第六章 树
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（1）每个结点最多只有两棵子树（以出度作为树结点的度，则二 叉树不存在出度大于2的结点）； （2）左子树和右子树次序不能颠倒。下图是两棵不同的树
• 正则二叉树 每个内点都恰有两个儿子的二叉树称为正则二叉树（或称 满二叉树）。
例6.2 判断图6-11(a),(b),(c)是否满二叉树？
图 6-11(a)
(a)
(b)
(c)
(d)
一个连通有回路的图（如图6-2）通过删边去掉回路，成为 树，如图6-3,图6-4。
图 6-2
图 6-3
图 6-4
• 树中结点数与边数的关系 定理 在(n,m)树中必有n=m+1。
• 树的特性
（1）一个无向图是树当且仅当在它的每对结点之间存在唯一的通路； （2）树是边数最多的无回路图，树是边数最少的连通图； （3）带有n个结点的树（称为n阶树）含有n-1条边，且所有结点的度 之和为2(n-1)。
规定二叉排序树中的每个结点的左子树中所有结点的关键字值都小 于该结点的关键字值，而右子树中所有结点的关键字值都大于该结 点的关键字值。计算机使用中大部分用来排序和查找各种各样的信 息，排序和查找是数据处理中常见运算。
例6.3 下图中的二叉树，哪些是二叉排序树
例6.4 构造关键码集合 {red,green,yellow,white,black,grey,pink,purple,blue}二叉排序 树，说出查找关键字pink的过程。
6.1.3 二叉树
• 有序树、无序树
树根树的每个内点的儿子都规定次序，则把此根树称为有序树。不 考虑内点儿子的次序，此根树称为无序树。
• 二叉树定义
设T是一棵有序树，若T的每个内 点至多有两个子结点（儿子）， 则称T为二叉树。二叉树的子树 有左子树和右子树之分，其次序 不能交换。
• 二叉树基本特征
red
green
black
grey
pink blue
yellow white
purple
课堂练习6.1.3
1、判断图两个二叉树是否相同
6.1.4 决策树
设有一棵根树，如果其每个分支点都会提出一个问题， 从根开始，每回答一个问题，走相应的边，最后到达一 个叶结点，即获得一个决策，这样的根树称为决策树 (Decision Tree)。
• 根树的模型 （1）表示组织机构：一个虚拟大学的行政结构图
（2）表示计算机的文件结构
（3）wenku.baidu.com族树
有一位生物学家在研究家族遗传问题时， 采用了“树”形来描述家族成员的遗传 关系。家族树用结点表示家族成员，用 边表示亲子关系。如某家族祖宗a，有三 个儿子b,c,d，b生了两个儿子e,f，d生 了两个儿子g,h，e有三个儿子，i,j,k， g有两个儿子l,m，j生了一个儿子n，这 种家属关系用根树表示。如右图
画根树时，把树根画在图的顶端，边的方向向下，形成一棵倒挂的树。
家属关系的相关术语我们引用到根树中来表示结点之间的关系。 （1）在根树中，若u可达v且长度大于或等于2，则称u是v的祖先，v 是u的后代；若<u,v>是根树中的一条有向边，则称u是v的父亲，v是 u的儿子；同一结点的儿子结点称为兄弟；父亲在同一层的结点称为 堂兄弟。 （2）在根树中，从树根到任意结点u经过的边数称为结点u的层数， 层数最大的结点的层数称为树高。
课堂练习6.1.1
1、设一棵树有两个结点度为2，一个结点度为3，三个结点度为4，其余 结点度1，求它有几个结点度为1？ 2、一棵树有6片树叶，3个2度结点，其余结点度数为4，求这棵树所含的 边数。
6.1.2 根树
• 根树
指定一个结点作为根并且每条边的方向都离开根的树， 即仅一个结点的入度为0，其余结点的入度为1的有向图 称为根树(root)。入度为0的结点称为树根，出度为0的 结点称为树叶，出度不为0的结点称为分支点（内点）。
6.1树的概念与类型
6.1.1 树的相关概念
• 树的定义
连通无回路的无向图，称为无向树，简称树(Tree)，用T表示。T中度为 1的结点称为树叶，度大于1的结点称为分支点或内点，每个连通分图 都是树的非连通图称为森林。
例6.1 图(a)、(b)是树，因为它们连通又不包含回路。图(c)、(d)均不 是树，图（c）虽无回路，但不连通，而图(d)虽连通，但有回路。图(c) 是森林。
课堂练习6.1.2
1、树T如图 ，指定b作根，画出所形成的根树， 回答下列问题
（1）哪些结点是树叶？ （2）哪些结点是内点？ （3）a的祖先、a的父亲是哪个结点？ （4）e有没有兄弟，儿子？ （5）树高是多少？
2、在组织机构根树中以下术语分别表示什么内容？ （1）一个结点的父亲； （2）一个结点的儿子； （3）一个结点的兄弟； （4）一个结点的祖先； （5）一个结点的后代； （6）一个结点的层数； （7）树的高度。
下面我们用决策树表示算法，并使得在最坏情形下花费 时间最少。
例6.5 现有5枚外观一样的硬币，只有1枚硬币与其它 的重量不同。问如何使用一架天平来判别哪枚硬币是坏 的，重还是轻？
学习目标
6.1节 理解树的基本概念、树的模型
6.2节 掌握最小连接算法，会使用 Kruskal算法和Prim算法求最小生成树。
6.3节 理解并掌握数据挖掘中决策树算法
树是图论中应用最广泛、最重要的子类之一。1847年，Gustav Kirchhoff（古斯塔夫•基尔霍夫，1824-1887）研究电网络时发现 了图论的新应用，在有关电网的著作中首次使用了树。后来Arthur Cayley（亚瑟•凯雷，1821-1895）在有机化学领域重新发展了树， 用树去计数某些类型的化合物。现在，计算机科学广泛采用了树的 概念。比如，在数据库系统中用树来组织信息，在编绎程序中用树 表示源程序的语法结构，数据结构中树的存储，数据挖掘中的决策 树等，在最优化问题的求解中树也起着重要作用。
图 6-11(b)
图 6-11(c)
例 6.3 代数树在编译程序中处理算术表达式时常用到，其中运算符处于分支点位置，运算
对象（数值或字母）处于树叶位置。代数表达式 a b d (e f ) 用二叉树表示。如图 6-12
c
g
• 二叉排序树
各数据元素在二叉树中按一定次序排列，这样的二叉树称为二叉排 序树。
• 正则二叉树 每个内点都恰有两个儿子的二叉树称为正则二叉树（或称 满二叉树）。
例6.2 判断图6-11(a),(b),(c)是否满二叉树？
图 6-11(a)
(a)
(b)
(c)
(d)
一个连通有回路的图（如图6-2）通过删边去掉回路，成为 树，如图6-3,图6-4。
图 6-2
图 6-3
图 6-4
• 树中结点数与边数的关系 定理 在(n,m)树中必有n=m+1。
• 树的特性
（1）一个无向图是树当且仅当在它的每对结点之间存在唯一的通路； （2）树是边数最多的无回路图，树是边数最少的连通图； （3）带有n个结点的树（称为n阶树）含有n-1条边，且所有结点的度 之和为2(n-1)。
规定二叉排序树中的每个结点的左子树中所有结点的关键字值都小 于该结点的关键字值，而右子树中所有结点的关键字值都大于该结 点的关键字值。计算机使用中大部分用来排序和查找各种各样的信 息，排序和查找是数据处理中常见运算。
例6.3 下图中的二叉树，哪些是二叉排序树
例6.4 构造关键码集合 {red,green,yellow,white,black,grey,pink,purple,blue}二叉排序 树，说出查找关键字pink的过程。
6.1.3 二叉树
• 有序树、无序树
树根树的每个内点的儿子都规定次序，则把此根树称为有序树。不 考虑内点儿子的次序，此根树称为无序树。
• 二叉树定义
设T是一棵有序树，若T的每个内 点至多有两个子结点（儿子）， 则称T为二叉树。二叉树的子树 有左子树和右子树之分，其次序 不能交换。
• 二叉树基本特征
red
green
black
grey
pink blue
yellow white
purple
课堂练习6.1.3
1、判断图两个二叉树是否相同
6.1.4 决策树
设有一棵根树，如果其每个分支点都会提出一个问题， 从根开始，每回答一个问题，走相应的边，最后到达一 个叶结点，即获得一个决策，这样的根树称为决策树 (Decision Tree)。
• 根树的模型 （1）表示组织机构：一个虚拟大学的行政结构图
（2）表示计算机的文件结构
（3）wenku.baidu.com族树
有一位生物学家在研究家族遗传问题时， 采用了“树”形来描述家族成员的遗传 关系。家族树用结点表示家族成员，用 边表示亲子关系。如某家族祖宗a，有三 个儿子b,c,d，b生了两个儿子e,f，d生 了两个儿子g,h，e有三个儿子，i,j,k， g有两个儿子l,m，j生了一个儿子n，这 种家属关系用根树表示。如右图
画根树时，把树根画在图的顶端，边的方向向下，形成一棵倒挂的树。
家属关系的相关术语我们引用到根树中来表示结点之间的关系。 （1）在根树中，若u可达v且长度大于或等于2，则称u是v的祖先，v 是u的后代；若<u,v>是根树中的一条有向边，则称u是v的父亲，v是 u的儿子；同一结点的儿子结点称为兄弟；父亲在同一层的结点称为 堂兄弟。 （2）在根树中，从树根到任意结点u经过的边数称为结点u的层数， 层数最大的结点的层数称为树高。
课堂练习6.1.1
1、设一棵树有两个结点度为2，一个结点度为3，三个结点度为4，其余 结点度1，求它有几个结点度为1？ 2、一棵树有6片树叶，3个2度结点，其余结点度数为4，求这棵树所含的 边数。
6.1.2 根树
• 根树
指定一个结点作为根并且每条边的方向都离开根的树， 即仅一个结点的入度为0，其余结点的入度为1的有向图 称为根树(root)。入度为0的结点称为树根，出度为0的 结点称为树叶，出度不为0的结点称为分支点（内点）。
6.1树的概念与类型
6.1.1 树的相关概念
• 树的定义
连通无回路的无向图，称为无向树，简称树(Tree)，用T表示。T中度为 1的结点称为树叶，度大于1的结点称为分支点或内点，每个连通分图 都是树的非连通图称为森林。
例6.1 图(a)、(b)是树，因为它们连通又不包含回路。图(c)、(d)均不 是树，图（c）虽无回路，但不连通，而图(d)虽连通，但有回路。图(c) 是森林。
课堂练习6.1.2
1、树T如图 ，指定b作根，画出所形成的根树， 回答下列问题
（1）哪些结点是树叶？ （2）哪些结点是内点？ （3）a的祖先、a的父亲是哪个结点？ （4）e有没有兄弟，儿子？ （5）树高是多少？
2、在组织机构根树中以下术语分别表示什么内容？ （1）一个结点的父亲； （2）一个结点的儿子； （3）一个结点的兄弟； （4）一个结点的祖先； （5）一个结点的后代； （6）一个结点的层数； （7）树的高度。
下面我们用决策树表示算法，并使得在最坏情形下花费 时间最少。
例6.5 现有5枚外观一样的硬币，只有1枚硬币与其它 的重量不同。问如何使用一架天平来判别哪枚硬币是坏 的，重还是轻？
学习目标
6.1节 理解树的基本概念、树的模型
6.2节 掌握最小连接算法，会使用 Kruskal算法和Prim算法求最小生成树。
6.3节 理解并掌握数据挖掘中决策树算法
树是图论中应用最广泛、最重要的子类之一。1847年，Gustav Kirchhoff（古斯塔夫•基尔霍夫，1824-1887）研究电网络时发现 了图论的新应用，在有关电网的著作中首次使用了树。后来Arthur Cayley（亚瑟•凯雷，1821-1895）在有机化学领域重新发展了树， 用树去计数某些类型的化合物。现在，计算机科学广泛采用了树的 概念。比如，在数据库系统中用树来组织信息，在编绎程序中用树 表示源程序的语法结构，数据结构中树的存储，数据挖掘中的决策 树等，在最优化问题的求解中树也起着重要作用。
图 6-11(b)
图 6-11(c)
例 6.3 代数树在编译程序中处理算术表达式时常用到，其中运算符处于分支点位置，运算
对象（数值或字母）处于树叶位置。代数表达式 a b d (e f ) 用二叉树表示。如图 6-12
c
g
• 二叉排序树
各数据元素在二叉树中按一定次序排列，这样的二叉树称为二叉排 序树。