数理逻辑考试题及答案

“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案━━━━━━━━━━━━━━━━━━★━━━━━━━━━━━━━━━━━━

一、命题逻辑基本知识（5分）

1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分）

（0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。

解：?p∧q，其中，P：小刘怕吃苦；q：小刘爱钻研。

（1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。

解：q→?p，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。

（2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。

解：?r→(p→p)，其中，P：别人有困难；q：老张帮助别人；r：困难解决了。

（3）小王与小张是亲戚。

解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。

2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分）

（0）A：(?(p?q)?((p??q) ?(?p?q)))? r

（1）B：(p??(q?p)) ?(r?q)

（2）C：(p??r) ?(q?r)

（3）E：p?(p?q?r)

（4）F：?(q?r) ?r

解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。

3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共2分）

（0）设y=2|x|，x为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。

解：设y=2|x|，x为实数。令P：y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，p为假，q为真。本题推理符号化为：(p?q) ?q?p。由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。

（1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。

解：令p:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，s:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，s=0。本题推理符号化为：((p ? q) →s) ?p ?q) →(r ? s)。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。

二、命题逻辑等值演算（5分）

1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共2分）

（0）求公式p→((q∧r) ∧(p∨(?q∧?r)))的主析取范式。

解：p→((q∧r) ∧(p∨(?q∧?r)))??p∨(q∧r∧p) ∨(q∧r∧?q∧?r)

??p∨(q∧r∧p) ∨0 ? (p∧q∧r) ∨? (?p∧1∧1) ∨(q∧r∧p)

? (?p∧(q∨?q)∧(r∨?r)) ∨(q∧r∧p) ? (?p∧(q∨?q)∧(r∨?r)) ∨m7

? (?p∧?q∧?r)∨(?p∧?q∧r)∨(?p∧q∧?r)∨(?p∧q∧r)∨m7

?m0∨m1∨m2∨m3∨m7.

（1）求公式?(?(p→q)) ∨(?q→?p)的主合取范式。

解：?(?(p→q)) ? (?q→?p)?(p→q) ? (p→q) ? (p→q)

??p?q ? M2.

（2）求公式(p→(p∨q)) ∨r的主析取范式。

解：(p→(p?q)) ?r ??p? (p?q) ?r ? (?p?p?q? r) ?1

?m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7.

2、应用分析（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共3分）

（0）某村选村委，已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委，三村民甲、乙、丙预言：甲预言：赵炼玉为村长，钱谷王为村支书。

乙预言：孙竹湾为村长，赵炼玉为村支书。

丙预言：钱谷王为村长，赵炼玉为村妇女主任。

村委分工公布后发现，甲乙丙三人各预测正确一半。赵炼玉、钱谷王、孙竹湾各担任什么职务？解：设P1：赵炼玉为村长，p2：钱谷王为村长，p3：孙竹湾为村长，

q1：赵炼玉为村支书，q2: 钱谷王为村支书，r1：赵炼玉为村妇女主任。

判断公式F?( (p1??q2) ? (?p1?q2)) ? ( (p3??q1) ? (?p3?q1)) ? ( (p2??r1) ? (?p2?r1))

??p1?q2?p3??q1??q2?r1?1?q2?p3??r1，

由此，钱谷王为村支书，孙竹湾为村长，赵炼玉为村妇女主任。

说明：p1、p2、p3有且仅有一个为真，q1、q2有且仅有一个为真。一个人不能担任两职，一个职务不可由两人同时担任。

（1）某公司派赵、钱、孙、李、周五人出国学习。选派条件是：

①若赵去，钱也去。②李、周两人必有一人去。

③钱、孙两人去且仅去一人。④孙、李两人同去或同不去。

⑤如周去，则赵、钱也同去。如何选派他们出国？

解：①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去。

②(1) (p?q) (2) (s?u) (3) ((q??r)?(?q?r))

(4) ((r?s)?(?r??s)) (5) (u?(p?q))

③(1) ~ (5)构成的合取式为：

A= (p?q)?(s?u)?((q??r)?(?q?r))? ((r?s)?(?r??s))?(u?(p?q))

? (?p??q?r?s??u)?(p?q??r??s?u)

由此可知，A的成真赋值为00110与11001，

因而派孙、李去（赵、钱、周不去），或派赵、钱、周去（孙、李不去）。

三、命题逻辑推理（5分）

在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共5分）（0）如果张老师出国，则若李老师出国，王老师出国。现在的情况是张老师与李老师都要出国。所以，王老师不出国，则孙老师出国。

解：形式化：

p：张老师出国；q：李老师出国；r：王老师出国；s：孙老师出国。

前提：p?(q?r)，p?q

结论：?r?s

证明：①p?(q?r) 【前提引入】

②?p? (?q?r) ? p?q?r 【①置换】

③p?q 【前提引入】

④r 【②③假言推理】

⑤r ?s 【④附加规则】

⑥?? r∨s 【⑤置换】

⑦?r?s 【⑥置换】证毕。

（1）若张同学与李同学是乐山人，则王同学是雅安人，若王同学是雅安人，则他喜欢吃雅鱼，然而，王同学不喜欢吃雅鱼，张同学是乐山人。所以，李同学不是乐山人。

解：形式化：

p：张同学是乐山人；q：李同学是乐山人；r：王同学是雅安人；s：王同学喜欢吃雅鱼。

前提：(p?q)? r，r? s，?s，p

结论：?q

证明：①(p?q)? r 【前提引入】

②r? s 【前提引入】

③(p?q)? s 【①②假言三段论】

④?s 【前提引入】