b5有限制条件的排列与组合问题 新课标 人教版

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有限制条件的排列与组合问题

有限制条件的排列、组合应用题是高考中的重点内容，是学生学习中的难点。其实这类问题还是有其内在规律的。本文介绍处理这类问题的几个原则。 一、特殊元素优先处理 例1、 5人排成一排照相

（1）甲不能站在中间,有多少种不同的的排法?

（2）甲必须站在中间,有多少种不同的的排法?

解法一： 甲是受限制的特殊元素,优先考虑他的安排。

（1）甲站在中间后，其余4人选择4个位置,共有C 11A 44

=24种不同的排法。

（2）甲从除中间外的其它4个位置上选择一个位置后，再排其余4人，故有C 41A 44

=96种不同的排法。

解法二：把中间位置视为特殊元素

（1） 中间位置只能给甲占，其余4个位置由余下其它4 人占领，故有C 11A 44

=24种不同的排法。

（2） 中间位置选甲之外4人中的一人，其余4个位置由余下4人占领，故有C 41A 44

=96种不同的排法。

例2 用五种不同的颜色给图中A,B,C,D,E 五个平面区域染色,要求每个区域只染一种颜色,且相邻区域不能染相同颜色,

解：五块平面区域中，A 四块区域均相邻优先给A 染色，有C 51

种方法, 其余各块依次(分布)染色,故不同 数为C 51C 41C 31C 31C 21

=360。

例3、在30000和60000 分析：依题意，万位上只能取3，4，5，个位上只能取回0或5，可列表对个位分类讨论。

解：当个位取0时，有C 31

A 83

=1008种取法；当个位取5时，有C 21

A 83

=672种，故所求总数为C 31A 83+ C 21A 83

=1680。

当题设两个以上限制条件时，可用列表法显示对特殊元素的限制，从而通过恰当分类找到解题方法。

二、定序序问题无序处理

例4 从1到9这九个数字中任取4个不同的数作为函数y=ax 3 +bx 2

+cx+d 的系数，且要求a ＜b ＜c ＜d ，这样的函数共有多少个？

分析：从9个数中取出4个作为三次函数的系数，由于规定了顺序，故每次取出后只有

一种排列位置，因而实际上是一个组合问题，无异于“无序”。故所求的函数个数为：C 9

4

=126。

例5 10个人坐成一排，其中甲在乙的左边，甲乙不一定相邻的坐法有多少种？ 分析：在所有的坐法中，“甲在乙的左边”，与“甲在乙的右边”的方法是一样多，按对称性，应该有A

10

10

÷2 =

2

1A 1010

种不同的坐法。

本题可拓展为更一般的“定序”问题：将n 个不同有元素排成一排，其中a 1在a 2的左边，a 2在的a 3左边，…，a k-1在a k 的左边（a 1，a 2，…，a k 不一定相邻），总共有A n n

÷A K K

=

!

!

k n 种不同的排法。

三 、 多排问题直排处理

例6、 8个人排成前后两排，每排4人 （1）共有多少种排法？

（2）若甲、乙2人要排在前排，丙要排在后排，共有多少种不同的排法？

分析；（1）8个人排成前后两排，每排4人的排法数等价于8人排成一排的排法数有A 88

=8！种排法。

（2）此小题等价于“8个人排成一排，甲、乙要排在前4个位置之一，丙要

排在后4个位置之一”。按特殊元素优先处理原则，有A 42A 41A 55

种方法。

四、相邻问题“粘合”处理

例7 有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本。若将这些

书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在在一起，外文书恰好排在一起的排法共有 种。（1996年上海高考题）

分析：把3本数学书暂时看成一“本”，即暂时理解为把三本数学书“粘合”或“捆

绑”在一起，有A 33种排法；同理2本外文书恰好排在一起有A 22

种排法，然后与其它书去排，

总共有A 33A 22A 55

种排法。

例8 计划展出10幅不同的，其中1幅水彩画，4幅油幅，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种。 （1994年上海高考题）

A A 44A 55

B A 33A 44A 55

C C 31A 44A 55

D A 22A 44A 55

分析：根据特殊元素优先处理，先把一幅水彩画放在“中间”，4幅油画 “粘合”在一

起，有A 44 种排法；5幅国画 “粘合”在一起，有A 55

种排法；最后把油画、国画两类书排

列，总共有A 44A 55A 22

种排法。所以选D 。

五、隔离问题“插入”处理

例9 由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数。（1987年全国高考题）

分析：为保证1，2两个数不相邻，以让它们“插空”为好。1，2两数暂不列，其它3

数先排，排法有A 33

种。这三数排好后，前后共有4个“空位”可供1，2两数选择，不同的

排法有A 42。所以符合题意的不同排法共有A 33A 42

=72种。

例10 马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有多少种？

分析：关灯方法的每一种都惟一对应着满足题设的亮灯与暗灯的一个排列。于是问题转化为在6盏亮灯中插入3盏暗灯，且任意两暗灯不相邻，暗灯不在两端，所以满足条件的关

灯办法有C 53

=10种。