概率论与数理统计习题三及答案

或写成 X\Y 1 2 3 1 0 2 3
1 6 1 12
1 6 1 6 1 6
1 12 1 6
0
P X Y P X 1, Y 1 P X 2, Y 2 P X 3, Y 3
1
1 。 6
西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
G
其中区域 G x, y | x y见图 2，经计算有
0.2 图2
x
P X Y 0 dx0 25e 5 y dy 0 5 1 e 5 x dx e 1 。
0.2 x 0.2


8. 已知二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为 f ( x, y )
ke (3 x 4 y ) , x 0, y 0, 6. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为 f ( x, y ) 求： （1） 系数 其他, 0
k;（2） P(0 X 1,0 Y 2) ;（3）证明 X 与 Y 相互独立。 解： （1）k 必须满足 f x, y dxdy 1 ， 即 0 dy0 ke 3 x 4 y dx 1 ， 经计算得 k 12 ；
1
X , Y 的分布函数：
F x, y f x, y dxdy
y x
当x 当
1 或 y 0 时， F x, y 0 ； 2 1 时 , x 0,0 y 2 x 1 2
y x 2
-1

1 2
0 图1
1
x
F x, y 0 dy y 1 4dx 4 xy 2 y y 2 ；
=
0
2 x 1
4dy,
1 42 x 1, x 0 2 0, 其他
f Y y f x, y dx

=
y 1 4dx, 0 y 1
2
0
0,
其他
=
源自文库
21 y , 0 y 1 0,
其他
1 1 1 1 4 1 1 1 1 （3）f , 4 ， 而 f X 2, f Y ， 易见 f , f X f Y ， 4 3 4 3 3 4 3 4 3
P X 0, Y 0 P X 0PY 0 ，所以 X 与 Y 不相互独立。
4. 设二维随机变量 ( X , Y ) 服从在区域 D 上的均匀分布，其中区域 D 为 x 轴，y 轴及直线 y=2x+1 围成的三角形区域.求： （1）( X , Y ) 的联合密度函数； （2）P
解：X 可能的取值为 1,2,3 ，Y 可能的取值为 1,2,3 ，相应的，其概率为
1 2 1 1 1 1 , P X 1, Y 3 , 43 6 4 3 12 2 1 1 2 1 1 2 1 1 P X 2, Y 1 , P X 2, Y 2 , P X 2, Y 3 , 43 6 43 6 43 6 1 1 2 1 P X 3, Y 1 , P X 3, Y 2 , P X 3, Y 3 0 12 43 6 P X 1, Y 1 0, P X 1, Y 2
所以 X 与 Y 不相互独立。 5. 设随机变量 X ， Y 是相互独立且分别具有下列分布律： X 概率 -2 -1 0 0.5
1 4
Y -0.5
1 3
1
1 12
3
1 3
概率 写出表示 ( X , Y ) 的联合分布律。 解：由于 X 与 Y 相互独立，因此
1 2
1 4
1 4
P X xi , Y y j P X xi P Y y j , i 1,2,3,4, j 1,2,3,
1 1 1 5 , , , .求这二维随机变量的分布律，并写出关于 X 及关 6 3 12 12
解：由题意可得 X , Y 的联合分布律为 X\Y -1 0 0 0
1 3 1 12
1
1 3
1 0 0 6 5 2 0 0 12 2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字 1，2，2，3.从这袋中任取一球后，不放回袋 中， 再从袋中任取一球.设每次取球时， 袋中每个球被取到的可能性相同.以 X , Y 分别记第一、 二次取得的球上标有的数字，求 ( X , Y ) 的分布律及 P( X Y ) 。
16 4 25 25 4 1 1 25 25 在无放回情形下，X、Y 可能取的值也为 0 或 1，但取相应值的概率与有放回 情形下不一样，具体为 8 7 28 8 2 8 P X 0, Y 0 , P X 0, Y 1 , 10 9 45 10 9 45 28 8 2 1 1 P X 1, Y 0 , P X 1, Y 1 , 10 9 45 10 9 45 或写成
例如 P X 2, Y 0.5 P X 2PY 0.5 其余的联合概率可同样算得，具体结果为 -0.5 1 X\Y -2 -1 0 0.5




1 1 1 4 2 8
3
1 8 1 6 1 24 1 6
1 16 1 12 1 48 1 12
1 16 1 12 1 48 1 12

4
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（2） P0 X 1,0 Y 2 0 dy0 12e 3 x 4 y dx 1 e 3 1 e 8 ；
2 1



（3）关于 X 的边缘密度函数：
fY y
5e 5 y , 0,
y0 其他
y
因为 X 与 Y 独立，易得 X , Y 的联合密度函数
f x, y f X x f Y y
25e 5 y , 0 x 0.2, y 0 其他 0,
概率 P X Y f x, y dxdy ，
4 5
P X 1, Y 0 P X 1PY 0, P X 1, Y 1 P X 1PY 1 ，由独立性定义知 X 与
Y 相互独立。 在无放回情况下，由于 P X 0, Y 0
28 4 4 16 ，而 P X 0PY 0 ，易见 45 5 5 25
88 16 8 2 4 , P X 0, Y 1 , 10 10 25 10 10 25 28 4 2 2 1 P X 1, Y 0 , P X 1, Y 1 , 10 10 25 10 10 25 或写成 0 1 X\Y P X 0, Y 0
1 1 X 0, 0 Y ； 4 4
（3）关于 X 及关于 Y 的边缘密度函数； （4） X 与 Y 是否独立，为什么？ 解： （1）区域 D 见图 1： 易算得 D 的面积为 S
1 1 1 1 ，所以 X , Y 的密度函数 2 2 4 4 , x, y D y f x, y 0, 其他
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概率论与数理统计 B 习题三答案 A
1 1. 二维随机变量 ( X , Y ) 只能取下列数组中的值： （0，0） ， （-1，1） ， 1, ， （2，0） ， 3
且取这些组值的概率依次为 于 Y 的边缘分布律。
0 X\Y 0 0 1
28 45 8 1 45 （2）在有放回情况下 X 的边缘分布律为 X 0
概率 Y 的边缘分布律为 Y 概率 0
8 45 1 45
1
4 5
1 5
1
4 5 在无放回情况下 X 的边缘分布律为 X 0
概率
2
1 5
1
4 5
1 5
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k (1 x) y ,0 x 1,0 y x, ， 其他, 0
（1）求常数 k;（2）分别求关于 X 及关于Y 的边缘密度函数； （3） X 与Y 是否独立，为什么？ 解： （1） k 满足 f x, y dxdy 1 ，即 0 dx0 k 1 x ydy 1 解得 k 24 ；
1 x
（2）X 的边缘密度函数
f X x f x, y dy

x 0 241 x ydy, 0 x 1
0,
5
其他
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2
当 x 0, y 1 时， F x, y 1 dx0
0 2
2 x 1
4dy 1
（2）X 的边缘密度函数为
f X x f x, y dy

3
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1 x0 = 2 0, 其他 Y 的边缘密度函数为
f X x f x, y dy

3 x 4 y dy, x 0 0 12e
0,
其他
x0 其他
=
3e 3 x , 0,
同理可求得 Y 的边缘密度函数为
fY y
4e 4 y , x 0 其他 0,
易见 f x, y f X x f Y y , x , y ，因此 X 与 Y 相互独立。 7. 设 X 与 Y 是相互独立的随机变量， X 服从 [0, 0.2] 上的均匀分布， Y 服从参数为 5 的指数分布，求： ( X , Y ) 的联合密度函数及 P( X Y ) 。 解：由均匀分布的定义知 5, 0 x 0.2 f X x 0, 其他 由指数分布的定义知
Y 的边缘分布律为 Y 概率 0 1
1 5 16 4 4 16 （3） 在有放回情况下， 由于 P X 0, Y 0 ， 而 P X 0PY 0 ， 25 5 5 25
即 P X 0, Y 0 P X 0PY 0 ；容易验证 P X 0, Y 1 P X 0PY 1,
当
1 x 2 x 1 x 0, y 2 x 1 时， F x, y 1 dx0 4dy 4 x 2 4 x 1 ； 2 2
y 0
当 x 0,0 y 1 时， F x, y 0 dy y 1 4dx 2 y y 2 ；
3. 箱子中装有 10 件产品，其中 2 件是次品，每次从箱子中任取一件产品，共取 2 次. 定义随机变量 X , Y 如下： X
0 , 若第一次取出正品, 0 , 若第二次取出正品, 分别就 Y 1 , 若第二次取出次品, 1 , 若第一次取出次品,
下面两种情况（1）放回抽样， （2）不放回抽样。 求： （1）二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律； （2）关于 X 及关于 Y 的边缘分布律； （3） X 与 Y 是否独立，为什么？ 解： （1）在放回抽样时，X 可能取的值为 0,1 ，Y 可能取的值也为 0,1 ，且