高考数学导数复习题

高考数学导数复习题2 第十四章选修2第二讲

一、选择题(8×5＝40分)

1．若f (x )＝－1

2

x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是

( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1]

D ．(－∞，－1)

答案：C 解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋b x ＋2≤0，x ∈(－1，＋∞)，即f ′(x )＝－x 2－2x ＋b x ＋2≤0，即－x 2－2x ＋b

＝－(x ＋1)2＋1＋b ≤0.∴1＋b ≤0，b ≤－1.

总结评述：本题主要考查函数的单调性与其导数的关系及恒成立问题．本题是－x 2－2x ＋b ≤0在x ∈(－1，＋∞)恒成立，即－x 2－2x ＋b 在区间(－1，＋∞)的最大值小于或等于0即可．

2．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点 ( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

答案：A 命题意图：本题主要考查可导函数的单调性、极值与导函数的关系． 解析：观察y ＝f ′(x )的图象，设y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点依次为x 1，x 2，x 3，则x ∈(a ，x 1)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )是增函数；

x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )是减函数； x ∈(x 2，x 3)时，f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )是增函数； x ∈(x 3，b )时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )是减函数．

∴x ＝x 2时，y ＝f (x )取得极小值，另无其它极小值，A 成立．

总结评述：本题考查了考生对极值的理解和判断方法，从近几年高考情况看这种类型的题目已多次出现，反映了高考不回避对重点知识重复考查的导向，符合高考对于支撑学科知识体系的重点内容进行重点考查，不刻意追求知识覆盖面的命题方向．

3．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是 ( ) A ．5，－15 B ．5,4 C ．－4，－15 D ．5，－16

答案：A

解析：y ′＝6x 2－6x －12＝6(x －2)(x ＋1)，令y ′＝0，得x ＝2或x ＝－1(舍)．

∵f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，∴y max ＝5，y min ＝－15，故选A.

4．(2009·天津)设函数f (x )＝1

3

x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x ) ( )

A ．在区间(1e ，1)，(1，e )内均有零点

B ．在区间(1

e ，1)，(1，e )内均无零点

C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e )内无零点

D ．在区间(1

e ，1)内无零点，在区间(1，e )内有零点

解析：f (1e )＝13e ＋1＞0，f (1)＝13－0＞0，f (e )＝e

3

－1＞0，根据闭区间上根的存在性定理，故选D.

5．(2009·崇文模拟)已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则 ( ) A ．f (x )在x ＝1处取得极小值 B ．f (x )在x ＝1处取得极大值

C ．f (x )是R 上的增函数

D ．f (x )是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数 答案：C 解析：由图象易知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上是增函数．

6．已知函数f (x )＝1

2

x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )

A ．m ≥32

B ．m ＞32

C ．m ≤32

D ．m ＜3

2

答案：A 解析：因为函数f (x )＝1

2

x 4－2x 3＋3m ， 所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，

令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3， 经检验如x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －27

2

，

不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥3

2

.

7．(2010·河南省实验中学)函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2

在x ＝1处有极值10，则点(a ，b )为 ( ) A ．(3，－3) B ．(－4,11) C ．(3，－3)或(－4,11) D ．不存在

解析：f ′(x )＝3x 2

－2ax －b ，由已知得f ′(x )＝0，f (1)＝10 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a －b ＝01－a －b ＋a 2

＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－4

b ＝11

.

当a ＝3，b ＝－3时，f ′(x )＝3(x －1)2无极值点．答案：B

8．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ( )

A ．(－2,2)

B ．[－2,2]

C ．(－∞，－1)

D ．(1，＋∞)

答案：A 解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，且当x ＜－1时，

f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝－1时函数f (x )有极大值，当x ＝1时函数

f (x )有极小值．要使函数f (x )有3个不同的零点，只需满足⎩

⎪⎨⎪⎧

f (－1)＞0，

f (1)＜0.解之，得－2＜a ＜2.

二、填空题(4×5＝20分)

9．函数y ＝x 2e －

x 的单调递增区间是________．

答案：(0,2) 解析：y ′＝(2x －x 2)e －x ＞0⇔0＜x ＜2，故选填(0,2)．

总结评述：本题重点考查利用导数求函数单调区间的方法．求导后解不等式时，要注意二次项系数．

10．若函数f (x )＝1

3

x 3－x 在(a,10－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围为____________．

答案：[－2,1) 解析：f ′(x )＝x 2－1，函数f (x )＝1

3x 3－x 在(a,10－a 2)上有最小值，则1∈(a,10－a 2)⇒－3

且a <10－a 2⇒

－1－412

2，且f (a )≥f (1)⇒(a －1)(a 2＋a －2)≥0⇒a 2＋a －2≤0⇒－2≤a ≤1，故－2≤a <1.

11．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π

2

]上的值域为__________．

答案：[12，12e π2] 解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋1

2e x (cos x －sin x )＝e x ·cos x ，

当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0. ∴f (x )在[0，π2]上是增函数，∴f (x )的最大值为f (π2)＝12e π2. f (x )的最小值为f (0)＝1

2

.

12．(2009·西城高三抽样测试14)如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

①函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间(－1

2

，3)内单调递减；

③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；

⑤当x ＝－1

2

时，函数y ＝f (x )有极大值．

则上述判断中正确的是________． 答案：③ 解析：函数的单调性由导数的符号确定，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，

∴f (x )在(－∞，－2)上为减函数．同理f (x )在(2,4)上为减函数．f (x )在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上是增函数．所

以可排除①和②，选择③，由于函数在x ＝2的左侧递增，在右侧递减，所以x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－1

2

的

左右两侧函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－1

2不是函数的极值点．排除④⑤，

故填③.

三、解答题(4×10＝40分)

13．已知函数f (x )＝2x －b

(x －1)2

，求导函数f ′(x )，并确定f (x )的单调区间．

解析：f ′(x )＝2(x －1)2－(2x －b )·2(x －1)(x －1)4＝－2x ＋2b －2(x －1)3＝－2[x －(b －1)]

(x －1)3 令f ′(x )＝0，得x ＝b －1且x ≠1.

当b －1＜1，即b ＜2x (－∞，b －1)

b －1 (b －1,1) (1，＋∞)

f ′(x ) － 0 ＋ －

当b －1＞1，即b ＞2x (－∞，1)

(1，b －1)

b －1 (b －1，＋∞)

f ′(x )

－

＋

－