、填空题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知为第一象限角，，则______．α3tan 4α=tan 2α=14．在的展开式中，所有项的二项式系数的和为64，则常数项为______．212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭15．已知、为单位向量，当与夹角最大时，=______．a b 2a b - a a b ⋅16．如图C 是圆台母线AB 的中点，BD 是底面的直径，上底面半径为1，下底面半径为2，AB =2，点M 是弧BD 的中点，则C 、M 两点在圆台侧面上连线长最小值的平方等于______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列的前n 项和为，且满足，．{}n a n S 2 3n n S a n =+-*n ∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2），数列是否存在最大项，若存在，求出最大项．21n n n b a =-{}n b 18．（12分）2022年9月2日第十三届全国人民代表大会常务委员会第三十六次会议通过《中华人民共和国反电信网络诈骗法》．某高校为了提高学生防电信网络诈骗的法律意识，举办了专项知识竞赛，从竞赛成绩中随机抽取了100人的成绩，成绩数据如下表：性别成绩［60，70）［70，80）［80，90）［90，100]女生810166男生7152513若学生的测试成绩大于等于80分，则“防电信诈骗意识强”，否则为“防电信诈骗意识弱”．（1）用100人样本的频率估计概率，求从该校任选5人，恰有2人防骗意识强的概率；（2）根据上表数据，完成2×2列联表，能否有99%的把握认为“防电信诈骗意识强弱”有性别差异．男生女生合计防诈骗意识强防诈骗意识弱合计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++02)(P K k >0.0500.0100.0050k 3.8416.6357.87919．（12分）如图，四棱锥P -ABCD ，M 为棱PB 上中点，底面ABCD 是边长为2的菱形，PA =PC ，PD =2，．6DAC π∠=（1）证明：；AC PD ⊥（2）若，求AM 与平面PCD 所成角的正弦值．PB =20．（12分）设抛物线的焦点为F ，过F 作斜率为l 的直线交抛物线2:2(0)C y px p =>于AB 两点，且AB =8，Q 为抛物线上一点，过Q 作两条均不垂直于对称轴的直线分别交抛物线于除Q 之外的M 、N 两点．（1）求C 的方程；（2）若Q 坐标为，且，判断MN 斜率是否为定值，若是，求出该,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭0QM QN k k +＝值，若不是，说明理由．21．（12分）已知函数．1()ex f x ax -=+（1）若恒成立，求a 的取值范围；()0f x ≥（2）当时，证明恒成立．1m ≥e ln sin 1x m x x x+->（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．［选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，4,4t x y -⎧=⎪⎨⎪=⎩x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为．cos 04πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）曲线C 与坐标轴交于A ，B 两点，求直线AB 的极坐标方程；（2）若l 与曲线C 有公共点，求m 的取值范围．23．［选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数，．() 2 1f x x a x =-++() 21g x x =-+（1）当a =2时画出函数f （x ）的图象，并求出其值域；（2）若恒成立，求a 的取值范围．()()f x g x ≥2023届高三一轮复习联考（五）全国卷理科数学参考答案及评分意见1．D 【解析】易知，{}13A xx =-≤≤∣，．故选D ．{21}B x x =-<≤∣{23}A B x x ⋃=<-<≤∣2．C 【解析】由题可知，所以，虚部为．故选C ．2i 34i 2i 55z +==+-34i 55z =-45-3．D 【解析】若，当时，数列单调递增，当时，数列单调10a >1q >{}n a 01q <<{}n a递减；若，当时，数列单调递减，当时，数列单调递增．所以等10a <1q >{}n a 01q <<{}n a 比数列单调性由首项和公比共同决定．故选D ．4．D 【解析】可知函数为奇函数，且当时，，故选D ．()f x 0x >()0f x >5．B 【解析】由题可知，，则渐近线方程为，焦点到c a =222514b e a =+=20x y ±=渐近线的距离为1，可解得，所以，由得．所以双曲线方c =2a =222c a b =+1b =程为．故选B ．2214x y -=6．B 【解析】此几何体是上下均为正方形的台体，上底面面积为，下底面2119361S ==面积为，设高为，由台体体积公式，得2210100S ==h，解之得．故选B ．(12 120003V S S h =++≈台9.2h ≈7．B 【解析】设该电视“使用寿命超过15000小时”为事件，该电视“使用寿命超过A 30000小时”为事件，依题意得，，由条件概率的计算公B ()0.95P A =()0.85P AB =式可得：．故选B ．()()()0.85170.9519P AB P B A P A ===∣8．D 【解析】显然众数是75，的频率是0.1，的频率是0.15，的[)40,50[)50,60[)60,70频率是0.25，其频率和为0.5，所以中位数为70，平均数，所以C 正450.1550.15650.25750.35850.1950.0568.5=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=确．故选D ．9．B 【解析】关于对称，则，，()f x 6x π=642k πππωπ+=+k ∈Z 解得，，又，故当时，，362k ω=+k ∈Z 04ω<<0k =32ω=，将的图象向左平移个单位长度得到．()3sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 6π()3cos 2g x x =令，则对称轴为，显然不满足，故A 错误；()32x k k π=∈Z ()23k x k π=∈Z 3x π=令，则，所以对称中心为()322x k k ππ=+∈Z ()233k x k ππ=+∈Z ，()2,033k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 显然时，，故B 正确；1k =-2,0,0333k πππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，整理得，所以单调递减区()3222x k k k πππ≤≤+∈Z ()424333k k x k πππ≤≤+∈Z 间为，显然，C 不正确；最小正周期，故D 不()424,333k k k πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z 24332T ππ==正确．故选B ．10．A 【解析】显然直线斜率存在，设过的直线方程为：，联立方程组()0,11y kx =+消去，并整理得，设，，则221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222210k x kx ++-=()11,A x y ()22,B x y ，,12222k x x k -+=+12212x x k-=+，2AB x =-=，O 到直线的距离为AB=ABd =，12OABS AB d=⋅===令，则A ．211t k =+≥OAB S ==≤11．B 【解析】满足的实数有且只有一个，即导函数在区间有0132x ≤≤0x ()f x '1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦且只有一个变号零点．，在上单调递减，在上单调递增．()1f x x m x=++'()f x '()0,1()1,∞+则解之得．故选B ．()10,230,f f ''⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩10532m -≤<-12．D 【解析】，则，可知函数关于()2y f x =+()()22f x f x +=-+()y f x =对称，2x =，把换成可得，两式相()()()242f x g x g x =--x 2x -()()()2422f x g x g x -=--加可得，关于对称，关于轴对称，()()20f x f x +-=()y f x =()1,0()f x 2x =则可得，，可知4为()()()22f x f x f x =--=-+()()()24f x f x f x =--=+的周期，所以可知ABC 都正确．()f x 令，，，，1x =()()()1220f g g =-=()()310f f ==()()021f f =-=-()()()()()()()()2215123412i f k f f f f f f =∑⋅=+++++()50101011=++-++=，D 不正确，故选D ．13．【解析】为第一象限角，则，，所以13α222k k ππαπ<<+24k k απππ<<+为第一或第三象限角，，，2αtan02α>22tan32tan 41tan 2ααα==-，或（舍）．23tan 8tan3022αα+-=1tan23α=tan 32α=-14．60【解析】由题可知：，所以，展开式通项为264n =6n =，令，得4，常数项为()()62161231662(1)2rrrrrr rr T c x x c x----+=-=-1230r -=r =．2462C 60=15．【解析】设与的夹角为，12a b θ()2cos 2,2a b a a b a a b b--====- ，令，，取最小值时，11,12cos 3t θ⎡⎤=∈⎢⎥-⎣⎦cos 2,a b a -=()cos 2,a b a - 两向量夹角最大，所以，即时，两向量夹角最大．23t =1cos 2θ=此时．1cos 2a b a b θ⋅== 方法二：利用数形结合．由图可知与夹角最大为，所以．2a b - a 30︒1cos 602a b a b ⋅=︒= 16．展开如图所示，25-AB ，．，由余弦定理可得：4OM =3OC =4COM π∠=．2222cos 25CM OC OM OC OM COM∠=+-⋅=-17．（1）（2）121n n a -=+3b 【解析】（1）①，23n n S a n =+-当时，，1n =12a =当，，②2n ≥11213n n S a n --=+--①-②得：，即，，121n n a a -=-2n ≥()1121n n a a --=-2n ≥由知即，23n n S a n =+-1n a ≠10n a -≠所以是首项为1公比为2的等比数列，得，{}1n a -112n n a --=所以数列的通项公式为：．{}n a 121n n a -=+（2），22112n n n n n b a -==-，，22211(1)21222n n n n nn n n n b b +-+-++-=-=*n ∈N 令得或，即，2210n n -++>1n =2n =321b b b >>令得，即，2210n n -++<3n ≥3n b b ≤当时，2n ≤10n n b b +->当时，又，，3n ≥10n n b b +-<22b =394b =所以数列最大项为．{}n b 394b =18．（1）（2）没有充分证据说明“防电信诈骗意识强弱”与性别有关144625【解析】（1）100人中成绩不低于80的人数有60人，由频率估计概率的思想可知任选一人防骗意识强的概率．35p =从学生中任选5人，其中防骗意识强的人数，3~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以恰有2人防骗意识强的概率．232533144(2)C 155625p X ⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）列联表如下：22⨯男生女生合计防诈骗意识强382260防诈骗意识弱221840合计6040100，，22(38182222)1000.694460406040K ⨯-⨯⨯=≈⨯⨯⨯0.6944 6.635<所给出的调查数据中没有充分证据说明“防电信诈骗意识强弱”与性别有关．19．（1）证明过程见解析（2【解析】连接与交于点，连接．AC BD O PO （1）证明：因为底面为菱形，所以，且．AC BD ⊥AO CO =因为，所以．PA PC =PO AC ⊥又因为平面PBD ，平面PBD ，，PO ⊂BD ⊂BD PO O ⋂=所以平面，AC ⊥PBD 因为平面，所以．PD ⊂PBD AC PD ⊥（2）由题可知，，所以，2PD BD ==PB =23PDB π∠=由（1）可知平面平面，PBD ⊥ABCD 以为坐标原点，射线方向为轴正方向，射线方向为轴正方向，建立如图直O OA x OB y角坐标系．则，，，，，)A()0,1,0B ()C ()0,1,0D-(0,P -，．10,2M ⎛- ⎝12AM ⎛=- ⎝，，设平面的法向量为，(0,DP =-()DC = PCD (),,n x y z =则令，则0,0,DP n y DC n y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1z=()n =1112cos ,AM n AM n AM n⎛⎫+-⋅====，所以与平面．AM PCD 20．（1）（2）是定值，定值为24y x =1-【解析】（1）设，，由题可知点坐标为，()11,A x y ()22,B x y F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭直线的方程为，代入，得，AB 2p y x =-22y px =22304p x px -+=由一元二次方程根与系数的关系，123x x p +=2124p x x =，1248AB AF BF x x p p =+=++==得，所以抛物线方程为．2p =24y x =（2）由（1）知点坐标为，设，．由，Q (1,2)()33,M x y ()44,N x y 2334y x =，2444y x =两式相减得，．()()()3434344y y y y x x -+=-344MN k y y =+设直线的方程为，由QM ()21y k x -=-()2421y xy k x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩消去整理得，①x 24840ky y k -+-=显然2，是方程①的两根得②，3y 342y k+=同理可得③，442y k+=-②③得，所以．所以的斜率为定值．+344y y +=-3441MN k y y ==-+MN 1-21．（1）（2）证明过程见解析10a -≤≤【解析】（1）()1ex f x a-='+当时，恒成立，单调递增，0a >()0f x '>()f x，且，使，所以时不符00x ∃<01x ae <-()01001e 1e 0x f x ax a ae -⎛⎫=-+<+-= ⎪⎝⎭0a ≥合题意；当a =0时，，显然成立；()10x f x e-=≥当时，解得，0a <()0f x '=()1ln x a =+-易知，单调递减；，单调递增．()(),1ln x a ∈-∞+-()f x ()()1ln ,x a ∈+-+∞()f x 恒成立，()0f x ≥则，解之得．()()()()1ln 1ln ln 0f a a a a a a ⎡⎤+-=-++-=-≥⎣⎦10a -≤<综上可得．10a -≤≤（2）由题可知，0x >令，可看成关于的一次函数，且单调递增．()e ln sin 1xg m m x x x =⋅+--m 当时，，所以若证原不等式成立，即证，1m ≥()()1g m g ≥e ln sin 10xx x x +-->因为，，ln e e x x xx -=ln e ln sin 1e ln 1sin x x x x x x x x x x-+--=-+-+-由（1）知，把x 换成易得，1e 0x x --≥ln 1x x -+()ln eln 10x xx x ---+≥不妨设，，所以h （x ）单调递增，()sin h x x x =-()1cos 0h x x '=-≥x >0，h （x ）>h （0）=0，所以，即原不等式得证．ln e ln 1sin 0x x x x x x --+-+->22．（1）（2）2cos sin 20ρθρθ-+=1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）令x =0，则，解得t =4，则y =2，即A （0，2），404t -=令y =0，则t =0，则x =-1，即B （-1，0），可知，所以直线AB 的方程为y =2x +2，即2x -y +2=0．()20201AB k -==--由，可得，直线AB 的极坐标方程为．cos x ρθ=sin y ρθ=2cos sin 20ρθρθ-+=（2）因为，:cos04l πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭cos sin 0ρθρθ=所以直线转化为普通方程为：，l 20x y m +-=联立与的方程，将，代入中，，l C 44t x -=y =20xy m +-=4204t m -+-=要使与有公共点，则有解．令，l C 84m t =+-x =，所以，所以，则的取值范围为()()2440f x x x x =+-≥()[)4,f x ∈-+∞84m ≥-m ．1,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭23．（1）图象见解析，函数值域为（2）[)2,+∞(][),40,-∞-⋃+∞【解析】（1）当时，2a =()31,1,2213,11,31, 1.x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪->⎩作出图象如图所示，由图可知函数在单调递减，在单调递增，，所以函数值(),1-∞()1,+∞()1132f =-+=域为．[)2,+∞（2）恒成立，即恒成立，()()f x g x ≥2121x a x x -++≥-+2222x a x -++≥因为，()()2222222x a x x a x a -++≥--+=+因为，所以或，22a +≥22a +≥22a +≤-所以a 的取值范围为(][),40,-∞-⋃+∞。

2023届湖北金太阳10月百校联考(22C)数学试卷及答案

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湖南省百校大联考2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题(含答案)

湖南省百校大联考2023-2024年高二12月考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册至4．3．1．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}20A x x =−>，{}1,2,3,4B =，则A B ∩=（） A ．{}3,4B ．{}2,3,4C ．{}4D ．{}1,22．复数z 满足()2i 7i 0z −−+=，则z =（） A ．i 3−−B ．i 3−+C ．3i −D ．3i +3．已知A 为抛物线C ：22x py =（0p >）上一点，点A 到C 的焦点的距离为9，到x 轴的距离为6，则p =（） A ．3B ．4C ．6D ．84．若直线1l ：10ax y −+=与直线2l ：()210a x ay +−−=平行，则a =（） A ．1−B ．2C ．1−或2D ．1或2−5．有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（） A ．310B ．15C ．25D ．126．已知函数()()sin f x A x ϕ=+（0A >，0ω>）的部分图象如图所示，则34f π=（）A ．1B ．1−CD ．7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且360S >，370S <，则当n S 取得最大值时，n =（） A ．37B ．36C ．18D ．198．已知F 是双曲线E ：22221x y a b −=（0a >，0b >）的左焦点，O 为坐标原点，过点F 的直线与E 的右支交于点M ，3MN NF =，MF ON ⊥，则E 的离心率为（）A ．3B ．2CD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为2n n a m =+，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（） A ．1m =B ．2m =C ．该数列为递增数列D ．665a =10．某班有男生30人；女生20人，其中男生身高（单位：厘米）的平均值为170，身高的方差为24，女生身高的平均值为160，身高的方差为19，则（） A ．该班全体学生身高的平均值为165 B ．该班全体学生身高的平均值为166 C ．该班全体学生身高的方差为46D ．该班全体学生身高的方差为4411．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a >，0b >）与双曲线D ：2213y x −=有相同的焦点1F ，2F ，且它们的离心率互为倒数，P 是C 与D 的一个公共点，则（） A ．121212PF PF F F −= B ．12122PF PF F F +=C ．12PF F △为直角三角形D ．C 上存在一点Q ，使得12QF QF ⊥12．数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》．已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN 折成了直二面角（其中M 对应钟上数字3，N 对应钟上数字9）．设MN 的中点为O ，MN =已知长度为2的时针OA 指向了钟上数字8，长度为3的分针OB 指向了钟上数字12，现在小王准备安装长度为3的秒针OC （安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是A ．若秒针OC 指向了钟上数字5，如图2，则OA BC ⊥B ．若秒针OC 指向了钟上数字5，如图2，则NA ∥平面OBCC ．若秒针OC 指向了钟上数字4，如图3，则BC 与AMD ．若秒针OC 指向了钟上数字4，如图3，则四面体OABC 的外接球的表面积为1033π 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量()2,m x =，()4,2n x =−+ ，若m n ⊥ ，则x =______．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()()2ln 2f x x =+，则()()021f f +=______． 15．某公司2015年全年生产某种商品10000件，在后续的几年中，后一年该商品的产量都是前一年的120%，则该商品年产量超过20000件时，至少需要经过______年． 16．若A ，B 是平面内不同的两定点，动点P 满足PAk PB=（0k >且1k ≠），则点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点()1,0A ，()4,0C ，()4,9D ，动点P 满足12PA PC=，则2PD PC −的最大值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在正项等比数列{}n a 中，14a =，4322a a a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，证明{}n b 是等差数列并求{}n b 的前n 项和n S ． 18．（12分）已知圆1C ：22450x y x +−−=与圆2C 关于直线l ：10x y −+=对称．（1）求2C 的标准方程；（2）记1C 与2C 的公共点为A ，B ，求四边形12AC BC 的面积．19．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2c ，2a ，23b 成等差数列．（1）若()()cos cos cos a c B b A C −=−，求sin sin AB（2）若1c =，当cosB 取得最小值时，求ABC △的面积20．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()282nn S a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD −中，90ABC BAD ∠=∠=°，2BC AD ==，PAB △与PAD △均为正三角形．（1）证明：AD ∥平面PBC ．（2）证明：PB ⊥平面PCD ．（3）设平面PAB ∩平面1PCD l =，平面PAD ∩平面2PBC l =，若直线1l 与2l 确定的平面为平面α，线段AC 的中点为N ，求点N 到平面α的距离．22．（12分）已知双曲线C ：22221x y a b−=（0a >，0b >）的焦距为()4,3M 在C 上．（1）求C 的方程；（2）1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，过C 外一点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若直线PA ，PB 互相垂直，求12PF F △周长的最大值．高二数学试卷参考答案1．A 因为{}2Ax x =>，所以{}3,4A B ∩=．2．D ()()7i 2i 7i155i3i 2i55z −+−+====+−． 3．C 因为点A 到C 的焦点的距离为9，到x 轴的距离为6，所以32p=，则6p =． 4．B 因为12l l ∥，所以220a a −++=，解得1a =−或2a =．当1a =−时，1l 与2l 重合，不符合题意．当2a =时，12l l ∥，符合题意．5．A 记3克的砝码为1A ，2A ，1克的砝码为1C ，2C ，2克的砝码为B ，从中随机选取两个砝码，样本空间()()()()()()()()()(){}1211112221221212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C A C A B A C A C B C B C C C Ω=，共有10个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过4克”包含3个样本点，故所求的概率为310． 6．B 由函数()()sin f x A x ωϕ=+的图像可知2A =，313341234T πππ=−=，则22T πω==．由13132sin 221212f ππϕ=×+=，解得523k πϕπ=−+，则()52sin 23f x x π=−，故3352sin 21443f πππ =×−=−． 7．C ()()()13636136181936181802a a S a a a a +==+=+>，()1373719373702a a S a +==<，则180a >，190a <，从而当18n =时，n S 取得最大值．8．B 记E 的右焦点为1F ，MF 的中点为P ，连接1MF ，1PF （图略），因为3MN NF =，O 为1FF 的中点，所以1ON PF ∥，则1MF PF ⊥，从而112MF FF c ==．又1tan MFF ∠，所以113cos 24MF MFF FF ∠，则3MF c =，1322MF MF c c c a −=−==，故E 的离心率为2． 9．ACD 由1123a m =+=，得1m =，则662165a +．由1112220n n n n n a a −−−−=−=>，得该数列为递增数列．10．BC 由题可知，该班全体学生身高的平均值为3217016016655×+×=，该班全体学生身高的方差为()()223224170166191601664655 +−++−=．11．BC 由题可知，()12,0F −，()22,0F ，D 的离心率为2，则C 的离心率为12，则4a =，b =121212PF PF F F −=，12122PF PF F F +=．A 不正确，B 正确．根据对称性，不妨设P 在第一象限，则12128,2,PF PF PF PF +=−= 解得125,3,PF PF = = 则2221212PF PF F F =+，所以12PF F △为直角三角形．C 正确．设1QF x =，则28QF x =−，若12QF QF ⊥，则2221212QF QF F F +=，即()22816x x +−=，方程无解．D 不正确．12．ACD 如图，以O 为坐标原点，OM ，OB 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,A ，()0,0,3B，()0,M ，()0,N −．若秒针OC 指向了钟上数字5，则3,02C，()1,OA =，3,32BC =− ，()0,0,3OB = ，则0OA BC ⋅= ，0OA OB ⋅= ，所以OA BC ⊥，OA OB ⊥，故OA 是平面OBC 的一个法向量．因为()NA = ，所以20OA NA ⋅=−≠，所以OA 与NA 不垂直，从而NA 与平面OBC 不平行．A 正确，B 不正确．若秒针OC 指向了钟上数字4，则32C，()AM =−，332BC=−，cos ,AM BC AM BC AM BC ⋅==12AC =，得AC =因为120AOC °∠=，所以OAC△外接圆的半径2sin ACrAOC=∠，则四面体OABC 的外接球的半径R =210312R =，故四面体OABC 的外接球的表面积为210343R ππ=．C ，D 正确．13．2或4− 因为m n ⊥，所以()()2420x x×−++=，解得2x =或4−．14．2ln 3− 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，()()11ln 3f f =−−=−，则()()0212ln 3f f +=−．15．4 设经过n 年后，该商品年产量超过20000件，则10000 1.220000n ×>，即1.22n >．因为31.2 1.7282=<，41.2 2.07362=>，所以至少需要经过4年．16．设(),P xy ，则12PAPC=，整理得224x y +=，则P 是圆C ：224x y +=上一点，故()222PD PC PD PA AD −=−≤=A ，D ，P 三点共线，且A 在DP 之间时取得最大值．17．解：（1）设{}n a 的公比为q ，由4322a a a =+，得220q q −−=，解得2q =或1q =−（舍去），因为14a =，所以1112n n n a a q −+=⋅=．（2）由（1）可知，122log log 21n n n b a n +===+，则()1211n n b b n n +−=+−+=．因为12b =，所以{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，故()211322n n n d n n S nb −+=+=．18．解：（1）将1C 的方程转化为()2229x y −+=，知1C 的圆心为()2,0，半径为3．设2C 的圆心为(),a b ，半径为r ，因为1C 与2C 关于直线l ：10x y −+=对称，所以210,2201,23,a bb a r + −+=− =− − =，解得1,3,3,a b r =− = = 故2C 的标准方程为()()22139x y ++−=．（2）12C C =根据对称性可知1C 到直线AB的距离122C C d=，则AB ，则四边形12AC BC 的面积12192SAB C C =． 19．解：（1）因为()()cos cos cos a c B b A C −=−，所以()()sin sin cos cos cos sin A C B A C B −=−，则sin cos sin cos cos sin cos sin A B C B A B C B −=−，则sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C B C B −=−，则()()sin sin ,A B C B −=− 所以A B C B −=−，即A C =或A B C B π−+−=（舍去）．因为2c ，2a ，23b 成等差数列，所以22232c b a +=．由A C =，得a c =，则223a b =，即a =，则sin sin A aB b==．（2）由22232c b a +=，得2222133b a c =−，则2222222212233cos 22633a c a c a cb ac B ac ac c a +−++−===+≥=，当且仅当22a c ==时，等号成立，此时sin B ，所以ABC △的面积1sin 2Sac B =． 20．解：（1）当1n =时，()2111828S a a =+=，解得12a =．当2n ≥时，由()282nn S a =+，得()21182n n S a −−=+，则2211844n n n n n a a a a a −−=+−−，则()()1140n n n n a a a a −−+−−=．因为0n a >，所以14n n a a −−=，所以{}n a 是以2为首项，4为公差的等差数列，则()1142n a a n d n =+−=−．（2）由（1）可知()()111111424244242nn n b a a n n n n +===− −+−+，则111111111426461044242nT n n=−+−+⋅⋅⋅+− −+111424284nn n =−=++ ． 21．（1）证明：因为90ABC BAD °∠=∠=，所以AB BC ⊥，AB AD ⊥，所以AD BC ∥，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ．（2）证明：取BC 的中点E ，连接DE ，则四边形ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ．连接OA ，OB ，OD ，OE ．由PAB △和PAD △均为正三角形，得PA PB PD ==，所以OAOB OD ==，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，则OE BD ⊥，因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO OE ⊥，又BD PO O ∩=，所以OE ⊥平面PBD ，所以OE PB ⊥，因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE CD ∥，因此PB CD ⊥．因为22222BD AB AD PB PD =+=+，所以PB PD ⊥，又CD PD D ∩=，所以PB ⊥平面PCD ．（3）解：设AB CD Q ∩=，连接PQ ，则直线1l 为直线PQ ，因为AD BC ∥，平面PAD ∩平面2PBC l =，所以2BC l ∥．由（1）知，OE ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，OE的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B ，()2,1,0C −，()1,0,0A −，()0,0,1P ，()2,1,0Q −−，11,,022N −．()2,1,1PQ =−−−，()2,2,0BC=− ，设平面α的法向量为(),,n x y z = ，则n BC ⊥ ，n PQ ⊥，所以20,220,x y z x y −−−=−=，取1y =，得()1,1,3n=− ．又11,,122PN−−，所以点N 到平面α的距离PN n dn⋅==．22．解：（1）由题可知，2222221691,c a b c a b =−= =+，解得2,a b == 故C 的方程为22143x y −=．（2）由题可知，直线PA ，PB 的斜率均存在，设(),P m n ，过P 且与C 相切的直线l ：y kx t =+，联立方程组221,43,x y y kx t −= =+ 整理得()2223484120k x ktx t −−−−=，则()()()222228434412481441920kt k t t k ∆=−−−−−=+−=，整理得2243t k =−．从而()2224230m k mnk n −−++=．因为切线PA ，PB 互相垂直，所以2122314n k k m +==−−，即221m n +=．1PF ==，2PF ==，则()2121632PF PF +=+≤，则12PF PF +≤，当且仅当0m =时，等号成立．因为12F F =，所以12PFF △周长的最大值为+．。

2023年山西省百校联考中考数学模拟试卷(一)及答案解析

A．8.31×104 立方米
B．8.31×108 立方米
C．8.31×1010 立方米
D．8.31×1012 立方米
5．（3 分）如图，直线 a∥b，若∠1＝110°，∠2＝40°，则∠3 的度数是（）
A．55°
B．60°
C．70°
D．80°
6．（3 分）一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是（）
．
三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8 分）（1）计算：
（2）化简：
．
；
17．（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，AD＝DC，∠ADC 的平分线交 AB 于点 E，连接 CE．请判断四边形 AECD 的形状，并说明理由．
是（）
A．1500 名学生是总体
B．200 名学生选择的太空实验是样本
C．200 是样本容量
D．每一名学生选择的太空实验是个体
8．（3 分）如图，∠DCE 的顶点 C 在量角器外圈的 160°刻度处时，点 D，E 所在位置对应
的刻度分别为外圈 90°和 30°，则∠DCE 的度数是（）
A．30°
试卷第 3页，总 7 页
18．（8 分）某中学为落实“山西新中考”中关于球类项目的测评方案，欲购进一批足球和排球，补充体育活动器材，其中每个排球的价格比每个足球的价格贵 15 元，用 3000 元购买足球的数量与用 3600 元购买排球的数量相同．（1）分别求出足球和排球的单价．（2）若学校计划用不超过 8000 元的经费购进足球、排球共 100 个，那么最多可以购进排球多少个？
B．40°
C．45°

2024年安徽省百校联赢中考一模数学试题(解析版)

百校联䇔・2024安徽名校大联考一数学（试题卷）注意事项：1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。

3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1. 下列四个数2−，0，1，5−中，最小的数是（）A. 2−B. 0C. 1D. 5−【答案】D【解析】【分析】此题考查了有理数的大小比较，用到的知识点是负数0<<正数，两个负数，绝对值大的反而小，是一道基础题．根据有理数的大小比较方法，找出最小的数即可．【详解】解：5201−<−<< ， ∴最小的数是5−故选：D2. 如图，一个30°角的三角板的直角顶点在直线a 上，其斜边与直线a 平行，则1∠的度数为（）A. 30°B. 40°C. 60°D. 70°【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义的应用，正确合理的使用平行线的性质是解决本题的关键．先由平行线的性质：两直线平行，内错角相等得230B ∠=∠=°，再由90ACB ∠=°以及平角的意义可求1∠的度数．【详解】解：由题意得，90ACB ∠=°， ∵AB a ∥，∴230B ∠=∠=°，∵12180ACB ∠+∠+∠=°，∴1180309060∠=°−°−°=°．故选：C ．3. 据安徽省统计局公布的数据，2023年我省夏粮总产量约1740万吨，其中1740万用科学记数法表示为（）A. 31.7410×B. 71.7410×C. 81.7410×D. 517410×【答案】B【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a 的形式，以及指数n 的确定方法．【详解】解：1740万用科学记数法表示为71.7410×．故选：B ．4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）主视图左视图俯视图A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三视图的判断，根据图形特点，正确的画出三视图是关键．首先画出各个图形的俯视图，找出正确的答案；或者用排除法．【详解】解：A 的俯视图，C 的俯视图，D 的俯视图，都与题目给出的三视图矛盾．B 的三视图为,故图中三视图对应的几何体不是选项A 、C 、D 中图形，选项B 的三视图与题目的三视图相一致．故选B ．5. 小李从安徽通过快递公司给在广东的亲人邮寄本地土特产，寄快递时，快递公司规定：不超过1千克，收费12元，超过1千克时，超出部分按每千克4元加收费用.若小李给亲人邮寄了(1)x x >千克本地土特产，则快寄的费用y （元）与x （千克）之间的函数关系式为（）A. 12y x =B. 88y x =+C. 48y x =+D. 412y x =+ 【答案】C【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．根据单价、数量和总价的关系，即可以写出y 与x 之间的函数关系式．【详解】解： ()124148y x x =+−=+， ∴y 与x 之间的函数关系式为：48y x =+．故选：C ．6. 一组数据：1，4，7，7，x ，4的平均数是5，则下列说法中正确的是（）A. 这组数据的极差是3B. 这组数据的中位数是7C. 这组数据的众数是4D. 这组数据的方差是5【答案】D【解析】【分析】本题考查极差，众数，平均数，中位数、方差的定义，属于基础题．分别求出这组数据的极差，众数，中位数，方差，即可判断每个选项．【详解】解：∵一组数据：1，4，7，7，x ，4的平均数是5， ∴1477456x +++++= ∴7x =极差是716−=，故A 是错误的；则一组数据：1，4，4，7，7，7，则这组数据的中位数是47 5.52+=，故B 是错误的； ∴这组数据的众数是7，故C 是错误的；方差()()()()()()22222215454547474756−+−+−+−+−+−=故D 是正确的故选：D ．7. 某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购A ，B 两种图书，已知采购2本A 种图书和3本B 种图书共需110元，采购1本A 种图书和5本B 种图书共需160元，则A ，B 两种图书的单价分别为（）A. 10元、30元B. 3010元C. 25元、20元D. 60元、20元【答案】A【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设A ，B 两种图书的单价分别为a 元，b 元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解．【详解】解：设A ，B 两种图书的单价分别为a 元，b 元，根据题意得， 231105160a b a b += +=解得：1030a b = =即A ，B 两种图书的单价分别为10元、30元，故选：A ．8. 如图，在ABC 中，90C ∠=°，10AB =，6AC =，点D 在边AB 上，点E 在边BC 上，若:2:3AD BD =，且DE 平分ABC 的周长，则DE 的长是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决问题的关键．过点D 作DM BC ⊥于点M ，先证BDM BAC ∽，求得 3.6DM =，4.8BM =，从而求得6 4.8 1.2EM =−=，再利用勾股定理即可得解．【详解】解：过点D 作DM BC ⊥于点M ，∵90C ∠=°，10AB =，6AC =，∴8BC ==，∵DE 平分ABC 的周长， ∴1068122BD BE +++==， ∵:2:3AD BD =，10AB =， ∴35BD AB =6BD =，， ∴1266BE =−=，∵DM BC ⊥，90C ∠=°，∴90BMD C ∠∠==°，∴DM AC ∥，∴BDM BAC ∽， ∴DMBD BM AC AB BC ==即66810DM BM ==， ∴ 3.6DM =， 4.8BM =，∴6 4.8 1.2EM =−=，∴DE =，故选：C ．9. 如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，180ACD BCD ∠+∠=°，连接OD ，过点D 作DE AC ⊥，垂足为点E ，过点D 作O 的切线交BC 的延长线于点F ，则下列结论中不正确的是（）A. AD DB= B. CDF BAC ∠=∠ C. DF BF ⊥D. 若O 的半径为5，4CD =，则85CF =【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理及圆内接四边形的性质即可判断A 选项，根据直径所对的圆周角是直角和切线性质，证明CDE CDF ≌△△，即可判断C 选项，结合已知条件证明DEC ADC ∽△△即可判断D 选项，无条件证明B 选项正确．【详解】 180ACD BCD ∠+∠=°，180ACD ACB DCF ∠+∠+∠=°， BCD ACB DCF ∴∠=∠+∠，BCD ACB ACD ∠=∠+∠ ，ACD DCF ∴∠=∠，四边形ABCD 内接于O ，DCF DAB =∴∠∠，ACD DAB ∴∠=∠，∴ AD DB=故A 选项正确； DE AC ⊥，90DEC DEA ∴∠=∠=°，90CDE DCE ∴∠+∠=°，AC 为O 的直径，∴90ADE CDE ADC ∠+∠=∠=°，∴DAC CDE ∠=∠，FD 是O 的切线，90FDC ODC ODF ∴∠+=∠=°，OA OD OC == ，DAC ADO ∴∠=∠，ODC OCD ∠=∠，FDC EDC ∴∠=∠CDE 和CDF 中FDC EDCDCF ACD CD CD∠=∠ ∠=∠ = ，∴CDE CDF ≌△△90DEC DFC ∠=∠=°DF BF ∴⊥，故C 选项正确；O 的半径为5，4CD =，10AC ∴=，90ADC DEC ∠=∠=° ，C C ∠=∠，DEC ADC ∽△△DCACEC DC ∴=2DC EC AC =⋅，2410EC =×，85EC =，DCE DCF △≌85CF EC ∴==，∴所以，D 选项正确，CDF CDE ∠=∠，DAC CDE ∠=∠，在CDF DAC ∴∠=∠，无已知条件证明BC DC =，CDF DAC ∴∠=∠但不一定等于BAC ∠，故选项B 不成立，该选项符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，切线的性质，相似三角形的性质和判定等知识，熟练运用性质进行推理是解答本题的关键．10. 如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=°，CD AD ⊥，90,BCD ∠=°4AB BC ==，动点P ，Q 同时从A 点出发，点Q 以每秒2个单位长度沿折线A B C −−向终点C 运动；点P 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x 秒，APQ △的面积为y 个平方单位，则y 随x 变化的函数图象大致为（）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】分当02x ≤<时，点Q 在AB 上和当24x ≤≤时，点Q 在BC 上，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过Q 作QN AD ⊥于N ，当02x ≤<时，点Q 在AB 上，∵60A ∠=°，∴906030,AQN ∠=°−°=° ∴AN =11222AQ x x =×=，∴QN，∴21122y AP NQ x x =××=×=，当24x ≤≤时，点Q 在BC 上，过点B 作BM AD ⊥于点M ，∵BM AD ⊥，60,A∠=° ∴30,ABM∠=° ∴AM =114222AB =×=，∴BM ==，∵CD AD ⊥，QN AD ⊥，∴QN CD ∥,∴90,BQNBCD ∠∠==° ∵,BM AD ⊥CD AD ⊥，∴四边形BMNQ 是矩形，∴QNBM ==, 1122y AP QN x =⋅=×，综上所述，当02x ≤<时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当24x ≤≤时，函数图象是直线的一部分，故选：D ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分；满分20.分）11. 函数中，自变量x 的取值范围是__________________．【答案】x≤13. 【解析】【详解】试题解析：根据题意得：1-3x≥0解得：x≤13. 考点：自变量的取值范围.12. 若=1x −是关于x 的方程220ax bx ++=的一个解，则代数式202022a b −+的值为________.【答案】2024【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，熟知方程解的概念、灵活应用整体思想是解题的关键．把=1x −代入方程220ax bx ++=并整理可得2a b −=−，然后整体代入所求式子解答即可．【详解】解：∵=1x −是关于x 的方程220ax bx ++=的一个解，∴20a b −+=，即2a b −=−，∴()()420202220222020220022a ba b −+−−−=−×=；故答案为：2024．13. 如图，点18~P P 是O 的八等分点．若O 的半径为6，则五边形13467PP P P P 的面积为________．【答案】54+##54【解析】【分析】连接1346773,,,,,OP OP OP OP OP P P ，过6P 作673P M P P ⊥于点M ，分别求出64P OP S 、17POP S 、13POP S 、67P OP S 及34P OP S 即可得解．【详解】解：如图，连接1346773,,,,,OP OP OP OP OP P P ，过6P 作673P M P P ⊥于点M ，∵点18~P P 是O 的八等分点， ∴36736049082P P P °∠=×=°，6745P OP ∠=°，643602908P OP °∠=×=°， ∴37P P 是O 的直径，372612P P =×=，646411661822P OP S P O OP =××=××= ，同理可得∶ 171318POP POP S S == ， ∵6745P OP ∠=°，673P M P P ⊥，∴666sin P M P OM OP ∠=即sin 45°，∴6P M =∴676711622P OP S P M OP =××=×= ，同理：34P OP S = ，∴边形13467PP P P P 的面积为641713673418181854P OP POP POP P OP P OP S S S S S ++++=++++=+故答案为：54+．【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，解直角三角形以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系是解题的关键． 14. 如图，正方形ABCD 约边长为4，点E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AF DE ⊥，将ABF △沿AF 翻折，得到AMF ，连接CM .（1）线段AF 与DE 的长度关系是________；（2）当点E 运动到AB 的中点时，CM 的长为________.【答案】 ①. AF DE = ②.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AED BFA ∠=∠，从而证明ABF AED △≌△，即可求解；（2）根据折叠的性质得出tan tan AFB FCN ∠=∠2=，进而得出2FC=，即可求解．【详解】四边形ABCD 是正方形， 90DAE ABF ∴∠=∠=°，DA AB =，AF DE ⊥ ，90BAF AED ∴∠+∠=°，90BAF AFB ∠+∠=° ，AED BFA ∴∠=∠，()AAS ABF DAE ∴ ≌，DE AF ∴=，故答案为：AF DE =．（2）当点E 运动到AB 的中点时，如图，过点F 作FN CM ⊥于点N ，正方形ABCD 边长为4，则∵ABF AED △≌△∴2AE BF FC ===，∵折叠，∴2FM BF ==，AFB AFM ∠=∠ ∵BF FM FC ==∵FN CM ⊥∴MN NC =，MFN CFN ∠=∠又∵AFB AFM ∠=∠ ∴()1902BFM CFM AFM MFN AFN ∠+∠=∠+∠=∠=°， ∴90AFB NFC FCN ∠=°−∠=∠∴tan tan AFB FCN ∠=∠， ∴2ABFN BF NC== 设NC a =，则2FN a =∴2FC=∴a =∴2MC NC ==【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，正切的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 先化简，再求值：25232111a a a a a − +÷ −−+ ，其中1a =+.【答案】11a − 【解析】【分析】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，首先化简分式，然后把a 代入化简后的算式，求出算式的值即可．【详解】解：25232111a a a a a − +÷ −−+()()()52111132a a a a a a −++×+−− ()()52211132a a a a a a −−+×+−− 11a =−；当1a =+时，原式． 16. 元朝1299年朱世杰所著的《算学启蒙》中有一道题，原文是：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？【答案】快马20天可以追上慢马【解析】【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据快马和慢马走的路程相同，列出方程．【详解】解：设快马x 天可以追上慢马，则：150(12)240x x +=，901800x =，解：20x ，答：快马20天可以追上慢马．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）.17. 甲、乙两船同时从A 码头开出，45分钟后，甲船到达B 码头，乙船到达C 码头；已知甲船航行的速度是12海里/时．乙船航行的速度是16海里/时，甲船航行的方向是北偏东40°，乙船航行的方向是南偏东50°，求甲、乙两船之间的距离BC ．【答案】甲、乙两船之间的距离BC 为15海里．【解析】【分析】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理．首先计算出甲乙两船的路程，再根据甲船航行的方向是北偏东40°，乙船航行的方向是南偏东50°证明90BAC ∠=°，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：由题意得：甲船45分钟的路程=4512960×=海里，乙船45分钟的路程=45161260×=海里，即：9AB =，12AC =，∵甲船航行的方向是北偏东40°，乙船航行的方向是南偏东50°，∴90BAC ∠=°，∴222912BC +=，∴15BC =，∴甲、乙两船之间的距离BC 为15海里．18. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点ABC （顶点为网格线的交点）.（1）画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）将111A B C △绕点1C 逆时针旋转90°得到122C A B ，画出122C A B ；【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查画轴对称图形与旋转图形；（1）根据轴对称的性质找出,,A B C 关于y 轴的对称点，然后画出111A B C △；（2）根据旋转性质找出,A B 的对应点，然后画出122C A B ，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，111A B C △即为所求；的【小问2详解】解：如图所示，122C A B 即为所求五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 观察下列等式：第1个等式：555122=−×，第2个等式：5552323=−×，第3个等式：5553434=−×，第4个等式：551454=−×；…… 根据发现的规律，解答下列各题；【填空】直接写出第5个等式：________；【猜想】请写出第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明；【应用】计算：555512233420242025++++×××× ．【答案】填空：551566=−×；猜想：()55511n n n n =−×++，证明见解析；应用：4044405．【解析】【分析】填空：根据规律计算即可求解；猜想：根据规律即可求解；应用：利用规律拆项，再合并即可求解；本题考查了数字类规律题，有理数的混合运算，掌握拆项法是解题的关键．【详解】解：填空：∵第1个等式：5555512212=−=−×，第2个等式：5552323=−×，第3个等式：5553434=−×，第4个等式：5555145445=−=−×； ∴第5个等式：5555156566=−=−×，故答案为：551566=−×；猜想： ()55511n n n n =−×++，证明： ∵()()()()55555555511111n n n n n n n n n n n n n n ++−−=−==+×+×+×+×+， ∴()55511n n n n =−×++；应用：根据题意，得555512233420242025++++×××× 555555552233420242025=−+−+−++− ， 552025=− ， 4044405=． 20. 随着新课程标准的颁布，为落实立德树人根本任务，我省各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A ．“青少年科技馆”，B ．“渡江战役纪念馆”，C ．“徽文化园”，D ．“长江白紧豚保护研究所”四个研学基地进行研学．为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：（1）在本次调查中，一共抽取了________名学生，并将条形统计图补充完整；（2）学校想从选择研学基地D 的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D 的学生中恰有两名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选两人中恰有一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）20，图见解析（2）23【解析】【分析】本题考查是用树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）由B C 、D 的人数，将条形统计图补充完整即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰有一名男生和一名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】在本次调查中，一共抽取的学生人数为：1260%20÷=（名）， C 的人数为：2010%2×=（名）， D 的人数为：2021224−−−=（名），将条形统计图补充完整如下：的故答案为：20；【小问2详解】∵基地D 有4名学生，恰有两名女生，∴有2名男生，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰有一名男生和一名女生的结果有8种， ∴所选两人中恰有一名男生和一名女生的概率为82123=．六、（本题满分12分）21. 如图，在平面直角坐标系xOy 1y k x b =+（1k ，b 为常数，且10k ≠）与反比例函数2k y x=（2k 为常数，且20k ≠）的图象交于点(,6)A m ，(4,3)B −．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当210k k x b x>+>时，直接写出自变量x 的取值范围；（3）已知一次函数1y k x b =+的图象与x 轴交于点C ，点P 在x 轴上，若PAC △的面积为9；求点P 的坐标．【答案】（1）反比例函数表达式为12y x =−，一次函数的表达式为：332y x =−+ （2）20x −<<（3）()5,0P 或()1,0P −【解析】分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数与几何图形；（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）根据函数图象，写出反比例函数图象在一次函数上方时且在x 轴上方时，自变量的取值范围，即可求解；（3）先求得点C 的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【小问1详解】解：将(4,3)B −代入2k y x =，解得：212k =−， ∴反比例函数表达式为12y x =−将(,6)A m 代入12y x=−，解得：2m =−， ∴(2,6)A −，将(2,6)A −，(4,3)B −代入1y k x b =+，得112643k b k b −+= +=− ，解得：1323k b =− = ， ∴一次函数的表达式为：332y x =−+；【小问2详解】∵(2,6)A −，(4,3)B − 【根据函数图象可得：当210k k x b x>+>时，20x −<<；【小问3详解】 ∵332y x =−+，令0y =，解得：2x =， ∴()2,0C ，设(),0P p ，则2PC p =−，∵PAC △的面积为9， ∴12692p ×−×=，解得：5p =或1−，∴()5,0P 或()1,0P −．七、（本题满分12分）22. 如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 的中点，以点D 为圆心，DB 的长为半径作弧交AB 于点E ，连接DE ，作BDE ∠的平分线交AB 于点G ，延长DG 到F ，使FG DG =．（1）求证：3CAF FAB ∠=∠；（2）连接EF ，BF ．①如图2，判断四边形BDEF 的形状，并证明；②如图3，若ABC 为等边三角形，其他条件不变，已知等边ABC 的边长为4，求AFD △的面积．【答案】（1）见解析（2）①四边形BDEF 是菱形，证明见解析；②【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出CAD BAD ∠=∠，进而根据作图可得DB DE =，DG 是BDE ∠的角平分线，DG DF =，证明()SAS AGF AGD ≌，得出DAG FAG ∠=∠，即可得证；（2）①根据（1）可得AG 垂直平分DF ，进而证明EF BD ∥，EF BD =可得四边形BDEF 平行四是边形，根据EF ED =，即可得出结论；②先证明AFD △是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得AG ，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【小问1详解】证明：∵在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 的中点，∴CAD BAD ∠=∠ 根据作图可得DB DE =，DG 是BDE ∠的角平分线，DG DF =，∴DG BE ⊥，∴90AGD AGF ∠=∠=°，又∵AG AG =，∴()SAS AGF AGD ≌，∴DAG FAG ∠=∠，∴DAG BAD CAD ∠=∠=∠，∴3CAF FAB ∠=∠；【小问2详解】①四边形BDEF 是菱形，证明：如图2，∵DG BE ⊥，DG GF =，则AG 垂直平分DF ，∴EF ED =，∴∠=∠EFD EDF ，∵DG 是BDE ∠的角平分线，∴EDF BDF ∠=∠，∴EFD BDF ∠=∠，∴EF BD ∥，又∵ED BD =，∴EF BD =，∴四边形BDEF 是平行四边形，又∵EF ED =，∴四边形BDEF 是菱形；②如图3，ABC 为等边三角形，等边ABC 的边长为4， ∴1302DAC BAC ∠=∠=°，∵3390CAF FAB DAC ∠=∠=∠=°，∴60FAD FAC DAC ∠=∠−∠=°，又∵AF AD =，∴AFD △是等边三角形，∵4AC =，1302DAC BAC ∠=∠=°， ∴2DC =，∴AD =∵AG DF ⊥，∴30GAD ∠=°，∴12GD AD ==∴3AG ，∴AFD △的面积11322FD AG ××=×=．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，是解题的关键．八、（本题满分14分）23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数2(0)y ax bx a =+≠的图象经过点(2,4)A ，与x 轴交于点()6,0B ，一次函数()0y kx n k =+≠的图象经过A ，B 两点.（1）求二次函数和一次函数的函数表达式；（2）若点P 是二次函数图象的对称轴上的点，且PA PB =，如图2，求点P 的坐标；（3）点M 是二次函数的图像位于第一象限部分上的一动点，过点M 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，若点M 的模坐标为m .试探免：是否存在常数m ，使得MN 的长为4？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2132y x x =−+，6y x =−+（2）()3,1P（3）4−【解析】【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入抛物线和直线表达式，即可求解；（2）先求出二次函数的对称轴，设()3,P t ，再用两点间距离公式列方程即可求解；（3）先得点M 坐标为21(,3)2m m m −+，()06m <<，再根据MN 的长为4列出方程()213642m m m −+−−+=求解即可．【小问1详解】把点(2,4)A ，(6,0)B 代入抛物线2(0)y ax bx a =+≠得：4243660a b a b += += ，解得：123a b =− =，故二次函数的表达式为：2132y x x =−+，把(2,4)A ，(6,0)B 代入一次函数表达式()0y kx n k =+≠得： 2460k n k n += +=，解得：16k n =− = ，故一次函数的表达式为：6y x =−+；【小问2详解】二次函数的2132y x x =−+的对称轴为直线33122x =−= ×−，由点P 是二次函数图象的对称轴上的点，可设()3,P t ，PA PB = ，22PA PB ∴=，()()()222232436t t ∴−+−=−+，解得：1t =，()3,1P ∴；【小问3详解】第一象限点M 的模坐标为m .∴点M 坐标为21(,3)2m m m −+，()06m << ∴点N 坐标为(,6)m m −+，MN 的长为4，()213642m m m ∴−+−−+= 214642m m ∴−+−=或214642m m −+−=−∴34m =−，44m =+（舍去），∴m 的值为4−，【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，两点间距离公式是解题的关键．。

2020年山西省百校大联考中考数学模拟试卷(四) 解析版

2020年山西省百校大联考中考数学模拟试卷（四）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）计算（﹣1）×（﹣2）的结果是（）A．﹣2B．2C．1D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．（﹣3a3）2＝9a9B．（4a4b2﹣6a3b+2ab）÷2ab＝2a3b﹣3a2C．（2x3y2）2×（﹣3x）＝﹣12x6y4D．（﹣3a3b2）3×（﹣b）＝9a9b73．（3分）在《九章算术注》中首创的“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元：首先确定圆内接正多边形的面积小于圆的面积，将正多边形的边数屡次加倍，边数越多则正多边形的面积越接近圆的面积．这位数学家是（）A．杨辉B．秦九韶C．刘徽D．祖暅4．（3分）央行3月11日公布的2月金融数据和社融数据显示，当月新增人民币贷款9057亿元，社融增量为8554亿元．把数据9057亿元用科学记数法表示为（）A．9.057×1011元B．90.57×1011元C．0.9057×1012元D．9.057×109元5．（3分）若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形6．（3分）下列分式运算正确的是（）A．＝B．C．D．7．（3分）方程组的解是（）A．B．C．D．8．（3分）小明用若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的三视图如图所示，由此可知，搭成这个几何体的小正方体最多有（）A．13个B．12个C．11个D．10个9．（3分）如图，把一个含45°角的直角三角板OAB的斜边OA放在x轴的正半轴上，点O与坐标原点重合，OA＝6，把三角板OAB绕坐标原点O按顺时针方向旋转75°，使点B的对应点B'恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，由此可知，k的值为（）A．﹣9B．﹣3C．﹣D．﹣10．（3分）如图，扇形OAB的半径为4，折叠扇形OAB使点O落在上的点O'处，展开后延长折痕交OB的延长线于点C，且BC＝OB，过点C作扇形OAB的切线，切点为D，连接AO'，则图中阴影部分的面积是（）A．4B．4﹣πC．π+3D．6﹣π二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）计算：（2﹣3）（2+3）的结果是．12．（3分）在一个不透明的袋子里装有2个红球、1个白球和1个绿球，这些球除颜色外，其余完全相同，把球摇匀后，从中随机一次摸出两个球，则摸出的两球颜色不同的概率为．13．（3分）如图是两个一次函数y1＝mx+n和y2＝kx+b在同一平面直角坐标系中的图象，则关于x的不等式kx+b＞mx+n的解集是．14．（3分）某眼镜公司积极响应国家号召，在技术顾问和市场监管局的帮助下，开始生产医用护目镜．第一周生产a个，工人在技术员的指导下，技术越来越熟练，第二周比第一周增长10%，第三周比前两周生产的总数少20%．用含a的代数式表示该公司这三周共生产医用护目镜个．15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝15，AD平分∠BAC，交BC 于点D．以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别与边CA和CB相交，然后再分别以这两个交点为圆心，大于交点间距离的一半为半径作弧，两弧交于点F，连接CF并延长交AD于点O，过点O作AC的平行线交BC于点E，则OE的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣）﹣2+|3﹣|﹣4cos30°﹣（π﹣3.14）0；（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．17．（7分）如图，在线段AD上有两点E，F，且AE＝DF，过点E，F分别作AD的垂线BE和CF，连接AB，CD，BF，CE，且AB∥CD．求证：四边形BECF是平行四边形．18．（9分）“同享一片蓝天，共建美好家园”，每年的3月12日是我国的义务植树节，受疫情的影响，今年不能去植树，某校政教处鼓励学生们“网上植树”（活动时间为3月12日～3月15日）．学校调查发现，有90%的学生参与了此次活动．从参与活动的学生中随机调查30名，所植的棵数情况如下：（单位：棵）1 12 4 23 2 3 34 3 3 4 3 35 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6对以上数据进行整理、描述和分析，并绘制出如下条形统计图（不完整）．（1）请补全条形统计图；（2）这30名学生网上植树数量的中位数是棵，众数是棵；（3）统计显示，这30名学生中有18名是在3月12日当天参与了“网上植树”，若该校有3000名学生，由此估计该校有多少名学生在3月12日当天参与了“网上植树”？活动期间全校学生“网上植树”共多少棵？19．（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务．小明想在平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形ABCDEF，他采用了如下的操作步骤：①点A与坐标原点重合，点B在x轴的正半轴上且坐标为（2，0）；②分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点M；③以点M为圆心，MA长为半径作圆；④以AB的长为半径，在⊙M上顺次截取＝＝＝＝；⑤顺次连接BC，CD，DE，EF，F A，得到正六边形ABCDEF．任务一：（1）请依据上述作法证明六边形ABCDEF是正六边形；任务二：（2）请你把小明作出的正六边形ABCDEF沿x轴的正半轴无滑动地转动，当相邻的顶点落在x轴上时，记为转动1次，直接写出转动10次时，点B所在位置的坐标．20．（7分）迎宾桥是太原市第十座横跨汾河的大桥，这座大桥整体桥型以“龙腾云霄”为设计主题，诠释龙城太原几千年的历史文化，彰显太原近年来经济腾飞的时代特点．某数学兴趣小组的同学利用双休日测量迎宾桥桥塔高出桥面的高度．如图2，在桥面上选取两点A和B，已知点A，B及桥塔CD（垂直于桥面）在同一平面内，且AB＝16.98m，在点A和点B处测得桥塔最高点C的仰角分别为45°和50°．根据测量小组提供的数据，求CD的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）21．（10分）今年春节期间，我国人民万众一心，共同抗击疫情．某蔬菜基地要把一定量的蔬菜租车送往疫情严重的某地，这些蔬菜中1.4吨已经打包好，其余需要立即打包．工作人员第1小时打包15吨，技术熟练后平均每小时打包速度的增长率相同，第3小时打包21.6吨，恰好3小时完成打包任务．在运送蔬菜时，有两种车型选择，甲种车可装6吨蔬菜，乙种车可装5吨蔬菜．（1）求工作人员平均每小时打包速度的增长率和共运送的蔬菜是多少吨；（2）该基地所租车辆不超过10辆，则至少需要租甲种车多少辆？22．（13分）综合与探究问题情境在综合与实践课上，老师让同学们利用含30°角的直角三角板和一张正方形纸片进行探究活动．如图1，把正方形ABCD的顶点A放在Rt△EFG斜边EG的中点处，正方形的边AB经过直角顶点F，正方形的边AD与直角边FG交于点Q．探究发现（1）创新小组发现线段EF，GQ及FQ之间的数量关系为EF2+GQ2＝FQ2．请加以证明；引申探究（2）如图2，勤奋小组把正方形ABCD绕点A逆时针旋转，边AB与边EF交于点P且不与点E，F重合，把直角三角形的两直角边分成四条线段EP，PF，FQ，GQ，发现这四条线段之间的数量关系是EP2+GQ2＝FQ2+FP2，请加以证明；探究拓广（3）奇艺小组的同学受勤奋小组同学的启发继续把正方形ABCD绕着点A逆时针旋转，边BA和DA的延长线与两直角边仍交于点P，Q两点，按题意完善图3，并直接写出EP，PF，FQ，GQ之间的数量关系．23．（12分）综合与实践如图，抛物线y＝与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为t秒．（1）求点A，B，C的坐标；（2）求t为何值时，△BDE是等腰三角形；（3）在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．2020年山西省百校大联考中考数学模拟试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）计算（﹣1）×（﹣2）的结果是（）A．﹣2B．2C．1D．【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．【解答】解：（﹣1）×（﹣2）＝1×2＝2．故选：B．2．（3分）下列计算正确的是（）A．（﹣3a3）2＝9a9B．（4a4b2﹣6a3b+2ab）÷2ab＝2a3b﹣3a2C．（2x3y2）2×（﹣3x）＝﹣12x6y4D．（﹣3a3b2）3×（﹣b）＝9a9b7【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝9a6，不符合题意；B、原式＝2a3b﹣3a2+1，不符合题意；C、原式＝（4x6y4）×（﹣3x）＝﹣12x7y4，不符合题意；D、原式＝（﹣27a9b6）×（﹣b）＝9a9b7，符合题意．故选：D．3．（3分）在《九章算术注》中首创的“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元：首先确定圆内接正多边形的面积小于圆的面积，将正多边形的边数屡次加倍，边数越多则正多边形的面积越接近圆的面积．这位数学家是（）A．杨辉B．秦九韶C．刘徽D．祖暅【分析】根据公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法．解答即可．【解答】解：公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法．故选：C．4．（3分）央行3月11日公布的2月金融数据和社融数据显示，当月新增人民币贷款9057亿元，社融增量为8554亿元．把数据9057亿元用科学记数法表示为（）A．9.057×1011元B．90.57×1011元C．0.9057×1012元D．9.057×109元【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：9057亿元＝905700000000＝9.057×1011元，故选：A．5．（3分）若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：360÷40＝9，即这个多边形的边数是9，故选：C．6．（3分）下列分式运算正确的是（）A．＝B．C．D．【分析】利用最简分式的定义对A、D进行判断；利用通分可对B进行判断；利用约分可对C进行判断．【解答】解：A、不能化简，所以A选项错误；B、原式＝＝，所以B选项错误；C、原式＝＝，所以C选项正确；D、不能化简，所以D选项错误．故选：C．7．（3分）方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】①×3+②×2，消去未知数y，求出未知数x，再把x的值代入①求出y的值即可．【解答】解：，①×3+②×2，得25x＝50，解得x＝2，把x＝2代入①，得6+2y＝8，解得y＝1，所以方程组的解为．故选：B．8．（3分）小明用若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的三视图如图所示，由此可知，搭成这个几何体的小正方体最多有（）A．13个B．12个C．11个D．10个【分析】在俯视图对应的位置上，标出该位置上最多可摆放小正方体的个数，进而得出答案．【解答】解：在俯视图上标出的各个位置上最多可摆放的小正方体的个数，如图所示因此最多摆放的小正方体的个数为3+2+3+2+2+1＝13个，故选：A．9．（3分）如图，把一个含45°角的直角三角板OAB的斜边OA放在x轴的正半轴上，点O与坐标原点重合，OA＝6，把三角板OAB绕坐标原点O按顺时针方向旋转75°，使点B的对应点B'恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，由此可知，k的值为（）A．﹣9B．﹣3C．﹣D．﹣【分析】在Rt△AOB中，斜边OA＝6，可求出直角边OB，由旋转可得OB′的长，由旋转角为75°，可求出∠AOB′＝30°，在Rt△B′OC中，通过解直角三角形可求出点B′的坐标，进而得出k的值．【解答】解：过点B′作B′C⊥OA，垂足为C，在Rt△AOB中，OA＝6，∴OB＝AB＝OA＝3＝OB′，∵∠AOA′＝75°，∠A′OB′＝45°，∴∠B′OC＝75°﹣45°＝30°，在Rt△B′OC中，∴B′C＝OB′＝，OC＝OB′＝，∴点B′（，﹣），∴k＝﹣×＝﹣，故选：D．10．（3分）如图，扇形OAB的半径为4，折叠扇形OAB使点O落在上的点O'处，展开后延长折痕交OB的延长线于点C，且BC＝OB，过点C作扇形OAB的切线，切点为D，连接AO'，则图中阴影部分的面积是（）A．4B．4﹣πC．π+3D．6﹣π【分析】连接OO′，OD，根据折叠的性质得到OA＝AO，推出△AOO′是等边三角形，得到∠AOO′＝60°，根据切线的性质得到∠ODC＝90°，求得∠DOB＝60°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OO′，OD，∵折叠扇形OAB使点O落在上的点O'处，∴OA＝AO，∵AO＝OO′，∴△AOO′是等边三角形，∴∠AOO′＝60°，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∵BC＝OB＝OD，∴OD＝OC，∴∠OCD＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝OA＝4，∴DC＝4，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOO′﹣S△AOO′+S△OCD﹣S扇形BOD＝﹣+﹣＝4，故选：A．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）计算：（2﹣3）（2+3）的结果是11．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝20﹣9＝11，故答案为：11．12．（3分）在一个不透明的袋子里装有2个红球、1个白球和1个绿球，这些球除颜色外，其余完全相同，把球摇匀后，从中随机一次摸出两个球，则摸出的两球颜色不同的概率为．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，找出摸出的两球颜色不同的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中摸出的两球颜色不同的结果数为10，所以摸出的两球颜色不同的概率＝＝．故答案为．13．（3分）如图是两个一次函数y1＝mx+n和y2＝kx+b在同一平面直角坐标系中的图象，则关于x的不等式kx+b＞mx+n的解集是x＜1．【分析】直接利用函数图象，结合kx+b≥mx+n，得出x的取值范围．【解答】解：如图所示：不等式kx+b＞mx+n的解集为：x＜1．故答案为：x＜1．14．（3分）某眼镜公司积极响应国家号召，在技术顾问和市场监管局的帮助下，开始生产医用护目镜．第一周生产a个，工人在技术员的指导下，技术越来越熟练，第二周比第一周增长10%，第三周比前两周生产的总数少20%．用含a的代数式表示该公司这三周共生产医用护目镜 3.78a个．【分析】根据题意列代数式，并进行化简即可．【解答】解：根据题意可得列式为：a+（1+10%）a+（1﹣20%）[a+（1+10%）a]＝a+1.1a+0.8a+0.8×1.1a＝2.9a+0.88a＝3.78a．故答案为：3.78a．15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝15，AD平分∠BAC，交BC 于点D．以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别与边CA和CB相交，然后再分别以这两个交点为圆心，大于交点间距离的一半为半径作弧，两弧交于点F，连接CF并延长交AD于点O，过点O作AC的平行线交BC于点E，则OE的长为．【分析】过点D作DJ⊥AB于J，DK⊥AC于K．解直角三角形求出BC，CD，再证明OE＝EC，求出EC即可解决问题．【解答】解：过点D作DJ⊥AB于J，DK⊥AC于K．在Rt△ACB中，∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝15，∴BC＝＝＝17，∵AD平分∠BAC，DJ⊥AB，DK⊥AC，∴DJ＝DK，∴＝＝＝＝，∴CD＝×17＝，∵OC平分∠ACD，∴＝＝＝，∵OE∥AC，∴∠EOC＝∠AOC＝∠ECO，∴OE＝EC，∵OD：OA＝DE：EO＝17：23，∴EC＝×＝．故答案为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣）﹣2+|3﹣|﹣4cos30°﹣（π﹣3.14）0；（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】（1）根据负整数指数幂和零指数幂的规定、绝对值的性质及特殊锐角的三角函数值计算可得；（2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，【解答】解：（1）原式＝9+（﹣3+2）﹣4×﹣1＝9﹣3+2﹣1＝5．（2），解不等式①得：x≤4，解不等式②得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤4．将不等式的解集表示在数轴上如下：17．（7分）如图，在线段AD上有两点E，F，且AE＝DF，过点E，F分别作AD的垂线BE和CF，连接AB，CD，BF，CE，且AB∥CD．求证：四边形BECF是平行四边形．【分析】先证明BE∥CF，证明△AEB≌△DFC，可得BE＝CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论．【解答】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠BEF＝∠CFE＝∠CFD＝90°，∴BE∥CF，∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，在△AEB和△DFC中，，∴△AEB≌△DFC（ASA），∴BE＝CF，∵BE∥CF，∴四边形BECF是平行四边形．18．（9分）“同享一片蓝天，共建美好家园”，每年的3月12日是我国的义务植树节，受疫情的影响，今年不能去植树，某校政教处鼓励学生们“网上植树”（活动时间为3月12日～3月15日）．学校调查发现，有90%的学生参与了此次活动．从参与活动的学生中随机调查30名，所植的棵数情况如下：（单位：棵）1 12 4 23 2 3 34 3 3 4 3 35 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6对以上数据进行整理、描述和分析，并绘制出如下条形统计图（不完整）．（1）请补全条形统计图；（2）这30名学生网上植树数量的中位数是3棵，众数是3棵；（3）统计显示，这30名学生中有18名是在3月12日当天参与了“网上植树”，若该校有3000名学生，由此估计该校有多少名学生在3月12日当天参与了“网上植树”？活动期间全校学生“网上植树”共多少棵？【分析】（1）统计出植树三棵和植树四棵的人数，即可补全条形统计图；（2）根据中位数、众数的意义，即可求出答案；（3）样本估计总体，利用样本中“3月12日当天参与了网上植树”的比例估计总体的比例，通过计算可得出答案．【解答】解：（1）统计得出有11人植树三棵，有9人植树四棵，补全条形统计图如图所示：（2）将这30名学生的植树的棵数从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是13棵，因此中位数是13，植树棵数出现次数最多的3棵，共用11人，因此植树的众数是3棵，故答案为诶；3，3；（3）3000×90%×＝1620（名），3000×90%×＝9270（棵），答：估计该校有1620名学生在3月12日当天参与了“网上植树”，活动期间全校学生“网上植树”共9270棵．19．（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务．小明想在平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形ABCDEF，他采用了如下的操作步骤：①点A与坐标原点重合，点B在x轴的正半轴上且坐标为（2，0）；②分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点M；③以点M为圆心，MA长为半径作圆；④以AB的长为半径，在⊙M上顺次截取＝＝＝＝；⑤顺次连接BC，CD，DE，EF，F A，得到正六边形ABCDEF．任务一：（1）请依据上述作法证明六边形ABCDEF是正六边形；任务二：（2）请你把小明作出的正六边形ABCDEF沿x轴的正半轴无滑动地转动，当相邻的顶点落在x轴上时，记为转动1次，直接写出转动10次时，点B所在位置的坐标．【分析】（1）如图，连接AM，BM，CM，DM，EM，FM．证明AB＝BC＝CD＝DEF＝OF，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFO＝∠FOB＝120°即可．（2）转动10次时，点F在x轴上，点B在点F的正上方，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，连接AM，BM，CM，DM，EM，FM．∵＝＝＝＝，∴BC＝CD＝DE＝EF＝AB，∵OM＝BM＝AB，∴△ABM是等边三角形，∴∠AMB＝60°，∴∠BMC＝∠CMD＝∠∠EMF＝∠AMB＝60°，∴∠AMF＝360°﹣5×60°＝60°，∴＝，∴BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝AB，∴MB＝MC＝CB，∴△MBC是等边三角形，∴∠ABM＝∠MBC＝60°，∴∠ABC＝120°，同理可证∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EF A＝∠F AB＝120°，∴六边形ABCDEF是正六边形．（2）解：转动10次时，点F在x轴上，点B在点F的正上方，B（22，2）．故答案为（22，2）．20．（7分）迎宾桥是太原市第十座横跨汾河的大桥，这座大桥整体桥型以“龙腾云霄”为设计主题，诠释龙城太原几千年的历史文化，彰显太原近年来经济腾飞的时代特点．某数学兴趣小组的同学利用双休日测量迎宾桥桥塔高出桥面的高度．如图2，在桥面上选取两点A和B，已知点A，B及桥塔CD（垂直于桥面）在同一平面内，且AB＝16.98m，在点A和点B处测得桥塔最高点C的仰角分别为45°和50°．根据测量小组提供的数据，求CD的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）【分析】设CD＝xm，根据等腰直角三角形的性质得到AD＝CD＝x，根据正切的定义用x表示出BD，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设CD＝xm，在Rt△ADC中，∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝x，在Rt△CBD中，tan∠CBD＝，∴BD＝≈＝x，∵AD﹣BD＝AB，∴x﹣x＝16.98，解得，x＝101.88≈102（m），答：CD的高度约为102m．21．（10分）今年春节期间，我国人民万众一心，共同抗击疫情．某蔬菜基地要把一定量的蔬菜租车送往疫情严重的某地，这些蔬菜中1.4吨已经打包好，其余需要立即打包．工作人员第1小时打包15吨，技术熟练后平均每小时打包速度的增长率相同，第3小时打包21.6吨，恰好3小时完成打包任务．在运送蔬菜时，有两种车型选择，甲种车可装6吨蔬菜，乙种车可装5吨蔬菜．（1）求工作人员平均每小时打包速度的增长率和共运送的蔬菜是多少吨；（2）该基地所租车辆不超过10辆，则至少需要租甲种车多少辆？【分析】（1）设工作人员平均每小时打包速度的增长率是x，根据“工作人员第1小时打包15吨，技术熟练后平均每小时打包速度的增长率相同，第3小时打包21.6吨”列出方程并解答；求得第2小时打包18吨，然后求三个小时的总的打包数量；（2）设需要租甲种车y辆，根据“该基地所租车辆不超过10辆”列出不等式并解答．【解答】解：（1）设工作人员平均每小时打包速度的增长率是x，根据题意，得15（1+x）2＝21.6．解这个方程，得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．第2小时打包的数量为：15（1+20）＝18（吨）．共运送的蔬菜为：1.4+15+18+21.6＝56（吨）．答：工作人员平均每小时打包速度的增长率是20%，共运送的蔬菜是56吨；（2）设需要租甲种车y辆，依题意得：y+≤10．解得y≥6．所以y的最小值是6．答：至少需要租甲种车6辆．22．（13分）综合与探究问题情境在综合与实践课上，老师让同学们利用含30°角的直角三角板和一张正方形纸片进行探究活动．如图1，把正方形ABCD的顶点A放在Rt△EFG斜边EG的中点处，正方形的边AB经过直角顶点F，正方形的边AD与直角边FG交于点Q．探究发现（1）创新小组发现线段EF，GQ及FQ之间的数量关系为EF2+GQ2＝FQ2．请加以证明；引申探究（2）如图2，勤奋小组把正方形ABCD绕点A逆时针旋转，边AB与边EF交于点P且不与点E，F重合，把直角三角形的两直角边分成四条线段EP，PF，FQ，GQ，发现这四条线段之间的数量关系是EP2+GQ2＝FQ2+FP2，请加以证明；探究拓广（3）奇艺小组的同学受勤奋小组同学的启发继续把正方形ABCD绕着点A逆时针旋转，边BA和DA的延长线与两直角边仍交于点P，Q两点，按题意完善图3，并直接写出EP，PF，FQ，GQ之间的数量关系．【分析】（1）证明△AFE为等边三角形，故EF＝AF，同理可得QA＝QG，在Rt△AQF 中，FQ2＝AF2+AQ2＝EF2+GQ2；（2）证明△GAQ≌△EAH（SAS），可得P A是QH的中垂线，故PH＝PQ，进而求解；（3）完善后的图形如图2，同理可得：EP2+GQ2＝FQ2+FP2．【解答】（1）如题干图1，∵AF是Rt△GFE的中线，故AF＝AE，∵∠E＝90°﹣∠G＝60°，∴△AFE为等边三角形，故EF＝AF，同理可得，△AGF为等腰三角形，故∠QF A＝∠G＝30°，在Rt△QAF中，∠AQF＝90°﹣∠QF A＝60°＝∠G+∠GAQ，∴QA＝QG，在Rt△AQF中，FQ2＝AF2+AQ2＝EF2+GQ2；（2）如图1，延长QA到H使AH＝AQ，连接EH、PQ、PH，∵点A是GE的中点，故AG＝AE，而AH＝AQ，∠GAQ＝∠EAH，∴△GAQ≌△EAH（SAS），∴GQ＝HE，∠AEH＝∠G，而∠G+∠GEF＝90°，∴∠HEP＝∠HEA+∠GEP＝∠EGF+∠GEF＝90°，∵∠DAB＝90°，即AP⊥QH，而AQ＝AH，∴P A是QH的中垂线，∴PH＝PQ，在Rt△PHE中，PH2＝PE2+HE2＝PE2+GQ2，在Rt△PQF中，PQ2＝FQ2+FP2，故PE2+GQ2＝FQ2+FP2；（3）完善后的图形如图2，在AD上取点H，使AH＝AQ，连接HE、PH、PQ，同理可得，∠HEP＝90°，PH＝PQ，则PH2＝PE2+GQ2，PQ2＝FQ2+FP2，故EP2+GQ2＝FQ2+FP2．23．（12分）综合与实践如图，抛物线y＝与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为t秒．（1）求点A，B，C的坐标；（2）求t为何值时，△BDE是等腰三角形；（3）在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令x＝0和y＝0，可得方程，解得可求点A，B，C的坐标；（2）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质和锐角三角函数可求解；（3）分两种情况讨论，利用锐角三角函数和三角形面积公式可求解．【解答】解：（1）令y＝0，可得0＝x2﹣x﹣3，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴点A（﹣1，0），点B（4，0），令x＝0，可得y＝﹣3，∴点C（0，﹣3）；（2）∵点A（﹣1，0），点B（4，0），点C（0，﹣3），∴AB＝5，OB＝4，OC＝3，∴BC＝＝＝5，当BD＝BE时，则5﹣t＝t，∴t＝，当BE＝DE时，如图1，过点E作EH⊥BD于H，∴DH＝BH＝BD＝，∵cos∠DBC＝，∴，∴t＝，当BD＝DE时，如图2，过点D作DF⊥BE于F，∴EF＝BF＝BE＝t，∵cos∠DBC＝，∴，∴t＝，综上所述：t的值为，和；（3）∵S△BOC＝BO×CO＝6，∴S△BOC＝，S△BOC＝，如图1，过点E作EH⊥BD于H，∵sin∠DBC＝，∴，∴HE＝t，当S△BDE＝S△BOC＝时，则（5﹣t）×t＝，∴t1＝1，t2＝4，当S△BDE＝S△BOC＝，时，则（5﹣t）×t＝，∴t2﹣5t+16＝0，∴方程无解，综上所述：t的值为1或4．。

山西中考模拟百校联考(三)数学试卷解析

x 2 3
11. 不等式组 2(x 2) 3x 6 的解集是
.
【考点】解不等式组【难度星级】★ 【答案】 1 x 2 【解析】由①得 x 1 ，由②得 x 2 ，解集为 1 x 2 .
-3-
-3--3-
12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形组成，其中正方形涂有阴影，依
4. 某体校要从四名射击选手中选拔一名选手参加省体育运动会，选拔赛中每名选手连续射靶 10 次，他们各自的平均成绩及其方差如下表所示
甲
乙
丙
丁
-
x
8.6
8.4
8.6
7.6
x （环）
ｓ２
0.56
0.74
0.94
1.92
如果要选出一名成绩高且发挥稳定的选手参赛，则应选择的选手是（）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
“盈不足”.该章第一个问题大意是“有几个人一起去买一件物品，每人出 8 元，多 3 元；每人出 7 元，
少 4 元.问该物品售价为多少元？”，则该物品售价为
元.
【考点】一元一次方程应用题
【难度星级】★
【答案】 53
【解析】设物品售价为 x 元，由题意得 x 3 x 4 ，解得 x 53 . 87
12 .
10. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 O 为其中心，将其绕点 O 顺时针旋转 45°后得到正方形 A＇B＇C＇
D＇，这旋转前后两正方形重叠部分构成的多边形的周长为（）
参考计算： 2
1
2
22
2， 1 2 1
2－1
A. 16-8 2
B. 16 2-16
C. 12-8 2

2024届江苏百校大联考高一数学第二学期期末检测模拟试题含解析

2024届江苏百校大联考高一数学第二学期期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等比数列{}n a 中，39a =-，71a =-，则5a 的值为（） A ．3或-3 B ．3C ．-3D ．不存在2．在中，如果，，，则此三角形有（） A ．无解 B ．一解C ．两解D ．无穷多解 3．若集合，则A ．B ．C ．D ．4．若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 03a b c A +B +=，则角（）A ．90B ．60C ．45D ．305．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥6．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为（）A ．640B ．520C ．280D ．2407．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的，则圆锥的体积（） A ．缩小为原来的 B ．缩小为原来的 C ．扩大为原来的2倍 D ．不变8．式子22cos cos sin sin 3636ππππ-的值为( ) A ．12-B ．0C ．1D ．39．过点P （0，2）作直线x+my ﹣4＝0的垂线，垂足为Q ，则Q 到直线x+2y ﹣14＝0的距离最小值为（） A ．0B ．2C 5D ．510．计算:2sincos12122cos 112πππ=- A ．3B 3 C 23D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

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