第12讲周期信号的的分解与合成

ak
ak
bk
2 T
2 T
2 T
T
2 T
2
A T
t
cos(k0t)
d
t
0
T 2 T
A T
t cos (k 0 t ) d t
2
T 2 T
A T
t sin(k 0t ) d t
f (t)
A t
T
0 A ( 1) k 1
kπ
T t 2
T
T 2
k
T f(2t)
E
2
0
TT
2
t
E 2
1,2,3
f
(t )
4 A (sin π
1t
1 sin 3
3 1t
1 sin 5
5 1t
)
周期信号的分解
•任何一个周期信号都可以分解为一系列三角函数或复指数函数之和，这 是周期信号分解的思想。 •低频分量构成信号的整体；高频分量影响信号的细节； •波形变化愈剧烈，其所含的高频分量愈丰富；反之，信号变化愈缓慢， 所含的低频分量就愈多；
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目
应是有限个；
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；
T
条件3：在一周期内，信号满足绝对可积
f (t ) dt
0
傅里叶级数的三角函数形式
f ( t ) a 0
a k cos k 0 t bk s in k 0 t
k 1
1
•本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常 重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信 号的调制与解调等等。
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
0
T
t
ak
2 T
T
2 T
f (t ) cos (k 0 t)d t = 0
2
1
bk
2 T
T 2
T 2
f
(t ) sin(k0t ) dt
4 T
T
2 f (t ) sin(k0t ) dt 0
0
奇函数：直流分量和余弦项为零，正弦项不为零。
周期信号对称性与傅里叶级数的关系
（2） f(t)为偶函数 f (t) f (t)对称于坐标纵轴
f (t) E
a0
ak
bk
1 T
T
2 T
f
2
4
2T
T
2T (t)dt 2 f (t)dt
T0
T
2 f (t ) cos(k0t
T0
2 T 2
f
(t) sin(k0t)
)dt dt
0 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
T
O
T
t
偶函数展开成傅立叶级数后，正弦项为零，直流分量和余弦项不为零。
周期信号对称性与傅里叶级数的关系
（3）f(t)为奇谐函数（半波镜像）
ak2 bk2
k
arctan
bk ak
将展开式同频率项合并，可写为：
f (t ) A0 A1 cos(0t 1 ) A2 cos(20t 2 )
A0 Ak cos (k 0 t k ) k 1
傅里叶级数的三角函数形式
f (t) A0 Ak cos(k0t k )
1 T
T
f (t)dt 0
0
an
2 T
T
2 T
f (t ) cos n1tdt 0
2
bn
2 T
T
2 T
2
f (t) sin
n1tdt
4 T
T
2 0
A sin
n1tdt
T
4 A cos n1t
T
n1
2 0
4 A (n 1, 3, 5,) nπ 0 (n 2, 4, 6,)
所以f( t )的傅里叶级数为
•从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统一 用傅里叶变换作为分析工具。
第3章 信号与系统的频域分析
•本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的 概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特 定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系 统对任意信号的响应。
•通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。
k 1
上式表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
其中： A0：直流分量； A1cos(0t+1 )：称为基波或一次谐波，角频率与原周期信号相同；
A2cos(2 0t + 2 )：称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；
一般而言，Akcos(k 0t + k)称为k次谐波。
求周期锯齿波的傅里叶级数展开式
本章主要内容
3.6 周期信号的频谱 3.7 系统的频域分析 3.8 无失真传输系统与理想低通滤波器 3.9 取样定理及其应用 3.10 频域分析用于通信系统
第 12 讲 周期信号的分解与合成
狄里赫利(Dirichlet)条件
任意一个周期为T的周期信号f(t)，若满足狄里赫利条件,则
f(t)可以展开为傅里叶级数。
波形移动T/2后，与原波形重合。 T
f (t)
T O
T
2
2
Tt
f(t)的傅氏级数中，仅含有偶次谐波，奇次谐波为零。
a1 a3 a5 0 b1 b3 b5 0
傅里叶系数与周期信号波形对应关系
例 如图所示的周期矩形波，试求其傅里叶级数。
解 由于这里f( t )是奇函数，故有
a0
2
f (t) 0
A π
s
in
0t
A 2π
s in
2
0t
直流
A π
cos ( 0 t
2
)
A 2π
(cos
2 0 t
2
)
基波
2次谐波
周期信号对称性与傅里叶级数的关系
对称于坐标原点
（1） f(t)为奇函数 f (t) f (t)
1
a0 T
T
2 f (t )dt = 0
T 2
T
f (t) 1
其中：a0 T
T
2 T
f (t )dt
2
a k
2 T
T
2 T
f (t )(cos k 0 t )dt
2
0
2
T
直流分量
余弦分量幅度
bk
2 T
T
2 T
f (t )(sink0t )dt
2
正弦分量幅度
傅里叶级数的三角函数形式
令：
ak Ak cos k A0 a0 Ak
bk Ak sin k
f (t ) f t T 2
T
波形移动T/2后，与原波形横轴对称。
f (t)
OT T 2
f(t)的傅氏级数中，仅含有奇次谐波，偶次谐波为零，即：
a0 a2 a4 0 b2 b4 0
t
周期信号对称性与傅里叶级数的关系
（4）f(t)为偶谐函数 f t f t T
2
第3章 信号与系统的频域分析
•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级 数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论 其特点。
•通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变 换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。
•傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变 换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。