电磁场与电磁波第二章习题及参考答案

等式左边为
半径为r、高为1的圆柱面内的电量为
因此，电场强度为
2-7.在直角坐标系中电荷分布为
求电场强度。
解:由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为S的电通量为 ,方形封闭面内的电量为
因此，电场强度为
2-8.在直角坐标系中电荷分布为
求电场强度。
=
根据边界条件 ，因此
2-34.面积为A，间距为d的平板电容器电压为V，介电常数为厚度为t的介质板分别按如图a、b所示的方式放置在两导电平板之间。分别计算两种情况下电容器中电场及电荷分布。
题2.34图
解：
（a）设导体板之间介质与空气中的电场分别为 、 ，那么 、 满足关系
（边界条件）
求解以上两式得
；
以点电荷为中心作以半径为r的球，利用高斯定理
设上、下半球面上的电位移矢量分别 、 ，根据对称性，在上、下半球面上大小分别相等，有
=
根据边界条件 ，因此
（2）电荷线密度为的均匀线电荷放在介质分界面上
以线电荷为轴线作以半径为r单位长度的圆柱面，利用高斯定理
设上、下半柱面上的电位移矢量分别 、 ，根据对称性，在上、下半柱面上大小分别相等，有
解：由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为r的球面，利用高斯定理
等式左边为
半径为r的球面内的电量为
因此，电场强度为
2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为
r为场点到z轴的距离，a为常数。求电场强度。
解:由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为r,单位长度的圆柱面，利用高斯定理
两条半无限长线电荷产生的电场为
半径为a的半圆环线电荷产生的电场为
总电场为
2-3.真空中无限长的半径为a的半边圆筒上电荷密度为，求轴线上的电场强度。
解:在无限长的半边圆筒上取宽度为 的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为 ,对 积分,可得真空中无限长的半径为a的半边圆筒在轴线上的电场强度为
题2-3图题2－4图
两导体球壳之间的电场为
两导体球壳之间的电压为
2-27圆柱形电容器，内外导体半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为，介质的击穿场强为，求此电容器的耐压。
解：设圆柱形电容器长度为L，内导体电量为 ，利用高斯定理，可得
内外导体间的电压为
因此
所以电场可表示为
内导体表面的电场为
所以
如果介质的击穿场强为，则电容器的耐压为
题2－10图
解:由 得
2-11.已知在圆柱坐标中，电场分布为
其中 为常数。求电荷分布。
解:由 ，得
在 ， （在圆柱坐标系）
在 ，
因此
在r=a，r=b有面电荷.电荷面密度为
2-12.若在圆球坐标系中电位为
求电荷分布。
解:由 得
体电荷密度
对
求拉普拉斯运算得
因此
下面计算r=a，r=b的分界面上的面电荷。
面电荷密度
解:
(1)介质中的束缚电荷体密度为
(2)介质表面的束缚电荷面密度为
在圆柱介质棒的侧面上束缚电荷面密度为零;在上下端面上束缚电荷面密度分别为
.
2-20.求上题中的束缚电荷在轴线上产生的电场。
解：上下端面上束缚电荷产生的电场
由例题，圆盘形电荷产生的电场为
式中a为圆盘半径.
对上式做变换, , ,可上端面上束缚电荷产生的电场为
第2章习题
2-1.已知真空中有四个点电荷，，，，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。
解：
2-2.已知线电荷密度为的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P点的电场强度。
a b c
题2-2图
解：
(a)由对称性
(b)由对称性
(c)建立坐标系如图所示，
2-13.分别计算方形和圆形均匀线电荷在轴线上的电位。
(a)(b)
解:
(a)方形均匀线电荷在轴线上的电位
方形每条边均匀线电荷的电位
其中
方形均匀线电荷在轴线上的电位为
(b)圆形均匀线电荷在轴线上的电位
2-14.计算题2-5给出的电荷分布的电位。
解:题2-5给出的电荷分布的电场为
由电位的定义,电位为
对于r>a
同理,做变换, , ,可下端面上束缚电荷产生的电场为
上下端面上束缚电荷产生的总电场为
2-21.半径为a的介质球均匀极化，，求束缚电荷分布。
解:
(1)介质中的束缚电荷体密度为
(2)介质表面的束缚电荷面密度为
2-22.求上题中束缚电荷在球中心产生的电场。
解:介质表面的束缚电荷在球心产生的电场
在介质球表面取半径为 宽度为 的环带,可看成半径为 , ,电荷线密度为 的线电荷圆环,例中给出了线电荷圆环的电场,对 积分得
题2-22图
2-23.无限长的线电荷位于介电常数为的均匀介质中，线电荷密度为常数，求介质中的电场强度。
解:设无限长的线电荷沿z轴放置,利用高斯定理,容易求得介质中的电场强度为
为场点到线电荷的距离.
2-24.半径为a的均匀带电球壳，电荷面密度为常数，外包一层厚度为d、介电常数为的介质，求介质内外的电场强度。
解微分方程得
利用边界条件
得
，
2-37两块电位分别为0和V的半无限大的导电平板构成夹角为的角形区域，求该角形区域中的电位分布。
c
b
a
题2.37图题2.38图
解：由题意，在圆柱坐标系中，电位仅是 的函数，在导电平板之间电位方程为
其通解为
由边界条件 ，得
所以，
2-38.由导电平板制作的金属盒如图所示，除盒盖的电位为V外，其余盒壁电位为0，求盒内电位分布。
解:由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为r的球面，采用高斯定理
上式左右两边分别为
由此得
因为 ，所以
2-25.两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为，内、外导体球壳电位分别为 。求两导体球壳之间的电场和球壳面上的电荷面密度。
解：设内导体带电荷为q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为r的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为
对于场点 ，电荷到场点的距离矢量为
；
则场点的电场为
题2-41图
题2-42图
2-42半径为a，带电量为Q的导体球附近距球心f处有一点电荷q，求点电荷q所受的力。
解：点电荷q受到的力（场）有两部分，一部分等效为镜像电荷 的力，另一部分等效为位于球中心的点电荷 的力。由镜像法，镜像电荷 的大小和位置分别为
对于r<a
2-15四偶极子电荷与圆球坐标位置为 ， ， ， ，求 处的电位。
解：
其中
； ；
；
=
2-16.已知电场强度为，试求点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压。
题2－16图
解：
解法1：从点 (0,0,0)到点 (1,2,1)的路径 取 (0,0,0)到点(1,0,0)-+ 点(1,0,0)到点(1,2,0)-+ 点(1,2,0)到点(1,2,1)
解：由电荷分布可知，电位仅是 的函数，电位满足拉普拉斯方程，方程为
解微分方程得
利用边界条件
得 ，
因此
2-36在半径分别为 和 的两同轴导电圆筒围成的区域内，电荷分布为 ， 为常数，若介质介电常数为 ，内导体电位为V，外导体电位为0。求两导体间的电位分布。
解：由电荷分布可知，电位仅是 的函数，电位满足泊松方程
解：
（1）在有点电荷的空腔中，由于对称性，电场强度为 ， 为从空腔中心指向该空腔中场点的位置矢量。
（2）在另一没有点电荷的空腔中，由于静电屏蔽，该空腔中的电场强度为零。
（3）在导体球外，由于导体球为等位体，除了导体球面上外，导体球外没有电荷，因此导体球外电场具有球对称性，且导体球上的电量为q,所以导体球外的电场强度为
， ， ，
再由导体界面的边界条件 得
因此，电位的特解为
2-40.在无限大的导电平板上方距导电平板h处平行放置无限长的线电荷，电荷线密度为，求导电平板上方的电场。
解:用镜像法,导电平板的影响等效为镜像位置的一个电荷线密度为-的线电荷,导电平板上方的电场为
式中 、 分别为线电荷及其镜像线电荷到场点的距离矢量。
题2－8图
解:由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为S的电通量为 ,方形封闭面内的电量为
因此，电场强度为
2-9.在电荷密度为（常数）半径为a的带电球中挖一个半径为b的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+c<a)。求空腔中的电场强度。
解：用分离变量法，可得电位的通解为
利用边界条件 ，可求出系数
（m、n为奇数）
（m、n为偶数）
2-39在的匀强电场中沿z轴放一根半径为a的无限长导电圆柱后，求电位及电场。
题2.39图
解：由分离变量法，无限长导电圆柱外的电位的通解为
（1）
设 ，当 时的电位等于无导电圆柱的电位，即
（2）
要使式（1）的电位在 时等于式（2），可得到系数
r为导体球心到场点的距离。
题2.31图 题2.32图
2-32.同轴圆柱形电容器内外半径分别为a、b，导体之间一半填充介电常数为的介质，另一半填充介电常数为的介质。当电压为V时，求电容器中的电场和电荷分布。
解：设同轴电容器长度为 ，内导体上的电量为q,在内外导体之间取半径为r的圆柱面，利用高斯定理
在两个半柱面上，电场强度分别相等，上式变为
由介质边界条件 ，可得
内外导体之间的电压为
由此得 ，从而得
电荷分布为
介质侧 ；介质侧
2-33z>0半空间为介电常数为的介质，z<0半空间为介电常数为的介质，当
(1)电量为q的点电荷放在介质分界面上；
(2)电荷线密度为的均匀线电荷放在介质分界面上。
求电场强度。
解：
（1）电量为q的点电荷放在介质分界面上
两导体球壳之间的电压为
得出
所以
球壳面上的电荷面密度为
2-26两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间有两层介质，介电常数为、，介质界面半径为c，内外导体球壳电位分别为 。求两导体球壳之间的电场和球壳面上的电荷面密度以及介质分界面上的束缚电荷面密度。
解：设内导体带电荷为q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为r的球面，采用高斯定理可得，
题2-9图
解:由电场的叠加性,空腔中某点的电场等于完全均匀填充电荷的大球在该点的电场与完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场之和。
利用高斯定理，可求得完全均匀填充电荷的大球在该点的电场为
完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场为
所以，空腔中某点的电场为
为从球心指向空腔中心的矢量。
2-10.已知电场分布为
求电荷分布。
2-4.真空中无限长的宽度为a的平板上电荷密度为，求空间任一点上的电场强度。
解:在平板上 处取宽度为 的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为 ，在点 处产生的电场为
其中
；
对 积分可得无限长的宽度为a的平板上的电荷在点 处产生的电场为
2-5.已知真空中电荷分布为
r为场点到坐标原点的距离，a，b为常数。求电场强度。
2-28已知真空中一内外半径分别为a、b的介质球壳，介电常数为，在球心放一电量为q的点电荷。（1）用介质中的高斯定理求电场强度；（2）求介质中的极化强度和束缚电荷。
解：
（1）由题意，电场具有球对称结构。采用高斯定理 ，在半径为r的球面上
由 得
（2）
这里
2-29某介质的介电常数为 ， 和 均为常数，若介质中的电场强度为恒值且只有 分量，证明 。
解2
2-17.已知在球坐标中电场强度为，试求点与点之间的电压。
解：从点到点的路径 取 到点 + 点 到点 + 点 到点
2-18.已知在圆柱坐标中电场强度为，试求点 与点之间的电压。
解：点 到点之间路径 取 到点 + 点 到点
2-19.半径为a，长度为L的圆柱介质棒均பைடு நூலகம்极化，极化方向为轴向，极化强度为(为常数)。求介质中的束缚电荷。
2-41由无限大的导电平板折成的角形区，在该角形区中某一点()有一点电荷q，用镜像法求电位分布。
解：如图将空间等分为8个区，在每个区中以原来的导电面为镜面可以依次找到镜像位置，原电荷的位置为()，另外7个镜像电荷在圆柱坐标系中的坐标为：( )，( )，( )，( )，( )，( )，( )。
镜像电荷为
根据导体表面上的边界条件 ，在上、下导体表面上的电荷面密度为
(b)由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为
根据导体表面上的边界条件 ，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为
在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为
2-35在内外半径分别为 和 之间的圆柱形区域内无电荷，在半径分别为 和 的圆柱面上电位分别为 和0。求该圆柱形区域内的电位和电场。
证：
2-30.有三层均匀介质，介电常数分别为,取坐标系使分界均平行于xy面。已知三层介质中均为匀强场，且，求。
解：因为三层介质中均为匀强场，，设第二、三层介质中的电场强度分别为
；
由边界条件 可得
，
由边界条件 ，可得
，即 ；
所以 ，
2-31.半径为a的导体球中有两个半径均为b的球形腔，在其中一个空腔中心有一个电量为q的点电荷在该球形空腔中心，如图所示，如果导体球上的总电量为0，求导体球腔中及球外的电场强度。