解读“数学王子”高斯正十七边形的作法(上)

解读“数学王子”高斯正十七边形的作法
江苏省泰州市朱庄中学曹开清225300
一、高斯的传奇故事
高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。

有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。

父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。

可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。

这时的高斯只有3岁！
高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。

有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。

小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。

但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。

高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。

”
布德勒抬头一看，大吃一惊。

小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是
1 ＋
2 ＋3＋……＋98＋99＋100
100＋99＋98＋……＋3＋2＋1
101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝10100
10100÷2＝5050
高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！
1796年的一天，德国哥廷根大学。

高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。

前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。

第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。

这道题把他难住了——所学过的数学知识竟然对解出这道题没有任何帮助。

时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。

他绞尽脑汁，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。

当窗口露出曙光时，他终于解决了这道难题。

当他把作业交给导师时，感到很惭愧。

他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，……”导师看完作业后，激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米得没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。

你是一个真正的天才！”原来，导师也一直想解开这道难题。

那天，他是因为拿错了，才将写有这道题目的纸条交给了学生。

在这件事情发生后，高斯曾回忆说：“如果有人告诉我，那是一道千古难题，我可能永远也没有信心将它解出来。

”
1796年3月30日，当高斯差一个月满十九岁时，在期刊上发表《关于正十七边形作图的问题》。

他显然以此为自豪，还要求以后将正十七边形刻在他的墓碑上。

然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形，而刻着一颗十七角星，原来是负责刻纪念碑的雕刻家认为：“正十七边形和圆太像了，刻出来之后，每个人都会误以为是一个圆。

”
1877年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章。

上面刻着：“汉诺威王乔治V. 献给数学王子高斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi)”，自那之后，高斯就以“数学王子”着称于世。

二、高斯正十七边形尺规作图的思路（这里是纯三角法）
作正十七边形的关键是作出cos 172π，为此要建立求解cos 17
2π的方程。

设正17边形中心角为α，则17α＝2π，即16α＝2π－α
故sin16α＝－sinα ，而
sin16α
＝2sin8α cos8α
＝4sin4α cos4α cos8α
＝8 sin2α cos2α cos4α cos8α
＝16 sinα cosα cos2α cos4α cos8α
因sinα ≠0，两边除以sinα，有
16cosα cos2α cos4α cos8α＝－1
由积化和差公式，得
4(cosα＋cos3α)(cos4α＋cos12α)＝－1
展开，得
4(cosα cos4α＋cosα cos12α＋cos3α cos4α＋cos3α cos12α)＝－1
再由积化和差公式，得
2[(cos3α＋cos5α)＋(cos11＋cos13α)＋(co sα＋cos7α)＋(cos9α＋cos15α)]＝－1
注意到 cos11α＝cos6α，cos13α＝cos4α，cos9α＝cos8α，cos15α＝cos2α，有 2(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－1
设 a ＝2(cosα+ cos2α+cos4α+ cos8α)，b ＝2(cos3α+ cos5α+cos6α+ cos7α)，则 a ＋b ＝－1
又ab ＝2(cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α)·2(cos3α＋co s5α＋cos6α＋cos7α)
＝4cosα(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos2α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos4α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos8α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α) 再展开之后共16项，对这16项的每一项应用积化和差公式，可得：
ab ＝2 [(cos2α＋cos4α)＋(cos4α＋cos6α)＋(cos5α＋cos7α)＋(cos6α＋cos8α)＋(cos α＋cos5α)＋(cos3α＋cos7α)＋(cos4α＋cos8α)＋(cos5α＋cos9α)＋(cosα＋cos7α)＋(cosα＋cos9α)＋(cos2α＋cos10α)＋(cos3α＋cos11α)＋(cos5α＋cos11α)＋(cos3α＋cos13α)＋(cos2α＋cos14α)＋(cosα＋cos15α)]
注意到cos9α＝cos8α，cos10α＝cos7α， cos11α＝cos6α，cos13α＝cos4α，cos14α＝cos3α，cos15α＝cos2α，有
ab ＝2×4(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－4
因为cosα＋cos2α＋cos8α＝(cos
172π＋cos 174π)＋cos 17
16π ＝2cos 17πcos 173π－cos 17π＝2cos 17π(cos 173π－21) 又 0 < 173π < 3π < 2
π 所以cos 173π> 21 即cosα＋cos2α＋cos8α > 0
又因为 cos4α＝cos 17
8π> 0 所以 a ＝cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α > 0
又 ab ＝-4< 0
所以有a > 0， b< 0
可解得
a ＝2171+-，
b ＝2
171--
再设c ＝2(cosα＋cos4α)，d ＝2(cos2α＋cos8α)，
则c+d ＝a
cd＝2(cosα+ cos4α)·2(cos2α+ cos8α)
＝4 (cosαcos2α＋cosαcos8α＋cos4αcos2α＋cos4αcos8α)
＝2 [(cosα＋cos3α)＋(cos7α＋cos9α)＋(cos2α＋cos6α)＋(cos4α＋cos12α)]注意到cos9α＝cos8α，cos12α＝cos5α，有
cd＝2[(cosα＋cos3α)＋(cos7α＋cos8α)＋(cos2α＋cos6α)＋(cos4α＋cos5α)]＝2( cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)
＝-1
因为0 < α < 2α < 4α < 8α < π
所以cosα > cos2α，cos4α > cos8α
两式相加得cosα＋cos4α> cos2α＋cos8α
或2(cosα＋cos4α)> 2(cos2α＋cos8α)
即c > d，又cd＝-1 < 0
所以有c > 0，d < 0
可解得
c＝
2
4 2+
+a
a
，【d＝
2
4 2+
-a
a
】
类似地，设e＝2(cos3α＋cos5α)，f＝2(cos6α＋cos7α)
则e+f＝b
ef＝2(cos3α＋cos5α)·2(cos6α＋cos7α)
＝4(cos3αcos6α＋cos3αcos7α＋cos5αcos6α＋cos5αcos7α)
＝2 [(cos3α＋cos9α)＋(cos4α＋cos10α)＋(cosα＋cos11α)＋(cos2α＋cos12α)]
注意到cos9α＝cos8α，cos10α＝cos7α，cos11α＝cos6α，cos12α＝cos5α，有ef＝2[(cos3α＋cos8α)＋(cos4α＋cos7α)＋(cosα＋cos6α)＋(cos2α＋cos5α)]
＝2( cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋co s7α＋cos8α)
＝-1
因为0 < 3α < 5α < 6α < 7α < π
所以有cos3α > cos6α，cos5α > cos7α
两式相加得cos3α＋cos5α> cos6α＋cos7α
2(cos3α＋cos5α)> 2(cos6α＋cos7α)
即e > f，又ef＝-1 < 0
所以有e > 0，f < 0
可解得
e＝
2
4 2+
+b
b
，【f＝
2
4 2+
-b
b
】
由c ＝2(cosα＋cos4α)，得cosα＋cos4α＝
2c ，即cos 172π＋cos 178π＝2
c e ＝2(cos3α＋cos5α)，应用积化和差公式，得cosαcos4α＝4e ，即 cos 172πcos 178π＝4e 因为0<172π<178π<2π，所以cos 172π>cos 17
8π>0 所以cos 172π＝442e c c -+，【cos 178π＝442e c c --】 于是，我们得到一系列的等式：
a ＝2171+-，
b ＝2
171--，c ＝242++a a ，e ＝242++b b ， cos 172π＝442e c c -+ 有了这些等式，只要依次作出a 、b 、c 、e ，便可作出cos
17
2π。