(仅供参考)常见函数的傅里叶级数
傅里叶级数
1. 级数展开和完备性内积（Inner product ）：给定区间[,]a b ，对实函数，(,)()()baf g f x g x dx ≡⎰；如果是复函数，(,)()()baf g f x g x dx ≡⎰。
由内积，可定义范数（距离），||||f g -≡正交：(,)0f g =。
算子的特征值和特征函数：Af f λ=，0f ≠。
结论：自共轭算子的不同特征值对应的特征函数一定是正交的。
正交系：{,1}n X n ≥，(,)n m mn X X δ=。
给定正交系下函数()f x 的级数展开：1()~n nn f x c X∞=∑，其中(,)n n c f X = 完备：对任意的平方可积函数，是否成立1()n nn f x c X∞==∑？Bessel ’s inequality: 221||||nn f c∞=≥∑。
由此：级数在2L 意义下是收敛的。
证明：易知，222221111||||||||2(,)||||0NNNNN n n n n nn n n n n E f c X f c f X c f c =====-=-+=-≥∑∑∑∑，令N →∞即得。
Parseval equality: 221||||n n f c ∞==∑。
由此：如果Parseval equality 成立，则21NL n nn c Xf =−−→∑。
可以认为正交系完备。
判断一个正交系的完备性不是很容易的。
2. 特征值和特征函数序列：分离变量方法归结为微分方程的非零解问题。
0X X λ''+=，(0,)x l ∈；边界条件（1） Dirichlet. (0)()0X X l ==; （2） Neumann.(0)()0X X l ''==；（3） Robin.0(0)()X a X l '=，()()l X l a X l '=-。
一般 boundary conditions111122220()()()()0()()()()0X X X a X b X a X b X a X b X a X b λαβγδαβγδ''+=⎧⎪''+++=⎨⎪''+++=⎩，(,)x a b ∈； 如果满足该方程组的两个解成立0x bx a X Y XY ==''-=，则称symmetric boundary conditions 。
傅里叶级数
9.5 傅里叶级数9.5.1 三角级数 三角函数系的正交性在自然界和工程技术中周期现象是经常出现的,如振动、电磁波等,当用函数来描述这些现象时出现的就是周期函数.描述简谐振动的正弦函数)sin(ϕω+=t A y 是一种简单而又为人们所熟悉的周期函数,其中y 表示动点的位置,t 表示时间,A 为振幅,ω为角频率,ϕ为初相.周期为ωπ2.现在类似于将函数展开成幂级数,我们也想将周期函数展开成由简单的三角函数组成的级数.具体的说,希望将以⎪⎭⎫⎝⎛=ωπ2T 的周期函数)(t f 表示为∑∞=++=10),sin()(n n nt n AA t f ϕω(1)其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ϕ都是常数. 在利用三角恒等式,变形为∑∞=++=10);sin cos cos sin ()(n n n n nt n A t n AA t f ωϕωϕ令x t A b A a A a n n n n n n ====ωϕϕ,cos ,sin ,200,则得到级数∑∞=++10).sin cos (2n n nnx b nx aa(2)称(2)式的级数为三角级数,其中),3,2,1(,,0 =n b a a n n 都是常数.称三角函数系 ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x(3)在区间],[ππ-上正交,就是指在三角函数系(3)中任何不同的两个函数的乘积在区间],[ππ-上的积分等于零,即⎰-==ππ),3,2,1(0cos n nxdx, ⎰-==ππ),3,2,1(0sin n nxdx, ⎰-==ππ),3,2,1,(0cos sin n k nxdxkx ,⎰-≠==ππ),,3,2,1,(0cos cos n k n k nxdxkx ,⎰-≠==ππ),,3,2,1,(0sin sin n k n k nxdxkx .,2),3,2,1(cos,sin222πππππππππ⎰⎰⎰---====dx n nxdx nxdx 19.5.2 以2π为周期的函数的傅里叶级数设)(x f 是周期为π2的周期函数,且能展开成三角级数:∑∞=++=10).sin cos (2)(n k kkx b kx aa x f(4)我们进一步假设级数(4)可以逐项积分.在此假设条件下我们讨论 ,,,,,,,1100n n b a b a b a 与)(x f 的关系. 由三角函数系的正交性,有0022)(a a dx x f ππππ=⋅=⎰-即得.)(10⎰-=πππdx x f a以nx cos 乘(4)两端,再从π-到π逐项积分,同样由三角函数系的正交性我们得到,,2,1,cos )( ==⎰-n a nxdx x f n πππ即,,2,1,cos )(1==⎰-n nxdx x f a n πππ同理可得,,2,1,sin )(1==⎰-n nxdx x f b n πππ由于当0=n 时,n a 的表达式正好给出0a ,因此,已得结果可以合并写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎰⎰--,,2,1,sin )(1,,2,1,0,cos )(1 n nxdx x f b n nxdx x f a n n ππππππ(5)这样,不论)(x f 能否表示为三角函数,只要)(x f 在]-ππ,[上可积,就可按公式(5)计算出n a 和n b ,称n a 和n b 为函数)(x f 的傅里叶(Fourier)系数,将这些系数代入(4)式右端,所得的三角级数∑∞=++10).sin cos (2n n nnx b nx aa(6)叫做函数)(x f 的傅里叶级数. 那么,)(x f 在怎样的条件下,它的傅里叶级数不仅收敛,而且收敛于)(x f ?定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件) 设)(x f 是周期为π2的周期函数,如果它满足:(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, (2) 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则)(x f 的傅里叶级数收敛,并且 当x 是)(x f 的连续点时,级数收敛于)(x f ;当x 是)(x f 的间断点时,级数收敛于)]()([21+-+x f x f .⎭⎬⎫⎩⎨⎧+==+-)]()([21)(|x f x f x f x C ,在C 上就成立)(x f 的傅里叶级数展开式)(x f =∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ,.C x ∈(7)例1 设)(x f 是周期为π2的周期函数,它在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤--=.0,1,0,1)(ππx x x f将)(x f 展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件,它在点),2,1,0( ±±==k k x π处不连续,在其他点处连续,从而由收敛定理知道)(x f 的傅里叶级数收敛,并且当πk x =时级数收敛于,0211=+-当πk x ≠时级数收敛于)(x f .和函数的图形如图9-1所示图9-1计算傅里叶级数如下:⎪⎩⎪⎨⎧===--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅+-====⋅+-==-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰.,6,4,2,0,,5,3,1,4])1(1[1cos 1cos 1sin 11sin)1(1sin )(1);,2,1,0(0cos 11cos )1(1cos )(10000n n n n n nx x nx nxdxnxdx nxdxx f b n nxdxnxdx nxdx x f a nn n ππππππππππππππππππππ将求得的系数代入(7)式,就得到)(x f 的傅里叶级数的展开式为).,2,.0;()12sin(1213sin 31sin 4)( πππ±±≠+∞<<-∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++=x x x k k x x x f 例2 设)(x f 是周期为π2的周期函数,它在],[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤-=.0,0,0,)(ππx x x x f将)(x f 展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件,它在点),2,1,0()12( ±±=+=k k x π处不连续,在其他点处连续,从而由收敛定理知道)(x f 的傅里叶级数收敛,并且当π)12(+=k x 时级数收敛于.2202)()(ππππ-=-=-++-f f在连续点))12((π+≠k x x 处收敛于)(x f .和函数的图形如图9-2所示.图9-2⎪⎩⎪⎨⎧===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+===---⎰⎰;,6,4,2,0,,5,3,1,2)cos 1(1cos sin 1cos 1cos )(12220n n n n n n nx n nx x nxdxx nxdx x f a n ππππππππππ;2211)(120ππππππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===---⎰⎰x xdx dx x f a.)1(cos sin cos 1sin1sin )(1120nnn n nx n nx x nxdxx nxdx x f b n n +----=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-===⎰⎰ππππππππ将求得的系数代入(7)式,得到)(x f 的傅里叶级数展开式为).,3,;(5sin 515cos 524sin 413sin 313cos 322sin 21sin cos 24)(22 ππππππ±±≠+∞<<-∞-⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=x x x x x x x x x x x f如果函数)(x f 只定义在],[ππ-且满足收敛定理的条件,则)(x f 也可以展开成傅里叶级数,只要在),[ππ-或],(ππ-外补充函数的定义,使它拓广成周期为π2的周期函数)(x F .按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓.再将)(x F 展开成傅里叶级数.最后限制x 在),(ππ-内,此时)()(x f x F ≡,这样便得到)(x f 的傅里叶级数展开式.根据收敛定理,这级数在区间端点π±=x 处收敛于2)()(+-+ππf f .例3 将函数⎩⎨⎧≤≤<≤--=ππx x x x x f 0,,0,)(展开成傅里叶级数.解 所给函数在区间],[ππ-上满足收敛定理的条件,并且拓广成周期函数时,它在每一点x 处都连续(图9-3),因此拓广的周期函数的傅里叶级数在],[ππ-上收敛于)(x f .πππππππππππ2020cos sin 1cos sin 1cos 1cos )(1cos )(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-==---⎰⎰⎰n nx n nx x n nx n nx x nxdxx nxdx x nxdx x f a n⎪⎩⎪⎨⎧==-=-=;,6,4,2,0,,5,3,1,4)1(c o s 222n n n n n πππ图9-3 ;21211)(1)(12200ππππππππππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-==---⎰⎰⎰x x xdxdx x dx x f a).,3,2,1(0sin cos 1sin cos 1sin 1sin)(1sin )(120200 ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-==---⎰⎰⎰n n nx n nxx n nx n nx x nxdxx nxdx x nxdxx f b n πππππππππππ将求得的系数代入(6)式,得到)(x f 的傅里叶级数展开式为)(5cos 513cos 31cos 2)(22ππππ≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++4-=x x x x x f .利用这个展开式,我们可以求出几个特殊级数的和.当0=x 时,0)0(=f ,于是又这个展开式得出.513118222+++=π设,4131211222++++=σ,4131211,614121,851311222322222221 +-+-=+++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++=σσπσ因为.44212σσσσ+==所以.243212πσσ==,624822221πππσσσ=+=+=又.1264222213πππσσσ=-=-=正弦级数和余弦级数当)(x f 为奇函数时,nx x f cos )(是奇函数,nx x f sin )(是偶函数,故).,3,2,1(sin )(2),,2,1,0(0====⎰n nxdxx f b n a n n ππ(8)即知奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数.sin 1∑∞=n nnx b(9)当)(x f 为偶函数时,nx x f cos )(是偶函数,nx x f sin )(是奇函数,故).,3,2,1(0),,2,1,0(cos )(2====⎰n b n nxdx x f a n n ππ(10)即知偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数.cos 210∑∞=+n nnx ba (11)例 4 设)(x f 是周期为π2的周期函数,它在),[ππ-上的表达式为x x f =)(.将)(x f 展开成傅里叶级数. 解 首先所给函数满足收敛定理的条件,它在点),2,1,0()12( ±±=+=k k x π处不连续,因此)(x f 的傅里叶级数在点π)12(+=k x 处收敛于,02)(2)()(=-+=-++-ππππf f在连续点))12((π+≠k x x 处收敛于)(x f .和函数的图形如图9-4所示图9-4其次若不计),2,1,0()12( ±±=+=k k x π,则)(x f 是周期为π2的奇函数.显然,此时(8)式仍成立.按公式(8)有),2,1,0(0 ==n a n ,而ππππππ20sin cos sin sin )(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2=2=2=⎰⎰n nx n nx x nxdxx nxdx x f b n).,3,2,1()1(2cos 21=-=-=+n n n nn π将求得的n b 代入正弦级数(9),得)(x f 的傅里叶级数展开式为).,3,;(sin )1(3sin 312sin 21sin 2)(1ππ±±≠∞<<-∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-=+x x nx n x x x x f n 对于定义在区间],0[π上并且满足收敛定理的条件的函数)(x f ,我们在开区间)0,(π-内补充函数)(x f 的定义,得到定义在],(ππ-上的函数)(x F ,使它在),(ππ-上成为奇函数(偶函数).按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓).然后将奇延拓(偶延拓)后的函数展开成傅里叶级数,这个级数必定是正弦级数(余弦级数).再限制x 在],0(π上,此时)()(x f x F ≡,这样便得到)(x f 的正弦级数(余弦级数)展开式.例6 将函数1)(+=x x f )0(π≤≤x 分别展开成正弦级数和余弦级数.解 先求正弦级数.为此对函数)(x f 进行奇延拓(图9-5).按公式(8)有图9-5 图9-6⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+⋅=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=+==⎰⎰.,6,4,2,2,,5,3,1,22)cos )1(1(2sin cos )1(2sin )1(2sin )(220n nn nn n n nx n nx x nxdxx nxdx x f b n πππππππππππ将求得的n b 代入正弦级数(9),得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+=+ x x x x x 4sin 43sin )2(312sin 2sin )2(21πππππ)0(π<<x 在端点0=x 及π=x 处,级数的和显然为零,它不代表原来函数)(x f 的值.再求余弦级数,为此对对函数)(x f 进行偶延拓(图9-6).按公式(10)有⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=⎰.,5,3,1,4,,6,4,2,0)1(cos 2cos sin )1(2cos )1(22230n n n n n n nx n nx x nxdxx a n πππππππ222)1(220+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰πππππx xdx x a ;将求得的n a 代入余弦级数(11),得⎪⎭⎫⎝⎛+++-+=+ x x x x 5cos 513cos 31cos 412122ππ)0(π≤≤x .9.5.3 周期为l 2的周期函数的傅里叶级数定理 设周期为l 2的周期函数)(x f 满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为∑∞=∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10)(,sin cos 2)(n nn C x l x n b l x n a a x f ππ (1)其中⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰--).,3,2,1(sin )(1),2,1,0(cos)(1lln ll n n dx l xn x f lb n dx lxn x f l a ππ(2))]}()([21)(|{+-+==x f x f x f x C当)(x f 为奇函数时,∑∞=∈=1),(sin)(n n C x lx n b x f π (3)其中).,3,2,1(sin)(20⎰==l n n dx lx n x f lb π (4)当)(x f 为偶函数时,∑∞=∈+=10),(cos2)(n n C x lx n a a x f π (5)其中).,2,1,0(cos)(20⎰==l n n dx lx n x f la π (6)证 作变量代换lxz π=,于是区间l x l ≤≤-就变换成ππ≤≤-z .设函数)()()(z F lzf x f ==π,从而)(z F 是周期为π2的周期函数,并且它满足收敛定理的条件,将)(z F 展开成傅里叶级数:∑∞=++=10),sin cos (2)(n n nnz b nz aa z F 其中.sin)(1,cos )(1⎰⎰--==ππππππnzdz z F b nzdz z F a n n在以上式子中令lxz π=,并注意到)()(x f z F =,于是有∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10,sin cos 2)(n nn l x n b l x n a a x f ππ 而且⎰⎰--==lln lln dx lx n x f lb dx lx n x f la ππsin)(1,cos)(1.类似地,可以证明定理的其余部分.例7 设)(x f 是周期为4的周期函数,它在)2,2[-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤-=20,,02,0)(x k x x f (常数).0≠k将)(x f 展开成傅里叶级数.解 这时2=l ,按公式(2)有;21021);0(02sin 2cos 2120202020k kdx dx a n x n n kdx xn k a n =+=≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰⎰-πππ⎪⎩⎪⎨⎧===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰.,6,4,2,0,,5,3,1,2)cos 1(2cos 2sin21220n n n kn n k x n n k dx xn k b n ππππππ 将求得的系数n n b a ,代入(1)式,得.25sin 5123sin 312sin22)(⎪⎭⎫⎝⎛++++= x x x k k x f ππππ ),4,2,0;( ±±≠+∞<<-∞x x)(x f 的傅里叶级数的和函数的图形如图9-7所示.图9-79.5.4 在[-l , l ]上有定义的函数的傅里叶展开定义在[-l , l ]上的函数f (x )，可以通过延拓而成为一个在数轴上有对于的一个以2l 为周期的函数F (x )，从而可以展开成傅立叶级数，然后再将自变量限制回(-l , l ),即得f (x )的傅立叶展开式。
数学分析课件 傅里叶级数
03
工程学
在工程学中，傅里叶级数可以用于分析和设计各种周期性结构，例如在
机械工程和土木工程等领域中，可以通过傅里叶级数来描述和分析周期
性振动和波动等问题。
02
傅里叶级数的基本性质
三角函数的正交性
三角函数的正交性是指在一周期内，任何两个不同的三角函 数都不相交，即它们的乘积在全周期内的积分值为零。这一 性质在傅里叶级数的展开和重构中起到关键作用，确保了频 谱的纯净性和分离性。
三角函数的周期性使得我们能够将无限长的信号转化为有限长的频谱，从而方便 了信号的分析和处理。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性是指一个信号的傅里叶级数展开在一 定条件下能够无限接近原信号。这一性质保证了傅里叶级 数展开的精度和可靠性，使得我们能够通过有限项的级数 展开来近似表示复杂的信号。
收敛性的判定是数学分析中的重要问题，涉及到级数的收 敛半径、收敛域等概念。在实际应用中，我们需要根据信 号的特性和精度要求来选择合适的收敛域和级数项数，以 保证傅里叶级数展开的准确性。
首先，确定函数的周期和定义域；其次，计算正弦和余弦函数的系数；最后，将得到的系数代入正弦和余弦函数的线 性组合中，得到函数的傅里叶级数表示。
傅里叶级数的表示方法的优缺点
傅里叶级数具有简洁、易计算等优点，能够将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数。然而，傅 里叶级数也存在着一些缺点，例如在非周期函数的情况下，傅里叶级数可能无法得到正确的结果。
图像增强
利用傅里叶级数，可以对图像进行增 强处理，如锐化、降噪等，提高图像 的视觉效果。
数值分析中的傅里叶级数
数值逼近
傅里叶级数可以用于求解某些函数的 数值逼近问题，如求解函数的零点、 极值等。
《傅里叶级数》课件
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
傅里叶级数知识点整理(精简版) -
傅里叶级数知识点整理1.将函数f(x)展开成幂级数的条件：（1）函数连续,并且还要函数具有任意阶的导数.（2）它的余项极限为0.2.将函数f(x)傅里叶展开的条件：只要求函数连续，即便不连续，允许只有有限个第一类间断点（跳跃、可去 <左右极限均存在>）.3.三角级数：（1）通式： （2）三角函数系：1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,….,cosnx, sinnx,……（3）三角函数系的正交性：三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于零. ）和差证明k不等于n，可用积化（0cos cos =⎰-ππnxdx kx4.将函数傅里叶展开的方法：公式法∑∞=++=10)sin cos (2)(f n n n nx b nx a a x ⎰-=πππdx x f a )(10 ,...)3,2,1(cos )(1==⎰-n nxdx x f a n πππ,...)3,2,1(sin )(1==⎰-n nxdx x f b n πππ5.狄利克雷定理：设f(x)是周期为2π的周期函数,如果它满足:(1)在一个周期内连续或只有有限个第1类间断点;(2)在一个周期内至多只有有限个极值点.则f(x)的傅立叶级数收敛于)]0()0([21++-x f x f当x 是f(x)的连续点时,级数收敛于该点函数值;当x 是f(x)的间断点时,级数收敛于左极限与右极限的算术平均值∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a6.周期延拓：f(x)只在[-π,π]上有定义,并满足狄里克雷充分条件，可扩大定义域，使f(x)拓广为周期为2π的周期函数F(x).7.奇偶函数的傅里叶级数：f(x)为奇函数时,余弦系数为0,正弦系数为半区间上积分的两倍=n a ⎰=ππ0sin )(2nxdx x f b n n=0,1,2…… f(x)为偶函数时,正弦系数为0,余弦系数为半区间上积分的两倍⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n 0=n b n=0,1,2……8.函数展开成正余弦级数(1).奇偶延拓:奇延拓：f(x)在[0,π]上满足狄里克雷条件,在(-π,0)内补充f(x)的定义,得到定义在(-π,π]上的奇函数F(x), ,称此种拓广函数定义域的过程为奇延拓.偶延拓：f(x)在[0,π]上满足狄里克雷条件,在(-π,0)内补充f(x)的定义,得到定义在(-π,π]上的偶函数F(x), ,称此种拓广函数定义域的过程为偶延拓.(2).F(x)展开成正余弦级数正弦级数：把奇延拓后的函数F(x)展开为傅立叶级数,即为F(x)的正弦级数.余弦级数：把偶延拓后的函数F(x)展开为傅立叶级数,即为F(x)的余弦级数.(3).f(x)的正余弦级数展开式:正弦级数展开式：限制x 在(0,π]上,此时F(x)≡f(x),F(x)的正弦级数展开式在此范围内即为f(x)的正弦级数的展开式.余弦级数展开式：限制x 在(0,π]上,此时F(x)≡f(x),F(x)的余弦级数展开式在此范围内即为f(x)的余弦级数的展开式.(4)注：同样的函数,进行奇延拓和偶延拓,情况是不同的.但在(0,π)区间函数值是一样的9.常见级数的值：（了解） (5)141312112222+++++=σ (62π) )8.......(. (5)13112221πσ+++= (6)141212222+++=σ (242π) (5)1413121122223++-+-=σ (122π)。
常见函数的傅里叶级数
12
⎛ ⎝⎜
sin 13
x
−
sin 2x 23
+
sin 3x 33
−
⎞ ⎠⎟
Fig. 24-6 Fig. 24-7 Fig. 24-8 Fig. 24-9 Fig. 24-10
24.17.
f (x) = ⎧⎨⎪10
0< x <π −α π −α < x <π +α
⎩⎪0 π + α < x < 2π
24.7.
f (x) = ⎧⎨⎩−11
0< x <π −π < x < 0
4 π
⎛ sin ⎝⎜ 1
x
+
sin 3x 3
+
sin 5x 5
+
⎞ ⎠⎟
24.8.
f (x) = | x | = ⎧⎨⎩−xx
0< x <π −π < x < 0ຫໍສະໝຸດ π 2−4 π
⎛ cos x ⎝⎜ 12
+
cos 3x 32
+
x
+
cos 2x 2
+
cos 3x 3
+
⎞ ⎠⎟
24.29.
f
(x)
=
ln
|
cos
1 2
x
|,
−π < x <π
−
⎛⎝⎜ln
2
−
cos 1
x
+
cos 2x 2
−
cos 3x 3
+
⎞ ⎠⎟
24.30.
f (x) =
1 6
傅里叶级数
2. 三角级数的一般形式
一般的三角级数为
取 1, 由于
A A i n ( n x ) 0 ns n
n 1
s i n c o s n x c o s s i n n x s i n ( n x ) n n n
a0 设 A0 , 2
A s i n a , A c o s b n n n n n n
最简单的周期运动，可用正弦函数
y A s i n ( x )
( 1 )
来描写。 由(1)所表达的周期运动称为简谐振动
初 相 角 , 其 中 A 振 幅 , 角 频 率 ,
简谐振动(1)的周期为
2 T
对于较为复杂的周期运动，常可以用几个 简谐振动
f ( x )cos nxdx ，
1
n0,1,2,
f ( x )sin nxdx
1
， n 1 , 2 ,
2. Fourier系数和Fourier级数 Euler―Fourier公式：
如 f 是以2 为周期 的函数 , 则
可换为
c 2
c
设函数 f ( x ) 在区间[ , ] 上可积，称公式
1 , s i n k x sinkxdx 0 ,
k 1 , 2 , ;
k , h 1 , 2 ,
s i n k x c o s h x d x s i n, k x c o s h x 1 s i n ( kh ) x s i n ( kh ) x d x 0, 2
§8.4 傅里叶(Fourier)级数
π 1 l an= ∫ f ( x) cos n xdx,(n = 0,1,2,L) l −l l π 1 l bn= ∫ f ( x) sin n xdx,(n = 1,2,L) l −l l
例8.4.5设f ( x )是周期为4的函数， 且在[ −2， ]上的表达式为 2 0.当 − 2 ≤ x ≤ 0时； f ( x) = 1， 当0 ≤ x < 2时。 将f ( x )展开成傅里叶级数。
例8.4.1设方波函数y ( x )的周期为2π， 它在[ −π， π ]上的表达式为 − 1,−π ≤ x < 0; y( x) = 1,0 ≤ x < π . 把y ( x )展开成傅里叶级数.
− 2π
y
１
−π
Ｏ
π
－１
2π
x
设 f ( x )是周期为 2的同期函数 ， 它在区间 ( −1,1]上定义为 2 , − 1 < x ≤ 0, f ( x) = 3 则 f ( x )的傅里叶级数在 x = 1处收敛于 x ,0 < x ≤ 1 .
例8.4.3在0 < x < 2π上把f ( x ) = x展开成傅里叶级数。
2.设f ( x )只在[0， π ]上有定义， 有满足收敛定理， 我们可以作以2π为周期的函数 F ( x ), 使得在(0， π )内，F ( x ) ≡ f ( x ), 然后将F ( x )展开成为傅里叶级数， 则在(0， π )上， 该傅里叶级数就是f ( x )在(0， π )上的傅里叶级数， 对于区间端点x = 0, x = π , 可根据 收敛定理判定基收敛性。 由于这里仅给出半个周期定义， 所以在作周期延拓时， 首先需定义[0， π ]上F ( x )的值， 这里可以用两种延拓方法来定义F ( x ) :
奇、偶函数的傅里叶级数
an cos nx n1
称为余弦级数.
奇、偶函数的傅里叶级 数
例 1 将函数 f ( x) x在（- , ] 展开为傅里叶级数.
解：函数f (x) x在( , ]是奇函数，
an =0
n 0,1, 2
bn
1
f ( x)sin nxdx
2
0
x sin nxdx
(1)n1
2 n
x
当x
n1
bn
sin nx
2(sin
x
sin 2x 2
时，傅里叶级数收敛于
sin 3x
3
)
x
f ( 0) f ( 0) 0
2
2
奇、偶函数的傅里叶级数
例2、将函数f ( x) x2在[ , ]展成傅里叶级数.
解：函数f ( x) x2在[ , ]是偶函数，
2
a0
x2dx
奇、偶函数的傅里叶级数
n1
( 2
1
8 )sin x 2
2
sin 2x ( 2
3
8 33
)
sin
3
x
当x 时，傅里叶级数收敛于
0 x
f ( 0) f ( 0) 2 2 0
2
2
奇、偶函数的傅里叶级数
按偶式展开，延拓的偶函数
x2, 0 x
f
(
x)
x
2
,
x 0
即f ( x) x2 , x [ , ]
)
x
奇、偶函数的傅里叶级数
将函数在[0, ]展成傅里叶级数：
（1）按奇式展开：将函数在[- , ]延拓为奇函数
an =0
n 0,1, 2
傅里叶级数
一、三角函数系的正交性 函数集合
{ 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,..., cos nx , sin nx ,... }
称为三角函数系。 1、系中任意两个不同函数的乘积在区间[−π , π ] 上的积分为 0 , 这一性质称为三角函数系的 正交性。 2、 系中任一函数自己与自己的乘积在区间[−π , π ] 上的积分不为0。
ω
y 一列简谐振动， = An sin( nω t + ϕ n ) n = 0,1,2,... 2π 它们有公共周期 T = ω 2π 问： 给了一个复杂的波， 其周期为 ， ω 能否将它表示为许多个简谐振动之和？
即：
f (t )
= ∑ An sin( nω t + ϕ n ) ?
n =0
∞
这一展开的物理意义是： 一个复杂的周期运动 可以分解成许多不同频率的简谐振动的叠加。 电工学中， 将这种展开称为 谐波分析 A0 sin ϕ 0 ： f ( t ) 的直流分量 A1 sin(ωt + ϕ1 ) ： f ( t ) 的一次谐波(或基波)
f ( x ) 的傅里叶系数， 简称傅氏系数。
以傅氏系数构成的三角级数
a0 + ∑ (an cos nx + bn sin nx ) 2 n =1
∞
称为函数 f ( x )的傅里叶级数， 简称傅氏级数。
说明
只要(2)(3)式中的积分存在， 就可求出
傅氏系数 a0、an、bn , ( n = 1,2,...) ， 从而， 就得到函数 f ( x ) 的傅氏级数
2
( −1)n +1 cos nx + sin nx n
《数学分析》第十五章傅立叶级数
二、将函数 f ( x ) 2 x 2 ( 0 x ) 分别展开成正弦级数 和余弦级数 .
x 三、将以2 为周期的函数 f ( x ) 在( , ) 内展开成 2 1 n1 傅里叶级数,并求级数 ( 1) 的和 . 2n 1 n 0
2 2 cos nx x x . 四、证明:当0 x 时, 2 n 4 2 6 n 1
1 1 1 1 y 2(sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x sin 5 x ) 2 3 4 5 观 察 两 函 y x 数 图 形
例 2 将周期函数u( t ) E sin t 展开成傅氏级数, 其中 E 是正常数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个 数轴上连续.
y x 1
(2)求余弦级数. 对f ( x )进行偶延拓 , 2 a0 ( x 1)dx 2, 0 2 an 0 ( x 1) cos nxdx 0 当 n 2 , 4 , 6 , 2 2 (cos n 1) 4 当 n 1 , 3 , 5 , n 2 n 4 1 1 x 1 1 (cos x 2 cos 3 x 2 cos 5 x ] 2 3 5
2 2 ( 1) n f ( x ) 8 2 cos nx ( 0 x ) . 3 n 1 n x n 1 1 ( 1 ) sin nx x ( , ) 三、 ； . 2 n 1 n 4
a.只有周期函数才能展成傅氏级数;
b.在[0, ]上, 展成周期为2的傅氏级数唯一;
c .在[ , ]上连续且只有有限个极 值点时, 级数处处收敛于f ( x ).
傅里叶级数
当题目给出的函数在周期内
为奇函数时，相对应的傅里
叶级数为：
此时的傅里叶级数为：正弦
级数，如下：
求解傅里叶级数时利用奇
偶性进行简化运算
当题目给出的函数在周期内
为偶函数时，相对应的傅里
叶级数为：
此时的傅里叶级数为：余弦
级数，如下：
相应的例子
题目：f(X)=x+1（0<=x<=π),请相应的求展开的
对于f(X)的傅
里叶级数在任
何点x都是收
敛的，并且在
前提区间的求
和函数为：
可以看到当f(X)在x上连续时，该函数的傅里叶级数式收敛于函数本身的
对f(X)在x上连续
Байду номын сангаас
对f(X)在x上不连续
X=±
4.傅里叶级数的收敛定理
从收敛定理中可知：
即使函数有傅里叶级数的形式，但是也是在一些点上面是不连续的，但
是即使不连续，通过这个定理级数也收敛于左右极限的算术平均值
上，才能任意展开成为正弦级
数或者余弦级数，并且此函数
的傅里叶级数的形式是不唯一
的
谢谢观看，同学们学习进步噢！
正弦级数和预先级数
（1）求正弦级数的展开式
由于函数为奇函数所以带入以上推导出来的傅里叶级数的
参数方程可求：
相应的例子
题目：f(X)=x+1（0<=x<=π),请相应的求展开的
正弦级数和预先级数
（2）求余弦级数的展开式
由于函数为奇函数所以带入以上推导出来的傅里叶级数的
参数方程可求：
注意：这个函数只有在区间[0,π]
微积分
傅里叶级数
1.傅里叶级数的定义
傅里叶级数
得信号的傅立叶展开式为： 得信号的傅立叶展开式为：
f (t ) = 1 4 1 1 sin(Ωt ) + sin(3Ωt ) + sin(5Ωt ) + ⋯ + sin( nΩt ) + ⋯, n = 1,3,5,⋯ π 3 5 n
它只含一、 奇次谐波分量。 它只含一、三、五、…奇次谐波分量。
n
因为傅里叶系数 将
an b 和
n
Fn =
1 1 1 An e jϕn = ( An cos ϕ n + jAn sin ϕ n ) = (an + jbn ) 2 2 2
系数公式带入上式得
1 Fn = T
∫
T 2
−T 2
1 f (t ) cos(nΩt )dt − j T
∫
T 2
−T 2
f (t ) sin(nΩt )dt
0, 2 = [1 − cos(nπ )] = 4 nπ nπ ,
n = 2,4,6,⋯ n = 1,3,5,⋯
将系数代入下面的式子： 将系数代入下面的式子：
∞ a0 ∞ f (t ) = + ∑ an cos(nΩt ) + ∑ bn sin( nΩt ) 2 n =1 n =1
某函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数 某函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数 的波形有关 而且与时间坐标原点的选择 有关， 时间坐标原点的选择有关 的波形有关，而且与时间坐标原点的选择有关 如下图是三角波的偶函数。 。如下图是三角波的偶函数。 f (t )
T 1 − 2 T 2
0
f (t )
坐标原点左移
∑Aeϕe
n
n
傅里叶光学1-5函数正交展开和级数
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傅里叶光学1-5函数正交展开和级 数
contents
目录
• 傅里叶光学基础 • 1-5函数的正交展开 • 级数展开 • 傅里叶光学与信息处理 • 傅里叶光学的发展趋势和展望
01 傅里叶光学基础
傅里叶变换的定义
傅里叶变换
将一个时域信号转换为频域信号 的过程，通过将信号表示为不同 频率的正弦波的叠加来实现。
傅里叶光学作为一门独立的学 科，起源于20世纪初，主要研 究光波在空间和时间上的变化
规律。
随着光学技术和计算机科学 的不断发展，傅里叶光学在 信息处理、通信、图像处理 等领域得到了广泛应用。
目前，傅里叶光学已经形成了 较为完善的理论体系，并在实 际应用中取得了显著成果。
傅里叶光学的研究热点和前沿问题
1-5函数正交展开的应用
01
光波传播分析
在傅里叶光学中，光波的传播可以用正交的平面波函数来描述。通过正
交展开，我们可以分析光波的频谱成分和空间分布。
02 03
图像处理
在图像处理中，正交展开可以用于图像的频域分析和滤波。通过对图像 进行傅里叶变换得到频谱，然后对频谱进行滤波处理，可以实现图像的 降噪、增强等效果。
信号处理
在信号处理中，正交展开可以用于信号的频谱分析和滤波。通过将信号 展开为正交函数的线性组合，可以提取信号的频率成分，实现信号的滤 波、去噪等处理。
03 级数展开
级数展开的定义
定义
级数展开是将一个函数表示为无穷序列的和或差的过程。
形式
给定函数f(x)，可以表示为无穷级数∑an x^n的形式，其中an是常数，n是自然数。
傅里叶光学在信号处理中的应用
傅里叶级数.pdf
f ( x)dx
a0 dx 2
an
n1
cosnxdx bn
sin nxdx
根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：
从而得出
f ( x)dx a0 2 2
1 a0
f ( x)dx
其次求 an ，用 cos nx 乘②式两端，再从
到 逐项积分，可得
f (x) cos nxdx a0 2
0
10
1
f ( x) cos( nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
1
1
f ( x) cos(nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
0
2 f ( x) cosnxdx ( n 0,1,2,3, ).
0
1 bn
f ( x) sin nxdx
10
1
f (x) sin nxdx
x sin nxdx
⑤
2 n1
2
2
记
a0 2
c0 ,
an ib n 2
cn ,
an ib n 2
cn
(n 1,2,3, ),
则⑤式就表示为
a0 2
cn einx
n1
c n e inx ) .
(cneinx ) n 0
cn einx c ne inx ) .
n1
cneinx
⑥
n
⑥式即为傅里叶级数的复数形式。
系数 cn 的计算
（1）证 设 f (x) 为奇函数，即 f ( x) f ( x) 。按傅里叶系数公式有：
1 an
f (x) cosnxdx
10
1
傅里叶级数——精选推荐
| an cos nx + bn sin nx |≤| an | + | bn |, 根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论.
为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
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有函数具有共同的周期 2π. 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
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三、收敛定理
定理15.3(傅里叶级数收敛定理) 若以 2π 为周期的 函数 f 在[−π, π]上按段光滑, 则在每一点x ∈[−π, π], f 的傅里叶级数(12)收敛于f 在点x 的左、右极限的
算术平均值, 即
∑ f ( x
+ 0) + 2
f
( x − 0)
=
a0 2
+
∞
(an cos nx + bn sin nx),
n=1
其中 an ,bn 为f 的傅里叶系数.
定理的证明将在§3中进行.
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注 尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数,但它对 函数的要求却比幂级数要低得多, 所以应用更广. 而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉. 概念解释 1. 若f 的导函数在[a, b]上连续, 则称f在[a, b]上光滑. 2. 如果定义在 [a, b]上函数f 至多有有限个第一类间 断点,其导函数在[a, b]上除了至多有限个点外都存 在且连续, 并且在这有限个点上导函数 f ′ 的左、右 极限存在, 则称 f 在[a, b]上按段光滑.
一、三角级数·正交函数系
二、以 2π 为周期的函数的傅里叶级数
三、收敛定理
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一、三角级数·正交函数系
常用傅里叶级数公式总结
常用傅里叶级数公式总结
常用傅里叶级数公式总结
傅里叶级数是把一个无穷级数表示的函数的展开式，它是由若干sin和cos级数组成的，是一种非常有用的数学工具，在很多学科中都有重要的应用，如信号分析、信号处理、运动学等。
1、指数函数的级数展开式：
可以将函数f(x)展开成一个无穷级数：
f(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+…+a_nx^n+…
其中a_n可以表示为：
a_0=f(0)
a_1=f'(0)/1!
a_2=f'(0)/2!
a_3=f'(0)/3!
…
a_n=f^{(n)}(0)/n!
2、三角函数的级数展开式：
可以将函数f(x)展开成一个无穷级数：
f(x)=a_0+a_1cosx+b_1sinx+a_2cos2x+b_2sin2x+…
+a_ncosnx+b_nsinnx+…
其中a_n和b_n可以表示为：
a_0=1/π∫πf(x)dx
a_1=2/π∫πf(x)cosxdx
b_1=2/π∫πf(x)sinxdx
a_2=2/π∫πf(x)cos2xdx
b_2=2/π∫πf(x)sin2xdx
…
a_n=2/π∫πf(x)cosnxdx
b_n=2/π∫πf(x)sinnxdx
3、泊松分布的级数展开式：
可以将函数f(x)展开成一个无穷级数：
f(x)=a_0+a_1e^x+a_2e^2x+a_3e^3x+…+a_ne^nx+…
其中a_n可以表示为：
a_0=f(0)
a_1=f'(0)
a_2=f'(0)/2!
a_3=f''(0)/3!
…。
傅里叶级数 方差 最大值 最小值
傅里叶级数方差最大值最小值下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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Fig. 24-12
Miscellaneous Fourier Series
24.19.
f (x) = sin μx, − π < x < π, μ ≠ integer
2 sin μπ π
⎛ sin x ⎝⎜12 − μ2
−
2 sin 2x 22 − μ2
+
3sin 3x 32 − μ2
−
⎞ ⎠⎟
24.20.
α π
−
2 π
⎛ sinα cos ⎝⎜ 1
x
−
sin 2α cos 2x 2
+
sin
3α cos 3
3x
−
⎞ ⎠⎟
24.18.
f
(x)
=
⎧⎨⎩−
x(π x(π
− −
x x
) )
0< x <π −π < x < 0
8 π
⎛ sin x ⎝⎜ 13
+
sin 3x 33
+
sin 5x 53
+
⎞ ⎠⎟
Fig. 24-11
∑ 24.1.
a0 2
+
∞ n=1
⎛ ⎝⎜
an
cos
nπx L
+ bn
sin
n π x⎞ L ⎠⎟
where
24.2.
∫ ⎧⎪an
⎨
∫ ⎩⎪bn
= =
1
L 1
L
c+2 L
nπx
c f (x) cos L dx
c+2 L
nπx
c f (x)sin L dx
If f (x) and f ′(x) are piecewise continuous and f (x) is defined by periodic extension of period 2L, i.e.,
π2 3
−4⎛ ⎝⎜来自cos 12x
−
cos 2x 22
+
cos 3x 32
−
⎞ ⎠⎟
24.15. f (x) = x(π − x), 0 < x < π
π2 6
−
⎛ ⎝⎜
cos 2 12
x
+
cos 4x 22
+
cos 6x 32
+
⎞ ⎠⎟
24.16. f (x) = x(π − x)(π + x), − π < x < π
Assuming that the series 24.1 converges to f (x), we have
24.3.
∞
∑ f (x) = cneinπx/L n=−∞
where
24.4.
cn
=
1 2L
∫ c+2L c
f (x)e−inπx/L dx
=
⎧⎨⎪1212 ⎩⎪12
(an − ibn ) (a−n + ib−n ) a0
cos 5x 52
+
⎞ ⎠⎟
24.9. f (x) = x, − π < x < π
2
⎛ sin ⎝⎜ 1
x
−
sin 2x 2
+
sin 3x 3
−
⎞ ⎠⎟
24.10. f (x) = x, 0 < x < 2π
π
−
2
⎛ sin ⎝⎜ 1
x
+
sin 2x 2
+
sin 3x 3
+
⎞ ⎠⎟
24.11. f (x) = | sin x |, − π < x < π
(ancn
n=1
+ bndn )
where an, bn and cn, dn are the Fourier coefficients corresponding to f (x) and g(x), respectively.
Special Fourier Series and Their Graphs
24.7.
f (x) = ⎧⎨⎩−11
0< x <π −π < x < 0
4 π
⎛ sin ⎝⎜ 1
x
+
sin 3x 3
+
sin 5x 5
+
⎞ ⎠⎟
24.8.
f (x) = | x | = ⎧⎨⎩−xx
0< x <π −π < x < 0
π 2
−
4 π
⎛ cos x ⎝⎜ 12
+
cos 3x 32
+
Definition of a Fourier Series
The Fourier series corresponding to a function f (x) defined in the interval c Ϲ x Ϲ c + 2L where c and L > 0 are constants, is defined as
f (x) = cos μx, − π < x < π, μ ≠ integer
2μ sin μπ π
⎛1 ⎝⎜ 2μ2
+
cos x 12 − μ2
−
cos 2x 22 − μ2
+
cos 3x 32 − μ2
−
⎞ ⎠⎟
24.21. 24.22.
f (x) = tan−1[(a sin x) / (1 − a cos x)], − π < x < π , | a | < 1
a sin x + a2 sin 2x + a3 sin 3x +
12
⎛ ⎝⎜
sin 13
x
−
sin 2x 23
+
sin 3x 33
−
⎞ ⎠⎟
Fig. 24-6 Fig. 24-7 Fig. 24-8 Fig. 24-9 Fig. 24-10
24.17.
f (x) = ⎧⎨⎪10
0< x <π −α π −α < x <π +α
⎩⎪0 π + α < x < 2π
f (x
ϩ
2L)
ϭ
f (x),
then
the
series
converges
to
f (x)
if
x
is
a
point
of
continuity
and
to
1 2
{
f
(x
+
0)
+
f (x
−
0)}
if
x is a point of discontinuity.
Complex Form of Fourier Series
n>0 n<0 n=0
Parseval’s Identity
24.5.
∫ ∑ 1
L
c+2 L
{ f (x)}2 dx
c
=
a02 2
+
∞
(an2
n=1
+ bn2 )
Generalized Parseval Identity
∫ ∑ 24.6.
1 L
c+2 L c
f (x)g(x) dx
=
a0c0 2
+
∞
x
−
2 π
⎛⎝⎜
cos 2x 1i 3
+
cos 4x 3i5
+
cos 6x 5i7
+
⎞⎠⎟
24.13.
f
(x)
=
⎧⎨⎩−
cos cos
x x
0< x <π −π < x < 0
8 π
⎛ sin 2x ⎝⎜ 1 i 3
+
2 sin 4x 3i5
+
3sin 6x 5i7
+
⎞⎠⎟
24.14. f (x) = x2, − π < x < π
2 π
−
4 π
⎛ cos 2x ⎝⎜ 1 i 3
+
cos 4x 3i5
+
cos 6x 5i7
+
⎞⎠⎟
Fig. 24-1 Fig. 24-2 Fig. 24-3 Fig. 24-4 Fig. 24-5
24.12.
f (x) = ⎧⎨⎩sin0 x
0< x <π π < x < 2π
1 π
+
1 2
sin