圆的有关性质-习题及答案
人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案
人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点1 圆的有关概念（1）圆：平面上到的距离等于的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O。
（2）弦与直径：连接任意两点的叫做弦过圆心的叫做直径直径是圆内最长的。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做小于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做。
（4）圆心角：顶点在的角叫做圆心角。
（5）圆周角：顶点在并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。
（6）弦心距：到弦的距离叫做弦心距。
（7）等圆：能够的两个圆叫做等圆。
（8）等弧：在同圆或等圆中能的弧叫等弧。
考点2垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径这条弦并且弦所对的两条弧。
（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径于弦并且弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过并且弦所对的两条弧。
（3）延伸：根据圆的对称性如图所示在以下五条结论中：①AC AD=③CE＝DE④AB⊥CD⑤AB是直径。
=②BC BD只要满足其中两个另外三个结论一定成立即推二知三。
考点3 弧弦圆心角之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的相等所对的相等。
（2）推论：在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
考点4圆周角定理及其推论。
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半．如图a＝12图a图b图c（ 2 ）推论：①在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等．如图b ①A＝。
①直径所对的圆周角是直角．如图c＝90°。
①圆内接四边形的对角互补．如图a ①A＋＝180° ①ABC＋＝180°。
关键点:垂径定理及其运用（1）垂径定理及推论一条直线在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件就可以推出其他三条结论．称为知二得三（知二推三）。
①平分弦所对的优弧②平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）③平分弦④垂直于弦⑤过圆心（或是直径）（2）常用的辅助线作垂直于弦的直径或只画弦心距。
圆的有关性质-习题及答案
圆的有关性质——解答题1. 如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于A 、B 和C 、D ，连结OA ，此时有OA ∥PE . （1）求证：AP ＝AO ；（2）若弦AB ＝12，求tan ∠OPB 的值；（3）若以图中已标明的点（即P 、A 、B 、C 、D 、O ）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .G FEOAB DC2.、如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上的一动点，连结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB ＝AB ，过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF . （1）当∠AOB ＝30°时，求弧AB 的长； （2）当DE ＝8时，求线段EF 的长；（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由.FE DCBA O xy3. 已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点（不与点A 、B 、G 重合），直线DE交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P .设⊙O 的半径为r .（1）如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE ·OP ＝r 2（2）当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以如图2点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.4. 已知 △ABC ，分别以AC 和BC 为直径作半圆1O 、2,O P 是AB 的中点.（1）如图8，若△ABC 是等腰三角形，且AC =BC ，在,AC BC 上分别取点E 、F ，使12,AO E BO F ∠=∠则有结论①12,PO E FO P ≅②四边形12PO CO 是菱形.请给出结论②的证明；（2）如图9，若（1）中△ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；（3）如图10，若PC 是1O 的切线，求证：2223AB BC AC =+5. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB=2，∠B=30°，C 是弦AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD.（1）弦长AB=________（结果保留根号）；图8O2O1PAD EFBDABCDEF P.OG （图1） .AB CDE.OG （图2）（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；（3）当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.6、已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD.（1）如图①，当PA的长度等于______时，∠PAB=60°；当PA的长度等于______时，△PAD是等腰三角形；（2）如图②，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为（a，b），试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值.7、如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．MODACBN8、已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙0，⊙O经过B、D两点，过点B 作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．(1)求证：AE=CK；(2)如果AB=a，AD=13a (a为大于零的常数)，求BK的长；(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．9、已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧⌒AD上到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．10、如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．（1）求线段OD的长；（2）若1tan2C∠=，求弦MN的长．（第9题图）EFGAOB CDKOABD CMN11、在圆内接四边形ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线，F 为弧AD 上一点，BC=AF ，延长DF 与BA 的延长线交于E ． ⑴求证△ABD 为等腰三角形． ⑵求证AC •AF=DF •FE12、如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O (0，0)，与x 轴相交于点A (5，0)，过点A 的直线AB 与y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ．(1)已知AC ＝3，求点Ｂ的坐标； (4分)(2)若AC ＝a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数xky =的图象经过点1O ，求k 的值(用含a 的代数式表示)． (4分)13、已知：如图，∆ABC 错误！未找到引用源。
29.圆-圆的有关性质
第九单元圆第29课时圆的有关性质(60分)一、选择题(每题5分，共30分)1．已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是( )A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合2．如图29－1，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是( )A．25°B．30°C．40°D．50°3．如图29－2，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC图29－1⊥AB于点C，则OC＝( )A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm图29－24．如图29－3，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为( ) A．15°B．18°C．20°D．28°图29－35．如图29－4，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( )A．25°B．50°C．60°D．30°图29－4 图29－56．如图29－5，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是( )A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DEC．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD二、填空题(每题5分，共30分)7．如图29－6，A ，B ，C 三点均在⊙O 上，若∠AOB ＝80°，则∠ACB ＝____．图29－6 图29－78．如图29－7，点A ，B ，C 在⊙O 上，⊙O 的半径为9，AB ︵的长为2π，则∠ACB 的大小是____．9．如图29－8，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠ACD ＝40°，则∠BAD ＝____度．10.如图29－9，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A ＝115°，则∠BOD 等于____．图29－9 图29－1011．如图29－10，已知点A (0，1)，B (0，－1)，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于____度．图29－812．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段与原管道同样粗细的新管道．如图29－11，水面宽度原有60 cm，发现时水面宽度只有50 3 cm，同时水位也下降65 cm，则修理人员应准备的半径为____cm的管道．图29－11三、解答题(共10分)13．(10分)如图29－12，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C，D.(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．图29－1214．(8分)如图29－13，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为( )A．2 2 B．4图29－13 C．4 2 D．815．(10分)某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2 m，如图29－14，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m，船舱顶部为方形并高出水面(AB)2 m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？图29－1416．(12分)如图29－15，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.图29－15。
2023-2024学年九年级上学期数学：圆的有关性质(附答案解析)
度数是
．
12．如图，点 A 、B 、C 在 O 上，AC / /OB ，BC 4 ，O 的半径为 16 ，则 AC
．
5
三、解答题 13．如图，四边形 ABCD 内接于 O ， E 为 AB 延长线上一点，若 AOC 150 ，求 EBC 的度数．
14．如图， AB 为 O 的直径，CD 是弦，且 AB CD 于点 E ．连接 AC 、OC 、BC ． （1）试说明： BCO ACD ； （2）若 AE 4cm ， BE 16cm ，求弦 CD 的长．
第 5页（共 40页）
A．5
B．2.5
C．3
D．2
7．已知 O 的半径为 7， AB 是 O 的弦，点 P 在弦 AB 上．若 PA 4 ， PB 6 ，则
OP (
)
A． 14
B．4
C． 23
D．5
8．如图， AB 为 O 的直径，弦 CD AB 于点 E ， OF BC 于点 F ， BOF 65 ，
则 AOD 为 ( )
A． 70
B． 65
C． 50
D． 45
二、填空题
9． AB AC AD ， CAB 100 ，则 BDC ． 10．如图， AB 是 O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P ， AP 4 ，BP 12 ，APC 30 ，
则 CD 的长为
．
11．如图， AB 和 OC 分别是 O 的直径和半径，BOC 60 ，点 P 是直径 AB 上的 一个动点，射线 CP 与 O 相交于点 Q ，若 POQ 是等腰三角形，则 CPB ．
B． 4 3
C．1
D．2
4．如图，已知以 ABC 的边 AB 为直径的 O 经过点 C ， OD AC 交 O 于点 D ，
人教版九年级数学上册《圆的有关性质》能力测试题及参考答案
人教版九年级数学上册《圆的有关性质》能力测试题及参考答案一、选择题1.如图是一个半径为5cm的圆柱形输油管的横截面,若油面宽AB=8cm,则油面的深度为（）A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm第1题第2题第3题第4题2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O上的两点,连接AC,OD,CD,且AC//OD,若AB=6,∠ACD=15°,则AC的长为（）A.2√2B.4C.3√2D.3√33.如图,点A,B,C,D都在⊙O上,BD为⊙O的直径,若∠A=65°,则∠DBC的值是（）A.15°B.25°C.35°D.65°4.如图,AB为⊙O的直径,点C,D都在⊙O上,若BD=BC,∠ABC=65°,则∠BOD 的度数（）A.65°B.60°C.50°D.25°5.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC,AD,∠BAC=28°,则∠D的度数是（）A.56°B.58°C.60°D.62°第5题第6题第7题第8题6.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BOD=84°,则∠C的度数为（）A.88°B.92°C.106°D.138°7.如图,在⊙O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=45°,∠APD=80°,则∠B的大小是（）.A.35°B.45°C.60°D.70°8.如图,点A,B,C是⊙O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交⊙O于点F,则∠BAF等于（）A.12.5°B.15°C.20°D.22.5°̂的中点,连接9.如图,在⊙O中,弦AB⊥CD,垂足为E,F为CBDAF,BF,AC,AF交CD于点M,过点F作FH⊥AC,垂足为G,交⊙O于点H.̂=DF̂②HC = BF③MF = FC④DF̂+AĤ= BF̂+AF̂.其中现有以下结论:①CF成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图,点P在⊙O的直径AB上,作正方形PCDE和正方形PFGH,其中点D,G在直径所在的直线上,点C,E,F,H 都在⊙O 上.若两个正方形的面积之和为16,OP=√2,则DG 的长是（ ） A.6√2 B.2√14 C.7 D.4√3第10题 第11题 第12题 第13题11.如图,⊙O 经过菱形ABCD 的顶点A,B,C,顶点D 在⊙O 内,延长AD,CD 与⊙O 分别交于点E,F,连接 BE,BF.下列结论:①BE=BF ②AB ̂=AF ̂=EF ̂③∠ABC=90°+ 12∠EBF,其中正确的结论是（ ） A.①② B. ①③ C. ②③ D.①②③12.如图,△ABC 内接于⊙O,∠BAC=45°,AD ⊥BC,垂足为D,BD=6,DC=4,则AB 的长（ ）A.6√2B.10C.12D.6√513.如图,在半径为√13的⊙O 中,弦AB 与CD 交于点E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,则CD 的长（ ）A.2√6B.2√10C.2√11D.4√314.过三点A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为（ ）A.(4,176) B .(4,3) C.(5,176) D .(5,3) 15.如图,△ABC 为等边三角形,AB=3.若P 为△ABC 内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB 长度的最小值为（ ）A.1.5B.√3C.√3D.216.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上的一点,AB=4,∠AOC=120°,P 为⊙O 上的一动点,Q 为AP 的中点,连接CQ,则线段CQ 的最大值为（ ）A.3B.1+√6C.1+3√2D.1+√7二、填空题17.如图,在⊙O 的内接五边形ABCDE 中,∠CAD=35°,则∠B+∠E 的度数_______.18.如图,AB,CD 是⊙O 的直径,弦BE 与CD 交于点F,F 为BE 中点,AF//ED,若AF 的长为 2√3,则BC 的长为___.第17题 第18题 第19题19.如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD,垂足为E,AB̂=BF ̂,CE =1,AB=6,则弦AF 的长度为___. 20.如图,⊙E 与y 轴相交于A,B 两点(点A 在点B 的上方),与x 轴的正半轴相交于点C,且圆心E 的坐标为(m,0),半径为5;直线l 的函数表达式为y=34x+n,且经过点A 并与x 轴相交于点D(-/2,0).若以C为顶点的抛物线过点B,则该抛物线的函数表达式为___.第20题第21题第22题21.如图,AB是⊙O的弦,AB= 6√3,∠AOB=120°,C为⊙O上的一动点,D,E分别是AC,OB的中点,连接DE,则线段DE的取值范围是____.22.如图,等边△ABC的边长为3,F为BC上的动点,DF⊥AB于点D,EF⊥AC于点E,则DE长的最小值为____.三、解答题̂的中点,连结CD,CA,AD.23.如图 1,AB是⊙O的直径,点D为AB下方⊙O上一点,点C为ABD(1)求证:OC平分∠ACD.(2)如图 2,延长AC,DB相交于点E.①求证:OC//BE.②若CE = 4√5,BD =6,求⊙O的半径.24.如图,⊙O为Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,BC=4√3,AC=4,点D是⊙O上的动点,且点C,D 分别位于AB的两侧.(1)求⊙O的半径;(2)当CD=4√2时,求∠ACD的度数;(3)设AD的中点为M,在点D的运动过程中,线段CM是否存在最大值?若存在,求出CM的最大值;若不存在,请说明理由.25.如图,在△ACE 中,AC=CE,⊙O 经过点A,C 且与边AE,CE 分别交于点D,F,点B 是AĈ上一点,且DF̂=BC ̂,连接AB,BC,CD. (1)求证:△CDE ≌△ABC;(2)若AC 为⊙O 的直径,填空:①当∠E =______时,四边形ABCD 为正方形;②当∠E =____时,四边形OCFD 为菱形.26.已知⊙O 中,弦AB=AC,点P 是∠BAC 所对弧上一动点,连接PA,PB.(1)如图①,把△ABP 绕点A 逆时针旋转到△ACQ,连接PC,求证:∠ACP+∠ACQ=180°;(2)如图②,若∠BAC=60°,试探究PA,PB,PC 之间的关系.参考答案一、选择题1-5 ADBCD 6-10 DABCB 11-15 BDCAB 16 D二、填空题17. 215° 18.2√619.485 20.y=−116(x −8)221.3√3-3≤DE ≤3√3+322.94 三、解答题23.(1)提示：圆心角定理，垂径定理.(2)①略②半径长5.24(1)半径长4.(2)15°(3)2√ 3+225.(1)略(2)①45°②60°26.(1)略(2)①PA=PB+PC。
圆的性质练习题
圆的性质练习题1. 以下哪个说法是关于圆心的？- (A) 圆心是圆的中点- (B) 圆心位于圆周上- (C) 圆心与半径相等- (D) 圆心可以位于圆外答案：(A) 圆心是圆的中点2. 在一个圆中，有两条相交的弦AB和CD，若弦AB的长度为12，弦CD的长度为16，那么弦AB的一半加上弦CD的一半等于多少？答案：弦AB的一半加上弦CD的一半等于143. 下列哪个选项不能确定一个圆？- (A) 圆心和半径- (B) 直径和半径- (C) 弦和半径- (D) 弧和半径答案：(C) 弦和半径4. 若一个圆的直径为10，那么它的半径是多少？答案：半径是55. 下列哪个说法是关于切线的？- (A) 切线与圆相切于圆的内部- (B) 切线与圆相切于圆的外部- (C) 切线与圆的切点位于圆的任意位置- (D) 切线与圆不可能相切答案：(B) 切线与圆相切于圆的外部6. 如果AB是一个圆的直径，CD是一个切线，且切点为E，那么角CED的度数是多少？答案：角CED的度数是90度7. 以下哪个选项不能作为一个圆的弧长？- (A) 3- (B) 3π- (C) π/2- (D) 2π答案：(C) π/28. 若一个圆的半径为8，那么它的周长是多少？答案：周长是16π9. 若一个圆的周长为12π，那么它的直径是多少？答案：直径是610. 以下哪个说法是关于圆的面积的？- (A) 圆的面积与周长成正比- (B) 圆的面积与半径的平方成正比- (C) 圆的面积与直径成正比- (D) 圆的面积与弧度成正比答案：(B) 圆的面积与半径的平方成正比以上是关于圆的性质的练习题，希望能帮助你巩固对圆的相关概念的理解。
请根据题目给出的选项选择正确答案，并核对答案的准确性。
2023—2024学年人教版数学九年级上册 24.1圆的有关性质同步练习 含答案
2023—2024学年人教版数学九年级上册24.1圆的有关性质同步练习（含答案）初中数学同步练习九年级上册24.1 圆的有关性质一、单选题1．如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．72．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点M，连接BC、AD，⊙AMD＝100°，⊙A＝30°，则⊙B＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°3．如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等．若⊙ABC ＝30°，则⊙ADC的度数是（）A．30° B．60° C．120° D．150°4．如图，点A．B．C在⊙D上，⊙ABC=70°，则⊙ADC的度数为（）A．110° B．140° C．35° D．130°5．下列命题中，不正确的是（）A．垂直平分弦的直线经过圆心B．平分弦的直径一定垂直于弦C．平行弦所夹的两条弧相等D．垂直于弦的直径必平分弦所对的弧6．如图，⊙O的直径CD⊙AB，⊙AOC=60°，则⊙CDB=（）A．20° B．30° C．40° D．50°7．如图，在⊙O中，弦AC⊙半径OB，⊙BOC=48°，则⊙OAB的度数为() A．24° B．30° C．60° D．90°8．如图，⊙O的半径OD⊙弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB=4，CD=1，则EC的长为()A．B．C．D．4二、填空题9．如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB⊙CD，连接AD，BC，若⊙C=25°，则⊙D的度数为.10．如图，A、B、C是⊙O的圆周上三点，⊙ACB=40°，则⊙ABO等于度.11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙A＝100°，则⊙DCE的度数为；12．如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上两点，⊙ADC = 144°，则⊙ABC =13．如图，⊙ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，⊙ACB=50°，点D是上一点，则⊙D=度．14．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，⊙CAD=35°，则⊙B+⊙E=.15．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，⊙B=70°，则⊙DAC=.16．如图，在中，A，B，C是O上三点，如果，弦，那么的半径长为．三、解答题17．如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点E，AE=CE，求证：BE=DE．18．如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC＝NC．19．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2，则线段BQ的长为多少？20．如图，在中，AB是的直径，与AC交于点D，，求的度数.答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】B9．【答案】65°10．【答案】5011．【答案】100°12．【答案】3613．【答案】4014．【答案】215°15．【答案】20°16．【答案】517．【答案】证明：⊙⊙A=⊙C，⊙D=⊙B ，AE=CE，⊙ ⊙AED⊙⊙CEB，⊙ BE=DE．18．【答案】解：⊙弧AC和弧BC相等，⊙⊙AOC=⊙BOC，又⊙OA="OB" M、N分别是OA、OB的中点⊙OM=ON，在⊙MOC和⊙NOC中，⊙⊙MOC⊙⊙NOC（SAS），⊙MC=NC．19．【答案】解：如图，连接AQ，由题意可知：⊙BPQ=45°，⊙AB是半圆O的直径，⊙⊙AQB=90°，又⊙⊙BAQ=⊙BPQ=45°，⊙⊙ABQ是等腰直角三角形，⊙BQ=AQ= .即，答案为.20．【答案】解：在⊙ABC中，⊙⊙B=60°，⊙C=75°，⊙⊙A=45°．⊙AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，⊙⊙BOD=2⊙A=90°。
部编数学九年级上册专题24.1圆的有关性质(基础)(解析版)含答案
专题24.1 圆的有关性质目录圆的认识 (1)圆的相关概念 (3)求相关角度 (4)求相关长度 (6)有关证明 (8)垂径定理的计算 (10)垂径定理的应用 (13)圆周角圆心角相关概念 (18)圆周角与圆心角求角度 (20)圆周角与圆心角求长度 (22)垂径定理的推论 (26)内接四边形 (28)证明综合....................................................................................................................................................31圆的认识【例1】下列结论正确的是（ ）A ．半径相等的两条弧是等弧B ．半圆是弧C ．半径是弦D ．弧是半圆【解答】解：A 、在等圆或同圆中，半径相等的两条弧是等弧，原结论不正确；B 、半圆是弧，原结论正确；C 、半径只有一个端点位于圆上，不是弦，原结论不正确；D、根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，原结论不正确；【变式训练1】数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（ ）A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”【解答】解：A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性”，故本选项错误，不合题意；B．车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故本选项正确，符合题意D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意．故选：C．【变式训练2】下列说法错误的是（ ）A．直径是圆中最长的弦B．半径相等的两个半圆是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半圆是圆中最长的弧【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，说法正确，不符合题意；B、半径相等的两个半圆是等弧，说法正确，不符合题意；C、面积相等的两个圆是等圆，说法正确，不符合题意；D、由于半圆小于优弧，所以半圆是圆中最长的弧说法错误，符合题意．【变式训练3】在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）A．无数个B．3个C．2个D．1个【解答】解：在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为为：所有到定点P的距离等于1cm的点的集合，故选：A．圆的相关概念【例2】已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）A．3cm B．6cm C．1.5cm D【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．故选：B．【变式训练1】已知⊙O中最长的弦为12厘米，则此圆半径为 6 厘米．【解答】解：∵直径是圆中最长的弦，⊙O中最长的弦为12厘米，∴⊙O的直径是12厘米．∴⊙O的半径是6厘米．故答案为：【例3】下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．【变式训练1】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确，正确的只有1个，故选：A．求相关角度【例4】如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（ ）A．38°B．52°C．76°D．104°【解答】解：∵OM＝ON，∴∠M＝∠N＝52°，∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．故选：C．【变式训练1】如图，将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO的度数为（ ）A．150°B．120°C．100°D．60°【解答】解：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B＝60°，∴∠ACO＝180°﹣60°＝120°．故选：B．【例5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝65°，∵∠CDB＝∠DCE+∠A，∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．【变式训练1】如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O 于点B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度数．（2）求∠EOD的度数．【解答】解：（1）连OB，如图，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；（2）∵∠2＝∠A+∠1，∴∠2＝2∠A，∵OB＝OE，∴∠2＝∠E ，∴∠E ＝2∠A ，∴∠DOE ＝∠A +∠E ＝3∠A ＝60°．求相关长度【例6】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝若以点C 为圆心，CA 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则⊙C 的半径为（ ）A ．B ．8C ．6D ．5【解答】解：如图，连结CD ，∵CD 是直角三角形斜边上的中线，∴CD =12AB =12×10＝5故选：D ．【变式训练1】如图，AB 是⊙O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点（C 不与A 、B 重合），CH ⊥AB ，垂足为H ，点M 是BC 的中点．若⊙O 的半径是3，则MH 长的最大值是（ ）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH=12 BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．【变式训练2】如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（ ）A．6B．5C．4D．2【解答】解：如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，OB＝CD＝6，∴OC＝OA10，∴AB＝OA﹣OB＝4，故选：C ．【变式训练3】如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，BC ＝4，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．3D 【解答】解：连接AM ，∵点B 和M 关于AP 对称，∴AB ＝AM ＝3，∴M 在以A 圆心，3为半径的圆上，∴当A ，M ，C 三点共线时，CM 最短，∵AC =5，AM ＝AB ＝3，∴CM ＝5﹣3＝2，故选：A ．有关证明【例7】已知，如图，在⊙O 中，C 、D 分别是半径OA 、BO 的中点，求证：AD ＝BC ．【解答】解：∵OA 、OB 是⊙O 的两条半径，∴AO ＝BO ，∵C、D分别是半径OA、BO的中点，∴OC＝OD，在△OCB和△ODA中，AO=BO∠O=∠O，OD=OC∴△OCB≌△ODA（SAS），∴AD＝BC．【变式训练1】已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB 于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？【解答】解：AC与BD相等．理由如下：连接OC、OD，如图，∵OA＝OB，AE＝BF，∴OE＝OF，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠OEC＝∠OFD＝90°，在Rt△OEC和Rt△OFD中，OE=OFOC=OD，∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），∴∠COE＝∠DOF，∴AC=BD，∴AC＝BD．垂径定理的计算【例8】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ．若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的半径为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【解答】解：连接OC ，∵AB ⊥CD ，AB 过圆心O ，CD ＝8，∴CP ＝DP ＝4，设⊙O 的半径为R ，∵AP ＝8，∴OP ＝8﹣R ，在Rt △COP 中，由勾股定理得：CP 2+OP 2＝OC 2，即（8﹣R ）2+42＝R 2，解得：R ＝5，∴⊙O 的半径为5，故选：C．【变式训练1】如图，CD 是圆O 的弦，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝12，BE ＝3，则四边形ACBD 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，连接OC ，∵AB ＝12，BE ＝3，∴OB ＝OC ＝6，OE ＝3，∵AB ⊥CD ，在Rt △COE 中，EC =∴CD ＝2CE ＝∴四边形ACBD 的面积=12AB ⋅CD =12×12×=故选：A ．【变式训练2】如图，正方形ABCD 和正方形BEFG 的顶点分别在半圆O 的直径和圆周上，若BG ＝4，则半圆O 的半径是（ ）A．4+B．9C．D．【解答】解：连接OC，OF，设OB＝x，∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，∵BG＝4，四边形BEFG是正方形，∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，在Rt△BCO中，OC=，在Rt△FEO中，OF=∵OF＝OC，∴5x2＝x2+8x+32，解得x＝4或x＝﹣2（舍去）当x＝4时，OC＝则半圆O的半径是故选：C．【变式训练3】已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ）A ．1个B ．3个C ．6个D ．7个【解答】解：∵CD 是直径，∴OC ＝OD =12CD =12×10＝5，∵AB ⊥CD ，∴∠AMC ＝∠AMD ＝90°，∵AM ＝4.8，∴OM ==1.4，∴CM ＝5+1.4＝6.4，MD ＝5﹣1.4＝3.6，∴AC =8，AD ==6，∵AM ＝4.8，∴A 点到线段MD 的最小距离为4.8，最大距离为6，则A 点到线段MD 的整数距离有5，6，A 点到线段MC 的最小距离为4.8，最大距离为8，则A 点到线段MC 的整数距离有5，6，7，8，直径CD 上的点（包含端点）与A 点的距离为整数的点有6个，故选：C ．垂径定理的应用【例9】往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB ＝48cm ，水的最大深度为16cm ，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm ．A ．10B ．14C ．26D ．52【解答】解：如图所示：由题意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm，∵AB＝48cm，∴BD=12AB=12×48＝24（cm），设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26，所以2r＝52，故选：D．【变式训练1】一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正竖直，则容器中液体的高度为（ ）A．12πcm B．2πcm C．πcm D．2cm【解答】解：连接OA，OB，如图，根据题意得：OA＝6cm，弦心距OC＝3cm，∴cos∠AOC=OCOA=36=12，∴∠AOC ＝60°，则∠AOB ＝120°，∴AC ＝，AB ＝2AC ＝，∴S 阴影＝S 扇形OAB ﹣S △OAB =120π×62360−12××3=cm 2）．设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为h （cm ），依题意得：62πℎ=，∴ℎ故选：B ．【变式训练2】往直径为78cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB ＝72cm ，则水的最大深度为（ ）A ．36cmB ．27cmC ．24cmD ．15cm【解答】解：连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C 交⊙O 于D ．∵OC ⊥AB ，∴AC ＝CB ＝36（cm ），∵OA ＝OB ＝39cm ，∴OC ==15（cm ），∴CD ＝39﹣15＝24（cm ），故选：C ．【变式训练3】如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5cm ，假设球的横截面与水面交于A ，B 两点，AB ＝8cm ．若从目前所处位置到完全落入水中的时间为4s ，则球体下落的平均速度为（ ）A．0.5cm/s B．0.75cm/s C．1cm/s D．2cm/s 【解答】解：设圆心为O，连接OB，则OB＝5，过点O作OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D，则BD=12AB=4cm，在Rt△BOD中，OD=3cm，∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2cm，∴从目前所处位置到究全落入水中，球体下落的平均速度为2÷4＝0.5cm/s．故选：A．【例10】如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度AB为7.2m，拱顶高出水面（CD）2.4m，现有一艘宽EF为3m且船舱顶部为长方形并高出水面1.5m的货船要经过这里，则货船能顺利通过这座拱桥吗？请作出判断并说明理由．【解答】解：货船能顺利通过这座拱桥，理由如下：如图，连接ON、OA．∵OC⊥AB，AB＝7.2m，∴AD=12AB＝3.6（m），设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣2.4）m，在Rt△AOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，解得：r＝3.∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面1.5m，∴CH＝2.4﹣1.5＝0.9（m），∴OH＝3.9﹣0.9＝3（m），在Rt△OHN中，HN2＝ON2﹣OH2＝3.92﹣32＝6.21（m2），∴HN=m），∴MN＝2HN＝m）＞3m，∴货船能顺利通过这座拱桥．【变式训练1】诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．【解答】解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD=12AB＝8（m），又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝答：此圆弧形拱桥的半径为10m．（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN=∴MN＝2EN＝＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．圆周角圆心角相关概念【例11】下列说法中，正确的个数为（ ）（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；（2）优弧一定比劣弧长；（3）弧相等则所对的圆心角相等；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．（2）优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；（3）弧相等则所对的圆心角相等．正确；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．正确；故选：B．【变式训练1】下列说法正确的是（ ）A．同弧或等弧所对的圆心角相等B．所对圆心角相等的弧是等弧C．弧长相等的弧一定是等弧D．平分弦的直径必垂直于弦【解答】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，本选项符合题意；B、所对圆心角相等的弧是等弧，错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意；C、弧长相等的弧一定是等弧，错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意；D、平分弦的直径必垂直于弦，错误此弦不能是直径，本选项不符合题意．故选：A．【变式训练2】下列说法中，正确的是（ ）A．同心圆的周长相等B．面积相等的圆是等圆C．相等的圆心角所对的弧相等D．平分弧的弦一定经过圆心【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意．B、正确，本选项符合题意．C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意．D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意．故选：B．【变式训练3】下列说法中，正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径也平分弦所对的弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本小题说法错误；②平分弦（不是直径）的直径也平分弦所对的弧，本小题说法错误；③能够重合的两条弧是等弧，本小题说法错误；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧，本小题说法正确；故选：A．圆周角与圆心角求角度【例12】如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（ ）A．158°B．58°C．64°D．116°【解答】解：∵∠D＝32°，∴∠BOC＝2∠D＝64°，∴∠AOC＝180°﹣64°＝116°．故选：D．【变式训练1】如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，故选：A．【变式训练2】如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）A．25°B．50°C．65°D．75°【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC=23×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA=12（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．【变式训练3】如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）A．100°B．110°C．115°D．120°【解答】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，∴∠APO＝∠AQO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵DE＝FG＝MN，∴OP＝OK＝OQ，∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC=12×(360°−130°)=115°．故选：C．圆周角与圆心角求长度【例13】如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（ ）A．5B．6C．7D．8【解答】解：连接OF，如图：∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，AD=AF，∵D为弧AC的中点，∴AD=DC，∴ADC=DAF，∴AC＝DF，∵⊙O的直径为10，∴OF＝OA＝5，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF==4，∴DE＝EF＝4，∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，故选：D．【变式训练1】如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ ）A．10B．13C．12D．11【解答】解：连接OF，∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，AD=AF，∵D为弧AC的中点，∴AD=DC，∴ADC=DAF，∴AC＝DF，∵⊙O的直径为15，∴OF＝OA=15 2，∵AE＝3，∴OE＝OA﹣AE=9 2，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF==6，∴DE＝EF＝6，∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12，故选：C．【变式训练2】如图，在半径为⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB＝CD＝8，则OP的长为（ ）A．B．C．4D．2【解答】解：连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，则∠OFP＝∠OEP＝∠CEO＝∠AFO＝90°，∵AB⊥CD，∴∠EPF＝90°，∴四边形OFPE是矩形，∴OE＝FP，EP＝OF，∵OF⊥AB，OF过O，AB＝8，∴AF＝BF＝4，由勾股定理得：OF==2，同理OE＝2，即FP＝OE＝2，在Rt△OFP中，由勾股定理得：OP==故选：B．【变式训练3】如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（ ）A．10B．13C．15D．16【解答】解：如图，连接OF．∵DE ⊥AB ，∴DE ＝EF ，AD =AF ，∵点D 是弧AC 的中点，∴AD =CD ，∴AC =DF ，∴AC ＝DF ＝12，∴EF =12DF ＝6，设OA ＝OF ＝x ，在Rt △OEF 中，则有x 2＝62+（x ﹣3）2，解得x =152，∴AB ＝2x ＝15，故选：C ．垂径定理的推论【例14】如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于M ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AM ＝BMB ．CM ＝DMC ．AC =BCD ．AD =BD【解答】解：∵弦AB ⊥CD ，CD 过圆心O ，∴AM ＝BM ，AC =BC ，AD =BD，即选项A、C、D都正确，当根据已知条件不能推出CM和DM一定相等，故选：B．【变式训练1】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）A．AE＝BE B．OE＝DE C．AC=BC D．AD=BD【解答】解：∵AB⊥CD，CD过圆心O，∴AE＝BE，AC=BC，AD=BD，不能推出OE＝DE，所以选项A、选项C、选项D都不符合题意，只有选项B符合题意；故选：B．【变式训练2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E．不能推出CE＝DE的条件是（ ）A．AB⊥CD B．AC=AD C．BC=BD D．OE＝ED【解答】解：当AB⊥CD时，CE＝DE．故A正确；当BC=BD或AC=AD时，CE＝DE，故BC都正确；故选：D．【变式训练3】如图，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，下列结论：①AC=AD；②BC=BD；③EO＝EB；④EC＝ED．其中一定成立的是（ ）A ．①③B ．①④C ．①②④D ．①②③④【解答】解：∵AB 是直径，AB ⊥CD ，∴AC =AD ，BC =BD ，EC ＝DE ，故①②④正确．故选：C ．内接四边形【例15】如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接OA ，OC ．若∠ABC ＝108°，则∠AOC 的度数为（ ）A ．72°B ．108°C ．144°D ．150°【解答】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠D +∠ABC ＝180°，∵∠ABC ＝108°，∴∠D ＝72°，∴∠BOC ＝2∠D ＝144°，故选：C ．【变式训练1】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线BD 垂直平分半径OC ，若∠ABD ＝50°，则∠ADC的大小为（ ）A．130°B．120°C．110°D．100°【解答】解：设BD交OC于E，连接OD，OA，∵BD垂直平分OC，∴OE=12OC=12OD，∠OED＝90°，∴∠ODE＝30°，∴∠DOC＝90°﹣30°＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵∠ABD＝50°，∴∠AOD＝2∠ABD＝100°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD=12（180°﹣∠AOD）＝40°，∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝40°+60°＝100°，故选：D．【变式训练2】如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（ ）A．85°B．75°C．70°D．65°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝15°，∴∠CAB＝75°，∴∠BDC＝∠CAB＝75°，故选：B．【变式训练3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，P是AD上一点，则∠APD等于（ ）A．120°B．125°C．135°D．150°【解答】解：连接OC，AC．∵弦CD垂直平分OB，∴OE=12OB=12OC，∴∠OCD＝30°，∴∠COB＝60°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝30°，∴∠ACD＝60°．∴∠APD＝180°﹣60°＝120°，故选：A．证明综合【例16】如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，连接AC，且AC∥DF．（1）求证：CG＝AG；（2）若AB＝12，求∠CAO和GD的长．【解答】（1）证明：∵AC∥DF，∴∠CDF＝∠ACD，∵CF=CF，∴∠CAF＝∠CDF，∴∠ACD＝∠CAF，∴AG＝CG；（2）解：如图，连接CO，∵AB⊥CD，∴AC=AD，CE＝DE，∵∠DCA＝∠CAF，∴AD=CF，∴AC=AD=CF，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF，∵DF是直径，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝6，∠CAO＝60°，∵CE⊥AO，∴AE＝EO＝3，∠ACD＝30°，∴CE＝DE，∵AG2＝GE2+AE2，∴AG2＝（AG）2+9，∴AG＝∴GE=∴DG＝【变式训练1】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC=BC，点D是BC的中点，连结OC，AD，交于点E，连结BE，BD．（1）求∠EBA的度数．（2）求证：AE=．（3）若DE＝1，求⊙O的面积．【解答】解：（1）连接AC，∵AC=BC，∴∠AOC＝∠BOC＝90°∴∠CAB＝45°，∵点D是BC的中点，∴CD=BD，∴∠CAD＝∠EAB＝22.5°；（2）由（1）知，OC垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠DEB＝2∠EAB＝45°，∵AB是直径，∴∠D＝90°，∴BD＝sin45°BE，∴BE=，∴AE=；（3）∵DE＝1∴BD＝DE＝1，∴AE＝BE=∴AD=+1，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝（2OA）2，）2+1＝4OA2，∴OA2∴圆的面积为πOA2=一．选择题（共8小题）1．下列说法正确的是( )A ．直径是圆中最长的弦，有4条B ．长度相等的弧是等弧C ．如果A e 的周长是B e 周长的4倍，那么A e 的面积是B e 面积的8倍D ．已知O e 的半径为8，A 为平面内的一点，且8OA =，那么点A 在O e 上【解答】解：A 、直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；B 、在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；C 、如果A e 的周长是B e 周长的4倍，那么A e 的面积是B e 面积的16倍，故该选项不符合题意；D 、已知O e 的半径为8，A 为平面内的一点，且8OA =，那么点A 在O e 上，故该选项符合题意．故选：D ．2．小明在半径为5的圆中测量弦AB 的长度，下列测量结果中一定是错误的是( )A ．4B ．5C ．10D ．11【解答】解：Q 半径为5的圆，直径为10，\在半径为5的圆中测量弦AB 的长度，AB 的取值范围是：010AB <…，\弦AB 的长度可以是4，5，10，不可能为11．故选：D ．3．如图，O e 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE OB =，已知72DOB Ð=°，则E Ð等于( )A ．36°B ．30°C ．18°D ．24°【解答】解：如图：CE OB CO ==，得1E Ð=Ð．由2Ð是EOC D 的外角，得212E E Ð=Ð+Ð=Ð．由OC OD =，得22D E Ð=Ð=Ð．由3Ð是三角形ODE D 的外角，得323E D E E E Ð=+Ð=Ð+Ð=Ð．由372Ð=°，得372E Ð=°．解得24E Ð=°．故选：D ．4．如图，O e 的直径12AB =，弦CD 垂直AB 于点P ．若2BP =，则CD 的长为()A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，连接OC ，12AB =Q ，6OC OB \==，2PB =Q ，4OP \=，在Rt OPC D 中，CP ==，CD AB ^Q ，CP DP \=，2CD PC\==．故选：C．5．已知Oe的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则Oe上到弦AB所在直线的距离为2的点有( )A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：过O点作OC AB^，交Oe于P，如图，3OC\=，而5OA=，2PC\=，即点P到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，\在直线AB的这边，还有两个点M，N到直线AB的距离为2．故选：B．6．如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面2AB m=，拱高3CD m=，则该拱门的半径为( )A．53m B．2m C．83m D．3m【解答】解：如图，取圆心为O ，连接OA ，设O e 的半径为r m ，则OC OA r ==m ，Q 拱高3CD m =，(3)OD r m \=-，OD AB ^，2AB m =Q ，112AD BD AB m \===，222OA AD OD =+Q ，2221(3)r r \=+-，解得：53r =，\该拱门的半径为53m ，故选：A ．7．如图，在Rt ACB D 中60ACB Ð=°，以直角边AB 为直径的O e 交线段AC 于点E ，点M 是弧AE 的中点，OM 交AC 于点D ，O e 的半径是6，则MD 的长度为( )A B ．32C ．3D ．【解答】解：90ABC Ð=°Q ，60ACB Ð=°，30A \Ð=°，M Q 为弧AE 的中点，OM 过圆心O ，OM AD \^，90ADO \Ð=°，116322OD OA \==´=，633MD OM OD \=-=-=，故选：C ．8．如图，在O e 中，¶¶¶AB BCCD ==，连接AC ，CD ，则AC 与CD 的关系是( )A ．2AC CD =B ．2AC CD <C ．2AC CD >D ．无法比较【解答】解：如图，连接AB 、BC ，在O e 中，¶¶¶AB BCCD ==，AB BC CD \==，在ABC D 中，AB BC AC +>．2AC CD \<．故选：B ．二．填空题（共4小题）9．运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两个边缘所在的环形周长的差等于125p 米，则跑道的宽度为 65 米．【解答】解：设运动场上的小环半径为r 米，大环半径半径为R 米，根据题意得：122()5R r p p -=，解得：65R r -=，即跑道的宽度为65米．故答案为：65．10．大圆的半径是R ，小圆的半径是大圆半径的一半，则大圆面积比小圆面积大 234R p ．【解答】解：由题意得，大圆面积为2R p ，小圆面积为21()24R R p p ×=，1344R R R p p p -=，\大圆面积比小圆面积大234R p ，故答案为：234R p ．11．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等分线”，“等分线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等分线段”（例如圆的直径就是圆的“等分线段” )．已知等边三角形的边长为4，则它的“等分线段”长度x 的取值范围是 x …【解答】解：如图，①等边三角形的高AD 是最长的“等分线段”，4AD ==；②当//EF BC 时，EF 为最短“等分线段”，此时，21()2EF BC =，即4EF =，解得EF =．所以，它的“等分线段”长x …故答案为：x …．12．如图，在平面直角坐标系中，放置半径为1的圆，圆心到两坐标轴的距离都等于半径，若该圆向x 轴正方向滚动2022圈（滚动时在x 轴上不滑动），此时该圆圆心的坐标为 (40441,1)p + ．【解答】解：如图，点(1,1)P ，点(1,0)A ，该圆向x 轴正方向滚动2022圈，点A 移动过的距离为2120224044p p ´´=，这点到原点O 的距离为40441p +，因此点P 的对应点的坐标为(40441,1)p +，故答案为：(40441,1)p +．三．解答题（共3小题）13．在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于(r r 为常数），到点O 的距离等于r 的所有点组成图形G ，ABC Ð的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ．求证：AD CD =．【解答】证明：根据题意作图如下：BD Q 是圆周角ABC 的角平分线，ABD CBD \Ð=Ð，\¶¶AD CD =，AD CD \=．14．如图，O e 的半径OC AB ^，D 为¶BC上一点，DE OC ^，DF AB ^，垂足分别为E 、F ，3EF =，求直径AB 的长．【解答】解：OC AB ^Q ，DE OC ^，DF AB ^，\四边形OFDE 是矩形，3OD EF \==，6AB \=．15．已知：如图，BD 、CE 是ABC D 的高，M 为BC 的中点．试说明点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一个圆上．【解答】证明：连接ME 、MD ，BD Q 、CE 分别是ABC D 的高，M 为BC 的中点，12ME MD MC MB BC \====，\点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一圆上．。
圆的有关性质(优选真题60道)：三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）圆的有关性质（优选真题60道）一．选择题（共23小题）1．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（）A．70°B．105°C．125°D．155°【分析】利用圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得∠BPC的范围，继而得出答案．【解答】解：如图，连接BC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，=20°，∴∠OBC＝∠OCB=180°−140°2∵点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），∴0°＜∠OCP＜20°，∵∠BPC＝∠BOC+∠OCP＝140°+∠OCP，∴140°＜∠BPC＜160°，故选：D．【点评】本题考查圆与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得∠BPC的范围是解题的关键．2．（2023•赤峰）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【分析】利用圆内接四边形的性质及圆周角定理求得∠BOD的度数，再结合已知条件求得∠COD的度数，然后利用圆周角定理求得∠CBD的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝105°，∴∠A＝75°，∴∠BOD＝2∠A＝150°，∵∠BOC＝2∠COD，∴∠BOD＝3∠COD＝150°，∴∠COD＝50°，∠COD＝25°，∴∠CBD=12故选：A．【点评】本题考查圆内接四边形性质及圆周角定理，结合已知条件求得∠BOD的度数是解题的关键．3．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案．【解答】解：∵∠AOB ＝2∠C ，∠C ＝55°，∴∠AOB ＝110°，故选：D ．【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半．4．（2023•广东）如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝50°，则∠D ＝（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°【分析】由AB 是⊙O 的直径，得∠ACB ＝90°，而∠BAC ＝50°，即得∠ABC ＝40°，故∠D ＝∠ABC ＝40°，【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC+∠ABC ＝90°，∵∠BAC ＝50°，∴∠ABC ＝40°，∵AĈ=AC ̂， ∴∠D ＝∠ABC ＝40°，故选：B ．【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等．5．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为（ ）A ．20mB ．28mC ．35mD ．40m【分析】设主桥拱半径R ，根据垂径定理得到AD =372，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【解答】解：由题意可知，AB ＝37m ，CD ＝7m ，设主桥拱半径为Rm ，∴OD ＝OC ﹣CD ＝（R ﹣7）m ，∵OC 是半径，OC ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB =372m ，在RtADO 中，AD2+OD2＝OA2，∴（372）2+（R ﹣7）2＝R2， 解得R =156556≈28．故选：B ．【点评】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R 的方程解决问题．6．（2023•广元）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，连接CD ，OD ，AC ，若∠BOD ＝124°，则∠ACD 的度数是（ ）A ．56°B ．33°C ．28°D ．23°【分析】先由平角定义求得∠AOD ＝56°，再利用圆周角定理可求∠ACD ．【解答】解：∵∠BOD ＝124°，∴∠AOD ＝180°﹣124°＝56°，∴∠ACD =12∠AOD ＝28°，【点评】本题主要考查的是圆周角定理的应用，利用平角定义求得∠AOD ＝56°是解决本题的关键．7．（2023•温州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC ∥AD ，AC ⊥BD ．若∠AOD ＝120°，AD =√3，则∠CAO 的度数与BC 的长分别为（ ）A ．10°，1B ．10°，√2C ．15°，1D ．15°，√2【分析】由平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义，推出∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠CAD ＝∠BDA ＝45°，求出∠BOC ＝60°，得到△BOC 是等边三角形，得到BC ＝OB ，由等腰三角形的性质求出圆的半径长，求出∠OAD 的度数，即可得到BC 的长，∠CAO 的度数．【解答】解：∵BC ∥AD ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴AB̂=CD ̂， ∴∠AOB ＝∠COD ，∠CAD ＝∠∵DB ⊥AC ，∴∠AED ＝90°，∴∠CAD ＝∠BDA ＝45°，∴∠AOB ＝2∠ADB ＝90°，∠COD ＝2∠CAD ＝90°，∵∠AOD ＝120°，∴∠BOC ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ，∵OA ＝OD ，∠AOD ＝120°，∴∠OAD ＝∠ODA ＝30°，∴AD =√3OA =√3，∴BC＝1，∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，证明△OBC是等边三角形．8．（2023•山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝40°，再利用直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵BD经过圆心O，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠BAC＝40°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°，故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．9．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】根据垂径定理得OB ⊥AC ，在根据勾股定理得OA =√AD 2+OD 2=√82+62=10，即可求出答案．【解答】解：∵AD ＝CD ＝8，∴OB ⊥AC ，在Rt △AOD 中，OA =√AD 2+OD 2=√82+62=10，∴OB ＝10，∴BD ＝10﹣6＝4．故选：B ．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得OB ⊥AC 是解题的关键．10．（2023•枣庄）如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ．若∠A ＝48°，∠APD ＝80°，则∠B 的度数为（ ）A ．32°B ．42°C ．48°D ．52°【分析】根据外角∠APD ，求出∠C ，由同弧所对圆周角相等即可求出∠B ．【解答】解：∵∠A ＝48°，∠APD ＝80°，∴∠C ＝80°﹣48°＝32°，∵AD̂=AD ̂， ∴∠B ＝∠C ＝32°．故选：A ．【点评】本题考查了圆周角的性质的应用，三角形外角的性质应用是解题关键．11．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC ＝（）A．23°B．24°C．25°D．26°【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解．【解答】解：连接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半径OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BAC=1∠BOC＝26°，2故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．12．（2023•湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC ＝70°，则∠ADC＝（）A．70°B．60°C．50°D．40°【分析】先根据外角性质得∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，，再由AB是⊙O的直径得∠ADB＝90°即可求得∠ADC．【解答】解：∵∠C＝20°，∠BPC＝70°，∴∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDC＝40°，故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的外角性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．13．（2022•泰安）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．2√3B．3√2C．2√5D．√5【分析】根据圆周角定理及推论解答即可．【解答】解：方法一：连接CO并延长CO交⊙O于点E，连接AE，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠ACD＝∠CAB，∴∠ACD＝∠ACO，∴AE＝AD＝2，∵CE是直径，∴∠EAC＝90°，在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，∴EC=√22+42=2√5，∴⊙O 的半径为√5．方法二：连接BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACD ＝∠CAB ，∴AD̂=BC ̂， ∴AD ＝BC ＝2，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=2√5，∴圆O 的半径为√5．故选：D ．【点评】本题主要考查了圆周角定理及推论，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．14．（2022•贵阳）如图，已知∠ABC ＝60°，点D 为BA 边上一点，BD ＝10，点O 为线段BD 的中点，以点O 为圆心，线段OB 长为半径作弧，交BC 于点E ，连接DE ，则BE 的长是（ ）A ．5B ．5√2C ．5√3D ．5√5【分析】解法一：根据题意和等边三角形的判定，可以得到BE 的长．解法二：先根据直径所对的圆周角是90°，然后根据直角三角形的性质和直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，可以求得BE的长．【解答】解：解法一：连接OE，BD＝5，由已知可得，OE＝OB=12∵∠ABC＝60°，∴△BOE是等边三角形，∴BE＝OB＝5，故选：A．解法二：由题意可得，BD为⊙O的直径，∴∠BED＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠EDB＝30°，∵BD＝10，∴BE＝5，故选：A．【点评】本题考查等边三角形的判定与性质、与圆相关的知识，解答本题的关键是明确题意，求出△OBE 的形状．15．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．130°【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案．【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，∵∠DOE＝130°，∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．16．（2022•贵港）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABC＝90°，进而求出∠CAB，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠CAB＝90°，∵∠ACB＝40°，∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，由圆周角定理得：∠BPC＝∠CAB＝50°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．17．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F ̂上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（）是劣弧DEA．115°B．118°C．120°D．125°【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边△ABC的每一个内角是60°，求出∠EFD＝120°．【解答】解：四边形EFDA是⊙O内接四边形，∴∠EFD+∠A＝180°，∵等边△ABC的顶点A在⊙O上，∴∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，故选：C．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质，掌握两个性质定理的应用是解题关键．18．（2022•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD 的面积为（）A．36√3B．24√3C．18√3D．72√3【分析】根据AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定理求出CD，即可求出四边形的面积．【解答】解：如图，连接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，在Rt△COE中，EC=√OC2−OE2=√36−9=3√3，∴CD＝2CE＝6√3，∴四边形ACBD的面积=12AB⋅CD=12×12×6√3=36√3．故选：A．【点评】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．19．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．1.0厘米/分B．0.8/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：∵AB＝16厘米，∴AD=12AB＝8（厘米），∵OA＝10厘米，∴OD=√OA2−AD2=√102−82=6（厘米），∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20．（2021•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2B．52C．3D．√10【分析】当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可．【解答】解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴M在以A为圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC=√32+42=5，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故选：A．【点评】本题主要考查圆的性质，关键是要考虑到点M在以A为圆心，3为半径的圆上．21．（2021•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（）A．30°B．45°C．50°D．65°【分析】由圆内接四边形的性质得∠D度数为60°，再由∠APC为△PCD的外角求解．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．故选：D．22．（2021•雅安）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（）A．45°B．60°C．72°D．36°【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD，根据菱形的性质得到∠BOD＝∠BCD，计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD ＝180°，由圆周角定理得：∠BOD ＝2∠BAD ，∵四边形OBCD 为菱形，∴∠BOD ＝∠BCD ，∴∠BAD+2∠BAD ＝180°，解得：∠BAD ＝60°，故选：B ．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．23．（2021•眉山）如图，在以AB 为直径的⊙O 中，点C 为圆上的一点，BĈ=3AC ̂，弦CD ⊥AB 于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G ．若点H 是AG 的中点，则∠CBF 的度数为（ ）A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°【分析】由圆周角定理可求∠ACB ＝90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC ＝22.5°，∠CAB ＝67.5CAH ＝∠ACE ＝22.5°，即可求解．【解答】解：∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ABC+∠CAB ＝90°，∵BĈ=3AC ̂， ∴∠CAB ＝3∠ABC ，∴∠ABC ＝22.5°，∠CAB ＝67.5°，∵CD ⊥AB ，∴∠ACE ＝22.5°，∵点H 是AG 的中点，∠ACB ＝90°，∴AH ＝CH ＝HG ，∴∠CAH ＝∠ACE ＝22.5°，∵∠CAF ＝∠CBF ，∴∠CBF ＝22.5°，故选：C ．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB 的度数是本题的关键．二．填空题（共25小题）24．（2023•长沙）如图，点A ，B ，C 在半径为2的⊙O 上，∠ACB ＝60°，OD ⊥AB ，垂足为E ，交⊙O 于点D ，连接OA ，则OE 的长度为 ．【分析】连接OB ，利用圆周角定理及垂径定理易得∠AOD ＝60°，则∠OAE ＝30°，结合已知条件，利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．【解答】解：如图，连接OB ，∵∠ACB ＝60°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝120°，∵OD ⊥AB ，∴AD̂=BD ̂，∠OEA ＝90°， ∴∠AOD ＝∠BOD =12∠AOB ＝60°，∴∠OAE ＝90°﹣60°＝30°，∴OE =12OA =12×2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得∠AOD ＝60°是解题的关键．25．（2023•深圳）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝°．【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用圆周角定理可得∠ADC＝∠ABC＝20°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC＝70°，从而利用角平分线的定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝20°，∴∠ADC＝∠ABC＝20°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝70°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝35°，∴∠BAD=12故答案为：35．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．26．（2023•东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为寸．【分析】连接OA ，设⊙O 的半径是r 寸，由垂径定理得到AE =12AB ＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r ﹣1）2+52，求出r ，即可得到圆的直径长．【解答】解：连接OA ，设⊙O 的半径是r 寸，∵直径CD ⊥AB ，∴AE =12AB =12×10＝5寸，∵CE ＝1寸，∴OE ＝（r ﹣1）寸，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r ﹣1）2+52，∴r ＝13，∴直径CD 的长度为2r ＝26寸．故答案为：26．【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接OA 构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理列出关于圆半径的方程．27．（2023•郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P 处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是110°，则共需安装360°÷110°＝3311≈4台．【解答】解：∵∠P＝55°，∴∠P所对弧所对的圆心角是110°，，∵360°÷110°＝3311∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．故答案为：4．【点评】此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来．28．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是．【分析】由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠D＝100°，∴∠B＝80°．故答案为：80°．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质．29．（2023•南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是．【分析】根据垂径定理得OM⊥AC，根据圆周角定理得∠C＝90°，根据勾股定理得AB=√122+52=13，BC＝2.5，OD∥BC，所以OD⊥AC，MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．根据三角形中位线定理得OD=12【解答】解：∵点M是弧AC的中点，∴OM⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵AC＝12，BC＝5，∴AB=√122+52=13，∴OM＝6.5，∵点D是弦AC的中点，∴OD=1BC＝2.5，OD∥BC，2∴OD⊥AC，∴O、D、M三点共线，∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握和运用这些定理是解题的关键．30．（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC 的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB ＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．31．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O ，点C 在弦AB 上，AC ＝11，BC ＝21，OC ＝13，则这个花坛的面积为 .（结果保留π）【分析】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 于D ，∵OD ⊥AB ，OD 过圆心，AB 是弦，∴AD ＝BD =12AB =12（AC+BC ）=12×（11+21）＝16， ∴CD ＝BC ﹣BD ＝21﹣16＝5，在Rt △COD 中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt △BOD 中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S ⊙O ＝π×OB2＝400π，故答案为：400π．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．32．（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB ＝12cm ，BC ＝5cm ，则圆形镜面的半径为 ．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√122+52=13（cm），所以圆形镜面的半径为13cm，2cm．故答案为：132【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．33．（2022•阿坝州）如图，点A，B C在⊙O上，若∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为．【分析】根据圆周角定理即可得出答案．∠AOB，∠ACB＝30°，【解答】解：∵∠ACB=12∴∠AOB＝2∠ACB＝2×30°＝60°．故答案为：60°．【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．34．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O ̂所对的圆周角，则∠APD的度数是．于点D．若∠APD是AD【分析】由垂径定理得出AD̂=BD ̂，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD =12∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴AD̂=BD ̂， ∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD =12∠AOB ＝60°，∴∠APD =12∠AOD =12×60°＝30°，故答案为：30°．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，35．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB 长20厘米，弓形高CD 为2厘米，则镜面半径为 厘米．【分析】根据题意，弦AB 长20厘米，弓形高CD 为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．【解答】解：如图，点O 是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC ，则点C ，点D ，点O 三点共线，由题意可得：OC ⊥AB ，AC =12AB ＝10（厘米），设镜面半径为x 厘米，由题意可得：x2＝102+（x ﹣2）2，∴x ＝26，∴镜面半径为26厘米，故答案为：26．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解．36．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 ．【分析】根据已知，列出关于α，β的方程组，可解得α，β的度数，即可求出答案．【解答】解：根据题意得：{αβ=0.6α+=360°，解得{α=135°β=225°， ∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，故答案为：90°．【点评】本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为360°和已知，列出方程组．37．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB ＝20cm ，底面直径BC ＝12cm ，球的最高点到瓶底面的距离为32cm ，则球的半径为 cm （玻璃瓶厚度忽略不计）．【分析】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DM=1AD2＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），AD＝6（cm），由垂径定理得：AM＝DM=12在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，即62+（12﹣r）2＝r2，解得：r＝7.5，即球的半径为7.5cm，故答案为：7.5．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．38．（2021•盘锦）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是．【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2√3，所以A（﹣2√3，0），B （0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙D的直径，∴D点为AB的中点，在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，AB＝2，∴OB=12∴OA=√3OB＝2√3，∴A（﹣2√3，0），B（0，2），∴D点坐标为（−√3，1）．故答案为（−√3，1）．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．39．（2021•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O 的半径为cm．【分析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．【解答】解：如图，连接OC．∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5（cm），∴⊙O的半径为5cm．故答案为：5．【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△AOC是等边三角形．40．（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B 在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于；（Ⅱ）以AB O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可．（Ⅱ）取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC 交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．【解答】解：（Ⅰ）AC=√22+12=√5．故答案为：√5．（Ⅱ）如图，点P即为所求．故答案为：如图，取BC与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接OD并延长OD交⊙O于点E，连接AE 交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，则OE为△BFA的中位线，则AB＝AF，连接FG延长FG交AB于点P，则BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△FAP≌△BAC，则点P即为所求．【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．41．（2021•黑龙江）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为．【分析】延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小．【解答】解：延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小，最小值为线段DE的长．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO，∴CDAO =BCBO，∴CD4=36，∴CD＝2，在Rt△CDE中，DE=√CD2+CE2=√22+62=2√10，∴PC+PD的最小值为2√10．故答案为：2√10．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．42．（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是CD̂的中点，则∠ABE＝．【分析】由∠ABC＝90°，可得CD是⊙O的直径，由点B是CD̂的中点以及三角形的内角和，可得∠BDC＝∠BCD＝45°，利用三角形的内角和求出∠ACB，再根据角的和差关系求出∠DCE，由圆周角定理可得∠ABE ＝∠DCE得出答案．【解答】解：如图，连接DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直径，∵点B是CD̂的中点，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，故答案为：13°．【点评】本题考查圆周角定理，弦、弧、圆心角之间的关系以及三角形内角和定理，掌握圆周角定理和推论是正确计算的前提．43．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为 ．【分析】设直线AB 交y 轴于C ，过O 作OD ⊥AB 于D ，先求出A 、C 坐标，得到OA 、OC 长度，可得∠CAO ＝30°，Rt △AOD 中求出AD 长度，从而根据垂径定理可得答案．【解答】解：设直线AB 交y 轴于C ，过O 作OD ⊥AB 于D ，如图：在y =√33x +2√33中，令x ＝0得y =2√33, ∴C(0,2√33),OC =2√33, 在y =√33x +2√33中令y ＝0得√33x +2√33=0,解得x ＝﹣2,∴A(﹣2,0),OA ＝2,Rt △AOC 中，tan ∠CAO =OC OA =2√332=√33,∴∠CAO＝30°，Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×√3=√3，2∵OD⊥AB，∴AD＝BD=√3，∴AB＝2√3，故答案为：2√3．得到【点评】本题考查一次函数、锐角三角函数及垂径定理等综合知识，解题的关键是利用tan∠CAO=OCOA∠CAO＝30°．44．（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D ＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．45．（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC 的长为．【分析】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，根据CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根据垂径定理得到AM＝4，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．【解答】解：连接OA，∵OM：OC＝3：5，设OC＝5x，OM＝3x，则OD＝OC＝5x，∵CD＝10，∴OM＝3，OA＝OC＝5，∵AB⊥CD，AB，∴AM＝BM=12在Rt△OAM中，OA＝5，AM=√OA2−OM2=√52−32=4，当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC=√AM2+CM2=√42+82=4√5；当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC=√AM2+MC2=√42+22=2√5．综上所述，AC的长为4√5或2√5．故答案为：4√5或2√5．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．46．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB ＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为cm．【分析】先根据垂径定理的推论得到CD 过圆心，AD ＝BD ＝3.2cm ，设圆心为O ，连接OA ，如图，设⊙O 的半径为Rcm ，则OD ＝（R ﹣1.6）cm ，利用勾股定理得到（R ﹣1.6）2+3.22＝R2，然后解方程即可．【解答】解：∵C 点是AB̂的中点，CD ⊥AB ， ∴CD 过圆心，AD ＝BD =12AB =12×6.4＝3.2（cm ），设圆心为O ，连接OA ，如图，设⊙O 的半径为Rcm ，则OD ＝（R ﹣1.6）cm ，在Rt △OAD 中，（R ﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R ＝4（cm ），所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm ．故答案为4．【点评】本题考查了垂径定理的应用：利用垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．47．（2021•德阳）在锐角三角形ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝2，设BC 边上的高为h ，则h 的取值范围是 ．【分析】如图，BC 为⊙O 的弦，OB ＝OC ＝2，证明△OBC 为等边三角形得到∠BOC ＝60°，则根据圆周角定理得到∠BAC ＝30°，作直径BD 、CE ，连接BE 、CD ，则∠DCB ＝∠EBC ＝90°，当点A 在DÊ上（不含D 、E 点）时，△ABC 为锐角三角形，易得CD =√3BC ＝2√3，当A 点为DÊ的中点时，A 点到BC 的距离最大，即h 最大，延长AO 交BC 于H ，如图，根据垂径定理得到AH ⊥BC ，所以BH ＝CH ＝1，OH =√3，则AH ＝2+√3，然后写出h 的范围．【解答】解：如图，BC 为⊙O 的弦，OB ＝OC ＝2，∵BC ＝2，∴OB ＝OC ＝BC ，∴△OBC 为等边三角形，∴∠BOC ＝60°，∴∠BAC =12∠BOC ＝30°，作直径BD 、CE ，连接BE 、CD ，则∠DCB ＝∠EBC ＝90°，∴当点A 在DÊ上（不含D 、E 点）时，△ABC 为锐角三角形， 在Rt △BCD 中，∵∠D ＝∠BAC ＝30°，∴CD =√3BC ＝2√3，当A 点为DÊ的中点时，A 点到BC 的距离最大，即h 最大， 延长AO 交BC 于H ，如图，∵A 点为DÊ的中点， ∴AB̂=AC ̂， ∴AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝1，∴OH =√3BH =√3，∴AH ＝OA+OH ＝2+√3，∴h 的范围为2√3＜h ≤2+√3．故答案为2√3＜h ≤2+√3．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理．48．（2023•成都）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A 到B 有一笔直的栏杆，圆心O 到栏杆AB 的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出．（π取3.14，√3取1.73）。
九年级数学上册《第二十四章 圆的有关性质》同步练习及答案-人教版
九年级数学上册《第二十四章圆的有关性质》同步练习及答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长可能是（）A．4 B．5 C．6 D．72．下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C．长度相等的弧是等弧D．直径未必是弦3．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=25°，则∠BOC的度数是（）A．40°B．50°C．55°D．60°4．如图，⊙O的弦长为8cm，⊙O的半径为5cm，则弦AB的弦心距为（）A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm5．如图，在⊙O中，AB是弦∠E=30°，半径为4，OE=6.则AB的长（）A．√7B．√5C．2√7D．2√56．如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE=8，BG=2则⊙O的半径长是（）A．5 B．6.5 C．7.5 D．8⌢的三等分点∠COD=34°，则∠AOE的7．如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点D，C是BE度数是（）A．78°B．68°C．58°D．56°8．如图，在⊙O中AB=CD，若∠ABD=25°，则∠BED的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°二、填空题9．如图，点A、B、C在⊙O上，且AC∥OB，若∠BOC=42°，则∠AOC的度数为∘.10．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结BE.若AB=16，CD= 4，则BE的长为.11．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB=16米，拱高CD=4米，那么桥拱所在圆的半径OA=米．12．如图，在△ABC中∠ACB=90°，∠B=36°以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧DE所对的圆心角的度数．13．如图，点A，B，C在⊙O上∠ACB=35°，则∠OBA等于°.三、解答题14．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O.求证：∠A+∠C=180°.⌢=CD⌢．若∠A=50°，求∠B的度数．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径BC16．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB，若AB=4，CD=1求△BOD的面积．17．如图OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F.（1）求证：AC=BD；（2）若CD=8，EF=2求⊙O的半径.⌢的中点，OD与AC交于点E. 18．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为AC（1）证明：OD∥BC（2）若∠B＝70°求∠CAD的度数；（3）若AB＝4，AC＝3求DE的长.参考答案1．A2．B3．B4．C5．C6．A7．A8．C9．9610．1211．1012．18°13．5514．证明：如图，连接OD ，OB∵BD⌢=BD ⌢，BCD ⌢=BCD ⌢ ∴∠C =12∠BOD ，∠A =12(360°−∠BOD) ∴∠A +∠C =180°.15．解：如图，连接AC ．∵BC⌢=CD ⌢∴∠DAC=∠BAC．∵∠DAB=50°∴∠BAC=12∠DAB=25°．∵AB为直径∴∠ACB=90°．∴∠B=90°−∠BAC=65°．16．解：设OD=x，则OB=x．∵点C是AB的中点，OC过圆心O∴OC⊥AB．∵AB=4，CD=1∴BC=12AB=2OC=OD−CD=x−1．∵在Rt△BCO中OB2=OC2+BC2∴x2=(x−1)2+22．解得，x=52．∴OD=52．∴S△BOD=12⋅OD⋅BC=52．17．（1）证明：∵OA=OB，OE⊥AB，OE是半径∴AF=BF，CF=DF.∴AF−CF=BF−DF即AC=BD（2）解：如图，连结OC∵OE⊥AB，CD=8∴CF=DF=4，∠OFC=90°.∵EF=2∴42+(r−2)2=r2解得r=5.答：⊙O的半径为5.18．（1）证明：∵D为AC⌢的中点∴AD⌢=DC⌢∴OD⊥AC∵AB是直径∴∠ACB=90°，即BC⊥AC∴OD∥BC；（2）解：如图所示，连接OC∵D为AC⌢的中点∴OD⊥AC，AD⌢=DC⌢∴∠AOD=∠COD∵OD∥BC∵∠AOD=∠B=70°∴∠CAD=12∠COD=35°；（3）解：∵AB为直径∴∠ACB=90°∵AB＝4，AC＝3∴BC=√AB2−AC2=√42−32=√7，OA=OD=2 ∵D为AC⌢的中点∴AE=CE∵OA=OB∴OE=12BC=√72∴DE=OD−OE=2−√72.。
2023中考数学真题汇编23 圆的有关性质(含答案与解析)
2023中考数学真题汇编·23圆的有关性质一、单选题1.（2023·江苏连云港）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O 的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（）A ．只有甲是扇形B ．只有乙是扇形C ．只有丙是扇形D ．只有乙、丙是扇形2.（2023·河南）如图，点A ，B ，C 在O 上，若55C ，则AOB 的度数为（）A ．95B ．100C ．105D ．110 3.（2023·云南）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点．若66BOC ，则A （）A ．66B ．33C ．24D ．30 4.（2023·广东）如图，AB 是O 的直径，50BAC ，则D （）A ．20B ．40C ．50D ．80 5.（2023·四川自贡）如图，ABC 内接于O ，CD 是O 的直径，连接BD ，41DCA ，则ABC 的度数是（）A ．41B ．45C ．49D ．59 6.（2023·四川）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，连接CD OD AC ，，，若124BOD ，则ACD 的度数是（）A ．56B ．33C ．28D ．23 7.（2023·四川宜宾）如图，已知点A B C 、、在O 上，C 为 AB 的中点．若35BAC ，则AOB 等于（）A ．140B ．120C ．110D ．70 8.（2023·安徽）如图，正五边形ABCDE 内接于O ，连接,OC OD ，则BAE COD （）A ．60B ．54C ．48D ．36 9.（2023·新疆）如图，在O 中，若30ACB ，6OA ，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A ．12B ．6C ．4D ．210.（2023·浙江温州）如图，四边形ABCD 内接于O ，BC AD ∥，AC BD ．若120AOD ，AD ，则CAO 的度数与BC 的长分别为（）A ．10°，1B ．10°C ．15°，1D ．15°11.（2023·内蒙古赤峰）如图，圆内接四边形ABCD 中，105BCD ，连接OB ，OC ，OD ，BD ，2BOC COD ．则CBD 的度数是（）A ．25B ．30C ．35D ．4012.（2023·四川凉山）如图，在O 中，30OA BC ADB BC ，，OC （）A ．1B ．2C ．D ．413.（2023·山东枣庄）如图，在O 中，弦AB CD ，相交于点P ，若4880A APD ，，则B 的度数为（）A ．32B ．42C ．48D ．5214.（2023·湖北十堰）如图，O 是ABC 的外接圆，弦BD 交AC 于点E ，AE DE ，BC CE ，过点O作OF AC 于点F ，延长FO 交BE 于点G ，若3DE ，2EG ，则AB 的长为()A ．B ．7C ．8D ．15.（2023·浙江杭州）如图，在O 中，半径,OA OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上．若19ABC ，则BAC （）A ．23B ．24C ．25D ．2616.（2023·湖北黄冈）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，连接AC AD BD ，，，若20C ，70BPC ，则ADC （）A ．70B ．60C ．50D ．4017.（2023·湖北宜昌）如图，OA OB OC ，，都是O 的半径，AC OB ，交于点D ．若86AD CD OD ，，则BD 的长为（）．A ．5B ．4C ．3D ．218.（2023·四川内江）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，点P 在 AF 上，Q 是 DE的中点，则CPQ 的度数为（）A ．30B ．36C ．45D ．6019.（2023·河北）如图，点18~P P 是O 的八等分点．若137PP P ，四边形3467P P P P 的周长分别为a ，b ，则下列正确的是()A ．a bB ．a bC ．a bD ．a ，b 大小无法比较20.（2023·浙江台州）如图，O 的圆心O 与正方形的中心重合，已知O 的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）．AB ．2C ．4D ．4 21.（2023·四川宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN AB ．“会圆术”给出 AB 的弧长l 的近似值计算公式：2MN l AB OA ．当4OA ，60AOB 时，则l 的值为（）A ．11 B ．11 C ．8 D ．8 22.（2023·广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为（）A ．20mB ．28mC ．35mD ．40m23.（2023·山东聊城）如图，点O 是ABC 外接圆的圆心，点I 是ABC 的内心，连接OB ，IA ．若35CAI ，则OBC 的度数为（）A ．15B ．17.5C ．20D ．2524.（2023·福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似值为3.1416．如图，O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计O 的面积，可得 的估计值为2，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 的估计值为（）AB ．C ．3D ．25.（2023·全国）如图，AB ，AC 是O 的弦，OB ，OC 是O 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连接CP ．若70BAC ，则BPC 的度数可能是（）A ．70B ．105C ．125D ．155 26.（2023·甘肃兰州）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．（1）以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M ，N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB ；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ，则AOC （）A ．35B ．30C ．25D ．20二、填空题27.（2023·四川南充）如图，AB 是O 的直径，点D ，M 分别是弦AC ，弧AC 的中点，12,5AC BC ，则MD 的长是________．28.（2023·湖南永州）如图，O 是一个盛有水的容器的横截面，O 的半径为10cm ．水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，则水面AB 的宽度为_______cm ．29.（2023·广东深圳）如图，在O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，BAC 的角平分线与O 交于点D ，若20ADC ，则BAD ______°．30.（2023·山东东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ，垂足为点E ，1CE 寸，10AB 寸，则直径CD 的长度是________寸．31.（2023·四川广安）如图，ABC 内接于O ，圆的半径为7，60BAC ，则弦BC 的长度为___________．32.（2023·浙江金华）如图，在ABC 中，6cm,50AB AC BAC ，以AB 为直径作半圆，交BC 于点D ，交AC 于点E ，则弧DE 的长为__________cm ．33.（2023·浙江绍兴）如图，四边形ABCD 内接于圆O ，若100D ，则B 的度数是________．34.（2023·山东烟台）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A ，B ，C ，D ，连接AB ，则BAD 的度数为_______．35.（2023·湖南）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________个．36.（2023·湖南）如图所示，点A 、B 、C 是O 上不同的三点，点O 在ABC 的内部，连接BO 、CO ，并延长线段BO 交线段AC 于点D ．若6040A OCD ，，则ODC _______度．37.（2023·湖南郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P 处安装了一台监视器，它的监控角度是55 ，为了监控整个展区，最少．．需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台．38.（2023·浙江杭州）如图，六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，设正六边形ABCDEF 的面积为1S ，ACE △的面积为2S，则12S S _________．三、解答题39.（2023·甘肃武威）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知O ，A 是O 上一点，只用圆规将O 的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）①以点A 为圆心，OA 长为半径，自点A 起，在O 上逆时针方向顺次截取 AB BCCD ；②分别以点A ，点D 为圆心，AC 长为半径作弧，两弧交于O 上方点E ；③以点A 为圆心，OE 长为半径作弧交O 于G ，H 两点．即点A ，G ，D ，H 将O 的圆周四等分．40.（2023·湖北武汉）如图，,,OA OB OC 都是O 的半径，2A CB BA C ．（1）求证：2AOB BOC ；（2）若4,5AB BC ，求O 的半径．41.（2023·浙江金华）如图，点A 在第一象限内，A 与x 轴相切于点B ，与y 轴相交于点,C D ．连接AB ，过点A 作AH CD 于点H ．（1）求证：四边形ABOH 为矩形．（2）已知A 的半径为4，OB CD 的长．42.（2023·上海）如图，在O 中，弦AB 的长为8，点C 在BO 延长线上，且41cos ,52ABC OC OB ．（1）求O 的半径；（2）求BAC 的正切值．43.（2023·贵州）如图，已知O 是等边三角形ABC 的外接圆，连接CO 并延长交AB 于点D ，交O 于点E ，连接EA ，EB ．（1）写出图中一个度数为30 的角：_______，图中与ACD 全等的三角形是_______；（2）求证：AED CEB ∽△△；（3）连接OA ，OB ，判断四边形OAEB 的形状，并说明理由．【参考答案与解析】1.【答案】B【解析】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O 的两条线段与一段圆弧所围成的图形，只有乙是扇形，故选：B ．2.【答案】D【解析】解：∵55C ，∴由圆周角定理得：2110AOB C ∠∠，故选：D ．3.【答案】B【解析】解：∵ BC BC ，66BOC ，∴1332A BOC ，故选：B ．4.【答案】B【解析】解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ，∵50BAC ，∴9040ABC BAC ，∵ AC AC ，∴40D ABC ；故选：B ．5.【答案】C【解析】解：∵CD 是O 的直径，∴90DBC ，∵ AD AD ，∴41ABD ACD ，∴904149ABC DBC DBA ，故选：C ．6.【答案】C【解析】解：∵124BOD ，∴18012456AOD Ð=°-°=°，∴1282ACD AOD，故选：C ．7.【答案】A 【解析】解：连接OC ，如图所示：∵点A B C 、、在O 上，C 为 AB 的中点， BCAC ，12BOC AOC AOB，∵35BAC ，根据圆周角定理可知270BOC BAC ，2140AOB BOC ，故选：A ．8.【答案】D【解析】∵360360180,55BAE COD，∴3603601803655BAE COD ，故选：D ．9.【答案】B 【解析】解：∵ AB AB ，30ACB ，∴60AOB ，∴260π66π360S．故选：B.10.【答案】C【解析】解：过点O 作OE AD 于点E ，如图所示：∵BC AD ∥，∴CBD ADB ，∵CBD CAD ，∴CAD ADB ，∵AC BD ，∴90AFD ，∴45CAD ADB CBD BCA ，∵120AOD ，OA OD ，AD ∴30OAD ODA ，1602ABD ACD AOD ，1322AE AD ，∴15CAO CAD OAD ，1cos30AE OA OC OD，105BCD BCA ACD ，∴290,18030COD CAD CDB BCD CBD ，∴12CD CF CD∴1BC ；故选：C ．11.【答案】A【解析】解：∵圆内接四边形ABCD 中，105BCD ，∴18010575A∴2150BOD A∵2BOC COD ，∴1503COD BOD ，∵ CDCD ，∴11502522CBD COD ,故选：A ．12.【答案】B 【解析】解：连接OB，如图所示，，30ADB ∵，223060AOB ADB ，∵OA BC ，60COE BOE，1122CE BE BC 在Rt OCE中，60COE CE ，2sin 60CE OC ，故选：B ．13.【答案】A 【解析】解：48A D A ∵，，48D ，80APD APD B D ∵，，804832B APD D ，故选：A ．14.【答案】B【解析】解：作BM AC 于点M，在AEB △和DEC 中，A D AE ED AEB DEC，∴ ASA AEB DEC ≌ ，∴EB EC ，又∵BC CE ，∴BE CE BC ，∴EBC 为等边三角形，∴60GEF ，BC EC ∴30EGF ，∵2EG ，OF AC ，30EGF ，∴112EF EG ，又∵3AE ED ，OF AC ，∴4CF AF AE EF ，∴285AC AF EC EF CF ，，∴5BC EC ，∵60BCM ，∴∠30MBC ，∴52CM，BM ∴112AM AC CM ，∴7AB ．15.【答案】D【解析】解：如图，∵半径,OA OB 互相垂直， 90AOB ，ADB 所对的圆心角为270 ，ADB 所对的圆周角12701352ACB ，又∵19ABC ， 18026BAC ACB ABC ，故选：D ．16.【答案】D【解析】解：∵20C ，∴20B ，∵70BPC ，∴702050BDP BPC B ，又∵AB 为直径，即90ADB ，∴905040ADC ADB BDP ，故选：D ．17.【答案】B【解析】解：∵8AD CD ，∴点D 为AC 的中点，∵,AO CO ∴OD AC ，由勾股定理得，10,OC ∴10,OB ∴1064,BD OB OD 故选：B ．18.【答案】C【解析】如图，连接,,,OC OD OQ OE ，∵正六边形ABCDEF ，Q 是 DE的中点，∴360606COD DOE，1302DOQ EOQ DOE ，∴90COQ COD DOQ ，∴1452CPQ COQ ，故选：Ｃ．19.【答案】A【解析】连接1223,PP P P ，∵点18~P P 是O 的八等分点，即 1223345566778148PP P P P P P P P P P P P P P P ∴12233467PP P P P P P P ， 464556781178P P P P P P P P P P PP∴4617P P PP 又∵137P P P 的周长为131737a PP PP P P ，四边形3467P P P P 的周长为34466737b P P P P P P P P ，∴ 34466737131737b a P P P P P P P P PP PP P P 12172337131737PP PP P P P P PP PP P P 122313PP P P PP 在123P P P 中有122313PP P P PP ，∴1223130b a PP P P PP 故选：A ．20.【答案】D【解析】解：设正方形四个顶点分别为A B C D 、、、，连接OA 并延长，交O 于点E ，过点O 作OF AB ，如下图：则EA 的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，由题意可得：4OE AB ，122AF OF AB由勾股定理可得：OA ∴4AE ，故选：D.21.【答案】B【解析】连接ON ，根据题意， AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN AB ，得ON AB ，∴点M ，N ，O 三点共线，∵4OA ，60AOB ，∴OAB 是等边三角形，∴4,60sin 602OA AB OAN ON OA ，，∴4,60sin 602OA AB OAN ON OA ，∴ 2244114MN l AB OA故选：B ．22.【答案】B【解析】解：如图，由题意可知，37m AB ，7m CD ，主桥拱半径R ， 7m OD OC CD R ，OC ∵是半径，且OC AB ，137m 22AD BD AB，在Rt △ADO 中，222AD OD OA ， 2223772R R ，解得：156528m 56R ，故选：B.23.【答案】C【解析】解：连接OC ，∵点I 是ABC 的内心，35CAI ，∴270BAC CAI ，∴2140BOC BAC ，∵OB OC ，∴1801801402022BOC OBC OCB，故选：C ．24.【答案】C【解析】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30 ，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形OAB ，过点B 作BC OA 交OA 于点于点C ，∵30AOB ，∴1122BC OB ，则1111224OAB S ，故正十二边形的面积为1121234OAB S，圆的面积为113 ，用圆内接正十二边形面积近似估计O 的面积可得3 ，故选：C ．25.【答案】D【解析】解：∵ BC BC ，70BAC ，∴2140BOC BAC ，∵140BPC BOC PCO ，∴BPC 的度数可能是15526.【答案】A【解析】解：∵35MNO ，MO NO ，∴35NMO MNO ，∴23570AOB ，∵OA OB ，C 为AB 的中点，∴35AOC BOC ，故选A ．27.【答案】4【解析】解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ，∵12,5AC BC ，∴13AB ，∴11322AO AB ，∵点D ，M 分别是弦AC ，弧AC 的中点，∴OM AC ，且6AD CD ，∴52OD ，∴4MD OM OD AO OD ，故答案为：4．28.【答案】16【解析】解：如图所示，过点O 作OD AB 于点D ，交O 于点E ，则12AD DB AB ，∵水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，O 的半径为10cm ．∴1046OD cm ，在Rt AOD 中，8ADcm ∴216AB AD cm 故答案为：16．29.【答案】35【解析】解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ，∵ AC AC ，20ADC ，∴20ADC ABC ，∴70BAC ，∵AD 平分BAC ，∴1352BAD BAC；故答案为：35．30.【答案】26【解析】解：连接OA ，AB CD ∵，且10AB 寸，5AE BE 寸，设圆O 的半径OA 的长为x ，则OC OD x ，1CE Q ，1OE x ，在直角三角形AOE 中，根据勾股定理得：222(1)5x x ，化简得：222125x x x ，即226x ，26CD （寸）．故答案为：26．31.【答案】【解析】解：如图，连接,OB OC ，过点O 作OD BC 于点D ，60BAC ∵，2120BOC BAC ，,OB OC OD BC Q ，1602BOD BOC ，2BC BD ，∵圆的半径为7，7OB ，sin 60BD OB ，2BC BD故答案为：32.【答案】56【解析】解：如图，连接AD ，OD ，OE ，∵AB 为直径，∴AD AB ，∵6cm,50AB AC BAC ，∴BD CD ，1252BAD CAD BAC，∴250DOE BAD ，113cm 22OD AB AC，∴弧DE 的长为 50351806cm ，故答案为：56 cm ．33.【答案】80【解析】解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴180B D �邪＝，∵100D ，∴18080B D ＝﹣＝．故答案为：80 ．34.【答案】52.5【解析】方法一∶解：如图：连接,,,,,OA OB OC OD AD AB ，由题意可得：OA OB OC OD ，502525AOB ，15525130AOD ，∴ 118077.52OAB AOB ， 1180252OAD AOB ，∴52.5OAB A BAD O D ．故答案为52.5 ．方法二∶解∶连接,OB OD ，由题意可得：15550105BAD ，根据圆周角定理，知1110552.522BAD BOD ．故答案为：52.5 ．35.【答案】10【解析】解：根据题意可得：∵正五边形的一个外角360725，∴1272 ，∴18072236AOB ，∴共需要正五边形的个数3601036（个），故答案为：10．36.【答案】80【解析】解：在O 中，2260120BOC A Q ，1204080ODC BOC OCD 故答案为：80．37.【答案】4【解析】解：∵55P ，∴P 对应的圆心角的度数为110 ，∵360110 3.27 ，∴最少．．需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台；故答案为：438.【答案】2【解析】如图所示，连接,,OA OC OE ，∵六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，∴AC AE CE ，∴ACE △是O 的内接正三角形，∵120B ，AB BC ，∴ 1180302BAC BCA B ，∵60CAE ，∴30OAC OAE ，∴30BAC OAC ，同理可得，30BCA OCA ，又∵AC AC ，∴ ASA BAC OAC ≌ ，∴BAC OAC S S ，由圆和正六边形的性质可得，BAC AFE CDE S S S ，由圆和正三角形的性质可得，OAC OAE OCE S S S ，∵ 2122BAC AFE CDE OAC OAE OCE OAC OAE OCE S S S S S S S S S S S ，∴122S S ．故答案为：2．39.【答案】解：如图所示：【解析】根据作图提示逐步完成作图即可．再根据图形基本性质进行证明即可．40.【答案】（1）证明：∵ AB AB ，∴12ACB AOB，∵ BC BC ，∴12BAC BOC ，2ACB BAC ∵，2AOB BOC ．（2）解：过点O 作半径OD AB 于点E ，则1,2 DOB AOB AE BE ，2AOB BOC Ð=ÐQ ，∴DOB BOC ，BD BC ，4, ∵AB BC ，2, BE DB在Rt BDE △中，90DEB Q 1 DE ，在Rt BOE 中，90OEB ∵，222(1)2 OB OB ，52OB ，即O 的半径是52．【解析】（1）由圆周角定理得出，11,22ACB AOB BAC BOC ，再根据2A CB BA C ，即可得出结论；（2）过点O 作半径OD AB 于点E ，根据垂径定理得出1,2 DOB AOB AE BE ，证明DOB BOC ，得出BD BC ，在Rt BDE △中根据勾股定理得出1DE ，在Rt BOE 中，根据勾股定理得出222(1)2OB OB ，求出OB 即可．41.【答案】（1）证明：∵A 与x 轴相切于点B ，∴AB x 轴．∵,AH CD HO OB ，∴90AHO HOB OBA ，∴四边形AHOB 是矩形．（2）如图，连接AC ．∵四边形AHOB 是矩形，AH OB在Rt AHC 中，222CH AC AH ，3CH ．∵点A 为圆心，AH CD ，2CD CH 6 ．【解析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．42.【答案】（1）解：如图，延长BC ，交O 于点D ，连接AD，由圆周角定理得：90BAD ，∵弦AB 的长为8，且4cos 5ABC ，845AB BD BD ，解得10BD ，O 的半径为152BD ．（2）解：如图，过点C 作CE AB 于点E，O ∵ 的半径为5，5OB ，12OC OB ∵，31522BC OB ，4cos 5ABC ∵，45BE BC ，即41552BE ，解得6BE ，2AE AB BE，92CE ，则BAC 的正切值为99224CE AE ．【解析】（1）延长BC ，交O 于点D ，连接AD ，先根据圆周角定理可得90BAD ，再解直角三角形可得10BD ，由此即可得；（2）过点C 作CE AB 于点E ，先解直角三角形可得6BE ，从而可得2AE ，再利用勾股定理可得92CE ，然后根据正切的定义即可得．43.【答案】（1）1 、2 、3 、4 ；BCD △（2）解：∵O 是等边三角形ABC 的外接圆，∴CO 是ACB 的角平分线，60ACB ABC CAB ，∴1230 ，∵CE 是O 的直径，∴90CAE CBE ，∴3430 ，∵CO 是ACB 的角平分线，∴90ADC BDC ，56903060 ，又∵56 ，3=230 ，∴AED CEB ∽△△；（3）解：连接OA ，OB ，∵OA OE OB r ，5660 ，∴OAE △，OBE △是等边三角形，∴OA OB AE EB r ，∴四边形OAEB 是菱形；【解析】（1）根据外接圆得到CO 是ACB 的角平分线，即可得到30 的角，根据垂径定理得到90ADC BDC ，即可得到答案；（2）根据（1）得到3=2 ，根据垂径定理得到5660 ，即可得到证明；（3）连接OA ，OB ，结合5660 得到OAE △，OBE △是等边三角形，从而得到OA OB AE EB r ，即可得到证明；。
圆的有关性质(含答案)-
13．圆的有关性质A 卷1．边长为a 的正三角形ABC 外接圆半径是_____________。
2．从圆 内一点P 引两条弦AB 与CD ，则∠APC 与弧AC 、BC 度数间的关系是_________。
3．从圆外一点P 引圆的两条割线PBA 与PDC ，则∠P 与弧BD 、AC 度数间的关系是____________。
4．锐角三角形的外心在__________，直角三角形的外心在__________，钝角三角形的外心在_________。
5．若等腰Rt △ABC 的外接圆半径为1，则它的面积是___________。
6．若等腰Rt △ABC 内切圆半径为1，则该三角形的面积是___________。
7．已知⊙O 的弦BC 是其半径OA 的中垂线，则弧BAC 的度数是______________。
8．如果一个圆内接四边形的三个内角度数之比为1：3：5，则第四个内角的度数是_________。
9．半径为R 的弦AB=2r ，则AB 的弦心距是___________。
10．如图1，△ABC 内接于⊙O ，∠B=60°，AD 是直径，过点D 作⊙O 的切线交AC 的延长线于E ，如果CE=36，AB=2，则BC=____________。
B 卷1．一个等边三角形的边长、外接圆半径、内切圆半径之比是__________。
2．已知⊙O 的半径r = 2cm ，弦AB=23cm ，则AB 的弦心距是____________。
3．如果一条弦的弦心距与弦长的比为1：23，则该弦所对弧的度数为___________。
4．已知等腰△ABC 的外心是O ，AB=AC ，∠BOC=100°，则∠ABC=_____________。
5．一个等腰直角三角形外接圆半径与其内切圆半径之比是___________。
6．一个正方形的外接圆半径与其内切圆半径之比是______________。
7．已知四边形ABCD 内接于圆，且弧AB 、BC 的度数分别为140°和100°，若弧AD=2·弧DC ，则∠BCD=_____________。
中考数学分类(含答案)圆的有关性质
中考数学分类（含答案）圆的有关性质一、选择题 1．（2010安徽省中中考） 如图，⊙O 过点B 、C 。
圆心O 在等腰直角△ABC 的内部，∠BAC ＝900，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为………………（ ） A ）10B ）32C ）23D ）13【答案】C 2．（2010安徽蚌埠二中）以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后 与直径AB 交于点D ，若32=DB AD ，且10=AB ，则CB 的 长为A ．54B ．34C ． 24D ．4【答案】A3．（2010安徽芜湖）如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为（）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】D 4．（2010甘肃兰州） 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ． 2个D ． 1个【答案】B5．（2010甘肃兰州）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为A．15︒B．28︒C．29︒D．34︒【答案】B6．（2010江苏南通）如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC 的长是A．1 BCD．2【答案】D7．（2010山东烟台）如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O 于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤,正确结论的个数是A、2B、3C、4D、5【答案】B8．（2010台湾）如图(二)，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD与AC交于E点，且OD⊥AC。
若OE=4，ED=2，则BC长度为何？(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 。
圆的有关性质(共46题)(解析版)--2023年中考数学真题分项汇编
圆的有关性质(46题)一、单选题1(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 是⊙O 的直径，连接BD ，∠DCA =41°，则∠ABC 的度数是()A.41°B.45°C.49°D.59°【答案】C 【分析】由CD 是⊙O 的直径，得出∠DBC =90°，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出∠ABD =∠ACD =41°，进而即可求解．【详解】解：∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC =90°，∵AD =AD，∴∠ABD =∠ACD =41°，∴∠ABC =∠DBC -∠DBA =90°-41°=49°，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠ADB =30°，BC =23，则OC =()A.1B.2C.23D.4【答案】B【分析】连接OB ，由圆周角定理得∠AOB =60°，由OA ⊥BC 得，∠COE =∠BOE =60°，CE =BE =3，在Rt △OCE 中，由OC =CE sin60°，计算即可得到答案．【详解】解：连接OB ，如图所示，，∵∠ADB =30°，∴∠AOB =2∠ADB =2×30°=60°，∵OA ⊥BC ，∴∠COE =∠BOE =60°，CE =BE =12BC =12×23=3，在Rt △OCE 中，∠COE =60°，CE =3，∴OC =CE sin60°=332=2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．3(2023·四川宜宾·统考中考真题)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN ⊥AB ．“会圆术”给出AB 的弧长l 的近似值计算公式：l =AB +MN 2OA ．当OA =4，∠AOB =60°时，则l 的值为()A.11-23B.11-43C.8-23D.8-43【答案】B【分析】连接ON ,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可．【详解】连接ON ，根据题意，AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN ⊥AB ，得ON ⊥AB ，∴点M ，N ，O 三点共线，∵OA =4，∠AOB =60°，∴△OAB 是等边三角形，∴OA =AB =4,∠OAN =60°，ON =OA sin60°=23，∴OA =AB =4,∠OAN =60°，ON =OA sin60°=23∴l =AB +MN 2OA=4+4-23 24=11-43．故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．4(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，已知点A 、B 、C 在⊙O 上，C 为AB的中点．若∠BAC =35°，则∠AOB 等于()A.140°B.120°C.110°D.70°【答案】A【分析】连接OC ，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．【详解】解：连接OC ，如图所示：∵点A 、B 、C 在⊙O 上，C 为AB的中点，∴BC =AC ，∴∠BOC =∠AOC =12∠AOB ，∵∠BAC =35°，根据圆周角定理可知∠BOC =2∠BAC =70°，∴∠AOB =2∠BOC =140°，故选：A ．【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．5(2023·安徽·统考中考真题)如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，连接OC ,OD ，则∠BAE -∠COD =()A.60°B.54°C.48°D.36°【答案】D【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．【详解】∵∠BAE =180°-360°5,∠COD =360°5，∴∠BAE -∠COD =180°-360°5-360°5=36°，故选：D ．【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．6(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O 的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是()A.只有甲是扇形B.只有乙是扇形C.只有丙是扇形D.只有乙、丙是扇形【答案】B 【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成．【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O 的两条线段与一段圆弧所围成的图形，只有乙是扇形，故选：B ．【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键．7(2023·云南·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点．若∠BOC =66°，则∠A =()A.66°B.33°C.24°D.30°【答案】B 【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵BC =BC，∠BOC =66°，∴∠A =12∠BOC =33°，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8(2023·新疆·统考中考真题)如图，在⊙O 中，若∠ACB =30°，OA =6，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A.12πB.6πC.4πD.2π【答案】B【分析】根据圆周角定理求得∠AOB =60°，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵AB =AB ，∠ACB =30°，∴∠AOB =60°，∴S =60360π×62=6π．故选：B .【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．9(2023·浙江温州·统考中考真题)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC ∥AD ，AC ⊥BD ．若∠AOD =120°，AD =3，则∠CAO 的度数与BC 的长分别为()A.10°，1B.10°，2C.15°，1D.15°，2【答案】C【分析】过点O 作OE ⊥AD 于点E ，由题意易得∠CAD =∠ADB =45°=∠CBD =∠BCA ，然后可得∠OAD =∠ODA =30°，∠ABD =∠ACD =12∠AOD =60°，AE =12AD =32，进而可得CD =2OC =2,CF =12CD =22，最后问题可求解．【详解】解：过点O 作OE ⊥AD 于点E ，如图所示：∵BC∥AD，∴∠CBD=∠ADB，∵∠CBD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADB，∵AC⊥BD，∴∠AFD=90°，∴∠CAD=∠ADB=45°=∠CBD=∠BCA，∵∠AOD=120°，OA=OD，AD=3，∴∠OAD=∠ODA=30°，∠ABD=∠ACD=12∠AOD=60°，AE=12AD=32，∴∠CAO=∠CAD-∠OAD=15°，OA=AEcos30°=1=OC=OD，∠BCD=∠BCA+∠ACD=105°，∴∠COD=2∠CAD=90°,∠CDB=180°-∠BCD-∠CBD=30°，∴CD=2OC=2,CF=12CD=22，∴BC=2CF=1；故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键．10(2023·浙江台州·统考中考真题)如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为( )．A.2B.2C.4+22D.4-22【答案】D【分析】设正方形四个顶点分别为A、B、C、D，连接OA并延长，交⊙O于点E，由题意可得，EA的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．【详解】解：设正方形四个顶点分别为A、B、C、D，连接OA并延长，交⊙O于点E，过点O作OF⊥AB，如下图：则EA的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，由题意可得：OE=AB=4，AF=OF=12AB=2由勾股定理可得：OA=OF2+AF2=22，∴AE =4-22，故选：D .【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置．11(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，若∠A =48°，∠APD =80°，则∠B 的度数为()A.32°B.42°C.48°D.52°【答案】A【分析】根据圆周角定理，可以得到∠D 的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出∠B 的度数．【详解】解：∵∠A =∠D ，∠A =48°，∴∠D =48°，∵∠APD =80°，∠APD =∠B +∠D ，∴∠B =∠APD -∠D =80°-48°=32°，故选：A ．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出∠D 的度数．12(2023·四川内江·统考中考真题)如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 在AF 上，Q 是DE 的中点，则∠CPQ 的度数为()A.30°B.36°C.45°D.60°【答案】C 【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．【详解】如图，连接OC ,OD ,OQ ,OE ，∵正六边形ABCDEF ，Q 是DE的中点，∴∠COD =∠DOE =360°6=60°，∠DOQ =∠EOQ =12∠DOE =30°，∴∠COQ =∠COD +∠DOQ =90°，∴∠CPQ =12∠COQ =45°，故选：C ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．13(2023·湖北十堰·统考中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE=DE，BC=CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE=3，EG=2，则AB的长为()A.43B.7C.8D.45【答案】B【分析】作BM⊥AC于点M，由题意可得出△AEB≌△DEC，从而可得出△EBC为等边三角形，从而得到∠GEF=60°，∠EGF=30°，再由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．【详解】解：作BM⊥AC于点M，在△AEB和△DEC中，∠A=∠DAE=ED∠AEB=∠DEC，∴△AEB≌△DEC ASA，∴EB=EC，又∵BC=CE，∴BE=CE=BC，∴△EBC为等边三角形，∴∠GEF=60°，BC=EC∴∠EGF=30°，∵EG=2，OF⊥AC，∠EGF=30°∴EF=12EG=1，又∵AE=ED=3，OF⊥AC∴CF=AF=AE+EF=4，∴AC=2AF=8，EC=EF+CF=5，∴BC=EC=5，∵∠BCM=60°，∴∠MBC=30°，∴CM=52，BM=BC 2-CM2=532，∴AM=AC-CM=112，∴AB=AM2+BM2=7．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键．14(2023·山西·统考中考真题)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ,AC ,BD 为对角线，BD 经过圆心O ．若∠BAC =40°，则∠DBC 的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】B【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵BC =BC ，∴∠BDC =∠BAC =40°，∵BD 为圆的直径，∴∠BCD =90°，∴∠DBC =90°-∠BDC =50°；故选：B ．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键．15(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，AC ，OB 交于点D ．若AD =CD =8，OD =6，则BD 的长为( )．A.5B.4C.3D.2【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得出OD ⊥AC ,根据勾股定理求出OC =10，进一步可求出BD 的长．【详解】解：∵AD =CD =8，∴点D 为AC 的中点，∵AO =CO ,∴OD ⊥AC ，由勾股定理得，OC =CD 2+OD 2=62+82=10,∴OB =10,∴BD =OB -OD =10-6=4,故选：B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键16(2023·河北·统考中考真题)如图，点P 1~P 8是⊙O 的八等分点．若△P 1P 3P 7，四边形P 3P 4P 6P 7的周长分别为a ，b ，则下列正确的是()A.a <bB.a =bC.a >bD.a ，b 大小无法比较【答案】A【分析】连接P 1P 2,P 2P 3，依题意得P 1P 2=P 2P 3=P 3P 4=P 6P 7，P 4P 6=P 1P 7，△P 1P 3P 7的周长为a =P 1P 3+P 1P 7+P 3P 7，四边形P 3P 4P 6P 7的周长为b =P 3P 4+P 4P 6+P 6P 7+P 3P 7，故b -a =P 1P 2+P 2P 3-P 1P 3，根据△P 1P 2P 3的三边关系即可得解．【详解】连接P 1P 2,P 2P 3，∵点P 1~P 8是⊙O 的八等分点，即P 1P 2 =P 2P 3 =P 3P 4=P 4P 5 =P 5P 6 =P 6P 7 =P 7P 8=P 8P 1∴P 1P 2=P 2P 3=P 3P 4=P 6P 7，P 4P 6 =P 4P 5 +P 5P 6 =P 7P 8+P 8P 1 =P 1P 7∴P 4P 6=P 1P 7又∵△P 1P 3P 7的周长为a =P 1P 3+P 1P 7+P 3P 7，四边形P 3P 4P 6P 7的周长为b =P 3P 4+P 4P 6+P 6P 7+P 3P 7，∴b -a =P 3P 4+P 4P 6+P 6P 7+P 3P 7 -P 1P 3+P 1P 7+P 3P 7 =P 1P 2+P 1P 7+P 2P 3+P 3P 7 -P 1P 3+P 1P 7+P 3P 7 =P 1P 2+P 2P 3-P 1P 3在△P 1P 2P 3中有P 1P 2+P 2P 3>P 1P 3∴b -a =P 1P 2+P 2P 3-P 1P 3>0故选：A ．【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．17(2023·浙江杭州·统考中考真题)如图，在⊙O 中，半径OA ,OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上．若∠ABC =19°，则∠BAC =()A.23°B.24°C.25°D.26°【答案】D【分析】根据OA ,OB 互相垂直可得ADB 所对的圆心角为270°，根据圆周角定理可得∠ACB =12×270°=135°，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图，∵半径OA ,OB 互相垂直，∴∠AOB =90°，∴ADB 所对的圆心角为270°，∴ADB 所对的圆周角∠ACB =12×270°=135°，又∵∠ABC =19°，∴∠BAC =180°-∠ACB -∠ABC =26°，故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．18(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，连接AC ，AD ，BD ，若∠C =20°，∠BPC =70°，则∠ADC =()A.70°B.60°C.50°D.40°【答案】D【分析】先根据圆周角定理得出∠B =∠C =20°，再由三角形外角和定理可知∠BDP =∠BPC -∠B =70°-20°=50°，再根据直径所对的圆周角是直角，即∠ADB =90°，然后利用∠ADB =∠ADC +∠BDP 进而可求出∠ADC ．【详解】解：∵∠C =20°，∴∠B =20°，∵∠BPC =70°，∴∠BDP =∠BPC -∠B =70°-20°=50°，又∵AB 为直径，即∠ADB =90°，∴∠ADC =∠ADB -∠BDP =90°-50°=40°，故选：D ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．19(2023·广西·统考中考真题)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为()A.20mB.28mC.35mD.40m【答案】B【分析】由题意可知，AB =37m ，CD =7m ，主桥拱半径R ，根据垂径定理，得到AD =372m ，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意可知，AB =37m ，CD =7m ，主桥拱半径R ，∴OD =OC -CD =R -7 m ，∵OC 是半径，且OC ⊥AB ，∴AD =BD =12AB =372m ，在Rt △ADO 中，AD 2+OD 2=OA 2，∴372 2+R -7 2=R 2，解得：R =156556≈28m ，故选：B .【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．20(2023·四川·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，连接CD ，OD ，AC ，若∠BOD =124°，则∠ACD 的度数是()A.56°B.33°C.28°D.23°【答案】C 【分析】根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵∠BOD =124°，∴∠AOD =180°-124°=56°，∴∠ACD =12∠AOD =28°，故选：C ．【点睛】此题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．21(2023·山东聊城·统考中考真题)如图，点O 是△ABC 外接圆的圆心，点I 是△ABC 的内心，连接OB ，IA ．若∠CAI =35°，则∠OBC 的度数为()A.15°B.17.5°C.20°D.25°【答案】C【分析】根据三角形内心的定义可得∠BAC 的度数，然后由圆周角定理求出∠BOC ，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接OC ，∵点I 是△ABC 的内心，∠CAI =35°，∴∠BAC =2∠CAI =70°，∴∠BOC =2∠BAC =140°，∵OB =OC ，∴∠OBC =∠OCB =180°-∠BOC 2=180°-140°2=20°，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．22(2023·福建·统考中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为()A.3B.22C.3D.23【答案】C【分析】根据圆内接正多边形的性质可得∠AOB =30°，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得BC=12，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30°，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形OAB ，过点B 作BC ⊥OA 交OA 于点于点C ，∵∠AOB =30°，∴BC =12OB =12，则S △OAB =12×1×12=14，故正十二边形的面积为12S △OAB =12×14=3，圆的面积为π×1×1=3，用圆内接正十二边形面积近似估计⊙O 的面积可得π=3，故选：C ．【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．23(2023·广东·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC =50°，则∠D =()A.20°B.40°C.50°D.80°【答案】B【分析】根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵∠BAC =50°，∴∠ABC =90°-∠BAC =40°，∵AC =AC ，∴∠D =∠ABC =40°；故选：B ．【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．24(2023·河南·统考中考真题)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠C =55°，则∠AOB 的度数为()A.95°B.100°C.105°D.110°【答案】D【分析】直接根据圆周角定理即可得．【详解】解：∵∠C =55°，∴由圆周角定理得：∠AOB =2∠C =110°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．25(2023·全国·统考中考真题)如图，AB ，AC 是⊙O 的弦，OB ，OC 是⊙O 的半径，点P 为OB 上任意一点(点P 不与点B 重合)，连接CP ．若∠BAC =70°，则∠BPC 的度数可能是()A.70°B.105°C.125°D.155°【答案】D【分析】根据圆周角定理得出∠BOC =2∠BAC =140°，进而根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：∵BC =BC ，∠BAC =70°，∴∠BOC =2∠BAC =140°，∵∠BPC =∠BOC +∠PCO ≥140°，∴∠BPC 的度数可能是155°故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．26(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，圆内接四边形ABCD 中，∠BCD =105°，连接OB ，OC ，OD ，BD ，∠BOC =2∠COD ．则∠CBD 的度数是()A.25°B.30°C.35°D.40°【答案】A【分析】根据圆内接四边形对角互补得出∠A =180°-105°=75°，根据圆周角定理得出∠BOD =2∠A =150°，根据已知条件得出∠COD =13∠BOD =50°，进而根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵圆内接四边形ABCD 中，∠BCD =105°，∴∠A =180°-105°=75°∴∠BOD =2∠A =150°∵∠BOC =2∠COD∴∠COD =13∠BOD =50°，∵CD =CD∴∠CBD =12∠COD =12×50°=25°,故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．27(2023·甘肃兰州·统考中考真题)我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．(1)以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M ，N ；(2)分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA =OB ；(3)连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a ∥b ．按以上作图顺序，若∠MNO =35°，则∠AOC =()A.35°B.30°C.25°D.20°【答案】A【分析】证明∠NMO=∠MNO=35°，可得∠AOB=2×35°=70°，结合OA=OB，C为AB的中点，可得∠AOC=∠BOC=35°．【详解】解：∵∠MNO=35°，MO=NO，∴∠NMO=∠MNO=35°，∴∠AOB=2×35°=70°，∵OA=OB，C为AB的中点，∴∠AOC=∠BOC=35°，故选A．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．二、填空题28(2023·四川南充·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC=12,BC=5，则MD的长是．【答案】4【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再由勾股定理确定AB=13，半径为132，利用垂径定理确定OM⊥AC，且AD=CD=6，再由勾股定理求解即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=12,BC=5，∴AB=13，∴AO=12AB=132，∵点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，∴OM⊥AC，且AD=CD=6，∴OD=AO2-AD2=52，∴MD=OM-OD=AO-OD=4，故答案为：4．【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．29(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=6cm,∠BAC=50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为cm．【答案】5π6【分析】连接AD ，OD ，OE ，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可．【详解】解：如图，连接AD ，OD ，OE ，∵AB 为直径，∴AD ⊥AB ，∵AB =AC =6cm ,∠BAC =50°，∴BD =CD ，∠BAD =∠CAD =12∠BAC =25°，∴∠DOE =2∠BAD =50°，OD =12AB =12AC =3cm ，∴弧DE 的长为50×π×3180=5π6cm ，故答案为：5π6cm ．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键．30(2023·四川广安·统考中考真题)如图，△ABC 内接于⊙O ，圆的半径为7，∠BAC =60°，则弦BC 的长度为．【答案】73【分析】连接OB ,OC ，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，先根据圆周角定理可得∠BOC =2∠BAC =120°，再根据等腰三角形的三线合一可得∠BOD =60°，BC =2BD ，然后解直角三角形可得BD 的长，由此即可得．【详解】解：如图，连接OB ,OC ，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，∵∠BAC =60°，∴∠BOC =2∠BAC =120°，∵OB =OC ,OD ⊥BC ，∴∠BOD =12∠BOC =60°，BC =2BD ，∵圆的半径为7，∴OB =7，∴BD =OB ⋅sin60°=723，∴BC =2BD =73，故答案为：73．【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．31(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 是⊙O 上一点，∠CDB =55°，则∠ABC =°．【答案】35【分析】由同弧所对的圆周角相等，得∠A =∠CDB =55°,再根据直径所对的圆周角为直角，得∠ACB =90°，然后由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】解：∵∠A ,∠CDB 是BC所对的圆周角，∴∠A =∠CDB =55°,∵AB 是⊙O 的直径，∵∠ACB =90°，在Rt △ACB 中，∠ABC =90°-∠A =90°-55°=35°，故答案为：35．【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．32(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，四边形ABCD 内接于圆O ，若∠D =100°，则∠B 的度数是．【答案】80°【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠B+∠D=180°，∵∠D=100°，∴∠B=180°-∠D=80°．故答案为：80°．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键．33(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为．【答案】52.5°【分析】方法一∶如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由题意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°-25°=25°，然后再根据等腰三角形的性质求得∠OAB=65°、∠OAD=25°，最后根据角的和差即可解答．方法二∶连接OB,OD，由题意可得：∠BAD=105°，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】方法一∶解：如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由题意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°-25°=25°，∠AOD=155°-25°=130°，∴∠OAB=12180°-∠AOB=77.5°，∠OAD=12180°-∠AOB=25°，∴∠BAD=∠OAB-∠OAD=52.5°．故答案为52.5°．方法二∶解∶连接OB,OD，由题意可得：∠BAD=155°-50°=105°，根据圆周角定理，知∠BAD=12∠BOD=12×105°=52.5°．故答案为：52.5°．【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键．34(2023·湖南·统考中考真题)如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是个．【答案】10【分析】先求出正五边形的外角为72°，则∠1=∠2=72°，进而得出∠AOB=36°，即可求解．【详解】解：根据题意可得：∵正五边形的一个外角=360°5=72°，∴∠1=∠2=72°，∴∠AOB=180°-72°×2=36°，∴共需要正五边形的个数=360°36°=10(个)，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．35(2023·湖南永州·统考中考真题)如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm．水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为cm．【答案】16【分析】过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD=DB=12AB，依题意，得出OD=6，进而在Rt△AOD中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD=DB=12 AB，∵水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，⊙O 的半径为10cm ．∴OD =10-4=6cm ，在Rt △AOD 中，AD =AO 2-OD 2=102-62=8cm∴AB =2AD =16cm故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．36(2023·湖北随州·统考中考真题)如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB =60°，则∠ADC 的度数为．【答案】30°【分析】根据垂径定理得到AB =AC，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵OA ⊥BC ，∴AB =AC ，∴∠ADC =12∠AOB =30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．37(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，点A 、B 、C 是⊙O 上不同的三点，点O 在△ABC 的内部，连接BO 、CO ，并延长线段BO 交线段AC 于点D ．若∠A =60°，∠OCD =40°，则∠ODC =度．【答案】80【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC 的度数，再根据三角形的外角定理即可得出结果．【详解】解：在⊙O 中，∵∠BOC =2∠A =2×60°=120°，∴∠ODC =∠BOC -∠OCD =120°-40°=80°故答案为：80．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P 处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台．【答案】4【分析】圆周角定理求出∠P 对应的圆心角的度数，利用360°÷圆心角的度数即可得解．【详解】解：∵∠P =55°，∴∠P 对应的圆心角的度数为110°，∵360°÷110°≈3.27，∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台；故答案为：4【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．39(2023·浙江杭州·统考中考真题)如图，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，设正六边形ABCDEF 的面积为S 1，△ACE 的面积为S 2，则S 1S 2=．【答案】2【分析】连接OA ,OC ,OE ，首先证明出△ACE 是⊙O 的内接正三角形，然后证明出△BAC ≌△OAC ASA ，得到S △BAC =S △AFE =S △CDE ，S △OAC =S △OAE =S △OCE ，进而求解即可．【详解】如图所示，连接OA ,OC ,OE ，∵六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴AC =AE =CE ，∴△ACE 是⊙O 的内接正三角形，∵∠B =120°，AB =BC ，∴∠BAC =∠BCA =12180°-∠B =30°，∵∠CAE =60°，∴∠OAC =∠OAE =30°，∴∠BAC =∠OAC =30°，同理可得，∠BCA =∠OCA =30°，又∵AC =AC ，∴△BAC ≌△OAC ASA ，∴S △BAC =S △OAC ，由圆和正六边形的性质可得，S △BAC =S △AFE =S △CDE ，由圆和正三角形的性质可得，S △OAC =S △OAE =S △OCE ，∵S 1=S △BAC +S △AFE +S △CDE +S △OAC +S △OAE +S △OCE =2S △OAC +S △OAE +S △OCE =2S 2，∴S 1S 2=2．故答案为：2．【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．40(2023·广东深圳·统考中考真题)如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，∠BAC 的角平分线与⊙O 交于点D ，若∠ADC =20°，则∠BAD =°．【答案】35【分析】由题意易得∠ACB =90°，∠ADC =∠ABC =20°，则有∠BAC =70°，然后问题可求解．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵AC =AC，∠ADC =20°，∴∠ADC =∠ABC =20°，∴∠BAC =70°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =12∠BAC =35°；故答案为：35．【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．41(2023·山东东营·统考中考真题)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为点E ，CE =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长度是寸．【答案】26【分析】连接OA 构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE 垂直AB 得到点E 为AB 的中点，由AB =6可求出AE 的长，再设出圆的半径OA 为x ，表示出OE ，根据勾股定理建立关于x 的方程，求解方程可得2x 的值，即为圆的直径．【详解】解：连接OA ，∵AB ⊥CD ，且AB =10寸，∴AE =BE =5寸，设圆O 的半径OA 的长为x ，则OC =OD =x ，∵CE =1，∴OE =x -1，在直角三角形AOE 中，根据勾股定理得：x 2-(x -1)2=52，化简得：x 2-x 2+2x -1=25，即2x =26，∴CD =26(寸)．故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．三、解答题42(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，点A 在第一象限内，⊙A 与x 轴相切于点B ，与y 轴相交于点C ,D ．连接AB ，过点A 作AH ⊥CD 于点H ．(1)求证：四边形ABOH 为矩形．(2)已知⊙A 的半径为4，OB =7，求弦CD 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．(2)根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．【详解】(1)证明：∵⊙A 与x 轴相切于点B ，∴AB ⊥x 轴．∵AH ⊥CD ,HO ⊥OB ，∴∠AHO =∠HOB =∠OBA =90°，∴四边形AHOB 是矩形．(2)如图，连接AC ．∵四边形AHOB 是矩形，∴AH =OB =7．在Rt △AHC 中，CH 2=AC 2-AH 2，∴CH =42-(7)2=3．∵点A 为圆心，AH ⊥CD ，∴CD =2CH =6．【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．43(2023·甘肃武威·统考中考真题)1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知⊙O ，A 是⊙O 上一点，只用圆规将⊙O 的圆周四等分．(按如下步骤完成，保留作图痕迹)①以点A 为圆心，OA 长为半径，自点A 起，在⊙O 上逆时针方向顺次截取AB =BC =CD；②分别以点A ，点D 为圆心，AC 长为半径作弧，两弧交于⊙O 上方点E ；③以点A 为圆心，OE 长为半径作弧交⊙O 于G ，H 两点．即点A ，G ，D ，H 将⊙O 的圆周四等分．【答案】见解析。
人教版九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质同步练习(附答案)
24.1 圆的有关性质一．选择题（共20小题）1．（•安顺）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm2．（•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm3．（•临安区）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）A．B．C．D．4．（•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸5．（•济宁）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50° B．60° C．80° D．100°6．（•聊城）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25° B．27.5°C．30° D．35°7．（•南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（）A．58° B．60° C．64° D．68°8．（•铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）A．55° B．110°C．120°D．125°9．（•菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64° B．58° C．32° D．26°10．（•张家界）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC 的度数是（）A．30° B．45° C．55° D．60°11．（•哈尔滨）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（）A．43° B．35° C．34° D．44°12．（•潍坊）点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．或2D．或213．（•黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．114．（•乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（）A．2米B．2.5米C．2.4米D．2.1米15．（•金华）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm16．（•泸州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）A．B．2C．6 D．817．（•黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（）A． cm B．3cm C．3cm D．6cm18．（•牡丹江）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（）A．3 B．2.5 C．4 D．3.519．（•赤峰）如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．2π20．（•巴彦淖尔）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD 分别等于（）A．40°，80°B．50°，100°C．50°，80°D．40°，100°二．填空题（共10小题）21．（•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．22．（•曲靖）如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= °．23．（•金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为cm．24．（•梧州）如图，已知在⊙O中，半径OA=，弦AB=2，∠BAD=18°，OD与AB交于点C，则∠ACO= 度．25．（•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．26．（•雅安）⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是．27．（•湘西州）如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB=6，OE=4，则直径CD=28．（•常州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC= ．29．（•湘潭）如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= ．30．（•安顺）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．三．解答题（共5小题）31．（•宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．32．（•牡丹江）如图，在⊙O中， =，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．33．（•济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．34．（•福州）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．35．（•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．参考答案一．选择题（共20小题）1．C．2．A．3．A．4．C．5．D．6．D．7．A．8．D．9．D．10．D．11．B．12．D．13．C．14．B．15．C．16．B．17．A．18．C．19．B．20．B．二．填空题（共10小题）21．2或14．22．n23．30，10﹣10，24．81．25．（﹣1，﹣2），26．4≤OP≤5．27．10．28．70°．29．60°30．4﹣．三．解答题（共5小题）31．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．∴S半圆=•π•42=8π．32．证明：连接OC，∵=，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO=∠CEO=90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD=OE，∵AO=BO，∴AD=BE．33．解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°∴∠B=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．34．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴=，∵M为中点，∴=，∴+=+，即=，∴BM=CM；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴⊙O的周长为4π，∵===，∴=+=，∴的长=××4π=×4π=π．35．（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，（∵∠EDC+∠ADE=180°，∠B+∠ADE=180°，∴∠EDC=∠B）∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）方法一：解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴•2=4CD，∴CD=．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD=a，由（1）知AC=AB=4，则AD=4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得：BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2整理得：a=，即：CD=．。
圆的有关性质试题及答案
圆的有关性质一、选择题1. (2016兰州，7,4分)如图，在⊙O中，点C 是的中点，∠A＝50º，则∠BOC＝（）。
（A）40º（B）45º（C）50º（D）60º【答案】A【解析】在△OAB中，OA＝OB，所以∠A＝∠B＝50º。
根据垂径定理的推论，OC 平分弦AB 所对的弧，所以OC 垂直平分弦AB，即∠BOC＝90º− ∠B＝40º ，所以答案选A。
【考点】垂径定理及其推论2. (2016兰州，10,4分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O, 四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC= （）（A）45º（B) 50º(C) 60º (D) 75º【答案】：C【解析】：连接OB,则∠OAB＝∠OBA, ∠OCB＝∠OBC∵四边形ABCO 是平行四边形，则∠OAB＝∠OBC∴∠ABC＝∠OAB＋∠OBC＝∠AOC∴∠ABC＝∠AOC＝120º∴∠OAB＝∠OCB＝60º连接OD，则∠OAD＝∠ODC，∠OCD＝∠ODC由四边形的内角和等于360º可知，∠ADC＝360º－∠OAB－∠ABC－∠OCB－∠OAD－∠OCD∴∠ADC＝60º【考点】：圆内接四边形3. (2016·四川自贡)如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°【考点】圆周角定理；三角形的外角性质．【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．【解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°，∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°，∴∠B=∠C=30°，故选C．【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键4. （2016·四川成都·3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为（）A．πB．πC．πD．π【考点】弧长的计算；圆周角定理．【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．【解答】解：∵∠OCA=50°，OA=OC，∴∠A=50°，∴∠BOC=100°，∵AB=4，∴BO=2，∴的长为：=π．故选：B．5. （2016·四川达州·3分）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A． B．2C．D．【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tan∠CDO，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO，等量代换即可．【解答】解：作直径CD，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，则OD==4，tan∠CDO==，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故选：C．6. （2016·四川广安·3分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，=（）则S阴影A ．2πB ．πC ．πD ．π【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算． 【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD 、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入S 阴影=S 扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC ．【解答】解：如图，假设线段CD 、AB 交于点E ， ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， ∴CE=ED=2，又∵∠BCD=30°，∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°， ∴OE=DE •cot60°=2×=2，OD=2OE=4，∴S 阴影=S 扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC=﹣OE ×DE+BE •CE=﹣2+2=．故选B ．7. （2016·四川乐山·3分）如图4，C 、D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA CD =，且40ACD ∠=， 则CAB ∠=()A10 ()B20()C30()D40答案：BCO图4DBA解析：∠CAD＝∠B＝∠D＝12（180°－40°）＝70°，又AB为直径，所以，∠CAB＝90°－70°＝20°，8. （2016·四川凉山州·4分）已知，一元二次方程x2﹣8x+15=0的两根分别是⊙O1和⊙O2的半径，当⊙O1和⊙O2相切时，O1O2的长度是（）A．2 B．8 C．2或8 D．2＜O2O2＜8【考点】圆与圆的位置关系；根与系数的关系．【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况讨论求解．【解答】解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是3和5．∴①当两圆外切时，圆心距O1O2=3+5=8；②当两圆内切时，圆心距O1O2=5﹣2=2．故选C．9．（2016•浙江省舟山）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°【考点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）．【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，故的度数是150°．故选：C．10.（2016·广东茂名）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（）A．150° B．140° C．130° D．120°【考点】圆周角定理．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，∴∠AOC=2∠B=150°．故选A．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．11. (2016年浙江省丽水市)如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（）A．3 B．2 C．1 D．1.2【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．【解答】解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，∴∠D=90°，在Rt△ABD中，AD=，AB=4，∴BD=，∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∵AD：BC=：4=1：5，∴相似比为1：5，设AE=x，∴BE=5x，∴DE=﹣5x，∴CE=28﹣25x，∵AC=4，∴x+28﹣25x=4，解得：x=1．故选：C．12．（2016·山东烟台）如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意确定出y与x的关系式，即可确定出图象．【解答】解：根据题意得：sin∠APB=，∵OA=1，AP=x，sin∠APB=y，∴xy=1，即y=（1＜x＜2），图象为：，故选B．13．（2016山东省聊城市，3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵=，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．故选B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．14．（2016.山东省泰安市，3分）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（）A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF=∠AOF=30°，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°，由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．15．（2016.山东省泰安市，3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（）A．1：B．1：C．1：2 D．2：3【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到，根据三角形的角平分线定理得到=，求出AD=AB，BD=AB，过C作CE⊥AB于E，连接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE=AB，CE=AB，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，∴，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，∴AD=AB，BD=AB，过C作CE⊥AB于E，连接OE，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，∴OE⊥AB，∴OE=AB，CE=AB，∴S△ADE：S△CDB=（ADOE）：（BDCE）=（）：（）=2：3．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．二、填空题1．（2016·黑龙江大庆）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为75﹣．【考点】扇形面积的计算；矩形的性质；切线的性质．【分析】设圆的半径为x，根据勾股定理求出x，根据扇形的面积公式、阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）进行计算即可．【解答】解：设圆弧的圆心为O，与AD切于E，连接OE交BC于F，连接OB、OC，设圆的半径为x，则OF=x﹣5，由勾股定理得，OB2=OF2+BF2，即x2=（x﹣5）2+（5）2，解得，x=5，则∠BOF=60°，∠BOC=120°，则阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）=10×5﹣+×10×5=75﹣，故答案为：75﹣．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握矩形的性质、切线的性质和扇形的面积公式S=是解题的关键．2．（2016·湖北鄂州）如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点。
圆的有关性质初三练习题
圆的有关性质初三练习题1. 单选题：下列哪个选项是关于圆的有关性质的描述？a) 圆的面积等于πr²b) 圆的外切矩形的面积小于圆的面积c) 圆周长等于2πrd) 圆的直径等于圆的半径的两倍2. 填空题：已知圆的半径为5cm，求其直径长为______cm。
3. 判断题：若两个圆的半径相等，则它们的面积一定相等。
4. 多选题：下列哪些是圆的有关性质？a) 弧长公式：L = α/360° × 2πrb) 圆的切线与半径垂直c) 弦的长大于弧的长d) 圆心角等于弧所对的圆周角e) 圆的半径与直径满足关系式：d = 2r5. 解答题：已知圆的半径为8cm，求其面积和周长。
6. 判断题：如果两个圆的半径相等，则它们的直径也一定相等。
7. 单选题：下列哪个选项是圆的有关性质的描述？b) 弧长与圆心角的关系：L = rθc) 两条弧长相等的弧所对的圆心角一定相等d) 圆上的两点可以连成一条直线8. 填空题：确定圆心为O，半径为6cm的圆上，P点与Q点之间的弧长为12πcm，则圆心角∠POQ的度数为______。
9. 判断题：两条相交的弦一定相等。
10. 解答题：已知圆的周长为12πcm，求其半径和面积。
11. 单选题：下列哪个选项是关于两个相交圆的有关性质的描述？a) 两个相交圆一定有2个公共切线b) 两个相交圆的外切矩形的面积一定小于两个圆的面积之和c) 两个相交圆的内切矩形的面积一定大于两个圆的面积之和d) 两个相交圆的半径之和一定大于两个相交弦的长度之和12. 填空题：已知圆的周长为18πcm，则其直径长为______cm。
13. 判断题：两个相交圆的交点一定在两个圆的直径上。
14. 多选题：下列哪些是与圆的有关性质有关的计算公式？a) 圆的面积公式：S = πr²b) 圆的弧长公式：L = 2πrd) 圆心角的计算公式：α = L/re) 弧度制与角度制的换算公式：θ(度数) = θ(弧度) × 180°/π15. 解答题：已知圆的面积是16πcm²，求其半径和周长。
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圆的有关性质——解答题1. 如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于A 、B 和C 、D ，连结OA ，此时有OA ∥PE . （1）求证：AP ＝AO ；（2）若弦AB ＝12，求tan ∠OPB 的值；（3）若以图中已标明的点（即P 、A 、B 、C 、D 、O ）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .G FEOAB DC2.、如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上的一动点，连结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB ＝AB ，过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF . （1）当∠AOB ＝30°时，求弧AB 的长； （2）当DE ＝8时，求线段EF 的长；（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由.FE DCBA O xy3. 已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点（不与点A 、B 、G 重合），直线DE交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P .设⊙O 的半径为r .（1）如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE ·OP ＝r 2（2）当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以如图2点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.4. 已知 △ABC ，分别以AC 和BC 为直径作半圆1O 、2,O P 是AB 的中点.（1）如图8，若△ABC 是等腰三角形，且AC =BC ，在,AC BC 上分别取点E 、F ，使12,AO E BO F ∠=∠则有结论①12,PO E FO P ≅②四边形12PO CO 是菱形.请给出结论②的证明；（2）如图9，若（1）中△ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；（3）如图10，若PC 是1O 的切线，求证：2223AB BC AC =+5. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB=2，∠B=30°，C 是弦AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD.（1）弦长AB=________（结果保留根号）；图8O2O1PAD CEFBDABCDEF P.OG （图1） .AB CDE.OG （图2）（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；（3）当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.6、已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD.（1）如图①，当PA的长度等于______时，∠PAB=60°；当PA的长度等于______时，△PAD是等腰三角形；（2）如图②，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为（a，b），试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值.7、如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．M ODACB N8、已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 为圆心，OA 长为半径作⊙0，⊙O 经过B 、D 两点，过点B 作BK ⊥AC ，垂足为K ．过D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC 、AB 、⊙O 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H ．(1)求证：AE =CK ； (2)如果AB =a ，AD =13a (a 为大于零的常数)，求BK 的长；(3)若F 是EG 的中点，且DE =6，求⊙O 的半径和GH 的长．9、已知：在△ABC 中，以AC 边为直径的⊙O 交BC 于点D ，在劣弧 ⌒ AD 上到一点E 使∠EBC=∠DEC ，延长BE 依次交AC 于G ，交⊙O 于H ．（1）求证：AC ⊥BH ； （2）若∠ABC=45°，⊙O 的直径等于10，BD=8，求CE 的长．10、如图，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上，且OA ＝3，AC ＝2，CD 平行于AB ，并与弧AB 相交于点M 、N ．（1）求线段OD 的长；（2）若1tan 2C ∠=，求弦MN 的长． （第9题图） E FGA O BCD KOABD CMN11、在圆内接四边形ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线，F 为弧AD 上一点，BC=AF ，延长DF 与BA 的延长线交于E ． ⑴求证△ABD 为等腰三角形． ⑵求证AC •AF=DF •FE12、如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O (0，0)，与x 轴相交于点A (5，0)，过点A 的直线AB 与y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ．(1)已知AC ＝3，求点Ｂ的坐标； (4分)(2)若AC ＝a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数xky =的图象经过点1O ，求k 的值(用含a 的代数式表示)． (4分)13、已知：如图，∆ABC 错误!未找到引用源。
内接于⊙O ，AB 错误!未找到引用源。
为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD ．备用图χy第11题图BA FEDCM χy（1）求证：∠DAC ＝∠DBA ； （2）求证：错误!未找到引用源。
是线段AF 的中点； （3）若⊙O 的半径为5，AF ＝215，求tan ∠ABF 的值． 14、如图，在 Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°，D 是AB 边上的一点，以BD 为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点 F .( 1 ）求证： BD = BF ; ( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长．第21题答案图DOEA C BF15、如图，等边△ABC 内接于⊙O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合）.连AP 、BP ，过点C 作CM ∥BP 交PA 的延长线于点M.（1）填空：∠APC ＝ 度，∠BPC ＝ 度；（2分） （2）求证：△ACM ≌△BCP ；（4分）（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM 的面积. （4分）16、如图D 是△ABC 的边BC 的中点，过AD 延长线上的点E 作AD 的垂线EF ，E 为垂足，EF 与AB 的延长线相交于点F ，点O 在AD 上，AO = CO ，BC//EF.(1)证明:AB=AC ； (2)证明:点O 是ΔABC 的外接圆的圆心； (3)当AB=5,BC=6时，连接BE 若∠ABE=90°，求AE 的长.• B CDE OFP（第16题图）17、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6㎝，BC =8㎝，P 为BC 的中点．动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2㎝/s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t s ．⑴当t =1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由； ⑵已知⊙O 为△ABC 的外接圆，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．18、如图，在△ABC 中，∠C= 90°，以AB 上一点O 为圆心，OA 长为半径的圆与BC 相切于点D ，分别交AC 、AB 于点E 、F ． （1）若AC=6，AB= 10，求⊙O 的半径；（2）连接OE 、ED 、DF 、EF ．若四边形BDEF 是平行四边形，试判断四边形OFDE 的形状，并说明理由．19、（宿迁10分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数y ＝x（x ＞0）图象上的任意一 点，以P 为圆心，PO 为半径的圆与x 、y 轴分别交于点A 、B ． （1）判断P 是否在线段AB 上，并说明理由；（2）求△AOB 的面积；（3）Q 是反比例函数y ＝x6（x ＞0）图象上异于点P 的另一点， 请以Q 为圆心，QO 半径画圆与x 、y 轴分别交于点M 、N ， 连接AN 、MB ．求证：AN ∥MB ．ABC P Q O(第17题)AEC D F BO yxQPA BO圆的有关性质——解答题答案1、证明：（1）∵PG平分∠EPF，∴∠DPO=∠BPO，∵OA//PE，∴∠DPO=∠POA，∴∠BPO=∠POA，∴P A=OA；…2分解：（2）过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB=12AB，……1分∵tan∠OPB=12OHPH，∴PH=2OH，……1分设OH =x ，则PH =2x ，由（1）可知P A =OA = 10 ，∴AH =PH －P A =2x －10，∵222AH OH OA +=， ∴222(210)10x x -+=， ……1分解得10x =（不合题意，舍去），28x =，∴AH =6， ∴AB=2AH=12； ……1分（3）P 、A 、O 、C ；A 、B 、D 、C 或 P 、A 、O 、D 或P 、C 、O 、B .……2分(写对1个、2个、3个得1分，写对4个得2分)2、解：（1）连结BC ,∵A （10，0）, ∴OA =10 ,CA =5,∵∠AOB =30°∴∠ACB =2∠AOB =60°,∴弧AB 的长=35180560ππ=⨯⨯; ……4分（2）连结OD,∵OA 是⊙C 直径, ∴∠OBA =90°,又∵AB =BD,∴OB 是AD 的垂直平分线,∴OD =OA =10,在Rt △ODE 中，OE ==-22DE OD 681022=-,∴AE =AO －OE=10-6=4, 由 ∠AOB =∠ADE =90°-∠OAB ，∠OEF =∠DEA ，得△OEF ∽△DEA, ∴OE EF DE AE =,即684EF=，∴EF =3；……4分 （3）设OE =x ，①当交点E 在O ，C 之间时，由以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，有∠ECF =∠BOA 或∠ECF =∠OAB ，当∠ECF =∠BOA 时，此时△OCF 为等腰三角形，点E 为OC 中点，即OE =25，∴E 1（25，0）； 当∠ECF =∠OAB 时，有CE =5-x , AE =10-x ，∴CF ∥AB ,有CF =12AB , ∵△ECF ∽△EAD,∴AD CF AE CE =,即51104x x -=-,解得：310=x ,∴E 2（310，0）;P②当交点E 在点C 的右侧时，∵∠ECF ＞∠BOA ，∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO ，连结BE ，∵BE 为Rt △ADE 斜边上的中线，∴BE =AB =BD,∴∠BEA =∠BAO,∴∠BEA =∠ECF ,∴CF ∥BE, ∴OEOCBE CF =, ∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠， ∴△CEF ∽△AED, ∴CF CE AD AE =,而AD =2BE , ∴2OC CEOE AE=, 即55210x x x-=-, 解得417551+=x , 417552-=x ＜0（舍去），∴E 3（41755+，0）;③当交点E 在点O 的左侧时，∵∠BOA =∠EOF ＞∠ECF . ∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO连结BE ，得BE =AD 21=AB ，∠BEA =∠BAO ∴∠ECF =∠BEA,∴CF ∥BE,∴OEOC BE CF =, 又∵∠ECF =∠BAO , ∠FE C =∠DEA =Rt ∠， ∴△CEF ∽△AED, ∴ADCFAE CE =， 而AD =2BE , ∴2OC CE OE AE =,∴5+5210+x x x=, 解得417551+-=x , 417552--=x ＜0（舍去）,∵点E 在x 轴负半轴上, ∴E 4（41755-，0）, 综上所述：存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点E 坐标为：1E （25，0）、2E （310，0）、3E （41755+，0）、4E （41755-，0）．……4分OB DFC EA xyOBDF CEA xyOBDF CEA xy3、【答案】（1）证明：连接FO 并延长交⊙O 于Q ，连接DQ .∵FQ 是⊙O 直径，∴∠FDQ ＝90°.∴∠QFD ＋∠Q ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠P ＋∠C ＝90°.∵∠Q ＝∠C ，∴∠QFD ＝∠P .∵∠FOE ＝∠POF ，∴△FOE ∽△POF . ∴OE OF OF OP =.∴OE ·OP ＝OF 2＝r 2. （2）解：（1）中的结论成立.理由：如图2，依题意画出图形，连接FO 并延长交⊙O 于M ，连接CM .∵FM 是⊙O 直径，∴∠FCM ＝90°，∴∠M ＋∠CFM ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠E ＋∠D ＝90°.∵∠M ＝∠D ，∴∠CFM ＝∠E. ∵∠POF ＝∠FOE ，∴△POF ∽△FOE .∴OP OF OF OE =，∴OE ·OP ＝OF 2＝r 2. 4、【答案】（1）证明：∵BC 是⊙O 2直径，则O 2是BC 的中点 又P 是AB 的中点. ∴P O 2是△ABC 的中位线 ∴P O 2 =12AC ，又AC 是⊙O 1直径 ∴P O 2= O 1C=12AC 同理P O 1= O 2C =12BC ∵AC =BC ∴P O 2= O 1C=P O 1= O 2C ∴四边形12PO CO 是菱形 （2）结论①12,PO E FO P ≅成立，结论②不成立证明：在（1）中已证PO 2=12AC ，又O 1E =12AC ∴PO 2=O 1E 同理可得PO 1=O 2F ∵PO 2是△ABC 的中位线∴PO 2∥AC ∴∠PO 2B =∠ACB 同理∠P O 1A=∠ACB ∴∠PO 2B =∠P O 1A∵∠AO 1E =∠BO 2F ∴∠P O 1A+∠AO 1E =∠PO 2B+∠BO 2F 即∠P O 1E =∠F O 2 P（3）证明：延长AC 交⊙O 2于点D ，连接BD.∵BC 是⊙O 2的直径，则∠D=90°，又PC 是1O 的切线，则∠ACP=90°，∴∠ACP=∠D 又∠PAC=∠BAD ，∴△A PC ∽△BAD又P 是AB 的中点∴12AC AP AD AB ==∴AC=CD ∴在Rt △BCD 中，2222²BC CD BD AC BD =+=+ 在Rt △ABD 中，222AB AD BD =+∴()22222243AB AC BD AC BDAC =+=++∴2223AB BC AC =+ 5、【答案】解：（1）23.（2）解法一：∵∠BOD 是△BOC 的外角，∠BCO 是△ACD 的外角，O BDF C EA x y∴∠BOD=∠B+∠BCO ，∠BCO=∠A+∠D.∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.又∵∠BOD=2∠A ，∠B=30°，∠D=20°，∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，∴∠BOD=2∠A=100°.解法二：如图，连接OA.∵OA=OB ，OA=OD ，∴∠BAO=∠B ，∠DAO=∠D ，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D. 又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°.（3）∵∠BCO=∠A+∠D ，∴∠BCO ＞∠A ，∠BCO ＞∠D.∴要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA=∠BCO=90°.此时，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°.∴△DAC ∽△BOC.∵∠BCO=90°，即OC ⊥AB ，∴AC=21AB=3. 6、【答案】解：（1）2；22或558. （2）如图，过点P 分别作PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，延长FP 交BC 于点G ，则PG ⊥BC.∵P 点坐标为（a ，b ），∴PE=b ，PF=a ，PG=4-a.，在△PAD 、△PAB 及△PBC 中，S 1=2a ，S 2=2b ，S 3=8-2a ，∵AB 是直径，∴∠APB=90°. ∴PE 2=A E ·BE ，即b 2=a （4-a ）.∴2S 1S 3-S 22=4a （8-2a ）-4b 2=-4a 2+16a=-4（a-2）2+16. ∴当a=2时，b=2，2S 1S 3-S 22有最大值16.7、【答案】解：(1)N 是BC 的中点。