二次函数复习教案附练习试卷(含答案)

二次函数

◆知识讲解

①一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．

②当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．

③二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，2

44ac b a

-）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．

④二次函数y=ax 2

+bx+c 的对称轴为x=－2b a ，最值为2

44ac b a -，（k>0时为最小值，k<0时为最大值）．由此可知y=ax 2的顶点在坐标原点上，且y 轴为对称轴即x=0．

⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax 2沿着y 轴（上“＋”，下“－”）平移k （k>0）个单位得到函数y=ax 2±k ，将y=ax 2沿着x 轴（右“－”，左“＋”）平移h （h>0）个单位得到y=a （x ±h ）2．•在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y •轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x 轴平移则直接在含x 的括号内进行加减（右减左加）．

⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．

⑦抛物线y=ax 2+bx+c 的图像位置及性质与a ，b ，c 的作用：a 的正负决定了开口方向，

当a>0时，开口向上，在对称轴x=－2b a 的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴x=－2b a

的右侧，y 随x 的增大而增大，此时y 有最小值为y=2

44ac b a -，顶点（－2b a ，244ac b a

-）为最低点；当a<0时，开口向下，在对称轴x=－2b a

的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴x=－2b a 的右侧，y 随x 的增大而增大，此时y 有最大值为y=2

44ac b a

-，顶点（－，2

44ac b a

-）为最高点．│a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，图像两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，•图像两边越靠近x 轴；a ，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－

2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，垂直于x 轴负半轴，当a ，b •异号时，对称轴x=－2b a

>0，即对称轴在y 轴右侧，垂直于x 轴正半轴；c •的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y •轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．

◆例题解析

例1 已知：二次函数为y=x 2－x+m ，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m 为何值时，顶点在x 轴上方，（3）若抛物线与y 轴交于A ，过A 作AB ∥x 轴交抛物线于另一点B ，当S △AOB =4时，求此二次函数的解析式．

【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x 轴的上方，•即顶点的纵坐标为正；（3）AB ∥x 轴，A ，B 两点的纵坐标是相等的，从而可求出m 的值．

【解答】（1）∵由已知y=x 2－x+m 中，二次项系数a=1>0，∴开口向上，

又∵y=x 2－x+m=[x 2－x+（

12）2]－ 14+m=（x －12）2+414

m - ∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，414m -）．

（2）∵顶点在x轴上方，

∴顶点的纵坐标大于0，即41

4

m

>0

∴m>1 4

∴m>1

4

时，顶点在x轴上方．

（3）令x=0，则y=m．

即抛物线y=x2－x+m与y轴交点的坐标是A（0，m）．∵AB∥x轴

∴B点的纵坐标为m．

当x2－x+m=m时，解得x1=0，x2=1．

∴A（0，m），B（1，m）

在Rt△BAO中，AB=1，OA=│m│．

∵S△AOB =1

2

OA·AB=4．

∴1

2

│m│·1=4，∴m=±8

故所求二次函数的解析式为y=x2－x+8或y=x2－x－8．

【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a，b，c•的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处．

例2 （2006，重庆市）已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的

顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物

线交于H点，若直线BC•把△PCH分成面积之比为2：3的两

部分，请求出P点的坐标．