第二章 空间几何变换与摄像机模型
计算机视觉三维测量与建模-参考答案汇总 第1--8章
第一章大数据财务决策概论一、数字影像的概念？常见的数字影像的类型有哪些？物理世界的物体针对不同频段的电磁波具有不同的辐射、吸收和透射特性。
通常数字影像的成像过程是传感器将接收到的辐射、反射或透射的电磁波，从光信号转换为电信号，再转换为数字信号的过程。
彩色影像、灰度影像、二值影像、深度图影像、多光谱影像、伪彩色影像。
二、摄影几何的意义以及摄影几何数学表达的优点有哪些？射影几何学也叫投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一个特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。
在射影几何学中，把无穷远点视为“理想点”。
欧氏直线再加上一个无穷点就是射影几何中的直线，如果一个平面内的两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。
使用射影几何进行数学表达的优点包括：(1)提供了一个统一的框架来表示几何图元，如点、线和平面；(2)可以在无穷远处以直接的方式操作点、线和平面；(3)为许多几何操作(如构造、交集和变换)提供了线性表示方式。
三、为了描述光学成像的过程，通常需要引入几种坐标系,分别进行说明。
1.世界坐标系为了描述观测场景的空间位置属性,第一个需要建立的基本的三维坐标系是世界坐标系,也被称为全局坐标系。
2.像空间辅助坐标系第二类坐标系是像空间辅助坐标系，也被称为相机空间坐标系。
它类似于摄影测量学中的像空间辅助坐标系，是以摄像机为分析基准的坐标系，也是从三维空间转换到二维空间的一个桥梁。
3.像平面坐标系第三个重要的坐标系是像平面坐标系。
摄像机对三维场景拍照，属于透视投影变换,是将观测点的坐标值从三维空间转换到二维空间的射影变换。
四、基于不同的测量原理，主动式扫描仪系统可以分为几类？1.飞行时间扫描仪TOF类型的扫描仪通过测量从发射端发出的辐射波到目标表面的往返时间来计算目标表面点的距离。
2.相移扫描仪相移扫描仪利用正弦调制的强度随时间变换的激光束进行测量。
通过观测发射信号和反射信号的相位差，计算目标与传感器之间的往返距离。
摄像机成像几何
无穷单应 极点1
DLT算法 点对应: m=(u,v,1) m’=(u’,v’,1)
m’T F m = 0 从8对以上点对应,确定F的线性解
极线对应
l ¢= F (q ? l )
F [q ]´ l
纯平移运动下的基本矩阵
P = K (I , 0), P ¢= K (I , t ) F = [e ⅱKK - 1 = [e ] = [e ] ]创
无穷远平面到像平面的单应
在欧氏坐标系下，摄像机 矩阵的前3列构成的子阵 是无穷远平面到像平面的 单应，简称无穷单应。
二次曲线
二次曲线的支 撑平面到像平 面的单应：
C
若二次曲线在支撑平面的表示为C，则它的像曲线为：
绝对二次曲线的图像（IAC）
反向投影
二次曲面
绝对二次曲面的图像
无穷远平面单应H： H (H )T=KKT = * (H )-T (H )-1= K-T K-1 = 绝对二次曲线的图像： =K-T K-1
s m’= H m m’ (H m) = 0 从4对以上点对应,确定H的线性解
无穷远单应
H H , H T K T K 1 H 1 1 KK T T K K T KT K * *
单应的一般表示
*
已知圆心的圆
恢复绝对欧氏结构
例如：已知物体平面有两个全等的图形； 圆：已知圆心和半径
9.5 极几何
：极平面
：对应极线
：对应点 ：对极点
C
C’
基本矩阵
称为基本矩阵
F m lm’ e m’
l’m
ç T ç0 桫
t÷ ÷X ÷ 1÷
极点2 无穷单应 本质矩阵
计算机视觉中的多视图几何第二章3D射影几何和变换
零空间与生成子空间表示
(2)Plucker矩阵 将一条直线由4*4的反对称齐次矩阵表示，连接两点A,B的直线L的矢量表示：L=AB’-BA’ L有若干如下性质： 1、L的秩为2 2、该表示具有描述一条直线所需要的4个自由度，6-2 3、矩阵L与用来确定它的点A,B无关,C=A+aB代替时,那么得到的矩阵是 L’’=AC’-CA’=A(A’+aB’)-(A+aB)A’= AB’-BA’=L
Page *
绝对二次曲线 (1)绝对二次曲线是在π∞上的一条二次曲线，满足 X1²+X2²+X3² =0 X4² 值得注意的是定义一条二次曲线需要定义两个方程 可以写成(x1,x2,x3)I(x1,x2,x3)’=0形式 绝对对偶二次曲线 (1)绝对二次曲线的对偶是3维空间中一种退化的对偶二次曲面，从几何上说，绝对对偶二次曲线由对偶二次曲线的平面组成。想象一个椭球面的所有切平面的集合，然后把椭球面压成饼的情况。
Page *
秩 ∮ 对角线 方程 实现 4 4 (1,1,1,1) X²+Y²+Z²+1=0 无实点 2 (1,1,1,-1) X²+Y²+Z²=1 球面 0 (1,1,-1,-1) X²+Y²=Z²+1 单叶双曲面 3 3 (1,1,1,0) X²+Y²+Z²=0 点(0,0,0,1) 1 (1,1,-1,0) X²+Y²=Z² 过原点的圆锥 2 2 (1,1,0,0) X²+Y²=0 单条直线(Z轴) 0 (1,-1,0,0) X²=Y² 两平面X=+-Y 1 1 (1,0,0,0) X²=0 平面X=0 三次绕线
Page *
设A,B分别是原点和X-方向的理想点
计算机视觉空间几何变换流程
计算机视觉空间几何变换流程
计算机视觉空间中的几何变换流程主要包括以下步骤：
1. 坐标系转换：对于旋转和偏移，一般是以图像中心为原点，这涉及坐标系转换。
通常的图像坐标系是以图像左上角为原点，水平向右为X轴，垂直向下为Y轴。
而数学课本中常见的坐标系是以图像中心为原点，水平向右为X 轴，垂直向上为Y轴，这称为笛卡尔坐标系。
在图像中我们的坐标系通常是AB和AC方向的，原点为A，而笛卡尔直角坐标系是DE和DF方向的，原点为D。
2. 旋转计算：进行旋转计算。
旋转矩阵前面已经给出了。
3. 坐标转换回：将旋转后的图像的笛卡尔坐标转回图像坐标。
此外，了解图像形成过程的简化模型也是必要的。
这包括了解基本几何图元（点、线和平面）以及将这些3D量投影到2D图像特征的几何变换。
同时，还要了解光照、表面属性和相机光学如何相互作用以产生落在图像传感器上的颜色值。
以上信息仅供参考，如有需要建议查阅计算机视觉领域的专业书籍或咨询专业人士。
第2章_基础知识-现代计算机图形学基础-黄华-清华大学出版社
1.2 计算机图形学系统
• 图形流水线
6
1.2 计算机图形学系统
几何局部坐标系
建模变换
世界坐标系
视图变换
眼睛坐标系
投影变换
图像坐标系
设备变换
标准设备坐标系
窗口变换
屏幕坐标系
7
提纲
1. 从图形到屏幕图像
2. 几何变换
3. 光栅化 4. 图形硬件 5. GPU并行处理
8
2.1 模型变换
• 模型局部坐标系 世界坐标系
OA OE u
ex ux
1
ey
ez
1
uy uz
Me2w
0
0 1
a e
d h
ex ey
ux uy
i l ez uz
a e
ux uy
i uz
矩阵M的第一个列向量(a,e,i)T 是向量u的基底 17
2.2 视点变换
• 世界坐标系 眼睛坐标系
– 将世界坐标系原点(0, 0, 0)world映射为眼睛位置 (ex,ey,ez)world
《现代计算机图形学基础》
第二章 基础知识
1
提纲
1. 从图形到屏幕图像
2. 几何变换 3. 光栅化 4. 图形硬件 5. GPU并行处理
2
1.1 图形与图像
• 图形（Graph）
– 由点、线、面等基本几何元素作为“图元”构 成，通过建模、测量等方式获取。
• 图像（Image）
– 由像素构成，通过照相、扫描等方式获取
• 眼睛坐标系 图像坐标系
– 将眼睛坐标系中的物体模型投影到成像平面， 形成二维图像。
透视投影
正视投影 20
2.3 投影变换
摄像机(DV)成像中重要空间关系
第二章 摄像机成像中的若干重要空间关系摄像机模拟人眼成像几何把三维场景空间关系投影到二维图像上，这一过程可以利用射影几何来刻划。
借助射影几何以及齐次坐标、矩阵等代数工具，我们可以描述三维空间到二维图像的成像原理、两幅图像之间的极几何关系、空间中的特殊对象（例如平面等）的投影性质以及由图像重构三维空间物体形状的计算等。
由于摄像机成像原理、极几何以及多视图几何等是计算机视觉研究的重要理论基础，因此有大量文献和著作给予讨论，其中比较系统的有Hartley 等所著的“Multiple View Geometr y in Computer Vision” [1]、马颂德等所著的“计算机视觉—计算理论与算法基础” [2]等。
在本章中，我们仅就后续章节所用到的若干重要空间关系作一个扼要介绍。
2.1 视觉坐标系与成像几何原理2.1.1 图像坐标系、摄像机坐标系和世界坐标系为了定量描述摄像机成像过程，首先定义以下三个坐标系。
图像坐标系:C图2-1 图像坐标系摄像机摄取的图像在计算机内以Ｍ×Ｎ数组的形式存储，数组中的每一个元素称为象素（pixel ），其值表示图像点的亮度(或称灰度，若为彩色图像，则图像的象素亮度将由红绿蓝三种颜色的亮度表示)。
如图2-1所示，在图像上定义直角坐标系u-v ，每一象素的坐标),(v u 分别是该象素在图像中的列数和行数。
所以),(v u 是以象素为单位的图像坐标系的坐标。
由于),(v u 只表示象素位于图像中的列数和行数，并没有用物理单位表示出该象素在图像中的物理位置，因而需要再建立以物理单位(例如毫米)表示的图像坐标系x-y ，该坐标系以图像中某一点1C 为原点，x 轴、y 轴分别与u 轴、v 轴平行，如图２-1所示。
在后续章节中，如不加特别说明，),(v u 表示以象素为单位的图像坐标系的坐标，),(y x 表示以物理单位度量的图像坐标系的坐标。
在x-y 坐标系中，原点1C 定义为摄像机光轴和像平面的交点，该点一般位于图像的中心处，称为图像的主点。
txcl4-像素空间关系几何变换-2016
数 字 图 象 处 理
之间有一定联系 像素有一定的空间位置 空间变换-从一个空间到另一个空间 坐标变换-从空间一个位置转换到另外一个 位置 内容：像素间的联系；基本坐标变换；几 何失真校正
像素的空间关系-像素的邻域
从上式可以看出，引入附加坐标后，扩充了矩阵的
第3行， 并没有使变换结果受到影响。这种用n＋1维向
量表示n维向量的方法称为齐次坐标表示法。
像素的空间关系-几何变换基础
因此， 2D图像中的点坐标 (x, y) 通常表示成齐次坐标 （Hx, Hy, H），其中H表示非零的任意实数，当H＝1时， 则(x, y, 1)就称为点(x, y)的规范化齐次坐标。显然规范化 齐次坐标的前两个数是相应二维点的坐标， 没有变化，
x0
x
点的平移
像素的空间关系-几何变换基础
而平面上点的变换矩阵
a b T c d
中没有引入平移常量，
无论 a 、 b 、 c 、 d 取什么值，都不能实现上述的平移变换。 因此，需要使用2×3阶变换矩阵，取其形式为
1 0 x T 0 1 y
式中S＝ {0， 2， 4， 6}， B( pk )＝ 1－B( pk )，当k＋2＝8时，p8 p0
数 字 图 象 处 理
计算实例－
(8) Nc ( p ) [ B ( p0 ) B ( p0 ) B ( p1 ) B ( p2 )]
[ B ( p2 ) B ( p2 ) B ( p3 ) B ( p4 )] [ B ( p4 ) B ( p4 ) B ( p5 ) B ( p6 )] [ B ( p6 ) B ( p6 ) B ( p7 ) B ( p8 )] (0 0 0 0) (0 0 1 1) (1 1 1 0) (0 0 1 0) 1
第二章 空间几何变换与摄像机模型
South China University of Technology
2.1.1 齐次坐标： 空间几何变换描述的是空间几何从一种状态按照一定的原则转换到另一
种状态。 所谓齐次坐标表示法就是用n+1维矢量表示一个n维矢量。n维空间中点的 位置矢量用非齐次坐标表示时，具有n个坐标分量（P1，P2，…，Pn)且是唯 一的。若用齐次坐标表示时，此矢量有n+1个坐标矢量（h P1 ，h P2， …， hPn， h），且不是唯一的。 使用齐次坐标有以下优点： 例如：若二维点（x，y)的齐次坐标表示为（hx，hy，h）， 1、提供了用矩阵运算把二维、三维甚至更高维空间中的一个点集从一个 则（h1x，h1y，h1），（h2x，h2y，h2），…，（hmx，hmy， 坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。 hm），都表示二维空间中同一点（x，y)的齐次坐标。 a d g 例如： 例如：二维齐次坐标变换矩阵的形式是 T2D= b e h c f i 2、可以表示无穷远点。 例如： 例如：对二维德齐次坐标[a,b,h],当h 0时，表示ax+by=0的直线，即 在y= －（a/b)x上的连续点[x,y]逐渐趋近于无穷远，但其斜率不变。
第二章
空间几何变换与摄像机模型 of Technology South China University
本章要点： 2.1空间几何变换 2.2几何变换的不变量 2.3欧式空间的刚体变换 2.4摄像机透视投影模型 2.5摄像机透视投影近似模型
2.1 空间几何变换
South China University of Technology
清华大学讲义-摄象机模型和外极线几何
m error m p m wp Z 2 Z0
2 X 1 X X 1 X 1 1 Z Z 1 Y Z 0 Z Y Z 0 Y Z 0 Z0 Z0 Z0 Y
227
Pnew=APN
(B.10)
u u cot 其中， A 0 v / sin 0 0 xN u y A1 v N 1 1
u0 v0 1
(B.11)
而归一化坐标(xN,yN)T 和像素坐标(u,v)T 满足
226
同。(o,u,v)则是像素坐标系，其原点常位于图象的左上角而不是主点 c，像素也常常不是方 的。设 ku、kv 是 u,v 轴上的单位在图象坐标系中的度量值，是 u,v 两轴的夹角，(u0,v0)是 c 在像素坐标系中的坐标。这五个参数就是摄象机的内参数。
图 B.3 摄象机的内参数，图象平面上的坐标变换 令 mold=[x,y]T 为图象坐标系中的坐标值，mnew=[u,v]T 则是像素坐标。显然有
0 f 0
0 0 0 0 ， 1 0
(B.3)
其中 s=S 为一比例因子。
B.1.2 摄象机外参数
上面的讨论都是在摄象机坐标系(C,Xc,Yc,Zc)中进行的， 不过在实际应用中， 摄象机的位 置和方向并不总是固定不变的，因此我们需要用固定的世界坐标系(O,X,Y,Z)来表示三维点。 记 Pc 在世界坐标系中的坐标为 M=(X,Y,Z)T，则两坐标系的关系可用 Mc=RM+t 来表示，R 是旋转矩阵，它表示摄象机的方向；t 则与摄象机的位置有关，它实际是世界坐标系原点在 摄象机坐标系中的坐标。这两者被称为摄象机的外参数。 如果我们使用齐次坐标，上面的坐标系间的关系可写成
附录二摄像机成像模型
A2-5
系(World System)。
世界坐标系与摄像机坐标系之间的关系可以用一个旋转矩阵和一个平移向量来描述，如图
2.1.4 所 示 。 令 空 间 点 在 世 界 坐 标 系 与 摄 像 机 坐 标 系 的 坐 标 分 别 为 X = (x, y, z, 1)T ，
X c = (xc , yc , zc , 1)T ，则它们之间的关系为
在本书中，所涉及的摄像机均指 CCD 摄像机，除特别说明外均假定摄像机内参数矩阵具有 (2.1.12)的形式。
摄像机矩阵的一般形式
上面所介绍的摄像机矩阵是在摄像机坐标系下的结果。由于摄像机的中心和主轴等事先都 是未知的，这个坐标系不能给出空间点的具体坐标值，另外摄像机可安放在环境中的任何位置。 因此，需要一个基准坐标系来描述空间点和摄像机的位置。这个基准坐标系通常称为世界坐标
A2-2
fxc f 0 0 0
zc m = fyc = 0 f 0 0 X c
zc
0
0
1 0
(2.1.2)
这是从空间点到图像点的齐次线性变换。记 P = diag( f , f , 1)(I , 0)
则齐次线性变换(2.1.2)可表示为 m = PX c
假定主点在像平面的坐标为 p = (x0 , y0 , 1)T ，则摄像机的投影关系满足：
x
=
y =
fxc
zc fyc
zc
+ x0 + y0
(2.1.5)
使用齐次坐标，上式可表示为
fxc f 0 x0 0
zc m = fyc = 0 f y0 0 X c
坐标系，空间点在像平面上的投影点的位置是不变的。
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2.1.1 齐次坐标： 空间几何变换描述的是空间几何从一种状态按照一定的原则转换到另一
种状态。 所谓齐次坐标表示法就是用n+1维矢量表示一个n维矢量。n维空间中点的 位置矢量用非齐次坐标表示时，具有n个坐标分量（P1，P2，…，Pn)且是唯 一的。若用齐次坐标表示时，此矢量有n+1个坐标矢量（h P1 ，h P2， …， hPn， h），且不是唯一的。 使用齐次坐标有以下优点： 例如：若二维点（x，y)的齐次坐标表示为（hx，hy，h）， 1、提供了用矩阵运算把二维、三维甚至更高维空间中的一个点集从一个 则（h1x，h1y，h1），（h2x，h2y，h2），…，（hmx，hmy， 坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。 hm），都表示二维空间中同一点（x，y)的齐次坐标。 a d g 例如： 例如：二维齐次坐标变换矩阵的形式是 T2D= b e h c f i 2、可以表示无穷远点。 例如： 例如：对二维德齐次坐标[a,b,h],当h 0时，表示ax+by=0的直线，即 在y= －（a/b)x上的连续点[x,y]逐渐趋近于无穷远，但其斜率不变。
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第二章
空间几何变换与摄像机模型 of Technology South China University
本章要点： 2.1空间几何变换 2.2几何变换的不变量 2.3欧式空间的刚体变换 2.4摄像机透视投影模型 2.5摄像机透视投影近似模型
2.1 空间几何变换
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