大学物理实验 用三线摆法测定物体的转动惯量

用三线摆法测定物体的转动惯量
转动惯量是刚体在转动中惯性大小的量度，它与刚体的总质量、形状大小、密度分布和转轴的位置有关。

对于形状较简单的刚体，可以通过数学方法算出它绕特定轴的转动惯量。

但是，对于形状较复杂的刚体，用数学方法计算它的转动惯量非常困难，大都用实验方法测定。

例如：机械零部件、电机转子及枪炮弹丸等。

因此学会刚体转动惯量的测定方法，具有重要的实际意义。

测量转动惯量，一般是使刚体以一定形式运动，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系，进行转换测量。

常用的测量方法有三线扭摆法、单线扭摆法、塔轮法等。

本实验采用三线扭摆法，由摆动周期及其他参数的测定计算出物体的转动惯量。

为了便于和理论值进行比较，实验中的被测物体一般采用形状规则的物体。

【实验目的】
1、掌握三线扭摆法测量物体转动惯量的原理和方法；
2、研究物体的转动惯量与其质量、形状（密度均匀时）及转轴位置的关系；
3、学会正确测量长度、质量和时间的方法。

【实验仪器】
FB210型三线摆转动惯量测定仪、游标卡尺、钢卷尺、数字毫秒计、物理天平、待测物体等。

【实验原理】
图1是三线摆实验装置的示意图。

上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。

三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。

上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴O O '作扭摆运动。

当下盘转动角度很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可近似看作简谐运动。

根据能量守恒定律和刚体转动定律均可以导出物体绕中心轴O O '的转动惯量(推导过程见本实验附录)。

200
2004T H gRr
m I π= （1）
式中各物理量的意义如下：0m 为下盘的质量；r 、R 分别
为上下悬点离各自圆盘中心的距离；0H 为平衡时上下盘间的垂
直距离；T 0为下盘作简谐运动的周期，g 为重力加速度（在杭州
地区g =9.793m/s 2
）。

将质量为m 的待测物体放在下盘上，并使待测刚体的转轴与O O '轴重合。

测出此时下盘运动周期1T 和上下圆盘间的垂直距离H 。

同理可求得待测刚体和下圆盘对中心转轴O O '轴的总转动惯量为：
212014)(T H
gRr m m I π+= （2）
如不计因重量变化而引起的悬线伸长， 则有0H H ≈。

那么，待测物体绕中心轴O O '的转动惯量为:
])[(42002102
01T m T m m H
gRr
I I I -+π=
-= (3) 因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕某轴的转动惯量。

用三线摆法还可以验证平行轴定理。

若质量为m 的物体绕过其质心轴的转动惯量为c I ，
图1 三线摆实验装置图 H
r
R
O
'
O
当转轴平行移动距离x 时（如图2所示），则此物体对新轴O O '的转动惯量为2'mx I I c oo +=。

这一结论称为转动惯量的平行轴定理。

实验时将质量均为m'，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下盘有对称的两排小孔）。

按同样的方法，测出两小圆柱体和下盘绕中心轴O O '的转动周期x T ，则可求出每个柱体对中心转轴O O '的转动惯量:
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-π+=
022
04)'2(21I T H gRr m m I x x (4) 如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离x 以及小圆
柱体的半径x R ，则由平行轴定理可求得
2
22
1x
x m'R m'x I'+= (5) 比较x I 与x I'的大小,可验证平行轴定理。

【实验内容】
1．测定圆环对通过其质心且垂直于环面轴的转动惯量
（1）调整底座水平：调整底座上的三个螺钉旋钮，直至底板上水准仪中的水泡位于正中间。

（2）调整下盘水平：调整上圆盘上的三个旋钮（调整悬线的长度），改变三悬线的长度，直至下盘水准仪中的水泡位于正中间。

（3）测量空盘绕中心轴O O '转动的运动周期0T ：轻轻转动上盘，带动下盘转动，这样可以避免三线摆在作扭摆运动时发生晃动（注意扭摆的转角控制在ο5以内）。

周期的测量常用累积放大法，即用计时工具测量累积多个周期的时间，然后求出其运动周期（想一想，为什么不直接测量一个周期？）。

如果采用自动的光电计时装置（光电计时的原理请参阅实验三），光电门应置于平衡位置，即应在下盘通过平衡位置时作为计时的起止时刻，且使下盘上的挡光杆处于光电探头的中央， 且能遮住发射和接收红外线的小孔， 然后开始测量；如用秒表手动计时，也应以过平衡位置作为计时的起止时刻（想一想，为什么？），并默读5、4、3、2、1、0，当数到“0”时启动停表， 这样既有一个计数的准备过程， 又不致于少数一个周期。

（4）测出待测圆环与下盘共同转动的周期1T ：将待测圆环置于下盘上，注意使两者中心重合，按同样的方法测出它们一起运动的周期1T 。

2．用三线摆验证平行轴定理
将两小圆柱体对称放置在下盘上，测出其与下盘共同转动的周期T x 和两小圆柱体的间距x 2。

改变小圆柱体放置的位置，重复测量5次。

3．其它物理量的测量
（1）在实验中，由于三条摆线并不是系在上、下两圆盘的边缘，而是系在离边缘很近的三点，因此各盘三个系点所组成等边三角形的同心圆的等效半径R 、r 不等于盘的实际半径，要通过间接测量获得，通过用米尺测量下盘的两系点之间的距离a ，可计算出R ，如图2所示。

3
a
R = 对上盘同样有：
3
b r =
其中b 为上盘两系线点间的距离。

将以上两式代入（8）式，得：
O
O ' C
x m
图2 平行轴定理
（2） 用米尺测出两圆盘之间的垂直距离0H ；用游标卡尺测出待测圆环的内、外直径12R 、22R 和小圆柱体的直径x R 2。

【数据处理与分析】
1. 圆环转动惯量的测量及计算（表1和表2）
摆动
50次
所
需 时
间 （
s ）
下盘 下盘加圆环 下盘加圆柱体
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
平均 平均 平均
周 期
=0T s
=
1T s
2T = s
项目 次数 上盘悬孔
间 距
)cm (a
下盘悬
孔
间 距)cm (b 待测圆环 小圆柱体直径
)cm (2x R
外直径)cm (21R 内直径
)cm (22R 1 2 3 4 5 平均
图2 边长与半径的关系
==
a r 33 ==
b R 3
3 下盘质量=0m 待测圆环质量=m 圆柱体质量=m' =0H 根据以上数据，求出待测圆环的转动惯量，将其与理论值计算值比较，求相对误差，并
进行讨论。

已知理想圆环绕中心轴转动惯量的计算公式为)(2
2
221R R m I +=理论。

2. 验证平行轴定理（表3）
项目 次数 小孔间距)(2m x 周期 x T (s) 实验值(kg ·m 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π+=02204)2(21I T H gRr m'm I x x 理论值(kg ·m 2
) 2221x x m'R m'x I'+= 相对误差 1
2 3 4 5
【预习思考题】
（1）用三线摆测刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？
（2）．测量周期时为什么要测50个周期的总时间?
（3）在测量过程中, 如下盘出现晃动,对周期测量有影响吗？如有影响，应如何避免之？
（4）三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大？为什么？ （5）测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？ （6）如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？
（7）三线摆在摆动中受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期是否会变化？对测量结果影响大吗？为什么？
讨论题
1．三线摆在摆动中受到空气的阻尼，振幅会越来越小，其周期是否会变化，为什么? 2．你能否考虑一个实验方案，测量一个具有轴对称的不规则形状的物体对对称轴的 转动惯量?
3．将一半径小于下圆盘半径的圆盘置于下圆盘上，并使中心一致。

试讨论，此时三线摆的周期和空载时的周期相比较是增大、减小，还是不一定?为什么?
4．圆盘A 和圆环B 的质量相同，但3次测量得到的转动惯量都不同．这说明了什么?
附 录
转动惯量测量式的推导
当下盘扭转振动，其转角θ很小时，其扭动是一个简谐振动，其运动方程为：
t T 0
0π
2sin θθ= （
6）
当摆离开平衡位置最远时，其重心升高h ，根据机械能守恒定律有：
mgh I =2
02
1ω （7）
即 2
2ωmgh
I = （8） 而 t T
T dt d π
2cos π20θθω== （9）
0π2T θω= （10）
将（4-10）式代入（4-7）式得
2
22
π2θmghT I = （11） 从图4-3中的几何关系中可得
222022)(cos 2)(r R H l Rr R h H -+==θ-+-
简化得 )cos 1(2
02
θ-=-Rr h Hh
略去2
2h ，且取2/cos 12
0θθ≈-，则有： H
Rr h 220
θ=
代入（11）式得
224T H
gRr m I π= （12）
即得公式（1）。

（12）式为本实验的最终实验式，它的适用条件为：
1、摆角很小，一般要求o
5<θ；
2、摆线l 很长，三条线要求等长，张力相同；
3、大小圆盘水平；
4、转动轴线是两圆盘中心线。

H
θ
l
h
A
'
A C
'
C R
图4-3 公式（4 -1）推导示意图
r。