节点分析法
王琪辉《电路原理》2-9 节点分析法
1 20
)U
n1
(1 5
1 20
1 20
1 )U 10
n3
15 5
4 10
Un3 6v
解法2： 令Un3 0
广义节点
(1 5
1 20
)U
n1
(1 20
1 10
)U
n2
15 5
4 10
Un1 Un2 4v 解得Un1 10v Un2 6v
I1
Un1 15 5
求电流Ix
解 N用诺顿模型等效代替
a
先求原网络Ix支路右端部 分的戴维宁等效电路
在(b)图中
I a
4 A 1A 22
b
U 1 4Ia 2Ia 6V
`
a
a
`
b
b
``
a
a
``
b
在(c)图中
在(d)图中
b
Ia
2
2
2
(Is
)
1 2
I
s
Us 1 (Is 4Ia) 2Ia Is 2Ia 0
a
I a
1 2
A
I1
8 4
2A
Isc I1 (3Ia ) 0.5A
在(b)图中 3Ia Ia
b
a
`
`
` b
Ia 0
Req
Us Is
4
a
``
a
其诺顿
``
等效电
节点分析法
补： uB uD 8
UB 8
1
11
10
UA
4
UB
(1
4
5 )U Dຫໍສະໝຸດ 111四、无伴的理想电压源处理
方法3：含有两条无伴电压源支路的，将一条 电压源支路的一端接地；设另一条理想电压源 支路的电流，将此电流暂当作电流源电流列写 方程，并利用理想电压源与相应节点电位关系 补充方程。
12
例9 ：求图示电路中电流i。
电阻不计自电导与互电导）
解： 选择参考节
A
UA
点， 列写方程：
I1
I2
I3
(1 10
1 4
1 2 )uA
1.6
70 2
1.6 70
uA
(
1
2 1 1)
10 4 2
若电路只有一个独立节点，其节点
43.06V
I1 =-4.306A I2 = 10.76A
电压方程为： u
I3 = -13.47A
Rs Us
(1)
图(1)伏安关系:
u = Us - iRs
图(2)伏安关系:
Is
u = (Is - i) Rs'
= Is Rs ' - i Rs '
Rs'
(2)
等效变换关系： Us = Is Rs′ Rs= Rs′
4
三、节点分析法： 依据：KCL
支路VCR UA
UB
UC
步骤：
1、选择参考节点，
标出其余节点电压
I sk Gk ( 弥尔曼定理)
9
四、无伴的理想电压源处理
方法1： 含有一条无伴电压源支路的，可选合 适的参考节点使理想电压源成为一个已知节点 电压，列写其余节点电压方程。
电路分析之节点法
§2-2节点（电压）分析法1.为什么要引入节点（电压）分析法目的：2.什么是节点（电压）分析法3.参考节点4.节点（电压）分析法具体步骤5.特殊情况使用支路分析法时，独立方程数目与支路数相等，当电路的支路数很多而节点较少时，使用支路分析法仍要解很多方程，是否有办法可使方程数减少呢？一、引入2、目的：1、原因：减少电路方程的数目。
3、如何实现？二、节点分析法1.指导思想：用未知的节点电压代替未知的支路电压来建立电路方程。
2.节点电压：独立节点对非独立（参考）节点的电压。
对于有n个节点的电路，只有（n－1）个独立的节点。
3.节点分析法：用KCL建立节点电流方程，然后用节点电压去表示支路电流，最后求解节电电压的方法。
注意：这里“节点”的含义（1）从节点出发（KCL），（2）用节电电压作变量①选参考节点；标出各支路电流参考方向和节点电压。
②对独立节点列节电电流方程[（n－1）个]。
③通过KVL和元件特性用节点电压表示支路电流。
④将以节点电压表示的支路电流代入步骤（2）中的节点方程，整理后可得以节点电压为变量的规范化的电路方程。
三、具体步骤和注意事项：1.解题步骤R4i4例说明：⎧u u 111111其它量类似。
当支路含有电流源时，该支路等效电流源就是电流源本身；当支路含有的是有伴电压源时，该支路等效电流源大小为电压源与该支路电导的乘积，方向与电压源为非关联。
有伴电压源支路等效电流源与该支路电流不同（等效电流源只是该支路电流的一部分）。
等效电流源：注意：G kk —是连接到节点k 的各支路电导的总和，称为节点k 的自电导，总为“＋”。
G kj —是联接节点k 和节点j 的各支路电导之和的“－”值，称为节点i 和节点j 的互电导。
I Sk —是流入节点k 的各等效电流源电流的代数和（流入为“＋”，流出为“—”）。
I Sk ＝i S1＋…＋i Sj +…其中:对于任何具有n个独立节点的电路，有n个方程且每个节点方程可由下述方程描述:自导×本节点电压＋∑互导×相邻节点电压＝∑(±电压源×该支路电导)＋∑±电流源 具体为，对第k个独立节点，节点方程为:节点k ：G k1u 1+…+G kk u k +…+G kn u n =I S k2、注意事项1)各支路中的电导应该是该支路中的总电导。
节点分析法——精选推荐
节点分析法1、结点分析方程【结点电位】在有n个结点的电路中，任选一个结点为参考结点，其余各结点至参考结点的电压称为该结点的结点电位。
【结点分析法】以结点电位为待求变量，将各支路电流用结点电位表示，列写除了参考结点以外其他所有结点的KCL 方程，求得结点电位后再确定其他变量的电路分析方法，称为结点分析法，简称结点分析法。
【结点分析方程的列写步骤】（1）选取参考结点，假定其余n-1个独立结点的结点电位。
（2）列写n-1个独立结点的KCL方程，方程中的各支路电流用结点电位表示。
（3）求解方程，得到结点电位。
（4）通过结点电位确定其他变量。
【例3-1-1】对图3-1-1所示电路列写结点方程。
解：设结点④为参考结点，并令独立结点①、②、③电压分别设为、、。
分别列写结点①、②、③的KCL方程如下。
为得到以结点电位为未知变量的电路方程，用结点电位表示各支路电流，即有将上述各式代入KCL方程，得到结点方程整理得【结点自电导】矩阵中对角线元素是与结点①所有相联支路电导之和，对角线元素，分别是结点②、③的所有相联支路电导之和。
对角线元素称为结点自电导。
【结点互电导】非对角线元素，如第一行、第二列元素，是结点①、②之间公共支路电导之和的负值，其余非对角线元素也满足相似的规律，称为结点互电导。
【结点等效电流源】等式右边是流入各结点的电流源，包括电压源通过戴维宁支路变换为诺顿支路所得的等效电流源，之电流的代数和，流入结点取正值，反之取负值。
2、结点方程的视察列写【结点方程的一般形式】对具有n个结点的电路，其结点方程可写为如下矩阵形式：或写成矩阵形式其中：结点自电导＝与结点i相联的所有支路电导之和，恒是为正值。
结点互电导＝结点k、j之间公共支路的电导之和的负值，对于不含受控电源的电路，结点互电导恒是为负值或为零。
结点等效电流源＝结点i相联的电流源、包括由电压源等效转换而来的电流源之电流的代数和，流入结点取正值，反之取负值。
电路分析-节点分析法
解：标出参考结点，标出两个结
解得各结点电压为：
u1 1V
(点1(S电1S压)1uSu11)和u1(u12S(的1S参2)Su考)2u方2 向5A10A
u2 3V
i1 (1S)u1 1A i2 (2S)u2 6A i3 (1S)(u1 u2 ) 4A
例3－6 用结点分析法求各支路电压。
例3－7 用结点分析法求电压u和支路电流i1，i2。
解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻
并(联1S,列1S出一0个.5S结)u点方5程A 。 5A
解得
u 10A 4V 2.5S
5V 4V
4V 10V
i1 1 1A i2
2
3A
例3－8 用结点分析法求结点电压。
补充方程 解得
电压，称为结点电压。 准，用接地符号表示，其
图3－6
余三个结点电压分别为u10, u20和u30 ,是一组独立的电 压变量。
例如图示电路各支路电压可表示为:
u1 u10 v1 u2 u20 v2 u3 u30 v3
图3－6
u4 u10 u30 v1 v3
u5 u10 u20 v1 v2
G11v1 G12v2 G v 1(n1) n1 iS11
G21v1 G22v2 G2( v n1) n1 iS22
G( n1)v1
G( v n1)2 2
G( v n1)( n1) n1
iS
(
n1((
n1)
节点电压产生的流出该节点的电流的代数和， 等于流入该节点的电流源的代数和。
解：选定6V电压源电流i
的参考方向。计入电流变
量i(1列S)出u1两个i 结5点A方程：
u1 u2 6V
2.2 节点分析法
节点分析法
节点分析法：以各节点电压为变量，列写 KCL方程(KCL方程数等于独立节点数)，联立 求解各个节点电压。 假设给定电路有n个节点，应用节点分析法， 首先必须选定任意一个为参考点，可以列写（ n －１）个KCL方程
Hengyang normal university
Department of P.&E.I.S.
u2 u1 10
Hengyang normal university
Department of P.&E.I.S.
电路与模拟电子技术
1
G4
G1 G2
电路含理想电流源与电阻串联
2 G3 处理： 与理想电流源串联 的电阻不计入自电 导、互电之内，当 作短路处理
IS1 3
IS3
IS2
(G1 G4 )u1 G4 u2 I S 1 G4u1 (G2 G4 )u2 I S 2 I S 3
电路与模拟电子技术
列写节点电压方程规律
节点电压方程：KCL方程 本节点自电导×本节点电压 — 相邻节点与本节点间互 电导×相邻节点电压 = 流入本节点所有电流源的代数和 1、自电导总是正的，互电导总是负的（互电导=公共 支路电导之和的负值） 2、如两节点间没有公共支路，则相应的互电导为 0 3、在列写节点电压方程时，事先必须指定参考节 点，参考节点电压为零 。不必事先指定各支路参 考方向，只当需要时才有必要。
电路与模拟电子技术
电路含理想电压源
处理： 电路含多个理想电压源， 则给每个电压源的支路设 定一个电流，当作理想电 流源电流代入方程，再补 充相应方程：电压源电压 与节点电压的关系
设节点4为Leabharlann 考点(1 0.1)u1 0.1u3 is1 (1 0.1)u2 u3 is1
电路分析网孔分析法和节点分析
电路分析网孔分析法和节点分析电路分析是电路理论和实际电路设计中的重要部分。
在电路分析中，有两种主要的方法，即网孔分析法和节点分析法。
本文将详细介绍这两种方法，并从理论和实践两个层面对这两种方法进行比较和对比。
首先，我们来看网孔分析法。
网孔分析法是通过将电路划分为若干个网孔来进行分析的方法。
网孔是由电路元件组成的闭合路径。
在网孔分析法中，我们可以根据基尔霍夫定律和欧姆定律，得到各个网孔中的电流和电压之间的关系。
通过解这些方程，我们可以得到电路中各个元件的电流和电压。
相对而言，网孔分析法适用于复杂的电路，因为通过合理划分网孔，可以降低计算复杂度。
其次，我们来看节点分析法。
节点分析法是通过将电路划分为若干个节点来进行分析的方法。
节点是电路中的交叉点或连接点。
在节点分析法中，我们可以根据基尔霍夫定律和欧姆定律，得到各个节点的电流和电压之间的关系。
通过解这些方程，我们可以得到电路中各个元件的电流和电压。
相对而言，节点分析法适用于简单的电路，因为节点分析法只需要解线性方程组，计算较为简单。
接下来，我们比较和对比这两种分析方法。
首先，网孔分析法和节点分析法都是基于基尔霍夫定律和欧姆定律进行分析的。
这两个定律是电路分析的基础，无论是网孔分析法还是节点分析法，都离不开这两个定律。
其次，网孔分析法和节点分析法在计算复杂度上有所不同。
网孔分析法需要对每个网孔进行分析和计算，所以在实际应用中可能需要解较多的方程，计算复杂度较高。
而节点分析法只需要解线性方程组，所以计算复杂度相对较低。
因此，网孔分析法适用于复杂的电路，而节点分析法适用于简单的电路。
最后，网孔分析法和节点分析法在电路分析结果的表示上有所不同。
在网孔分析法中，我们通常会得到各个网孔中的电流值，而在节点分析法中，我们通常会得到各个节点的电压值。
所以，在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的方法，以得到更加直观和实用的分析结果。
综上所述，网孔分析法和节点分析法都是重要的电路分析方法，在不同的场景下，可以选择不同的方法进行电路分析。
网孔分析法及节点分析法概述
网孔分析法及节点分析法概述概述网孔分析法和节点分析法是电路分析中常用的两种方法，用于求解复杂电路中的电流和电压。
本文将对这两种方法进行概述，并介绍它们的应用范围和优缺点。
一、网孔分析法网孔分析法，也称为基尔霍夫第二定律法，通过应用基尔霍夫定律来分析电路中的电流和电压。
该方法基于电流的守恒定律和电压的环路定律。
1. 应用范围网孔分析法适用于回路数较少且每条支路中包含较多元件的电路。
它将电路拆分为若干个网孔，每个网孔中的电流可以通过基尔霍夫定律来求解。
这种方法在使用电流源或需要求解电路中的电流时非常有效。
2. 求解步骤网孔分析法的求解步骤如下：1) 选择合适的回路方向，并给每个回路方向标记正向箭头。
2) 为每个网孔选择一个未知电流作为变量，并为其标记符号。
3) 列出每个网孔中基尔霍夫定律的方程。
4) 根据基尔霍夫定律的方程组，解出未知电流的值。
5) 利用欧姆定律和基尔霍夫定律，求解电路中的电压和电流。
3. 优缺点网孔分析法的优点在于能够简化复杂电路的分析过程，将电路分解为多个小型网孔进行分析，提高了计算的精确性。
然而，该方法对于回路较多且元件较少的电路并不适用，因为这样的电路更适合使用节点分析法来求解。
二、节点分析法节点分析法，也称为基尔霍夫第一定律法，通过应用基尔霍夫定律来分析电路中的电流和电压。
该方法基于电压的守恒定律和电流的汇聚定律。
1. 应用范围节点分析法适用于回路数较多且每个节点连接的支路数较多的电路。
它将电路拆分为若干个节点，通过节点电流和基尔霍夫定律来求解电路中的电压和电流。
该方法在使用电压源或需要求解电路中的电压时非常有效。
2. 求解步骤节点分析法的求解步骤如下：1) 选择一个节点为参考节点，将其电位定义为零。
2) 为每个节点选择一个未知电流作为变量，并为其标记符号。
3) 列出每个节点处的基尔霍夫定律方程。
4) 根据基尔霍夫定律的方程组，解出未知电流的值。
5) 利用欧姆定律和基尔霍夫定律，求解电路中的电压和电流。
电路分析方法——节点分析
属性
本身没有电压
要求同时利用KCL和KVL
1、列出KCL方程
2、根据欧姆定律ohm law
3、带入整理
4、用电导conductivity表示
5、自电导
6、互电导
7、流入1、2节点电流源电流之和
8、整理得
自电导*自电位—互电导*互电位=该节点电流源电流之和
小试牛刀
已知：IS1=10A IS2=5A IS3=5Ω R1=5Ω R2 =10Ω R3=10Ω R4=5Ω R5=20Ω 求解：节点1、2的节点电压
3
求解线性联立方程组
第一步
选择参考节点（reference node）
1
2
0
第二步
列出KCL方程
节点1： I1=I2+i1+i2 节点2： I2+i2=i3
第三步
方程组求解
节点分析法（含电压源）的分析步骤
1
2
第二种情况 （supernode） 第一种情况
超节点的三点属性
节点内的电压源提供了 有求解节点电压所需约束方程
EECT 电气与电子应用技术中心
电气与电子应用技术中心 电气与电子应用技术中心
电路分析方法
——节点分析 nodal analysis
电气与电子应用技术中心
电路分析方法
——节点分析 nodal analysis
节点分析法（未含电压源）的分析步骤
1 选取节点作为参考节点（reference node)
2
对n-1个非参考点列KCL方程
2-2节点分析
练习
(1S)u1 5A - i
解：选定6V电压源电流i的
(0.5S)u2 2A i
参考方向。计入电流变量i
列出两个结点方程：
补充方程 u1 u2 6V
解得 u1 4V,u2 2V,i 1A
28
练习
用结点分析法求图 所示电路的结点电 压。
u1=14V (1S)u1 (1S 0.5S)u2 3A - i6 (0.5S)u1 (1S 0.5S)u3 i6
自电导是各节点上所有 电导的总和。
自电导总是正的。
i4
3
G4
2
is2
1
G3 i3
is1
G2
G1
i2
i1
4
二、节点方程组
节点1：G1 G 4 u N 1 G 4 u N 3 iS 2 节点2：G 2 G 3 u N 2 G 3u N 3 iS 2 节点3： G 4 u N 1 G 3u N 2 G 3 G 4 u N 3 iS 1
22
四、含有电压源网络的节点方程
情况2：当网络中含有多个无伴电压源，且这些电压源 无公共节点时。
此时无法将理想电压源的端电压设定为节点电压，可 设流过无伴电压源电流为未知量，按前述方法先列节点方 程，再用补充方程将该电压源的电压用节点电压表示。
23
四、含有电压源网络的节点方程
例5： 试列出节点电压方程。
i4
节点1 ： i1 i4 iS2
3
G4
2
is2
1
节点2： i2 i3 iS2 节点3： i4 i3 iS1
is1
由欧姆定律i=Gu，得：
G3 i3
G2
i2
G1
i1
G1u14 G4u31 iS2 G2u24 G3u23 iS2
节点分析法
四、含受控源电路的节点分析
例题：图3-11所示电路，试用节点法求电路中的U和I。
– +①
I
6v
3
1
-
+
4A
U
解：选（0）为 参考节点，列 节点①的节点 方程：
2I
0 +-
在列写含受控源电路的
(1
1 3
)U
1
6
4
2 3
I
I
(U10 1
6)
U10
6
节点方程时，可先将受控 解源得作：为U独1=立7V源处理，然后 再将受控U=源U的1=7控V制量用节 点电压表I=示1A，列写补充方 程。
G(n1)1U10 G(n1)2U20 ... G(n U 1)(n1) (n1)0 IS(n1)(n1)
二、节点法解题步骤：
1、选定参考节点并标出节点序号，将独立节点 设为未知量，其参考方向由独立节点指向参考节点。
2、列写节点电压方程 3、求解各节点电压 4、标定各支路方向，由节点电压求解支路电压。 5、应用支路的VCR关系，由支路电压求解支路 电流。
例题3-2：图示电路，R1=R2=R3=2，R4=R5=4 ， US1=12V，IS3=3A，试用节点法求电流I1和I4。
US5 R5
+ –
I1 ①
+R1R2
– US1
+ R4
U10
-0
I4 ②
+ IS3
U20
R3
-
US5 R5
+ –
I1 ①
I4 ②
+R1R2
– US1
+ R4
U10
-0
+ IS3
节点分析法
节点分析法节点分析法是一种常用的工程求解技术。
它是一种将问题分解为若干相互作用部分的方法，并且可以通过分析各个部分之间的关系来解决问题的方法。
该方法主要用于电路分析，但是也可以用于其他工程领域。
在这篇文章中，我们将深入了解节点分析法。
一、节点和支路在实际应用中，电路中的电子运动是非常复杂的。
为了简化问题，节点分析法将电路看成一个个点和连接这些点的线路，把这些点称为节点，把这些线路称为支路。
节点是电路中电子流动的交汇点，支路是将电路中的这些节点连接起来的线路。
二、节点电压从电源的一个引线出发，穿过一个或多个元件，再回到电源的另一条引线上，形成一条封闭的回路。
如果这个回路中没有分支，这个回路就是一个简单的电路。
在节点分析法中，我们把简单电路上的任意两个节点之间的电压称为节点电压。
节点电压是不依赖于电路的特定部分或支路的。
三、基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律是基于电荷守恒原理的。
在一个封闭的回路中，电子流入和流出这个回路的总电荷是相等的。
因此，通过一个封闭回路的总电压之和应该等于零。
对于一个由n个节点组成的电路，在不考虑接地的情况下，可应用于任意一条封闭回路上的基尔霍夫电压定律式为：∑V_i = 0其中V_i表示电路中第i个节点的电压。
在节点分析法中，节点电流是指流经一个节点的支路电流之和。
假设在一个节点处有m个支路，支路电流分别为i_1，i_2，…，i_m，那么接入该节点的电流i_node可以表示为：i_node = i_1 + i_2 + … + i_m∑i_in = ∑i_out其中i_in指进入节点的支路电流之和，i_out指从节点出发的支路电流之和。
1.画出电路图，标出每个节点和分支的电阻。
2.选定一个节点作为基准节点，通常选为电路中电源的接地点。
将每个节点电压相对于基准节点的电压表示为Vi。
3.用基尔霍夫电压定律列出n-1个方程，其中n为节点的个数，将电路中除了基准节点外的每个节点处的电压表示为基准节点的电压和分支电流之和。
1-4 节点分析法
U10 1
U 20 2
o
３、步骤： 步骤： 确定电路的形式及元件基本参数； 〈１〉、确定电路的形式及元件基本参数； 建立电路模型： 〈２〉、建立电路模型： u a、标定相关电路变量： k 、 ik 及其参考方向； 及其参考方向 参考方向； 、标定相关电路变量： b、选取参考节点及其各独立节点、标出各各独立节点相对参考 、选取参考节点及其各独立节点、 节点的节点电压及其参考方向； 节点的节点电压及其参考方向； 〈３〉、建立电路方程：根据ＫＣＬ、（省略ＫＶＬ）、ＶＡ 建立电路方程：根据ＫＣＬ、（省略ＫＶＬ）、ＶＡ ＫＣＬ、 ＫＶＬ）、 ik = f (u1N、u1N、u1N L)ＫＣＬ、 表示成： 后代入ＫＣＬ、 Ｒ表示成： 后代入 列电路的节点电压方程组； 的节点电压方程组 列电路的节点电压方程组； 〈４〉、求解电路的节点电 求解电路的节点电 方程； 压方程；
〈１〉、其中 G 11、 G 22 、 G 33 称为结点自电导，它们分别是 结点自电导， 结点自电导 G11 = G1 + G4 + G5 各结点全部电导的总和。 各结点全部电导的总和。此例中 ： G22 = G2 + G5 + G6 、 G33 = G3 + G4 + G6 ; G 〈２〉、 ij (i ≠ j ) 称为结点 和j的互电导 是结点 和j间电导总和 结点i和 的互电导 是结点i和 间电导总和 的互电导,是结点 结点 G 的负值， 的负值，此例中 ： 12 = G21 = −G5 G13 = G31 = −G4 G23 = G32 = −G6 ; iS11 、 〈３〉、、 iS２２ iS３３ 是流入相应结点（１、２、３）全 是流入相应结点（ 部电流源电流的代数和。 部电流源电流的代数和。此例中 iS11 = iS1 iS２２ = 0 iS３３ = −iS2 从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的结点方程， 从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的结点方程， 其系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。 其系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。
电路原理 节点分析法
注意：含有无伴电压源
10V
+-
4Ω
i4
解：以节点②为参考节点
即以理想电压源的一端为 +
参考点。
15V
-
5Ω
U1 4
i1
1
+
4V
-
2
i2
2Ω i3 i5
i6 +
4V
20Ω
20Ω
-
10Ω
3
(1 5 2 1)U 0 1 (1 5 2 1 0 2 1 0 1 1 )U 0 3 1 5 5 1 40
U3
is
方向：指向参考节点的方向为电压降方向。 R2
R4
节点电压数＝节点数－1＝独立节点数
u1, u2自动满足KVL （电位单值性） 2
是一组完备的独立变量
3节点，5支路
§2-9 节点分析法·物理意义
节点电压方程： 用节点电压表示
流入支路电流，列写
节点①：
流出
(R 11R 12R 13)u1(R 12)u2u Rs1
I1 ①
6kΩ +
15V –
I2
1kΩ 1mA
I3 3kΩ
②
解： (6 1 13 0 1 1 13 0 3 1 13 )0 U 6 1 13 5 0 1 1 30
U=1V
课堂练习
I1 ①
I1
15U 6103
151 6103
A
I2 6kΩ
2.33mA
I3
+
1kΩ
15V
–
3kΩ 1mA
I2 1U103 1mA
节点电压数节点数1独立节点数自动满足kvl电位单值性是一组完备的独立变量电路原理电路原理单独作用节点流出的电流
相量模型的网孔分析法和节点分析法
相量模型的网孔分析法和节点分析法相量模型是一种用于分析电力系统中电流和电压的工具，它将复数形式的电流和电压表达为矢量的形式，以便更好地理解和计算电力系统中的各种参数。
相量模型有两种分析方法，分别是网孔分析法和节点分析法。
一、网孔分析法：网孔分析法也称为基尔霍夫电压法，是一种用于解决小型电路中电流和电压分布的方法。
它基于基尔霍夫定律，通过电压的正负符号来确定电压的方向和大小。
网孔分析法的基本思想是，在每个闭合回路中，电压的代数和为零。
具体步骤如下：1.标记电路中的所有分支电流和电压源。
2.在回路中选择一个方向，并标记所有的电流方向，通常需要满足电压降的方向。
3.在每个回路中应用基尔霍夫第一定律，列出等式。
4.通过解这些等式，计算未知电流和电压。
网孔分析法的优点是能够减少未知量的个数，简化计算。
但是，该方法通常适用于电路规模较小和电压源较多的情况下，对于复杂的电路往往不适用。
二、节点分析法：节点分析法也称为基尔霍夫电流法，是一种用于解决大型电路中电流和电压分布的方法。
它基于基尔霍夫定律，通过电流的代数和为零来确定电流的大小和方向。
节点分析法的基本思想是，在每个节点上，电流的代数和为零。
具体步骤如下：1.标记电路中的所有分支电流和电压源。
2.选择一个节点作为参考节点，并将其电势设为零。
3.在每个节点上应用基尔霍夫第一定律，列出等式。
4.通过解这些等式，计算未知电流和电压。
节点分析法的优点是可以应用于复杂电路，计算比较方便。
缺点是需要处理大量的方程，对于大型电路，求解过程可能比较复杂。
总结：相量模型的网孔分析法和节点分析法是两种基于基尔霍夫定律的分析电路的方法。
网孔分析法适用于较小的电路，通过回路中电压的正负来确定电压的大小和方向；节点分析法适用于大型电路，通过节点上电流的代数和为零来确定电流的大小和方向。
这两种方法各有优缺点，应根据实际情况选择合适的方法进行电路的分析。
电路-节点分析法
U1 U2 4
联立求解得
U1 10V U2 6V I4 2A
111
1
15 10
( 5
20
4 )U 1
4U2
5
4
I4
1
11 1
10 4
4U1
( 4
20
10)U 2
I4
4
10
11
11
15 4
( 5
20 )U1
( 20
10 )U 2
5
10
（将节点①、②、4V电压源 支路、10V电压源支路构成 的闭合面作为一个广义节点）
0.5A
I4 I1 I2 I3 2A
I5
U3 20
0.3A
I6
U3 10
4
0.2A
解法二 ：
以节点③为参考节点
（用电流为I4的电流源替换 无伴电压源）
混合变量方程
111
1
15 10
( 5
20
4 )U1
4U2
5
4
I4
1 4 U1
1 ( 4
1 20
1 10)U 2
I4
10 4
4 10
补充方程
(1) 选定参考节点(节点③)和各支路电流的参考方向，对 独立节点列KCL方程
i1 i2 i3 i4 0
i3 i4 i5 i6 0
(2)用节点电压u1、u2表示支路电流
i1
us1 u1 R1
i3
u1 u2 R3
i2
u1 R2
i4
us4
(u1 R4
u2 )
i5
u2 R5
i6
解法三 ：
(1 5
1 20 )U1
【推荐】电路原理基础：节点分析法
i1 =G1 un1，i2 =G2 (un1 - un2 )，i3 =G3 (un2 – uS3 ) （*）
节点: 列写KCL 方程：
n1 : ?i1 ? i2 ? iS1 n2 : ??? i2 ? i3 ? ?iS2
将（*）式代入
① + u2 -②
+
i2 G2 + +
u S3
iS1
u1 G1 i1
它待求量。
四、节点法的特例情况
I1 ①
＋
＋
特例1: 节点数 n=2,支路可很多, 按节
US1
－
点法的基本步骤，有：
R1
US2
－
R3
R2
I S3
( ) 1 1 1 ?? R1 R2 R3
U n1
?
U S1 R1
?
US2 R2
?
IS3
即对n=2的电路有
?
U n1
?
U S1 R1 1
?
US2 R2 1
? IS3 1
巧选回路法： iS放连支上 增设变量法
2、含受控源的处理方法
1
图示电路 ,求电压源和电流源各自的功率。
解: 回路法
I1
I2
2A
1Ω
- 1V +
I1
+
1Ω
U -
I2
1Ω
2A 1Ω
1Ω
2I1 ? 1I 2 ? 1? 2 ? ? 1 1I1 ? 3I 2 ? 1? 2 ? 0
I1 ? 1A, I 2 ? ? 1A U ? 1 ? 1I 2 ? 1? 2 ? 4V
u2 = un1 - un2 u 3 = un2
节点分析法
us
R1
R3 i3
i1 3 i5 i4 is
求解2个节点电压变量 求解 个节点电压变量: u1，u2 个节点电压变量 列写两个独立节点电压方程 两个独立 列写两个独立节点电压方程 节点电压方程：用节点电压表示 节点电压方程 支路电流，列写KCL方程 KCL： ：
1 i2 R2 R4
∑i
b
=0
2个 个
§2-9 节点分析法
us R1 i1 i3 i4 R2 R4 3 i5 i2 is
直接选择变量 变量: ① 直接选择变量 支路电流
KCL: 列（3-1）个方程 3+1） VCR+KVL: 列（5-3+1）个方程
1
+
R3
支路电流法
② 间接选择一组变量 新思路)： 间接选择一组变量(新思路 ： 一组变量 新思路
电路原理
节点电压方程： 节点电压方程 §2-9 节点分析法·物理意义 用节点电压表示 流入支路电流，列写 KCL方程。 节点① 节点①： us 1 1 1 1 + )u1 − ( )u2 = ( + R1 R2 R3 R2 R1 流出 】 短路电流/等效电流 【2】 【3】 短路电流 等效电流 】 【1】 】 (含激励源支路 含激励源支路) 含激励源支路
1
+
R3 i3
i1 3 i5 i4 is
i2 R2
u2 i4 = − R4
R4
i5 = −is
2
电路中任一电压和电流响应均可由节点电压u 线性表示。 电路中任一电压和电流响应均可由节点电压 1和u2线性表示。 响应均可由节点电压
是一组完备的独立变量。 是一组完备的独立变量。
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• 例：
R2
1
I2 I3
R3
2
E1
+ -
I1 R1
IS
I4
R4
已知： E=10V、 R1 =1Ω、 R2 =2Ω、 R3 =4Ω、 R4 = 1Ω、 IS = 9A 求：各支路电流
• 例：
E1
+ -
R2 I2 1 I3 R3
2
I1
IS
R1
E/R2
1
R3
2
IS
R2
R1
I4 R4
R4
E/R2
-
+ US7
G1US1
1 •
G2
G1
G4
G3
3 •
G6
I
-
+
US7
G5
G6US6
•
•
2
0
IS3
G1US1
1 •
G2
G1
G4
G3
3 •
G6
I
-
+
US7
G5
G6US6
•
•
2
0
G1+ G2+ G3
-（ G1 + G2 ）
- G3
U1
-（ G1 + G2 ） G1+ G2+ G4 + G5 - G4
U2 =
1
R3
R2
R1
（ G1 + G2 + G3 ）
– G1
–G3
(G3 + G4 ）
（ 1 + 1/2 + 1/4 ）
– 1/4
–1/41
(1+ 1/4 ）
2
IS R4
U1 = E/ R2 U2 = IS
U1 = 10/2 U2 = 9
2）有受控电压源与电阻串联支路
例：图3.22
G2
1
βI4
•
G1
-
-G3
– G4
G3 + G4 + G6 U3
G1US1 – IS3 - G1US1 IS3– G6US6 +I
U3 = - US7
IS3
G1US1
1 •
G2
G1
G4
G3
3 •
G6
-
+
US7
G5
G6US6
•
•
2
0
G1+ G2+ G3
-（ G1 + G2 ）
-（ G1 + G2 ） G1+ G2+ G4 + G5
1
IS
节点分析法
G5
G1
2
G3
G2
3
G4
KCL:
4
（U1 – U2）G1 + （U1 – U3）G5 = IS （U2 – U1）G1 +（U2 – U3）G3 + U2 G2 =0 （U3 – U1）G5 + （U3 – U2）G3 + U3 G4 =0
节点分析法
KCL:
（U1 – U2）G1 + （U1 – U3）G5 = IS （U2 – U1）G1 +（U2 – U3）G3 + U2 G2 =0 （U3 – U1）G5 + （U3 – U2）G3 + U3 G4 =0
-US7
I
G1US1 – IS3
- G1US1
-I
US1 = U1 – U2
I1
+
US1 -
IS3
1 •
G2 G4
G3
3 •
G6
I7
-
+
US7
G5
G6US6
•
•
2
0
G2+ G3 - G2 -G3
- G2 G2+ G4 + G5
合并 同类项
（ G1 + G5 ）U1
– G1U2
–G1 U1
+(G1 +G2 +G3 ）U2
– G5 U1
– G3U2
– G5U3
= IS
– G3U3
=0
+ (G1 +G2 +G3 ） U3 =0
节点分析法
• 例：
G5
1
G1
2
G3
IS
G2
3
+ -
G4
4
KCL: （ G1 + G5 ）
– G1
–G5
系数矩阵：主对角线上----自电导（+） 其他元素-------互电导（ -）
电流源矩阵：流进节点为（+）
3、解方程得节点电位 4、由节点电位求支路电压，进 一步求支路电流
例：图3.20
R4
1
R3
•
2 •
IS1
R2
-+
US3
IS5
+
R5
R1
- US2
•
G4
1
G3
•
2 •
IS1
G3 US3
IS5
G1 G2 US2
+ UG1
+
- US1
•
G3
2 •
αUG1 +
-
IS
I4
G4
1
βI4
•
G2
G1
-
+ UG1
+
- US1
•
G3
2 •
IS G4 I4
α G4 UG1
1
βI4
•
G2
1
•
G3
2 •
IS G4 I4
α G4 UG1
G1 +G2 +G3 - G3
- G3 G3+G4
U1
G1 US1 + βI4
=
U2 - IS +α（1+ β ） G4 US1
3）含无串联电阻的电压源支路
例：图3.24
IS3
G1
+
US1 -
1 •
G2 G4
• 2
G3
3 •
G6
-
G5 US6 +
• 0
I
-
+ US7
在该支路上设支路电流变量
G1
+
US1 -
1 •
G2 G4
• 2
IS3
G3
3 •
G6
-
G5 US6 +
• 0
I
节点分析法
• 例：
G1
1
IS
G5
2
G3
G2
3
G4
4 取4为参考节点 记 U1 、U2 、U3 分别为独立节
点1、2、3的电位
节点电位与支路 电压的关系：
U14 = U1 U24 = U2 U34 = U3 U12 = U1 - U2 U13 = U1 – U3 U23 = U2 – U3
• 例：
–G1 – G5
(G1 +G2 +G3 ）
– G3
– G3 (G3 +G4 +G5 ）
U1 = IS
U2 = 0 U3 = 0
节点分析法
• 参考节点、节点电位 • 以节点电位为求解对象，列KCL方程； • 方程数量 较少 • 进一步再求各支路电流和电压
节点分析法
步骤：1、选参考节点、设独立节点电位 2、列独立节点KCL方程
消元后 整理
UG1 = US1 - U1 I4 = G4 U2 - α G4 UG1
= G4 U2 - α G4 US1 + α G4 U1
代入
G1 +G2 +G3 -α β G4 - G3 +α β G4 + α G4
- （G3 +α G4） G3 + G4 +β G4
U1
（G1 - α β G4 ）US1
=
U2
- IS - βI4 +α G4 UG1
UG1 = US1 - U1 I4 = G4 U2 - α G4 UG1
= G4 U2 - α G4 US1 + α G4 U1
G1 +G2 +G3 - G3
- G3 G3+G4
U1
G1 US1 + βI4
=
U2
- IS - βI4 +α G4 UG1
G2
G5
•
G4
1
G3
•
2 •
IS1
G3 US3
IS5
G1 G2 US2
G2
G5
•
G1+ G2+ G3 + G4 - （G3 + G4 ）
-（ G3 + G4 ） U1
=
G3 + G4 + G5 U2
IS1 + G2US2 - G3US3 IS5 + G3US3
一些特殊情况：
1）有独立电压源与电阻串联支路
- G3 - G4
U1
U2 =
-US7
G1US1 – IS3 - G1US1
例：图3.25
IS3
I
+
US1-
1 •
G3
3 •
G2
G6
-
G1
G4
G5
+
US7
G6US6