数列与数论

数列与简单数论

一、例题讲解

例1、求证：对于一个给定的正整数n （n ），存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其

中任意三项（按原来顺利）都不能组成等比数列。

例2、{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222

234577a a a a ,S +=+=

（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；

（2）试求所有的正整数m ，使得12

m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.

例3、已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；

（2）设数列}{n c 对任意*n N ∈，都有

12

1222

2

n

n n c c c a ++++

=成立，求12201

c c c +++的值． （3）若1

n n n

a b a +=*()n N ∈，求证：{}n b 中的任意一项总可以表示成其他两项之积

例4、已知数列{a n }满足7

61-=a ，12110n n a a a a +++++-λ=(其中λ≠0且λ≠–1，

n ∈N*)，n S 为数列{a n }的前n 项和．

(1) 若312

2a a a ⋅=，求λ的值；

(2) 求数列{a n }的通项公式n a ； (3) 当1

3

λ=

时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．

例5、设3

x x f =)(，等差数列{}n a 中73=a ，12321=++a a a ，记n S =(

)

3

1+n a f

，令

n n n S a b =，数列}1

{n

b 的前n 项和为n T .

（1）求{}n a 的通项公式和n S ； （2）求证：3

1<

n T ；

（3）是否存在正整数n m ,，且n m <<1，使得n m T T T ,,1成等比数列？若存在，求出n m ,的值，若不存在，说明理由.

例6、已知数列{}n a ，记123()n A n a a a a =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, 2341()n B n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+,

3452()n C n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, (1,2,3,......)n =，

并对于任意n N *∈，恒有0n a >成立． （1）若121,5a a ==，且对任意n N *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的

通项公式；

（2）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n N *∈，三个数

(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列．

例7、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知q pS S n n +=+1（*

N ∈n ，p 、q 为常数），

21=a ，12=a ，p q a 33-=．

（1）求p 、q 的值；

（2）求数列}{n a 的通项公式；

（3）是否存在正整数m ，n ，使得1

221+<--+m

m

n n m S m S 成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(n m ；若不存在，请说明理由．

例8、等比数列．．．．{}n c 满足11410-+⋅=+n n n c c ，*

N n ∈，数列{}n a 满足n

a

n c 2=

（1）求{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足1

1

n n n b a a +=

⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．求n n T ∞→lim ；

（3）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有

,m n 的值；若不存在，请说明理由．

例9、已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*

n N ∈.

（1）证明数列{}

2n

n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；

（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；

若不存在，请说明理由；

（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某

一直线上.

例10、数列}{n a 的首项为a （0≠a ），前n 项和为n S ，且a S t S n n +⋅=+1（0≠t ）．设

1+=n n S b ，n n b b b k c ++++= 21（+∈R k ）． （1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）当1=t 时，若对任意*

N ∈n ，||||3b b n ≥恒成立，求a 的取值范围；

（3）当1≠t 时，试求三个正数a ，t ，k 的一组值，使得}{n c 为等比数列，且a ，t ，

k 成等差数列．

例11、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足a a =1 (3≠a ),n n n S a 31+=+,设

n n n S b 3-=,*∈N n .

(1)求证:数列{}n b 是等比数列;

(2)若1+n a ≥n a ,*∈N n ,求实数a 的最小值;

(3)当4=a 时,给出一个新数列{}n e ,其中⎩⎨⎧≥==2,1

,3n b n e n

n ,设这个新数列的前

n 项和为n C ,若n C 可以写成p t (*∈N p t ,且1,1>>p t )的形式,则称n C 为“指数

型和”.问{}n C 中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.