二积分上限的函数及其导数

b
b a
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a , b] 上的定积分等于 [a , b] 上的增量. 它的任意一个原函数在区间
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意 当a b 时， f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立. a
2018/10/11 第五章 定积分
14
F ( x ) 0 ( x 0).
故F ( x ) 在(0, ) 内为单调增加函数.
2018/10/11 第五章 定积分
9
例3
设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，且 f ( x ) 1 .证明
2 x 0 f ( t )dt 1 在[0,1] 上只有一个解.
证 令 F ( x ) 2 x f ( t )dt 1,
1 dx. x
x 轴所围 例 8 计算曲线 y sin x 在[0, ] 上与 成的平面图形的面积.
解 面积 A sin xdx
cos x
0
0

2.
17
2018/10/11
第五章 定积分
四、小结
1.积分上限的函数 ( x ) a f ( t )dt 2.积分上限的函数的导数 ( x ) f ( x ) 3.微积分基本公式
y x
2
x2 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
原式 x dx xdx
2 2 0
2018/10/11 第五章 定积分
o
1
2
x
图5-2-3
0
1
2
1
11 x dx . 2
2
16
例7
求
1
2
解
1 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 1 dx 2 x ln | x | 2 ln1 ln 2 ln 2.
2018/10/11 第五章 定积分
11
x
（Newton-Leibniz formula） 定理 3（微积分基本公式）
三、牛顿—莱布尼茨公式
[a , b ] 上 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间
的一个原函数，则a f ( x )dx F (b) F (a ) .
证 已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ). T
1
T2
2018/10/11
第五章 定积分
1
二、积分上限的函数及其导数
x 设函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上连续，并且设
为[a , b]上的一点， 考察定积分
a
x
f ( x )dx a f ( t )dt
x
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
2018/10/11 第五章 定积分
18
微积分基本公式
若f x C a, b , 且F x f x , 则有

b
a
f ( x )dx f b a
在[1,2]上规定当 x 1时， f ( x ) 5 ,
2
1
2
原式 2 xdx 5dx 6. 0 1
2018/10/11 第五章 定积分
1
2
o
图5-2-2
1
2
x
15
例6
解
求 2 max{ x , x }dx.
2
2
y
由图形可知
y x2
2
f ( x ) max{ x , x }

x x x
x
x x
f ( t )dt a f ( t )dt
x
f (t )dt ,
由积分中值定理得
f ( )x
[ x , x x ],
图5-2-1(2)
f ( ), lim lim f (). x 0 x x 0 x x 0, x ( x ) f ( x ).
例1
e 求 lim cos x
x 0
1
t 2 2
dt
0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d 1 t 2 d cos x t 解 e dt 1 e dt , cos x dx dx
2
x
.
e
cos2 x
(cos x ) sin x e
cos2 x
加函数.
证
d x xf ( x ), tf ( t ) dt dx 0
x
d x f ( t ) dt f ( x ), 0 dx
x
F ( x )
2018/10/11
xf ( x )0 f ( t )dt f ( x )0 tf ( t )dt
第五章 定积分

x
0
f ( t )dt
a
第五章 定积分
图5-2-1(1)
3
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导
x
d x f ( t )dt f ( x ) 数是 ( x ) a dx
x
d x f ( t )dt f ( x ) 数是 ( x ) a dx
证 ( x x ) a
x x x
(a x b)
x x
f ( t )dt
( x x ) ( x )

a 2018/10/11
f ( t )dt f ( t )dt
2018/10/11 第五章 定积分
5
补充 如果 f ( t ) 连续，a( x )、b( x ) 可导，
则 F ( x ) a ( x ) f ( t )dt 的导数F ( x ) 为
d b( x ) F ( x ) f ( t )dt f b( x )b( x ) f a( x )a( x ) dx a ( x )
b( x )
证 F ( x)

0
a( x )
0
b( x )
f (t )dt
a( x ) 0
F ( x ) f b( x )b( x ) f a( x )a( x )
2018/10/11 第五章 定积分
6
0
b( x )
f ( t )dt
f ( t )dt ,
x
如果上限x 在区间[a , b] 上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a , b]上定义了一个函数，
记 ( x ) f ( t )dt .
a
2018/10/11
x
积分上限的函数
2
第五章 定积分
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导
21
练习题 x 2 .0 x 1 4 1. f x 1,1 x 2 , 求 0 f x dx; 4 x, 2 x 4 2.0 1 cos 2 xdx 1 1 x t2 1 3.lim 2 4 5 0 e dt x 0 3 x x x
又 ( x )
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
2018/10/11 第五章 定积分
x [a , b ]
12
令 xa
a
F ( a ) ( a ) C ,
(a ) a f ( t )dt 0 F (a ) C ,
,
e lim cos x
x 0
2018/10/11
1
t 2
dt
x2
sin x e lim x 0 2x
cos2 x
1 . 2e
7
第五章 定积分
例2
设 f ( x ) 在( , ) 内连续，且 f ( x ) 0 .
x
tf ( t ) dt 证明函数 F ( x ) 0x 在( 0, ) 内为单调增 0 f ( t )dt
0 x
x
f ( x ) 1,
F ( x ) 2 f ( x ) 0,
F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1) 1 0 f ( t )dt 0 [1 f ( t )]dt 0,
所以F ( x ) 0 即原方程在 [0,1] 上只有一个解.
b
例4
解
求 ( 2 cos x sin x 1)dx .
0
2 原式 2 sin x cos x x 0 3 .
2

2 2 x 0 x 1 例5 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 y 5
2
解 f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx 0 0 1
积分中值定理
F b a F(b) F(a)
a f ( x )dx F (b) F (a )
牛顿 – 莱布尼茨公式
2018/10/11 第五章 定积分
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b
微分中值定理
思考题
t x f ( u)du 是x 的函数还是
b
设 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则a f ( t )dt 与
2018/10/11 第五章 定积分
10
1
1
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原 函数之间的联系.

2
8
F ( x )
f ( x )0 ( x t ) f ( t )dt
x

x
0
f ( t )dt

2
,
f ( x ) 0, ( x 0) ( x t ) f ( t ) 0,
x
0 f ( t )dt 0,
x
0 ( x t ) f ( t )dt 0,
证 ( x x ) a
x x x
(a x b)
x x
f ( t )dt
( x x ) ( x )

a 2018/10/11
f ( t )dt f ( t )dt
a
第五章 定积分
图5-2-1(1)
4
a f ( t )dt x
F ( x ) a f ( t )dt C ,
x
a
x
f ( t )dt F ( x ) F (a ),
令x b
a f ( x )dx F (b) F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式
第五章 定积分
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b
2018/10/11
a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x )
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
x
u 的函数？它们 与
的导数存在吗？如存在等于什么？
来自百度文库
2018/10/11
第五章 定积分
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思考题解答
a
x
f ( t )dt 与 x f ( u)du都是x 的函数
b
d x f ( t )dt f ( x ) a dx d b f ( u ) du f ( x ) dx x
2018/10/11 第五章 定积分
2018/10/11 第五章 定积分
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4.设
解 设
求 则
练习题答案 1 1.3 ; 2.2 2 ; 3
1 3. . 10
作业 P243 2；5.(4)(5)(8)；9；12.
2018/10/11
第五章 定积分
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