超静定影响线

4. 作图
240
40.5 31.5 166.5 198 18 94.5
48
76.5
54
58.5 126
6m
6m
6m

2.依次作出每一跨分布活载作用时的弯矩图（每跨4等分）
96
66
36
6 18 24 第1跨布活载 12 6
63 111 132

2.依次作出每一跨分布活载作用时的弯矩图（每跨4等分）
96 66 36
6
第1跨布活载 63 111 132 36 18 第2跨布活载 63 108 36 6 第3跨布活载 6 12 18 24 66 54 72 18 24 12 6
影响线
重点：影响线的概念
机动法做多跨梁影响线
的轮廓图
难点： 最不利荷载
梁的包络图
超静定结构影响线
本部分只讨论梁的影响线问题，及连续梁的内力包络图的作法
一、静力法作影响线
P=1 x A 4a B a
作MA、RB的影响线
x A 4a

P=1 B a
解： 1．MA影响线 当P=1位于B以左时，
P=1
M A x
RB
x


BP
1
这里，δ1 ，ΔBP都是单位力产生的位移（挠度），其意义如 下：

系数的意义
x
P=1
RB x
BP
1
ΔBP
x
δ1 ΔPB
RB=1

应用位移互等定理，ΔPB=ΔBP
RB x BP
1


PB
1

1
1
PB
P=1 x
δ1


0 x L
同理作出P=1位于第2跨时：
M
x 1

x x 5x 1 7 15 L L
0 x L
同理作出P=1位于第3跨时：
x x x M 1 x 1 2 15 L L
基本结构
B A x P=1
M P图
1 x 4a
x 4a
M
x A
P=1 基本结构 B
A x
x 4a
P=1
Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP图
1
x 4a
MA(x)=1
M
图
1
11
4a 3 EI
2 2 4 ax x x x 1 1 EI 3 4a 6 4a
要使截面B的弯矩最小，只需第1和第2跨同时布满活载
B 1 2 C 3
1 跨截面
支座B
例题：试绘制三跨等截面连续梁的弯矩包络图，恒载qD=20 kN/m ，活载qA=40 kN/m (梁12等分）
6m

6m
6m
步骤
72
1．作出恒载作用下弯矩图
弯矩图 4.5 49.5 54 13.5 18
例题：试绘制三跨等截面连续梁的弯矩包络图，恒载qD=20 kN/m ，活载qA=40 kN/m (梁12等分）
A
B K C D E
F

三、影响线的应用：连续梁的内力包络图
1．基本原理 连续梁的设计必须以该梁在恒载（自重等）及活载（人 群、货物等）作用下每一截面上可能出现的内力最大值及最
小值作为设计依据。
其中恒载作用下的内力是确定的； 活载作用下的内力随分布的不同有不同的值。 下面以连续梁为例说明活载分布的最不利情形的特点
0 x L

M1影响线
用同样的方法作出M2影响线

二、挠度法作影响线的轮廓
1．挠度法作影响线的原理
以支座B的反力RB为例说明其影响线与挠度图之间的关系
P=1 C A B
取如下的基本结构
x P=1
RB（x）
P=1 C
A
P=1
B
x
RB（x）

力法方程为
1 R B x BP 0
1P
1

由力法方程， 11 M A x 1 P 0
x x M A x x 1 1 4 a 8a
0 x 4a
P=1
当P=1位于B以右时，再用力法
x
x
RB(x) M P图
M
4a
3x 1 1 M A x x 2a 4a x 8a 2 2
0.5a
0.75a 2a 2a a
说明： 超静定部分为3次抛物线，静定部分为直线

2．RB影响线求法
x2 12 a x .......... ........ 0 x 4 a 128 a 3 R B x 1 3x .......... .......... ........ 4 a x 5 a 2 8a

A
原理
B C K G D E ↓↓↓↓↓↓↓ MB F
↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓ MC
↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓ MK
MG
按影响量的计算，不难发现使某量取最大、最小时的活载的分 布规律。 1. 不同支座处最大、最小弯矩的活载分布是不同的 2. 同跨不同截面的弯矩最大、最小的活载分布却是相同的 3. 计算时，一般把活载单独作用在每跨时的弯矩图作出，再 依需要，按叠加法取不同跨叠加得最大、最小值。 例题：试绘制三跨等截面连续梁的弯矩包络图，恒载qD=20 kN/m ，活载qA=40 kN/m (梁12等分）
1 0.3125 11/8
2a
2a
a
从上述作法可见，其过程与静定结构影响线的作法并没有不同， 只是计算麻烦，需用力法求解

例2 静力法作连续梁支座处弯矩影响线。
x P=1
1 L L
2 L
思路： 按影响线的定义，作出P=1在不同位置x处的M1表达式。 1）P=1在第一跨移动，取如下基本体系

力法基本体系
ΔPB
RB
RB=1
1
1
PB
此式中，δ1为RB=1在B处产生的位移（常数）； ΔPB为RB=1时在移动荷载P=1处产生的位移（x的函数） 也就是ΔPB为由于RB产生的x处的挠度。 当x变化时ΔPB的图形就是挠度图。而，RB(x)与ΔPB成比例
RB影响线轮廓图就是RB作用下梁产生的挠度图。
4a x 5a

弯矩方程
M A x 1 2 x x x1 1 .......... ....... 0 x 4 a 4 a 8a x 2 a .......... .......... .......... .... 4 a x 5 a

3. 作法
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
截面 最小 最大
2 31.5 166.5 18
3
4 -40.5 94.5
5 -240 -48
6 -76.5 58.5
7 -54 126
8……. 对称 对称
198
例如：2截面 *恒载弯矩：49.5 *最大弯矩时活载布置在1，3两跨，叠加1，3两跨活载作用时2 截面的弯矩 111+6=117 *动力系数按1计算，M2max=117+49.5=166.5 kNm
6m
6m
6m

弯矩影响线轮廓
B 1 2 C 3 1 跨截面
2 跨截面 3 跨截面
支座B 支座C

说明：
要使1跨某截面取最大值，只需把第1跨和第3跨布满活载； 要使1跨某截面取最小值，只需把第2跨布满活载；
1. 由1跨截面弯矩影响线可知：
2. 由支座B截面弯矩影响线可知：
要使截面B的弯矩最大，只需第3跨布满活载；
P=1 M1（x）
M2（x）
P=1 MP
（2L-x）/3
M1（x）=1
M1
1 M2（x）=1
M
2
1

求出δ11、δ12、δ22、Δ1P、Δ2P 解出
2 4L 4 x x 2 2 M 1 x 1 x L x 2 15 15 L L L

作法： 解除拟作影响量的约束，在该约束力的作 用下使结构产生挠度，作出挠度图即为该量 影响线的轮廓图
例题：作连续梁的内力MC、MK、VK和VC右影响线
K A B C D E F

解：
K
A
B
C
D
E
F
MC
MC影响线
MK
MK影响线

解
K
A
B
C
D
E
F
VK影响线
VC右影响线

例题：作RB、MA、MK 、VB左、VB右的影响线轮廓