高中理科知识点总结新

高中数学知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|l g|l g (,)|l g 中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}{}如：集合，A x x x B x a x =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B Aa ⊂ （答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10133. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a nn （）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔== （3）德摩根定律：()()()()()()C C C C C C U U U U U UA B A B A B A B ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x a x x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。

()（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a aM a aa 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧ “非”().⌝若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。

）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。

）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？()()例：函数的定义域是y x x x =--432l g()()()（答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？[]如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F (x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。

[]（答：，）a a -11. 求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？()如：，求fx ex f x x+=+1().令，则t x t =+≥10∴x t =-21∴ft et t ()=+--2121()∴f xe x x x ()=+-≥-21210 12. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？[]（，，则（外层）（内层）y f u u x y f x ===()()()ϕϕ[][]当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。

）f x f x ϕϕ()() ()如：求的单调区间y x x =-+l o g 1222 （设，由则u x x u x =-+><<22002()且，，如图：l o g 12211u u x ↓=--+当，时，，又，∴x u u y ∈↑↓↓(]l o g 0112当，时，，又，∴x u u y ∈↓↓↑[)l o g 1212∴……）13. 如何利用导数判断函数的单调性？()在区间，内，若总有则为增函数。

（在个别点上导数等于a b f x f x '()()≥0 零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？f x '()≤0[)如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大a f x x a x a >=-+∞013() 值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3（令f x x a x a x a '()=-=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥333302则或x a x a≤-≥33由已知在，上为增函数，则，即f x aa ()[)1313+∞≤≤∴a 的最大值为3）14. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称） 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-⇔⇔ 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=⇔⇔ 注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（）若是奇函数且定义域中有原点，则。

2f (x )f (0)0= 如：若·为奇函数，则实数f x a a a xx ()=+-+=2221（∵为奇函数，，又，∴f x x R R f ()()∈∈=000 即·，∴）a a a 22210100+-+==又如：为定义在，上的奇函数，当，时，，f x x f x xx()()()()-∈=+1101241()求在，上的解析式。

f x ()-11 ()()（令，，则，，x x fx xx∈--∈-=+--1001241() 又为奇函数，∴f x f x x x xx()()=-+=-+--241214()又，∴，，）f f x x x x xx xx ()()()0024110024101==-+∈-=+∈⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪15. 你熟悉周期函数的定义吗？()（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期T T f x T f x f x ≠+=0()() 函数，T 是一个周期。

） ()如：若，则f x a f x +=-() （答：是周期函数，为的一个周期）f x T a f x ()()=2()又如：若图象有两条对称轴，f x x a x b ()==⇔ 即，f a x f a x f b x f b x ()()()()+=-+=-则是周期函数，为一个周期f x a b ()2- 如：关于函数的周期性，有如下结论：（）若为函数的一个周期，则且也是的周期，即10T f x kT k Z k f x ()()()∈≠ f x kT f x ()()+=。

（）若是一个以为周期的函数，则是一个以为周20f x T f ax b a T a ()()()+≠期的函数。

证明：（证明的方向）f a x T ab f ax b [()]()++=+f a x T ab f ax b T [()][()]++=++设由是的周期u ax bf u T T f x f u f ax b =++=+()()()()∴+T af ax b 是函数的周期()如：的周期为，则的周期为y x T y x ===+≠sin sin()()202πωϕωπω（）若满足恒成立，为常数且，则3f x f x a f x b a b a b T a b ()()(),+=+≠=- 是的一个周期。

f x ()这是因为f x a b f x b a f x b b f x ()[()][()]()+-=-+=-+= ∴=-T a b（）若满足，则以为一个周期。

42f x f x a f x b f x T a b ()()()()()+=-+=- 证明：f x a b f x b a a [()][()]+-=-++22=--++=--+=---+=f x b a b f x b a f x b b f x [()][()][()]()2 ∴=-T a b 2()推论：f x a f x ()()+=- 则以为一个周期f x T a ()=2 （只要令上式中的b=0即可） 16.你掌握常用的图象变换了吗？1. 函数图象变换： （1）平移变换：右平移a （a>0） f （x －a ）图象左平移a （a>0） f （x ＋a ）图象 f （x ）图象上平移b f （x ）＋b 图象下平移b f （x ）－b 图象f （x ）图象（2）对称变换：f x f x y f x x f x f a x x a fx y x ()()()()()()图象与图象关于轴对称图象关于轴对称图象关于原点对称图象关于对称图象关于对称-----==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪-21（）伸缩变换：设，3A >>00ωf x f x ()()()()图象横坐标缩短或伸长到原来的倍图象ωωωω>−→−−−−−−−−−−−−−<<1011f x A A A Af x ()()()图象纵坐标伸长或缩短（）到原来的倍图象>−→−−−−−−−−−−−−−<<101（4）翻折变换：f x x x f x ()|()|图象将轴下方部分作关于轴对称图象−→−−−−−−−−f x x x y f x ()(||)图象保留图象的部分，去掉部分，再作关于轴对称图象≥−→−−−−−−−−−−−−−<00()如：f x x ()l o g =+21 ()作出及的图象y x yx =+=+l o g l o g 2211y=log 2x2. 函数的应用问题： 解答数学应用问题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，明确问题的实际背景，然后进行概括，归纳为相应的数学问题；二是合理选取参变数，设定变元后，寻找等量（或不等量）关系，建立相应的数学模型，求解数学模型，使问题获解。

即读题（文字语言）建模（数学语言）求解（数学计算）反馈（检验作答）⇒⇒⇒【典型例题】例1. （）函数对任意实数，均有，比较1112f x x bx c x f x f x ()()()=+++=- f f f ()()()013，，的大小；（）若函数的图象关于对称，且时，则当211112y f x x x f x x x ==≤=+>()() 时，求f(x)的表达式。

解：（）由，可知函数的图象关于对称，又函数图1111f x f x f x x ()()()+=-= 象是开口向上的抛物线，所以。

f f f ()()()301>>（）当时，有2121x x >-<所以f x x x x ()()2214522-=-+=-+ 又由于图象关于对称y f x x ==()1 ∴-=f x f x ()()2所以当时，x f x x x >=-+1452()注：（2）题也可以根据图象的对称性，确定顶点坐标，直接写出解析式。

例2. 偶函数的定义域为，若对任意实数都成立，又当f(x)R f x f x ()()-=+110≤≤=-x f x x121时，。