中考数学锐角三角函数的综合题试题含详细答案

中考数学锐角三角函数的综合题试题含详细答案

一、锐角三角函数

1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90，° AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂 直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点

D 出 发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点

P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ， EG ．设运动时间为 t （ s ）（0

（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？

（2）设四边形 PEGO 的 面积为 S （cm 2） ，求 S 与 t 的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 【解析】

【分析】 （1）当点 E 在∠BAC 的平分线上时，因为 即可解决问题．

（2）根据 S 四边形 OPEG =S △

OEG +S △OPE =S △OEG + （3）利用二次函数的性质解决问题即可．

EC GQ

（4）证明 ∠ EOC=∠QOG ，可得 tan ∠ EOC=tan ∠QOG ，推出 ，由此构建方程即

OC OG

可解决问题．

【详解】

（1）在 Rt △ABC 中， ∵∠ ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，

∴AC= 102 82 =6（ cm ），

∵OD 垂直平分线段 AC ，

PEGO 的 面积最大？若存在，求出 t t ，使 OE ⊥ OQ ？若存在，求出 t

3

t 2

8 15 t 8 5 6 ，（0 t 5）；（3）t 52 时， OE OQ .

EP ⊥ AB ， EC ⊥AC ，可得 PE=EC ，由此构建方程 S △OPC +S △ PCE -S △ OEC ）构建函数关系式即可． S 四边形 PEGO 取得最大值；（ 4） t

时， 5

∴OC=OA=3（cm），∠DOC=90 ，°∵CD∥AB，

∴∠ BAC=∠ DCO ，

∵∠ DOC=∠ACB ，

∴△ DOC ∽△BCA ，

∴ AC AB BC ，

∴ OC CD OD ，

∴ 6 10 8

∴ 3 CD OD ，

∴CD=5（ cm ）， OD=4（ cm ）， ∵PB=t ，PE ⊥AB ，

35

易知： PE= t ， BE= t ，

44

当点 E 在∠BAC 的平分线上时， ∵EP ⊥AB ，EC ⊥AC ， ∴PE=EC ，

35 ∴ t=8- t ，

44 ∴t=4．

∴当 t 为 4 秒时，点 E 在∠BAC 的平分线上．

（2）如图，连接 OE ， PC ．

= 8 t 2 15 t 16（0 t 5） ． 33

∵OE ⊥OQ ， ∴∠ EOC+∠ QOC=90 ，° ∵∠ QOC+∠ QOG=90 °， ∴∠ EOC=∠

QOG ，

∴tan ∠ EOC=tan ∠ QOG ，

∴ EC GQ

∴ OC OG ，

8 5t 3t

45 3) 存

在．

S 8 5

2

68

t （0 t 5） ， 3 2 3

t= 5时， 四边形 OPEG 的面积最大，最大值为 2 4) 存在． 如图，

连接 OQ ．

68

3

5t 4 53

t 12 3 8 45 t

=1 4 4 t 3 1 3 8 4 t 1 8

2 5 2 5 2

∴3 4 4 t

5

整理

得：

5t 2-66t+160=0 ， 解得 t

16 或 10 （舍弃） 5 ∴当 t 16

秒时， OE ⊥

OQ 【点

睛】 本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函 数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题 .

2．如图，等腰 △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=36°，BC=1，点 D 在边 AC 上且 BD 平分

∠ABC ， 设 CD=x ．

（1）求证： △ABC ∽△ BCD ；

（2）求 x 的值；

（3）求 cos36°-cos72 °的值．

【答案】 （1）证明见解析；（ 2） 1 5 ；（3） 7 5 8．

2 16

【解析】

试题分析：（ 1）由等腰三角形 ABC 中，顶角的度数求出两底角度数，再由

BD 为角平分线 求出∠ DBC 的度数，得到 ∠ DBC=∠ A ，再由 ∠ C 为公共角，利用两对角相等的三角形相似得 到三角形 ABC 与三角形 BCD 相似；

（2）根据（ 1）结论得到 AD=BD=BC ，根据 AD+DC 表示出 AC ，由（ 1）两三角形相似得比 例求出 x 的值即可；

（3）过 B 作 BE 垂直于 AC ，交 AC 于点 E ，在直角三角形 ABE 和直角三角形 BCE 中，利用

锐角三角函数定义求出 cos36°与 cos72°的值，代入原式计算即可得到结果． 试题解析：（ 1）∵等腰△ABC 中， AB=AC ，∠BAC=36°，

∴∠ ABC=∠ C=72 ，°

∵BD 平分 ∠ ABC ，

∴∠ ABD=∠ CBD=36 ，°

∵∠ CBD=∠A=36 ，°∠C=∠ C ，

∴△ ABC ∽ △ BCD ；

（2）∵∠A=∠ABD=36°， ∴AD=BD ，

∵BD=BC ，

∴AD=BD=CD=1，

设 CD=x ，则有 AB=AC=x+1，

∵△ ABC ∽ △ BCD ，

AB BC x 1 1 ∴ ，即

BD CD 1 x 整理得： x 2+x-1=0，

解得： x 1= 1 5 ， x 2= 1 5 （负值，舍去），

22

1 5 ；

； 2

3）过 B 作BE ⊥AC ，交 AC 于点E ，

即 DE=CE=

4

则 cos36°-cos72 °= 5 1 - 1 5 = 1 ．

4 4 2

【考点】 1.相似三角形的判定与性质； 2.等腰三角形的性质；

3.黄金分割；

4.解直角三角 形． 则

x= 在 Rt △ ABE 中， AE cosA=cos36°= AB 在 Rt △ BCE 中， cosC=cos72°= EC 15

4 15

2 15 4 5，

BC

∴E 为 CD 中点，