导函数图像与原函数图像关系
导数应用易错点分析、归纳
导数应用易错点分析、归纳作者：纪颖伟来源：《成才之路》2009年第05期导数作为高中数学新教材中的新增内容，为解决函数单调性、最(极)值、取值范围等问题提供了新的工具。
但学生在学习导数时，由于对导数基本概念、理论的理解存在着误区，应用时常常出错，下面，对有关的易错点举例加以分析、归纳。
一、忽视了“过某点的切线”与“在某点的切线”的差别例1:求经过点A（-1，4）的曲线y= x3-5 x2+6x的切线方程错解：y'=3x2-10x+6， y'|x=-1=19。
故过点A（-1，4）的曲线的切线方程为y-4=19（x+1）,即19x-y+23=0。
分析：由导数的几何意义知f'（x0）是曲线在点（x0，f（x0））处的切线的斜率，其中点（x0，f（x0））在曲线上，而点A（-1，4）显然不在曲线上，故不正确。
正解：设切点坐标P（x0，y0），则 y0=x03-5x02+6x0 ，则过点p的切线方程为y-y0=（3x02-10x0+6）（x-x0），即y=（3x02-10x0+6）x-2x03+5x02 。
因其经过点A（-1，4），代入上面切线方程，可求得x0 =1，或x0=-，将 x0的值分别代入切线方程，得到三条切线方程：y=-x+3，y=（21-10 ）x+25-10和 y=（21+10 ）x+25+10。
二、误解了“导数为零”与“有极值”的逻辑关系利用导数求极值的算法可为三步：⑴求导数f'（x），⑵求方程f'（x）=0的根，⑶检验f'（x）在方程f'（x）=0的根的左右两边的符号，确定极值。
例2：函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b值。
错解：f'（x）=3x2+2ax+b，由题意知：f'（1）=0 且 f（1）=10，即2a+b+3=0且a2+a+b+1=10，解之得a=4，b=-11 或a=-3，b=3。
最新导函数图像与原函数图像关系(我)
导函数图像类型题类型一：已知原函数图像，判断导函数图像。
1. （福建卷11）如果函数)(x f y =的图象如右图，那么导函数()y f x '=的图象可能是 ( )2. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如下左图所示，则导函数y=f (x )的图象可能为( )3. 函数()y f x =的图像如下右图所示，则()y f x '=的图像可能是（ ）4. 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则其导函数'()f x 的图象是（ ）类型二：已知导函数图像，判断原函数图像。
5. (2007年广东佛山)设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ）6. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知函数f x ()的导函数2f x ax bx c '=++()的图象如右图，则f x ()的图象可能是( )7. 函数)(x f 的定义域为开区间3(,3)2-，导函数)(x f '在3(,3)2-内的图象如图所示，则函数)(x f 的单调增区间是_____________类型三：利用导数的几何意义判断图像。
8. （2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区O 1 2 xyxyyO1 2 yO1 2 xO 12xC D O1 2 xy)(x f y '=xoy间[,]a b上的图象可能是( )A ． B． C． D．9.若函数)('xfy=在区间),(21xx内是单调递减函数，则函数)(xfy=在区间),(21xx内的图像可以是（）A B C D10.（选做）已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（）类型四：根据实际问题判断图像。
利用导数研究函数单调性5种常见题型总结(原卷版)
第10讲 利用导数研究函数单调性5种常见题型总结【考点分析】考点一：利用导数判断函数单调性的方法 ①求函数的定义域（常见的0,ln >x x ）；①求函数的导数，如果是分式尽量通分，能分解因式要分解因式；①令()0='x f ，求出根 ,,,321x x x ，数轴标根，穿针引线，注意x 系数的正负；④判断()x f '的符号，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数． 考点二：已知函数的单调性求参数问题①若()f x 在[]b a ,上单调递增，则()0f x '≥在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）； ①若()f x 在[]b a ,上单调递减，则()0f x '≤在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）．【题型目录】题型一：利用导数求函数的单调区间题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围 题型四：已知含量参函数在区间上不单调求参数范围 题型五：已知含量参函数存在单调区间求参数范围【典型例题】题型一：利用导数求函数的单调区间【例1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数()()2e x f x x =+的单调递减区间是（ ）A ．(),3-∞-B ．()0,3C ．()3,0-D ．()3,-+∞【例2】（2022·北京市第三十五中学高二阶段练习）函数ln xy x=的单调递增区间是（ ） A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()e,+∞C ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,e【例3】（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,2)【例4】（2022·黑龙江·铁人中学高三开学考试）函数2()ln 1f x x x =--的单调增区间为_________.【例5】（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数()()ln 1f x x x =+，则（ ） A ．()f x 在()1,-+∞单调递增 B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是偶函数【例6】（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3k ≤-或11k -≤≤或3k ≥ B ．31k -<<-或13k << C ．22k -<<D ．不存在这样的实数【例7】（2022·全国·高二课时练习多选题）设函数()e ln x f x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的定义域是()0,∞+B ．当()0,1x ∈时，()f x 的图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有两个单调区间【例8】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．()0,∞- B ．(1,+∞)C ．()1,∞-D ．(0,+∞)【例9】 （2022·全国·高二专题练习）已知函数()1xlnx f x e +=，（其中e ＝2.71828…是自然对数的底数）．求()x f 的单调区间.【例10】【2020年新课标2卷理科】已知函数()x x x f 2sin sin 2=.（1）讨论()x f 在区间()π,0的单调性；【例11】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数()ln f x x x x =-. (1)求()f x 的单调区间；【例12】（2022·陕西渭南·高二期末（文））函数()()2e x f x x ax b =++，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为：450x y ++=. (1)求,a b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间.【例13】【2020年新课标1卷理科】已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当1=a 时，讨论()x f 的单调性；【例14】【2019年新课标2卷理科】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论()x f 的单调性，并证明()x f 有且仅有两个零点；【题型专练】1．（2022湖南新邵县教研室高二期末（文））函数()4ln f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．()0,∞+ B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）函数()()3e x f x x =-，则()f x 的单调增区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),3-∞D ．()3,+∞3．（2022·四川绵阳·高二期末（文））函数()2ln 2x x x f -=的单调递增区间为（ ）A ．()1,-∞-B ．()+∞,1C ．()1,1-D ．()1,04．（2022·广西桂林·高二期末（文））函数()3213f x x x =-的单调递减区间为（ ）A ．()02，B ．()()02∞∞-+，，，C ．()2+∞，D ．()0-∞，5．（2022·重庆长寿·高二期末）函数()65ln f x x x x=--的单调递减区间为（ ）A ．（0，2）B ．（2，3）C ．（1，3）D ．（3，+∞）6．（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 3f x x x =-的单调减区间为__________．7．（2022·全国·高二专题练习）函数2()2x x f x =的单调递增区间为__________.8.（2022·全国·高二专题练习）函数cos y x x =+的单调增区间为_________.9.（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的单调区间(1)()211x f x x +=-；(2)()21ln 2f x x x =-； (3)()3223361f x x x x =+-+；(4)()sin ,0f x x x x π=-<<；(5)()()22e xf x x x -=+；(6)()sin 2cos xf x x=+．10．（2022·全国·高二单元测试）已知函数()()321313x x x f x =-++，求()f x 的单调区间．11.函数()x e x x f -=2的递增区间是（ ） A ．()0,2B ．(),0∞-C ．(),0∞-，()2,+∞D ．()(),02,-∞+∞12.【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=x e ax −e x ． (1)当a =1时，讨论f(x)的单调性；13.（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1m m -+上不单调，则实数m 的取值范围是（ ）A ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.（2020·河北省石家庄二中高二月考）函数1()ln f x x x=的单调递减区间为____________. 15.（2022·全国·高三专题练习（文））函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________．题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【例1】（2022·河南·高三阶段练习（文））如图为函数()f x （其定义域为[],m m -）的图象，若()f x 的导函数为()f x '，则()y f x '=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【例2】（2022·四川·遂宁中学外国语实验学校高三开学考试（理））设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，其图象如图所示.记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0xf x '≤的解集为（ ）A ．[][)31,0,12,323⎛⎤--⋃⋃ ⎥⎝⎦B ．[]18,01,2,333⎡⎤⎡⎫-⋃⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31148,,,323233⎛⎫⎡⎤⎡⎫--⋃⋃ ⎪⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎣⎦⎣⎭【例4】（2022·全国·高二单元测试）已知函数()f x 的导函数()'f x 图像如图所示，则()f x 的图像是图四个图像中的（ ）．A ．B ．C ．D ．【例5】（2022·广东潮州·高二期末多选题）已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则下列结论正确的为（ ）A ．曲线m 是()f x 的图象，曲线n 是()f x '的图象B ．曲线m 是()f x '的图象，曲线n 是()f x 的图象C ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为()0,1D ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为41,3⎛⎫⎪⎝⎭【题型专练】1．（2022·江苏常州·高三阶段练习）如图是()y f x '=的图像，则函数()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．()2,1-B ．()()2,0,2,-+∞C ．(),1-∞-D ．()(),1,1,-∞-+∞2．（2022·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，且()f x '是()f x 的导函数，则（ ）A ．()()()()12012f f f f ''''-=-<<<B ．()()()()21012f f f f ''''<<<-=-C ．()()()()02112f f f f ''''>>>-=-D ．()()()()21021f f f f ''''<<<-<-3．（2022·福建莆田·高二期末）定义在()1,3-上的函数()y f x =，其导函数()y f x '=图像如图所示，则()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．()1,0-B ．()1,1-C ．()0,2D ．()2,34．（2022·广东广州·高二期末）已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，函数()y f x ='的图象如图所示，则函数()y f x =图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022·北京·牛栏山一中高二阶段练习）设()f x '是函数()f x 的导函数，在同一个直角坐标系中，()y f x =和()y f x '=的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2022·福建宁德·高二期末多选题）设()f x 是定义域为R 的偶函数，其导函数为()f x '，若0x ≥时，()f x 图像如图所示，则可以使()()0f x f x '⋅<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,3题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ax x x x f ++=2ln 的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．(],3a ∈-∞-B ．3a =-C ．3a =D ．(],3a ∈-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．[]1,1- C ．[]1,3 D ．[]1,3-【例3】（2022·浙江·高二开学考试）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a >D ．1a ≥-【例4】（2022·全国·高二课时练习）若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．(],3-∞C ．23,e 1⎡⎤+⎣⎦ D ．(2,e 1⎤-∞+⎦【例5】（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高二阶段练习）已知函数()321f x x x ax =+-+在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数1()sin 2cos 2f x x a x =+在区间(0,)π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞-B ．[1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．[1,)+∞【例7】（2022·山东临沂·高二期末）若对任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有121212ln ln 3x x x x x x ->-，则m 的最小值是________.【例8】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()0ln 232>+-=a x x axx f ，若函数()x f 在[]2,1上为单调函数，则实数a 的取值范围是________.【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）若函数2()ln 5f x x ax x =+-在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,3]-∞ B ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．253,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．25,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-4.（2022·全国·高三专题练习）若函数()d cx bx x x f +++=23的单调递减区间为()3,1-，则=+c b （ ）A ．－12B ．－10C ．8D ．105.（2022·全国·高三专题练习）若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是_______. 6.函数321()3f x ax x a =-+在[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．1a ≥C ．2a >D ．2a ≥7.对于任意1x ，2[1,)x ∈+∞，当21x x >时，恒有2211ln 2()x a x x x <-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞C ．(,2]-∞D ．(,3]-∞8.若函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数，则t 的取值范围是（ ） A ．[1,2] B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞题型四：已知含量参函数在区间上不单调，求参数范围【例1】（2022·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（文））已知函数()3212132a g x x x x =-++．若()g x 在()2,1--内不单调，则实数a 的取值范围是______．【例2】（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数()()41xf x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【题型专练】 1.函数()()2244xf x e xx =--在区间()1,1k k -+上不单调，实数k 的范围是 .2.（2022·全国·高三专题练习）若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.题型五：已知含量参函数存在单调区间，求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数()21()ln 12g x x x b x =+--存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞D ．(],3-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．【例3】（2022·河北·高三阶段练习）若函数()2()e xf x x mx =+在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在单调递减区间，则m 的取值范围是_________．【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知()2ln ag x x x x=+-. (1)若函数()g x 在区间[]1,2内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若()g x 在区间[]1,2上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习（文））若函数()()0221ln 2≠--=a x ax x x h 在[]4,1上存在单调递减区间”，则实数a 的取值范围为________.2.若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为 .3.故函已知函数32()3()f x ax x x x =+-∈R 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3,-+∞ B ．()()3,00,-+∞C ．()(),00,3-∞D ．[)3,-+∞4.已知函数()()R a x ax x x f ∈+++=123在⎪⎭⎫⎝⎛--31,32内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,√3] B ．(−∞,√3]C ．(√3,+∞)D ．(√3,3)。
高中数学导数知识点归纳总结
范围是（ ）
A．
3 2e
,1
B．
3 2e
,
3 4
【解析】方法一：分离函数---数形结合法
C．
3 2e
,
3 4
D．
3 2e
,1
-7-
巧辨“任意性问题”与“存在性问题” 一．方法综述
注意：当 x=x0 时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0 不能得到当 x=x0 时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数
原函数
f '(x) 的符号
f (x) 单调性
f '(x) 与 x 轴的交点且交点两侧异号
（2）分离参数：将含参不等式转化为转化为 f (x) a; f (x) a ，进而研究直线 y a与y f (x) 图像位
置关系，寻找临界状态，求参数的范围。
（3）分离函数：通过变形将不等式转化为形如（ f (x) 或 g(x); f (x) 或 g(x) 的形式，参数通常
在直线形式的函数里），进而研究两个函数图像的位置关系，寻找临界状态，求解参数的范围。 （4）特殊点法：根据图形从特殊点的值入手求参数范围。 【典例分析】
(3)下结论
① f '(x) 0 f (x) 该区间内为增函数； ② f '(x) 0 f (x) 该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数 y f (x) 单调区间的步骤为： （1）分析 y f (x) 的定义域； （2）求导数 y f (x) （3）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x求导数，得于是，运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是 .【答案】【解析】：仿照题目给定的方法，所以，所以，所以，即：函数在处的切线的斜率为1，故切线方程为：，即，故答案为：．【考点】归纳推理.2.曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（）.A．y=x+1B．y=﹣2x+1C．y=2x﹣1D．y=2x+1【答案】D.【解析】，，则切线斜率，切线方程为，即.【考点】导数的几何意义.3.设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图像为（）【答案】B【解析】 =xcosx,所以k=g(t)=tcost,是奇函数，图像关于原点对称，所以排除A,C，在t>0时，cost的值是先正后负的连续变换，故选B.【考点】导数，函数图像.4.已知函数的导函数为，．求实数的取值范围。
【答案】或。
【解析】对函数求导，得=，代入，得，=<0,求解即可，注意高次不等式的解法.试题解析：由得=，所以得，=<0,解得或.【考点】导数，高次不等式.5.已知函数在上可导，且，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，当时，有，进而得，所以，故选择B.【考点】导数的应用.6.曲线y＝－在点M处的切线的斜率为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】因为==，所以曲线在M处的切线的斜率为=，故选B.考点:常见函数的导数，导数的运算法则，导数的几何意义7.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】，故切线的斜率，在由切线与直线垂直得，即.【考点】导数的应用之一：曲线在一点处的切线以及两直线之间的位置关系.8.抛物线在点处的切线的倾斜角是 ( )A．30B．45C．60D．90【答案】B．【解析】已知抛物线，对其进行求导，即，当时，，即切线的斜率为，从而问题解决．【考点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．9.已知抛物线，和抛物线相切且与直线平行的的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题得,与直线平行，则斜率为2，可得切点为，所以直线方程为．【考点】导数的几何意义，直线方程．10.曲线在点处切线的斜率为()A．B．C．D．【答案】B【解析】，则在点(1，－)处切线的斜率为，所以倾斜角为45°.【考点】导数的几何意义.特殊角的三角函数值.11.函数在点处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，所以。
2017年高考浙江卷数学试题解析(解析版)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|11}P x x =-<<，{02}Q x =<<，那么P Q =U A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)【答案】A【解析】P Q U 取,P Q 集合的所有元素，即12x -<<.故选A ． 【考点】集合运算【点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．2．椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B【解析】e =B ． 【考点】 椭圆的简单几何性质【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（第3题图）A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+ D ．332π+ 【答案】A【解析】 有三视图可知，直观图是有半个圆锥与一个三棱锥构成，半圆锥体积()2111=13232S π⨯π⨯⨯=，棱锥体积211=213=132S ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以几何体体积1212S S S π=+=+． 故选A ．【考点】 三视图【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整． 4．若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．【考点】 简单线性规划【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．5．若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】取0,0a b ==；得1M m -=；取0,1a b ==得1M m -=； 取1,0a b ==；得2M m -=； 故与a 有关；与b 无关.故选B ． 【考点】二次函数的最值【点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【考点】 等差数列、充分必要性【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．7．函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（第7题图）【答案】D【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ．【考点】 导函数的图象【点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f'x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．8．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1–p i ，i =1，2． 若0<p 1<p 2<12，则 A ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξ B ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ C ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ<2()D ξD ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ【答案】A【解析】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ． 【考点】 两点分布【点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量iξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确．9．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α，β，γ，则（第9题图）A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【解析】 设D 在底面ABC 内射影为O ，判断O 到PR ，PQ ，QR 的距离， 显然有,αβ,γ均为锐角．1P 为三等分点，O 到1PQR △三边距离相等．动态研究问题．1P P ®，所以O 到QR 距离不变，O 到PQ 距离减少，O 到PR 距离变大．所以αγβ<<．【考点】 空间角（二面角）【点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解．10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OA OB u u u r u u u r＝，2·I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r＝，则（第10题图）A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<【答案】C【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO AF <，而90AFB ∠=o ，∴AOB ∠与COD ∠为钝角，AOD ∠与BOC ∠为锐角．根据题意12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA -=⋅-⋅=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos 0OB CA AOB ∠<u u u r u u u r，∴12I I <，同理23I I >．做AG BD ⊥于G ，又AB AD =．∴OB BG GD OD <=<，而OA AF FC OC <=<，∴||||||||OA OB OC OD ⋅<⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，而cos cos 0AOB COD ∠=∠<，∴OA OB OC OD ⋅>⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，即13I I >，∴312I I I <<，选C ．G FOD【考点】 平面向量的数量积运算【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得90AOB COD ∠=∠>o ，由AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，可求得OA OC <，OB OD <，进而得到312I I I <<．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
高二数学函数试题答案及解析
高二数学函数试题答案及解析1.已知函数若，则【答案】【解析】当时，，解得；当时，，解得.【考点】分段函数的求法.2.函数的最大值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】一方面函数的定义域为，另一方面，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以函数在取得最大值，故选A.【考点】函数的最值与导数.3.已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，原不等式的解集为或；当时，解集为且；当时，解集为或；（2）的取值范围是.【解析】（1）本小题是含参数的一元二次不等式问题，求解时先考虑因式分解，后针对根的大小进行分类讨论，分别写出不等式的解集即可；（2）不等式的恒成立问题，一般转化为函数的最值问题，不等式即在上恒成立可转化为（），而函数的最小值可通过均值不等式进行求解，从而可求得的取值范围.试题解析：（1）由得，即 1分当，即时，原不等式的解为或 3分当，即时，原不等式的解为且 4分当，即时，原不等式的解为或综上，当时，原不等式的解集为或；当时，解集为且；当时，解集为或 6分（2）由得在上恒成立，即在上恒成立，所以（） 8 分令，则 10分当且仅当等号成立，即故实数的取值范围是 12分.【考点】1.一元二次含参不等式；2.分类讨论的思想；3.分离参数法；4.均值不等式.4.已知函数．(Ⅰ)若，试判断在定义域内的单调性；(Ⅱ) 当时，若在上有个零点，求的取值范围.【答案】(Ⅰ) 增函数； (Ⅱ)【解析】(Ⅰ)因为通过对函数，求导以及可得导函数恒成立，所以可得函数在定义域内是单调递增的.(Ⅱ)由于代入即可得，对其求导数可得到，所以可知当时函数取到最小值，再根据左右两边分别是先减后增从要使在上有个零点必须使得最小值小于零.同时在的两边都有大于零的值，所以可得的范围.试题解析：解：（Ⅰ）由可知，函数的定义域为又，所以当时，从而在定义域内恒成立。
所以，当时，函数在定义域内为增函数。
导函数与原函数对称性的联系
导函数与原函数对称性的联系反函数与原函数的关系：反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域；函数的反函数，本身也是一个函数；偶函数必无反函数；奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。
什么是原函数未知函数f(x)就是一个定义在某区间的函数，如果存有可微函数f(x)，使在该区间内的任一点都存有df(x)=f(x)dx，则在该区间内就表示函数f(x)为函数f(x)的原函数。
例如：sinx是cosx的原函数。
什么就是反函数一般来说，设函数y=f(x)(x∈a)的值域是c，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈c)叫做函数y=f(x)(x∈a)的反函数，记作y=f^-1(x)。
反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
最具有代表性的'反函数就是对数函数与指数函数。
通常地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应当，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)或者y=f^-1（x）。
存有反函数(预设为单值函数）的条件就是原函数必须就是一一对应的（不一定就是整个数域内的）。
特别注意：上标"?1"所指的就是函数幂，但不是指数幂。
①函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是其反函数的反函数，故函数的原来函数与反函数互称为反函数。
②反函数的定义域与值域分别就是原来函数的值域与定义域。
③只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数，由此得出下面4点：⑤单调函数必存有反函数。
⑥奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。
⑦原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。
函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y＝x对称，关于这一关系的理解要注意以下三点：1、函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x等距，这个结论就是在坐标系中横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴，而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出结论的；2、（a,b）在y=f(x)的图象上＜＝＞（b,a）在y=f-1(x)的图象上；3、若y＝f(x)存有反函数y=f-1(x)，则函数y=f(x)的图象关于直线y=x等距的充份必要条件为f(x)＝f-1(x)，即为原、反函数的解析式相同。
导函数和原函数的单调性关系
导函数和原函数的单调性关系1导函数与原函数导函数是用来表达原函数的斜率和变化的情况，可以说明原函数有多快地改变，或者在特定点的斜率，可以改善计算函数的极限的效果。
常用的导函数表达式有参数方程伴随微积分。
原函数是微积分运算中最为重要的概念，其作用是根据一定条件下特定点的曲线作出推论。
由于原函数曲线障碍受限，所以无法给出完整的解释，而导函数则可以在进行运算时采用更精确的曲线进行计算，从而达到精确计算的目的。
2单调性单调性是指函数在某域上的有序性，也就是图像或曲线上的一种属性，如果一条曲线的单调性是有序的，即它的点的距离不断增大，或者>山不断减小，那么它就形成单调性。
正如我们所知，原函数和导函数之间的关系可以被描述为相互单调的。
一般地说，如果一个函数的导数大于0，则说明函数图像是逐渐加大的，因此函数具有上升趋势，因此它就是单调递增的；反之，如果一个函数的导数小于0，则说明函数图像是逐渐减小的，因此函数具有下降趋势，因此它就是单调递减的。
因此，原函数和导函数之间的单调性关系可以说是彼此相反，如果原函数是上升至达到峰值，则对应的导函数从正值负值开始减小。
反之，如果原函数是从正值下降到达最低点，那么对应的导函数就是从负值开始到正值逐渐增加。
3无穷小极限无穷小极限是指函数y=f(x)在x趋近某个确定值a时，y所达到的极限值。
无穷小极限是一种重要的概念，它可以帮助我们对函数极限的推理更加直观、准确。
有了原函数及其导函数，可以很好地描述特定的函数极限的情况，同时也使我们能够准确有效地计算出函数极限的值，例如：两个函数f(x)和g(x)的无穷小极限L：如果它们的导函数一致，即f'(x)=g'(x),则它们的无穷小极限也就是一样的，这样通过对两个函数的导函数之比就可以求出两个函数的极限值。
因此，通过原函数和导函数之间的单调关系可以计算出函数极限的值，也可以确定函数的性质，这是一项非常有用的工具。
计氏数学二次函数50问
计氏数学二次函数50问1. 二次函数的定义是什么？二次函数是指具有形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 为实数且a ≠ 0。
2. 二次函数的图像是什么形状？二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
3. 二次函数的顶点是什么？二次函数的顶点是抛物线的最高或最低点，表示函数的极值。
4. 怎样求二次函数的顶点？二次函数的顶点坐标可以通过使用公式x = -b/2a来计算。
5. 二次函数的对称轴是什么？对称轴是通过二次函数的顶点并且垂直于x轴的直线。
6. 怎样求二次函数的对称轴？二次函数的对称轴的方程可以通过公式x = -b/2a得到。
7. 二次函数的判别式是什么？判别式是二次函数的常数项及一次项系数的平方差，即Δ = b^2 - 4ac。
8. 怎样求二次函数的判别式？计算二次函数的判别式可以通过计算公式Δ = b^2 - 4ac得到。
9. 二次函数的判别式可以用来判断什么？二次函数的判别式可以用来判断函数的图像与x轴的交点数量及性质。
10. 当二次函数的判别式大于0时，图像与x轴交点的性质是什么？当判别式大于0时，二次函数的图像与x轴有两个交点，函数的图像开口朝上或朝下。
11. 当二次函数的判别式等于0时，图像与x轴交点的性质是什么？当判别式等于0时，二次函数的图像与x轴有一个交点，函数的图像开口朝上或朝下。
12. 当二次函数的判别式小于0时，图像与x轴交点的性质是什么？当判别式小于0时，二次函数的图像与x轴没有交点，函数的图像开口朝上或朝下。
13. 二次函数的零点有什么特点？二次函数的零点是函数与x轴的交点，即函数在该点的值为0。
14. 怎样求二次函数的零点？求二次函数的零点可以使用求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a。
15. 二次函数的零点可以用来判断什么？二次函数的零点可以用来判断函数的图像与x轴的交点位置及性质。
16. 二次函数的增减性如何确定？二次函数在对称轴的左侧为递减区间，在对称轴的右侧为递增区间。
2023年新高考数学大一轮复习专题15 单调性问题(原卷版)
专题15单调性问题【考点预测】知识点一：单调性基础问题 1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数．2．已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '>，才能得出()f x 在某个区间上单调递增；②若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '<，才能得出()f x 在某个区间上单调递减．知识点二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【方法技巧与总结】1．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性. 注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥； ()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤.【题型归纳目录】题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型二：求单调区间题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围 题型四：不含参数单调性讨论 题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数 情形二：函数为准一次函数 情形三：函数为二次函数型 1.可因式分解 2.不可因式分解型情形四：函数为准二次函数型 题型六：分段分析法讨论 【典例例题】题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像例1．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））设函数()f x 在定义域内可导，()f x 的图象如图所示，则其导函数()'f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．例2．（2022·云南曲靖·二模（文））设()'f x 是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()'f x 的导函数，若对任意R ()0,()0x f x f x '''∈><，恒成立，则下列选项正确的是（ ）A ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<B ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-例3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．()()()f b f c f a >>B ．()()()f b f c f e >=C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f e f d f c >>【方法技巧与总结】原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数()f x 单调递增⇔导函数()0f x '≥（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足()0f x '>）；原函数单调递减⇔导函数()0f x '≤（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足0()0f x <）.题型二：求单调区间例4．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．(-∞,0)B ．(1,+∞)C ．(-∞,1)D ．(0,+∞)例5．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数()()3e xf x x =-的单调增区间是( )A ．()2-∞，B ．()03，C ．()14，D ．()2+∞，例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________．【方法技巧与总结】求函数的单调区间的步骤如下： （1）求()f x 的定义域 （2）求出()f x '.（3）令()0f x '=，求出其全部根，把全部的根在x 轴上标出，穿针引线.（4）在定义域内，令()0f x '>，解出x 的取值范围，得函数的单调递增区间；令()0f x '<，解出x 的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ） A ．(),1-∞-B ．[]1,1-C ．[]1,3D ．[]1,3-例8．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数()()41x f x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭例9．（2022·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，3)，则b ＋c ＝（ ） A ．－12B ．－10C ．8D ．10例10．（2022·全国·高三专题练习）若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是_______.例11．（2022·全国·高三专题练习）若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．例12．（2022·全国·高三专题练习）若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.例13．（2022·河北·高三阶段练习）若函数()2()e xf x x mx =+在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在单调递减区间，则m 的取值范围是_________．例14．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上存在单调递减区间”，则实数a 的取值范围为________.例15．（2020·江苏·邵伯高级中学高三阶段练习）若函数3y x ax =-+在[)1,+∞上是单调函数，则a 的最大值是______.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数f (x )＝3xa－2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则实数a 的取值范围是________.【方法技巧与总结】（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围. （3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解. 题型四：不含参数单调性讨论例17．（2022·山东临沂·三模）已知函数()21ln ax f x x-=，其图象在e x =处的切线过点()22e,2e ．(1)求a 的值；(2)讨论()f x 的单调性；例18．（2022·天津·模拟预测）已知函数()()()1ln 10x f x x x++=>.试判断函数()f x 在()0+∞，上单调性并证明你的结论；例19．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知函数()()ln 1x a x a f x x+++=(1)若函数()f x 在点()()e,e f 处的切线斜率为0，求a 的值．(2)当1a =时．设函数()()()xf x G x f x '=，求证：()y f x =与()y G x =在[]1,e 上均单调递增；例20．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知函数()()ln ln e1,,0x af x x a x a a +=+-+>->. 当1a =时，求()f x 的单调区间题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数例21．（2022·江西·二模（文））己知函数()ln 1(),()e 1x f x ax x a R g x x =++∈=-． 讨论()f x 的单调性；例22．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数()axf x=. (1)当1a =时，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；例23．（2022·广东·模拟预测）已知函数()ln(1)(),()22f x x mx m g x x n =--∈=+-R ． 讨论函数()f x 的单调性；情形二：函数为准一次函数例24．（2022·全国·模拟预测（文））设函数()1ln a xf x x+=，其中R a ∈. 当0a ≥时，求函数()f x 的单调区间；例25．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数()()2e 3x R f x ax a =-+∈ ，()ln e x g x x x =+（e 为自然对数的底数，25e 9<）． 求函数()f x 的单调区间；例26．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知函数()()21ln 12f x x x ax a x =-+-，其中0a .讨论()f x 的单调性；例27．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数()ln f x x x ax =-. 讨论()f x 的单调性；情形三：函数为二次函数型 1.可因式分解例28．（2022·全国·模拟预测）已知函数[]21()2ln ln(1),02=-+-≠f x k x x kx k . 讨论()f x 的单调性；例29．（2022·天津·二模）已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；例30．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++讨论f （x ）的单调性；例31．（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数2()ln 1(,0)x f x x a R a a=-+∈≠．讨论函数()y f x =的单调性；例32．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数()()()322316R f x x m x mx x =+++∈.讨论函数()f x 的单调性；例33．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数()()()21ln 2a f x x a x x a R =+--∈． 求函数()f x 的单调区间；例34．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈ (1)当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间.2.不可因式分解型例35．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数2()4ln ,f x x x a x a =-+∈R ，函数()f x 的导函数为()'f x ． 讨论函数()f x 的单调性；例36．（2022·天津南开·三模）已知函数()()()211ln 2f x x ax ax x a R =+-+∈，记()f x 的导函数为()g x 讨论()g x 的单调性；【方法技巧与总结】1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3．利用草稿图像辅助说明． 情形四：函数为准二次函数型例37．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数23ln 2()2,()2,e e x xx x f x ax ax g x ax a x =+-=++∈R ． 讨论()f x 的单调性;例38．（2022·全国·二模（理））已知函数()()2x e 2e xf x a ax =+++．讨论()f x 的单调性；例39．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知函数()e e x x f x ax -=--（e 为自然对数的底数），其中R a ∈．试讨论函数()f x 的单调性；例40．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()()2e 2e x x f x a a x =+--.讨论()f x 的单调性；题型六：分段分析法讨论例41．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()12211ln x f x a x x x a -+=+-++-（0a >，且1a ≠）求函数()f x 的单调区间；【方法技巧与总结】1．二次型结构2ax bx c ++，当且仅当0a =时，变号函数为一次函数．此种情况是最特殊的，故应最先讨论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解．2．对于不可以因式分解的二次型结构2ax bx c ++，我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负． 3．注意定义域以及根的大小关系．【过关测试】 一、单选题1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥B ．22a -≤≤C ．2a ≥-D ．0a ≥或2a ≤-2．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知()21cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()y f x '=的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2022·江西师大附中三模（理））下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．1()f x x x=-B ．122()xxf x ⎛+⎫⎪⎝⎭= C ．3()tan f x x x =+ D ．)()lnf x x =4．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在()0,2上单调递减的是（ ） A ．2x y = B ．3y x =- C ．cos 2x y =D ．2ln2xy x-=+ 5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数()3ln 2f x x x =--，则不等式()()2325f x f x ->-的解集为（ ）A ．()4,2-B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()(),42,-∞-+∞6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））“函数sin y ax x =-在R 上是增函数”是“0a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知函数()()1e x f x x mx =--在区间[]2,4上存在单调减区间，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()22e ,+∞B ．(),e -∞C ．()20,2eD ．()0,e8．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知1,1a b >>,且1(1)e e (e a b b a a ++=+为自然对数),则下列结论一定正确的是（ ）A ．ln()1a b +>B ．ln()0-<a bC ．122a b +<D ．3222a b +< 二、多选题9．（2022·广东·信宜市第二中学高三开学考试）已知()ln x f x x =，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =+ B ．()f x 的单调递减区间为(),e +∞C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()1f x =-有两个不同的解 10．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，对于任意,()0x ∈+∞，都有()ln ()0x xf x f x '+>，则使不等式1()ln 1f x x x +>成立的x 的值可以为（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．311．（2022·全国·高三专题练习）下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A ．y ＝x ﹣（12）x B ．y ＝x +sin x C ．y ＝3﹣x D ．y ＝x 2+2x +112．（2022·广东·模拟预测）已知()2121()1e 2x f x a x -=--，若不等式11ln 1f f x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,)+∞上恒成立，则a 的值可以为（ ）A ．B ．1-C ．1D 三、填空题13．（2022·山西运城·模拟预测（理））若命题3:[1,1],2p x x a x ∀∈-≥-为假命题，则实数a 的取值范围是___________.14．（2022·重庆八中模拟预测）写出一个具有性质①②③的函数()f x =____________.①()f x 的定义域为()0,+∞；②()()()1212f x x f x f x =+；③当()0,x ∈+∞时，()0f x '>.15．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈ ，则θ的取值范围是___________．16．（2022·江西萍乡·二模（文））已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()33f x x x =+，若非零正实数,m n 满足()()20f m mn f n -+=，则11m n+的小值是_______．四、解答题17．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知函数()ln R k f x x k k x =--∈， (1)讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性；(2)若函数()f x 在区间(1,e) 内无零点，求k 的取值范围．18．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)=--x f x k x e x ，其中k ∈R.当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()e x f x ax -=+.讨论()f x 的单调性；21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln e xx a f x +=.当1a =时，判断()f x 的单调性；22．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数2(x)e 2x x f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>.。
导数与原函数的关系
导数与原函数的关系咱就说啊，导数和原函数，那可真是数学里一对奇妙的存在呀！就好像是一对形影不离的好伙伴。
你想想看，原函数就像是一个人的成长轨迹，它记录着这个人一路走来的点点滴滴。
而导数呢，就像是这个人前进的速度。
导数能告诉你原函数在每个点上变化的快慢呀！比如说，一辆汽车在公路上行驶，原函数就是它走过的路程，而导数就是它的速度。
速度快的时候，导数就大；速度慢的时候，导数就小；要是停下来了，那导数不就成零了嘛！导数还能帮我们找到原函数的极值呢！这就好比是在人生路上找那些特别重要的转折点。
在这些点上，导数会发生变化，告诉我们这里可能有不一样的情况哦。
有时候我们想要让事情变得最好，或者最优化，就得靠导数来帮忙找到这些关键的点呢。
而且啊，导数和原函数之间还有很多有趣的关系呢。
就好像是两个人之间有着一种默契。
我们通过研究导数，可以更好地理解原函数的性质和行为。
你再想想爬山，原函数就是你爬山的高度，导数就是你爬山的陡峭程度呀！如果导数很大，那说明山势很陡，爬起来可费劲了；要是导数小，那可能路就好走一些。
在实际生活中，导数和原函数的应用那可多了去了。
工程师们用它们来设计更合理的结构，经济学家用它们来分析市场的变化，就连我们平时做个小计划，也能用到它们呢！难道不是吗？当我们想要合理安排时间，让效率最大化的时候，不就像是在找一个函数的极值点吗？我们要考虑做每件事情的速度，也就是导数，来让整个过程更加顺畅。
还有啊，导数和原函数也像是音乐中的旋律和节奏。
原函数是那优美的旋律，而导数就是节奏，让旋律更加生动有趣。
总之啊，导数和原函数的关系那可真是太重要、太奇妙了！它们相互依存，相互影响，一起为我们展现出数学世界的丰富多彩。
我们可千万不能小瞧了它们呀，要好好去探索、去发现它们的奥秘呢！它们能帮我们解决好多实际问题，让我们的生活变得更加美好，更加有意义。
所以啊，一定要重视导数和原函数的关系呀！。
函数与图像的关系与变化规律
函数表示方法：函数的 表示方法主要有解析法 、表格法和图象法三种 。
解析法：用含有数学表 达式的等式来表示两个 变量之间的函数关系的 方法叫做解析法。
表格法：用列表的方法 来表示两个变量之间函 数关系的方法叫做列表 法。
图象法：把一个函数的 自变量$x$与对应的因变 量$y$的值分别作为点的 横坐标与纵坐标，在直 角坐标系内描出它的对 应点，所有这些点所组 成的图形叫做该函数的 图象。
在平面上画出隐函数中等于某一常 数的点的轨迹，即等值线。通过一 系列等值线可以大致了解隐函数的 图像形状。
梯度法
利用隐函数的梯度方向可以判断函 数值的变化趋势，从而绘制出函数 的图像。这种方法适用于难以转化 为显函数的隐函数。
03
函数变化规律分析
增减性判断方法
导数法
通过求导判断函数的单调性，若 在某区间内导数大于0，则函数在 该区间内单调增加；若导数小于0 ，则函数在该区间内单调减少。
各点。
曲线连接
用平滑的曲线连接各点 ，得到函数的图像。
多元函数图像绘制技巧
确定函数定义域
根据函数表达式确定函数的定义域，即函 数自变量的取值范围。
曲面连接
用平滑的曲面连接各点或区域，得到函数 的图像。
选择合适的视角
对于多元函数，需要选择合适的视角来展 示函数的图像，如三维坐标系或等高线图 等。
描点画图
反函数的图像
反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x对称。如果原函数在某区间内单调， 则其反函数在该区间内也存在且单调性相反。
05
参数方程与极坐标下函数关系研 究
参数方程基本概念及性质介绍
参数方程定义
通过引入一个或多个参 数来表示变量间关系的 方程，常用于描述曲线 和曲面。
导数与原函数独立
导数与原函数独立在微积分学中，导数和原函数是两个非常重要的概念。
导数可以用来衡量函数在某一点的斜率，原函数可以用来求解函数在给定区间内的面积。
而在讨论这两个概念时，一个有趣的问题是它们之间是否是独立的。
简单来说，导数与原函数是独立的。
这意味着，一个函数可以存在导数但没有原函数，反之亦然。
在接下来的文章中，我们将详细阐述这个问题，并提供一些例子来说明。
首先我们来看一个常见的例子：函数 $f(x)=|x|$。
显然这个函数在 $x=0$ 的导数不存在。
因为在 $x=0$ 附近，函数的图像是一个 V 形，左右两边的斜率不同，所以导数不存在。
如果我们尝试求解 $f(x)$ 的原函数，会发现其并不存在。
这是因为 $f(x)$ 不是连续可微的，即它不满足牛顿-莱布尼茨公式的条件。
我们可以得出结论：这个函数存在导数但没有原函数。
接下来再看一个例子：函数 $f(x)=x^2$。
这个函数的导数是 $f'(x)=2x$，即导数存在且为 $2x$。
而对于原函数，我们可以非常容易地得到 $F(x)=\frac{1}{3}x^3+C$，其中 $C$ 为任意常数。
我们可以得出结论：这个函数存在原函数也存在导数。
再看一个例子：函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$。
这个函数没有原函数，但是它在$x=0$ 处的导数是 $f'(0)=\frac{1}{0}$，即它的导数不存在。
这说明了导数和原函数的独立性，即这个函数不存在原函数但存在导数。
导数与原函数是独立的。
一个函数可以存在导数但没有原函数，反之亦然。
在求解导数和原函数时，我们需要根据具体的函数性质来决定是否存在原函数或导数，不能简单地认为它们之间必然存在对应关系。
对于导数存在但原函数不存在的函数，我们需要通过其他方式来计算函数在给定区间内的面积。
常见的方法是通过积分，其中不定积分和定积分是最基本的两种类型。
不定积分是原函数的一个概念，它可以用来求解某个函数 $f(x)$ 的所有原函数。
导 函 数 的 图 像
教师学生姓名 填写时间 2014.年级学科 数学 上课时间阶段 基础（） 提高（ ） 强化（ ） 课时计划第（ ）次课 共（ ）次课教学 目标教学难点教 学 过 程1. 如果导函数的图像是连续曲线，那么导函数的图像位于x 轴上方的自变量x 的区间往往是原函数的单调增区间，导函数的图像位于x 轴下方的自变量x 的区间往往是原函数的单调知识要点导 函 数 的 图 像减区间，导函数和x 轴的交点（也叫零点）往往是极值点（注意：只有变号零点才是极值点，零点左右两侧导数值异号）．2. 如果原函数的图像连续，那么在原函数的单调递增区间内导函数图像位于x 轴上方，在原函数的单调递减区间内导函数图像位于x 轴下方，原函数的极值点处导函数值为零． 3. 如果原函数在定义域内可导，则原函数的图像()f x 与其导函数'()f x 的图像有着密切的关系．（1）导函数'()f x 在x 轴上、下方图像与原函数图像上升、下降的对应关系:i. 若导函数'()f x 在区间D 上恒有'()0f x >，则()f x 在区间D 上为增函数，由此进一步得到导函数 '()f x 在x 轴上方的图像对应的区间D 为原函数图像中的上升区间D;ii. 若导函数'()f x 在区间D 上恒有'()0f x <，则()f x 在区间D 上为减函数，由此进一步得到导函数'()f x 在x 轴下方的图像对应的区间为原函数图像中的下降区间． （2）导函数'()f x 图像的零点与原函数图像的极值点对应关系:导函数'()f x 图像的零点是原函数的极值点，如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函数的零点为原函数的极大值点;如果在零点的左侧为负，右侧为正，则导函数的零点为原函数的极小值点．【例1】 函数()f x 的导函数图象如下图所示，则函数()f x 在图示区间上（ ）O yxA ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点【例2】 函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间()a b ，内有极小值点（ ）例题精讲A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个baOyx【例3】 直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．【例4】 下图中，有一个是函数()()3221113f x x ax a x =++-+(a ∈R ，a ≠0)的导函数()'f x 的图象，则()1f -=（ ）A ．13B ．－13C ．73D ．－13或53【例5】 设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象上的点(x ，y )处的切线斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k＝g (x )的图象大致为( )【例6】 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象可能为（ ）D.C.B.A.xyOxyO x yO O yx【例7】 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（ ）D.C.B.A.OtsOt sst OOt s【例8】 设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）-121OxD.C.B.A.12121221xyO x yOx yO Oyx【例9】 ()f x 的导函数()'f x 的图象如图所示，则函数()f x 的图象最有可能的是图中的( )【例10】 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）-11 f '(x )xO【例11】 已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）-1-2-1211OyxD.C.B.A.-1-2-2-121O yx2112xyO 12-1-2-2-112xyO 12-1-2-2-1-1-2-2-121O yx21【例12】 ()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）2yxO2222 D.C.B.A.OxyOx y y x OOx y【例13】 如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）xyy=f(x)yyyxx xyxDCBA【例14】 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）D.C.B.A.yyyyxxxx O O O O【例15】 函数2sin 2xy x =-的图象大致是 ooooy y y y xxxx2π2π2π2π4444 A B C D【例16】 如图所示是函数()y f x =的导函数()y f x '=图象，则下列哪一个判断可能是正确的（ ）O yx432-2A ．在区间(20)-，内()y f x =为增函数B ．在区间(03)，内()y f x =为减函数C ．在区间(4)+∞，内()y f x =为增函数D ．当2x =时()y f x =有极小值【例17】 设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()2f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是-1-1-1-1ooooyyyyxxxx【例18】 函数321()2f x x x =-+的图象大致是 （ ） DCBA1xyy xyxyxOOO O【例19】 已知函数的图像如下图所示，则其函数解析式可能是（ ）A ．()2ln f x x x =+B ．()2ln f x x x =-C ．()ln f x x x =+D ．()ln f x x x =-yx1O【例20】 函数2()(2)e x f x x x =-的图象大致是 （ ）DCBA yyyyxxxxOOOO【例21】 函数22x y x =-的图像大致是（ ）【例22】 已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集为（ ） A ．(,2)(1,)-∞-+∞ B ．(,2)(1,2)-∞-C ．(,1)(1,0)(2,)-∞--+∞ D ．(,1)(1,1)(3,)-∞--+∞-2-121Oyx课后巩固计划：【习题1】 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()y S t '=的图像大致为（ ）【习题2】 如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，给出下列判断：12-3-2-1543210yx①函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递增； ②函数()y f x =在区间1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减； ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增；④当2x =时，函数()y f x =有极小值；⑤当12x =-时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是___________．【习题3】 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象不过第几象限?【习题4】 己知函数()32f x ax bx c =++，其导数()f x '的图象如图所示，则函数()f x 的极小值是（ ）A ．a b c ++B ．84a b c ++C ．32a b +D ．c21O yx学生对于本次课的评价：○特别满意○满意○一般○差学生签字：_______教师评定：1、学生上次作业评价：○特别满意○满意○一般○差2、学生本次上课情况评价：○特别满意○满意○一般○差教师签字：________ 教师评语：教学主管审核批复：教学主管签字：________星火教育教务处。
导数的零点是原函数的
导数的零点是原函数的
求导数与原函数的关系：
1、什么是求导数？
利用微积分的思想，对某函数求导数，就是从函数的定义出发，求出
该函数的导数。
其中导数又称导函数、偏导数、特征量及微分系数等，它表示函数作为定义域中点的变化率，也即定义域上点的多少程度影
响了函数值的变化。
2、求导数与原函数的关系
求导数与求原函数所确定图像有所不同，求导数即求函数在该点的斜率，而原函数即求函数在该点的函数值。
即导数表示函数在该处的变
化率，而原函数表示函数在该处的函数值。
而通过计算导数，我们可
以大体了解函数的趋势，而通过求原函数我们可以知道函数的具体值。
3、求导数的零点与原函数的关系
导数的零点即导数为0，这时函数在该点处的变化率为0，也即函数在
该点处不变，这时一般称该时函数在这点处取得最大值或最小值，这
时的极值点就是原函数的极值点。
故求导数的零点和原函数的极值点
是相关的。
4、如何用定理求取原函数的极值点
定理一般可以用二次函数、反比例函数、正弦函数和余弦函数等常见函数来证明，这些定理可用来推导出原函数的极值点的出发点，根据定理的特殊性，最终可以求取原函数的极值点。
2023届福建省龙岩市一级校高三上学期期末联考数学试题(解析版)
2023届福建省龙岩市一级校高三上学期期末联考数学试题一、单选题1．如图，已知U 是全集，,,A B C 是U 的三个子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．()ABC B ．()A B C C ．()ABCD ．()ABC【答案】C【分析】结合韦恩图分析阴影区域和集合,,A B C 的关系即可.【详解】依题意，阴影部分区域是A 的补集与集合,B C 三者的公共部分，即()A B C .故选：C2．已知复数()()1i 1i λ=++-z 是纯虚数,则实数λ=（ ） A ．－1 B ．1C ．－2D ．2【答案】A【分析】对复数进行化简,根据纯虚数的定义列出方程求解即可. 【详解】()()()1i 1i 11z i λλλ=++-=++-,根据题意得1010λλ+=⎧⎨-≠⎩,解得1λ=-. 故选:A.3．“点(),a b 在圆221x y +=外”是“直线20ax by ++=与圆221x y +=相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出给定的两个命题的充要条件，再分析即可判断得解. 【详解】命题p ：点(),a b 在圆221x y +=外等价于221a b +>，命题q ：直线20ax by ++=与圆221x y +=相交等价于2222214a b a b <⇔+>+，从而有,p q q p ⇒，所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B4．如图是我国古代米斗，它是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具.它是随着粮食生产而发展出来的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下来.若将某个米斗近似看作一个四棱台.上、下两个底面都是正方形，侧棱均相等，上底面边长为25cm ，下底面边长为15cm ，侧棱长为10cm ，则该米斗的容积约为（ ）A ．26003cmB ．29003cmC ．31003cmD ．35003cm【答案】B【分析】画出图形，作出辅助线，求出棱台的高，利用棱台体积公式进行计算.【详解】画出此四棱台，如下：则15AB BC CD DA ====cm ，25EF FG GH HE ====cm ，10AE BF CG DH ====cm ，过点B 作BP ⊥底面EFGH 于点P ，点P 落在对角线HF 上，过点P 作PQ ⊥EF 于点Q ，连接BQ ， 因为EF ⊂平面EFGH ，所以BP ⊥EF ， 因为BPPQ P =，,BP PQ ⊂平面BPQ ，所以EF ⊥平面BPQ ， 因为BQ ⊂平面BPQ ， 所以EF ⊥BQ ， 其中()152QF EF AB =-=cm ，同理可得5PQ =cm ， 由勾股定理得：221002553BQ BF FQ =--=， 故22752552BP BQ PQ --，正方形EFGH 的面积为2125625S ==2cm ，正方形ABCD 的面积为2215225S ==2cm ，则该米斗的容积(()1212116125262522537552288733V S S S S BP =+⋅=⨯++⨯=≈3cm故选：B5．已知12ln 23a b -==，，6πsin 7c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】A【分析】利用中间值和作差比较法来比较大小.【详解】1ln 2e ,2a =>=6πππ1sinsin sin 7762c ==<=,121323b -==>; 33ln 212ln 2333a b --==因为33222e >>，所以3ln 210->，所以a b >.综上可得a b c >>. 故选：A.6．抛物线E 的焦点为F ，对称轴为l ，过F 且与l 的夹角为3π的直线交E 于A ，B 两点，AB 的中点为M ，线段AB 的中垂线MD 交l 于点D ．若MFD △的面积等于23AB 等于（ ） A ．52B ．4C ．5D ．8【答案】D【分析】依题意不妨设抛物线为()220y px p =>，不妨设直线AB 的倾斜角为3π，直线:32p AB y x ⎫=-⎪⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出M 的坐标，从而求出直线MD 的方程，则D 的坐标可求，再根据三角形面积求出p ，最后根据焦半径公式计算可得.【详解】解：依题意不妨设抛物线为()220y px p =>，则,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据对称性不妨设直线AB 的倾斜角为3π，则直线:32p AB y x ⎫=-⎪⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2322p y x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去y 整理得2233504p x px -+=， 所以1253p x x +=，则()121223333p y y x x p +=+-=， 所以53,63p p M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则直线MD 的方程为335336ppyx ，令0y =，解得116p x =，即11,06p D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1112623233MFDp p Sp⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=⨯，解得3p =或3p =-（舍去）， 所以26y x =，则125x x +=， 所以128AB x x p =++=. 故选：D7．定义在区间[]0，a 上的函数()f x 的图象如图所示，记为()()00A f ，，()()B a f a ，，()()C x f x ，为顶点的三角形的面积为()s x ，则函数()s x 的导数()s x 的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】当C 从A 运动到B 的过程中，面积先增加再减小，然后再增加再减小，由此求出结果． 【详解】连接AB ，BC ，CA ，以AB 为底，C 到AB 的距离为高h ．让C 从A 运动到B ,明显h 是一个平滑的变化,这样()S x 是平滑的变化．因为函数()12S x AB h =⨯，其中h 上为点C 到直线AB 的距离AB 为定值，当点C 在(]10,x 时，h 越来越大，s 也越来越大，即原函数递增，故导函数为正，当点C 在[)12,x x 时，h 越来越小，s 也越来越小，即原函数递减，故导函数为负，变化率的绝对值由小变大，当点C 在[)23,x x 时h 越来越大，s 也越来越大，即原函数递增，故导函数为正：变化率由大变小，当点C 在[)3,x a 时，h 越来越小，s 也越来越小，即原函数递减，故导函数为负．故选D ． 【点睛】本题考查原函数图像与导函数图像之间的关系，属于一般题．8．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是（ ） A ．12B ．14C ．124D ．1144【答案】B【分析】随机逐个面试共有66A 种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类，求出相应的顺序，即可求得概率．【详解】解：随机逐个面试共有66A 种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类：①男男男女女女，此时有3333A A 36⨯=种；②男男女男女女，此时有212332A A A 36=⨯⨯种； ③男男女女男女，此时有2233A A 36⨯=种； ④男女男男女女，此时有11223322A A A A 36=种； ⑤男女男女男女，此时有3333A ?A 36=种；故共有365180⨯=种，所以概率为661801A 4=故选：B ．二、多选题9．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，则下列直线中与直线BM 是异面直线的有（ ）A ．1AAB ．1BBC ．1CCD ．1DD【答案】AC【分析】观察图形可得到1BB BM B =，1DD BM M =，1AA 与1CC 与直线BM 是异面直线.【详解】显然1BB BM B =，1DD BM M =，BD 错误；1AA 与1CC 与直线BM 既不平行，也不相交，是异面直线，AC 正确.故选：AC10．某校为调查学生身高情况，按比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为50的样本，已知其中男生23人，平均数为170.6，方差为12.59；女生27人，平均数160.6，方差为38.62. 下列说法正确的是（ ）A ．这个样本的平均数为165.2B ．这个样本的方差为51.4862C ．该校女生身高分布比男生集中D ．该校男生的身高都比女生高【答案】AB【分析】先求解样本的平均数和方差，结合选项可得答案. 【详解】先求样本的平均数： 23170.627160.6165.2,2327⨯+⨯=+再求样本的方差：222327[12.59(170.6165.2)][38.62(160.6165.2)]51.48625050⨯+-+⨯+-=. 所以A,B 均正确；因为38.6212.59>，所以该校男生身高分布比女生集中，所以C 不正确； 样本数据无法得出男生的身高都比女生高，所以D 不正确. 故选：AB.11．关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论，其中正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是周期函数，周期为πC ．()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 的最小值是1-【答案】AD【分析】根据偶函数的定义判断A ，根据周期性的定义判断B ，由π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭化简函数解析式，再根据正弦函数的性质判断C ，判断函数的周期，再分[]0,πx ∈，()π,2πx ∈两种情况求出函数的值域，即可判断D.【详解】解：因为()cos sin f x x x =+，所以()()()()cos sin cos sin f x x x x x f x -=-+-=+=，故()cos sin f x x x =+为偶函数，故A 正确； 对于B ：()()()()πcos πsin πcos sin f x x x x x f x +=+++=-+≠，故π不是函数的周期，故B 错误；对于C ：当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时sin 0x >，则()πcos sin cos sin 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则,π3π5π444x ∈+⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在3π5π44,⎛⎫⎪⎝⎭不单调，故C 错误；对于D ：因为()()()()2πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x f x +=+++=+=， 所以2π是函数的一个周期，当[]0,πx ∈时sin 0x ≥，则()πcos sin cos sin 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则ππ5π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 4x ⎛⎫ ⎪⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎝⎦⎭，则()f x ∈-⎡⎣，当()π,2πx ∈时sin 0x <，则()πcos sin cos sin 4f x x x x x x ⎛⎫=+=-=+ ⎪⎝⎭，则π5π9π,444x ∈⎛⎫+⎪⎝⎭，所以πcos 4x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎭，则()(1f x ∈-，综上可得()f x ∈-⎡⎣，故D 正确；故选：AD12．设数集{},,,S a b c d =满足下列两个条件：（1）,,x y S xy S ∀∈∈；（2）,,x y z S ∀∈，若x y ≠则xz yz ≠.则下论断正确的是（ ） A ．a b c d ,,,中必有一个为0 B ．a ，b ，c ，d 中必有一个为1 C ．若x S ∈且1xy =，则y S ∈ D ．{},,x y z S ∃⊆，使得22,x y y z ==【答案】BCD【分析】根据（1）（2）得到0S ∉，1S ∈，A 错误，B 正确；再分1a =，1a ≠，两种情况，经过推理得到C 正确；在C 选项的分析基础上，得到若1a ≠，此时求出{}1,1,i,i S =--，{}i,1,1S ∃-⊆，使得22,x y y z ==，若1a =，推理出,,b c d 中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾，得到D 正确.【详解】由（1）得：数集S 中必有1或0， 由（2）得：0S ∉，故1S ∈，A 错误，B 正确； 由（1）知：abcd S ∈，故abcd 等于a b c d ,,,中的一个， 不妨设abcd a =，因为0S ∉，所以0a ≠，故1bcd =， 下面证明C 正确，因为x S ∈，若x b =，则y cd =，由（1）知：y cd S =∈，满足要求， 同理若x c =，则y bd S =∈，满足要求，若x d =，则y bc S =∈，满足要求， 若x a =，因为1S ∈，若1a =，则1y S =∈，满足要求，若1a ≠，则,,b c d 中某个等于1，不妨设1b =，由1bcd =得1cd =， 由（1）知：ac S ∈，又因为1a ≠，1c ≠，所以ac a ≠，ac c ≠，故ac d =， 同理可得ad c =，所以相乘得ab ad dc ⋅=，解得：21a =， 因为1a ≠，所以1a =-，故取1y S =-∈，满足要求， 综上：若x S ∈且1xy =，则y S ∈，C 正确； 下面证明D 正确；由（1）知：abcd S ∈，故abcd 等于a b c d ,,,中的一个， 不妨设abcd a =，因为0S ∉，所以0a ≠，故1bcd =，若1a ≠，则1abcd ≠，因为,,b c d 中某个等于1，不妨设1b =，由1bcd =得1cd =， 根据C 选项的分析可知：ac d =，ad c =，1a =-，则d c -=，故21cd d =-=，故i d =，i c =-，若i d =-，i c =， 此时{}1,1,i,i S =--，{}i,1,1S ∃-⊆，使得22,x y y z ==，D 正确； 若1a =，则1abcd =，1bcd a ==，由（1）知：cd S ∈， 若1cd a ==，则b bcd a ==，不可能， 若cd c =，则1d a ==，不可能， 若cd d =，则1c a ==，不可能，所以cd b =，故2b bcd a ==，同理可得：22,c a d a ==， 因为a 的平方根有且只有2个，所以,,b c d 中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾， 故不存在1a =即1abcd =的情况，故{},,x y z S ∃⊆，使得22,x y y z ==，D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.三、填空题13．已知3a =，5b =且,45a b =，则a 在b 上的投影向量为__________．【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】因为3a =，5b =且,45a b =， 则a 在b 上的投影向量为232cos 4532510b b a b b=⨯⨯=，. 14．定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x -=，若曲线()y f x =在1x=-处的切线方程为30x y -+=，则该曲线在1x =处的切线方程为___________.【答案】30x y +-=【分析】依题意可得()12f -=且()11f '-=，又()f x 为偶函数，即可求出()1f ，再对()()f x f x -=两边求导，即可求出()1f '，从而求出切线方程.【详解】解：因为曲线()y f x =在1x=-处的切线方程为30x y -+=，所以()12f -=，且()11f '-=， 又()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，则()()112f f =-=，对()()f x f x -=两边求导可得()()f x f x ''--=，所以()()111f f ''=--=-，所以该曲线在1x =处的切线方程为()211y x -=--，即30x y +-=. 故答案为：30x y +-=15．三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面,23,4,30ABC PA PC AB AC BAC ====∠=.若三棱锥-P ABC 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________.【答案】18π【详解】试题分析： 由题意，得，∵，∴，∴的外接圆直径，设球心为,的中点为,球的半径为,则∴，则有该三棱锥的外接球的半径，∴该三棱锥的外接球的表面积为.【解析】球的体积和表面积.【方法点睛】本题主要考查的是三棱锥的外接球表面积，直线与平面的位置关系，属于中档题，对于本题而言，根据题中条件画出立体几何图形，求出，假设出球心，利用勾股关系，可得外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积,因此确定三棱锥的外接球的半径是解决此类题目的关键.16．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若122PF PF =，且260MF N ︒∠=，则双曲线C 的离心率为________.【答案】【分析】由122PF PF =和122PF PF a -=计算可得14PF a =，22PF a =，易得12FO F O =，PO MO =，可得出四边形12PF MF 为平行四边形，又得1260F PF ︒∠=，在三角形12PF F 中利用余弦定理计算得出3c a =，最后可得出离心率. 【详解】由题122PF PF =，①由双曲线的定义可得，122PF PF a -=，②由①②可得14PF a =，22PF a =，又12FO F O =，PO MO =， 所以四边形12PF MF 为平行四边形，又260MF N ︒∠=，可得1260F PF ︒∠=，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a ︒⋅⋅⋅=+-， 即2224208c a a =-，223c a =，可得3c a =，所以3==ce a. 故答案为：3.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.四、解答题17．已知正项数列{an }的前n 项和为Sn ，且a 1＝1，21n a +＝Sn ＋1＋Sn .（1）求{an }的通项公式；（2）设212n an n b a -=⋅，求数列{bn }的前n 项和Tn .【答案】（1）()n a n n N +=∈ ； （2）1(23)26n n T n +=-⋅+.【分析】（1）由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，结合递推式21n a +＝Sn ＋1＋Sn 即可求解.（2）由n b =(2n －1)·2n ，利用错位相减法求和即可. 【详解】解：（1）由21n a +＝Sn ＋1＋Sn ① 所以当n ≥2时，2n a ＝Sn ＋Sn －1，②①－②得21n a +－2n a ＝an ＋1＋an ，即(an ＋1＋an )(an ＋1－an )＝an ＋1＋an ，因为an >0，所以an ＋1－an ＝1，所以数列{an }从第二项起，是公差为1的等差数列． 由①知22a ＝S 2＋S 1，因为a 1＝1，所以a 2＝2， 所以当n ≥2时，an ＝2＋(n －2)×1，即an ＝n .③ 又因为a 1＝1也满足③式，所以an ＝n (n ∈N *)．（2）由（1）得212n an n b a -=⋅＝(2n －1)·2n ， 则Tn ＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －1)·2n ，④ 2Tn ＝22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，⑤ ④－⑤得－T n ＝2＋2×22＋…＋2×2n －(2n －1)·2n ＋1， 所以－Tn ＝2＋()3121212n ---－(2n －1)·2n ＋1，故Tn ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.【点睛】本题主要考查了数列前n 项和n S 与n a 的关系，错位相减法求和，以及由递推关系求通项，属于难题.18．ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos B b A b -=. (1)求A 的大小；(2)若ABC 的周长等于3，求ABC 的面积的最大值. 【答案】(1)π3【分析】（1）由正弦定理和三角函数恒等变换公式对原式变形化简可得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合角A的范围，可求出角A 的值，（2）由余弦定理结合基本不等式可得1bc ≤，然后利用三角形的面积公式可求出ABC 面积的最大值.【详解】（1sin cos B b A b -=，sin sin cos sin A B B A B -=，又sin 0B ≠cos 1A A -=，11cos 22A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为()0,πA ∈，ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，即π3A =.（2）解：在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即222a b c bc =+-①， 又3a b c ++=，所以3a b c =--，代入①得222(3)b c b c bc --=+-， 整理得6639b c bc +=+，又因为2b c bc +≥，当且仅当b c =时取等号， 因为3b c +<，所以32bc <， 所以430bc bc -+≥，解得1bc ≤或3bc ≥（舍去），故1bc ≤，故ABC 的面积133sin 244S bc A bc ==≤，当且仅当1b c ==时取等号， 所以ABC 面积的最大值为34. 19．在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，2222,90BC AD AB ABC ︒===∠=，如图把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD .(1)若点M 为线段BC 中点，求点M 到平面ACD 的距离；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60？若存在，求出BNBC的值；若不存在，说明理由. 【答案】2 (2)14【分析】（1）以D 为原点，建立空间直角坐标系，利用点到面的向量距离公式求解；（2）由（1）中已经求出的平面ACD 的法向量，设出N 的坐标，写出AN ，利用线面角的向量公式列式计算即可.【详解】（1）由已知条件可得2,2,BD CD ==CD BD ⊥． 由平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ，根据面面垂直的性质定理，故CD ⊥平面ABD ．过点D 在平面ABD 作Dz DB ⊥，则Dz DC ⊥．以点D 为原点，BD 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图所示：由已知可得(1,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),A B C D (1,1,0)M ．则(0,2,0)CD =-，(1,0,1)AD =--，(1,1,0)MC =-.设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则,CD n AD n ⊥⊥，0,0,y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，得平面ACD 的一个法向量为(1,0,1)n =-，于是点M 到平面ACD 的距离22n MC d MC⋅==．（2）假设在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60． 设,01BN BC λλ=<<，则(22,2,0)N λλ-，(12,2,1)AN λλ=--， 又平面ACD 的法向量(1,0,1)n =-且直线AN 与平面ACD 所成角为60︒，∴221213sin 60221(12)4AN nAN n λλλ⋅-+===⋅+-+28210λλ+-=， ∴1142λλ==-或（舍去）．综上，在线段BC 上存在点N ，使AN 与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ． 20．甲、乙两支足球队将进行某赛事的决赛.其赛程规则为：每一场比赛均须决出胜负，若在规定时间内踢成平局，则双方以踢点球的方式决出胜负.按主、客场制先进行两场比赛，若某一队在前两场比赛中均取得胜利，则该队获得冠军；否则，需在中立场进行第三场比赛，其获胜方为冠军.假定甲队在主场获胜的概率为12，在客场获胜的概率为13，在第三场比赛中获胜的概率为25，且每场比赛的胜负相互独立.(1)已知甲队获得冠军，求决赛需进行三场比赛的概率；(2)比赛主办方若在决赛的前两场中共投资m （千万元），则能盈利2m（千万元）.如果需进行第三场比赛，且比赛主办方在第三场比赛中投资n （千万元）n .若比赛主办方准备投资一千万元，以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？【答案】(1)15(2)34千万元.【分析】(1)甲获胜，且比赛进行了三场，说明前两场一队赢一场，第三场中立场甲赢； (2)根据总盈利和进行的场次有关，求出总盈利2m，即比赛只需进行两场的概率，再求出总盈利为2m+. 【详解】（1）由于前两场对于比赛双方都是一个主场一个客场， 所以不妨设甲队为第一场为主场，第二场为客场， 设甲获得冠军时，比赛需进行的场次为X ，则111121(3)11232355P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）由题可得1m n +=，所以[]1,0,1m n n =-∈ 比赛结束需进行的场次即为Y ，则2,3Y =，设决赛总盈利为Z ，则,22m mZ = 11111()(2)11223232m P Z P Y ⎛⎫⎛⎫====⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11111((3)11223232m P Z P Y ⎛⎫⎛⎫====⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以决赛总盈利为Z 的分步列如下，所以11111()2222222m m E Z m n ⎛=⨯+⨯=+-+ ⎝，所以211()22E Z =-，12=，即14n =时，二次函数211()22E Z =-有最大值为58，所以以决赛总盈利的数学期望为决策依据， 则其在前两场的投资额应为13144m =-=千万元.21．已知2EF =，动点C 满足：4FC =且,,E F C 三点共面.线段EC 的垂直平分线为l ，点M 在l 上且FM FC ⊥，P 为线段CF 延长线上的点，且PCM PEM ∠=∠，记P 的轨迹为曲线Γ. (1)求证PE PF FC +=，并建立适当的坐标系，求Γ的方程； (2)判断直线l 与Γ公共点的个数，并说明理由. 【答案】(1)()221043x y y +=≠(2)1个公共点【分析】（1）由待证表达式可以猜想轨迹是椭圆，故可以EF 的中点为原点建立坐标系，结合题干条件，构造全等三角形证明待证表达式，从而易得椭圆的方程；（2）分直线EC 的斜率是否存在作为切入点，此即等价于考虑0x 是否等于1±，写出l 方程后，联立直线l 和椭圆方程，计算判别式进行求解.【详解】（1）以EF 所在的直线为x 轴，EF 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy 如图，在线段FC 上取点Q ，使得PF FQ =，因为MF PQ ⊥，所以MP MQ =，因为M 在EC 的垂直平分线上，所以ME MC =，又因为PEM PCM ∠=∠，所以△MPE 和MQC △全等，所以PE QC =，所以4PE PF FQ QC FC +=+==；又FC EF >，即P 的轨迹是以,E F 为焦点的椭圆，设Γ的方程为()222210x y a b a b+=>> ，则24a FC ==，得2a =，2213b a =-=，又因为当C 在直线EF 上时，点M 不存在，所以τ的方程为()221043x yy +=≠（2）设()00,C x y ，则EC 的中点为001,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，00y ≠. 1°当01x =-时，此时EC ()220014x y -+解得023y =±l 的方程为3y =此时l 与τ恰有一个公共点，和椭圆相切与上顶点（或下顶点）（如图）；2°当01x ≠-时，如图，则EC 的斜率为001y x +，l 的方程为00001122y x x y x y +-⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，整理得：2200000112x x y y x y y +-+=-+，因为()2200116x y -+=，所以l 的方程可化为000017x x y x y y ++=-+，代入22143x y +=得：()()2200217143x x x x y -+++⎡⎤⎣⎦+=， 整理得：()()()()2222200000041381747120x y x x x x x y ⎡⎤++-++++-=⎣⎦（＊） 由()2200116x y -+=得()2200161y x =--代入“＊”并整理得：()()()()222000078171610x x x x x x +-++++=，由()2200116x y -+=可知，07x ≠-，此时[]22200008(1)(7)416(7)(1)0x x x x ∆=-++-⨯⨯++=，l 与τ恰有一个公共点.综上，l 与τ恰有一个公共点．22．已知()e cos x af x x -=+.(1)若3π2a =，求f （x ）在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值； (2)若1a ≤，证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增. 【答案】(1)1. (2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数3π2()e sin x f x x -'=-，由此令3π2()e sin x g x x -=-，根据其导数判断()f x '的单调性，进而判断其值的正负，可得()f x 的单调性，进而求得最值;（2）由于要证明()e sin 0x f x x α-'=->在(0,)+∞是恒成立，故根据其结构特征，先证明e 1x x ≥+成立，再证明sin ,0x x x ≥≥成立，利用这两个结论即可证明()e sin 0x f x x α-'=->，从而证明结论.【详解】（1）若3π2a =，则3π2()e cos x f x x -=+，故3π2()e sin x f x x -'=-， 令3π2()e sin x g x x -=-，则3π2()e cos 0x g x x -'=->在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，故()f x '在 π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，又ππ()e 102f -'=-< ，3π()1102f '=+>，故存在π3π(,)22k ∈，使得()0f k '=，则π[,)2x k ∈时，()0f x '<，3π(,]2x k ∈时，()0f x '>，故()f x 在π[,)2k 递减，在3π(,]2k 递增，故max π3π()=max{()()}22f x f f ，，又ππ()e 2f -= ，π3π()1e 2f -=> ，故()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为3π()12f =.（2）先证明e 1x x ≥+成立，再证明sin ,0x x x ≥≥成立．令()()e 1xh x x =-+，则()e 1x h x '=- ，当0x >时，()0h x '> ，当0x <时，()0h x '< ， 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减， 所以()()min 00h x h ==，所以()0h x ≥ ，即e 1x x ≥+恒成立．令()sin ,(0)x x m x x =-≥，则()1cos 0m x x '=-≥，仅在0x =时取等号， 所以()m x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()00m x m ≥= ，即sin ,0x x x ≥≥成立，所以()()()()e sin 1sin sin 1x f x x x a x x x a α-'=-≥-+-=-+-，由于sin 0,0x x x -≥≥，当0x >时，sin 0x x ->，而1a ≤，则10a -≥ ，故0fx，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．【点睛】关键点点睛：利用导数证明()f x 在(0,)+∞上单调递增，即要证明其导数在(0,)+∞上大于或等于0恒成立，求出导数()e sin x f x x α-'=-后，关键在于根据其结构特征，构造函数证明e 1x x ≥+成立，再证明sin ,0x x x ≥≥成立，从而利用这两个结论，证明()e sin 0x f x x α-'=->成立.。
导数在函数中的应用分类
A. B. C. D.
7.已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是
Байду номын сангаас函数的极值
1．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为____6____．
2．如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y= 的图象可能是 (A)
3．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为(B)
A．(-∞， )∪( ,2)B．(－∞，0)∪( ，2)
C．(－∞， ∪( ，＋∞)D．(－∞， )∪(2，＋∞)
4．下列图象中，有一个是函数f(x)＝ x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝－ .
3.已知定义在R上的偶函数f(x)，f(1)=0，当 时有 ,则不等式xf(x)>0的解集为（B）
4.已知定义在 上的非负可导函数f(x)满足 ,对任意的正数a,b,若 ,则必有（B）
5.f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数与偶函数，当 时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，且
f(-2)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为（A）
导数的几何意义
1．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝ x＋2，则f(1)＋f′(1)＝___3____.
2．若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是(－∞，0)．
原函数图像与导函数图像间的关系
1．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是(B)
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导函数图像类型题
类型一：已知原函数图像，判断导函数图像。
1. （福建卷11）如果函数)(x f y =的图象如右图，那么导
函数()y f x '=的图象可能是 ( )
2. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如下左图所示，则导函数y=f ?(x )的图象可能为
( )
3. 函数()y f x =的图像如下右图所示，则()y f x '=的图像可能是
（ ）
4. 若函数2
()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则其导函数'()f x 的图象是（ ）
类型二：已知导函数图像，判断原函数图像。
5. (2007年广东佛山)设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=
的图
O
1 2 x
y
象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ）
6. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已
知函数f x ()的导函数2f x ax bx c '=++()的图象如右图，则f x ()的图象可能是( )
7. 函数)(x f 的定义域为开区间3(,3)2-
，导函数)(x f '在3
(,3)2
-内的图象如图所示，则函数)(x f 的单调增区间是_____________
类型三：利用导数的几何意义判断图像。
8. （2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数．．．
在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是
( )
O 1 2 x
y x y
y
O 1 2
y
1 2 x
O 1
2
x
C
D )(x f y '=
x o
y
A ．
B ．
C ．
D ．
9.若函数)('
x f y =在区间),(21x x 内是单调递减函数，则函数)(x f y =在区间),(21x x 内的图像可以是（ ）
A B C D
10.（选做）已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 （ ）
类型四：根据实际问题判断图像。
9. （2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一容器的三视图，现向容器
中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
o x
o
x
y b a o
x
y
o x y
b y
O t h h t O h t O O
t h
10.如图，直线l 和圆c ，当l 从0l 开始在平面上绕点o 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过︒
90）时，它扫过的园内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是（ ）
11.如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.
10. 已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，
则（ ）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
函数
)(x f 有2个极大值点，2个极小值点 函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点 函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点
O t
h
h t O h t O O t h x
y
1x x 4
O
2x 3x ••••
11. (2008珠海质检理)函数)(x f 的定义域为),(b a ，其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所示，
则函数)(x f 在区间),(b a 内极小值点的个数是（ ）
(A).1 (B).2 (C).3 (D).4
12. 已知函数3
2
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，
其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：
（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值.
13. 函数()y f x =在定义域3
(,3)2
-
内可导，
其图象如图，记()y f x =的导函数为/
()y f x =，则不等式/
()0f x ≤的解集为_____________
14. 如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，
'()f x 为函数()f x 的导函数，则不等式'()0x f x ⋅<的解集为_____ _
15. 【湛江市·文】函数2
2
1ln )(x x x f -=的图象大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
16. 【珠海·文】如图是二次函数a bx x x f +-=2
)(的部分图
象，则函数)(ln )(x f x x g '+=的零点所在的区间是 （ ）
A.)21,41(
B.)1,21(
C.)2,1(
D.)3,2(
x
x
x
x
y y y
y
O
O
O
O。