可计算性问题

停机定理

给定任意一个图灵机程序P和任意一组输入数 据I，不存在一个图灵机程序，它能在有限多 步后停机，并告诉我们P是否会结束输入数据I 的处理。
P和NP问题



P (Polynomially)类问题：算法能在多项式时间 内完成的问题。 NP (Nondeterministic Polynomially)问题：可 以用多项式时间来验证一个解是否正确。 已经可以证明：P N P 需要证明：P＝NP，或者P是NP的一个真子集
可计算性问题
陈虎 博士 副教授 Tel: 31984767 Email: tommychen74@yahoo.com.cn
计算复杂度


假设有N个数据形成的一个链表。查找x是否 在此列表中，采取顺序比较方式。 如果x在此列表中，且位置处于i,则需要比较i 次。则平均比较次数为 N ( N 1)
( i)
i 1 N

N
2 N

N 1 2

如果x不在此列表中，则需要比较N次。 因此该查找算法的平均查找复杂度为(N+1)/2， 最大复杂度为N
大O分析


为了简化数量级的分析，往往采用大O分析， 选取最重要的部分，即使用随着问题的大小增 长得最快的项表示计算时间（复杂度）。 例如f(N)=N4+100N2+10N+50, O(f(N))=O(N4) f(n)=(N+1)/2, O(f(n))=O(N)
常见的数量级
复杂度 O(1) O(logN) O(N) O(NlogN) O(N2) O(2N) O(N!) 二次时间 指数时间 阶乘时间 名称 有界时间 对数时间 线性时间 7 128 896 16,384 600,000倍于宇宙年龄 没有意义了 N＝128 实例 向数组中写入数据 用二分检索方法在有序列 表中查找 在无序列表中顺序查找 快速排序的平均复杂度 简单排序的复杂度 可满足性问题 货担郎问题
可满足性问题

对于有N个变量的布尔表达式（仅仅包含AND， OR，NOT操作），可否存在一组变量使得该 布尔表达式的值为1
可计算问题的渊源


1928年德国著名数学家 希尔伯特(Hilbert)提出一 个问题：可否有一个算 法能对所有的数学原理 自动给予证明 1931年，奥地利数学家 哥德尔证明了：对于一 个相容的形式系统，存 在一个算术命题，它在 该系统中可以既未被证 明，也未被证否。
图灵机

用准确的数学形式来描述什么是“计算” 图灵机包含了一条无限长的纸带和一个控制器。 控制器可以：



从纸带上读出一个符号； 向纸带写入一个符号； 使带子可以向左边移动一个位置，或向右移动一个位置 停机


Church-Turing理论：任何能直观计算的问题都内被 图灵机计算。 如果证明了某个问题使用图灵机是不可解决的，那么 这个问题就是不可解决的。
大O分析


为了简化数量级的分析，往往采用大O分析， 选取最重要的部分，即使用随着问题的大小增 长得最快的项表示计算时间（复杂度）。 例如f(N)=N4+100N2+10N+50, O(f(N))=O(N4) f(n)=(N+1)/2, O(f(n))=O(N)
常见的数量级
复杂度 O(1) O(logN) O(N) O(NlogN) O(N2) O(2N) O(N!) 二次时间 指数时间 阶乘时间 名称 有界时间 对数时间 线性时间 7 128 896 16,384 600,000倍于宇宙年龄 没有意义了 N＝128 实例 向数组中写入数据 用二分检索方法在有序列 表中查找 在无序列表中顺序查找 快速排序的平均复杂度 简单排序的复杂度 可满足性问题 货担郎问题

NP完全问题(NP-Complete Problems)


NP问题中有一组问题，如果其中有一个问题具有多 项式的算法可以完成，则这一组问题都可以使用多项 式时间完成。 NP完全问题的例子：


可满足问题； 货担郎问题：在一个图中，可否找到一个路径满足：所有的 节点经过且仅经过一次，而且最后可以回到起点； 装箱问题：有有限多个容量为1的箱子，以及N个货物（每个 货物的重量均小于1），需要最少的箱子把所有的N个货物完 全装完。 背包问题：背包的容量为C，有N个物体，体积分别为 s1,…,sn以及价值分别为p1,…,pn，寻找一个最大价值的装 背包的方案。
P和NP问题



P (Polynomially)类问题：算法能在多项式时间内完成 的问题。 NP (Nondeterministic Polynomially)问题：可以用多 项式时间来验证一个解是否正确。 已经可以证明：
P NP

需要证明：P＝NP，或者P是NP的一个真子集 NP问题中有一组问题，如果其中有一个问题具有多 项式的算法可以完成，则这一组问题都可以使用多项 式时间完成。
图灵机

用准确的数学形式来描述什么是“计算” 图灵机包含了一条无限长的纸带和一个控制器。 控制器可以：
wenku.baidu.com


从纸带上读出一个符号； 向纸带写入一个符号； 使带子可以向左边移动一个位置，或向右移动一个位置 停机


Church-Turing理论：任何能直观计算的问题都内被 图灵机计算。 如果证明了某个问题使用图灵机是不可解决的，那么 这个问题就是不可解决的。
计算复杂度


假设有N个数据形成的一个链表。查找x是否 在此列表中，采取顺序比较方式。 如果x在此列表中，且位置处于i,则需要比较i 次。则平均比较次数为 N ( N 1)
( i)
i 1 N

N
2 N

N 1 2

如果x不在此列表中，则需要比较N次。 因此该查找算法的平均查找复杂度为(N+1)/2， 最大复杂度为N